ère Parte: VIBRATIONS Chatre : Généraltés sur les oscllatons Dr Fouad BOUKLI HACN P S T T L M C N A N N É 5-6
Objectfs:. Les coordonnées généralsées d un système en mouvement. Le nombre de degrés de lberté 3. Le calcul des énerges cnétues et otentelles 4. L état d éulbre 5. Les dfférentes méthodes de calculs des éuatons dfférentelles du mouvement
Défntons: La vbraton est un hénomène oscllatore d un cors en mouvement autour de sa oston d éulbre. On aelle mouvement érodue un mouvement u se réète et dont chaue cycle se rerodut dentuement. la durée d'un cycle est aelée érode, mesurée ar la seconde et est défn comme sut : T
Où ω est aelée la ulsaton u lée à la fréuence des oscllatons et est mesurée en rad,s -. f On défnt la fréuence comme étant le nombre d oscllatons u ont leu ar unté de tems t, et est mesurée en Hertz, f T xemles: Les battements du cœur, Le mouvement d'une balançore, Le mouvement alternatf des stons d'un moteur à exloson
Les vbratons transmses ar les machnes ortatves Les vbratons dues aux engns mécanues
Un système hysue oscllant est reéré ar la coordonnée généralsée u est défnt ar l écart ar raort à la oston d éulbre stable. On défnt n le nombre de degrés de lberté ar le nombre de mouvements ndéendants d un système hysue Détermne le nombre d éuatons dfférentelles du mouvement.
Modélsaton hysue : On assoce à tous les systèmes hysues un système "masseressort" u consttue un excellent modèle rerésentatf our étuder les oscllatons comme sut, fgure 3. : o o u constante F(t) s aelle la force de rael est roortonnelle à l allongement x(t). La constante k est aelée la constante de radeur. Fgure 3.: Schéma masse-ressort
La rerésentaton de luseurs ressorts se résente en deux cas : Fgure 4. : Ressorts en arallèle Fgure 5. : Ressorts en sére k k k // e ks e k k
L énerge totale: L énerge totale du système est défne ar la somme de deux tyes d énerges : L énerge cnétue d un système mécanue s écrt sous la forme : L énerge otentelle d un système mécanue s écrt à artr de déveloement lmté de Taylor sous la forme... 6 () 3 3 3 n c m
S l allongement est nfntésmal; l énerge otentelle rend la forme uadratue en foncton de l écart ar raort à la oston d éulbre rerésentée comme sut: :est aelée la constante de rael. La valeur = corresond à la oston d éulbre du système caractérsée ar :
Méthodes de calculs : Le calcul de l éuaton du mouvement our un système conservatf eut être détermné ar tros méthodes : Prnce de la conservaton d énerge totale : T c La lo dynamue de Newton: dt Cons tante dt n Méthode de Lagrange-uler: On défnt la fonctonnelle L(, ) comme sut et on alue le rnce de mondre acton: F m a
Il exste deux tyes d éulbre: Fgure 6.: ulbre stable Fgure 7.: ulbre nstable
On rend deux exemles our élucder les méthodes de calcul des éuatons du mouvement: Fgure 8. : Pendule smle-ressort
Méthode : Conservaton de l énerge totale: Pour le endule smle : Fgue 8.-A: Le vecteur de oston s exrme comme sut om x y l sn l cos v x l cos y l sn D où v x y l L énerge cnétue s écrt : Pour l énerge otentelle on a: c mv mgl ml cos Alors, l énerge totale du système s écrt: T c ml mgl cos
n aluant le rnce de conservaton de l énerge totale our un système conservatf ; on a: d T dt d dt ml mgl cos D où ml mgl sn l g sn On obtent alors l éuaton dfférentelle our des ettes oscllatons comme sut : g l avec sn
Méthode : la lo de dynamue de Newton: Pour le ressort ; (fgure 8.-b): on alue la lo dynamue de newton : Fgure 9, : tat du système n ulbre n Mouvement
n aluant les dfférentes forces au système ; on obtent : F ma n rojecton sur l axe Ox; on obtent: mg k( x x) mx mg kx kx mx Fnalement l éuaton dfférentelle du mouvement our des ettes oscllatons s écrt: k x m
Méthode 3: La lo de Lagrange: Dans le cas d un système dt conservatf, on a les forces dérvent d un otentel, On défnt la fonctonnelle L aelé le Lagrangen du système comme sut: L(, ) c On défnt l acton du système comme la sommaton, entre l ntervalle du tems, t, t le long du trajet du système, de la dfférence entre l'énerge cnétue et l'énerge otentelle. t t L(, )dt
La détermnaton du trajet se fat ar une méthode varatonnelle. Cette méthode aboutt aux éuatons d uler-lagrange u donnent des chemns sur lesuels l'acton est mnmale n aluant le rnce de mondre acton, On obtent l éuaton conservatf comme sut: d uler-lagrange our un système d dt L L ( ) ), n
L éuaton du mouvement our un système dssatf (non conservatf) eut être détermnée comme sut : Système en translaton : d L L ( ) ) F ext, n dt Où F ext sont les forces extéreures aluées au système Système en rotaton: d L L ( ) ) M ext, n dt M ext Où sont les moments extéreurs alués au système. Dans ce cas les forces ne dérvent as d un otentel
Ce u l faut retenr! La vbraton est un hénomène oscllatore d un cors en mouvement autour de sa oston d éulbre Le nombre de degrés de lberté le cas général n est défnt ar le nombre de mouvements ndéendants d un système hysue, Le, nombre n détermne le nombre d éuatons dfférentelles du mouvement Le calcul de l éuaton du mouvement our un système conservatf eut être détermné ar tros méthodes:. Le Prnce de conservaton de l énerge totale. La lo dynamue de Newton 3. Le Prnce de Lagrange