Universite Mohmmed V- Agdl Fculté des Sciences Déprtement de Mthémtiques Module Anlyse 2 Filières SM et SMIA Semestre 2 Hmz BOUJEMAA 1
Chpitre 1 Intégrle de Riemnn. On peut déterminer l surfce de certines formes géométriques élémentires comme le crré, le rectngle, le cercle...mis on peut imginer d'utres objets dont les contours sont moins hbituels pour lesquels les méthodes élémentires ne sont plus ecces. Une des motivtions pour introduire l'intégrtion des fonctions numériques à vleurs réelles est de répondre à cette question. Il fut se rendre compte d'une évidence: On ne peut mesurer que ce qui est mesurble. Pour le mthémticien, il s'gir lors de l'exposé sur l'intégrtion de bien dénir les fonctions qui seront intégrbles. Ceci ser fit pr étpes. On étudier d'bord les fonctions en esclier pour lesquelles les formes correspondntes sont des rectngles et pr conséquent forcément mesurbles. Ensuite, on élrgir l clsse de fonctions intégrbles ux fonctions monotones et ux fonctions continues en les pprochnt pr des fonctions en esclier. I. Intégrles de fonctions en esclier. Nous llons tout d'bord donner l dénition d'une subdivision ssociée à un intervlle fermé borné [, b]. Dénition: Une subdivision σ d'un intervlle I = [, b] est une suite nie strictement croissnte x 0 <... < x n d'éléments de I telle que x 0 = et x n = b. Exemple: On utiliser souvent l subdivision suivnte x 0 = et pour 1 i n, x i = + i (b ). n Ainsi, à chque subdivision σ, on n intervlles fermés bornés ssociés [x i, x i+1 ] pour 0 i n 1. On dénit lors le ps de l subdivision comme étnt h = sup 0 i n 1 (x i+1 x i ). Il est fcile de constter que, pour l'exemple précédent, le ps est b n. Sur l'ensemble des subdivisions, on introduit une reltion d'ordre: On dit qu'une subdivision σ est plus ne qu'une subdivision σ si tous les points de σ pprtiennent à σ. En d'utres termes, σ s'obtient de σ en joutnt d'utres points de l'intervlle I = [, b] et en ordonnnt l nouvelle fmille de points obtenue. De plus, à prtir de deux subdivisions σ et σ, on peut dénir une nouvelle subdivision σ σ qui est 2
l réunion de σ et de σ en prennt tous les points pprissnt dns σ ou dns σ puis en les rngent dns un ordre strictement croissnt. Nous pouvons à présent donner l dénition d'une fonction en esclier: Dénition: Une fonction f : I = [, b] IR est dite en esclier s'il existe une subdivision σ : x 0,..., x n de I telles que l restriction de f à ]x i, x i+1 [ soit une constnte c i pour 0 i n 1. On dit lors que l subdivision σ est ssociée à f. Remrques: 1- Il n'y ps de conditions portnt sur les vleurs que prend l fonction f ux diérents points x i pour 0 i n. 2- Si f est en esclier lors f ne prend qu'un nombre ni de vleurs. 3- Si σ est une subdivision ssociée à f lors toute subdivision σ plus ne que σ est églement ssociée à f. Exemple: L fonction f dénie pr f(x) = E[x], prtie entière de x, est une fonction en esclier sur tout intervlle fermé borné. Nous sommes à présent en mesure de dénir l'intégrle d'une fonction en esclier sur un intervlle I = [, b]. Dénition: L'intégrle d'une fonction en esclier sur I = [, b] est le réel noté I(f, σ) déni pr n 1 I(f, σ) = (x i+1 x i )c i. Proposition: I(f, σ) ne dépend ps de l subdivision ssociée σ. i=0 Démonstrtion: Si σ est une utre subdivision ssociée à f, plus ne que σ lors I(f, σ) = I(f, σ ). Il sut de remrquer que si ]x i, x i+1 [ est un intervlle ssocié à l subdivision σ lors il y une suite d'éléments x i1 <... < x ini de σ vec x i1 = x i, x ini = x i+1 et telle que [x i, x i+1 ] = [x i1, x i1 +1]... [x ini 1, x ini ]. Pr conséquent, si c i est l constnte ssociée à σ sur l'intervlle ]x i, x i+1 [ lors (x i+1 x i )c i = i ni 1 j=i 1 (x j+1 x j )c i. En remrqunt que f prend l même vleur c i sur tous les intervlles ]x i1, x i1 +1[,..., ]x ini 1, x ini [, puis en fisnt vrier i de 0 jusqu'à n 1 et en sommnt, on retrouve lors I(f, σ ). 3
Ensuite si σ et σ sont deux subdivisions quelconques de I = [, b], lors en considérnt σ = σ σ (σ est à l fois plus ne que σ et σ ) et en utilisnt ce qui précède, on obtient I(f, σ ) = I(f, σ) et I(f, σ ) = I(f, σ ) pr suite I(f, σ) = I(f, σ ). Nottion: On écrit lors I(f) = f(x)dx. Remrque: L'intégrle d'une fonction en esclier ne dépend ps des vleurs prises pr f ux points de l subdivision. Cs prticuliers: 1- Si f est l fonction constnte égle à 1 (suf en un nombre ni de points, lors f(x)dx = b. 2- Si f est l fonction identiquement nulle suf en un nombre ni de points, lors f(x)dx = 0. Propriétés: 1. Reltion de Chsles: Si c est un élément de I = [, b], < c < b, lors f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. 2. Linérité: Si f et g sont deux fonctions en esclier sur I et si λ et µ sont deux réels, lors l fonction λf + µg est en esclier sur I et on (λf(x) + µg(x))dx = λ f(x)dx + µ g(x)dx. Démonstrtion: Pour l première prtie, il sut de prtir d'une subdivision σ ssociée à f et de considérer l subdivision σ = σ {c}, σ est plus ne que σ et est ussi ssociée à f mis cette fois l'élément c fit prtie de l nouvelle subdivision. Pour le deuxième point de l propriété, λf + µg est clirement une fonction en esclier, cr si σ est ssociée à f et σ est ssociée à g lors σ σ est ssociée à l fonction λf + µg et l conclusion découle lors isément. 4
Pour clore ce prgrphe, nous llons fire quelques remrques qui nous seront utiles pour l suite. Remrques: 1. Si f est une fonction en esclier positive lors f(x)dx 0. 2. Si f et g sont deux fonctions en esclier sur I = [, b] vérint f g lors f(x)dx g(x)dx. 3. Si f est en esclier sur I lors f est en esclier sur I et on f(x)dx f(x) dx. 4. Si f est en esclier sur I et si k est un réel positif vérint f(x) k sur I lors f(x)dx k(b ). (On remrquer que si σ est ssociée à f lors l même subdivision σ est ssociée à f.) II. Intégrles de Riemnn. Dns ce qui suit, f désigne une fonction dénie sur un intervlle fermé borné I = [, b] et à vleurs réelles. Dénition: On dit que f est intégrble u sens de Riemnn si pour tout réel ε > 0, il existe deux fonctions en esclier g et h sur I vérint g f h et (h g)(x)dx ɛ. Il est utile de noter que si f est une fonction intégrble sur I lors f est bornée. Pour dénir l'intégrle d'une fonction intégrble f, on note E l'ensemble des fonctions en esclier ϕ vérint ϕ(x) f(x) x I, et E + l'ensemble des fonctions en esclier ψ vérint ψ(x) f(x) x I. De même, on note A = { ϕ(x)dx, ϕ E } et A + = { ψ(x)dx, ψ E + }. f étnt bornée, les prties A + et A sont non vides. De plus, tout élément de A + est un mjornt de A et tout élément de A est un minornt de A +. 5
Posons α = supa, et β = infa +, lors on α = β. En eet, l'hypothèse α < β signierit que pour tout couple de fonctions en esclier ϕ et ψ telles que ϕ f ψ, on urit (ψ ϕ)(x)dx (β α) et f ne serit ps intégrble. Inversement, si les deux prties A et A + sont telles que supa =infa + lors on peut étblir en utilisnt l propriété crctéristique de l borne supérieure et celle de l borne inférieure que ε > 0, u E, et v E +, Nous vons obtenu le théorème suivnt: (v u)(x)dx < ε. Théorème: Soit f : I = [, b] IR une fonction bornée, E, E +, A et A + étnt dénies comme précédemment, on note I (f) =supa et I + (f) =infa +. f est intégrble si et seulement si I (f) = I + (f). Nous sommes à présent en mesure de dénir l'intégrle d'une fonction intégrble: Dénition: f(x)dx = I (f) = I + (f). lors Conséquence immédite: Si f : [, b] IR est une fonction intégrble et positive f(x)dx 0. Proposition: Les fonctions monotones sur I = [, b] sont intégrbles. Démonstrtion: Soit ζ une fonction monotone sur I. On suppose pr exemple que ζ est décroissnte et on choisit l subdivision donnée pr x 0 = et x i = + i b pour n 1 i n. On note M i l limite à droite de ζ en x i pour 0 i n 1 et m i l limite à guche de ζ en x j pour 1 i n. On considère les deux fonctions en esclier g et h dénies pr g(x) = m i+1 et h(x) = M i pour x ]x i, x i+1 [, 0 i n 1. 6
On rppelle que les vleurs prises pr g et celles prises pr h ux points x i de l subdivision n'ont ps d'importnce pour l suite. On lors g ζ h et et pr suite g(x)dx = n 1 i=0 b n m i+1 et h(x)dx = n 1 i=0 b n M i (h g)(x)dx b n (M 0 m n ) Proposition: Les fonctions continues sur un intervlle fermé borné I = [, b] sont intégrbles sur I. Démonstrtion: On rppelle que si f est continue sur [, b] lors f est uniformément continue sur [, b]. En d'utres termes ε > 0 η > 0 x x < η f(x) f(x ) < ε On précise que η ne dépend ni de x ni de x. Pour l subdivision de [, b] donnée pr x i = + i b n, on dénit sur ]x i, x i+1 [ pour 0 i < n 1, les deux fonctions en esclier h et g suivntes: g(x) = f(x i ) ε et h(x) = f(x i ) + ε. Il est fcile de voir que g et h sont deux fonctions en esclier sur [, b] qui vérient à prtir d'un certin rng convenble n, g f h et (h g)(x)dx = 2ε(b ). Pr suite, f est intégrble. Sommes de Riemnn: Lors de l démonstrtion du résultt précédent nous vons obtenu l conséquence suivnte: Proposition: Soit f une fonction continue sur [, b], lors l suite (u n ) n dénie pr Exemples: n f( + i b u n = ) n (b ) tend vers i=1 n 1. 2. n k=1 n k=1 k n 2 tend vers k 2 tend vers n3 1 0 1 0 x dx. x 2 dx. f(x)dx. Remrque: L clsse des fonctions continues ser pr l suite étendue à une clsse plus lrge formée pr les fonctions dites réglées. 7
A ce stde, il serit utile de donner un exemple d'une fonction non intégrble. L fonction dite "indictrice des rtionnels" qui vut 1 en tout nombre rtionnel et 0 en tout nombre réel non rtionnel est non intégrble sur tout intervlle [, b] vec < b. En eet, il n'est ps possible pour cette fonction de trouver deux fonctions en esclier g et h qui vérient g f h vec (h g)(x)dx < ε, ε > 0, cr l densité de IQ dns IR impliquer que forcément on g(x) 0; et h(x) 1 x [, b] et donc on ur (h g)(x)dx (b ). Avnt d'étendre les propriétés des intégrles étblies pour les fonctions en esclier ux fonctions intégrbles, nous llons donner une crctéristion des fonctions intégrbles qui fciliter les démonstrtions. Proposition: f est intégrble si et seulement si il existe deux suites de fonctions en esclier (ϕ n ) et (θ n ) telles que 0 (f ϕ n ) θ n et θ n (x)dx 0 lorsque n +. Démonstrtion: Si f est intégrble, lors en prennt ε = 1, on deux suites de fonctions n en esclier g n et h n qui vérient g n f h n vec (h n g n )(x)dx < 1 n, on pose lors ϕ n = g n et θ n = h n g n. Inversement, pour ε > 0, on choisit N entier tel que 1 N < ε, et on considère lors ϕ N et θ N et on pose g = ϕ N et h = θ N + ϕ N. g et h conviennent. Conséquence: En eet, il sut d'écrire 0 f(x)dx = lim n + ϕ n (x)dx. f(x)dx ϕ n (x)dx θ n (x)dx. L propriété de linérité et l reltion de Chsles s'étendent ux fonctions intégrbles: 8
Propriétés: 1. Si f et g sont deux fonctions intégrbles, lors (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx. 2. Si f est une fonction intégrble et si λ st un réel quelconque, lors λf(x)dx = λ f(x)dx. Démonstrtion: On sit qu'il existe deux suites de fonctions en esclier (ϕ n ) n et (θ n ) n telles que 0 f ϕ n θ n et θ n (x)dx tend vers 0, et deux utres suites de fonctions en esclier (ϕ n) n et (θ n) n telles que 0 g ϕ n θ n et θ n(x)dx tend vers 0. L fonction f + g est clirement intégrble et les deux suites (ϕ n + ϕ n) n et (θ n + θ n) n sont telles que: 0 f + g (ϕ n + ϕ n) θ n + θ n et (θ n + θ n)(x)dx tend vers 0, Mintennt, si λ est un réel donné, on peut supposer que λ > 0, il est fcile de se convincre que les deux suites (λϕ n ) n et (λθ n ) n conviennent pour l fonction λf et l propriété 2 découle lors de l même propriété mis cette fois pour les fonctions en esclier. Reltion de Chsles: Si f est une fonction intégrble sur I lors pour tout réel c vérint < c < b, on f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. Démonstrtion: Si (ϕ n ) n et (θ n ) n sont deux suites ssociées à f, lors chque élément de ces suites vérie l reltion de Chsles. Puisque c ϕ n(x)dx tend vers c f(x)dx, b c ϕ n(x)dx tend vers c f(x)dx, ϕ n(x)dx tend vers f(x)dx et que ϕ n (x)dx = c l même églité résulter pour les limites. ϕ n (x)dx + c ϕ n (x)dx, Autres remrques: 1. Si f et g sont deux fonctions intégrbles qui vérient f g suf en un nombre ni de points, lors f(x)dx g(x)dx. 2. Si f et g sont deux fonctions intégrbles qui ne dièrent qu'en un nombre ni de points lors f(x)dx = g(x)dx. 9
Disons simplement qu'on écrit l reltion de Chsles près voir susmment divisé l'intervlle [, b] ( en chque point où f et g dièrent) et de se rendre compte que sur chque intervlle f et g sont lors égles (ou f g selon le cs) suf peut être ux extrémités, mis lors les vleurs prises pr les fonctions en esclier correspondntes en ces extrémités n'ont ps d'importnce qunt ux vleurs des intégrles. Un résultt un peu plus technique est donné pr le théorème suivnt: Théorème: Si f est une fonction continue positive vérint f(x)dx = 0 lors f est l fonction identiquement nulle. Démonstrtion: Risonnons pr l'bsurde et supposons qu'il existe x 0 [, b] tel que f(x 0 ) > 0. f étnt continue en x 0, il existe lors un intervlle centré en x 0 de l forme ]x 0 δ, x 0 + δ[ [, b] tel que f(x) f(x 0) et pr suite 2 Ce qui est bsurde. f(x)dx x0 +δ x 0 δ f(x)dx > δf(x 0 ). Remrque: On pourr plus trd étblir ce résultt de fçon plus simple en utilisnt une primitive de f. En considérnt les vleurs bsolues, on le résultt suivnt: Proposition: Si f est intégrble sur I = [, b], lors f est intégrble sur [, b] et on f(x)dx f(x) dx. Démonstrtion: Notons (ϕ n ) n et (θ n ) n deux suites de fonctions en esclier ssociées à f, il est lors isé de vérier qu'on f ϕ n f ϕ n θ n. ϕ n étnt ussi une fonction en esclier, ceci prouve que f est intégrble. D'utre prt, puisque ϕ n (x)dx ϕ n (x) dx lors pr pssge à l limite, on obtient f(x)dx f(x) dx. Corollire: Si f et g sont deux fonctions intégrbles sur [, b] lors les deux fonctions sup(f, g) et inf(f, g) sont églement intégrbles sur [, b]. 10
Pour cel il sut de se rppeler les formules sup(f(x), g(x)) = 1 2 (f(x)+g(x)+ (g f)(x) ) et inf(f(x), g(x)) = 1 2 (f(x)+g(x) (g f)(x) ). Autre conséquence: S'il existe un réel k positif vérint f(x) k x [, b] lors f(x)dx k(b ). En prticulier, on f(x)dx [sup x [,b] f(x) ](b ). III. Inéglité de Schwrz, inéglité de Minkowski. Proposition: Si f et g sont deux fonctions intégrbles sur [, b] lors leur produit fg est ussi intégrble sur [, b]. Démonstrtion: A prtir de deux suites de fonctions en esclier (ϕ n ) n et (θ n ) n ssociées à f et de deux utres suites de fonctions en esclier (ϕ n) n et (θ n) n ssociées à g et si on note α =sup x I g(x) et β =sup x I ϕ n (x), on (fg ϕ n ϕ n)(x) = (f ϕ n )(x)g(x) + ϕ n (x)(g ϕ n)(x) αθ n (x) + βθ n(x). αθ n + βθ n étnt une fonction en esclier qui vérie les bonnes propriétés. Il est lors isé de déduire deux suites de fonctions en esclier qui correspondent à l fonction f g. On donc le résultt. on Inéglité de Schwrz: Si f et g sont deux fonctions intégrbles réelles ou complexes (fg)(x)dx 2 ( f(x) 2 dx)( g(x) 2 dx). Inéglité de Minkowski: Sous les mêmes hypothèses, on ( (f + g)(x) 2 dx) 1/2 ( f(x) 2 dx) 1/2 + ( g(x) 2 dx) 1/2. Démonstrtion: Remrquons qu'il sut de le démontrer pour les fonctions positives. Pour tout réel λ, on peut écrire: (f(x) + λg(x)) 2 dx = λ 2 (g(x)) 2 dx + 2λ (fg)(x)dx + 11 (f(x)) 2 dx 0.
On reconnit une expression du second degré qui grde un signe constnt. Pr conséquent, le discriminnt doit être négtif ou nul, ce qui conduit à l'inéglité de Schwrz. L seconde inéglité se déduit de l première: (f(x) + g(x)) 2 dx = (f(x)) 2 dx + (f(x)) 2 dx + (g(x)) 2 dx + 2( (g(x)) 2 dx + 2 [( f(x) 2 dx) 1/2 + ( (fg)(x)dx f(x) 2 dx) 1/2 ( g(x) 2 dx) 1/2 ] 2. g(x) 2 dx) 1/2 Remrque: Ces inéglités deviennent des églités lorsque f (ou g) est nulle ou bien lorsque f et g sont proportionnelles. C'est à dire qu'il existe un réel k pour lequel g(x) = kf(x) x I. Avnt de psser ux primitives et u clcul de certines d'entre elles, nous llons fire des remrques nles qunt ux fonctions intégrbles. En plus des fonctions en esclier, des fonctions monotones et des fonctions continues, il y une clsse plus lrge de fonctions intégrbles constituée pr les fonctions dites réglées. Ce sont les fonctions qui peuvent être pprochées uniformément pr des fonctions en esclier, ou utrement dit, ce sont les fonctions qui sont limite uniforme de fonctions en esclier. Les fonctions continues ont cette propriété. Mis on se grder de croire que les fonctions intégrbles sont les fonctions réglées. En eet, il s'vère que les fonctions réglées dmettent toutes une limite à droite et une limite à guche en tout point de I = [, b] et le contre exemple suivnt donne une fonction intégrble mis non réglée. f(x) = sin 1 x si x ]0, 1], et f(0) = 0. On peut lors montrer que f n'dmet ps de limite à droite de 0 mis que f est tout de même intégrble sur [0, 1]. IV. Formules de l moyenne: Nous llons étblir deux formules dites de l moyenne. L seconde formule, qui est plus dicile à démontrer, ser utilisée u chpitre suivnt pour étblir l règle d'abel. 12
Première formule de l moyenne: f et g étnt deux fonctions intégrbles sur [, b]. On suppose de plus que g est positive sur [, b]. Si on note m = inf x [,b] f(x), etm = sup x [,b] f(x) lors on m g(x)dx f(x)g(x)dx M g(x)dx. Si de plus f est continue sur [, b], il existe c [, b] tel que f(x)g(x)dx = f(c) g(x)dx. Démonstrtion: Pour le premier point, il sut de prtir de l double inéglité mg(x) f(x)g(x) Mg(x) et de psser ux intégrles. Le deuxième point est une conséquence du théorème de l vleur intermédiire. On considère l fonction F dénie pr F (x = f(x) g(x)dx. D'près le premier point, f(x)g(x)dx est une vleur intermédiire pour l fonctin F. On en déduit l'existence d'un élément c [, b] vérint les bonnes conclusions. Deuxième formule de l moyenne: Soient f et g deux fonctions intégrbles sur [, b], on suppose que f est positive et décroissnte sur [, b] et on note f(+) l limite à droite de f en. Alors il existe un point c [, b] tel que c f(x)g(x)dx = f(+) g(x)dx. Remrque: Si f est continue sur [, b], lors f(+) = f(). Démonstrtion: On procède en deux étpes. Supposons d'bord l fonction f en esclier, il existe donc une subdivision x 0 < x 1 <... < x n de [, b] et des constntes c 1,..., c n telles que f(x) = c i, x ]x i 1, x i [, pour 1 i n. Notons G(t) = t g(x)dx, 13
on v montrer que f(x)g(x)dx est une vleur intermédiire pour l fonction H(t) = f(+)g(t). On n f(x)g(x)dx = c i [G(x i ) G(x i 1 )]. i=1 L'idée est de fctoriser non ps pr les c i mis pr les G(x i ). On peut écrire: n n 1 c i [G(x i ) G(x i 1 )] = G(x i )(c i c i+1 ) + c n G(x n ) c 1 G(x 0 ). i=1 i=1 Si on note m et M respectivement l'inf et le sup de l fonction G sur [, b], lors n mc 1 c i [G(x i ) G(x i 1 )] Mc 1. i=1 c 1 étnt bien entendu l limite à droite de f en. Nous vons donc bien prouvé que f(x)g(x)dx est une vleur intermédiire de l fonction H. L conclusion découle isément. Mintennt, si f n'est ps en esclier, on considère l subdivision usuelle de [, b], x i = + i b n pour 0 i n et les deux fonctions en esclier h n et f n dénies pr h n (x) = f(x i ), f n (x) = f(x i+1 ) si x ]x i, x i+1 [. Nous llons étblir que h n(x)g(x)dx tend vers f(x)g(x)dx, et le fit que f(x)dx soit une vleur intermédiire résulter de l même propriété pour h n qui est cette fois-ci en esclier. Plus précisément, on : f n f h n, et pr suite (f f n )(x)dx (h n f n )(x)dx = b n (f() f(b)) Si on note k un mjornt de g sur [, b], lors [f(x)g(x) f n (x)g(x)]dx k (f f n )(x)dx k b (f() f(b)). n L limite à droite de pour l fonction f n étnt égle à l limite à droite de pour l fonction f, pr pssge à l limite, on ur bien mf(+) f(x)g(x)dx Mf(+). V. Primitive de fonctions intégrbles. 14
Convention: On pose b f(x)dx = f(x)dx si b <. Pour toute fonction f intégrble sur [, b], on considère l'ppliction F dénie pr F (t) = t f(x)dx. Clirement, on F (v) F (u) = v u f(x)dx et F vérie les propriétés suivntes: Propriétés: 1. Si f est intégrble lors F est continue cr lipschitzienne de rpport k = sup x b f(x). De plus, F dmet une dérivée à droite et une dérivée à guche en tout point où f dmet une limite. Démonstrtion: L première prtie ne pose ps de problème. volet, on note l l limite à droite (pr exemple) en u de f, on lors: Pour le deuxième F (u + h) F (u) l = h u+h u (f(x) l)dx ε, h si h est susmment petit. Ce qui montre que F est dérivble à droite de u et de nombre dérivé à droite l. Le cs à guche se trite de l même mnière. Corollire: Si f est continue sur [, b] lors F est dérivble en tout point de [, b] et pour tout x [, b], on F (x) = f(x). Dénition: On ppelle primitive de f sur [, b] toute fonction F dénie sur [, b] et vérint F (x) = f(x) x [, b]. Nous sommes en mesure d'énoncer le théorème suivnt: Théorème: Si f est continue lors F dénie pr F (t) = t f(x)dx est une primitive de f sur [, b] et si G est une utre primitive de f on f(x)dx = G(b) G(). Démonstrtion: Si G est une utre primitive de f, on F (x) = G (x) et donc F (x) G(x) = c constnte. Pr suite, F (b) G(b) = F () G(). Remrque: Si f dmet une dérivée f continue on f(b) f() = 15 f (x)dx
et s'il existe une constnte k 0 vérint f (x) k x [, b] lors f(b) f() k b. Nottions: Toute primitive G de f est notée G(x) = f(x)dx, et on écrit ussi [G(x)] b = G(b) G(). Exemples: e x dx = 1 dx ex + c, = ln x + c. x Pour n 1, (x ) n dx = 1 n + 1 (x )n+1 + c. dx x 2 + m 2 = 1 m rctn x m + c. VI. Chngement de vrible et intégrtion pr prties. 1. Chngement de vrible dns l'intégrle. Proposition: Soit ϕ une ppliction dénie sur un intervlle I = [, b] de clsse C 1 lors ϕ(i) est un intervlle fermé borné et pour toute fonction f dénie et continue sur ϕ(i) on ϕ(b) ϕ() f(x)dx = Démonstrtion: Soit F l fonction dénie pr t et G celle dénie pr G(t) = t ϕ(t) ϕ() f ϕ(x)ϕ (x)dx. f(x)dx f ϕ(x)ϕ (x)dx, on F (t) = f(ϕ(t))ϕ (t) et G (t) = f(ϕ(t))ϕ (t), pr suite F et G ont même dérivée. De plus, on F () = G() et donc F (x) = G(x) pour tout x [, b], en prticulier pour x = b. Applictions: dt tln(t) = ln( lnt ) + c peut s'obtenir en considérnt l fonction ϕ dénie pr ϕ(t) = ln(t). 16
peut s'obtenir en posnt ϕ(t) = e t. dt ch(t) = 2dt e t + e t On peut montrer grâce u chngement de vrible ϕ(t) = 1/t que s'obtient en posnt ϕ(t) = f(t). > 0, 1/ ln t dt = 0. 1 + t2 f (t) dt = Arc tn(f(t)) + c 1 + f 2 (t) Grâce à l formule de chngement de vrible, on peut étblir que si f est une fonction pire, respectivement impire, dénie sur un intervlle de l forme [, ] lors f(x)dx = 2 0 f(x)dx, respectivement f(x)dx = 0. 2. Formule d'intégrtion pr prties. Si f et g sont deux fonctions de clsse C 1 sur I = [, b] il est fcile d'étblir l formule f (x)g(x)dx = [f(x)g(x)] b f(x)g (x)dx. Exemples: Pour voir lnx dx, on pose f(x) = x et g(x) = lnx; on donc f (x) = 1 et g (x) = 1 x insi lnxdx = xlnx dx = xlnx x + c. (sinx)e x dx s'obtient en eectunt deux intégrtions pr prties successives. VII. Quelques méthodes de recherche de primitives. 1. Intégrtion des frctions rtionnelles: 17
Nous llons donner à présent une méthode générle pour trouver une primitive d'une frction rtionnelle donnée. Soit donc R une frction rtionnelle, on note R(x) = P (x) Q(x), P et Q étnt deux polynômes de degrés respectifs n et m. On sit que Q(x) peut être fctorisé de l mnière suivnte (selon le nombre de rcines réelles et de rcines complexes) Q(x) = π p i=1(x i ) k i π q j=1(x 2 + b j x + c j ) l j. Le théorème de décomposition d'une frction rtionnelle en éléments simples permet d'écrire R sous l forme p k i l α k q j R(x) = E(x) + ( i=1 k=1 (x i ) ) + β l x l + γ l ( k j=1 l=1 (x 2 + b j x + c j ) ). l où E est un polynôme de degré n m (vec l convention que le polynôme est nul si son degré est négtif.) Nous voyons donc qu'il sut d'être cpble de déterminer des primitives pour les frctions rtionnelles de l forme où r et s sont des entiers nturels. dx (x ) r, et βx + γ (x 2 + bx + c) s dx, Le premier type d'intégrle ne pose ucun problème. Pour le second, nous llons d'bord détiller l méthode dns le cs s = 1 puis nous le ferons dns le cs générl. On écrit x 2 + bx + c sous s forme cnonique x 2 + bx + c = (x + b 2 )2 + c b2 puis on fit le 4 chngement de vrible X = x + b 2. Selon les hypothèses, c b2 4 est strictement positif, on peut en introduisnt une nouvelle vrible Y rmener l frction initile à l forme AY + B Y 2 + 1. Pour cette dernière, on l sépre en deux expressions AY Y 2 + 1, B Y 2 + 1. L première dmet une primitive de l forme (A/2)ln(Y 2 + 1). Qunt à l seconde, on besoin de l fonction rctngente. 18
Lorsque s > 1, on fit le même trvil qui nous conduit ici ussi ux deux formes suivntes AY (Y 2 + 1) s, B (Y 2 + 1) s. L première ne pose ps de problème prticulier lors que pour l seconde, nous vons besoin d'étblir grâce à l formule d'intégrtion pr prtie une reltion de récurrence entre I n = dx (x 2 + 1), n et I n+1 = Il est fcile d'obtenir l reltion suivnte pour n 1 I n+1 = 1 + 2n 2n I n 1 2n dx (x 2 + 1) n+1. x (x 2 + 1), n vec I 1 = rctn x. Nous llons étudier quelques exemples d'ppliction. Exemple 1. Pour déterminer dx (x + 1)(x 2 + x + 1), on décompose d'bord en éléments simples. Pour cel, on écrit 1 (x + 1)(x 2 + x + 1) = x + 1 + bx + c x 2 + x + 1. Il y plusieurs fçons de déterminer, dns chque cs, les constntes. Bien évidemment l méthode de l'identiction convient mis il est utile de chercher directement les constntes soit en remplçnt x pr une vleur bien choisie soit en multiplint les deux membres de l'églité précédente pr une certine expression (souvent le dénominteur correspondnt) vnt de donner à une x une vleur déqute. Pr exemple, dns ce cs, pour trouver, on multiplie les deux membres pr x + 1 puis on donne à x l vleur 1. Ensuite, pour trouver b, on peut multiplier les deux membres pr x et on fit tendre x vers + et enn pour c, on peut donner à x l vleur 0. On trouve lors On déduit et Finlement, on obtient 1 (x + 1)(x 2 + x + 1) = 1 x + 1 + x x 2 + x + 1. x x 2 + x + 1 dx = 1 2 1 dx = ln x + 1 + K x + 1 2x + 1 3 x 2 + x + 1 dx + 3 dx (x + 1)(x 2 + x + 1) = ln x + 1 1 2 ln(x2 + x + 1) + 19 2 3 1 + [ 2 3 (x + 1 dx. )]2 2 3 3 rctn( 2 (x + 1 )) + K. 3 2
Pour trouver b et c, on peut ussi donner à x une vleur complexe solution de x 2 +x+1 = 0 près voir multiplié les deux membres pr x 2 + x + 1. Ceci est légitime cr l décomposition d'une frction rtionnelle en éléments simples est vlble sur IC. Exemple 2. On décompose en éléments simples dx (x + 1) 2 (x 2 + 1) 2 1 (x + 1) 2 (x 2 + 1) 2 = x + 1 + b (x + 1) 2 + cx + d x 2 + 1 + ex + f (x 2 + 1) 2. Pour obtenir b, on multiplie les deux memnbres pr (x + 1) 2 puis on donne à x l vleur 1. Ceci conduit à b = 1/4. Ensuite, pour voir e et f et compte tenu du fit que l décomposition dns IR résulte de l décomposition dns IC, on multiplie pr (x 2 + 1) 2 et on remplce x pr i. L'identiction des prties réelle et imginire conduit à e = 1/2 et f = 0. On obtient l reltion + c = 0 en multiplint pr x et enfisnt tendre x vers +. Enn en donnnt à x les vleurs 0 puis 1, on deux églités dditionnelles + b + d + f = 1 et 8 + 4b + 8c + 8d + 4e + 4f = 1. On déduit de tout ce qui précède et pr conséquent, = 1/2, b = 1/4, c = 1/2, d = 1/4, e = 1/2 et f = 0. 1 (x + 1) 2 (x 2 + 1) = 1/2 2 x + 1 + 1/4 ( 1/2)x + 1/4 + + (1/2)x (x + 1) 2 x 2 + 1 (x 2 + 1). 2 D'où enn, 1 (x + 1) 2 (x 2 + 1) 2 = 1 2 ln x+1 1 4 (x+1) 1 1 4 ln(x2 +1)+ 1 4 rctn x+ 1 4 (x2 +1) 1 +K. 2. Frctions rtionnelles trigonométriques: Il s'git des primitives de l forme R(sin θ, co θ)dθ, où R est une frction rtionnelle à deux vribles. Dns ce cs, le chngement de vrible t = tn(θ/2) permet de rmener l recherche d'une primitive d'une frction rtionnelle trigonométrique à une primitive d'une frction rtionnelle à lquelle s'ppliquer l méthode ci-dessus. Notons que si t = tn(θ/2), lors on les reltions suivntes cos(θ) = 1 t2 2t 2dt, sin(θ) =, et dx = 1 + t2 1 + t2 1 + t. 2 20
Exemple: Pour clculer on pose donc t = tn(θ/2), et on obtient dt 2 t 2 = 1 2 2 [ Après intégrtion, on dθ 1 + 3cos(θ), dt + 2 t dt 2 + t ]. dθ 1 + 3cos(θ) = 1 2 + t 2 2 ln + K. 2 t Il y certins cs prticuliers de frctions rtionnellles trigonométriques pour lesquelles des chngements de vrible dptés permettent l'obtention de primitives plus rpidement. Pr exemple, lorsque R est une fonction impire, le chngement de vribles t = cos(θ) est bien dpté. 3. Autres types de primitive. Pour l forme R(x, x 2 + bx + c)dx, on trnsforme l'expression x 2 +bx+c sous l forme α(x 2 +A 2 ), α(x 2 A 2 ) ou α(a 2 X 2 ) (vec α > 0) selon le signe de b 2 4c. On utilise lors pour chngement de vrible l fonction sh, ch, sin ou cos selon le cs. Bien évidemment, les reltions sin 2 x + cos 2 x = 1, ch 2 x sh 2 x = 1 permettront de se débrsser de l rcine crrée et de rmener l question à l recherche de primitive d'une frction rtionnelle. Exemples: Pour clculer 1 x2 dx, on pose x = cos(t) qui conduit à (en supposnt sin(t) positif) [sin(t)] 2 dt = sin(2t) t 4 2 + K = x 1 x2 1 Arc cos(x) + K. 2 2 Pour clculer 1 + x2 dx, on pose x = sh(t) qui conduit à ch(2t) + 1 [ch(t)] 2 dt = dt = sh(2t) 2 4 + t 2 + K = 1 2 x x 2 + 1 + 1 Arg sh(x) + K. 2 21