AL1 Complexes Séance de TD - Corrigés des exercices -

AL1 Complexes Séance de TD - Corrgés des exercces - 1 QCM GI FA 01 Test calcul et rotaton GI FA 015 Test 1 Complexes et rotaton GI FC186 015 Test Complexes et cercle 5 GI FC18/6 01 Test - Complexes et géométre 5 6 GI FA 015 Test Complexes et géométre 6 7 GI FA 01 Test 1 nverson de cercle 7 8 GI FC 01 Test complexe de fonctons 9 9 GI FC 015 - Test cube 11 10 GI FA 01 Test - Lnéarsaton 11 11 GI FA 011 Test 1 Euler et équaton trgonométrque 1 1 GI FA 015 Test trnôme à coeffcents complexes 1 1 GIN FA 01 Test 1 trnôme à coeffcents complexes 1 1 GI FA 01 Test 1 Polynôme, formes, rotaton 1 15 GI FA 01 Test 1 polynôme de degré 15 Page 1 sur 16 AL1 - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 016

1 QCM 1) Le module du nombre complexe - est : 5 7 11 1 ) Le module du nombre complexe a + a (a postf) est : a a a a ) L argument du nombre complexe - + est : ) La dfférence entre les arguments des nombres complexes 1 + et 1 + vaut : 0 1 6 e 5) L écrture cartésenne de est : 1-1 - 6) Le nombre complexe peut s écrre : e.e e 7) Soent deux nombres complexes conjugués ; leur produt est :.e nul égal à 1 un réel postf un magnare pur 8) La dvson d un nombre complexe d argument par son conjugué a pour résultat : 1-1 - 9) Sot le nombre complexe = a + b. Le module et l argument de e sont : a et b e a et b a et e b e a et e b 10) La dvson du nombre complexe 1 + par le complexe a pour résultat : 1 - -1 + - + 11) Soent deux nombres complexes conjugués ; leur produt est : nul de module 1 un réel postf un magnare pur 1) Les deux nombres complexes θ ρe et ρe θ : sont conjugués sont opposés ont une somme magnare pure ont le même carré GI FA 01 Test calcul et rotaton On se place dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal ( O; u, v) Soent les ponts A et B d affxes respectves : A = 1et B =. On consdère la foncton f de C dans C défne par : f ( ) = + 1 Pour alléger les écrtures, on notera = f ( ) On assoce au vecteur MM l'affxe., drect. Page sur 16 AL1 - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 016

1) Placer A et B sur une fgure que l on complètera au fur et à mesure de l exercce. ) Dans cette queston, on consdère un pont M, dfférent de A, donc d affxe 1. 1 a. Détermner le complexe Z =. 1 1 ( 1) Z = = = = 1 1 1 b. Détermner le module Z et un argument arg(z) de Z. Z = = 1 ; arg ( Z ) = arg ( ) = c. Exprmer l'affxe de AM en foncton de celle deam = = et = = 1 AM A AM Donc =. = e d'où ( AM, AM AM AM AM ) = d. En dédure la nature de la foncton f. A. En dédure l angle ( AM, AM ) La foncton f est la rotaton de centre A et d angle (donc de sens drect).. ) a. Calculer f ( A ). Remarque? f ( ) 1 1 1 A = + = =. On vot effectvement que le pont A est nvarant par cette rotaton, pusqu l en est le centre. A b. Calculer f ( B ) et placer sur la fgure le pont B' d'affxe ( B ) f ( ) = ( ) + = + B 1 f. ) Sot C le pont dont l mage par la foncton f est le pont C d affxe C =. Détermner, par le calcul, l affxe C du pont C. Placer C et C' sur la fgure. Deux façons de fare : * avec les écrtures cartésennes et la défnton de f : C = f ( C ) = C + 1. En multplant les deux membres par : C = C + + 1, d où C = C + + 1 = ( ) + + 1 = + Page sur 16 AL1 - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 016

* en utlsant la rotaton : C est l mage de C par la rotaton de centre A et d angle, d où C A ( C A ) C C = e 1 = 1 = + = + GI FA 015 Test 1 Complexes et rotaton On donne les nombres complexes 1 = 1 et = e. 1) Donner l écrture exponentelle de 1 et l écrture cartésenne de. 1 1 1 = = cos + sn =.e 1 = e = cos + sn = + ) Sot, dans un repère orthonormé d orgne O, le pont A d affxe 1. a. Détermner, à l ade des nombres complexes, les coordonnées exactes du pont B, mage de A par la rotaton de centre O et d angle. 1 1 + 1 1 + 1 B = A.e = ( 1 ) + B, = + b. Sot le pont C de coordonnées (x, y) = (1, 1). Détermner, à l ade des nombres complexes, les coordonnées exactes du pont D, mage de A par la rotaton de centre C et d angle. D C = A C = + = + D = + + C = + + + 1.e (, ) 1 D 1 GI FC186 015 Test Complexes et cercle On consdère le plan complexe dans lequel tout pont M ( a, b ), de coordonnées réelles, est l mage du nombre complexe = a + b. On défnra le cercle C M, R comme le cercle de centre M et de rayon R. 1) Sot le nombre complexe = 1 +, dont l mage sera nommée M. a. Donner l écrture exponentelle de. 1 = 1 + = + = cos + sn = e b. Explquer pourquo tout pont du cercle C M, est l mage d un nombre complexe que l on peut écrre θ sous la forme e + e. Tout pont de ce cercle aurat un affxe égal à e θ s ce cercle état centré sur l orgne, mas l faut rajouter à cela les coordonnées du centre du cercle, tradutes par le nombre complexe e. c. Montrer, en utlsant l écrture précédente sous forme trgonométrque, que le pont N(, 0) θ appartent à C M,. En d autres termes : exste-t-l θ tel que e + e =? Page sur 16 AL1 - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 016

θ e + e = cos + cosθ + sn + snθ. Ce nombre complexe est égal à 1 s et seulement s : 1 cos + cosθ = 1 cosθ = θ =. En effet, N C M,. sn + snθ = 0 snθ = ) a. On effectue une rotaton du pont M autour du pont N et d angle Calculer les coordonnées cartésennes de P. (, ), aboutssant à un pont P. 1 1 P N = ( M N ) e = ( 1 + ) = + + + = 1 + = 1 + = + P P b. Montrer que le pont P appartent au cercle C M,. P M et P ont même ordonnée ; M a pour abscsse 1 et P a pour abscsse. La dstance MP vaut donc, ce qu justfe que P se trouve sur le cercle de centre M et de rayon. 5 GI FC18/6 01 Test - Complexes et géométre On consdère deux barres de même longueur L, attachées ensemble en un pont A. La barre [OA] est lée au pont O, fxe, orgne de notre repère, et peut tourner lbrement autour de ce pont (angle α ). La seconde barre, [AB], est lée à la premère au pont A et peut tourner lbrement autour de celu-c (angle β ). On consdérera, pour smplfer nos rasonnements à venr, que α est prs entre 0 et. O B β α A 1) Questons dverses a. Que remarque-t-on s β = α? b. Que remarque-t-on s β = α? c. S α est fxé, quelle est la one que peut parcourr B? ) Exemple numérque Prenons, unquement pour cette queston, L =, α = 6 et β =. a. Donner les coordonnées cartésennes du pont A. b. O étant l mage de B par rotaton de centre A et d angle β, détermner une relaton entre les affxes A et B des ponts A et B. c. En dédure les coordonnées cartésennes exactes du pont B. ) Vérfcaton de la réponse 1b Reprenons c le cas général : longueur L, angles α et β. a. Donner l écrture exponentelle du complexe A affxe du pont A. Page 5 sur 16 AL1 - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 016

b. O étant l mage de B par rotaton de centre A et d angle β, détermner une relaton entre les affxes A et B des ponts A et B et donc une expresson de B en foncton de A. c. Montrer alors que s β = α, alors B est magnare pur. 1) a. S α = β, alors [AB] est parallèle à l axe des abscsses. b. S β = α, alors [AB] fat avec l axe (Ox) le même angle que [OA] et B se trouve sur l axe des ordonnées. Plus rgoureusement : le trangle OAB est socèle en A, avec un angle AOB égal à qu vaut donc α c. Ans, l angle xob vaut xoa + AOB = : B est sur la dem-drote [Oy). c. S α est fxé, le pont B parcourt le cercle de centre A et de rayon L (donc contenant O). β, ) L =, α = 6 et β =. a. x A = cos 6 = et ya = sn 6 = 1. β β β β b. = A = ( B A ) A = B A B = A ( ) AO AB e e e 1 e B = A 1 e B = + 1 e = + 1 = + 1 + β c. B = 1 + + 1 B 1; + 1 ) Vérfcaton de la réponse 1b a. A Le α =. b. ( 1 e β B A ) =. α α α α c. sn B = Le 1 e = L e e = L α (formule d Euler). Effectvement, c est un magnare pur (le pont B est sur l axe des ordonnées).. 6 GI FA 015 Test Complexes et géométre Le plan complexe est rapporté à un repère ( O ; u, v ). À tout pont M d'affxe, une foncton f assoce le pont mage M' d'affxe =. Les questons suvantes sont ndépendantes. 1) Sot E le pont d'affxe. Montrer que le quadrlatère OMEM' est un parallélogramme s et seulement s : + = 0. En résolvant cette équaton, en dédure les coordonnées cartésennes et polares des ponts M vérfant cette proprété. ) Détermner l'ensemble des ponts M d'affxe pour lesquels ' est réel. ) Détermner l'ensemble des ponts M d'affxe tels que =. Page 6 sur 16 AL1 - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 016

1) OMEM' est un parallélogramme OM = M E = OM E M = = = + ME Donc OMEM parallélogramme Résolvons cette équaton : + = Mathématques AL1 - Complexes = OM M E + = 0 1 Dscrmnant : = d'où les solutons 1 = = Et les ponts M1 ; ou M ; 1 ρ = θ = 6 ) sot x y 1 et = + et M ; ou M ; ρ = θ = 6 = +. ' réel y ( x ) = 0 = x + y x + y = x y x + y x réel donc sot y = 0, c'est-à-dre est réel (soluton trvale), sot drote d'équaton x = (parallèle à Oy) ) = = = = =, d'où = 1 Les ponts M d'affxe décrvent le cercle de centre C(, 0) et de rayon 1 7 GI FA 01 Test 1 nverson de cercle Les questons 1,, et sont largement ndépendantes. C des complexes non nuls, on défnt la foncton f par : = 1 * Dans l ensemble f. On désgne par le conjugué de, par le module de, et enfn par le complexe de parte magnare postve tel que ² = -1. On nomme P le plan complexe assocé à l ensemble des nombres complexes. 1) a. Détermner tous les complexes vérfant f() =. 1 Arg( ) = = 1 e = 1 = 1etArg( ) = k = ± 1 b. Détermner tous les complexes vérfant f() =. 1 = = 1 = 1 = 1 = e c. Détermner le module et un argument de f() en foncton de ceux de. Sot = ρ e θ θ =. = et Arg = Arg ( ). 1 1 e ρ 1 1 1 d. Détermner les partes réelle et magnare de f() en foncton de celles de. 1 Sot = a + b. a b. Re a = = = et Im( ) = b a + b a + b a + b θ. Page 7 sur 16 AL1 - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 016

) a. Montrer que f() 1 = ( ) Mathématques AL1 - Complexes 1 1. En dédure que s 1 = 1, alors f() = f() 1. 1 1 1 1 = = ( 1 ) 1 1 f 1 = 1 = 1 et s 1 = 1, alors 1 1 = 1 = f ( ) Donc b. Dans le plan P (fgure page suvante), tracer l ensemble C des ponts représentant les complexes qu vérfent 1 = 1 (justfer brèvement). 1 est la dstance entre le pont M d affxe et le pont d affxe 1, c est à dre le pont (1,0). Dre que cette dstance vaut 1, c est dre que M est sur le cercle de centre (1, 0) et de rayon 1. C est ce cercle. ) Sot A le pont d affxe α = 1 + et B le pont d affxe β = 1 + e. a. Placer les ponts A et B dans le plan P. b. Vérfer par le calcul que α et β sont éléments de l ensemble C défn en queston. α 1 = = 1, donc A est élément de C. β 1 = e = 1, donc B est élément de C. c. Détermner les écrtures cartésennes des complexes f(α) et f(β) pus placer leurs ponts mages A et B dans le plan P. 1 1 1 1 f ( α ) = = = 1 + f ( β ) ( ) 1 1 1 1 = = = = = = 1 cos sn 1 1 6 1 e + + + + 1 + + ) Sot M un pont parcourant le cercle C de centre G(1, 0) et de rayon 1, horms l orgne du repère. On admet que son affxe M peut s écrre 1 + e θ, où θ parcourt l ntervalle ]-; [. 1 snθ a. Montrer que f( M ) =. 1 + cosθ 1 1 1 + cosθ snθ 1 + cosθ snθ 1 snθ f ( M ) = = = = = θ 1 + e 1 + cosθ + snθ 1 + cosθ 1 + cosθ ( 1 + cosθ ) + sn θ snθ b. Etuder la parté de et en dédure un domane d étude de cette foncton de θ. 1 + cosθ sn ( θ ) snθ =. Cette forme est donc mpare et peut être étudée sur [0; [. 1 + cos θ 1 + cosθ snθ c. Etuder les varatons de pus en dresser un tableau de varaton sur ]-; [. 1 + cosθ snθ On admettra, pour compléter ce tableau, que lm = ±. θ ±1 + cosθ Page 8 sur 16 AL1 - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 016

cosθ ( 1 cosθ ) ( 1 cosθ ) Mathématques AL1 - Complexes snθ cosθ 1 + cosθ snθ snθ 1 + 1 = 0 = = >. Cette forme est 1 + cosθ + + 1 + cosθ donc strctement crossante sur [0; [ (et on admet que sa lmte en est + ). Le fat que cette forme sot mpare nous autorse à dresser le tableau suvant : θ - 0 dérvée postve postve + forme 0 - d. Concluson : lorsque M parcourt le cercle C, détermner et tracer l ensemble décrt par les ponts M, mages des complexes f( M ). 1 1 snθ Rappelons que f ( M ) = =. Ces nombres complexes ont une parte réelle θ 1 + e 1 + cosθ constante égale à 0,5 et une parte magnare qu parcourt R tout enter. Les ponts correspondants forment donc toute la drote d équaton x = 1. y 8 GI FC 01 Test complexe de fonctons Sot deux fonctons f et g d expressons f(x) = cos(x) et g(x) = sn(x + ), pour lesquelles la varable x parcourt l ntervalle [0; ]. 1) Donner les valeurs exactes de f(x) et g(x) pour x = 0, pus x = et enfn x =. f (0) = cos(0) = ; f ( ) = cos( ) = 0 ; f () = cos() = - 5 g(0) = sn = ; g = sn = ; g() = sn = - Page 9 sur 16 AL1 - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 016

) Justfer que f est maxmale pour x = 0 et que g est maxmale pour x =. (on utlsera les résultats connus sur le snus et le cosnus, ou alors on pourra dérver f et g et étuder leurs varatons sur [0 ; ]). Avec les proprétés du snus et du cosnus : Un cosnus est maxmal s l argument cté vaut 0. Pour la foncton f, l faut donc que x = 0. Un snus est maxmal s l argument vaut. Pour la foncton g, l faut que x + =, sot x =. En étudant les fonctons : f (x) = -sn(x), négatf sur [0 ; ]. Donc f est maxmale pour x = 0. g (x) = cos(x + ), postf sur [0 ; ] et négatf sur [ ; ]. Donc g est maxmale pour x =. ) On crée le nombre complexe = f (x) +.g(x). Lorsque x parcourt l ntervalle [0 ; ], les ponts mages de dans le plan complexe forment la courbe c-dessous. g max M M (x = /) f max M 1 (x = 0) M 5 M (x = ) a. Sur cette fgure, repérer les résultats demandés ou annoncés aux questons 1 et. b. Montrer que la dérvée par rapport à x de ² (carré du module de ) est : = 9cos ( x) + 16sn x +. d dx 9sn( x) + 16sn x +. = -18sn( x) cos ( x) + sn x + cos x + = -9sn( x) + 16sn x + Page 10 sur 16 AL1 - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 016

c. Sachant que sn(a + ) = cos a, dre pour quelle(s) valeur(s) de x cette dérvée s annule. d 0 x = ss sn ( x) cos d 16 tan ( x) x = = 9 ss x = 1,058 rad [] ss x = 0,59 rad [ ]. Dans l ntervalle [0 ; ], seules deux solutons sont possbles : 0,59 rad et,1 rad. d. Repérer sur la fgure le(s) pont(s) correspondant(s), explquer. Le module de est la dstance OM. Postf, l vare dans le même sens que son carré. Les deux valeurs de x trouvées précédemment correspondent c à un maxmum ou un mnmum de OM. Pour x = 0,59 rad, on défnt le pont M (f(x), g(x)) = (,59,,87). Pour x =,1 rad, on défnt le pont M 5 (f(x), g(x)) = (-1,51, 1,01). 9 GI FC 015 - Test cube On souhate étuder les condtons sur un nombre complexe pour lesquelles est réel. 1) Utlser exclusvement la forme cartésenne de pour cette étude. ( a + b) = a ab + ( a b b ) = a ab + b( a b ). La parte magnare dot être nulle, donc b = 0 ou a² = b², sot b = ±a. Ans, nous avons tros groupes de solutons : * peut être un nombre réel quelconque, * est de la forme a( + ) * est de la forme a( ) 1, avec a réel quelconque, 1, avec a réel quelconque. ) Utlser exclusvement la forme exponentelle de pour cette étude. θ ( ρ ) θ e = ρ e, qu est réel s son argument est congru à 0 modulo. k θ = 0 + k θ = ( k Z ). En mesure prncpale, entre 0 et, sx valeurs de k sont à exploter (de 0 à 5) : 5 θ = 0, θ =, θ =, θ =, θ =, θ = Les solutons n 1 et renvoent au premer pont de la réponse à la queston 1, les solutons et 5 au second pont et les solutons et 6 au trosème. 10 GI FA 01 Test - Lnéarsaton À l ade d une formule d Euler, lnéarser sn x. sn x x e e 1 x = = e + e e e e e + 6e e 16 x x x x x x x x x x x x 1 e + e e + e 1 1 = + = cosx cosx + 8 8 8 Page 11 sur 16 AL1 - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 016

11 GI FA 011 Test 1 Euler et équaton trgonométrque 1) Lnéarser, c'est-à-dre, à l'ade de la formule d'euler, exprmer en foncton de cosx et cosx, l'expresson : cos x + sn x A l'ade de la formule d'euler, on écrt : x x e + e 1 1 x x x x x x ( e e ) ( e e 6 e e ) cos x = = + = + + + + 16 16 x x x x 1 x x x x 6 1 e + e 1 e + e cos x = ( e + e ) + ( e + e ) + = + + 16 16 16 8 8 1 1 cos x = cosx + cosx + 8 8 De la même façon : x x e e 1 1 x x x x x x ( e e ) ( e e 6 e e ) sn x = = = + + 16 16 x x x x 1 x x x x 6 1 e + e 1 e + e sn x = ( e + e ) ( e + e ) + = + 16 16 16 8 8 1 1 sn x = cosx cosx + 8 8 1 1 1 1 Donc : cos x + sn x = cosx + cosx + + cosx cosx + 8 8 8 8 cos x + sn x = cosx + ) En dédure les solutons de l'équaton cos x + sn x =. 5 5 1 cos x + sn x = cosx + = cosx = 5 Deux famlles de solutons : x = + k. x = + k. 6 ( valeurs) ou x = + k. x = + k. 6 ( valeurs) ) Représenter sur un cercle trgonométrque les dfférentes famlles de solutons. Page 1 sur 16 AL1 - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 016

1 GI FA 015 Test trnôme à coeffcents complexes + + 5 7 = 0 Résoudre dans C l'équaton : On donnera les solutons sous forme cartésenne. Calcul du dscrmnant : On exprme sous forme polare : = D'où = + 5 7 = e [ ] [ ] = e = ± = ± 1 Mathématques AL1 - Complexes 5 ± 1 L'équaton admet pour solutons : =, sot 1 = et = 1 1 GIN FA 01 Test 1 trnôme à coeffcents complexes 1. Résoudre, dans C, l équaton d nconnue : + (8 ) 8 = 0. On pourra vérfer que cette équaton admet une racne magnare pure. * Premère méthode : sans tenr compte de la remarque de l énoncé = (8 )² + = 6 + 16 On peut remarquer que = (8 + )². S on ne le vot pas tout de sute, l faut chercher la racne carrée de par la méthode classque. 8 + + 8 + 8 + 8 Les deux racnes de l équaton sont : = et = 8. * Deuxème méthode : l équaton admet une soluton magnare pure Notons a cette soluton, avec a R, pus reportons-la dans l équaton : a²²+ (8 )a 8 = 0 -a² + a + 8(a 1) = 0 a² = a et a = 1 a = 1. La soluton magnare pure est donc 1 =. On peut ans factorser le polynôme + (8 ) 8 par ( ), ce qu condut faclement à + (8 ) 8 = ( )( + 8) où l on vot que sa seconde racne vaut -8.. Utlser le résultat précédent pour résoudre, dans C, l équaton d nconnue : 6 + (8 ) 8 = 0 Exprmer toutes les solutons sous forme algébrque et sous forme trgonométrque. En posant Z =, cette équaton revent à celle de la queston 1, avec pour nconnue Z. Ans, on sat que l on a deux cas à trater : = et = -8, sot sous forme exponentelle : re α = 1e et ( re α ) = 8e La premère égalté donne : r = 1 r = 1 5 α = + k., k Z α = ou + = ou + = 6 6 6 6 6 5 1 1 6 6 1 = e = + ; = e = + ; = e =, ce qu donne : Page 1 sur 16 AL1 - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 016

La deuxème égalté donne : r = 8 r = 5 α = + k., k Z α = ou + = ou + = 5 5 6 = e = 1 + ; = e = ; = e = 1, ce qu donne : 1 GI FA 01 Test 1 Polynôme, formes, rotaton Dans cet exercce, les tros questons sont ndépendantes 1) Détermner, dans l'ensemble C, les racnes du polynôme : Calcul du dscrmnant : ( ) P ( ) = 1 + + e = 1 1 =, de forme exponentelle : =, d où une racne carrée : = e = = 1 Racnes du polynôme : ( 1 ) 1 + ( 1 ) 1 1 1 = = et = = = ) Écrre 1 + et 1 sous forme exponentelle, pus smplfer l'expresson : On donnera le résultat sous forme exponentelle et sous forme cartésenne. 1 + 1 0 1 1+ = + où l'on reconnat faclement le module,, et l'argument, d'où l'écrture exponentelle de ce nombre : 1 + = e 1 =, qu nous donne le module,, et l'argument, d où : 1.e = En utlsant les écrtures exponentelles, on a : 0 0 0 7 0 0 7 0 + 1 1 = = e e e = = 1+ e 1 e 0 7 5 5 6 10 10 10 = e = e = e = e = 10 e On peut repasser en écrture cartésenne : 0 1 + 1 = = = 1 10 e 10 51 51 Page 1 sur 16 AL1 - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 016

) On se place dans le plan (x, y). En utlsant les nombres complexes, détermner les coordonnées cartésennes du pont C, mage du pont B( ; 5) par la rotaton de centre A( ; ) et d'angle. Notons = x + y l'affxe du pont C(x ; y). Les ponts A et B ont pour affxes respectves : A = + et B = + 5 La rotaton se tradut par la relaton : e = ( AC) ( AB), sot 1 1 + ( + ) = e + 5 ( + ) = + ( 1 + ) = 1 + 7 1 D'où = + + = + 7 1 Donc le pont C a pour coordonnées : C ; 15 GI FA 01 Test 1 polynôme de degré On consdère l'applcaton f défne dans l'ensemble des nombres complexes par : f = + + Dans ce problème, on aura avantage à utlser la formule de Movre. 1) Montrer que, s l'équaton (1): f ( ) =0 admet pour racne le nombre complexe α, alors elle admet auss pour racne le nombre α (complexe conjugué de α ). Sot α, soluton de l'équaton (1): f ( ) = 0. On peut écrre α sous forme trgonométrque : α = ρ ( cosθ + snθ ) L'équaton (1) s'écrt donc : ( cos sn ) ( cos sn ) ( cos sn ) ρ θ + θ ρ θ + θ + ρ θ + θ + = 0 En utlsant la formule de Movre, on obtent : ( cos sn ) ( cos sn ) ( cos sn ) ρ θ + θ ρ θ + θ + ρ θ + θ + = 0 En regroupant les termes réels et magnares, on a donc : ρ cosθ ρ cosθ + ρ cosθ + + ρ snθ ρ snθ + ρ snθ = 0 Par dentfcaton des termes réels et magnares à 0, on a donc les deux relatons : ρ cosθ ρ cosθ + ρ cosθ + = 0 et ρ snθ ρ snθ + ρ snθ = 0 Consdérons le même traval avec le conjugué de α, dont l argument vaut θ. Par rapport aux écrtures cdessus, les cosnus sont nchangés et les snus prennent des valeurs opposées, ce qu fat que les égaltés «= 0» sont encore respectées et donc α est soluton de l'équaton (1). Page 15 sur 16 AL1 - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 016

1 ) Montrer que les nombres 1 + et + sont racnes de l'équaton (1). Ecrvons les nombres donnés sous forme trgonométrque. 0 1 cos sn = + = + = +. Remplaçons 0 dans l'expresson de f ( ): f ( 1 + ) = cos + sn cos + sn + cos + sn + = ( cos + sn ) cos + sn + cos + sn + = ( 1) + + + = + + + = 0 Donc 0 = 1 + est racne de l'équaton (1). 1 Sot 1 cos sn f : = + = +. Remplaçons 1 dans l'expresson de f ( 1 ) = cos + sn cos + sn + cos + sn + 8 8 = cos + sn ( cos + sn ) + cos + sn + 1 1 = + ( 1) + + = 0 1 Donc 1 = + est racne de l'équaton (1). ) Donner l'ensemble des solutons de l'équaton (1). En dédure une factorsaton de f ( ). On a vu (queston 1) que, s α est racne de l'équaton (1), alors α l'est également. Par conséquent, d'après la queston, l'équaton (1) admet comme racnes les nombres : 1 1 = + ; 0 = 1 ; 1 = + ; 1 = 0 1 1 1 f = + + + + On factorse donc f ( ) : ( 1 )( 1 ) ) Écrre f ( ) comme un produt de deux polynômes du second degré à coeffcents réels. Dans l'expresson de f ( ) c-dessus, on peut développer les facteurs par comme sut : 1 1 + = 1 = + 1 + 1 = + 1 1 1 + + + = + Fnalement, f peut s'écrre : f ( ) = ( + )( + + 1) 1 = + + + = + + 1 Page 16 sur 16 AL1 - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 016