Univesité aul Sabatie - FSI II STTIQUE DES FLUIDES pès avoi étudié les popiétés généales des fluides, nous abodons ici le domaine des fluides en équilibe statique, ou encoe des fluides au epos. (pas d écoulement dans ce chapite). 1. Définitions et équations La statique des fluides est l étude des fluides au epos (ou en équilibe statique). L étude de la statique des fluides se amène généalement à la question suivante: Quelle est la pession qui s exece en tout point du fluide au epos? a) ession On a vu au chapite I qu un fluide (gaz ou liquide) est un cops dont les molécules sont sans cesse en déplacement et assimilé à un cops continu, sans igidité, pouvant s écoule et se défomant sous l action d une foce extéieue. La pésence d une paoi dans le volume du fluide povoque de nombeux chocs ente les molécules du fluide et la paoi. Considéons un fluide homogène enfemé dans une enceinte, en l absence de foces pesanteu Les molécules constituant ce fluide génèent des foces désodonnées f i unifomément épaties. Le fluide exece alos une foce de suface, diigée du fluide ves la paoi qui dépend de la natue du fluide et de son état de mouvement elativement à la paoi. Mécanique des fluides Manuel Macoux II - 1
Univesité aul Sabatie - FSI Considéons un point M su la paoi, et ds l élément de suface autou de ce point. En moyenne, la foce ésultante df des effots execés su ds est nomale à ds. a définition, la pession qui s exece su ds est égale au quotient du module df pa la suface ds : df = (scalaie) ds On peut alos écie que dans le cas d un fluide au epos, su un élément de suface du point M taité, s exece la foce élémentaie df telle que : uu df = p n ds ds autou où n est la nomale sotante à la paoi. est la pession execée pa le fluide su la paoi en M Remaque : En éalité, il existe une pession en tout point d un fluide, même en l absence de paoi, liée aux foces de pession qui s execent à sa suface et aux foces de volume (poids ) b) Unités La pession coespond à une foce pa unité de suface, elle s expime dans le système intenational en 2 N m ou ascals (a) Dans le système intenational, on a : Mécanique des fluides Manuel Macoux II - 2
Univesité aul Sabatie - FSI [ ] [ F] [ L] 2 N kg. m. s 2 = = = = kg. m. s = a 2 2 2 m m Remaques : 1 a coespond à une pession tès faible On utilise couamment le ba : 1ba = 1 5 a (ou encoe l ha, en météo =1 a) La pession atmosphéique de l ai vaie odinaiement de.9 à 1.2 bas. Sa valeu moyenne à la suface de la Tee est 1.1325ba = 1atm La mesue de la pession atmosphéique à l'aide de manomètes à colonne de mecue este une méthode couante aute unité utilisée : 1.1325ba = 76 mmhg ou To (pession execée pa une colonne de mecue de 1mm, cf. paagaphe suivant) utes unités : le SI (ound pe Squae Inch), ou live pa pouce caé, unité anglo-saxonne, tès utilisée en aéonautique : 1 SI = 6895 a le mce (mète de colonne d eau), 1 mce = pession execée pa 1 m de colonne d eau, à 4 C et sous 1 atm = 987 a Le mce est tès commode losque le fluide est l eau (chauffage, éseau d eau potable, hydaulique ) mais ne se justifie pas pou les autes liquides. Remaque : Toutes ces unités sont popotionnelles. c) Equation fondamentale En pésence d autes foces, la pession devient vaiable. Le champ de pesanteu en paticulie fait vaie la pession en fonction de l altitude. Relation expimant les vaiations de pession en fonction de z dans le champ de pesanteu (vetical, /z, et oientée ves le bas): d p = ρ g d z Relation fondamentale de la statique des fluides (RFSF), en 1D Démonstation : Mécanique des fluides Manuel Macoux II - 3
Univesité aul Sabatie - FSI Equilibe d un élément de liquide dans le champ de pesanteu Remaques : Le signe taduit le fait que la pession diminue quand l altitude augmente Dans les poblème que nous taiteons, le champ de pesanteu sea généalement oienté ves le bas et unifome : g = ge, avec g = cste z Généalisation De manièe généale (configuation tidimensionnelle) losque le champ de pesanteu est oienté de manièe quelconque, celle-ci s écit : F ρ g dv (= m g si ρ et g sont constants) pesanteu = V où V est le volume fluide. a ailleus on a = ( x, y, z), et la foce élémentaie de pession s écit : df = e x x + e y y + e z z = Gad dv La ésultante des foces de pession execées su un système Σ de volume V limité pa la suface S vaut alos : df Fpession = dv = V dv V ou Gad dv = S n ds (théoème d Ostogadsky) L équilibe du système se taduit pa : F = F + F = pession Gad dv + ρ g dv = V V pesanteu Soit encoe, localement, dans l élément de volume dv : uuuuuu Gad p + ρ g = Relation fondamentale de la statique des fluides en 3D (Le cas pécédent, 1d, est un cas paticulie de celui-ci) Mécanique des fluides Manuel Macoux II - 4
Univesité aul Sabatie - FSI 2. Statique des fluides incompessibles Dans le cas où le volume du fluide est peu influencé pa les conditions extenes (pession, tempéatue) il est alos considéé incompessible, et on a ρ cste. C est le cas de la plupat des liquides. Les ésultats pésentés dans cette patie concenent donc des liquides en équilibe statique dans le champ de pesanteu, et en pésence de paois ou d intefaces. a) Vaiations de pession Dans le cas des fluide incompessibles ( ρ = cste), la RFSF en 1D donne : d dz = ρ g = Cste En intégant cette elation /z, on obtient alos le théoème de ascal : z ( ) = ρ gz+ Cste La pession augmente donc linéaiement avec la pofondeu Remaques : Ce ésultat est à l oigine du pincipe de fonctionnement des manomètes et baomètes (vaiation linéaie il est facile de faie une échelle gaduée de pession / éféence) Ce ésultat n est pas vai en pésence d autes foces, pou ρ Cste ou pou un fluide compessible Ente deux points et B situées à des hauteus de difféence h,; la vaiation de pession s expime alos simplement pa : = ρ gh B Exemple : cas de l eau, ρ = 1 kg. m 3, et g = 9.81m. s 2 4 Si Δz = 1mm Δ = 9.81a 1 (négligeable) atm Si Δz = 1 m Δ = 981 a 1ba = la pession augmente de 1 ba tous les 1m atm (cf plongée ) Mécanique des fluides Manuel Macoux II - 5
Univesité aul Sabatie - FSI Conséquence : incipe de ascal Un liquide au epos tansmet pafaitement toute vaiation de pession Utilisation dans la tansmission de foces (pesse hydaulique, piston, cicuit de feins, véins ) b) Liquide à suface libe Considéons un liquide contenu dans un écipient sans couvecle, dont la suface est en contact avec l ai extéieu (suface libe) à la pession atmosphéique. On note z la veticale descendante. L application du théoème de ascal ente un point de la suface et un point M dans le écipient, de pofondeu h pa appot à la suface libe: = ρ g h = M atm est ce que l on appelle pession hydostatique (ou elative). M est la pession absolue ou totale (pession pa appot à une situation de vide pafait, où la pession est nulle) Remaques : Elle est indépendante de la fome du écipient cf. expéience du «cève-tonneau» de ascal, 165 la plupat des manomètes mesuent et non la pession absolue pplication : Baomète au mecue (Toicelli, 1643) Le tube de Toicelli, baptisé pa la suite baomète, est un tube en U, femé d un coté et ouvet ves l ai atmosphéique de l aute, et contenant du mecue. Mécanique des fluides Manuel Macoux II - 6
Univesité aul Sabatie - FSI Le système en équilibe pésente un dénivelé h ente les deux sufaces libes de mecue qui dépend de la pession extéieue atm. L application du ésultat pécédent à ce système, la pession étant nulle au fond du tube femé (vide), donne : atm = ρ g h (vaiation linéaie) mecue Une gaduation de éféence pemet donc de mesue la difféence de pession à pati des difféences de niveau ente les deux sufaces libes du mecue. Remaque : ou la pession atmosphéique standad, atm = 1 atm = 11325 a, on obtient h = 76 mm. Ceci coespond à la définition de l unité de mesue de pession appelée le To (de Toicelli) 1 To = pession execée pa h=1mm de mecue, 1 atm = 76To 1 To = 133. 322 a 3. incipe d chimède a) Cops immegé Considéons un cops de volume V, délimité pa la suface femée S plongé dans un fluide de masse volumique ρ et soumis au champ de pesanteu g. Mécanique des fluides Manuel Macoux II - 7
Univesité aul Sabatie - FSI Définition : La ésultante de toutes le foces de pession execées pa le liquide su le cops immegé est : df Π = dv = V Gad dv dv V O d apès l équilibe hydostatique : Gad = ρl g, avec ρ l constant Π = ρ V g = m g l l Théoème d chimède «Tout cops plongé dans un fluide en équilibe est soumis de la pat de celui-ci à une poussée veticale diigée de bas en haut, égale au poids du volume de fluide déplacé, et appliqué au cente de masse de ce volume (cente de caène)» (découvete due à chimède, 25 ans avant JC). pplication : Montgolfièe Quelle taille doit avoi une montgolfièe sphéique emplie d Hélium pou souleve une masse de 2 tonnes? 3 3 ( =.17 kg. m et = 1.3kg. m à tempéatue et pession ambiante) ρ He ρ ai Conditions d équilibe Soit un cops immegé dans un fluide au epos. Son compotement est donné pa le poids appaent : ap = + Π En pojetant / e z no obtient : ap = + Π si ap >, le cops s élève si ap =, le cops este immobile (équilibe) si ap <, le cops chute, s enfonce b) Flottaison Soit un objet (suface femée S, volume V) immegé à l inteface ente deux fluides 1 et 2 (eau et ai pa exemple) V peut alos ête décomposé 2 en paties : V 1 en contact avec 1 et V 2 en contact 2 Mécanique des fluides Manuel Macoux II - 8
Univesité aul Sabatie - FSI Définition : La ésultante des foces de pession qu execent 1 et 2 su V s écit dans ce cas. uuuu u uuuu u uuuu u Π = Gad p dv = Gad p dv Gad p dv V V 1 1 2 2 1 V2 D où d apès le pincipe d chimède appliqué à chacun des 2 fluides Π = Π + Π = ( m m ) 2 g 1 2 1 + les masse et m étant espectivement les masses des fluides 1 et 2 déplacées pa les paties m1 2 du cops immegé en contacte avec celles-ci. pplication : Dans le cas d un cops flottant su l eau (inteface ai-eau), comme ρ eau 1ρ ai, le poids de l ai déplacé peut ête négligé. Π = m g eaudéplacée Remaque : La poussée d chimède Π est appliquée au cente d inetie des fluides déplacés, appelé cente de caène, noté C, et non au cente de masse G du cops flottant oblème losque C est en dessous du cente de masse G du solide : position instable (cf. bateaux avec une coque tiangulaie, T) Mécanique des fluides Manuel Macoux II - 9
Univesité aul Sabatie - FSI 4. Foces de pession su une paoi Définition On appelle toseu des foces de pession su une paoi de suface S le toseu des actions mécaniques su cette paoi, [ F( S) ], défini pa la ésultante des foces appliquées et le moment de ces foces en un point : (cf. mécanique du solide) R( S) [ F( S) ] = M ( S) avec : R( S) = df = n ds M S ( S ) = S S M df étant le point où s applique le moment. = S M n ds Ceci pemet de détemine les foces de pession auxquelles doit ésiste un écipient empli de liquide pa exemple Définition : Le point d application de la ésultante des foces de pession est le point C pou lequel le moment ésultant est nul : ( S) = M C (Comme pou le cente de gavité G, qui est point d application du poids ésultante le volume V : ( g V ) = ) M G m g su pplication : Résevoi ou baage à paoi plane Considéons une paoi ectangulaie veticale, de lageu L et de hauteu h, sépaant un liquide masse volumique ρ de l ai à pession atmosphéique. Mécanique des fluides Manuel Macoux II - 1
Univesité aul Sabatie - FSI Quelle est la ésultante des foces qu exece le liquide su cette paoi? 2 Quel est le point d application? d = h 3 1 R = ρ g Lh 2 2 aticulaité : ession su le fond d un ésevoi Considéons un écipient de fome quelconque à fond plat de suface S empli d un liquide de masse volumique ρ jusqu à une hauteu h. Dans ce cas, la ésultante de foces de pession execées pa le liquide su le fond (z=) s écit : R ( S) = ( z = ) n ds, avec z = ) = cste = ρ g h S R = R e, avec R = ρ g h S z ( et n = ez Cette pession ne dépend que de la suface d appui, et non de la fome du écipient, contaiement au poids Mécanique des fluides Manuel Macoux II - 11
Univesité aul Sabatie - FSI 5. Hydostatique en éféentiel non galiléen Si le éféentiel dans lequel le fluide est au epos n est pas galiléen (accéléation, otation ) il faut ajoute les foces d inetie d entaînement et de Coiolis dans le bilan des foces. La RFSF devient alos : + = F Fie ou F = m ae Rappel : composition des accéléations (mécanique du point, appel de L1) Dans l étude du mouvement d un point matéiel M, si on considèe deux éféentiel R et R en mouvement quelconque l un pa appot à l aute, la déivation de la loi de composition des vitesses donne : a( M R) = a( M R ') + a ( R' R) + e a c dω( R' R) avec ae ( M R') = ae ( O' R') + O' M + ω( R' R) ( ω( R' R) O' M ) a c = 2ω ( R' R) V ( M R') où ω( R' R) est le vecteu otation ente les 2 epèes R et R dt pplications : Détemination de la fome de la suface libe dans des écipients en mouvement Celle-ci est obtenue à pati des isobaes (lignes de même pession) obtenues pa ésolution de la RFSF en éféentiel non galiléen Fluide en accéléation hoizontale : z = γ x + cste plan incliné g 2 1 ω 2 Fluide en otation unifome (votex) : z = + cste paaboloïde 2 g Mécanique des fluides Manuel Macoux II - 12
Univesité aul Sabatie - FSI 6. Statique des fluides compessibles Contaiement aux liquides, les gaz et vapeus sont généalement tès compessibles. Dans ce cas le volume (et la masse volumique) est vaiable, et vaie fotement en fonction de la pession et de la tempéatue. Dans le cas féquent où ils ont un compotement de type gaz pafait, ils véifient l équation d état : V = n RT = m M RT m M Dans ce cas, sa masse volumique s écit : ρ = =, V RT Ce qui peut encoe s écie, (cf chapite I) T ρ = ρ g, en fonction d un état de éféence (, V, T ) T L application de la RFSF donne : d dz = ρ T T g d Si T vaie peu ou en situation isotheme, T = cste = T, alos = ρ g dz On obtient donc, apès intégation : ( z) = e ρ g ( z z ) (vaiation exponentielle, et non linéaie) pplication : dans l ai, avec ρ = 1kg m. 3 et = 1 Si Δz = 1 m, cela donne = Δ 1 9992a, et < 1% on peut considée que et ρ estent quasiment unifomes pou des systèmes ayant des dimensions de l ode de la dizaine de mètes (faux pou un liquide, cf. paagaphe 2) 5 a Remaque : En toute igueu, dans l ai atmosphéique, g n est pas constant, g = g(z) Mécanique des fluides Manuel Macoux II - 13
Univesité aul Sabatie - FSI En fait g vaie peu (.3 % ente le niveau d la me et 1 km d altitude) ésultat acceptable : 1 1 5 e z 8 3 (à T = C, au niveau de la me : ρ = 1.293kg m et. = 11325 a ) Mécanique des fluides Manuel Macoux II - 14