Modélisatio et idetificatio des systèmes
Chapitre Méthodes d'aalyse trasitoire de l'idetificatio Elles s'appliquet aux systèmes pour lesquels o recherche u modèle liéaire. Elles utiliset les aalogies etre les résultats d'expérieces et les solutios d'équatios afi de choisir ue structure à priori pour le modèle. I Répose idicielle, défiitio Le plus souvet o cherche à caractériser la foctio de trasfert d'u système que l'o veut automatiser. Cette méthode e peut pas servir à idetifier les paramètres physiques du système (ce 'est pas ue modélisatio itere. O applique u échelo d'amplitude u au système. O observe la répose et o fait u choix sur la structure de la foctio de trasfert ou de l'équatio différetielle. u Foctio de trasfert T y La forme de la répose permet de dire si le système se rapproche d'u premier, deuxième ordre ou d'u ordre supérieur. II Système du premier ordre y (t est d'allure expoetielle, o va essayer u modèle du premier ordre. dy + y Ku K et sot les costates à idetifier. dt La solutio est y(t Ku( e -t/ Si t + y( Ku Permet d'idetifier K graphiquemet y y( /3y( Θ Et tgθ Ku / t
Il est de fait difficile d'obteir la tagete à l'origie graphiquemet. Cas particuliers : O dispose d'u eregistremet discret (échatilloé ou discrétisé. y t+ t Ku ( e ( t + t y( t+ t y( t Kue t ( e t Si t/ est petit (période d'échatilloage << costate de temps du système e t t y(t + t y(t # Ku e -t/ t/ y t L ( + t y( t L Ku t t t/ << O obtiet alors graphiquemet K et. L y& L Ku / Pete (-/ t O discrétise l'équatio différetielle dy + y Ku dt / t y(t + t + y(t (- / t Ku (t y(t+ t Pete t/ Κυ t/ t
y(t + t K u / t y(t ( - / t t / K u / t + y(t ( - t / si t / << III Système du secod ordre Selo que la répose est apériodique (costates et différetes ou oscillatoire amortie, o choisira le modèle sous la forme : d y dy a + b + y Ku dt dt d y dt + + dy ( + y Ku dt d y m dy + + y Ku ω dt ω dt m < amortissemet, ω pulsatio propre er cas : si est très différet de Il existe des méthodes spécifiques, mais o utilisera plutôt la méthode de Strejc (voir plus loi. ème cas : Das le cas oscillatoire, o utilise des abaques pour idetifier ω et m. K est obteu par exame du régime permaet y( ; IV Idetificatio d'u système à répose apériodique d'ordre quelcoque : méthode de Strejc Queti. IV. Positio du problème C'est ue méthode de recherche de modèles pour u système d'ordre quelcoque permettat de détermier approximativemet la trasmittace du système cosidéré, à partir de la répose du système à u échelo. O fait correspodre la répose à u échelo du modèle et du système e des poits particuliers : L'origie, Le poit à l'ifii (régime permaet, Le poit d'iflexio de la répose, La tagete au poit d'iflexio. Cela etraîe la défiitio d'u critère mesurat l'écart etre le système et so modèle pour la répose à u échelo. IV. Méthode de Strejc O suppose que le système est d'ordre supérieur à. O peut vérifier expérimetalemet que la répose d'u tel système (ordre peut être représetée par ue trasmittace de la forme suivate : T ' p e G( p K avec (+ Tp K gai statique, T costate de temps
T' retard pur Le système est ormalisé e divisat la répose par la valeur e régime permaet y ( au. a le système e possède pas de retard pur La tagete au poit d'iflexio coupe l'axe des abscisses e T u, l'asymptote (régime permaet y( e t i + T m et l'axe des ordoées e u. O a les relatios : T m T b t i T a ( - Φ i u T u /T a et o peut lier les relatios etre ces paramètres et les quatités et T à l'aide du tableau suivat. Les quatités Φ i et T u / T a e dépedet pas de T. o peut doc aisi détermier l'ordre du modèle. O a aussi das les triagles AbC et AOC' : T u / T a u / Et approximativemet sur le tableau : Si < 7 T u / T a (- /
Utilisatio du tableau Sur le graphique, o détermie le poit d'iflexio et o trace la tagete e ce poit. O obtiet aisi T u, T a et T u / T a Le rapport T u / T a sert à détermier et T a / T et doc T. Si le rapport T u / T a e correspod pas à ue valeur exacte du tableau pour, o pred la valeur de immédiatemet iférieure et o itroduit u temps mort (temps de retard T' T u - T u ', T u relevée das le tableau correspodat au choisi (ou sur le diagramme. T u T La répose est alors de la forme : T p e ' G( p (+ Tp
Exemple : G( p (+ p(+ p(+ 3p(+ 4p E relevat la répose à u échelo d'u tel système, o trouve : T u,9s T a,s T u / T a,6 O pred doc 3 et o cherche T' T u - T u '. Le tableau doe T u ' / T a,8 et T u ',4s Et T',9,4,49 s N3 T a / T 3,695 et T a,s doc T 3s (,8 *,4 Le modèle est,49p e G( p (+ 3p 3 R emarque : Si T u <, o assimilera le système à u secod ordre apériodique et o predra sur la courbe de répose deux poits t et t et o détermiera la trasmittace : G'( p (+ T p(+ T p b Extesio mesure du retard. Maque de précisio de la méthode précédete due au maque de précisio das le démarrage de la courbe. O va se baser sur l étude de la courbe de répose etre 5% et 95% de l évolutio fiale. O pred poits y( t, 5 et y( t,95 et Tb t t,95,5 t 3 t t t T a T b
S i le retard pur est ul ( 3, la répose de G p ( t ( t/ T t t ( + Tp y t e + +... + T T (! O peut écrire e t y y( t ˆ ˆ... ˆ e + y+ + y,5 (! avec yˆ t T foctio de La relatio précédete permet d obteir e foctio de. t à u échelo uitaire est : De la même maière o a : z ( ( y t e + z+... + z,95 t (! avec z z foctio de T zf de t t T b T T + ( +! e O a aussi Ta T + + et b yˆ z T T( yˆ z ( Ta est idépedat de T et e déped que de. Tb Les paramètres Ta et Tb se détermie sas coaître l origie, o peut alors détermier expérimetalemet le retard pur du système s il existe. Ta etetta T. O reporte sur la courbe iitiale u segmet tt 3 yt ˆ.si t3 est pas Tb cofodu avec l'origie O, il existe u retard pur Ot Ot Ot t t V Aalyse fréquetielle V.I.Itroductio ( 3 3 3 x(t y(t y(t x(t est u sigal siusoïdal dot o fait varier la fréquece, o mesure y(t lorsque le système est stabilisé. y(t est u sigal de même fréquece que x(t
amplitude A chaque f de y( t. phase V.. Méthode de Kardachov-Kariuchie La caractéristique expérimetale est doée par ( ω ( ω + ( ω G j R ji e i i i Le modèle choisi est la forme m υ ( jω bυ υ G( jω m< υ + a υ υ ( jω pour calculer les costates aυ et bυ ( ω ( ω (, G j G j i N e i i O pose G( jω i u u ( ωi + jv ( ωi ( ω + jv ( ω i i du modèle, o a les équatios suivates : O obtiet les relatios suivates : ( ( ( ( u ω b bω bω 4 i i + 4 i... 4 u ωi aωi + a4ωi... 3 5 v ωi bωi b3ωi + b5ωi... 3 5 v ωi aωi a3ωi + a5ωi... ( ( E teat compte de G jω G jω e i i u ( ωi u ( ω R( ω + ν ( ( i i ω i I ω i ν ( ω u ( ω I( ω ν ( ω R( ω i i i i i + m Si +m est pair il faut les coordoées de i poits de la caractéristique fréquetielle. O obtiet + m équatios liéaires pour les coefficiets recherchés, a υ (υ,,..., b υ (υ,,..., m et b égal à G e (, gai statique du système.
Exemple : b + bp G( p 3 + ap + ap + ap 3, m3, +m 4. poits sot doc écessaires pour obteir les ciq paramètres : b, b, a, a, a 3, b est mesuré à priori. log A I A ω ω ω logω R ω ω I R R I ω u b v bω u a v a a i 3 ωi ωi 3ωi 3 aωi aωr+ a3ωi b R a 3 aωi aωr + a3ωi b R b 3 aωi aωi+ a3ωr bω I c 3 aωr aωi a3ωr bω I d O pose ( ω ( ω R R I I i i i i a R+ c I a ω R + bω I R b R b R + d I a R b I R b R c R a I ω + ω 3 aωr a3ω R bωr bi 3 aωr a3ω R bωr bi d R b I O a doc 4 équatios à 4 icoues
m, O cherche après à optimiser le modèle soit à redre (... i,... j... miimale. Quelle sot les valeurs des a i, b j qui doet ce résultat? G a b Ge i, j