Applcato de la théore des valeurs extrêmes e assurace automoble Nouredde Belagha & Mchel Gru-Réhomme Uversté Pars 2, ERMES-UMR78-CNRS, 92 rue d Assas, 75006 Pars, Frace E-Mal: blour2002@yahoo.fr E-Mal: gru@u-pars2.fr Résumé La costructo des classes de rsque e assurace automoble est stratégque pour que le prcpe de mutualsato sot foctoel das cet evroemet cocurretel. Ces classes, costtuées à partr de caractérstques de l assuré et du véhcule, sot supposées homogèes e terme de sstralté. La présece de sstres graves (rares) das ue classe vet perturber cette hypothèse d homogéété des classes et de stablté des dcateurs de rsque comme la prme pure. E gééral, face à de tels évèemets, les assureurs répartsset la charge sur l esemble du portefeulle, mas la questo se pose de détermer ce qu est u sstre grave pour ue classe de rsque doée af d assurer ue certae stablté des dcateurs de sstralté et doc ue adéquato etre la prme de référece e la sstralté. La théore des valeurs extrêmes a été applquée e face pour le calcul de mesures de rsque comme la Value at Rsk, e hydrologe ou das le cadre de sstres de type catastrophe aturelle. A pror, cette démarche a pas été utlsée e assurace automoble. Après avor rappelé les fodemets de la théore des valeurs extrêmes et e partculer la méthode basée sur la dstrbuto de Pareto gééralsée, tros méthodes (valeurs record, moyee des excès, approxmato GPD) sot proposées pour la détermato d u seul à partr duquel u évéemet est cosdéré comme atypque. Elles permettet de prévor des sstres graves pour ue probablté d occurrece doée (très fable) et u tervalle de coface fxé. Ces méthodes sot comparées sur des doées du portefeulle d ue mutuelle d assurace fraçase, pus ue combaso covexe de ces méthodes, qu mmse la varace, est proposée, permettat de décder etre ces dfféretes stratéges. Mots clés : Gesto des rsques, valeurs extrêmes, dstrbuto de Pareto gééralsée, assurace automoble. JEL : C, C6, G22
. Itroducto Les Assuraces dovet fare face à des flux facers ter temporels et dvdualsés, et de ce fat très ombreux. Face à cet evroemet certa, lé à la sstralté, dfférets mécasmes de gesto des rsques peuvet être proposés. Le prcpe de mutualsato des rsques e assurace automoble est e gééral reteu, l permet de dmuer les cotrates dvduelles sur les assurés, mas peut provoquer u phéomèe d aléa moral. Cette mutualsato s avère opératoelle pusque les rsques sot dspersés et dépedats. La costructo des classes de rsque est stratégque pour que le prcpe de mutualsato sot foctoel das u evroemet cocurretel. Ces classes, costtuées à partr de caractérstques de l assuré et du véhcule, sot supposées homogèes e terme de sstralté. Cette homogéété peut se mesurer par des dcateurs de rsque, à savor la fréquece et le coût moye des sstres qu permettet de détermer la prme pure (produt de ces deux dcateurs). D ue maère géérale, les rsques des dvdus d ue classe homogèe de rsque dépedet de deux varables aléatores dépedates et équdstrbuées: ue varable structurelle qu caractérse l hétérogéété terdvduelle acceptée au se de la classe et ue varable edogèe qu correspod au rsque collectf de la classe. C est cette derère que l assureur cherche à prévor. Ue certae stablté temporelle de ces dcateurs est doc écessare pour avor ue boe adéquato etre la sstralté et la tarfcato. La présece de sstres graves das ue classe vet perturber cette hypothèse d homogéété des classes et de stablté des dcateurs. E gééral, face à de tels évèemets, les assureurs répartsset la charge sur l esemble du portefeulle. Toutefos la questo se pose de détermer ce qu est u sstre grave das ue classe de rsque pour assurer la stablté des dcateurs et doc la hérarche de ces classes. Des approches par la théore des valeurs extrêmes ot été applquées e face pour le calcul de mesures de rsque comme la Value at Rsk, e hydrologe ou das le cadre de sstres de type catastrophe aturelle (McNel,996, Berardara, Schertzer, Lag, 2005, Feradez, 2003). A pror, cette démarche a pas été utlsée e assurace automoble. Après avor rappelé les fodemets de la théore de valeurs extrêmes et e partculer la méthode basée sur la dstrbuto de Pareto gééralsée, tros méthodes (valeurs record, moyee des excès, approxmato GPD) sot proposées pour la détermato d u seul à partr duquel u évéemet est cosdéré comme atypque. Ces méthodes sot comparées sur des doées du portefeulle d ue mutuelle d assurace fraçase. Elles permettet de prévor des sstres graves pour ue probablté d occurrece doée (très fable) et u tervalle de coface fxé. Ue aalyse comparatve est effectuée etre ces méthodes et ue combaso covexe de ces méthodes qu mmse la varace af de décder etre ces dfféretes stratéges. 2
2. De la théore classque des valeurs extrêmes (GEV) à la méthode de dépassemet de seul L utlsato des los des valeurs extrêmes repose sur des proprétés des statstques d ordre et sur des méthodes d extrapolato. Plus précsémet, elle repose sur les covergeces e lo des maxma de varables aléatores coveablemet reormalsées. Les los lmtes sot coues. Elles sot appelées les los des valeurs extrêmes. 2. Dstrbuto des extrema das le cas f O déft les varables aléatores M et m, qu traduset respectvemet le maxmum et le mmum d ue réalsato d ue varable aléatore X, par : M = max( X ) et m = m( X ) E théore des valeurs extrêmes, le but vsé est de détermer la lo que sut le maxmum ou le mmum e focto de celle de la varable aléatore X. Pour ce fare, o calcule la focto de répartto : ( x) = P( M x) = P( X x, L, X x) Pus FM Fm ( x) = P( m = P( X = [ F ( x) ] X x) = P( X = P( X = x) LP( X x, L, X [ - F ( x) ] X x) LP( X D où o dédut : [ ] F ( x) = F ( x) m X x) x) x) De ces résultats, ous e tros la cocluso que le maxmum dot la focto de répartto correspod à F. M est ue varable aléatore La focto de répartto de X état pas souvet coue, l est gééralemet pas possble de détermer la dstrbuto du maxmum à partr de ce résultat. O s téresse alors à la dstrbuto asymptotque du maxmum e fasat tedre vers l f. O a : 0 s F( x) < lm F = [ ] = M ( x) lm FX ( x) s F( x) = O costate que la dstrbuto asymptotque du maxmum, détermée e fasat tedre vers l f, doe ue lo dégéérée. 2.2 Dstrbutos asymptotques du maxmum Comme la focto de répartto obteue précédemmet codut à ue lo dégéérée lorsque ted vers l f, o recherche ue lo o dégéérée pour le maxmum de X. Cette lo lmte o dégéérée est foure par le «théorème des types de dstrbutos extrêmes» qu doe ue codto écessare et suffsate pour l exstece d ue lo lmte o dégéérée pour le maxmum. Ce théorème est proposé par Gedeko (943) qu doe la forme des los lmtes et Jekso (955) qu e doe l expresso géérale. 3
Théorème S l exste deux sutes réelles ( a ) et ( b ) avec a > 0,, telle que, pour, P ( M b ) a x G( x [ ] ) où G est ue focto o dégéérée, alors G est du même type que l ue des foctos suvates : G ( x) = exp( e x ) < x < + G G 0, α 2, α O appelle G 0 lo de Gumbel, 0 ( x) = α exp( x ) exp( ( x) ( x) =, α α ) x < 0 x 0, α > 0 x < 0, α < 0 x 0 G lo de Fréchet et G α lo de Webull. E trodusat les paramètres de localsato µ et de dsperso σ das la paramétrsato des dstrbutos extrêmes, o obtet la forme la plus géérale de la dstrbuto des valeurs extrêmes, otée GEV (Geeralzed Extreme Value Dstrbuto). 2, Elle correspod à : G ( x) = exp µ, σ, ξ x µ + ξ σ où ξ est u paramètre de forme (shape parameter) ecore appelé dce des valeurs extrêmes ou dce de queue. Plus cet dce est élevé e valeur absolue, plus le pods des extrêmes das la dstrbuto tale est mportat. O parle alors de dstrbutos à «queues épasses». Tros cas sot possbles : ξ > 0, Gµ, σ, ξ sut la lo de Fréchet ξ < 0, Gµ, σ, ξ sut la lo de Webull ξ 0, Gµ, σ, ξ sut la lo de Gumbel 2.3 Dstrbuto codtoelle des excès / ξ Ce secod volet de la TVE appelé méthode POT (Peaks Over Threshold) cosste à utlser les observatos qu dépasset u certa seul détermste et plus partculèremet les dfféreces etre ces observatos et le seul, appelées excès. Défto Sot X ue varable aléatore de focto de répartto F et u u réel suffsammet grad appelé seul. 4
O déft les excès au-delà du seul u comme l esemble des varables aléatores Y tel que : y = x u, x u. j j j > O appelle rght-ed pot ou pot termal de la focto de répartto F, le pot x F = sup x : F( x) <. que : { } x F tel O cherche à partr de la dstrbuto F de X à défr ue dstrbuto codtoelle F u par rapport au seul u pour les varables aléatores dépassat ce seul. O déft alors la dstrbuto codtoelle des excès F u par : F( y + u) F( u) Fu ( y) = P( X u < y X > u) = pour 0 y x F( u) Ce qu équvaut à : F( x) F( u) F u ( x) = P( X < x X > u) = pour x u F( u) L objectf de la méthode POT est de détermer par quelle lo de probablté o peut approcher cette dstrbuto codtoelle. Balkema & de Haa (974), Pckads (975), ot proposé le théorème c-après qu précse la dstrbuto codtoelle des excès lorsque le seul détermste ted vers le pot termal. Théorème 2 Sot F u la desté codtoelle de la focto de répartto coue F par rapport au seul u. D après Pckads, Balkema & de Haa, lorsque le seul u ted vers le pot termal x F, o a : ( y) H ( y) 0 F u La dstrbuto codtoelle coverge doc vers la focto H (y) qu correspod à la focto de répartto de la lo Pareto gééralsée, otée GPD (Geeralzed Pareto Dstrbuto). La lo de Pareto gééralsée s écrt sous la forme : H ( y) = + log G( y) avec G (y) correspodat à la lo GEV (Geeralzed Extreme Value) E cosdérat le modèle GEV avec le paramètre de localsato µ = 0 car pour les excès, l effet du paramètre de localsato est prs e compte das la sute ( a ), o motre que la lo GPD correspod à : / ξ [ + ξ ( y σ )] s ξ 0 H σ, ξ ( y) = exp(- y σ ) s ξ = 0 où y [ 0, ( xf u) ] s ξ 0 y 0, σ ξ s ξ < 3. Les méthodes d estmato du seul [ ] 0 La théore des valeurs extrêmes, selo l approche reteue, propose dfféretes méthodes pour estmer u seul à partr duquel ue observato sera cosdérée comme valeur extrême. O peut dstguer, les valeurs record, la focto moyee des excès et l approxmato GPD F u 5
(par la Dstrbuto de Pareto Gééralsée). Présetos rapdemet ces dfféretes méthodes qu serot utlsées das les classes de rsque. 3. Les valeurs record La méthode cosste e ue comparaso etre les valeurs record as que les valeurs atcpées de ces records ssues d ue varable aléatore d. Sot X ue varable aléatore d, u record X (comme das les compéttos sportves, Emahl, Magus, 2006 ) est attet s X > M avec M = max( X, X 2,..., X ) Le processus de quatfcato est déft comme sut ; N =, N = + I{ X > M }, 2 avec I = s X > k k k M k et 0 so. k = 2 Avec la méthode des valeurs record, le seul correspod à ue valeur de la dstrbuto. S X est ue varable aléatore d, Embrechts et al (997) motret qu l est possble de calculer la moyee et la varace du processus de quatfcato des records N ; E ( N ) =, k = k Par exemple, Var( N ) = k =. 2 k k Pour varat etre 2000 et 6000 (cas de l applcato umérque présetée par la sute), E N ) vare etre 8 et 9. ( Pour 60, Var( N ) 4, pour 23500, Var( N ) 9, et pour = = 500 000, Var( N ) 2 3.2 La focto moyee des excès = La focto moyee des excès est par défto la somme des excès dépassat u certa seul élevé, oté u, dvsé par le ombre de pots des doées qu dépasset ce seul. e ( u) = = ( X u) I { X u} = > s X > u Avec I { X > 0 } = 0 s o Autremet dt, l s agt d ue estmato de la focto moyee des excès (otée FME) qu permet de décrre la prédcto du dépassemet du seul lorsqu u excès se produt. Tros cas peuvet se préseter : S à u certa seul, la FME emprque est marquée par ue pete postve, les doées suvet la dstrbuto GPD avec u paramètre ξ postf. S la focto moyee des excès est horzotale ; les doées suvet ue dstrbuto expoetelle. S la FME emprque est marquée par ue pete égatve, les doées suvet ue dstrbuto à queue légère. 6
La fgue suvate présete la FME d ue dstrbuto GPD avec u paramètre ξ postf. O costate que la FME devet stable pour u seul de l ordre de 5500. Fgure : La focto moyee des excès 3.3 La focto GPD et l estmato de la queue de dstrbuto La dstrbuto GPD utlsée das cette parte se présete sous la forme suvate x + ξ G ( x) = β x - β - e ξ s ξ 0 s ξ = 0 L estmato du seul par la méthode GPD m Il s agt d ue méthode qu cosste à chosr le seul comme état le quatle d ordre de la lo des doées, avec m le ombre des excès fxé tel que < m <, tedat vers l f avec la talle de l échatllo, mas restat pett devat. Plus précsémet, u = F ( m ) où lm m = + et lm = 0 F est la focto verse de F et m est tel que : m 7
ème E pratque, o estme le seul par le ( m ) observato ordoée ; c'est-à-dre uˆ = x pus o retet celu pour lequel les estmatos apparasset stables pour u ( m ) modèle be ajusté aux doées. L adéquato des excès au-delà du seul par la focto GPD Ress et Thomas (996) suggèret que ; s o arrve à trouver ue adéquato de la dstrbuto codtoelle des excès au delà d u seul à la dstrbuto GPD, alors o peut fare ue adéquato à la queue de la dstrbuto orgale. Pour x u (des pots apparteat à la queue de la dstrbuto), F( x) = P X x = P X u Fu x u + P X u { } ( { }) ( ) { } Cette relato motre qu o peut estmer F u ( x u) par G β ( x u) Nous pouvos auss estmer { X u} ξ, pour u élevé. P à partr des doées par la focto de dstrbuto emprque F (u) évaluée au pot u. Cela veut dre que pour x u ous pouvos utlser l estmato de la queue, Fˆ ( x) = ( F ( u) ) Gξ, β, u ( x) + F ( u), pour approxmer la focto de répartto F (x). Il est facle de motrer que F ˆ ( x ) est auss ue dstrbuto GPD, avec le même paramètre de ~ forme ξ, mas avec u paramètre d échelle β = β ( F ( u) ) ξ et u paramètre de ~ ~ ξ µ = u β ( F ( ) u ) ξ. leu ( ) 3.4 L estmateur de Hll Hll (975) a proposé l estmateur suvat de la dstrbuto GPD k ˆ = ξ ( l X, l X k, ) pour k 2 k = Avec k, l ordre statstque le plus élevé (le ombre des excès), est la talle de l échatllo et α = est l dce de la queue de dstrbuto. ξ 8
Fgure 2 : Le Hll-plot Ce graphque Hll-plot, ous permet d avor des estmatos du paramètre α e focto de l ordre statstque le plus élevé (ombre des excès), ous chosssos as l dce le plus stable. La stablté est attete pour α = 0.5 das ce graphque. O peut auss représeter, le Hll plot e utlsat les seuls (e valeur) au leu du ombre de valeurs extrêmes. La représetato c-dessus ous permet d estmer le quatle extrême (seul) e se servat de l dce de queue de la dstrbuto retrouvé par la même méthode. Le Hll-plot est doc u outl à double utlté ; - L estmato de l dce de la queue de la dstrbuto, - L estmato du seul. De Haa (994) a motré que l estmateur de Hll de l dce de queue coverge e probablté vers sa vrae valeur et cela pour toutα réel. L estmateur de Hll est plus fable das le domae d attracto de Fréchet pour lequel l fourt u estmateur de l dce de queue plus effcace que d autres méthodes. Avat de passer à l applcato de cette théore des valeurs extrêmes à la détecto des sstres graves par classe de rsque, l est écessare de préseter les dcateurs de rsque utlsés pour cette étude. 4. Les outls de mesure de la sstralté Souvet o cosdère que le rsque est mesurable das la mesure où l est possble de calculer u rsque moye qu caractérse la tedace de sstralté du phéomèe étudé. Das chaque classe, le rsque est mesuré e terme de fréquece et de coût moye, pus la prme pure est détermée comme produt de ces deux dcateurs. La prme pure correspod au coût du 9
sstre moye auquel devra fare face l assureur. Mathématquemet, elle est égale à l espérace des pertes. Le calcul de la prme pure a pour objectf d évaluer pour chaque assuré (selo ses caractérstques) le motat attedu des sstres pour ue pérode d assurace doée. Plus précsémet, otos k ue classe de rsque (k=,...k) et aées das la classe k. La prme pure das la classe k est alors défe par : où k P k = k = k k = c w k, k, k le ombre de véhcules c, correspod au coût du sstre du véhcule assuré de la classe k. De ombreux coûts sot uls. w, correspod au pods du véhcule assuré de la classe k. E effet, au cours k d ue aée, le ombre d assurés das ue classe vare, certas arrvet, d autres réslet leur cotrat ou chaget de véhcule. Chaque observato est doc podérée par wk, = ( ombre de mos où l assuré est préset das la classe k). U chagemet de 2 véhcule peut mplquer u chagemet de classe. U assuré préset 3 mos das l aée, aura doc u pods égal à 0.25 (sa cotsato e correspod qu à tros mos d assurace). Par coséquet, k = w k, k Ces dcateurs sot e gééral ormés (e dvsat chaque dcateur par la prme pure de l esemble du portefeulle) et multplés par 00. As la prme pure du portefeulle est égale à 00 et les prmes pures des classes sot as faclemet terprétables par rapport à la moyee du portefeulle. A travers ces dcateurs o recherche ue tedace qu déped de la ature du produt assuré, de la régularté de l evroemet et du portefeulle, de la structure de l etreprse, as que de sa gesto et de sa stratége commercale. Cet dcateur de prme pure permet d ue part de hérarchser les classes et d autre part, l sert de base au calcul de la prme de référece. La prme payée par l assuré est égale à la prme de référece multplée par le coeffcet réducto majorato (bous-malus) de l assuré (cf. Gru-Réhomme, 2000). Le système bous-malus permet de garatr ue soldarté mmale et suffsate etre assurés de classes de rsque dfféretes. Par défto, le motat d u sstre clut l demsato drecte des vctmes, les fras de gesto teres à la mutuelle ou la compage d assurace as que les fras exteres (expertse, fras judcares) afférets à ce sstre. Les fras d acqusto du cotrat e sot pas clus das ce motat. Le motat de sstre est autre qu ue varable aléatore postve ou ulle. Il est à oter que le motat du sstre utlsé das cet artcle est dfféret de la charge de sstre qu est auss ue varable aléatore du motat de sstre mas dmuée de la frachse. Ue remarque à propos des coûts des sstres : tous les sstres e sot pas réglés facèremet l aée où ls surveet. O peut estmer qu evro u ters d etre eux 0
sot clos la même aée, u pett ters l aée suvate et de 0 à 5% la trosème aée. Les règlemets sot e gééral plus logs pour les accdets corporels. Pour la gesto facère de la compage d assurace, l est doc écessare d effectuer des estmatos des coûts des sstres o réglés l aée e cours. L assureur, e s appuyat sur so expérece passée, établt des provsos pour fras au cas par cas. Das le calcul de la prme pure de l applcato umérque proposée par la sute, l s agt doc des coûts réels ou de coûts estmés. Pour les accdets corporels, l assureur peut coaître le motat total de ses dépeses seulemet après pluseurs mos, vore pluseurs aées, d où cette écessté de fare ue prévso de ses dépeses. Le coût des sstres corporels compred pluseurs composates : demtés pour les persoes physques, sos, terce persoe, préjudces persoels et écoomques. 5. Applcato umérque La base de doées cocere u échatllo de 50000 observatos pour des véhcules 4 roues de toursme durat l'aée 2004, ssu du portefeulle d ue mutuelle d assurace fraçase. Das cet échatllo, tous les assurés sot présets l aée etère. U eregstremet correspod au rato : rsque / sstre garat (s u assuré a deux véhcules, o aura deux eregstremets). Ce fcher cotet des varables caractérstques des assurés (sexe, âge, aceeté de perms, zoe d habtato, ) et des véhcules (pussace, aceeté, ), as que les facteurs relatfs à la sstralté (fréquece, coût, coût estmé, date de surveace du sstre). 5. Aalyse exploratore des doées Le fcher cotet evro autat d hommes que de femmes. Das 30% des cas, l assuré est pas le coducteur prcpal. Quelques statstques sur les varables umérques : M Q Médae Moyee Q 3 Max (25%) (75%) Coût des sstres o uls 37 28 468 967 68 45972 Age du coducteur 8 35 48 47 57 98 Aceeté du véhcule 0 3 7 7.5 83 Pussace du véhcule* 24 60 76 83 00 485 * La pussace (réelle) du véhcule exprme la pussace du moteur e chevaux D (Deutsch Idustre Norme). Cette mesure doe ue vso plus réalste de la pussace effectve au veau des roues ( ch. D = 0,735 Watt). Par exemple, la Fat Uo, la Reault Clo et la Peugeot 205 ot 60 ch. D, et les Peugeot 206, Reault Lagua et Ctroe Pcasso, 0 ch. D. Les coûts augmetet e moyee de faço logarthmque avec la pussace du véhcule et ls dmuet de faço parabolque (cocave) avec l aceeté du véhcule. La dsperso de ces
coûts sut les mêmes mootoes. Les véhcules pussats et les véhcules de marque étragère sot plus fréquets chez les hommes que chez les femmes. L étude de la sstralté e focto des caractérstques du couple (coducteur, véhcule) a fat l objet de ombreux travaux (cf. Mart J.L., Derre Y., Laumo B., 2003). U graphque QQ-plot permet d étuder la forme asymétrque de la dstrbuto des coûts des sstres. QQ-plot des doées U graphque QQ-plot est u outl coveable pour vor s la dstrbuto d ue varable das u échatllo provet d ue dstrbuto théorque spécfque. Le QQ-plot est u graphque qu oppose les quatles de la dstrbuto emprque aux quatles de la dstrbuto théorque evsagée. S l échatllo provet be de cette dstrbuto théorque, alors le QQ-plot sera léare. Das la théore des valeurs extrêmes, le QQ-plot se base sur la dstrbuto expoetelle. Le QQ-plot sous l hypothèse d ue dstrbuto expoetelle est la représetato des quatles de la dstrbuto emprque sur l axe des X cotre les quatles de la focto de dstrbuto expoetelle sur l axe des Y. Le graphque est l esemble des pots tel que : k + X k :, G0,, k =,..., + X : : Représete le k éme ordre statstque et k expoetelle. G 0, est la focto verse de la dstrbuto L térêt de ce graphque est de ous permettre d obter la forme de la queue de la dstrbuto. Tros cas de fgure sot possbles : - Les doées suvet la lo expoetelle : la dstrbuto présete ue queue très légère, les pots du graphque présetet ue forme léare. - Les doées suvet ue dstrbuto à queue épasse «fat-taled dstrbuto»: le graphque QQ-plot est cocave. - Les doées suvet ue dstrbuto à queue légère «short-taled dstrbuto» : le graphque QQ-plot a ue forme covexe. Les deux graphques suvats représetet le QQ-plot du motat des sstres pour l esemble des observatos. 2
QQ-plot du coût des sstres ( ξ = 0, 5) QQ-plot du coût des sstres ( ξ = 0 ) Fgure 3 : QQ-plot du motat des sstres La comparaso des deux graphques QQ-plot pour des dfférets valeurs de l dce de queue, ous permet de coclure que l adéquato à la lo GPD avec u dce égal à 0.5 semble plus coveable. Les classes de rsque Das otre applcato, les classes de rsque sot costrutes à partr de caractérstques du coducteur (aceeté de perms, type de coducteur), de caractérstques du véhcule (aceeté et pussace) et du leu d habtato. Le type de coducteur correspod au fat que l assuré est, ou est pas, le coducteur prcpal du véhcule assuré; cette dstcto est pertete pour les jeues coducteurs (mas cette dmeso est déjà prse e compte par l aceeté de perms et le bous-malus) et das ue modre mesure pour les cojots. Nous dsposos auss de la Pérode de couverture : pérode, exprmée e mos, au cours de laquelle l assuré est couvert par la polce qu l a souscrt, le plus souvet cette pérode est d ue aée. Pour des rasos de cofdetalté, toutes les varables de costructo des classes e sot pas utlsées et la descrpto précse des classes est pas doée. La coassace des classes et des prmes pures assocées permettrat à u cocurret de coaître les ratos sstres/cotsatos de cet assureur, pusqu l est toujours possble de se reseger sur le motat de la cotsato. Cette applcato umérque a valeur que d exemple pusque l o travalle sur u échatllo et o sur l esemble du portefeulle, mas la démarche méthodologque et formatve reste la même. Il est be sûr mpossble de «sortr» les doées dvduelles, qu sot écessares pour ce type d étude, de l esemble du portefeulle. Le tableau suvat présete la hérarche des classes de rsque basée sur la prme pure, as que quelques caractérstques statstques de ces prmes. O costate que globalemet le euvème décle et l écart type augmetet avec la prme. 3
Classe Nombre d'observatos Prme pure Prme pure ormée Quatle 90% Ecart type 3664 55,04 26,06 0 305 2 6258 90,4 42,8 0 474 3 3098 24,82 59,0 252 605 4 3258 4,59 67,04 34 52 5 345 65,0 78,7 44 588 6 3893 90,02 89,97 532 603 7 558 223,36 05,76 656 708 8 6225 226,30 07,5 792 859 9 4544 287,97 36,35 88 0 0 3253 300,47 42,27 920 907 4459 329,39 55,96 947 07 2 2405 4,99 95,07 922 55 5.2 Détecto des valeurs extrêmes das les classes de rsque selo les méthodes reteues Ue forte varablté des coûts das ue classe de rsque peut prover d ue mauvase costructo de la classe (maque structurel d homogéété), d ue pette sous populato dfférete ou de la présece de valeurs extrêmes (sstres graves pour la classe). Parm ces coûts très élevés quelles sot les valeurs que ous pouvos qualfer d extrêmes? Pour répodre à cette problématque ous avos recours à tros méthodes pour détermer das chaque classe le seul au-delà duquel ue valeur sera cosdérée comme extrême. Le chox du seul Das le chox du seul o se trouve face à l u des deux problèmes ; la présece d u bas ou d ue varace élevée. E preat u seul fable, le ombre des observatos (excès) augmete et l estmato devet plus précse. Mas le chox d u tel seul fable rsque de déclarer abusvemet des observatos comme extrêmes et trodure u bas das l estmato de la prme pure e la sous-évaluat. Le chox du seul par la méthode d approxmato GPD présete l avatage de fourr ue prévso d u sstre extrême pour ue probablté d occurrece doée (très fable). Cette estmato peut être poctuelle ou par tervalles. Das cette étude ous essayos d estmer u quatle extrême avec ue probablté de 0.999 d apparter à la queue de la dstrbuto avec u tervalle de coface de 95%. Pour l esemble des doées, o obtet comme seul prévsoel : Lmte féreure 42 Quatle extrême estmé 7785 Lmte supéreure 2663 4
Fgure 4 : La prévso d'u coût extrême Ce graphque représete la focto de la queue de dstrbuto, o peut vor sur ce graphque le quatle extrême estmé as que les lmtes féreure et supéreure de l tervalle de coface. Pour chacue des classes, o calcule le seul et le ombre de valeurs extrêmes correspodates avec les tros méthodes. Le tableau c dessous présete ces résultats, où N correspod au ombre de valeurs extrêmes reteu. Méthode Record Moyee des excès GPD Classe Seul N Seul N Seul N 3740 8 3200 8 4345 3 2 407 7 450 7 5249 6 3 352 0 3900 6 6078 2 4 4247 8 4200 8 5684 2 5 4705 8 5230 5 6204 4 6 4293 4650 9 5537 4 7 5904 0 7000 7 749 7 8 9370 8 9600 8 9700 6 9 88 8 8500 3 820 9 0 8054 7 7400 7 9252 2 9268 9 9800 6 96 4 2 5468 7 000 5 875 5 Comme le motre le graphque suvat, la méthode GPD détecte toujours mos de valeurs extrêmes que la FME et les valeurs record, le seul estmé par la méthode GPD est toujours plus élevé. 5
Nombre de valeurs extrêmes par classe 6 4 2 0 8 6 4 2 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 Classes Record FME GPD Fgure 5 : Nombre de valeurs extrêmes selo les classes et les méthodes E comparat le ombre de valeurs extrêmes estmé par chacue des tros méthodes précédetes avec le graphque boxplot c dessous, o costate les fats suvats : - La méthode record propose ue stratége maxmale (ombre élevé de valeurs extrêmes) das les classes de rsque où la sstralté est fable ou moyee par rapport à l esemble du portefeulle, c est à dre das les classes où le seul est relatvemet bas pour l esemble du portefeulle (classes de à 7). - La méthode FME preds mos e compte les ruptures das la queue de la dstrbuto. - La méthode GPD offre ue stratége mmale. - Les tros méthodes doet des résultats proches sauf das les cas où la queue de la dstrbuto est costtuée de petts groupes de pots solés. - Pas de corrélato sgfcatve etre les tros méthodes (o ote smplemet u coeffcet de corrélato léare r = 0,44 etre les méthodes FME et GPD). La méthode des valeurs record présete deux covéets pour otre problématque : - Le seul correspod à ue valeur de la dstrbuto (et o à ue valeur estmée comme das les deux autres méthodes), valeur trop lée à l échatllo (les valeurs serot dfféretes au cours d u autre exercce). - Le seul reteu e pred pas e compte la forme géométrque de la queue de la dstrbuto. Il est trop lé à la talle de la classe. Le graphque boxplot suvat permet de vsualser la queue de la dstrbuto des coûts selo les classes. 6
20000 5000 c o u 0000 t 5000 c c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 c9 d d2 d3 y Fgure 6 : Graphque boxplot de la dstrbuto du coût des sstres selo les classes Rappelos que das le graphque boxplot, les moustaches sot gééralemet basées sur,5 fos l tervalle terquartle. Ce chox du coeffcet,5 doerat 99,3% des observatos à l téreur de la boîte et des moustaches s la dstrbuto état ormale. Hors la dstrbuto des coûts, comme d alleurs de ombreuses dstrbutos écoomques (salares, chffre d affares des etreprses, ), est fortemet asymétrque et doc cosdérer comme extrêmes toutes valeurs à l extéreur des moustaches est vramet pas rasoable. La probablté serat de 0,999 pour u coeffcet de 2 (pour ue lo ormale!). La courbe représetatve de la dstrbuto des coûts état asymétrque avec ue queue plus étalée à drote, o a regardé s so logarthme sut ue lo ormale. L exame de l adéquato du logarthme des coûts à ue lo ormale das les classes de rsque s est avéré égatf (tests de ormalté rejetés ; doées tratées avec la procédure capablty de SAS). Les dfféretes méthodes probablstes (ou autres) proposet u seul, souvet dfféret d ue méthode à l autre, mas la dffculté du gestoare est de chosr le «bo» seul adéquat à la réalté des doées. Be sûr, l est possble de cosulter des experts ou d utlser de l formato auxlare (s dspoble), mas comme das la réalté le ombre de classes est de l ordre de pluseurs cetaes, cette démarche pred beaucoup de temps. Le traval pratque du statstce, comme du gestoare, est de trouver u comproms etre la qualté (précso des estmatos) et le coût pour y parver. Ue démarche de type aalyse factorelle (e facteur commu), pour reter ue seule valeur de seul, e covet pas pusque les varables e sot pas fortemet corrélées. Das certaes classes, o obtedrat u seul féreur à la plus pette valeur trouvée ou supéreur à la plus grade valeur. Das cette voe, ous proposos de détermer u seul mmsat la varace (crtère de qualté) d ue combaso covexe des seuls obteus par ces deux méthodes ssues de la théore des valeurs extrêmes. 7
5.3 Nouvelle méthode de chox d u seul O peut toujours cosdérer que les assurés d ue même classe de rsque costtuet u échatllo aléatore de l esemble des assurables ayat les mêmes caractérstques. D alleurs d ue aée à l autre, ue parte des assurés chage das ue même classe de rsque, du fat de ouveaux assurés, des départs, des chagemets de véhcule, Théorème 3 Soet U des varables aléatores ( =,..., p ). O ote V la varace de covarace des varables U et covexe des U, à savor : U et U j. Sot X la varable aléatore défe comme combaso p X = α U, où α > 0 et α =. = La varace de X est mmale pour α = V p = V p = A, où Vj V est l verse de la matrce de varace-covarace de V, V est la ème lge de V et A la matrce u-coloe d ordre p dot tous les coeffcets sot égaux à. La preuve se trouve das l aexe. Das cette démarche, qu permet d obter u seul de référece, les varables aléatores U correspodet aux seuls. Mas das cette approche, les varaces e sot pas coues explctemet, l est doc écessare de les estmer. Les méthodes d estmato de la précso d u paramètre par rééchatlloage que ce sot le bootstrap ou le Jackkfe, ot des buts smlares et utlset des stratéges semblables (Efro, 979, Efro et Tbshra, 993, Shao et Tu, 996, Dagele, 998). Le Jackkfe peut être cosdéré comme ue approxmato du bootstrap, mas l doe souvet de mos bos résultats, même s la méthode est plus rapde pour u effectf fable. E partculer, le Jackkfe est pas appropré pour l estmato de la précso d u quatle. Pusque les seuls correspodat à des quatles, la varace a doc été estmée par la méthode du bootstrap qu cosste à trer, avec remse, K échatllos de même talle que l échatllo cosdéré (classe de rsque). O a chost K=00. Les temps de mse e œuvre et de calcul sot assez logs. Plus précsémet s ûk désge l estmato de k o a : et la varace de û est estmée par : uˆ = K u (seul) das le rééchatllo k ( k =,..., K ), K uˆ k k = la 8
Vˆ ( uˆ) = K K k = ( uˆ k uˆ) 2 Das cette applcato umérque, o cosdère ue combaso covexe des deux varables de seul ( u : FME et u 2 : GPD) qu mmse la varace de cette combaso. Cette démarche est melleure que de predre ue smple moyee arthmétque des seuls. Classe α Seul Covexe (N) 0,283 402 4 2 0,22 55 6 3 0,24 5553 3 4 0,327 54 4 5 0,93 606 5 6 0,38 524 5 7 0,86 72 7 8 0,27 9687 7 9 0,9 86 0 0 0,236 885 5 0,34 67 4 2 0,79 4372 7 Das ce tableau 0 < α < et X = α U + ( α) U 2 et α mmse la varace de X. O V2 cov( V, V2 ) obtet α =, où V correspod à la varace de U. N désge toujours V + V2 2cov( V, V2 ) le ombre de valeurs extrêmes reteu selo le seul correspodat à cette combaso covexe des deux seuls. Das chaque classe de rsque, la varace estmée du seul par la méthode FME est toujours plus grade que celle de la méthode GPD et doc la combaso covexe des seuls est plus proche des seuls reteus par la méthode GPD que ceux détermés par la FME, comme le motre le graphque suvat. 9
Nombre de valeurs extrêmes 6 4 2 0 8 6 4 2 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 Classes FME GPD Covexe Fgure 7 : Postoemet de la méthode covexe par rapport aux méthodes FME et GPD Cette techque permet d avor u comproms etre les deux méthodes, etre ue stratége mmale (GPD) et ue stratége maxmale (FME). Elle est davatage corrélée avec la méthode GPD et relatvemet plus lsse. 6. Cocluso Le quotde du pratce de la statstque ou de l écoomètre e etreprse est de travaller sur des doées qu sot souvet rebelles à l aalyse. Des doées sot maquates, atypques ; des erreurs de sase, de codage, de mauvases déclaratos volotares ou volotares. Le repérage de toutes ces mperfectos est sas doute pas l aspect le plus gratfat du traval, ecore que les aspects méthodologques pusset être tout à fat téressats. De toute faço, l est dspesable à la producto d dcateurs fables et robustes. Ue dstrbuto dot être étudée sur toute sa logueur. O se préoccupera be sûr de la forme plus ou mos aplate du mleu de la courbe, mas o accordera ue atteto prortare aux aspects de symétre et aux queues de dstrbuto. Les coûts extrêmes e assurace automoble e se prêtet pas à la modélsato ; par défto ce type de coûts est rare et les prévsos ou estmatos dovet souvet être étables avec ue grade méface et e marge des doées dspobles. Les modèles dovet être utlsés de faço souple, sas y crore complètemet à la lmte. L approche dot être ouverte et multforme, et e ce ses, l y a pas ue méthode pour u problème. La théore des valeurs extrêmes classque ou basée sur la lo de Pareto gééralsée e résout pas ces dffcultés d u coup, mas elle fourt des jumelles à travers lesquelles les assureurs peuvet observer les évéemets extrêmes avec ue certae objectvté af d ue part de 20