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SOMMIE Cnématque du solde... 3. Modélsaton des pèces mécanques :... 3 a. Solde déformable en pettes déformatons :... 3 b. Solde déformable en grandes déformatons :... 3 c. Solde déformable en surface :... 4 d. Solde ndéformable :... 4. Poston relatve de deux soldes, noton de pont appartenant au solde.... 5 a. Poston relatve de deux soldes :... 5 b. Pont lé à un solde :... 5 c. Contact ponctuel entre deux soldes :... 6 d. Mse en relaton des paramètres de poston de soldes :... 7 3. Champ des vecteurs vtesse des ponts d'un solde :... 8 a. Equproectvté du champ des vtesses d'un solde :... 8 b. Torseur dstrbuteur des vtesses :... 8 c. Opératons sur les torseurs :... 9 d. pplcaton :... 4. Mouvements partculers :... 3 a. Mouvement de translaton :... 3 b. Mouvement de rotaton :... 4 c. Traectores, vecteurs vtesse et accélératon dans les mouvements partculers :... 4 5. Composton des mouvements de soldes :... 5 a. Composton des vecteurs vtesse :... 5 b. pplcaton :... 6 c. Composton des torseurs dstrbuteurs des vtesses d'un solde :... 7 d. Etude cnématque du contact ponctuel entre deux soldes :... 8 6. Etude de mouvements plans de soldes :... 9 a. éducton d'un mouvement plan sur plan :... 9 b. Centre nstantané de rotaton :... c. Explotaton graphque du C.I.. :... d. Base et roulante :... 3 Cnématque du solde - Etudant.docx /3
CINEMTIQUE DU SOLIDE Problématque : L'obectf de la cnématque est de comprendre et de défnr les relatons entre les mouvements des pèces prncpales d'un mécansme.. MODELISTION DES PIECES MECNIQUES : La modélsaton des pèces d un système, d un mécansme est foncton de l étude que l on envsage de fare. Suvant les hypothèses retenues, on peut avor: a. Solde déformable en pettes déformatons : Les théores développées en élastcté et en résstance des matéraux posent entre autre pour hypothèses que les pèces étudées sont déformables, mas que ces déformatons et les déplacements assocés demeurent petts. Exemple d une poutre encastrée : Sous l effet de F, la poutre se déforme et la secton drote S se déplace vers une nouvelle poston S. L étude des efforts de cohéson est fate en supposant la poutre non déformée, ce qu revent à ne pas consdérer le déplacement de la secton S lors de cette étude. F S S b. Solde déformable en grandes déformatons : Lorsque les déformatons d une pèce sont mportantes par rapport à ses dmensons, l devent mpossble de les néglger. C est le cas lors d une étude d un poteau lorsque l effort dépasse une valeur crtque, la déformaton augmente de façon très mportante, provoquant son effondrement. C est du flambage, et cette sollctaton ne peut être étudée qu à condton de prendre en compte les déformatons. Cnématque du solde - Etudant.docx 3/3
c. Solde déformable en surface : Ce modèle est souvent utlsé dans l étude des actons de contact entre deux pèces d un mécansme. On consdère alors que le solde reste globalement rgde, à l excepton de la zone stuée au vosnage mmédat de la surface de contact avec la pèce vosne dont la déformaton, ben que fable, est prse en consdératon. Exemple des essas de dureté : Type d'essa Observatons Essa Brnell - HB Le pénétrateur est une blle en acer trempé ou carbure de tungstène de φ D sous une charge F en Newtons mantenue 5 secondes. On mesure le "d" de l'emprente (d dot être comprs entre, et,5xd). K=3 pour les acers. Essa ockwell C - HC Le pénétrateur est un cône de damant de d'angle et de charge égale à 373 N. On mesure l'accrossement "e" en profondeur ou enfoncement rémanent. Essa ockwell B - HB Le pénétrateur est une blle en acer trempé de,6 mm de damètre et de charge égale à 883 N. On mesure l'accrossement "e" en profondeur ou enfoncement rémanent. Essa ckers - H Le pénétrateur est une pyramde drote à base carrée et d'angle au sommet de 36 sous une charge F. On mesure les dagonales "d" de l'emprente. d. Solde ndéformable : On est souvent amené à supposer néglgeables les déformatons des pèces d un mécansme lors d une étude géométrque ou cnématque de celu-c. Cela est exprmé par le fat que la dstance entre deux ponts quelconques et B au solde est constante au cours du temps: dstance (,B) = Cte L absence de déformatons va nous permettre: - de ler un repère à la pèce consdérée et dans ce cas la poston d un pont quelconque de la pèce est constante dans ce repère - dstance (,B) = Cte va nous permettre de représenter le champ des vtesses des ponts d un solde par un torseur. Cette modélsaton exclut naturellement les fludes, ans que les pèces qu subssent de grandes déformatons, comme les ressorts, les courroes de transmsson. Cnématque du solde - Etudant.docx 4/3
. POSITION ELTIE DE DEUX SOLIDES, NOTION DE POINT PPTENNT U SOLIDE. a. Poston relatve de deux soldes : z z y O O x y Dans un repère la poston relatve des axes est nvarante au cours du temps, c'est pourquo un repère est équvalent à un solde. De ce fat l'étude du mouvement du solde S par rapport au solde S est dentque à l'étude du mouvement du repère lé au solde S, par rapport au repère, lé au solde S. Postonner le solde S par rapport au solde S, revent à postonner le repère O,x,y, z solde S par rapport au repère O,x,y, lé au solde S. z On suppose pour le moment qu'l n'y a aucune lason entre les deux soldes S et S. x lé au b. Pont lé à un solde : M 3 yԧ yሬሬሬԧ O xԧ P xሬሬሬԧ Consdérons un pont P d'un solde en mouvement par rapport à un repère. Ce pont appartent naturellement au solde, c'est à dre qu'à chaque nstant l est lé au solde. Pour mettre en évdence cette proprété, on note le vecteur vtesse et le vecteur accélératon du pont P par rapport au repère, à la date t : (P /) ou P,/ et ( P/) ou P,/. Consdérons un pont M naturellement lé à un autre solde en mouvement par rapport au repère et au solde. On peut être amené à calculer, à l'nstant t, le vecteur vtesse ou le vecteur accélératon du pont M par rapport au repère, lé à l'nstant t au solde (on dra supposé appartenant) : (M /) et ( M/). Nous verrons que le calcul du vecteur vtesse ou du vecteur accélératon ne se fat pas de la même façon s le pont appartent naturellement au solde, ou s le pont est supposé lé à l'nstant t au solde. Cnématque du solde - Etudant.docx 5/3
c. Contact ponctuel entre deux soldes : Consdérons deux soldes et, en contact ponctuel en un pont P et en mouvement par rapport à un repère. u pont de contact, à un nstant donné, on dstngue tros ponts : - un pont lé au solde - un pont lé au solde - le pont de contact, qu n'appartent à aucun des deux soldes. On notera les vecteurs vtesse respectvement : z P (P /), (P /), (P/) On constate que ce n'est pas parce qu'on étude la cnématque du solde, que l'on calcule unquement des vecteurs vtesse qu appartennent à des soldes. x O y pplcaton : Gyropode. Sot le gyropode en mouvement par rapport au repère fxe (O; xԧ, yԧ, zԧ). Le repère (O ; xሬሬሬԧ, yሬሬሬԧ, zሬሬሬԧ), assocé au solde cadre du gyropode, est dédut de et défn par : OO ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ = λ. xԧ +. yԧ avec λ cte et = cte Le repère (O ; xሬሬሬሬԧ, yሬሬሬሬԧ, zሬሬሬԧ) assocé au solde roue du gyropode, est dédut de tel que : θ = (xሬሬሬԧ, xሬሬሬሬԧ) Calculez les vecteurs suvants : (I / ), (I / ) yሬሬሬԧ yԧ O O I xԧ θ xሬሬሬԧ Cnématque du solde - Etudant.docx 6/3
d. Mse en relaton des paramètres de poston de soldes : Les paramètres de postonnement de soldes peuvent être ndépendants mas, dans nombre de mécansmes, ls sont lés les uns aux autres et l est ntéressant de détermner les relatons qu les lent. Lo entrée-sorte d'une chaîne fermée : La méthode la plus répandue est l'utlsaton de la fermeture géométrque qu tradut, en s'appuyant sur la géométre du mécansme, une somme vectorelle nulle. On cherchera ensute, parm les équatons obtenues, à reler le paramètre d'entrée au paramètre de sorte. pplcaton : attelle de rééducaton EQUEE B α MONTNT θ y CHIOT x BTI C x Fermeture géométrque : Sot B a, BC b et C c. Exprmer dans le repère la fermeture géométrque suvante : B BC C En dédure une expresson de θ : ngle d'ouverture du genou α en foncton du déplacement du charot x : Sot L l'ouverture maxmum du charot, donner une expresson C en foncton de L et x : En dédure θ=f(x) : emarque : On pourra, en foncton de la confguraton, utlser des partculartés géométrques du système ou cnématques pour reler les paramètres d'entrée et de sorte. Cnématque du solde - Etudant.docx 7/3
3. CHMP DES ECTEUS ITESSE DES POINTS D'UN SOLIDE : a. Equproectvté du champ des vtesses d'un solde : M S/ Le paramètre temps t étant fxé, le champ qu a tout pont M d un solde (S) assoce le vecteur vtesse s appelle le champ des vtesses du solde (S) à l nstant t. db dt Soent et B, deux ponts lés au solde en mouvement par rapport au repère O,x,y,z. Dérvons la relaton db B. et B car dt db doob Or Donc : dt dt B. B Cte par rapport au temps dans le repère (car le solde est ndéformable) BS/ B. S/ B Cte B S/ S/ et B (S) ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ B, Τ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ, Τ B 3 yԧ yሬሬሬԧ O xԧ xሬሬሬԧ Le champ des vtesses d un solde est équproectf. Cela sgnfe que les mesures algébrques des proectons orthogonales, sur un axe de drecton B, des vecteurs vtesse des ponts et B sont égales. Ce résultat se comprend asément: les ponts et B dovent se suvre dans le mouvement du solde S par rapport au repère snon le solde éclaterat! Cette relaton est surtout utlsée dans la résoluton graphque des problèmes de cnématque. b. Torseur dstrbuteur des vtesses : Sot le solde en mouvement par rapport au repère. Consdérons les deux ponts et B de ce solde. D'après la formule de changement de base, on peut écrre : do doo O do O,/ / O dt dt dt,/ D'où :,/ O,/ / O Cnématque du solde - Etudant.docx 8/3
Par analoge :,/ O,/ / OB B O B O B B,/ O,/ / O,/ / / Fnalement on obtent une relaton qu le les vecteurs vtesse de deux ponts d'un solde : B que l'on écrra plutôt sous la forme : B,/,/ / B B,/,/ / C'est le champ des vecteurs vtesse des deux ponts d'un solde (relaton de changement de pont) Cette relaton est prmordale pusqu'elle permet de défnr, à partr de la vtesse d'un pont connue et la vtesse de rotaton du solde, la vtesse de n'mporte quel autre pont! Cette relaton établt que le champ des vtesses d un solde est le champ des moments d un torseur dont la résultante est appelée vecteur nstantané de rotaton. / On appelle ce torseur le torseur cnématque ou torseur dstrbuteur des vtesses dans le mouvement de (S) par rapport à et on note ses éléments de réducton au pont : S / ns pour connaître complètement le champ des vtesses d un solde (S) dans son mouvement par rapport à, l sufft de connaître, en un pont, les éléments de réducton du torseur dstrbuteur des vtesses assocé. S /,S / c. Opératons sur les torseurs : elaton de changement de pont : Sot le torseur T exprmé en dont on souhate connaître l'expresson en B. M On utlsera pour cela la relaton suvante : On pourrat donc écrre le torseur exprmé en B : T M M B MB B B M B La résultante reste nchangée car c'est le premer nvarant du torseur. Egalté de deux torseurs : T T Deux torseurs T et T sont égaux s'ls ont mêmes éléments de réducton en MT MT un pont, récproquement s'ls ont mêmes éléments de réducton en un pont, ls sont égaux : - T T - et s'l exste un pont où MT M Torseur nul : T Un torseur est nul s son moment est nul en tout pont de l'espace. Pour cela l faut et l sufft que sa résultante sot nulle T et qu'l exste un pont où le moment est nul. M cec entraîne B de l'espace : M M B On pourra alors écrre : T B Cnématque du solde - Etudant.docx 9/3
Somme de deux torseurs : Soent deux torseurs T et Le torseur T T est défn par : T dont les éléments de réducton en un pont sont connus alors : MT T T T et T M T T T T T MT M T ttenton! La somme de deux torseurs s'effectue sur des éléments de réducton prs au même pont. Multplcaton par un réel : MT T S λ est un réel et T Le torseur. T T..M T Invarants d'un torseur : On suppose connu le torseur {T} par ses éléments de réducton au pont : T La résultante générale d'un torseur est le premer nvarant. Le scalare.m B.M, auss appelé automoment, est le deuxème nvarant en effet :. M B mas le produt. B Produt (ou comoment) de deux torseurs : et B, donc :.M. B M T T Soent deux torseurs : T et T MT M T Le comoment de ces deux torseurs est le scalare défn par : M T T. T T. MT T.M T T. T M T Le produt de deux torseurs est commutatf. Le produt de deux torseurs est ndépendant du pont chos pour exprmer les torseurs. Le résultat du comoment est un scalare. M ttenton! Pour effectuer le comoment de deux torseurs, ceux-c dovent être réduts au même pont! Cnématque du solde - Etudant.docx /3
d. pplcaton : Sot l'attelle de rééducaton en mouvement par rapport au repère fxe (O; xԧ, yԧ, zԧ). Le repère (O ; xሬሬሬԧ, yሬሬሬԧ, zሬሬሬԧ), assocé au solde charot de l'attelle, est dédut de et défn par : OO ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ = λ. xԧ + h. yԧ avec λ cte et h = cte Le repère (O ; xሬሬሬሬԧ, yሬሬሬሬԧ, zሬሬሬԧ) assocé au solde équerre de l'attelle, est dédut de tel que : θ = (xሬሬሬԧ, xሬሬሬሬԧ) Le repère 3 (O 3 ; xሬሬሬሬԧ, 3 yሬሬሬሬԧ, 3 zሬሬሬԧ) 3 assocé au solde 3 montant de l'attelle, est dédut de tel que : α = (xሬሬሬሬԧ, xሬሬሬሬԧ) 3 On donne les coordonnées des ponts et B dans le repère : ( c, d, ) et B ( e, d, ) ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ B, Τ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ, Τ B 3 yԧ yሬሬሬԧ O xԧ xሬሬሬԧ Q. Etablr les fgures de changement de base nécessares. Q. Défnr les vecteurs vtesse de rotaton : ΩሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ, Τ ΩሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ, Τ ΩሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ 3 Τ pus ΩሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ Τ et ΩሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ. 3 Τ Q3. Détermner ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ O,Τ et en dédure le torseur cnématque {υ Τ }. Que peut-on dre de ce torseur? O Cnématque du solde - Etudant.docx /3
Q4. Détermner ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ, Τ et en dédure le torseur cnématque {υ Τ } Q5. Détermner alors le torseur cnématque {υ Τ } B Q6. On vous propose de vérfer l'équproectvté de votre champ de vecteurs vtesse. Cnématque du solde - Etudant.docx /3
4. MOUEMENTS PTICULIES : a. Mouvement de translaton : Sot O,x,y, z un repère lé au solde S. Sot O,x,y, un repère lé au solde S. S les axes z de restent parallèles aux axes de, le solde S est alors anmé d un mouvement de translaton par rapport à S. z ectlgne Crculare z O x y Curvlgne O x y - S le pont O décrt une drote dans le repère, la translaton est dte rectlgne snon elle est dte curvlgne ou quelconque. - S le pont O décrt un arc de cercle dans le repère, la translaton est dte crculare. Comme à tout nstant, le vecteur nstantané de rotaton est nul :. Consdérons ponts quelconques et B lés au solde S, on peut écrre : B,S/S,S/S B S/S comme B S /S, l en résulte que : B,S/S,S/S S/S et B à S. Donc tous les ponts de S ont même vtesse par rapport à S. S tous les ponts de S admettent la même vtesse par rapport à S, alors le mouvement de S par rapport à S est une translaton. Torseur cnématque caractérstque d'un mouvement de translaton : S/???,S/ valable en tous ponts du solde emarque : Les notons de vtesse et d accélératon ne sont défnes que pour un pont. Parler de la vtesse d un solde n a pas de sens horms quelques mouvements partculers tels que la translaton. ttenton! un nstant donné, tous les vecteurs vtesse des ponts du solde S sont égaux, mas en général, entre deux nstants t et t+δt, les vecteurs vtesse changent. Cnématque du solde - Etudant.docx 3/3
b. Mouvement de rotaton : S deux ponts et B d un solde S admettent une vtesse nulle dans S, alors le solde S est anmé d un mouvement de rotaton autour d un axe () passant par les ponts et B, par rapport au solde S. Sot O,x,y, z O,x,y, z un repère lé au solde S. Sot un repère lé au solde S. La rotaton est repérée par z. x, x et tel que z S z, z K M B M,S / S Proprétés : Par défnton, le vecteur vtesse nstantané de rotaton s exprme par : S / S. z La vtesse d un pont C, stué sur (), est nulle dans le mouvement de S par rapport à S. En effet C à () : C, / CO or O, / car O confondu avec O orgne du repère. De plus CO et O, / S / S S / S sont colnéares donc leur produt vectorel donne un vecteur nul. On peut donc conclure que :, tesse d un pont M à l axe () : Sot K la proecton orthogonal de M sur () : M, / K, / S / S S / S C C,/ MK MK avec MK orthogonal à donc : M, / MK. S / S.sn MK. S / S On peut conclure que la norme de la vtesse est proportonnelle : - à la norme du vecteur rotaton - à la dstance entre le pont consdéré et l'axe de rotaton - Torseur cnématque caractérstque d'un mouvement de rotaton : S / S S/ S / C valable C à () axe de rotaton du solde C O, O H x C y x y c. Traectores, vecteurs vtesse et accélératon dans les mouvements partculers : Les mouvements partculers que nous venons de vor sont faclement dentfables et l est utle de savor défnr les traectores et les postons des vecteurs vtesse et accélératon qu en résultent. Mouvement de translaton rectlgne d'axe X par exemple: - Traectore d'un pont : drote (, X ) - ecteur vtesse : tangent à la traectore donc colnéare à la drote (, X ) - ecteur accélératon : tangent à la traectore donc colnéare à la drote (, X ) (dans ce cas seule l'accélératon tangentelle exste) Cnématque du solde - Etudant.docx 4/3
Mouvement de translaton crculare autour d'un axe (O, Z ) par exemple : - Traectore d'un pont : cercle de centre O et de rayon [O]. - ecteur vtesse : tangent à la traectore donc perpendculare au rayon [O] - ecteurs accélératon : Tangentelle : tangent à la traectore donc perpendculare au rayon [O] Normale : vers le centre nstantané de rotaton (c permanent) donc colnéare à [O] et vers O. Mouvement de rotaton autour d'un axe (O, Z ) par exemple : - Traectore d'un pont : cercle de centre O et de rayon [O]. - ecteur vtesse : tangent à la traectore donc perpendculare au rayon [O] - ecteurs accélératon : Tangentelle : tangent à la traectore donc perpendculare au rayon [O] Normale : vers le centre nstantané de rotaton (c permanent) donc colnéare à [O] et vers O. 5. COMPOSITION DES MOUEMENTS DE SOLIDES : On va établr la relaton entre les torseurs cnématques de soldes en mouvement relatf. a. Composton des vecteurs vtesse : Désgnons, à l nstant t, par O,,,k et par O,x,y, z x,y, z sot ssue de la base,,k deux repères tels que : O sot un pont en mouvement dans, la base par une foncton rotaton (t). Sot M un pont en mouvement dans et. M/ : M/ On se propose de trouver la relaton qu le d OO OM dt doo dt do M dt M/ et doo Par défnton : O / dt D'autre part d'après la formule de la base moble : do M do M do M / OM et par défnton : dt dt dt Il vent en regroupant les termes : O M/ / M/ O / / OM M k z x M O y emarque : En cnématque aucun repère n est prvlégé par rapport aux autres. Le calcul fat dans l autre sens aurat donné : M/ M/ O / / OM utre expresson : Supposons le pont M fxe dans le repère (supposé appartenant), la relaton du champ des vtesses donnerat alors, M/ étant nul : / O / / OM M ns, dans le cas où le pont M n est plus fxe dans, nous pouvons écrre : M/ M/ M / Cnématque du solde - Etudant.docx 5/3
Où le terme est la vtesse du pont M coïncdant dans, c est à dre la vtesse du pont M M / comme s l état fxe dans. La relaton de composton des vecteurs vtesse permet de détermner rapdement la vtesse d un pont dont le mouvement est complexe en consdérant une sute de référentels successfs, chacun en mouvement smple par rapport au précédent. Soent n référentels successfs permettant de passer de à n. On peut écrre les relatons de Chasles suvantes : / /... / n n n emarques : La notaton M/ M n / M n / n... M / est généralement réservée aux soldes assmlables à un pont ou aux ponts géométrques qu n'appartennent à aucun solde, comme les ponts de contact entre soldes. La notaton est à utlser pour les ponts qu appartennent naturellement à un solde, M / ou que l'on suppose lé, à l'nstant t, au solde. Le vocabulare: vtesse absolue, vtesse relatve, vtesse d'entraînement, n'a plus vrament de sens s le pont consdéré est en mouvement par rapport à plus de deux repères. Exemple d'écrture en cnématque du solde : Sot un solde S en mouvement par rapport à un solde S lu-même en mouvement par rapport à un repère ; la composton des vecteurs vtesse d'un pont M appartenant au solde S s'écrt alors : b. pplcaton : ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ = ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ M,S ΤS + ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ M,S Τ M,S Τ On reprend l'exemple de l'attelle de rééducaton : ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ B, Τ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ, Τ B 3 yԧ yሬሬሬԧ O xԧ xሬሬሬԧ Q. Ecrre la composton des vecteurs vtesse de la vtesse absolue : ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ, Τ Q. Détermner les vtesses relatve et d'entranement. Cnématque du solde - Etudant.docx 6/3
c. Composton des torseurs dstrbuteurs des vtesses d'un solde : Soent deux repères et en mouvement relatf. Un solde (S) en mouvement par rapport aux deux repères précédents. Consdérons deux ponts et B de ce solde (S). Nous cherchons la relaton qu exste entre les torseurs cnématques : S/ et S/. En cnématque du pont nous avons montré que le pont : / lors s est lé à (S) : S/ / S/ / / Il reste à démontrer la relaton de composton des vecteurs nstantanés de rotaton. Sot B un pont lé à (S). On peut écrre : BS/ BS/ B / x O z z y O x y B S B S/ S/ S/ et B S/ S/ S/ S/ B eportons dans S/ S/ BS/ B et B / / B /, on obtent : BS/ S/ B / / B B B or S/ S/ / On en dédut : B S/ / S/ / Sot la composton des vecteurs nstantanés de rotaton : S/ S/ / ns sur le plan torsorel : S / S/ / au même pont pplcaton : ttelle de rééducaton Q. Ecrre la composton des torseurs cnématque du torseur cnématque assocé au mouvement de par rapport au repère, par ses éléments de réducton au pont O : {υ Τ }. O Cnématque du solde - Etudant.docx 7/3
Q. Détermner les torseurs de votre expresson, que peut-on remarquer? d. Etude cnématque du contact ponctuel entre deux soldes : Deux soldes S et S de frontères et sont dts en contact ponctuel à l nstant t s un pont (t) à la confguraton S (t) et un pont (t) à la confguraton S (t) sont confondus en un même pont (t). ppelons S/S le torseur dstrbuteur des vtesses du solde S par rapport au solde S et supposons que ses éléments de réducton au pont (t) à l nstant t soent : S /S S /S,S /S N S S / S z S / S C n T Plan tangent commun O y C S x Supposons que les soldes admettent un plan P(t) au pont de contact, permettant de défnr le vecteur untare normal n orenté de S vers S. tesse de glssement : Défnton : Le vecteur S/S est appelé vecteur vtesse de glssement de S par rapport à S. Dans le cas où ce vecteur est nul ou consdéré comme tel, on dt qu l y a roulement et (ou) pvotement sans glssement de S par rapport à S. La condton de roulement et (ou) pvotement sans glssement (CSG) s écrt : S/S On montre que s le contact entre les deux soldes est mantenu, le vecteur vtesse de glssement est stué dans le plan tangent au contact. Pour calculer S/S on passe en général par l ntermédare d un pont qu n est pas un pont de contact : B,S/S,S/S B S/S Cnématque du solde - Etudant.docx 8/3
ecteurs roulement et pvotement : Le vecteur nstantané de rotaton S/S admet une composante sur la normale n au contact et une composante dans le plan tangent : le vecteur N S/S.n. n est appelé vecteur pvotement de S par rapport à S. le vecteur est appelé vecteur roulement de S par rapport à S. T S/S N pplcaton : Gyropode. Q. Défnr la CSG en I : Q. Ecrre la composton des vecteurs vtesse en I et vérfer la : yሬሬሬԧ yԧ O O I xԧ θ xሬሬሬԧ 6. ETUDE DE MOUEMENTS PLNS DE SOLIDES : Le mouvement plan sur plan est fréquemment rencontré (engrenages, système belle-manvelle, excentrque...) et ce paragraphe permettra de mettre en évdence des proprétés orgnales afn de détermner smplement la cnématque de ces mouvements. a. éducton d'un mouvement plan sur plan : Tout mouvement plan sur plan peut être rédut sot à une translaton, sot à une rotaton. Dans le mouvement du plan P M sur le plan fxe P, prenons un bpont B à P M et relevons les postons B à l'nstant t pus B à l'nstant t. S comme dans le premer cas on a B = B, le mouvement peut être rédut à un mouvement de translaton. Dans la stuaton opposée du deuxème cas, on étude les trangles C B et C B, on montre qu'ls sont égaux et superposables par une rotaton de centre C (sommet commun aux deux trangles). ns le mouvement peut être rédut à un mouvement de rotaton de centre C. Cnématque du solde - Etudant.docx 9/3
B Spé B B B B cas Dans un problème consdéré comme plan, un solde k possède au maxmum tros degrés de lberté par rapport à un repère de référence. S le plan d'étude est le plan P de normale Z Z est décrt par le torseur cnématque : PM /P Ok k, alors le mouvement du solde k par rapport au solde.z k x.x y.y cas b. Centre nstantané de rotaton : Dans le mouvement du plan P M sur le plan fxe P, observons deux ponts dstncts et B P M. Comme dans le deuxème cas c-dessus, l est possble de passer du bpont B au bpont B à l'ade d'une rotaton. S on consdère un ntervalle de temps t -t = t suffsamment pett, les médatrces des segments et B B tendent à se confondre avec les normales en et B aux traectores respectves des ponts et B. Le pont I, centre de la rotaton, est appelé Centre Instantané de otaton C.I.. Théorème : Le centre nstantané de rotaton se trouve à chaque nstant sur la normale à la traectore de chacun des ponts du plan moble P M. ns pour un pont N P M, on a: ( N P / P ) NI M O P / P vec le vecteur de rotaton nstantané du mouvement plan sur plan et lé au CI, à l'nstant t. P / M P O M O Conséquence : Le Centre Instantané de otaton du mouvement du plan P M par rapport au plan P O à l'nstant t est le pont appartenant à P M dont le vecteur vtesse est égal au vecteur nul à l'nstant consdéré. Ce qu peut se formuler : à l'nstant t, I P / M P O Ce pont I s appelle Centre Instantané de otaton (C.I..) du mouvement de S par rapport à S. Tout se passe comme s le solde S état en rotaton autour du pont I à l nstant consdéré. Le C.I.. n occupe pas une poston fxe dans le temps, n par rapport à S, n par rapport à S. Un torseur n'a qu'un axe central, le centre nstantané de rotaton est donc unque. Sa défnton est nstantanée et son utlsaton n a d ntérêt que pour une confguraton donnée. Cnématque du solde - Etudant.docx /3
B B B I c. Explotaton graphque du C.I.. : Premer cas : Connassant le C.I.. et le pont M, on détermne la drecton de M S MI MI donc M S / est orthogonal à IM. /S I S /S S /S S / S S. M S / S Support de M M S / S Deuxème cas : I Détermner le C.I.. connassant les drectons des vtesses de deux ponts d'un solde. Soent M et P ces ponts. On suppose que l on connaît M S/S et P S / S. D après ce l on a vu au premer cas, le C.I.. noté I est stué sur la perpendculare à M S/S. De même, le C.I.. noté I est stué sur la perpendculare à P S / S. Le C.I.. est donc stué à l ntersecton des perpendculares. M P S / S P M S / S I Cnématque du solde - Etudant.docx /3
Trosème cas : Détermner la vtesse d'un pont M lé à S, connassant le C.I.. noté I et la vtesse d'un pont N : premère méthode. M S / S N N S / S M I Derner cas : Détermner la vtesse d'un pont M lé à S, connassant le C.I.. noté I et la vtesse d'un pont N : autre méthode. Dans cette méthode on combne l'utlsaton du C.I.. et la proprété d'équproectvté du champ des vtesses d'un solde. M N S / S N M S / S I Cnématque du solde - Etudant.docx /3
d. Base et roulante : Consdérons S un cercle lé au plan moble P O,y, z roulant sans glsser sur l axe O, y du plan fxe P O,y, z lé à S. Le mouvement de S par rapport à S est tel que les plans P et P restent confondus, l s agt d un mouvement plan sur plan. Sot M le pont de contact du cercle sur l axe O, y. z S O z oulante [] Le roulement sans glssement de S sur S permet d écrre : M S/S. Le pont est donc confondu avec le pont I, C.I.. du mouvement de S par rapport à S. S y O M I, x y Base [B] chaque poston relatve de S par rapport à S, donc à chaque nstant t, l exste un C.I.. Un observateur lé au solde S vot l ensemble des CI décrre sur le plan P une courbe appelée base [B] du mouvement. La traectore du pont I dans le plan fxe P, est appelé base du mouvement plan sur plan de P par rapport à P. L ensemble des CI décrt, dans le plan fxe P donc la base [B] du mouvement. O,y,, la drote portée par l axe O, z La trace des CI dans le plan moble P forme une courbe appelée roulante [] du mouvement. y, qu forme La roulante est l ensemble des CI vu par un observateur lé au solde S pendant son déplacement par rapport à S. La traectore du pont I dans le plan moble P, est appelé roulante du mouvement plan sur plan de P par rapport à P. L ensemble des CI décrt, dans le plan moble P O,y roulante [] du mouvement., z, le cercle de rayon O M, qu forme donc la Proprété : La base et la roulante sont deux courbes tangentes qu roulent sans glsser l'une sur l'autre. Le mouvement du cercle S par rapport au solde S revent c au roulement, sans glssement, de la roulante (cercle) sur la base B (drote). Quelques exemples de bases et roulante : - Echelle contre un mur : base roulante - Denture d'engrenages : base et roulante génératon du profl Cnématque du solde - Etudant.docx 3/3