العالي التعليم وزارة والبحث العلمي BADJI MOKHTAR ANNABA UNIVERSITY UNIVERSITE BADJI MOKHTAR ANNABA جامعة باجي مختار عنابة Faculé: Scences de l'ingéneur Année : 2010 Déparemen: Elecronque MEMOIRE Présené en vue de l obenon du dplôme de MAGISTER Inulé Modélsaon e dagnosc de défaus par des mul-modèles enrées/sores Opon SURVEILLANCE DES SYSTÈMES ASSISTÉS PAR DES CAPTEURS INTELLIGENTS Par ELAGGOUNE HOCINE DIRECTEUR DE THESE: MOHAMED BENOUARET. Mare de conférences de l unversé de Badj Mokhar Annaba. DEVANT Le JURY PRÉSIDENT : NOUREDDINE DOGHMANE Pr. U.B.M. ANNABA EXAMINATEUR : DJAMIL MESSADEK MC. U.B.M. ANNABA EXAMINATEUR : KHALED MANSOURI MC. U.B.M. ANNABA EXAMINATEUR : BRAHIM BOULEBTATECHE MC. U.B.M. ANNABA 1
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نظرا لا همي ة دراسة التغي رات المناخية والظواهر الكونية و مع أن ظاهرة التلوث البيي ي تع د من أعقد الظواهر الكونية التي تطرح بقوة في عالمنا اليوم. فهو العامل الا ساسي في إتلاف الهواء النقي والمناخ الحامي للحياة على الا رض. فا ي نشاط بشري صناعيا آان أو فلاحيا أو حتى منزليا نتيجته الحتمي ة طرح آمي ات معتبرة من المواد السامة والنفايات الكيمياي ية في الجو وعلى سطح الا رض أو باطنها. فالتلوث البيي ي لا يعترف بالحدود الفاصلة للدول. فهو ينتشر في جميع الاتجاهات و في جميع الا ماآن و بسرعة مذهلة. و لهذا آان من الواجب أن ن قوم بدراسته و مراقبته و الا حاطة به قبل أن يا تي على الا خضر و اليابس. من هنا آانت الد راسة التي قمنا بها في هذه المذآرة تتعلق باآتشاف الا عطاب مع التوق فات والعيوب الط اري ة على ال م ل اق ط "جمع م ل ق ط " capeurs المستخدمة لمراقبة المعطيات المناخية و التلوث البيي ي. و من ث م فالطريقة المدروسة في هذه المذآرة ت مث ل مساهمة في إطراء طرق د راسة» اآتشاف و تحديد العيوب عن طريق المعطيات التحليلية».FDI ; Redondance analyque م ل خص في الواقع فالا مر يتعلق بشبكة افتراضية من الملاقط capeurs Réseau vruel de م قام ة و منصوبة في رقعة جغرافية معي نة لقياس و مراقبة و متابعة التغي رات المناخي ة و التلوث البيي ي باستمرار. فالعيوب و التوق فات الط اري ة على واحد من هذه الملاقط capeur أو بعضها و في أوقات محد دة سيو دي حت ما إلى تحاليل خاطي ة للوضعية البيي ية و الحالة المناخي ة الر اهنة. فالتقني ة المستخدمة في هذه الد راسة ترتكز على تكوين التصاميم غير الخط ية» lnéare «Modélsaon non باستعمال " متعدد التصاميم" أو " متعدد النماذج"» Mul-modèle «مع الترآيز على البنية المسم اة " متعدد التصاميم ذو الحالة المنفصلة» découplé. Srucure mul-modèle à éa لهذا فالا مر يتطلب إيجاد تصاميم غير خطي ة عن طريق ترآيب عدد معي ن من التصاميم الخطي ة حيث أن آل تصميم خطي يكون فعالا أو نشطا في منط قة معي نة من مناطق النشاط لهذه التصاميم غير الخطي ة. مناطق عمل التصاميم الخطي ة يتم تحديدها عن طريق "طرق التصنيف"» classfcaon». Par «Résdus» هذه التصاميم ستستعمل بعدي ذ في تكوين البواقي " جمع باق " الحالة ال تي عليها الملاقط» Dagnosc «Opéraon de. لكي تستعمل في ما بعد في عملية تشخيص المصطلحات الري يسة: الا نظمة غير الخطي ة التص ميم الخطي التص ميم غير الخطي المعطيات التحليلية متعدد التصاميم م ل ق ط تصنيف مطابقة أو مماثلة» Idenfcaon «تشخيص الحالة» Dagnosc «تلو ث أ زون أ آسيد الا زون. 3
ABSTRACT Consderng he mporance of clmac varaons sudy, as for as he ar polluon consues one of he envronmenal problems mos complex and mos dffcul whch arse for he world oday. Abou any form of human acvy s lkely o deerorae, n a way or of anoher, he clean ar and he proecve amosphere of he Earh. Every day, he human acves, eher ndusral, agrculural or resdenal, has as a resul, he rejecon of grea quanes of naural and synhec chemcals n he amosphere. In he case of he ar polluon, one of he wors problems s due o he fac ha, even f he prmary causes of he oxc ssung are local or naonal, he released parcles despse borders. The domnan wnds ranspor hese pollung subsances n he whole world, whch causes serous envronmenal damage n dsan places and conrbues o he general degradaon of he Earh's amosphere [VPPC 00]. Consequenly, we wll underake a work whch concerns he deecon of falures and defecs of sensors dedcaed o he monorng of he clmac daa and or of ar polluon. The sraegy suded n hs memory represens a conrbuon o he mehods engneerng of Faul Deecon and Isolaon per analycal redundancy. Indeed, s abou a vrual nework of sensors nsalled n an agglomeraon, measurng and permanenly observng he clmac and polluon changes. The falure or he soppage of one or several of hese sensors a momens gven wll auomacally nvolve an erroneous analyss of he suaon. The recommended echnque s based on nonlnear modelng, usng ner ala he Mul-models, one emphaszng on he apponed srucure srucure mul-model a uncoupled sae.il acs o fnd nonlnear models by combnng several lnear models. Each lnear model s acve n a que specfc area of operaon. The areas of operaon of he lnear models mus be deermned by classfcaon. These models wll be used for he generaon of resdues wh a dagnoss vew. Key words: Nonlnear sysems; Modelng; Redundancy; Mul-model; Sably; Mul-observer; Sensor; Classfcaon; Idenfcaon; Dagnoss; Polluon; Ozone; Nrogen oxdes. 4
RÉSUMÉ Vu l mporance de l éude des varaons clmaque, e comme la polluon amosphérque consue un des problèmes envronnemenaux les plus complexes e les plus dffcles qu se posen au monde aujourd hu. À peu près n mpore quelle forme d acvé humane rsque de déérorer, d une façon ou d une aure, l ar propre e l amosphère proecrce de la Terre. Tous les jours, les acvés humanes, qu'elles soen ndusrelles, agrcoles ou résdenelles, on pour résula le reje dans l'amosphère de grandes quanés de produs chmques naurels e synhéques. Dans le cas de la polluon amosphérque, un des pres problèmes en au fa que, même s les causes premères des émssons oxques son locales ou naonales, les parcules dégagées fon f des fronères. Les vens domnans ransporen ces subsances polluanes dans le monde ener, ce qu provoque de graves dégâs envronnemenaux dans des endros élognés e conrbue à la dégradaon générale de l amosphère erresre. [VPPC 00]. Pour cela on va mener un raval qu relève de la déecon de pannes e de défaus de capeurs dédés à la survellance des données clmaques e ou de polluon amosphérque. La sraége éudée dans ce mémore représene une conrbuon à l éude des méhodes de déecon e de localsaon de défaus par redondance analyque. En effe, Il s ag d un réseau vruel de capeurs nsallés dans une aggloméraon, mesuran e observan en permanence les changemens clmaque e de polluon. La défallance ou la panne d un ou de pluseurs de ces capeurs à des nsans donnés va enraîner névablemen une analyse erronée de la suaon. La echnque préconsée es basée sur la modélsaon non lnéare en ulsan enre aures les Mul-modèles, on se basan sur la srucure nommée «srucure mul-modèle à éa découplé».il s ag de rouver des modèles non lnéares en combnan pluseurs modèles lnéares. Chaque modèle lnéare es acf dans une zone de fonconnemen ben parculère. Les zones de fonconnemen des modèles lnéares doven êre déermnées par classfcaon. Ces modèles seron ulsés pour la généraon de résdus en vue du dagnosc. Mos-clés : Sysèmes non lnéares ; Modélsaon ; Redondance ; Mul-modèle ; Sablé ; Mul-observaeur ; Capeur ; Classfcaon ; Idenfcaon ; Dagnosc ; Polluon ; Ozone ; Oxydes d azoe. 5
DEDICACE Je déde cee hèse : 1- à mes chers parens. 2- à mes ros sœurs. 3- à ma femme e à mes deus fls «MOHAMED ELHOMMAM, ABD ELKAFI». 4- à oues la famlle. 5- à ous mes ams. 6- à ous les ensegnans e ensegnanes qu on parcpé de prés ou de lon à ma consuon. 6
REMERCIEMENTS Je ens d abord à remercer mon promoeur Monseur MOHAMED BENOUARET. Mare de conférences de l unversé de Badj Mokhar Annaba. Ans que l équpe d ensegnemens qu on l honneur de la supervson de cee branche d éudes «SURVEILLANCE DES SYSTÈMES ASSISTÉS PAR DES CAPTEURS INTELLIGENTS» chacun par son nom : M. NOUREDDINE DOGHMANE : Professeur de l unversé BADJI Mokhar, ANNABA. M. MOHAMED FOUAZI HARKAT : Mare de conférences de l unversé BADJI Mokhar, ANNABA. M. MESAOUD DJEGHABA : Professeur de l unversé BADJI Mokhar, ANNABA. M. HECHAM TEBBIKH : Professeur de l unversé de GALMA. M. MOHAMED BENOUARET : Mare de conférences de l unversé BADJI Mokhar, ANNABA. M. MOHAMED TAREK KHADIR : Mare de conférences de l unversé BADJI Mokhar, ANNABA. M. MOHAMED KADACH : Mare de conférences de l unversé BADJI Mokhar, ANNABA. Je ens à remercer auss le présden e les membres du jury qu m on fa l honneur d acceper d évalués ce raval, chacun par son nom : M. NOUREDDINE DOGHMANE : Professeur de l unversé BADJI Mokhar, ANNABA. M. DJAMIL MESSADEK : Mare de conférences de l unversé BADJI Mokhar, ANNABA. M. KHALED MANSSOURI : Mare de conférences de l unversé BADJI Mokhar, ANNABA. M. BRAHIM BOULEBTARECHE : Mare de conférences de l unversé BADJI Mokhar, ANNABA. Tous mes remercemens pour les ravalleurs du domane d éducaons e d ensegnemens qu fon leur devor sans aendre aucune récompense de n mpore le qu. En fn, mes remercemens von a ous ceux qu m on souenu ou qu, d une manère ou d une aure, on conrbue a l élaboraon de ce raval. 7
أمة بلا هوي ة أمة مستعبدة " «Une naon sans dené, es une naon esclave» " 8
---------------------------------------------------------- LISTE DES FIGURES Fgure1.1 : Sysème à non lnéaré séparable 05 Fgure 1.2. Archecure d un mul-modèle à modèles locaux couples.10 Fgure 1.3. Archecure d un mul-modèle à modèles locaux découplés.11 Fgure 1.4. Archecure d un mul-modèle hérarchque..12 Fgure 1.5. Idenfcaon par cluserng flou..15 Fgure 1.6. Foncon 23 Fgure 1.7. Foncon avec bru e pons aberrans.24 Fgure 1.8. Mul-modèle à éas découplés cas saque sans bru.25 Fgure 1.9. Mul-modèle à éas découplés cas saque avec bru.25 Fgure 1.10. Mul-modèle à éas découplés cas dynamque avec bru.26 Fgure 1.11. Mul-modèle à éas couplés cas dynamque avec bru.27 Fgure 1.12. Mul-modèle à Srucure hérarchsée cas dynamque avec bru...28 Fgure 1.13. Mul-modèle à éas découplés cas saque avec bru-valdaon.29 Fgure 2.1. Placemen des pôles..36 Fgure 2.2. Srucure générale d un mul-observaeur 37 Fgure 2.3. Convergence asympoque des erreurs d esmaon d éa 42 Fgure 3.1 : Méhode de déecon e solaon de défaus...44 Fgure 3.2 : Srucure générale des généraeurs de résdus..45 Fgure 3.3 : Srucure d observaeurs dédés DOS...46 Fgure 3.4 : Srucure d observaeurs smplfés SOS 47 Fgure 3.5.a : Srucure d observaeurs généralsés GOS 47 Fgure 3.5.b : Schéma de déecon e localsaon de défaus d aconneurs GOS..48 Fgure 3.5.c : Schéma de déecon e localsaon de défaus de capeurs GOS.48 Fgure 3.6. D nspraon «Cnéque des composés nervenan dans la formaon de l ozone Amosphérque [KAM 05]...53 Fgure 3.7. Insprée «Cnéque des composés nervenan dans la formaon de l ozone Amosphérque [KAM 05]...53 Fgure 3.8. Théorque e esmé, avec la foncon de décson..55 Fgure 3.9. Théorque e esmé, avec la foncon de décson 55 Fgure 3.10. La premère sore mesurée e esmée en absence de défau..59 Fgure 3.11. La deuxème sore mesurée e esmée en absence de défau 59 9
Fgure 3.12. La premère sore mesurée e esmée en présence de défau...60 Fgure 3.13. La deuxème sore mesurée e esmée en présence de défau..60 Fgure 3.14. Résdus en présence des défaus capeurs, 61 10
------------------------------------------------------- LISTE DES SYMBOLES ARMAX: AuoRegressve Movng Average wh exogenous npus BMI : Inégalé marcelle blnéare Blnear Marx Inequaly DOS : Dedcaed Observer Scheme ERA : Egensysem Realzaon Algorhm FDI : Faul Deecon and Isolaon FIR : flre mpulsonnel à réponse fne Fne Impulse Response GOS : Generalzed Observer Scheme LMI : Inégalé marcelle lnéare Lnear Marx Inequaly LPV : Lnéare à Paramères Varan LTI : Sysème Lnéare Invaran MIMO : Enrée mulple sore mulple Mulple Inpu Mulple Oupu MISO : Enrée mulple sore smple Mulple Inpu Sngle Oupu ppb : pares par bllon SIMO : Enrée smple sore mulple Sngle Inpu Mulple Oupu SISO : Enrée smple sore smple Sngle Inpu Sngle Oupu SNL : Sysème Non Lnéare. SOS : Smplfed Observer Scheme TS : Takag-Sugeno UV : Ulra-voles : Ozone : Monoxyde d azoe : Doxyde d azoe : Oxydes d azoe monoxyde + doxyde d azoe PAN : Poly-acrylonrles : Pare réelle du complexe. : Pare magnare du complexe. : Transposée de la marce M. : Veceur des commandes x : Veceur d éa. : Veceur des mesures 11
------------------------------------------------------Table des maères TABLE DES FIGURES...12 LISTE DES SYMBOLES x INTRODUCTION GÉNÉRALE.1 Chapre 1 : LES MULTI-MODELES.5 1.1 Inroducon.5 1.2 Les sysèmes non lnéares...5 1.3 Représenaon mul-modèle...8 1.3.1 Obenon d une srucure mul-modèle...9 1.3.2 Dfférenes srucures mul-modèle...10 1.3.2.1 Srucure couplée Modèle à éa unque ou Modèle flou detakag-sugeno 11 1.3.2.2 Srucure découplée...11 1.3.2.3 Srucure hérarchsée..12 1.3.3 Recherche des modèles locaux par denfcaon..13 1.3.4 Recherche des modèles locaux par lnéarsaon...16 1.3.5 Opmsaon paramérque...17 1.3.5.1 Le crère global..18 1.3.5.2 Le crère local...18 1.3.5.3 Le crère mxe...18 1.3.5.4. Procédure d esmaon paramérque...18 1.3.5.5 Algorhme du graden...19 1.3.5.6 Algorhme de Newon...19 1.3.5.7 Algorhme de Gauss-Newon...20 1.3.5.8 Esmaon paramérque avec un crère global...20 1.3.5.9 Esmaon paramérque avec un crère local.21 1.3.6 Sablé des mul-modèles.21 1.3.6.1 Sablé quadraque...22 1.4 Exemple académque : Modélsaon de la foncon "snus cardnal"...23 12
1.4.1 Mul-modèle à éas découplés cas saque sans bru...24 1.4.2 Mul-modèle à éas découplés cas saque avec bru...25 1.4.3 Mul-modèle à éas découplés cas dynamque avec bru 26 1.4.4 Mul-modèle à éas couplés cas dynamque avec bru...27 1.4.5 Mul-modèle à Srucure hérarchsée cas dynamque avec bru..28 1.4.6 Mul-modèle à éas découplés cas saque avec bru «valdaon»...29 1.5. Concluson 29 Chapre 2 : LES MULTIOBSERVATEURS..30 2.1 Inroducon...30 2.2 Noaons e posonnemen du problème...31 2.2.1 Noaons...31 2.2.2 Méhode de concepon d un mul-observaeur...31 2.2.2.1 Varables de décson mesurables...32 2.2.2.2 Varables de décson non mesurables. 33 2.2.2.3 Affecaon des valeurs propres d un mul-observaeur...34 2.3 Mul-observaeurs décr par Mul-modèle à éas découplées...37 2.3.1. Sablé du mul-modèle...38 2.3.2 Srucure de l observaeur...38 2.4 Exemple d applcaon...39 2.5 Concluson...42 Chapre 3 : DIAGNOSTIC DES SYSTEMES NON LINEAIRES PAR APPROCHE MULTI-MODELE... 43 3.1 LA TACHE DE DIAGNOSTIC DE DEFAUTS A BASE DE MODELES..43 3.2 Généraon de résdus à l ade de reconsruceurs d éa...44 3.3 Exemple d applcaon «survellance de l Ozone...49 3.3.1 Inroducon...49 13
3.3.2 A propos de l ozone [MÉN 06]...50 3.3.3 Données :...52 3.3.4 Résulas...54 3.3.4.1 Elaboraon d un mul-modèle à éas découplés...54 3.3.4.2 Elaboraon d un mul-observaeur..55 3.3.4.3 Dagnosc des défaus de capeurs...57 CONCLUSIONS GENERALES...62 BIBLIOGRAPHIES...64 14
INTRODUCTION GÉNÉRALE 15
INTRODUCTION GÉNÉRALE Auomasaon sgnfe mse en œuvre sysémaque e fdèle des acons permean la réalsaon d un produ avec une varance conrôlée des grandeurs caracérsques du produ ; une bonne auomasaon do donc permere la mse en œuvre d une soluon quas opmale sur un processus de fabrcaon. Cependan, la praque s écare assez noablemen de ce schéma héorque, car celu-c suppose mplcemen que les foncons élémenares du procédé, des capeurs, des aconneurs, des régulaeurs son correcemen réalsées. C es pourquo l conven d mplaner un nveau de survellance don le rôle es de connaîre à chaque nsan l éa du procédé, fournr des données valdées au sysème de condue, e ans amélorer la dsponblé e la manenablé du procédé. Une éape préalable e ndspensable à oue enave d améloraon de fonconnemen des sysèmes physques es "la modélsaon". La grande majoré des echnques de dagnosc, de survellance, de régulaon e d opmsaon se base sur la connassance d un modèle formalsé ou non du sysème à éuder. La modélsaon regroupe un ensemble de echnques permean de dsposer d une représenaon mahémaque du sysème à éuder. La modélsaon héorque requer une connassance précse des phénomènes nervenan dans le sysème e une apude à les représener par des équaons mahémaques. Les sysèmes physques son souven complexes e dffclemen exploables, noammen pour la commande e le dagnosc des sysèmes. [AKH 04]. Rappelons pour mémore l ulé e l mporance d un modèle dans dfférenes suaons : 1. Accroîre la connassance du sysème physque modèle de connassance 2. Représener le comporemen du processus global modèle de représenaon 3. Permere la déermnaon de los de commande modèle de commande 4. Surveller le comporemen d un sysème modèle de survellance 5. Déecer des anomales de fonconnemen par rappor à un modèle de référence 6. Éducaon du personnel modèle de smulaon. 16
Habuellemen les scences de l ngéneur fon largemen appel aux modèles non lnéares pour décrre les comporemens dynamques des sysèmes physques réels. Ces modèles peuven cependan s avérer dffcles à obenr e/ou à manpuler dans un objecf d denfcaon, de commande ou de dagnosc. Les mul-modèles offren une alernave néressane pour conourner ces dffculés car ls permeen de prendre en compe la présence de pluseurs modes de fonconnemen. [OMR 06]. Cee approche, de mul-modèle, es une représenaon poly-opque convexe pouvan êre obenue so drecemen à parr d'un modèle mahémaque non lnéare par ransformaon drece D un modèle affne en l'éa, ou par lnéarsaon auour de dfférens pons de fonconnemen, so À parr de données sur les enrées e les sores. [CHA 02]. Modélser un processus n es pas une fn en so ; ce qu es demandé au processus es la réalsaon d une msson parculère de producon. Pour que cee producon so garane en quané e qualé, l falle que oue anomale de fonconnemen so rapdemen déecée pus prse en compe dans la sraége de condue du sysème consdéré. Cee anomale peu avor comme l orgne des défaus de sysème, capeur, d organes de commande aconneur, des brus, ec. Le non déecon à emps d une anomale peu enraîner des accdens provoquan des dangers humans e des dégâs maérels consdérables. [AKH 04]. De cee nroducon, en peu dre, que l'éude quand va l'effecuer, Ce relève de la déecon de pannes e de défaus de capeurs dédés à la survellance des données clmaques e ou de polluon amosphérque. La polluon amosphérque consue un des problèmes envronnemenaux les plus complexes e les plus dffcles qu se posen au monde aujourd hu. À peu près n mpore quelle forme d acvé humane rsque de déérorer, d une façon ou d une aure, l ar propre e l amosphère proecrce de la Terre. Tous les jours, les acvés humanes, qu'elles soen ndusrelles, agrcoles ou résdenelles, on pour résula le reje dans l'amosphère de grandes quanés de produs chmques naurels e synhéques. Dans le cas de la polluon amosphérque, un des pres problèmes en au fa que, même s les causes premères des émssons oxques son locales ou naonales, les parcules dégagées fon f des fronères. Les vens domnans ransporen ces subsances polluanes dans le monde ener, ce qu 17
provoque de graves dégâs envronnemenaux dans des endros élognés e conrbue à la dégradaon générale de l amosphère erresre. [VPPC 00]. Donc La survellance des varaons clmaque par conséquen la polluon amosphérque relève de la sané publque chose qu es rès pernene e d un nérê ceran. Il s ag d un réseau vruel de capeurs nsallés dans une aggloméraon, mesuran e observan en permanence les changemens clmaque e de polluon NO X e O3. La défallance ou la panne d un ou de pluseurs de ces capeurs à des nsans donnés va enraîner névablemen une analyse erronée de la suaon. La echnque préconsée es basée sur la modélsaon non lnéare en ulsan enre aures les Mul-modèles. on se basan sur la srucure nommée «srucure mul-modèle à éa découplé».il s ag de rouver des modèles non lnéares en combnan pluseurs modèles lnéares. Chaque modèle lnéare es acf dans une zone de fonconnemen ben parculère. Les zones de fonconnemen des modèles lnéares doven êre déermnées par classfcaon. Ces modèles seron ulsés par la sue à la généraon de résdus en vue du dagnosc. 18
ORGANISATION Ce mémore, décomposé en ros chapres, es organsé de la façon suvane : Chapre 1 : le chapre 1 es dédé à l éude de l approche mul-modèle qu perme de représener un sysème dynamque non lnéare comme la combnason d un ensemble de modèles lnéares ou affnes valables dans des zones de fonconnemen. Les dfférenes srucures les plus ulsées 1. srucure couplée, 2. srucure découplée, e 3. srucure hérarchsée son décres. L analyse de la sablé des mul-modèles a éé consdérée. En fn pour llusrer cee approche, nous avons donné un exemple académque qu rae les dfférenes srucures les plus ulsées modèles locaux couplés, découplés e hérarchsés. Chapre 2 : Ce chapre es consacré à la concepon de mul-observaeur à srucure connue, décr par un mul-modèle découplé. Nous avons focalsés nore éude sur les Mul-observaeurs d éas e des sores. Nous avons présené par la sue un exemple conournan ous se qu on a décr auparavan dans ce chapre. Chapre 3 : Ce chapre rae le dagnosc de défaus des sysèmes à représenaon mul-modèle Lnéare nvaran dans le emps. En premer leu, nous avons monrés les prncpales âches de dagnosc de défaus à base de modèles, par la sue nous avons passés à la noon de la Généraon de résdus à l ade de reconsruceurs d éas, à la fn nous avons présenés un exemple qu a résumé ous les noons prncpale données dans ce mémore. Concluson : Fnalemen une concluson générale a éé donnée qu en globe le ou. 19
1. LES MULTI-MODELES 20
1. LES MULTI-MODELES 2.1 Inroducon L'approche mul-modèle a éé née par Magll en 1965. Elle a connu un nérê ceran depus la publcaon des ravaux de Johannsen e Foss. L dée de l approche mul-modèle es d appréhender le comporemen non lnéare d un sysème par un ensemble de modèles locaux lnéares ou affnes caracérsan le fonconnemen du sysème dans dfférenes zones de fonconnemen. [AKH 04]. La movaon de cee approche découle du fa qu l es souven dffcle de concevor un modèle qu en compe de oue la complexé du sysème éude. 2.2 Les sysèmes non lnéares [LAB 02]. Les sysèmes non lnéares ne vérfen plus le prncpe de superposon, e donc les condons de proporonnalé e d'addvé ne s'applquen plus, à cee classe de sysèmes. Dans l'éude des sysèmes non lnéares, on se heure à pluseurs dffculés : L'analyse par les foncons de ransfer es mpossble, La noon de pôles dsparaî, Un sysème non lnéare possède en général pluseurs pons d'équlbre e l'éude de leur sablé es plus complexe que dans le cas lnéare pour lequel le concep de sablé es global. La représenaon la plus courane, dans l'espace d'éa : x& = y = x R y R n F x, u,, G x, u,, q u R n R n correspondan à l'ordre du sysème s'écr m 0 1.1 Une soluon x des équaons précédenes correspond généralemen à une courbe de l'espace d'éa, quand vare de 0 à, appelée une rajecore d'éa. La non lnéaré d'un sysème peu êre nrnsèque ou peu êre solée, c'es-à-dre que l'on peu avor une assocaon d'élémens à caracérsques non lnéares assocée à un sysème pour lequel un modèle es lnéare fgure 1.1. Non lnéaré N Sysème lnéare Fgure1.1 : Sysème à non lnéaré séparable. 21
Il es possble de dsnguer auss les modèles non lnéares par les caracères suvans : À emps connu / à emps dscre, Invaran dans le emps / varan dans le emps, Mono varable / mul varable, ec. Défnon 1.1 : Le sysème non lnéare 1.1 es d auonome s F e G ne dépenden pas explcemen du emps, c'es-à-dre: s le sysème peu s'écrre par x& = y = x R n F x, u, G x, u, Snon, le sysème 1.2 es d non auonome. u R m y R q 1.2 Dans le cas non auonome, s les varaons des caracérsques son lenes dans le emps, on pourra approxmer le sysème par une séquence de sysèmes auonomes. Comme nous l'avons cé précédemmen, les sysèmes non lnéares formen la classe des sysèmes la plus générale : un cas parculer de cee classe es le sysème lnéare. Un sysème lnéare nvaran LTI n'a, en général, qu'un seul pon d'équlbre, alors qu'un sysème non lnéare a pluseurs pons d'équlbre. Défnon 1.2 : Un éa x e es un éa d'équlbre ou pon d'équlbre, du sysème 1.2 s 0 = F x e,0 1.3 Un sysème lnéare nvaran LTI a pour éa d'équlbre l'orgne, s sa marce dynamque es non sngulère. Lnéarsaon auour d'un pon d'équlbre So un processus admean la représenaon d'éa suvane : x& = F x, u, y = G x, u, n m x R u R Avec pluseurs pons d'équlbre noés y R q x, u, 1,..., N e e = ' 1.4 s le veceur d'éa évolue dans le ' vosnage d'un pon d'équlbre x, u avec 1 N, alors, l es possble de lnéarser le modèle non lnéare : e e 22
avec x x F x F x e e, u d δ x = Fx x d, u, F x, u e e u e F x, u = x x = x e e e, u e + δ x δ x + F u x les marces e, u e δ u + φ δx, δu Jacobennes u = u F x :, u F x, u = u u e e x= xe, u= ue x= xe, u= ue e + δ u 1.5 1.6 1.7 En néglgean les ermes d'ordre supéreur à un, c'es-à-dre φ δx, δu, le modèle es lnéare nvaran e valable localemen auour du pon d'équlbre x,. e ue Les los de commande auxquelles nous nous néresserons seron connues nvaranes dans le emps du ype : Reour d'éa, Reour de sore dynamque, Avec les dmensons approprées. u = Kx & c x = Ac xc + B u = Ccxc c y, 1.8 1.9 2.3 Représenaon mul-modèle Séquencemen de gans Gan Schedulng La echnque du séquencemen de gans es basée sur l'exsence de pluseurs modèles lnéares don leur représenaon n'es valable que dans une pare de l'espace d'éa. Les modèles son défns en foncon de pons opéraonnels pour couvrr "ou l'espace d'éa" de l'éude. Pour un sysème non lnéare, les modèles lnéares son obenus par lnéarsaon aux dfférens pons opéraonnels. Les modèles LPV e Quas-LPV Toujours dans le conexe d'nerpolaon de correceurs, la commande lnéare à paramères varan, de LPV s'es développée à parr de 1992. Les domanes d'applcaons son vases e s'éenden auss ben vers les sysèmes lnéares à dynamque varan dans le emps que vers les sysèmes non lnéares. Les sysèmes non lnéares seron caracérsés par des modèles ds Quas-LPV. [LAB 02]. 23
Les modèles flous e commande floue Depus les ravaux de Zadeh en 1973, on assse à une ulsaon de la logque floue non seulemen dans la modélsaon mas auss dans la synhèse des los de commande. La logque floue perme une approche des problèmes plus heursque que mahémaque qu peu heurer, les esprs carésens ou rop déermnses. Pouran, dans cerans problèmes où les mahémaques penen par mpossblé ou dffculé de modélsaon, elle es d'une cerane effcacé. La logque floue à déjà fa ses preuves dans de nombreux domanes d'applcaons Geson de proje, raemen d'mages, ploage d'un sysème d'auofocus d'apparel phoos, sysème d'approche d'une saon orbale pour la navee spaale amércane. C'es une echnque qu peu s'avérer exrêmemen effcace dans cerans cas, noammen, lorsque les processus auxquels on s'néresse son non lnéares. Des noons élémenares son ndspensables à la compréhenson de la méhode. Défnon 2.3 : Sous-ensemble flou. Un sous-ensemble ou de es défn par une foncon d'apparenance. Elle assoce à chaque élémen de, un degré µ A d comprs enre e, qu qualfe l'apparenance de à. Défnon 2.4 : Règles floues. Une règle floue es de la forme : s V es A alors W es B 1.10 où V es A es appelée prémsse, W es B es appelée concluson, La combnason de pluseurs règles floues forme une base de règles. Elle perme la consrucon de modèles flous. On dsngue deux ypes de modèles flous : Les modèles de ype Mamdan où les conclusons des règles son floues. Les modèles de ype Takag-Sugeno où les conclusons son procédurales 2.3.1 Obenon d une srucure mul-modèle: Les mul-modèles représenen les sysèmes non lnéares sous forme d une nerpolaon enre des modèles lnéares locaux. Chaque modèle local es un sysème dynamque LTI valde auour d un pon de fonconnemen. Selon l nformaon don on dspose, ros méhodes dsnces peuven êre ulsées pour l obenon d un mul-modèle. S l on ne dspose que des mesures des enrées e sores du sysème, on procède par denfcaon, en cherchan ou en mposan la srucure du mul-modèle. S, en revanche, on dspose d un modèle non lnéare explce que l on souhae "smplfer" ou Rendre plus manpulable on pourra procéder par lnéarsaon auour de dfférens pons de fonconnemen dans ce cas, l s ag de modèles locaux affnes du à la présence de la consane provenan de la lnéarsaon ou par ransformaon poly-opque convexe. [AKH 04]. 24
Illusrons la seconde approche en consdéran un sysème saque non lnéare 1.11, pour lequel nous cherchons à déermner une représenaon mul modèle permean de décrre le comporemen de ce sysème. y = F x 1.11 Supposons qu on dspose d un ensemble de M modèles locaux x f descrpfs du comporemen du sysème dans dfférenes zones de fonconnemen. Ces modèles peuven êre consrus par exemple à parr de connassances physques sur le fonconnemen du sysème dans ces zones. La valdé locale de chaque modèle es ndquée par une foncon de valdé x pour { 1L,, M}. Le modèle global s oben de la manère suvane : f posons : y m = = 1 µ x = M w x f M j = 1 M j = 1 w x w x x w x 1.12 1.13 mul- 1.14 En combnan les équaons 1.12 e 1.13, on oben l expresson générale d une srucure modèle : M y = µ x f m = 1 x La foncon d acvaon µ x déermne le degré d acvaon du ème modèle local assoce. Selon la zone où évolue le sysème, cee foncon ndque la conrbuon plus ou mons mporane du modèle local correspondan dans le modèle global mul-modèle. Elle assure un passage progressf de ce modèle aux modèles locaux vosns. Ces foncons son généralemen de forme rangulare, sgmoïdale ou Gaussenne, e doven sasfare les propréés suvanes convexé [ROD 05] : 0 M = 1 µ x = 1 µ x 1 1.15 25
26 2.3.2 Dfférenes srucures mul-modèle On peu énumérer dfférenes formes de mul-modèles selon que l on fa la segmenaon sur l enrée ou sur la sore. e. sur les varables d éa mesurables e auss selon la naure du couplage enre les modèles locaux assoces aux zones de fonconnemen. Cependan, on peu noer ros srucures de mulmodèles : 1. srucure couplée, 2. srucure découplée, e 3. srucure hérarchsée. 2.3.2.1 Srucure couplée Modèle à éa unque ou Modèle flou detakag-sugeno La représenaon mul-modèle es obenue par nerpolaon de M modèles locaux lnéares { } 1.16,, 1 1 = + + = + + = = = y x u N u E x C y D u B x A x M m m M m m ξ ξ µ ξ µ & Ou { } M, 1,, L ξ µ son les foncons d acvaon e ξ es le veceur des varables de décson dépendan des varables d éa mesurables e évenuellemen de la commande u. Cee srucure es la plus ulsée en analyse ben qu en synhèse des mul-modèles. Sysème non lnéare Fgure 1.2. Archecure d un mul-modèle à modèles locaux couples
2.3.2.2 Srucure découplée Une aure forme de mul-modèle, proposée par Flev 1991, résule de l agrégaon de modèles locaux décrs d une façon découple. La dfférence enre cee srucure e celle présenée au paragraphe précèden résde dans le fa que chaque modèle local es ndépendan de ous les aures 1.17 : x& y = A x + B u + = C x + E u + D N 1.17 Dans cee srucure, la noon d éa local, correspondan à un domane de fonconnemen, apparaî beaucoup claremen. Le mul-modèle modèle global es ans donné par : x& y = m = A x + B u + D M = 1 µ ξ C x + E u + N { 1, L, M } 1.18 Rappelons que les varables locales x n on pas forcemen un sens physque. Les marces A, B e D ans que les foncons d acvaon ξ µ son calculées de la même façon que précédemmen srucure couplée. Cee srucure peu êre vue comme la connexon parallèle de M modèles affnes pondérés par leurs pods respecfs. Sysème non lnéare Fgure 1.3. Archecure d un mul-modèle à modèles locaux découplés 2.3.2.3 Srucure hérarchsée «Ben que l approche mul-modèle a connu un grand succès dans beaucoup de domanes commande, dagnosc,..., son applcaon es lmée aux sysèmes ayan peu de varables dmenson rédue. Le nombre de modèles locaux augmene d une façon exponenelle avec l augmenaon du nombre de varables. Par exemple, un mul-modèle à sore unque avec n varables e m foncons d acvaon 27
défnes pour chaque varable es compose de n m modèles locaux. Les chercheurs on éude ce problème en ulsan dfférenes approches Fre, 1981, Bre, 1984 e Hube, 1985. Pour surmoner ce problème, Raju e al Raju, 1991 on proposés un mul-modèle à srucure hérarchque affn de rédure le nombre de modèles locaux. Fgure 1.4 monre un exemple ypque d un mul-modèle hérarchque qu compore "n" enrées e " n 1" sores ; dans cee srucure, les modèles locaux on deux enrées chacun, le modelé global es alors composé de n modèles locaux.» [AKH 04]. Modèle local Modèle local Modèle local Modèle local Fgure 1.4. Archecure d un mul-modèle hérarchque 2.3.3 Recherche des modèles locaux par denfcaon Le problème d denfcaon reven à déermner les foncons d acvaon e les modèles lnéares locaux. Une méhode d denfcaon des sous-espaces des sysèmes dynamques non lnéares MIMO avec l approche mul-modèle es proposée par Kom Mdzodz PEKPE, [KMP 04]. Basée sur la connassance des mesures du sysème e des pods, cee méhode denfe les modèles locaux. La méhode esme en premer leu les paramères de Markov, pus déermne une réalsaon mnmale équlbrée des modèles locaux à parr de ces derners. La sore du sysème es exprmée comme éan une somme pondérée de modèles FIR les modèles locaux éan supposés sables, pus les paramères de Markov son esmés de deux manères : la premère esme par projecons successves, les paramères de Markov des modèles locaux. la deuxème déermne en bloc ous les paramères de Markov de ous les modèles locaux par une echnque des mondres carrés. 28
Après l esmaon des paramères de Markov, l algorhme ERA es ulsé pour déermner l ordre e une réalsaon de chaque modèle local. Cee méhode d denfcaon n ulse pas d algorhmes d opmsaon non-lnéares e sa mse en œuvre es smple. Elle prend en compe les changemens d ordre qu peuven nervenr dans la dynamque du sysème. Arcle [OMR 06] : Une procédure d denfcaon des sysèmes non lnéares par une approche mul-modèle à éas locaux découplés a éé proposée dans ce arcle. L nérê du mul-modèle à éas locaux découplés par rappor au mul-modèle à éas couplés es d avor des sous-modèles complèemen ndépendans. Ce ype de srucure es à pror plus smple à manpuler dans un conexe d analyse du mul-modèle, de synhèse d une lo de commande ou de dagnosc avec des echnques d analyse de sysèmes lnéares. Un phénomène de décrochage qu dmnue la qualé de l approxmaon du mul-modèle a éé ms en évdence. Une soluon a éé suggérée afn d élmner ce phénomène de décrochage. Elle consse à nrodure ros flres passe-bas dans la procédure d denfcaon. Les résulas de l denfcaon on éé llusrés à ravers un exemple d denfcaon d un four à gaz. Idenfcaon Consrucon de modèles flous. [GRI 07] Typquemen, la consrucon de modèles flous peu se fare à parr de deux sources d nformaon dfférenes, elles que la connassance préalable e les données mesures du procédé. La connassance préalable peu êre pluô d une naure qualave ou heursque, ssue de la connassance des "expers",.e., des desgners de processus, des opéraeurs. Dans ce sens, les modèles flous peuven êre vus comme des sysèmes expers flous. D un aure côé, pour cerans procédés, des données son dsponbles sous forme d enregsremens de l opéraon du procédé ou ben l es possble de réalser des expérences d denfcaon afn d obenr les données approprées du comporemen du sysème. La consrucon de modèles flous à parr de données mplque des méhodes basées sur la logque floue e le rasonnemen approché, mas auss des dées ssues du domane des réseaux de neurones, de l analyse de données e de l denfcaon convenonnelle de sysèmes. L ulsaon des echnques e d algorhmes pour la consrucon de modèles flous à parr de données es habuellemen appelée denfcaon floue. Deux approches prncpales pour l négraon de la connassance e des données dans un modèle flou peuven êre dsnguées : 1. La connassance expere exprmée sous une forme verbale es radue dans une collecon de règles du ype "S-Alors". De cee façon, une cerane srucure du modèle es crée. Les paramères dans cee srucure foncons d apparenance, paramères des conséquens peuven êre réglés avec précson 29
en ulsan les données enrée-sore. Les algorhmes parculers d ajusemen exploen le fa qu au nveau du calcul, le modèle flou peu êre vu comme une srucure par couches réseaux, smlare aux réseaux arfcels de neurones, pour laquelle des algorhmes sandard d apprenssage peuven êre applqués. Cee approche es habuellemen nommée modélsaon neurofloue. 2. Aucune connassance anéreure n es nalemen ulsée pour formuler les règles e le modèle flou es consru à parr des données. On s aend à ce que les règles exraes pussen fournr une nerpréaon poséreure sur le comporemen du sysème. Un exper peu confroner cee nformaon avec sa propre connassance, peu modfer les règles ou fournr de nouvelles règles e peu concevor de nouvelles expérences addonnelles afn d obenr plus de donnés nformaves. Ces echnques peuven, évdemmen, êre combnées selon l applcaon parculère. Dans la sue, nous décrvons les éapes prncpales pour la sélecon de la srucure d un modèle flou ans que pour la déermnaon de paramères à parr de données enrée-sore. L denfcaon basée sur des données enrée-sore On se propose donc d obenr un modèle flou drecemen à parr des données numérques ssues du sysème à modélser ; ces données peuven êre bruées. L objecf des enrées applquées au sysème en boucle ouvere ou fermée es de parcourr l ensemble de l espace dans lequel on recherche à modélser le comporemen du sysème. Le modèle flou obenu offre une fable capacé d exrapolaon en dehors de ce espace. Parm la gamme d approches de modélsaon floue à parr des données enrée-sore, les suvanes son dgnes d êre menonnées : Modélsaon basée sur des prooypes emplae-based, dans laquelle les domanes des varables de l anécéden son smplemen paronnés dans un nombre spécfé de foncons d apparenance avec la même forme e dsrbuon dans l espace. Modélsaon basée sur l ajou progressf de foncons d apparenance, dans laquelle es générée une paron de l espace avec une base de règles à complexé conrôlée. Modélsaon basée sur des echnques de coalescence floue fuzzy cluserng, dans laquelle les règles du modèle flou peuven êre exraes à parr de la conformaon de groupes de données classes dans l espace produ d enrée-sore. Modélsaon basée sur des echnques de coalescence floue Les méhodes d denfcaon basées sur la coalescence floue fuzzy cluserng son des méhodes qu on des lens avec les domanes de l analyse des données e de la reconnassance des formes. Dans ces 30
domanes, le concep d une apparenance parelle es ulsé pour représener le degré avec lequel un ceran obje, représené comme un veceur dans un espace de caracérsques veceur caracérsques, es smlare à un ceran obje prooype. Le degré de smlude es habuellemen calculé en ulsan une mesure approprée de dsance. Basé sur la smlude, les veceurs caracérsques peuven êre regroupés de manère que les veceurs d un même groupe cluser soen auss semblables que possble, de elle manère que des veceurs de groupes dfférens soen auss dssemblables que possble. La mesure de dsance quanfe la dsance enre les données, représenées comme des pons dans l espace caracérsque, e les objes prooype. L dée de base du cluserng flou es représenée sur la Fgure 1.5.a, dans laquelle les données son regroupées dans deux groupes avec des prooypes v1 e v2, en ulsan une mesure Eucldenne de 2 dsance dans un espace caracérsque R. La paron des données es représenée dans la marce de paron floue, U = µ ] don les élémens µ k son les degrés d apparenance des pons [ k [ k x k, y ] dans des clusers flous avec prooypes v. Courbe d équdsance Cenre des Clusers Projecon Données Projecon Données Modèle locale lnéare S x es Alors y es S x es Alors y es Clusers projeés a Inerpréaon des clusers flous basée sur des règles Fgure 1.5. Idenfcaon par cluserng flou b Clusers flous hyper ellpsoïdaux Des règles floues de ype "S-Alors" peuven êre exraes en projean les clusers sur les axes des coordonnées. La Fgure1.5.a monre un ensemble de données avec deux clusers apparens e deux règles floues assocées. Le concep de smlaré des données par rappor à un prooype perme d envsager pluseurs formes possbles pour la défnon d une mesure de dsance approprée e le 31
caracère du prooype. Par exemple, les prooypes peuven êre défns comme des sous-espaces lnéares lgnes, plans e hyperplans ou ben comme des hyper-ellpsoïdes avec une mesure adapave de dsance vor Fgure 1.5.b. Pour de els clusers, les foncons d apparenance e les paramères des conséquens d un modèle de ype Takag-Sugeno peuven êre exras : S x es A S x es A 1 Alors y1 = a1x + d1, 2 Alors y 2 = a 2 x + d Chaque cluser es représené par une règle dans le modèle Takag-Sugeno. Les foncons d apparenance pour les ensembles flous A 1 e A2 son générées par la projecon pon par pon de la marce de paron sur les varables des anécédens. Ces ensembles flous défns pon par pon peuven alors êre approxmés par des foncons paramérques approprées. Les paramères du conséquen pour chaque règle peuven êre obenus par l nermédare d une esmaon de ype mondres carrés, que nous aborderons plus ard dans les secons suvanes. 2 2.3.4 Recherche des modèles locaux par lnéarsaon Dans ce cas, on dspose de la forme analyque du modèle non lnéare du processus physque qu on lnéarse auour de dfférens pons de fonconnemen judceusemen choss. Consdérons le sysème non lnéare suvan : Ou F, G R x& = F x, u, y = G x, u, n m x R u R y R 2n son des foncons non lnéares connues, q x 1.19 n R es le veceur d éa e u m R es le veceur d enrée. Par la sue, nous représenerons le sysème non lnéare 1.19 par un mul-modèle, compose de pluseurs modèles locaux lnéares ou affnes, el que chaque modèle local es obenu en lnéarsan le sysème non lnéare auour d un pon de fonconnemen arbrare x, u R n R m. Dans ce cas, on consdère le chox suggère par Johansen e Foss, c es à dre qu on défn les modèles locaux comme le premer erme du développemen en sére de Taylor du sysème 1.19. [AKH 04]. D un pon de vue mahémaque, cec correspond à approcher une foncon non lnéare par son plan angen au pon x, u. On suppose que les dfférens modèles locaux son ssus d une lnéarsaon 32
auour de M pons de fonconnemen x, u { 1, L M} suvane :,. La formulaon mul-modèle es la Avec : x& y m m = = M = 1 M = 1 µ ξ A x µ ξ C x m m + B u + D + E u + N 1.20 Noons que dans ce cas, le nombre de modèles locaux M dépend de la précson de modélsaon souhaée, de la complexé du sysème non lnéare e du chox de la srucure des foncons d acvaon, ces dernères devan sasfare les propréés 1.15. 2.3.5 Opmsaon paramérque Lorsque le modèle du sysème es non lnéare par rappor aux paramères, l n exse pas de soluon analyque afn d esmer ces paramères. On recour à des echnques éraves d opmsaon non lnéare. Dans cee secon, on s néresse à l opmsaon paramérque d une srucure mul-modèle. Pluseurs méhodes d opmsaon peuven êre ulsées, selon les nformaons dsponbles à pror. S la connassance à pror sur les paramères des foncons d acvaon e ceux des modèles locaux ne son pas dsponbles. Alors, ces paramères doven êre opmsés au moyen d une procédure érave en rason des non lnéarés du modèle global mul-modèle par rappor à ses paramères. Les méhodes d denfcaon de l ensemble de ous les paramères do répondre à un ceran nombre de conranes en foncon de son conexe d exploaon. A ce effe, ros crères : global, local ou combné, son ulsés pour effecuer l opmsaon paramérque. 2.3.5.1 Le crère global Le crère global es défn par : 33
Où N es l horzon d observaon e θ es le veceur de paramères des modèles locaux e ceux des foncons d acvaon. Ce crère favorse une bonne caracérsaon du comporemen global du sysème non lnéare par le mul-modèle. 2.3.5.2 Le crère local Le crère local donné par : Favorse une bonne adéquaon enre le comporemen local des sous-modèles e le comporemen local du sysème non lnéare à condon ouefos que les soen peu mélangées. Il es rès ben adapé à l obenon d un mul-modèle phénoménologque e/ou explcaf. 2.3.5.3 Le crère mxe Fnalemen, le crère combné ou mxe défn par : Représene un comproms enre les deux crères précédens. 2.3.5.4. Procédure d esmaon paramérque Les méhodes de mnmsaon du crère J θ s appuen, le plus souven, sur un développemen lmé du crère Jθ auour d une valeur parculère du veceur de paramères θ e d une procédure érave de modfcaon progressve de la soluon. S l on noe k l ndce d éraon de la méhode de recherche e θ k la valeur de la soluon à l éraon k, la mse à jour de l esmaon s effecue de la manère suvane : θ k + 1 = θ k ηd k 1.24 Où η représene un faceur d ajusemen permean de régler la vesse de convergence vers la soluon. Dk Es la drecon de recherche dans l espace paramérque. Selon la façon don k D es calculée, on dsngue dfférenes méhodes d opmsaon don les prncpales son rappelées c-dessus. 34
2.3.5.5 Algorhme du graden Cee méhode es basée sur un développemen du crère J θ au premer ordre. La drecon de recherche à l éraon k es spécfée par le graden k suvane : G θ du crère de la manère J D k = G θ k = θ N ε, θ = ε, θ θ θ= θ k = 1 θ= θ k 1.25 η Dépend de la vesse de convergence du crère. Généralemen, l es calculé par une méhode heursque qu consse à augmener η s le crère décroî e à le rédure dans le cas conrare. 2.3.5.6 Algorhme de Newon Cee fos, l algorhme es base sur le développemen au deuxème ordre. La drecon e le pas de recherche son spécfes smulanémen par l équaon : D k = H 1 k G θ k 1.26 Où H k es la marce Hessenne du crère défn par : H k = N N 2 ε, θ ε, θ ε, θ + ε, θ T 2 θ θ θ = 1 = 1 θ = θ k 1.27 Dans ce cas, le pas de rechercheη = 1. L nconvénen prncpal de ce algorhme résde dans le calcul de l nverson du Hessen à chaque éraon. 2.3.5.7 Algorhme de Gauss-Newon Afn de smplfer la méhode de Newon, On ulse une expresson approchée du Hessen en néglgean les ermes du deuxème ordre, on oben : H a = N ε, θ ε, θ T θ θ = 1 35 1.28
Le Hessen éan défn posf, ce algorhme garan la convergence vers un mnmum. Ce algorhme es sensble au chox nal du veceur des paramères θ e lorsque la dmenson de l espace des paramères es rès mporane, l algorhme rsque de converger vers des mnmas locaux. 2.3.5.8 Esmaon paramérque avec un crère global Es l erreur enre la sore complèe du M.M. e la sore du S.N.L. Le veceur graden On noera que les dérvées du crère par rappor aux paramères peuven êre évaluées à parr des foncons de sensblé défnes par : En effe, à parr de 1.30 : La marce Hessenne La dérvée seconde de es donnée par : La marce approchée es donnée par : Dans l expresson 1.26 l nverse de la marce Hessenne. Des dffculés numérques d nverson Peuven apparare s cee marce es mal condonnée. Dans ce cas, on peu modfer le Hessen Sous la forme : 36
2.3.5.9 Esmaon paramérque avec un crère local Le crère local es de la forme : Où es l erreur enre la sore du sous-modèle e la sore du S.N.L., donnée par : Le veceur graden Es défn par : La marce Hessenne La marce hessenne, so : s oben en dérvan deux fos le crère local par rappor aux paramères Sous l hypohèse que localemen l erreur ende vers zéro méhode de Gauss-Newon. 2.3.6 Sablé des mul-modèles La sablé des mul-modèles a éé beaucoup éude. Elle dépend de l exsence d une marce commune, symérque e défne posve, qu garan la sablé de ous les modèles locaux. Ces condons de sablé peuven êre exprmées en ulsan des négalés lnéares marcelles LMI [CHA 02] e [AKH 04]. Il s ag de chercher une marce symérque e défne posve e sa foncon de Lyapunov assocée elles que ceranes condons smples garanssen les propréés de sablé. 37
2.3.6.1 Sablé quadraque Consdérons un sysème non lnéare en boucle ouvere e représené sous forme Mul-modèle par l équaon d éa suvane : M = 1 x& = = 1 µ ξ A x µ ξ = 1 e M µ ξ 1 1.38a 1.38b La sablé d un sysème représené par l équaon 1.29 peu êre vérfée en ulsan le héorème suvan. Théorème 2.1 : le mul-modèle 2.29 es asympoquemen sable s l exse une marce Psymérque e défne posve elle que les LMI suvanes son vérfées [CHA 02] e [AKH 04]: A T P + PA < 0, M { 1, L, } 1.39 Ce héorème offre une condon suffsane pour assurer la sablé asympoque du Mul-modèle 1.38. L négalé marcelle 1.39 peu êre résolue en ulsan des ouls numérques LMI. Ce résula es obenu en dérven, le long de la rajecore du mul-modèle 1.38, la foncon de Lyapunov T V x = x Px. L exsence de la marce de Lyapunov P dépend de deux condons : La premère es lée à la sablé de ous les modèles locaux. Il es nécessare que chaque marce A pour { 1L,, M} a des valeurs propres dans le dem-plan gauche du plan complexe. La deuxème condon es relave à l exsence d une foncon de Lyapunov commune aux M modèles locaux. 38
2.4 Exemple académque : Modélsaon de la foncon "snus cardnal" Consdérons une foncon non lnéare yx = f x à une enrée e une sore à laquelle a éé ajoué du bru e des pons aberrans : yx = f x +. Pour ce exemple nous avons chos la foncon snus cardnal, représené sur la Fgure 1.6 e défne par 1.42 : 1.2 1 0.8 y = snuscx 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-10 -8-6 -4-2 0 2 4 6 8 10 x Fgure 1.6. Foncon La présence de bru e de pons hors endance es représenée par le modèle d erreur grossère par l expresson suvane 1.43 :. Défne G e H son des dsrbuons de bru blanc gaussen, ayan des écars ypes. Le erme G perme de représener la présence de bru e le erme H la présence de pons aberrans. Le paramère perme d ajuser la proporon de pons aberrans dans l ensemble de la dsrbuon. Pour ce exemple les valeurs des paramères son Pour la modélsaon une base de données de 300 pons équdsans a éé consdérée avec 39
x [ 10,10]. D après La Fgure 1.6 nous avons consdéré une approxmaon de la foncon orgnale non lnéare par 6 régons lnéares, ce qu correspond au nombre de clusers chos. 1.2 1 0.8 y = snuscx 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-10 -8-6 -4-2 0 2 4 6 8 10 x Fgure 1.7. Foncon avec bru e pons aberrans Nous avons chos c d ulser un crère global pour effecuer l denfcaon du mul-modèle. On souhae obenr un mul-modèle de prédcon e non pas d explcaon de comporemens locaux. L esmaon paramérque es effecuée à parr de la relaon 1.21 en consdéran le veceur graden G e la marce hessenne H défns par les relaons d Algorhme de Newon. Le mul-modèle es consué par L = 6 sous-modèles. Les paramères des sousmodèles son de ype scalare. Les foncons de pondéraon dépenden du sgnal d enrée, e su une lo Gaussenne les cenres son donnés par : = [-10, -6, -2, 2, 6, 10] e la dsperson. 2.4.1 Mul-modèle cas saque sans bru Données nales : 40
1.5 1 Mul-modèlecas saque sans bru y sans bru y esmée 0.5 yx=snscx 0-0.5-1 -1.5-10 -8-6 -4-2 0 2 4 6 8 10 x 2.4.2 Mul-modèle cas saque avec bru Données nales : Fgure 1.8. Mul-modèle cas saque sans bru 1.5 1 Mul-modèlecas saque avec bru y bruée y sans bru y esmée 0.5 yx=snscx 0-0.5-1 -1.5-10 -8-6 -4-2 0 2 4 6 8 10 x Fgure 1.9. Mul-modèle cas saque avec bru 41
2.4.3 Mul-modèle à éas découplés cas dynamque avec bru Paramères esmés : -0,2249 0,2499 0,4466-0,5155-0,4129-0,7537 0,4924-0,2239-0,4857-0,8054-1,4315-1,0805-0,4357 1,0314-1,1764-1,6085-0,7475 0,7827 0,5512-0,0196-0,4008 0,3679-0,4195-0,3696 Mul-modèle à éas découplés cas dynamque avec bru 1 0.8 y bruée y sans bru y esmée 0.6 yx = snuscx 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 0 50 100 150 200 250 300 emps Fgure 1.10. Mul-modèle à éas découplés cas dynamque avec bru 42
2.4.4 Mul-modèle à éas couplés cas dynamque avec bru Paramères esmés : -0,3598 0,0485 0,2591-0,4809-0,5279-0,3629 0,1085-0,2539-0,6286-0,2485-1,3955-1,0863-0,6192 0,3322-1,0263-1,6359-0,8485 0,5237 0,1132-0,0429-0,3181-0,0836 0,1524-0,4328 Mul-modèle à éas couplés cas dynamque avec bru 1 0.8 y bruée y sans bru y esmée 0.6 yx = snuscx 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 0 50 100 150 200 250 300 emps Fgure 1.11. Mul-modèle à éas couplés cas dynamque avec bru 43
2.4.5 Mul-modèle à Srucure hérarchsée cas dynamque avec bru Paramères esmés : -0,3370 0,1946 0,3254-0,4950-0,4248-0,5880 0,3980-0,2383-0,5647-0,6868-1,3875-1,0801-0,4643 0,9153-1,1685-1,6327-0,7795 0,7181 0,4848-0,0258-0,3707 0,3218-0,3590-0,3752 Mul-modèle à Srucure hérarchséecas dynamque avec bru 1 0.8 y bruée y sans bru y esmée 0.6 yx = snuscx 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 0 50 100 150 200 250 300 emps Fgure 1.12. Mul-modèle à Srucure hérarchsée cas dynamque avec bru 44
1.4.6 Mul-modèle cas saque avec bru «valdaon» 1.5 1 Mul-modèle cas saque avec bru-valdaon y bruée y sans bru y esmée 0.5 yx=snscx 0-0.5-1 -1.5-10 -8-6 -4-2 0 2 4 6 8 10 x gure 1.13. Mul-modèle à éas découplés cas saque avec bru-valdaon F 1.5. Concluson : Dans ce chapre, nous avons rappelé, dans un premer emps, quelques noons de base concernan les sysèmes non lnéares nécessares à la compréhenson e à la mse en œuvre des esmaeurs mulmodèle. Pus, nous avons présené les srucures de mul-modèles les plus ulsées. En sue nous avons donnés les méhodes les plus ulsées à l obenon d un mul-modèle, on se base sur la méhode d denfcaon. Fnalemen nous avons donnés un exemple qu rae les ros srucures essenelles «éas couplées, éas découplées, e éas hérarchsées». De là on d que l nérê de la concepon d un mul-modèle résde dans : Alernave à l ulsaon de modèles non lnéares quelconques Pon mporan : foncons de couplage posves e bornées Dffculé : nombre de modèles locaux L nérê du mul-modèle à éas locaux découplés par rappor au mul-modèle à éas couplés es d avor des sous-modèles complèemen ndépendans. Ce ype de srucure es à pror plus smple à manpuler dans un conexe d analyse du mul-modèle, de synhèse d une lo de commande ou de dagnosc avec des echnques d analyse de sysèmes lnéares. La dmenson des sous-modèles peu êre dfférene. 45
2. MULTIOBSERVATEURS DECRIT PAR MULTI-MODELE DECOUPLE 46