Rapport de stage : Arbres de décson quantques Ttouan Carette Encadrant : Frédérc Magnez 2 septembre 2015
Introducton Une fos l dée d utlser les phénomènes quantques pour calculer émse, la queston la plus mmédate est Un tel ordnateur serat-l plus pussant qu un ordnateur classque?. L algorthme de Shor et son gan exponentel en complexté par rapport aux melleurs algorthmes classques, pus l algorthme de Grover et son gan quadratque donnèrent un début de réponse à cette queston. Mas encore faut-l savor jusqu où exactement peut aller un ordnateur quantque. C est là qu ntervennent les modèles de complexté, et parm eux celu de la complexté en requête, qu s ntéresse au nombre d nterrogatons de l entrée effectuées par un algorthme lors de son exécuton. Pour trouver une borne supéreure sur la complexté d un problème, l sufft d exhber un algorthme. Cependant, trouver une borne nféreure est ben plus délcat. Le formalsme mathématque de la physque quantque nous fournt pourtant une méthode générale pour trouver des bornes sur les complextés : l adversare quantque. Mas cette méthode est peu ntutve et très rapdement complexe pour les problèmes non trvaux. Ans nous connassons exactement la complexté de la recherche d éléments dans une lste, mas celle de la recherche de trangle dans un graphe, qu nous ntéresse c, est toujours une queston ouverte. La melleure borne nféreure connue est Ω(n) et toute la dffculté de trouver une borne supéreure est de concevor un algorthme quantque effcace. Or, les phénomènes quantques étant peu ntutfs, la concepton de tels algorthmes est délcate. Il est alors utle d avor à dsposton des modèles ntermédares dans lesquels l ntuton classque permet d obtenr des algorthmes quantques. C est le cas, par exemple, des marches aléatores quantques et du modèle qu nous ntéresse c : les learnng graphs. Introduts par Belovs [5], ces dérvés de la méthode de l adversare peuvent être vus comme des arbres de décson quantques qu transforment la concepton d un algorthme en problème combnatore. Plus de la moté de ce stage a conssté en un traval bblographque afn de se famlarser avec les dfférentes notons d algorthmque quantque en général, et le modèle des learnng graphs en partculer. La premère parte de ce rapport ntrodut les prérequs nécessares à la manpulaton des learnng graphs. La seconde parte expose ce qu a été concrètement effectué pendant le stage, à savor la retranscrpton de l algorthme de Le Gall sous la forme d un learnng graph adaptatf et la mse en forme de dfférents lemmes qu smplfent le calcul de sa complexté. Je profte de la fn de cette ntroducton pour remercer Frédérc Magnez pour ses patentes et nombreuses explcatons, ses consels et surtout pour m avor offert l occason de m mmscer dans un domane en plene effervescence. Je remerce auss Matheu Laurère pour son accuel chaleureux et les dscussons éclarantes, ans que Noëlle Delgado pour son ade au cours des dverses formaltés admnstratves. 1
Table des matères 1 Intoducton aux learnng graphs 3 1.1 Complexté en requête........................................ 3 1.1.1 Cas classque......................................... 3 1.1.2 Cas quantque........................................ 3 1.2 Certfcat............................................... 3 1.3 Learnng graphs............................................ 4 1.3.1 Défnton........................................... 4 1.3.2 Flot.............................................. 5 1.3.3 Complexté.......................................... 5 1.4 Utlsaton pratque des learnng graphs.............................. 6 1.4.1 Recherche de Grover..................................... 7 1.4.2 Calcul pratque de la complexté d un learnng graph................... 8 1.4.3 Marche sur le graphe de Johnson, l exemple d element dstnctness........... 10 1.5 Learnng graphs et crcuts électrques............................... 12 2 Applcaton à la recherche de trangle 13 2.1 Le problème de recherche de trangle................................ 13 2.2 Algorthme de Le Gall........................................ 13 2.3 Algorthme à base de Learnng graphs............................... 14 2.3.1 Mse sous forme de learnng graph............................. 14 2.3.2 Quelques lemmes....................................... 15 2.3.3 Calcul de la complexté................................... 16 2
1 Intoducton aux learnng graphs 1.1 Complexté en requête 1.1.1 Cas classque Lors de l analyse de la complexté d un algorthme, l est essentel d énoncer clarement ce que l on consdère comme coûteux en ressource ou au contrare néglgeable. Dans le modèle de la complexté en requête, on consdère qu une fos une entrée donnée, les seules opératons coûteuses sont les accès à cette entrée, les requêtes. Le coût de toute autre manpulaton des données n est pas prs en compte. Défnton 1 La complexté en requête d un problème est le nombre mnmal de requêtes nécessares à un algorthme pour résoudre le problème dans le pre cas. Prenons l exemple très smple du tr d une lste d enters. L entrée est c une lste de n enters, et une requête consste en la comparason de deux éléments. Nous savons alors que la complexté en requête est en O(n log(n)). Cela ne sgnfe pas qu on ne peut concevor d algorthmes plus performants, mas seulement que s de tels algorthmes exstent, alors ls font appel à des dées qu ne sont pas purement lées aux requêtes. Ans, l exste des algorthmes qu trent dans certans cas plus rapdement mas en ayant recours à d autres aspects que la seule comparason entre les éléments. 1.1.2 Cas quantque En mécanque quantque, un état quantque φ est représenté par un vecteur dans un espace hermten noté φ. Nous pouvons agr sur celu-c sot par une transformaton untare (on multple le vecteur par une matrce untare), sot par mesure selon une base ; ans, magnons que notre état φ évolue dans un espace de dmenson complexe n et donnons-nous une base orthonormée ψ telle que φ = n =1 a ψ : mesurer selon la base ψ sgnfe observer l état φ qu apparaîtra alors comme ψ avec probablté a 2. On peut donc représenter un algorthme quantque comme une sute de transformatons untares applquées à un état de départ fxé, suve d une mesure fnale selon une base donnée. On défnt donc une transformaton untare oracle qu permet d accéder à l entrée. Défnton 2 La complexté en requête quantque est le nombre mnmal de recours à l oracle nécessares dans le pre cas pour obtenr un état qu, une fos mesuré, nous donnera la bonne réponse avec une probablté strctement supéreure à une constante fxée c, avec c > 1 2. On a ben c cette même dée de compter le nombre d accès à l entrée. 1.2 Certfcat Nous abordons mantenant la complexté en requête de manère plus formelle. Nous ne nous ntéresserons, tout au long de ce rapport, qu à des problèmes de décson que l on peut dentfer à des fonctons booléennes 3
renvoyant 1 s la réponse est ou et 0 s non. Un algorthme est une méthode pour calculer cette foncton en prenant son argument en entrée. On consdère les entrées comme des n-uplets de booléens. Une requête est un accès de l algorthme à l une des composantes. Consdérons l exemple de la recherche d un élément dans une lste de talle n. L entrée est alors un n-uplet dont la -ème composante vaut 1 s le -ème élément est celu recherché et 0 snon. Une requête revent c à vérfer s un élément est ben celu recherché et l algorthme renvoe 1 s l élément est trouvé et 0 snon. On comprend ben qu l n est pas toujours nécessare d nterroger l ntégralté de l entrée pour connaître de façon certane la valeur de la foncton. Il sufft souvent de connaître certanes composantes ben partculères. On appelle un tel ensemble de composantes un 1-certfcat. Plus formellement : Défnton 3 Soent une foncton f et une entrée x. Un ensemble c de composantes est un 1-certfcat pour x s pour toute entrée y telle que les composantes dans c de y soent égales à celles de x, on a f(y) = 1. Ben sûr, une entrée z telle que f(z) = 0 n admet pas de 1-certfcat. On remarque que les 1-certfcats apportent beaucoup d nformaton sur la foncton et les éventuels algorthmes qu pourraent la calculer. Pour capturer cette dée, on défnt la structure de certfcat d une foncton. Défnton 4 Un ensemble C est la structure de certfcat d une foncton f s pour toute entrée x f 1 ({1}) l exste M C tel que tout élément de M sot un 1-certfcat pour x, on dt que les éléments de M sont marqués. En fat, l s agt de la collecton de tous les ensembles de requêtes pouvant amener à conclure que f vaut 1 sur une entrée. Pluseurs fonctons peuvent avor la même structure de certfcat. On défnt alors la complexté en requête d une structure de certfcat comme le maxmum des complextés en requête des fonctons ayant cette structure de certfcat. Dès lors, un algorthme ne prenant en compte que la structure de certfcat ne pourra fare meux que la complexté en requête de la structure. Pour être plus performant, d autres aspects nhérents à la foncton devront être prs en compte. En conservant l exemple de la recherche d un élément dans une lste de talle n, on remarque que toute entrée de f 1 ({1}) admet un sngleton comme 1-certfcat ; en effet, s une requête est postve, c est termné. Tout ensemble contenant ce sngleton est alors un 1-certfcat pour cette entrée. Ans la structure de certfcat pour cette foncton se présente comme un ensemble C contenant n ensembles M qu contennent eux-mêmes toutes les partes du segment [[1, n] contenant. On appelle cette structure OR certfcate structure car l s agt de celle de la foncton logque ou. 1.3 Learnng graphs Un learnng graph peut être vu comme un arbre de décson quantque, une façon de comprendre le fonctonnement d un algorthme quantque en termes de requête. Le prncpal ntérêt est qu à un learnng graph correspond une marche quantque, un algorthme concret permettant de résoudre le problème. Le learnng graph est donc un moyen de transformer le problème de la concepton d un algorthme quantque en un problème combnatore plus ntutf. 1.3.1 Défnton On notera un learnng graph G L = (V L, E L ) afn d évter les confusons lorsque d autres graphes entreront en jeu. Un learnng graph dépend de la talle de l entrée, on consdère donc des entrées de talle n représentées par des n-uplets. S on représente l état de l algorthme par l ensemble des requêtes déjà effectuées, alors P([1, n]) est l ensemble des dfférents états possbles de l algorthme. 4
Un learnng graph est un graphe pondéré aux arêtes dont les sommets sont dentfés aux états de l algorthme. On dentfera par exemple, l état ntal de l algorthme, et le sommet qu le représente. Deux états sont relés, s est seulement s, ls ne dffèrent que d une requête ; autrement dt, s l un des deux ensembles content exactement un élément de plus que l autre. Formellement : Défnton 5 Un learnng graph est le dagramme de Hasse représentant P([1, n]) mun de la relaton d ncluson strcte, que l on pondère par une foncton w : E L R +. Lorsque la foncton w dépend de l entrée x, le learnng graph est dt adaptatf, snon l est dt non-adaptatf. Cette dstncton aura son mportance par la sute. 1.3.2 Flot On défnt, pour chaque entrée x f 1 ({1}), un flot réel postf q x sur le learnng graph. Pour se fare le learnng graph est consdéré comme un graphe orenté. Défnton 6 La foncton q x : V L V L R + est un flot pour l entrée x sur le learnng graph G L = (V L, E L ) s elle vérfe : 1) u V L, v V L, q x (uv) = q x (vu). 2) Le flot est untare et est l unque source du flot, ans : v N( ) q x ( v) = 1. 3) Le flot se conserve en chaque sommet sauf en, la source, et dans les sommets de M, qu sont les puts du flot. Il en sut que pour tout autre sommet v : q x (uv) = q x (vw). u N(v) w N(v) + On peut vor le flot comme une représentaton du fonctonnement de l algorthme. Tout l ntérêt de la dmenson quantque de l algorthme est de permettre d effectuer smultanément pluseurs requêtes. Le flot montre les requêtes utles, celles qu aboutssent à la découverte d un 1-certfcat. On noteras par la sute par la sute q pour parler de tout les flots q x. 1.3.3 Complexté L ntérêt des défntons précédentes est d ntrodure la complexté d un learnng graph. Il est en fat possble de concevor un algorthme quantque résolvant le problème assocé et ayant pour complexté en requête un grand O de cette complexté. Grâce à ce modèle, concevor un algorthme quantque effcace revent alors à chosr astuceusement les pods et le flot afn de mnmser la complexté du learnng graph. Complexté négatve On défnt la complexté négatve C 0 d un learnng graph comme la somme des pods de ses arêtes. Afn de rester le plus général possble, nous consdérerons le cas adaptatf : les pods w dépendent donc de x et on notera w x les pods. La complexté négatve sera alors notée C 0 (x). Défnton 7 La complexté négatve d un learnng graph est C 0 (x) = w x (e). e E L Dans le cas non adaptatf la complexté négatve d un learnng graph a un sens, et ne dépend pas de x, mas dans le cas adaptatf, elle n est qu un ntermédare dans le calcul de la complexté totale, et elle dépend de l entrée x. 5
Complexté postve S la complexté négatve ne prend en compte que les pods, la complexté postve prend en compte le flot. Sot un flot q x défnt pour une entrée x f 1 ({1}) sur le learnng graph. On défnt l énerge E(f x ) du flot. Défnton 8 L énerge d un flot q x sur un learnng graph est E(q x ) = 2 q x(e) w. x(e) e E L Ic le learnng graph est consdéré comme non-orenté et chaque arête est comptée une seule fos. La complexté postve du learnng graph pour l entrée x, C 1 (x), est défne comme l énerge mnmale d un flot pour x. Défnton 9 La complexté postve d un learnng graph est C 1 (x) = mn q x E(q x ). De même que pour la complexté négatve, dans le cas non adaptatf, cela a du sens de parler de la complexté postve d un learnng graph. Elle est alors défne comme le maxmum sur les entrées des complextés postves. C 1 = max C 1 (x) (1.1) x f(1) 1 Dans le cas adaptatf, l s agt auss d un ntermédare dans le calcul de la complexté totale. Complexté totale Une fos ntrodutes les complextés négatves et postves, la complexté totale peut alors être défne comme le maxmum ou la moyenne géométrque de ces deux complextés. Ces deux défntons sont en fat équvalentes. Dans le cas non-adaptatf, où les complextés négatve et postve d un learnng graph sont ben défnes, l sufft de prendre drectement la moyenne géométrque. Défnton 10 La complexté d un learnng graph non-adaptatf est C = C 0 C 1. ( Cependant dans le cas adaptatf l faut procéder comme sut : ) ( ) Défnton 11 La complexté d un learnng graph adaptatf est C = max C 0 (x) max C 1 (x). x f 1 ({0}) x f 1 ({1}) Il est ntéressant de constater ce qu se passe lorsque l on multple tous les pods par un même nombre non nul α. Cela revent a multpler par α la complexté négatve et dvser par α la complexté postve ; l n y a donc aucun mpact sur la complexté totale. Nous utlserons cette opératon à de nombreuses reprses par la sute. Il a été dt que nous pourrons ensute transformer un learnng graph de complexté O(C) en un algorthme quantque de même complexté. On défnt alors la complexté en terme de learnng graph d une structure de certfcat comme la complexté mnmale d un learnng graph pour cette structure. 1.4 Utlsaton pratque des learnng graphs En pratque, de nombreux aménagements du modèle sont fats pour smplfer l analyse. Un learnng graph, sur une entrée de talle n, devrat avor 2 n sommets. Cependant parm ceux-c, certans ne sont jamas attents par aucun flot, de même que certanes arêtes ne sont jamas traversées. On peut alors consdérer que le pods de ces arêtes est nul. Ne convoyant aucun flot, elles n ont aucune ncdence sur la complexté du learnng graph et on chost de ne pas les représenter. On ne représente pas non plus les sommets dont toutes les arêtes ncdentes sont de pods nul. 6
1.4.1 Recherche de Grover La recherche d un élément dans une lste de talle n et un des problèmes les plus classque de l algorthmque quantque. L algorthme de Grover permet de le résoudre en O( n) et l est optmal, les learnng graphs permettent d obtenr le même résultat. Voc comment on représente le learnng graph correspondant au problème de recherche d un élément dans une lste de talle n. 1...... j... n Seules les partes utles sont représentées. Lemme 1 La complexté en terme de learnng graph de la recherche de Grover sur une lste de talle n est en O( (n)). Preuve. Calculons la complexté, pour des rasons de symétre, on assgne le même pods à toutes les arêtes. Comme multpler tout les pods par une constante non nulle ne change pas la complexté, on fxe arbtrarement les pods à 1. Ensute l sufft de construre un flot pour tout x f 1 ({1}). On chost de ne consdérer qu un unque 1-certfcat pour chaque x. On route naturellement le flot de au 1-certfcat correspondant à la poston de l élément recherché. Ce chemn ne comportant qu une arête, on a : Et fnalement : n C 0 = 1 = n (1.2) =1 C 1 = 1 (1.3) C = n. (1.4) On peut donc à partr de ce learnng graph concevor un algorthme quantque avec une complexté en requête en O( n). On trouve ben le même résultat que l algorthme de Grover. Nous nous sommes contentés d effectuer le calcul pour un x et un flot donnés sans nous préoccuper de l optmalté. Cette démarche est valde étant donné que c est une borne supéreure sur la complexté qu nous ntéresse. Ic le learnng graph est non-adaptatf ; on peut se demander s un learnng graph adaptatf pourrat fare meux. Il serat tentant de mettre systématquement un pods nul sur les arêtes ne routant aucun flot. Pourtant, cette approche n est pas vable. Le pods d une arête peut en effet dépendre de x, cependant l ne peut dépendre que des requêtes déjà effectuées lorsque l on traverse cette arête. Concevor un learnng graph adaptatf est donc assez délcat et dans le cas de la recherche d élément, le learnng graph non-adaptatf est ben optmal. 7
Nous utlserons très souvent ce type de learnng graph par la sute, notamment comme sous-routne au sen de learnng graphs plus complexes. Pour smplfer l écrture, on représentera une recherche de Grover par une flèche smple en cachant l arborescence des possbltés. Grover 1.4.2 Calcul pratque de la complexté d un learnng graph Avant de calculer la complexté de learnng graphs plus mposants, nous allons ntrodure pluseurs notons et méthodes qu smplfent grandement l analyse et seront utlsées abondamment tout au long de ce rapport. Sommets redondants Il est parfos commode pour clarfer la représentaton et l analyse d un learnng graph que pluseurs sommets s représentent le même ensemble. Cela n est pas gênant, on peut en effet se ramener à un learnng graph réguler de complexté nféreure par quelques manpulatons smples. Lemme 2 Pour tout learnng graph comportant des sommets redondants ont peut construre un learnng graph réguler de complexté nféreure. Preuve. S l exste pluseurs arêtes e de pods w relant des sommets représentant un ensemble S et S alors on construt un learnng graph où ces sommets sont relés par une arête e de pods w. Ans la complexté négatve des deux graphes est égale. Quant au flot, s ces arêtes sont traversées par un flot q x (e ) alors on route à travers la nouvelle arête un flot q x (e ). Le nouveau flot est ben conforme à la défnton et de plus l négalté : ( ) 2 q x (e ) w q x (e ) 2 nous garantt que la complexté postve et, fnalement, la complexté totale du nouveau learnng graph seront nféreures à celles de l ancen. On peut donc travaller sur un learnng graph avec sommets redondants pour calculer une borne supéreure sur la complexté. Transton Souvent, pluseurs requêtes nécesstent d être fates à la sute de manère systématque, par exemple lorsque l on nterroge drectement un ensemble de varables. Sur un learnng graph cela apparaît comme un chemn au sens des graphes. Afn de smplfer l écrture, on a l habtude de concaténer ces chemns et de les représenter par une arête unque que l on appellera transton. On défnt alors la longueur d une transton comme le nombre d arêtes qu elle représente, et on admet que toute les arêtes au sen d une transton ont même pods. Ces conventons permettent non seulement de smplfer la représentaton d un learnng graph mas auss son analyse. Calcul par étage Afn de calculer la complexté d un learnng graph mposant, l est possble de le découper en graphes plus petts dont on calculera la complexté séparément après avor fxé un flot sur tout le graphe. La somme w 8
de ces complextés est alors un majorant de la complexté totale. En effet, sot un learnng graph G L = (V L, E L ) et des E () L, les étages, qu forment une partton de E L. Attenton : l est mportant que le nombre d étages k ne dépende pas de n, la talle de l entrée. On défnt des complextés négatve et postve par étage, C () 0 et C () 1, ans qu une complexté par étage C () = C () 0 C() 1. Lemme 3 La complexté d un learnng graph parttoné en k étages E () L de complextés respectves C(), où ( k k est une constante, est en O C ). () =1 Preuve. On commence par dvser dans chaque étage tout les pods par la complexté négatve de l étage. On obtent : et Or l négalté : nous donne fnalement : k =1 C 1 = C () 0 C() 1 C 0 = k (1.5) k =1 ( k C () 0 C() 1 (1.6) =1 ) 2 C () 0 C() 1 (1.7) ( k Donc une complexté en O C ). () =1 C k k C (). (1.8) =1 Spécalté S l est possble de smplfer le calcul de la complexté totale en dvsant le graphe en étages, l est auss possble de smplfer de manère radcale le calcul de la complexté d un étage sous certanes hypothèses. Supposons qu un étage E () L sot un ensemble de transtons parallèles de même longueur L et où le flot ne prend que deux valeurs, 0 et une valeur constante c. Par parallèles, on entends que ces transtons forment une coupe du learnng graph. De plus M, l ensemble des 1-certfcats, ne dot affecter le flot dans l étage qu à une permutaton des transtons près. Autrement dt, quelque sot l entrée, le nombre d arêtes parcourues par le flot et la valeurs c du flot lu-même dovent demeurer nchangées dans l étage. On note n tot le nombre total de transtons et n utle le nombre de transton parcourues par un flot non nul. Défnton 12 La spécalté de l étage est défne par : T = ntot n utle. Lemme 4 S un étage vérfe les hypothèses précédentes alors sa complexté est en O ( L T ). 9
Preuve. Pour le vor l faut assgner à toutes les arêtes d un étage un même pods w. On a alors : et C () 0 = n tot L w (1.9) C () 1 = n utle c 2 w (1.10) fnalement on a C () = n utle cl T, or par défnton du flot n utle c 1, on obtent C () = O ( L T ). Les hypothèses de l utlsaton de la spécalté parassent très restrctves mas sont pourtant très fréquemment vérfées et ces méthodes permettent un gan de temps préceux. 1.4.3 Marche sur le graphe de Johnson, l exemple d element dstnctness Les learnng graphs sont étrotement lés aux marches quantques, les homologues des marches aléatores classques. Par exemple, l algorthme de recherche de Grover peut être vu comme une marche quantque et les algorthmes obtenus à partr des learnng graphs en sont également. Les marches sur le graphe de Johnson sont parm les plus utlsées et seront très présentes, aux même ttre que les recherches de Grover, comme sous-routnes dans les learnng graphs. Ic les learnng graphs seront toujours consdérés comme nonadaptatfs, ben que tous les concepts présentés se généralsent asément au cas adaptatf, ce qu sera fat dans la seconde parte de ce rapport. Graphe de Johnson On défnt le graphe de Johnson J(n, r) comme le graphe non-orenté dont les sommets correspondent aux ensembles à r éléments dans P([1, n]). Deux ensembles sont relés s et seulement s ls ne dffèrent que d un élément, c est à dre s l on peut obtenr l un à partr de l autre en retrant pus en ajoutant un unque élément. L dée d une marche sur le graphe de Johnson est de trouver d abord un ensemble d élément auquel on restrendra ensute les recherches. Element Dstnctness Nous allons vor comment cette marche se tradut en terme de learnng graphs à travers l exemple d element dstnctness. Il s agt d un problème smple pour lequel la marche sur le graphe de Johnson est optmale. Étant donnés une foncton h et un ensemble X de talle n, on cherche à savor s l exste deux éléments x et y tels que h(x) = h(y). Cela revent par exemple à rechercher une collson pour une foncton de hachage. Nous chosssons de router le flots vers les 1-certfcat correspondant à une unque collson pour chaque x f 1 ({1}). Ic les éléments marqués appartenant à M sont tous les ensembles contenant cette pare. Le modèle ne nous oblgeant pas à utlser tout les éléments de M comme puts, nous ne nous ntéresserons qu aux éléments marqués de talle r où r est un o(n). Le learnng graph pour element dstnctness se présente ans pour n = 4 et r = 3 : 10
{1} {2} {3} {4} {1, 2} {1, 3} {1, 4} {2, 3} {2, 4} {3, 4} {1, 2, 3} {1, 2, 4} {1, 3, 4} {2, 3, 4} Le learnng graph se découpe très smplement en tros étages dstncts. On commence d abord par questonner tous les ensembles à r 2 éléments. Pour représenter cela de la façon la plus smple possble, on cope les sommets afn d obtenr de grandes transtons de longueur r 2 entre et les dts ensembles. Dans une deuxème étape on questonne le (r 1) ème élément et enfn dans une trosème étape, on nterroge le derner élément. Lors de la concepton du flot nous ne nous ntéresserons qu aux chemns ne découvrant la collson que lors des étapes deux et tros. Lemme 5 La complexté du learnng graph correspondant à element dstnctness est en O(n 2 3 ). Preuve. Nous commençons par router le flot de manère unforme dans les transtons qu n nterrogent aucun des éléments de la collson. Lors de l étape deux, le flot, toujours unforme, n est envoyé qu à travers les arêtes qu nterrogent un élément de la collson. Et enfn le flot traverse l arête correspondant à la requête sur l élément de la collson manquant, avant de termner sa course dans l un des sommets marqués. Mantenant que le flot est fxé, nous allons calculer la complexté par étage. Remarquons que ceux-c vérfent toutes les hypothèses nécessares à l utlsaton de la spécalté : Étage 1 : La longueur L 1 est de r 2. Il y a ( ) ( n r 2 transtons et n 2 r 2) transtons où crcule un flot non n(n 1) nul. La spécalté T 1 vaut (n r+2)(n r+1). Fnalement C(1) = O(r). Étage 2 : La longueur L 2 est de 1. Il y a ( ) ( n r 2 (n r + 2) transtons et 2 n 2 r 2) transtons où crcule n(n 1) un flot non nul. La spécalté T 2 vaut 2(n r+1). Fnalement C(2) = O ( n). Étage 3 : La longueur L 3 est de 1. Il y a ( ) ( n r 1 (n r + 1) transtons et 2 n 2 r 2) transtons où crcule ( un flot non nul. La spécalté T 1 vaut n(n 1) 2(r 1). Fnalement C(3) = O n r ). On obtent une complexté en O (r + ) n + r n, que l on mnmse en prenant r = n 2 3 ( ) Ans, la complexté fnale est O n 2 3, qu est en fat optmale pour element dstnctness. Les nombreux chox effectués au cours du calcul ont pu sembler arbtrares ; pourtant le résultat obtenu est optmal. Cec llustre ben la grande lberté qu octroe ce modèle ; dessner un bon learnng graph nécesste 11
une bonne ntuton sur le problème afn de trouver les paramètres qu donneront une complexté ntéressante. Par la sute nous nous servrons surtout des deux learnng graph déjà ntroduts, la recherche de Grover et la marche sur le graphe de Johnson. Ils nous servront d éléments de base pour construre des learnng graphs plus complexes. De même que pour Grover, on utlsera une représentaton smplfée en cachant l arborescence. Une marche sur le graphe de Johnson sera donc représentée par tros flèches smples, une pour chaque étage de la marche. Johnson 1.5 Learnng graphs et crcuts électrques Il est possble d aborder la complexté d un learnng graph d une autre façon. S l on envsage le graphe comme un réseau électrque où le pods des arêtes représente une conductance, alors en envoyant un courant d un Ampère au sommet et en branchant les sommets de M sur la masse, le courant obtenu à travers le crcut satsfat toute les hypothèses d un flot sur un learnng graph. Sous cet angle, on constate que l énerge du flot est en fat exactement la perte d énerge par effet Joule dans les résstances du crcut. Or, cette énerge est naturellement mnmsée dans un crcut réel. Le courant est donc drectement le flot optmal pour le learnng graph. On peut alors assmler la complexté postve du learnng graph à la résstance effectve du crcut, qu elle peut se calculer par les méthodes usuelles sur les crcuts électrques (assocaton de résstances en sére, en parallèle et équvalence trangle-étole). Cette nterprétaton nous donne alors une autre méthode de calcul : on fxe les pods, pus on calcule la résstance. S on note W la somme des pods et R la résstance, la complexté du learnng graph est en O( W R). Applquons cette méthode au learnng graph pour la recherche de Grover, mas cette fos-c ntéressons nous au cas où l y a au mons k fos l élément recherché dans une lste de talle n. Lemme 6 La complexté du learnng graph correspondant à une recherche de Grover sur n éléments, où l élément recherché s l est présent, l est au mons k fos, a une complexté en O ( n k ). Preuve. Toutes les arêtes ont le même pods 1, on a donc W = n. On chost arbtrarement k 1-certfcats branchés à la masse. Ils ont même potentel 0, on peut alors les dentfer à un seul sommet. Aucun courant ne transte à travers les arêtes qu ne mènent pas à la masse, nous n en tenons donc pas compte dans le calcul de la résstance effectve. Le graphe consste alors en k résstances parallèles de conductance 1 chacune, ce qu est équvalent à une unque résstance de conductance k. On a R = 1 K et fnalement une complexté en O( n k ). Pour k = 1 on retrouve ben la recherche de Grover classque. Ce résultat, plus général, nous sera utle par la sute. Pour un graphe auss smple que celu de Grover, cette méthode est applcable, mas elle devent vte trop calculatore. Pour le graphe d element dstnctness en dentfant les sommets de même potentel, on peut se ramener à un peu mons d une dzane de sommets mas le graphe demeure assez complexe pour que les calculs prennent pluseurs pages. Cependant cette dée de crcut électrque à un ntérêt théorque. Il exste une manère de concevor des marches quantques trouvant les sommets de M sur un graphe pondéré en O( W R). Cette méthode s applque auss sur un learnng graph et assure l exstence d un algorthme quantque de même complexté que le learnng graph justfant l utlsaton du modèle pour calculer des complextés. 12
2 Applcaton à la recherche de trangle 2.1 Le problème de recherche de trangle Le problème de la recherche de trangle est l un des plus smple de la théore des graphes, et ben que ses applcatons soent nombreuses en étude des réseaux, sa complexté quantque exacte demeure nconnue à ce jour. Sot un graphe G = (V, E) d ordre n. On cherche à savor s celu-c content un trangle, c est-à-dre tros sommets tous relés entre eux. Pour ce problème, une requête consste à nterroger une pare de sommets pour savor s ls sont relés par une arrête ou non. L ensemble des requêtes possbles est donc de talle n(n 1) 2. Un 1-certfcat pour ce problème consste en un ensemble de sommets a, b et c tels que ab, bc et cd E. Applquer de manère trvale la recherche de Grover sur l ensemble des trangles potentels donne une borne supéreure sur la complexté en O(n 1.5 ). La melleure borne nféreure connue s obtent par réducton à partr de la recherche d éléments dans une lste. Lemme 7 La compléxté quantque de la recherche de trangle dans un graphe de talle n est en Ω(n). Preuve. Sot une lste de n éléments. On l encode dans les arêtes d un graphe : une pare de sommets est une arête s et seulement s elle correspond à l élément recherché. Aux sommets représentant la lste, on ajoute un sommet supplémentare relé à tous les autres. Le graphe obtenu possède alors O( n) sommets et ne content un trangle que s la lste content l élément recherché. Or on sat que l algorthme de Grover en O( n) est optmal pour la recherche d élément dans une lste. Il en sut que l on ne peut trouver un trangle en mons de O(n) requêtes, où n est l ordre du graphe. On sat cependant qu aucun learnng graph non-adaptatf ne peut fare meux que O(n 9 7 ), borne attente par Lee, Magnez et Santha [9]. En utlsant des arguments combnatores, Le Gall a obtenu un algorthme en O(n 5 4 log(n)) [11]. 2.2 Algorthme de Le Gall Nous ne détallerons pas l algorthme au pont d explcter précsément sa complexté mas smplement assez pour avor une dée générale de son fonctonnement afn de construre ensute un learnng graph adapté. L dée prncpale de l algorthme de Le Gall est d exclure un ensemble X de sommets afn de lmter le nombre de requêtes à effectuer. En pratque, on commence par chosr aléatorement un ensemble X, de talle x suffsamment pette, pour qu y rechercher un sommet de trangle en utlsant une recherche de Grover ne sot pas trop coûteux. S on trouve un trangle, on arrête là. Snon, on dspose d un ensemble de sommets qu à coup sûr n appartennent à aucun trangle. A partr de X, on défnt E(X), l ensemble des couples de sommets qu sont tout deux vosns d un même sommet de X. Les proprétés de X nous permettent d assurer que E(X) ne content aucune arête. Cependant, détermner E(X) en enter rsque de nécesster trop de requêtes, alors on se lmte à un 13
ensemble A de talle a que l on recherche par marche sur le graphe de Johnson. On détermne alors E(X) A 2. Mantenant, on recherche avec Grover un sommet de trangle w. Toujours pour économser des requêtes, on ne recherche pas drectement l arête uv qu forme le trangle avec w. On se lmte à un ensemble B de talle b dans A que l on recherche par une marche sur le graphe de Johnson. Il ne reste alors qu à rechercher dans B 2 l arête uv. Cependant, nous savons qu l ne sert à ren de questonner les pares de E(X) A 2 ; on note (X, B) l ensemble des pares canddates. En fat, on a (X, B) = B 2 \E(X). De plus on ne recherche que parm les pares qu peuvent former un trangle avec w. On note l ensemble de ces pares (X, B, w) ; on a (X, B, w) = (B N(W )) 2 E(X). L algorthme se termne par une recherche de Grover sur (X, B, w). w X t u v E(X) B 2 A 2 2.3 Algorthme à base de Learnng graphs On remarque que l on peut vor l algorthme de Le Gall comme un enchaînement de recherches de Grover et de marches sur le graphe de Johnson. Or nous connassons ben les learnng graphs assocés à ces routnes. On peut alors en combnant ces éléments obtenr un learnng graph utlsant les dées de l algorthme. 2.3.1 Mse sous forme de learnng graph On va mantenant utlser le formalsme des learnng graphs pour concevor un algorthme effcace pour la recherche de trangles. Pour ce fare, on découpe l algorthme en sous-routnes que l on branchent à la sute les unes des autres dans le learnng graph. En utlsant les conventons de représentaton ntrodutes, nous obtenons un learnng graph de cette forme : étages : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A w B (X, B, w) X t uv 14
Il s agt d un learnng graph à 10 étages dont le derner est adaptatf. L étage 1 consste à consdérer tout les ensembles X possbles à la manère d une recherche de Grover. Dans l étage 2, l y a pour chaque X un embranchement, l un correspondant à la recherche de sommets de trangle dans X et l autre à la recherche de trangles, en admettant que X a les bonnes proprétés. Suvant le X le flot n ra que dans l une des deux branches. Les étages 3, 4 et 5 consttuent la marche sur le graphe de Johnson pour trouver A. L étage 6 est une recherche de Grover sur tous les w. Les étages 7, 8 et 9 correspondent à la marche sur le graphe de Johnson pour trouver B, et enfn l étage 10 est la recherche de Grover sur (X, B, W ) dont la talle vare selon l entrée : c est là qu apparaît le caractère adaptatf du learnng graph. 2.3.2 Quelques lemmes Le learnng graph obtenu est mposant et surtout adaptatf, l va donc nous fallor modfer les méthodes non-adaptatves et les lemmes suvants vont grandement smplfer l analyse. Ces lemmes sont très généraux et peuvent être utles dans des cas ben dfférents de l algorthme qu nous ntéresse c. Learnng graph pour la dsjoncton Lemme 8 Sot une famlle de fonctons f de complexté en terme de learnng graph en O(C () ) et h la foncton telle que h = ( f. Alors la complexté en terme de learnng graph de h est en O (C () ) ). 2 De plus s l on a l assurance que s h(x) = 1 alors f (x) = 1 pour au mons k des fonctons f alors la complexté est en O (C () ) 2 k. Nous allons montrer le lemme dans un cadre un peu plus général que celu où l est énoncé. En effet l ntérêt de ce lemme est de décomposer des learnng graphs en assmlant les sous-partes aux fonctons qu elles calculent. Mas dans le cas adaptatf, ces learnng graphs dépendent de l entrée. Cette dée de dépendance est logque en terme de learnng graphs mas étrange en terme de fonctons. Ans, afn d évter les ambguïtés, nous allons passer par un lemme ntermédare. Afn de smplfer les écrtures, on défnt les transtons vdes ; qu sont des arêtes factces qu l faut contracter (au sens des graphes) pour obtenr un vra learnng graph. On peut les vor comme des fls sans résstance dans l nterprétaton électrque. Lemme 9 Sot un learnng graph G de la forme suvante : G (1) G (2) G (3) Le sommet est relé par des transtons vdes à des composantes ndépendantes, c est à dre qu aucune autre arête ne les rele entres elles. On appelle s les sommets relés à et G () les learnng graphs correspondants ( aux composantes où s est assmlé à. On note C () leurs complextés. Alors la complexté de G est en O (C () ) ). 2 De plus, s des sommets marqués sont attents par le flot dans au mons k composantes, la complexté est en O (C () ) 2 k. 15
Preuve. Pour montrer ce lemme, on calcule smplement la complexté de G. On chost arbtrarement k composantes contenant un sommet marqué. On chost de router le flot de manère unforme à travers les transtons vdes menant à ces composantes. Chacune d elles reçot donc 1 k untés de flot. A l ntéreur des composantes G () on route le flot de manère optmale pour attendre la complexté C (). On a alors, en multplant dans chaque composante tous les pods par la complexté postve du learnng graph assocé : C 0 = C () 0 C() 1 = (C () ) 2 (2.1) D où le résultat. C 1 = k =1 1 k 2 = 1 k (2.2) On dédut alors drectement le lemme 8 du lemme 9, en constatant qu une structure de certfcat h est l unon des structures de certfcats des f. Il en sut qu un learnng graph consttué du sommet relé par des transtons vdes à des learnng graphs optmaux pour les f est un learnng graph valde pour h. En applquant le lemme 9, on obtent le résultat souhaté. Spécalté adaptatve Lemme 10 Sot un étage de transtons parallèles regroupées en k classes H, où k est une constante, de mêmes longueurs L, et où chaque classe respecte les hypothèses d utlsaton de la spécalté. On suppose que le flot prend seulement deux valeurs dans tout l étage : 0 et une constante c. De plus, on suppose le flot unforme sur toutes les transtons où l n est pas nul ; ans, s l étage reçot f( untés de flot, alors chaque transton utle en reçot une part égale. La complexté de l étage est alors en O M q (L) ) T (x) où T (x) est la spécalté adaptatve de l étage et M q (L) la moyenne quadratque des longueurs des transtons de l étage. On retrouve ben le cas classque lorsque k = 1. Preuve. Pour montrer cela l sufft de donner à toutes les arêtes d une même classe un même pods w. On ntrodut le nombre de transtons dans une classe n et le nombre de transtons utles par classe n utle On a donc n utle = n utle et n tot = C 1 = or f 1 d où le résultat. k =1 n. On pose w = L n tot. On a alors : C 0 =. k L w n = (M q (L)) 2 (2.3) =1 n utle c 2 k L w n 2 = c 2 n utle n tot utle n 2 = f 2 T (x) (2.4) =1 utle Ic les pods orgnaux et la spécalté peuvent dépendre de l entrée, par contre le flot dot toujours satsfare les hypothèses pour toute entrée. 2.3.3 Calcul de la complexté Nous allons calculer étage par étage en utlsant abondamment les lemmes précédents. Pour faclter l utlsaton du lemme 9 nous appellerons G(X) le learnng graph correspondant à l exécuton de l algorthme une fos un X fxé, G 1 le learnng graph correspondant à la recherche de sommets de trangle dans X (on remarque qu l n est pas adaptatf), et G 2 (X) le learnng graph assocé à la recherche de trangles avec un X convenable. On note C(X), C 1 et C 2 (X) leur complextés respectves. On rappelle que l on a la hérarche 16
suvante sur les talles des dfférents ensembles : b = o(a) et a = o(n). Étage 1 : Il s agt de transtons vdes représentant les dfférents X, nous sommes dans le cas du lemme 9. Chaque branche recevant un flot unforme, tous les X mènent à une exécuton correcte de l algorthme, on a une complexté pour le learnng graph en O C(X) 2 X Étage 2 : On symbolse par des transtons vdes l embranchement vers G 1 (X) et G 2 (X). L applcaton du lemme 9 nous donne une complexté C(X) en O( C 2 1 + C 2(X) 2 ). Calculons C 1. Ce learnng graph est un embranchement de transtons vdes représentant chaque t X suv d une recherche de Grover sur les couples de sommets du graphe qu formeraent un trangle avec ce t. Cette dernère recherche est en O(n) et en applquant le lemme 9 on trouve une complexté C 1 en O(n x). Étage 3 : Dorénavant tous les calculs ont pour objectf de détermner C 2 (X), nous ne ferons usage que de la spécalté adaptatve. Tous les étages suvants sont consttués de transtons de mêmes longueurs. Nous chosssons, comme depus le début de ce rapport, de ne consdérer que les 1-certfcat correspondant à un unque trangle, composé d une arête uv et d un trosème sommet w. On commence par chercher A de talle a. Dans cet étage on ne route le flot qu à travers les transtons menant aux ensembles de talle a 2 ne contenant pas uv. Attenton : le but étant c de calculer E(X) A 2, on calcule les vosns de chaque élément dans X. Ans, ajouter un élément à A coûte en fat x requêtes. La longueur L 3 de l étage est donc (a 2)x, l y a ( ) ( n a 2 transtons au total et n 2 a 2) transtons utles, d où une spécalté T 3 en O(1). Fnalement, la complexté de cet étage est en O(ax). Étage 4 : On route le flot à travers les transtons qu chargent le premer sommet de l arête uv. La longueur L 4 est de x, l y a ( ) ( n a 2 (n a + 2) transtons au total et n 2 a 2) transtons utles, d où une spécalté en O( n). La complexté de l étage est en O(x n). Étage 5 : On route le flot à travers les transtons qu chargent le derner sommet de l arête uv. La longueur L 5 est de x, l y a ( ) ( n a 1 (n a + 1) transtons au total et n 2 a 2) transtons utles, d où une spécalté en O( n2 xn a ). La complexté de l étage est en O( a ). Étage 6 : Il s agt de transtons vdes représentant une recherche de Grover sur les w. Plutôt qu utlser le lemme 9, nous nous rappellerons par la sute que pour chaque A contenant uv on route le flot dans une unque transton correspondant au bon w parm les n possbltés. Aucune requête n est effectuée à cet étage. Étage 7 : On débute mantenant la recherche de B dans A tel que B contenne uv. A chaque fos qu on charge un élément dans B on vérfe s l est vosn de w ce qu coûte une requête. On ne route le flot que dans les transtons menant aux ensembles ne contenant pas uv. La longueur L 7 est de b 2, l y a ( ) ( n a n a ) ( b 2 transtons au total et n 2 )( a 2 ) a 2 b 2 transtons utles, d où une spécalté en O( n 3 a ). La 2 complexté de l étage est en O( bn 3 2 a ). Étage 8 : On route le flot à travers les transtons chargeant le premer sommet de uv. La longueur L 8 est de 1, l y a ( ) ( n a n a ) ( b 2 (a b + 2) transtons au total et n 2 )( a 2 a 2 b 2) transtons utles, d où une spécalté en O( n3 a ). La complexté de l étage est en O( n 3 2 a ). Étage 9 : On route le flot à travers les transtons chargeant le second sommet de uv. La longueur L 9 est de 1, l y a ( ) ( n a n a ) ( b 1 (a b + 1) transtons au total et n 2 )( a 2 a 2 b 2) transtons utles, d où une spécalté en O( n3 b ). La complexté de l étage est en O( n 3 2 b ). ( n x). 17
Étage 10 : On fn en nterrogeant l arête uv elle même, par une recherche de Grover sur (X, B, w). La longueur L 10 est de 1, l y a (X, B, w) transtons au total et ( )( n 2 a 2 a 2 b 2) transtons utles, d où A,B,w ( ) une spécalté en O (X,B,w) A,B,w ( n 2 a 2)( a 2 b 2). La complexté du derner étage est en O (X,B,w) A,B,w ( n 2 a 2)( a 2 b 2) Pour smplfer l écrture, on fat apparaître la moyenne sur B et w de (X, B, w) que l on note M B,w (X). On obtent une complexté en O( n 3 2 b MB,w (X)). On obtent fnalement une complexté C 2 (X) en O(ax + x n + xn a + bn 3 2 a + n 3 2 a + n 3 2 b + n 3 2 b MB,w (X)). On chost de prendre a = n 3 4, b = n et x = n. Ce qu nous donne : C 2 (X) = O(n 5 4 + n + n 9 8 + n + n 9 8 + n 5 4 + n M B,w (X)). On a alors C 1 = O(n 5 4 ) et C 2 (X) = O(n 5 4 + n M B,w (X)). Ans C(X) = O(n 5 4 +n M B,w (X)) et donc la complexté fnale est en O( n 5 4 + n 2 M X,B,w ) où M X,B,w est la moyenne sur les X, B et w de (X, B, w). Sous cette forme la complexté dépend encore de l entrée mas le lemme suvant va nous permettre de supprmer cette dépendance. Lemme 11 Pour tout graphe G = (V, E) de talle n, pour tout B V de talle b, on a M X,B,w b2 x, où x est la talle de X. Preuve. Sot (u, v) V 2. On note T u,v l ensemble N(u) N(v) de talle t et P((u, v) (X, B, w)) la probablté que (u, v) appartenne à (X, B, w). On note auss (X) l ensemble des couples de sommets qu ne sont pas tous deux vosns d un même z dans X. Sot B V. Calculons l espérance sur X et w : E X,w [ (X, B, w) ] = P((u, v) (X, B, w)) (2.5) (u,v) B 2 D autre part on a : P((u, v) (X, B, w)) = P((u, v) (X) et w T u,v ) (2.6) Or, comme w / (X), ces deux événement sont ndépendants. P((u, v) (X, B, w)) = t ( 1 t x (2.7) n n). En posant α = tx n on a : Et fnalement : P((u, v) (X, B, w)) = α x ( 1 α ) x αe α 1 x x x (2.8). E X,w [ (X, B, w) ] b2 x (2.9) 18
Dans le cas qu nous ntéresse, on a donc M X,B,w n, sot une complexté pour notre learnng graph en O(n 5 4 ). Nous pouvons donc transformer ce learnng graph en un algorthme quantque qu décde l exstence d un trangle dans un graphe en O(n 5 4 ) requêtes amélorant d un facteur logarthmque l algorthme de Le Gall. Concluson Dans ce rapport, on construt un learnng graph adaptatf pour le problème de la détecton de trangles dans un graphe avec une complexté en O(n 5 4 ). Il peut être transformé en algorthme quantque de même complexté. On amélore ans d un facteur logarthmque la melleure borne supéreure connue sur la complexté en requête de ce problème. Pour ce fare, on a généralsé au cas adaptatf des méthodes usuelles d analyse des learnng graphs. On trouve, pour l nstant, peu de learnng graphs adaptatfs en tant que tels dans la lttérature ; on les sat pourtant strctement plus pussants que leurs homologues non adaptatfs, et l serat ntéressant d applquer ces rasonnements à des problèmes proches de la détecton de trangles comme par exemple assocatvty testng, chose que je n a pu approfondr au cours de ce stage. Il n y a pour l nstant, à ma connassance, pas de melleure borne nféreure pour les learnng graphs adaptatfs que Ω(n) ; on ne sat donc pas s ce learnng graph adaptatf est optmal ou non. Le prncpal ntérêt théorque de ces technques demeure, plus que la recherche d algorthmes pouvant être mplémentés sur d éventuels ordnateurs quantques, la compréhenson du gan de complexté qu offrrat un tel ordnateur. C est un sujet de recherche très actf et c est toujours une queston ouverte que de connaître exactement les écarts possbles entre les complextés en requête classque, probablste et quantque. 19
Bblographe [1] A. Ambans. Quantum search wth varable tmes. Theory of Computng Systems, 47(3) : 786 807, 2010. [2] A. Belovs. Learnng-graph-based quantum algorthm for k-dstnctness. Proc. of the 53rd IEEE FOCS, 2012. [3] A. Belovs. Span programs for functons wth constant-szed 1-certfcates. Proc. of 44th ACM STOC, 2012. [4] A. Belovs. Quantum walks and electrc networks. 2013. [5] A. Belovs. Applcatons of the adversary method n quantum query algorthms. Doctoral thess, 2013. [6] A. Belovs et T. Lee. Quantum algorthm for k-dstnctness wth pror knowledge on the nput. 2011. [7] A. M. Chlds, notes de cours, Quantum algorthms (CO 781/CS 867/QIC 823, Unversty of Waterloo, Wnter 2013), Adversary method et Learnng graphs. 2013. [8] Y. Echenlaub et P. Lagonotte. Réseaux électrocnétques et algèbre lnéare (notons fondamentales). TP, I.U.T. de Poters, Département GEII. [9] T. Lee, F. Magnez et M. Santha. Improved quantum query algorthms for trangle fndng and assocatvty testng. Proc. of the 24th ACM-SIAM SODA, 2013. [10] D. A. Levn, Y. Peres et E. L. Wlmer. Markov chans and mxng tmes. Verson électronque, pages.uoregon.edu/dlevn/, Chaptre 9. 2008. [11] F. Le Gall. Improved quantum algorthm for trangle fndng va combnatoral arguments. Proc. of the 55th IEEE FOCS, 2014. [12] M. Santha. Quantum walk based search algorthms. Proc. of 5th TAMC, volume 4978 of LNCS, pages 31 46. Sprnger, 2008. 20