L2 - Math4 Exercices corrigés sur les suites umériques Eocés Exercice Les assertios suivates sot-elles vraies ou fausses? Doer ue démostratio de chaque assertio vraie, et doer u cotre-exemple de chaque assertio fausse. () Si ue suite positive est o majorée, elle ted vers l'ii. (2) Si ue suite d'etiers coverge, elle est statioaire à partir d'u certai rag. (3) Si ue suite positive ted vers zéro, elle est décroissate. (4) Si ue suite positive ted vers zéro, elle est décroissate à partir d'u certai rag. (5) Si ue suite 'est pas majorée, elle est miorée. (6) Si ue suite est croissate et o borée, elle ted vers l'ii. Exercice 2 Soiet a et b deux réel xés ; o cosidère ue suite (u ) vériat N, u + = au + b. Trouver l R pour que (u l) soit ue suite géométrique. Pour quelle(s) valeur(s) de a et b la suite (u ) est-elle covergete? Exercice 3 Etudier la covergece des suites 2 + +, si 2 +, + ( ), 2+ 2 + k, k= cos + k. Exercice 4 Etudier les limites suivates lorsque : 3 2, α a (α R, a R +), 2, a,, 2 a (a R +), α e (l )2 (α > 0). Exercice 5 Le but de cet exercice est l'étude de la suite (cos α), où α est u réel. () Que peut-o dire si si α = 0? (2) O suppose désormais que si α 0, et o veut motrer que (cos α) 'a pas de limite. O suppose, e vue d'obteir ue cotradictio, que (cos α) admet ue limite l. Motrer, e cosidérat la suite (cos( + )α), qu'alors cos α lim si α = l si α. (3) Puis, e cosidérat si 2α, motrer que l {0, /2}. (4) E, e cosidérat cos 2α, motrer que l = 2l 2. Coclure. Exercice 6 Étudier les suites récurretes suivates : () u 0 = 0 et u + = u + 2. (2) v 0 R et v + = v v 2.
Exercice 7 O cosidère les deux suites (u ) N et (v ) N déies par u = k! et v = u +. () Motrer que (u ) est strictemet croissate, et que (v ) est strictemet décroissate à partir d'u certai rag. (2) E déduire que (u ) et (v ) coverget vers ue même limite l. (3) Motrer que cette limite est irratioelle. 2 Solutios Solutio de l'exercice () L'assertio est fausse. Par exemple, la suite (u ) déie par { 0 si est pair, u = sio est positive, o majorée, et e ted pas vers l'ii. (2) L'assertio est vraie. Par hypothèse, il existe l R tel que ε > 0, N N: [ N = u l < ε ]. Aisi, pour ε = /2, o trouve N N tel que, pour tout N, u ]l /2, l + /2[. Or, l'itervalle ]l /2, l + /2[ cotiet au plus u etier de maière évidete. Ceci motre que u est écessairemet costate à partir du rag N. (3) L'assertio est fausse. Par exemple, la suite (u ) déie par { 0 si est pair, u = / sio est positive, coverge vers 0, mais 'est pas décroissate. (4) L'assertio est fausse. La suite (u ) précédete fourit là ecore u cotre-exemple. (5) L'assertio est fausse. La suite déie par u = ( ) 'est i majorée i miorée. (6) L'assertio est vraie. Si (u ) N est croissate, elle est borée iférieuremet (par u 0 ). Doc si de plus (u ) est o borée, c'est qu'elle est o borée supérieuremet. Aisi, si l'o xe A R, o trouve N N tel que u N A. Mais comme (u ) est croissate, u A pour tout N. Comme A peut être choisi arbitrairemet, o a motré que u ted vers l'ii lorsque. Solutio de l'exercice 2 Posos v := u l. Deux cas peuvet se produire : - La suite (v ) est costate. Das ce cas, pour toute valeur de l R, la suite (v ) est géométrique. Il est clair que (v ) est costate si et seulemet si (u ) est costate. Or (u ) est costate si et seulemet si [ a = et b = 0 ], ou [ a et b = u0 ( a) ], c'est-à-dire, si et seulemet si b = u 0 ( a). - La suite (v ) est o costate. Pour que la suite (v ) soit géométrique de raiso q, il faut que au + b l = u + l = q(u l) = qu ql pour tout, avec bie sûr q (sas quoi (v ) serait costate). La suite (u ) 'état pas costate, o doit avoir, d'après l'égalité ci-dessus, q = a. O e déduit que b l = al, soit l = b a. Notos que, d'après ce qui précède, (v ) est o costate si et seulemet si b u 0 ( a), 2
E résumé, deux cas se produiset : (i) soit b = u 0 ( a), c'est-à-dire, (u ) est costate, et alors (u l) est géométrique quel que soit l R ; (ii) soit b u 0 ( a), et alors (u l) est géométrique si et seulemet si a et l = b/( a). Das le cas (i), (u ) est évidemmet covergete. Das le cas (ii), soit a = et alors b 0, de sorte que la suite (u ) est clairemet divergete, soit a et alors la suite (u b/( a)) est géométrique de raiso a, qui e peut être covergete que si a <. E résumé, la suite (u ) est covergete si et seulemet si b = u 0 ( a) ou bie [ a < et b est quelcoque das R ]. Solutio de l'exercice 3 Posos u = 2 + +. O a : 2 + + = + + 2, doc u, de sorte que u lorsque. O a : si 2 + 2 +, doc v := si 2 0 lorsque. + La suite w := + ( ) est divergete. E eet, si w était covergete vers ue limite l, toute suite extraite serait aussi covergete, vers la même limite. Or, w 2k = 2k + lorsque k, et w 2k+ = lorsque k. 2k + Les termes de la somme 2+ k= 2 + k = 2 + + + 2 + 2 + sot évidemmet ragés e ordre décroissat, de sorte que la somme est majorée par (2 + ) fois le premier terme et miorée par (2 + ) fois le derier terme. O remarque que le derier terme est égal à ( + ) 2. Aisi, (2 + ) 2 + 2+ k= (2 + ) 2 + k ( + ) 2. Il est facile de voir que, das les iégalités ci-dessus, les extrêmes tedet tous deux vers 2. Le théorème des gedarmes implique alors que 2+ x := 2 2 lorsque. + k k= Puisque / 0 lorsque, cos(/ ) lorsque. Fixos ε > 0. Il existe N N tel que, pour tout N, cos(/ ) ε. La foctio cos état croissate sur [0, ], o a alors, toujours pour N, O e déduit que, pour N, ε cos cos +... cos ( ε) cos, soit ε + k Comme ε put être choisi arbitrairemet petit, o a motré que 2. cos y := cos lorsque. + k + k. 3
Solutio de l'exercice 4 O a : l( 3 2 ) = 3 l l 2, doc 3 2 = e l(3 2 ) 0 lorsque. O a : l( α a ) = α l + l a. O distigue alors 3 cas. O a : - Si a =, alors, pour α = 0, α a, pour α > 0, l( α a ), de sorte que α a, et pour α < 0, l( α a ), de sorte que α a 0. - Si a >, alors, pour tout α R, l( α a ), de sorte que α a. - Si a ]0, [, alors, pour tout α R, l( α a ), de sorte que α a 0. ( ) 2 l = l 2 ( l 2 + l 3 + + l ) = l 2 + (l 2 l 3) + + (l 2 l ). Das le membre de droite, les termes etre parethèses formet ue suite égative, décroissate, qui ted vers. Ceci motre que ( ) 2 2 l, doc 0 lorsque. O distigue 3 cas. O a : - Si a = 0, la suite est idetiquemet ulle. - Si a > 0, o écrit comme précédemmet : ( ) a l = l a + (l a l 2) + + (l a l ). À partir d'u rag k, les termes etre parethèses devieet égatifs. O peut doc écrire ( ) a l = C + (l a l k) + + (l a l ), ce qui motre comme das le cas précédet (a = 2) que ( ) a a l, doc 0 lorsque. - Si a < 0, o écrit a = ( ) a, et le cas a > 0 motre que la suite coverge ecore vers 0. ( ) l = l ( l + + l ) = (l l ) + + (l l ). Das le membre de droite, tous les termes sot positifs, et le premier d'etre eux ted vers l'ii. Ceci motre que ( ) l, doc lorsque. O a : l ( 2 a ) = 2 l l a. Aisi, si a ]0, ], l ( 2 a ), de sorte que 2 a lorsque ; et si a >, l ( 2 a ), de sorte que 2 a 0 lorsque. O a : l ( α e (l )2 ) = α l (l ) 2, doc α e (l )2 0 lorsque. 4
Solutio de l'exercice 5 () La coditio si α = 0 équivaut à la coditio α = kπ pour k Z, qui est elle-même équivalete à cos α = cos kπ = ( ) k. Si k est pair, cos kπ et la suite est covergete puisque costate. Si k est impair, cos kπ = ( ) et la suite est divergete. (2) E passat à la limite das la formule cos( + )α = cos α cos α si α si α, o obtiet : cos α si α lim si α = l cos α l doc lim si α = l si α. (3) D'après la formule si 2a = 2 si a cos a, o a : si 2α = 2 si α cos α. E passat à la limite das cette derière formule, o obtiet : l cos α = 2l 2 cos α si α si α. Puisque si α 0, la fractio apparaissat das l'équatio ci-dessus est o ulle, et l'o peut doc simplier et obteir l'équatio l = 2l 2, c'est-à-dire l( 2l) = 0, ce qui doe l {0, /2}. (4) D'après la formule cos 2a = 2 cos 2 a, o a : cos 2α = 2 cos 2 α. E passat à la limite das cette derière formule, o obtiet : l = 2l 2, soit 2l 2 l = 0. Les solutios de cette équatio du secod degré sot et /2. E coclusio, { l 0, } {, } =, 2 2 et o e déduit que la suite (cos α) 'admet pas de limite. Solutio de l'exercice 6 () Posos f(x) = x + 2. Il est clair que f(r + ) R +. De plus, f (x) =, ce qui motre que f (x) 2 x + 2 2 2 pour tout x R +. Doc f est α-lipschitziee avec α = (2 2) <. Doc f est strictemet cotractate sur R +, et l'o peut appliquer le théorème du poit xe : f admet u uique poit xe x, qui est aussi la limite de u : x = f( x) = x + 2 = x 2 x 2 = 0 = x {2, }, et comme x R +, o trouve que x = 2. Doc u 2 lorsque. (2) Posos f(x) = x x 2 = x( x). Plusieurs cas se présetet selo la valeur de u 0. - Supposos que u 0 {0, }. Alors u k = 0 pour tout k. - Supposos que u 0 ]0, [. Alors u ]0, /2[ et doc, par iductio, u k ]0, /2[ pour tout k. Or, sur l'itervalle ]0, /2[, o a : 0 < f(x) < x, ce qui motre (iductivemet) que (u k ) k est strictemet décroissate. Comme (u k ) k est miorée par 0, elle est covergete. Soit l sa limite. E passat à la limite das l'équatio u k+ = u k u 2 k, o obtiet : l2 = 0, doc l = 0. - Supposos que u 0 < 0. Comme précemmet, la relatio u k+ = u k u 2 k motre (iductivemet) que (u k ) k est strictemet décroissate. Doc soit (u k ) k, soit (u k ) k est miorée et ted vers ue limite ie. Mais o a vu précédemmet que si u k l lorsque k, alors écessairemet l = 0, ce qui est impossible ici puisque u 0 < 0 et (u k ) k décroît. - Supposos que u 0 >. Alors u < 0, et l'o retombe das le cas précédet. Solutio de l'exercice 7 () Rappelos que, par covetio, 0! =. Pour tout N, u + u = /( + )! > 0, doc (u ) est strictemet croissate. Par ailleurs, v + v = u + u + O voit doc que v + v < 0 à partir de = 2. ( + )! = 2 ( + )! + ( + )! = ( + )!. 5
(2) Pour tout 2, u v v 2 = 3 de sorte que (u ) est ue suite croissate et majorée. Elle coverge doc vers ue limite l. De même, pour tout 2, v u u 0 de sorte que la suite (v ) est décroissate (à partir du rag = 2) et miorée, doc covergete. Or v u = /() 0 lorsque, doc (v ) coverge vers la même limite l. (3) Supposos, e vue d'obteir ue cotradictio, que l Q. Alors l = p/q avec p, q N. Pour 2, ous avos u l v, et comme q 2 (sas quoi la limite l serait etière, ce qui est clairemet faux), ous avos e particulier u q p q v q, soit q!u q q! p q q!v q = q!u q +. Il est facile de voir que q!u q est etier. L'etier q!l = q!(p/q) est doc compris etre les deux etiers successifs q!u q et q!u q + = q!v q, ce qui motre que l {u q, v q }. Si l = u q, alors ce qui est absurde. Si l = v q, alors u q < u q+ < < l = u q, l = v q > v q+ > > l, ce qui est tout aussi absurde. Aisi, ous avos motré que l e peut pas être ratioel. 6