Parie Corrigé CCP PSI 4 Dans oues les quesions géomériques, le plan es muni d'un repère orhonormé ( O, i, ) j La courbe représenaive de f es le segmen [OA], où A es de coordonnées (, ) : sa longueur es E + (f ()) d = d = C'es le même résula L (f) = + (sh ()) d Or, pour ou [, ], + (sh ()) = (ch ()), e ch (), L (f) = L (f) = sh () [ 3 (a) Pour ou, ], >, e es C sur ], + [, f es C sur [ ] e, pour ou,, f () = ( Ainsi, L (f) = + d = d = Arcsin ), L (f) = π 4 ch () d, [, ], (b) La courbe représenaive de f es le plus cour ( des deu arcs du cercle de cenre O, de rayon, délimiés par les poins A (, ) e B, ) 4 L (f) = Or ÂOB = π 4, on rerouve que L (f) = π 4 + 4 d sh (φ) La quesion I suggère le changemen de variable = sh (φ) La foncion φ es de classe C sur [, Argsh ()], à valeurs dans [, ], e + 4 es coninue sur [, ], Argsh() L (f) = + (sh (φ)) ch (φ) dφ = Argsh() (ch (φ)) dφ Or, pour ou φ [, Argsh ()], (ch (φ)) = eφ + e φ + ch (φ) + =, 4 L (f) = 4 Argsh() Finalemen : L (f) = ( + ch (φ)) dφ Argsh () + sh (Argsh ()) 8
Parie (a) L (f) = + 4 d (b) La foncion u u es de classe C sur [, ], à valeurs dans [ ] coninue sur,, le changemen de variable = u donne : ( ) L (f) = + u 4 du = u u + 4 du C'es le résula demandé par l'énoncé k= [ ],, e + 4 es (a) Pour ou α R \ N e ou ], [ : n (α k) + ( + ) α k= = + n n! n= n ( ) ( (b) Pour ou n, k = n ) ( (k ) = n ( ) () (3) (n 3) ) k= k= On muliplie numéraeur e dénominaeur par le produi des eniers pairs allan de à n, auremen di n (n )! : n ( ) cela donne k = ( ) n (n )! n (n )! On muliplie mainenan numéraeur e dénominaeur par (n ) (n), ce qui donne : n ( ) k = ( ) n (n)! n (n ) n! k= Or, pour ou ], [, 4 ], [,, d'après la formule rappelée à la quesion précédene : + 4 = + + ( ) n (n)! n (n ) (n!) 4n n= (c) La suie (a n ) n N es à ermes sricemen posiifs, il su de comparer le rappor a n+ à n n a n+ (n + ) (n + ) n (n + ) n + = n, ce qui es (n + ) Or, pour ou n, a n = sricemen inférieur à Ainsi : la suie (a n ) n N décroî sricemen On va appliquer la formule de Sirling : p! πpp p e p p + Par produi e quoien d'équivalens, on obien : πn (n) n e n a n n + (n ) n πn n n e n 4πn On simplie : a n n + (n ) πn d'équivalens : Or n n,, à nouveau par produi n +
(d) a n n + πn 3 Pour ou n N, on déni la foncion g n sur par g n () = ( ) n Si : (n)! n (n ) (n!) 4n chacune des foncions g n es coninue sur [ [, [ [, la série de foncions gn converge simplemen vers une foncion S coninue [ [ sur, [ [ chaque foncion g n es inégrable sur, e la série g n converge, [ [ alors S es inégrable sur,, e S =, + n= g n, D'après la quesion II, les deu premiers poins son acquis, la foncion [ [ S + éan dénie sur, 4 par S () = Pour [ ou ] n N, la foncion g n peu [ êre [ prolongée en une foncion coninue sur,, es inégrable sur, [ [ Pour ou n N e ou,, g n () a n, g n a n, ( ) Or les suies (a n ) n N e son posiives, équivalenes, e la série πn 3 πn 3 n N converge, la série an converge, la série converge Pour ou n N, g n = ( ) n (n)! 4n, n (n ) (n!) 4n g n, (e) d + On peu conclure que L (f) = + ( ) n (n)! 4n n (n ) (n!) 4n, n= + L (f) = + ( ) n (n)! 4n n (n ) (n!) 4n n= On va uiliser la majoraion du rese d'une série alernée : on sai que, si (u n ) n 3
es une suie qui décroî vers, alors la série ( ) n u n converge, e, pour N, n + ( ) n u n u N+ n=n+ (n)! Pour prouver décroissance de la suie (u n ) n = 4n n (n ) (n!), 4n on revien à l'epression inégrale u n = a n 4n d [ ] Pour ou n, e ou,, a n+ a n e 4n+ 4n, a n+ 4n+ a n 4n Par inégraion d'une inégalié enre deu bornes rangées dans l'ordre croissan, on en dédui que u n+ u n E, comme la série ( ) n u n converge, ( ) n u n, u n n + n + Il en résule que 4 L (f) + ( ) n (n)! 4n n (n ) (n!) 4n n= Je cède la main à Mahemaica : n! 9 9 (5!) 9 Les résulas obenus permeen d'armer que 4
4, 3 < + ( ) n (n)! 4n n (n ) (n!) <, 33 4n n=! e < 9 9 (5!) <,,, 9 < L(f) <, 333 9 Par conséquen : L (f) =, 3 à près On doi rouver une quanié plus grande que la disance( des ) erémiés de la courbe représenaive de f, lesquelles son de coordonnées, e (, ) Cee 5 disance vau, ce qui es bien plus pei que, 9 mais en réalise une 4 bonne approimaion! Parie 3 (a) On a vu au I e I4 que λ = Argsh () + sh (Argsh ()) e λ = 8 (b) Avec de grosses réserves, la parie V monran que raisonner sur la suie des foncions p n ne prouve pas grand-chose! Les courbes des foncions p n son de plus en plus proches de la réunion des deu segmens [OA] e [AB], où A e B son de coordonnées respecives (, ) e (, ),, à première vue, la suie (λ n ) n semble converger vers OA + AB = ( (a) Pour ou n, λ n n n d = + n n n n ) d Mais, pour ou [, ], + n n + n n es supérieur ou égal à, non nul,, en muliplian le numéraeur e le dénominaeur de l'inégrande par + n n + n n, on obien : λ n n n + n n n n d = d, + n n + nn λ n n n d d = + n n + n n (b) Si n N, la foncion φ n : es coninue e négaive ou + n n + nn nulle sur [, ], son inégrale sur [, ] es négaive ou nulle, µ n Si l'égalié éai réalisée, φ n serai CONTINUE, négaive ou nulle, d'inégrale nulle sur [, ], serai ideniquemen nulle sur [, ] Or φ n () = à, e µ n < Or es inférieur ou égal à, sricemen inférieur + n + n 3 n n d =,, d'après III, λ n < (c) Avec les noaions de la quesion précédene, la héorème de convergence dominée assure que, si : pour ou n N, φ n es coninue par morceau sur [, ] 5
la suie de foncions (φ n ) n converge simplemen vers une foncion φ coninue par morceau sur [, ] il eise une foncion ψ, coninue par morceau sur [, ] (ce qui assure qu'elle es inégrable sur [, ]), elle que, pour ou n N, φ n ψ ( ) alors la suie φ n () d converge vers φ () d Ici : n Chaque foncion φ n es coninue sur [, ] Par règle de croissances comparées, (n n ) n N e (n n ) n N convergen vers lorsque <, la suie (φ n ()) n converge vers si [, [, e vers si Par conséquen, la suie de foncions (φ n ) n converge simplemen vers φ dénie par : pour ou [, [, φ () =, e φ () = Pour ou n N, φ n, e la foncion es inégrable sur l'inervalle [, ] Par conséquen, la suie (µ n ) n converge vers φ () d = (d) D'après III e III, pour ou n N, λ n = + µ n, la suie (λ n ) n converge vers ( ) 3 En s'inspiran de III, on calcule L (f) f () d = + (f ()) f () d f es croissane,, pour ou [, ], f (), + (f ()) + f () >, L (f) f () d = d + (f ()) + f () Comme au III, la foncion es coninue sur [, ], inférieure + (f ()) + f () ou égale à Mais f es dérivable, croissane, non consane, il eise ], [ pour lequel f ( ) >, e < + (f ( )) + f ( ) Ainsi, ne vau pas consammen,, de la même façon qu'au + (f ()) + f () III, L (f) Or f () d < f () d = f () f () =, L (f) < Parie 4 sin () (a) La foncion es coninue sur ], ], e adme une limie nie (en l'occurrence ) en : elle se prolonge en une foncion coninue sur le SEGMENT [, ] sin () L'inégrale d es convergene 6
(b) Les foncions cos () e son de classe C sur [, + [, de dérivées respecives sin () e,, d'après la formule d'inégraion par paries : sin () pour ou d sin () d = cos () cos () cos () d cos () La foncion es coninue sur [, + [, e, pour ou [, + [, cos () Or cos () es inégrable sur [, + [, l'es égalemen, cos () d adme une limie nie en + cos () Enn, end vers quand +, quand + Finalemen : l'inégrale + sin () d es convergene sin () d adme une limie nie (c) C'es la même méhode qu'à la quesion précédene Par inégraion par paries, pour ou, cos () sin () sin () cos () d = + d sin () cos () Or es de limie nulle en +, e es inégrable sur [, + [, cos () d adme une limie nie quand +, + cos () d converge (d) On sai que, pour ou R, cos () = (sin ()) cos () (sin ()) Ainsi, pour ou, d = d, (sin ()) d = ( ) cos () ln () d cos () Quand +, ln () + e d end vers une limie nie, (sin ()) + (sin ()) d end vers + : l'inégrale d diverge Pour ou, sin () [, ], Mais la foncion (sin ()) enre e + diverge, (sin ()) sin () es posiive, e on vien de voir que son inégrale l'inégrale 7 + sin () d diverge
(a) La foncion u u es de classe C de ], + [ dans lui-même, e sin ( ) es coninue sur ], + [, le changemen de variable = u donne : pour ou ], ], f () = usin (u) du = sin (u) u du u Quand, + > +, f () sin () d f peu êre prolongée par coninuié en (b) La foncion g es coninue sur ], ], e ], ],, d'après le héorème fondamenal de l'inégraion, f es de classe C sur ], ], de dérivée g Or g es de classe C sur ], ], f aussi Comme en plus f es coninue en, elle es bien coninue sur [, ] ( ) (c) La foncion sin es coninue sur ], + [, on peu eecuer le même changemen de variable qu'à la quesion IV Ainsi, pour ou ], ], g () d = sin (u) du u sin (u) + sin (u) Or la foncion u es posiive e du diverge, u u M sin (u) du u +, M + g () d + > 3 Soi ], [ f es C sur [, ], λ () es eecivemen déni E la dérivée de f es g, λ () = + (g ()) d Pour ou >, + (g ()) (g ()),, par croissance de sur [, + [, + (g ()) g () Ainsi, lorsque <, on obien, par inégraion d'une inégalié enre deu bornes rangées dans l'ordre croissan : λ () g () d λ es plus grande qu'une foncion qui adme + pour limie à droie en, λ adme + pour limie à droie en La foncion f es une foncion coninue sur le segmen [, ], de classe C sur ], ], don la courbe représenaive es de longueur innie Parie 5 (a) On doi prouver que : pour ou f E, f, e, si f =, alors f es la foncion nulle pour ou α R e ou f E, αf = α f pour ou (f, g) E, f + g f + g On le prouve : 8
Soi f E f es posiive ou nulle comme somme des deu réels posiifs ou nuls f () e f De plus, si f =, ces deu réels posiifs ou nuls son de somme nulle, f = e f () = Ainsi, f es la foncion nulle, f es consane, e f () =, f es la foncion nulle Soi f E e α R αf = α f () + αf Mais l'énoncé rappelle que es une norme, αf = α f Ainsi : αf = α f Soi (f, g) E On sai que f () + g () f () + g (), e, comme es une norme, f + g f + g En addiionnan membre à membre, on obien : f + g f + g es bien une norme sur E (b) Soi f E Pour ou [, ], f () = f () + (f () f ()),, d'après l'inégalié riangulaire, f () f () + f () f () Mais f es dérivable sur [, ],, d'après l'inégalié des accroissemens nis, f () f () f f Finalemen, pour ou [, ], f () f () + f, f f (c) Il s'agi de savoir s'il eise une consane A sricemen posiive de sore que, pour ou f E, f A f Si el éai le cas, alors pour ou élémen f non nul de E, f éan sricemen f posiif, il viendrai : A f ( ) pn Noammen, en reprenan les noaions de la parie III, la suie serai p n bornée Or, pour ou n N, p n =, p n () =, e p n = n, ( ) pn Ainsi, la suie n'es pas bornée, p n n les normes e ne son pas équivalenes n p n p n = n (a) Pour ou n N e ou [, ], f n () n,, pour ou n N, f n n Ainsi, d'après le héorème des gendarmes, ( f n ) n N converge vers, la suie de foncions (f n ) n N converge uniformémen vers la foncion nulle (b) Pour ou n N, I n = + nπ (cos (nπ)) d, ce qui, d'après le même raison- 9
nemen qu'en IV3, es supérieur ou égal à π n Mais la foncion cos (πn) es n -périodique, cos (πn) d n cos (πn) d = n cos (πn) d La courbe représenaive de cos (πn) es symérique par rappor à la droie d'équaion = n, n n cos (πn) d = cos (πn) d = πn, I n n C'es un peu mieu que ce que demande l'énoncé! cos (πn) d = π, (c) La longueur de la courbe représenaive de la foncion nulle sur [, ] es Dans l'espace vecoriel normé (E, ), la suie (f n ) n du V converge vers la foncion nulle, mais la suie (L (f n )) n ne converge pas vers l'image par L de la foncion nulle, L n'es pas coninue C'es ce qui moive les réserves que j'ai apporées au III (d) Soi (h n ) n une suie de foncions de E qui, au sens de, converge vers une foncion h E En pariculier, ( h n h ) n N converge vers Il en résule que d'une par la suie de foncions (h n) n converge simplemen vers h, e d'aure par que la suie ( h n ) n possède un majoran A Ainsi : la suie des foncions + (h n) converge simplemen vers la foncion + h pour ou n N, + (h n) + A, e la foncion consane + A es inégrable sur l'inervalle borné [, ] Ainsi, d'après le héorème de convergence dominée, la suie (L (h n )) n converge vers L (h) Finalemen, L es coninue sur (E, )