TS Limites de sites () bjectifs : mettre e place et tiliser des défiitios rigoreses des ites de sites I pproche de la défiitio d e site divergeat vers + ) pproche graphie a représeté graphiemet ci-dessos e site i ted vers + termes ) pproche mérie (étde d exemple avec des chiffres) 008 por 008 (visalisatio graphie) 008 44,80773 Doc si 45, alors 008 3 ) Ue image por compredre barre Si o place capital de sr compte e bae à tax o l et e l o vit éterellemet, jor o deviedra millioaire, milliardaire etc Il fadra pet-être attedre 0 000 as, 00 000 as II pproche de la défiitio d e site i coverge ) pproche graphie N (palier) «pred des valers assi grades e l o vet porv e soit assez grad» ➀ Si o place e barre à e valer (exemple : 0 ) Il existe palier N (valer seil) tel e : si N, alors ; ) ➁ Si o déplace la barre ( termes a représeté graphiemet ci-dessos e site i ted vers réel l se rapproche de l sas forcémet être égal à l (otio de «tedre vers») termes I l N palier première valer de à partir de laelle la «corbe» passe das le tya «pred des valers assi proches de l e l o vet porv e soit assez grad» N ➀ Si o place tya (c est-à-dire itervalle overt I coteat l) Il existe palier N / si N alors I N chage car ça ted vers + (Si o boge l, o boge l atre) Les valers e sortet pls vet efermer les valers das «tbe», das «tya» à partir d certai idice d où ils e sortet pls
➁ Si o rétrécit le tya c est-à-dire si o pred itervalle overt I ' I coteat l, N chage ) Rappel d chapitre précédet : défiitio d e site covergete d e site divergete otera e l itervalle I a pas à être cetré sr l Site covergete Site i admet e ite fiie ) pproche mérie (étde d exemple avec des chiffres) Emploi d vocablaire Site divergete Site i admet pas e ite fiie 0 I 0,0; 0,0 (itervalle overt i cotiet 0) Si 00, alors I le palier 3 ) Ue image por illstrer Le capital d e persoe dimie de % par a III Défiitios ) Défiitios des ites a programme à savoir par cœr à savoir explier avec des mots est e site Si Si Si 3 ) Itervalles et sites l, alors o dit e la site coverge vers l, alors o dit e la site diverge vers +, alors o dit e la site diverge vers Utilisatio de la représetatio des termes sr axe Cas d e site covergete vers réel l ] [ l Itervalle e l o rétrécit ator de l Cas d e site divergete vers + Défiitio mathématie sos forme de phrase atifiée dit e la ite de est égale à + por exprimer e tot itervalle I de la forme ; cotiet tos les termes à partir d certai idice ] Itervalle dot la bore de gache deviet de pls e pls grade l l dit e la ite de est égale à por exprimer e tot itervalle I de la forme ; cotiet tos les termes à partir d certai idice dit e la ite de est égale à l por exprimer e tot itervalle overt I coteat l cotiet tos les termes à partir d certai idice IV Utilisatio des défiitios Démotrer e site ted vers +, o réel (théoriemet) Défiitios D, D, D 3 Démotrer e site e ted pas vers +, o réel Il s agit de défiitios formelles, pas forcemet tiles e pratie Démotrer l icité de la ite d e site Démotrer des propriétés des sites (cette aée, por os, le théorème des gedarmes et so extesio) 3 4
Les défiitios permettet de démotrer les résltats sr les ites des sites de référece, et,, éocées das le chapitre précédet V tre défiitio éivalete por les sites covergetes, VI Limites et comparaisos ) Théorème des gedarmes o d ecadremet, v, w sot trois sites telles e : ) pproche ititive tre poit de ve (pls atrel) l sigifie e se rapproche de l sas por atat être (forcémet) égal à l ad pred des valers de pls e pls grades tremet dit, la distace etre et l deviet très petite o pltôt assi petite e l o vet por assez grad ) Défiitio (hors programme) dit la site ( ) ted vers l por exprimer elle vérifie la propriété : por tot réel 0, il existe etier atrel N tel e si N 3 ) Rappels sr la valer absole, alors d ; l La distace de dex réels x et y est doée par la formle d x ; y x y y x (Exemple : d ; l l ) x a a x a v w w les «gedarmes» l ( l ) l Das ce cas, v l ) Démostratio d théorème des gedarmes Hypothèses : v w (H ) l (H ) w Bt : l (H 3) Démotrer e v l Démostratio avec la défiitio : choisit itervalle overt I coteat l (I est itervalle sr l axe des ordoées) (Exemple : l l l ) pet reformler la défiitio avec e valer absole : ted vers l sigifie e por tot réel > 0, il existe etier atrel N tel e si N, alors l 4 ) Utilisatio Nos tiliseros pas cette défiitio cette aée Mais cette défiitio permet de démotrer das le spérier des propriétés des ites avec les propriétés des iégalités (majorer, miorer) et des valers absoles pet doc dire e cette défiitio est opératioelle 5 6
D après (H ), comme I est itervalle overt coteat l, o pet trover etier atrel N tel e si N, alors I (N est idice à partir del tos les termes de la site sot das I) D après (H 3), comme I est itervalle overt coteat l, o pet trover etier atrel N tel e si N, alors w I ote N le pls grad des etiers N et N Exemple por compredre ce i se passe : sppose e N 000 et e N 500 Comme N est idice à partir del tos les termes de la site sot das I (o «retret das I»), o pet dire e 000, 00, 00 sot das I Comme N est idice à partir del tos les termes de la site w sot das I (o «retret das I»), o pet dire e w 500, w 50, w 50 sot das I) Si N, alors I et w I r v w doc si N, alors v I Comme ceci est vrai por tot itervalle overt I coteat l, o e dédit e v tilise implicitemet la propriété sivate : I est itervalle o vide de Por tos réels a et b de I tels e a b, si a x b, alors x I l 3 ) Extesio d théorème des gedarmes o «théorème d sel gedarme» et v sot dex sites v Si («être pls grad e +») v Si v («être mois grad e») alors v alors 4 ) Démostratio de l extesio d théorème des gedarmes o «théorème d sel gedarme» Hypothèses : v H Bt : H Démotrer e v Démostratio avec la défiitio : (Il fat démotrer e tot itervalle I de la forme ; cotiet tos les termes à partir d certai idice) pose I ; D après H, o pet trover etier atrel N tel e si N, alors I D après H, o pet écrire : si N, alors v I Comme ceci est vrai por tot itervalle I de la forme ;, o e dédit e v 7 8
6 ) Poit-méthode Ue ovelle maière de trover la ite d e site Peser ax théorèmes de comparaiso ad o a des cosis, des sis, Il existe e versio d théorème des gedarmes et de so extesio por les foctios VII Démostratio de la ite lorse ted vers + ( réel fixé) 0 ) Exame des cas particliers 0 5 ) Exemple v est la site défiie par Détermier v alyse : * si v si admet pas de ite ad + e pet doc pas détermier la site e tilisat la règle sr la ite d otiet de dex sites Méthode : procède par ecadremet * si pose 0 w 0 si 3 + si 3 : ( > 0) w et w v w 3 doc, d après le théorème des gedarmes, v 0 * 0 (NB : o pred das * car 0 0 existe pas) La site est costate doc elle est covergete ( 0 ) * La site est costate doc elle est covergete ( ) si est impair si est impair La site a pas de ite doc elle est divergete (Ue site e pet admettre dex ites) 9 0
) Cas gééral cherche stce de départ : pose h a : h 0 et h h h h h h h a doc facters facters tos positifs o ls h car h h termes positifs o ls h h doc d après l extesio d théorème des gedarmes, (car h 0) 0 ( 0 o 0 ) Das ce cas, pose ' ' doc ' (cas précédet) r ' ' d où 0 e dédit e 0 lors soit doc r est égatif dos le sige de sera positif o égatif sivat la parité de Les termes sot alterativemet positifs o égatifs, de pls e pls grads e valer absole La site a pas de ite Elle est divergete