Jeudi 20 javier 2011 DEVOIR COMMUN Termiales S Mathématiques Cadidats o spécialistes Le sujet comporte 4 exercices. Ue feuille aexe est à redre complétée avec les copies. L'usage du téléphoe portable 'est pas autorisé. La qualité et la précisio de la rédactio aisi que la propreté serot prises e compte lors de l'appréciatio des copies.
Exercice 1. (5 poits) Dix affirmatios, réparties e trois thèmes et umérotées de 1. a à 3. d sot proposées ci-dessous. Le cadidat portera sur sa copie, e regard du uméro de l'affirmatio, et avec le plus grad soi, la metio VRAI ou FAUX. Chaque répose coveable rapporte 0,5 poit. Chaque répose erroée elève 0,1 poit. Il 'est pas teu compte de l'absece de répose. U évetuel total égatif est rameé à 0. 1. Pour tout réel x, e x désige l'image de x par la foctio expoetielle. Affirmatio 1. a. Pour tous les réels a et b : e a b =e ab. Affirmatio 1. b. Affirmatio 1. c. Pour tous les réels a et b: e a b = ea e b. La droite d'équatio y=x 1 est la tagete à la courbe représetative de la foctio expoetielle e so poit d abscisse 1. 2. Soit f ue foctio umérique défiie sur u itervalle ouvert I et soit a u élémet de I. Affirmatio 2. a. Si f est dérivable e a, alors f est cotiue e a. Affirmatio 2. b. Si f est cotiue e a, alors f est dérivable e a. Affirmatio 2. c. Si f est dérivable e a, alors la foctio f a h f a h admet ue limite fiie e 0. h 3. O cosidère deux suites u et v sur N. Affirmatio 3. a. Si lim u = et lim v = alors lim u v =0. Affirmatio 3. b. Affirmatio 3. c. Affirmatio 3. d. Si u coverge vers u réel o ul et si lim v =, alors la suite u v e coverge pas. Si u coverge vers u réel o ul, si v est positive et si lim v =0, alors la suite u v e coverge pas. Si u et v coverget alors la suite u v coverge.
Exercice 2. (5 poits) O cosidère la suite u défiie par u 0 =1 et pour tout de N : u 1 = 1 3 u 2. 1. Calculer u 1, u 2 et u 3. 2. a. Démotrer par récurrece que pour tout etier aturel 4, u 0 b. E déduire que pour tout etier 5, u 3. c. E déduire la limite de la suite u. 3. O défiit la suite v par v = 2 u 3 21 pour tout de N. 2 a. Démotrer que la suite v est ue suite géométrique dot o doera la raiso et le premier terme. b. E déduire que, pour tout de N, u = 25 4 1 3 3 2 21 4. 4. Soit la somme S défiie pour tout de N par S = u k. k=0 a. Vérifier que S peut se mettre sous la forme S = k=0 b k k=0 a k où a est ue suite géométrique et b ue suite arithmétique. b. E déduire ue expressio de S e foctio de sas le sige sommatoire Σ. Exercice 3. (5 poits) O cosidère la foctio umérique f défiie sur R par f x =x 2 e x 1 x2 2. 1. Calculer f ' x pour tout réel x, et l'exprimer à l'aide de l'expressio g x où g est la foctio défiie sur R par g x = x 2 e x 1 1. 2. Étude du sige de g x pour x réel. a. Calculer les limites de g x quad x ted vers + et. La levée d'ue évetuelle idétermiatio pourra se faire e remarquat que e x 1 =e 1 e x. b. Calculer g ' x et étudier so sige suivat les valeurs de x. c. E déduire le tableau de variatio de la foctio g. d. Motrer que l'équatio g x =0 possède ue uique solutio das R. e. O ote cette solutio. Motrer que 0,20 0,21. f. Détermier le sige de g x suivat les valeurs de x. 3. Ses de variatio de la foctio f sur R. a. Étudier, suivat les valeurs de x, le sige de f ' x. b. Dresser le tableau de variatio de la foctio f. c. Motrer que f = 3 2 2.
Exercice 4. (5 poits) Ue feuille aexe est à redre complétée avec les copies. Le pla complexe est mui d'u repère orthoormal direct O ; u, v. O cosidère l'applicatio f qui à tout poit M d'affixe z o ulle fait correspodre le poit M ' = f M d'affixe z ' tel que z '= z z 2 z. Le cercle C 1, de cetre O et de rayo 1, est représeté sur la figure de la feuille aexe que l'o complétera au fur et à mesure des questios. Pour z complexe o ul, o ote z=r e i, r état le module de z et u argumet de z. 1. Motrer que z '= 2 r e i. 2. Détermier l'affixe a ' du poit A ', image par f du poit A d'affixe a=3. 3. Soit B le poit d'affixe b= 3 i. a. Écrire b sous forme expoetielle. b. Détermier l'affixe b' du poit B ', image du poit B par f. 4. Placer A, A ', B et B ' sur la figure. 5. a. Détermier l'esemble E des poits M du pla privé de O dot l'image par f est O. b. Représeter E sur la figure. 6. Motrer que le cercle C 1 est l'esemble des poits M du pla disticts de O tels que f M =M. 7. Pour cette questio, M est u poit du pla, distict de O et 'apparteat pas au cercle C 1. O appelle I le milieu du segmet [ MM ' ], où M ' est l'image de M par f. a. Motrer que I appartiet à C 1. b. Motrer que I appartiet à la demi-droite [OM). c. Sur la figure de la feuille aexe est placé u poit ommé M 1. Costruire le poit M 1 ' image par f du poit M 1.
Nom préom : Classe : Feuille aexe à redre avec les copies.
Jeudi 20 javier 2011 DEVOIR COMMUN Termiales S Mathématiques Cadidats spécialistes Le sujet comporte 4 exercices. L'usage du téléphoe portable 'est pas autorisé. La qualité et la précisio de la rédactio aisi que la propreté serot prises e compte lors de l'appréciatio des copies.
Exercice 4. (5 poits) spécialité. Les questios 1 et 2 sot idépedates. Soit u etier aturel o ul. 1. O cosidère l'équatio otée (E) : 3 x 7 y=10 2 où x et y sot des etiers relatifs. a. Détermier u couple u; v d'etiers relatifs tels que 3u 7v=1. E déduire ue solutio particulière x 0 ; y 0 de l'équatio (E). b. Détermier l'esemble des couples d'etiers relatifs x; y solutios de (E). 2. O cosidère l'équatio otée (G) : 3 x 2 7 y 2 =10 2 où x et y sot des etiers relatifs. a. Motrer que 100 2 (modulo 7). Démotrer que si x; y est solutio de (G) alors 3 x 2 2 (modulo 7). b. Reproduire et compléter le tableau suivat. Reste de la divisio euclidiee de x par 7 0 1 2 3 4 5 6 Reste de la divisio euclidiee de 3 x 2 par 7 c. Démotrer que 2 est cogru à 1, 2 ou 4 modulo 7. E déduire que l'équatio (G) 'admet pas de solutio.