CORRIGE DES EXERCICES DE LA SEANCE DE TD 7

CORRIGE DES EXERCICES DE LA SEANCE DE TD 7 Exercice 1 1. Il s agit de doées groupées. E preat comme cetres des classes -0,5 ; 0,5 ; 1,5 et,5 o obtiet : x i x i 10 (-0,5) +... + 10,5 40 x i x i 10 (-0,5) +... + 10,5 90 La moyee et la variace de X sot estimées doc par : m i x i 1 et s i x i ( i x i ) 1 50 39 1,8 Puisque 30, l itervalle de cofiace de la moyee s écrit : m ± z α/ s 1±1,96 1,8 40 0,6 ;1,4. a) Il s agit doc de comparer ue moyee à ue valeur théorique. Les hypothèses testées sot : H 0 : µ 0 et H 1 : µ 0 où µ est la moyee vraie de l écart de surface irritée etre la zoe ayat reçu le produit P et celle ayat reçu le placebo. Puisque la taille de l échatillo est supérieure à 30, le test est z 0 m 0 s 1 1,8 40 5,6. z 0 est supérieure à la valeur seuil de la loi ormale cetrée réduite ( z α/ 1,96 pour α 5%). O rejette doc H 0 et o coclut que la moyee de X est sigificativemet différete de 0. Le degré de sigificatio est p P( z 0 5,6) P(z 0 5,6), c est-à-dire : avec p < 10-6. O costate que la différece est das le ses : la moyee de X est supérieure à 0, c est-à-dire que la surface irritée est plus grade avec le produit P qu avec le placebo. Remarques Das le cas où o compare ue moyee à ue valeur théorique (c'est-à-dire que les hypothèses testées sot H 0 : µ a et H 1 : µ a), il est équivalet que le test soit sigificatif et que l itervalle de cofiace de la moyee e cotiee pas la valeur a. Le test doe cepedat le degré de sigificatio. Cette remarque s'applique aussi pour la comparaiso d'u pourcetage à ue valeur théorique. Elle e s'éted pas à la comparaiso de deux moyees ou de deux pourcetages. Par exemple, lorsque les itervalles de cofiace des deux moyees se recoupet, la différece etre les moyees peut être sigificative ou o sigificative selo les cas. b) Lorsqu o dit que le produit P a u effet irritat, o sous-eted que c est à cause de P que la Master de Saté Publique - 017-018 1

surface irritée est plus grade qu avec le placebo. Le résultat précédet motre effectivemet que les zoes badigeoées avec le produit P ot ue surface d irritatio sigificativemet plus grade que celles badigeoées avec le placebo. O e peut cepedat pas e tirer directemet de coclusio causale. Il se peut par exemple que les zoes ayat reçu P soiet plus sesibles que les autres, et que ce soit cela soit la cause de la différece. Pour qu ue coclusio causale soit possible, il faudrait détermier deux zoes de badigeoage pour chaque aimal (de préférece les mêmes d u aimal à l autre) et tirer au sort pour chaque aimal quelle zoe recevra P. 3. La distributio de X e semble pas ormale : so histogramme est u rectagle, assez éloigé d ue courbe e cloche. Cela e modifie cepedat pas les réposes aux questios précédetes (itervalle de cofiace et test) dot la coditio d applicatio est 30. Rappelos la raiso : même si la distributio de X est pas ormale, celle de la moyee calculée sur mesures s approche d ue distributio ormale d autat plus que est grad. L approximatio est jugée satisfaisate pour 30. Exercice l. Il s agit de calculer l itervalle de fluctuatio du pourcetage de sujets retrouvat u bo sommeil. Il est égal à P ± z α/ PQ d applicatio P et Q 5 sot satisfaites., avec ici 100, P 0,40 et Q 0,60. Les coditios L éocé e précise pas le risque d erreur α. O predra doc α5% comme d habitude. O obtiet : 0,40 ±1,96 0,40 0,60 100 0,30 ; 0,50.. Pour que l itervalle soit deux fois plus petit, il faut que 1,96 PQ soit deux fois plus petit. Il faut doc que soit multiplié par 4, ce qui doe 400 sujets. 3. a) O obtiet avec B u taux estimé de 7 70 10% de succès. Mais ce taux e peut être appliqué à la populatio iitiale, car les 70 patiets e sot pas u échatillo représetatif, puisqu o a exclu ceux qui ot eu u succès avec A pour lesquels le pourcetage de succès avec B est icou. Tout au plus pourrait-o dire que 10% est ue estimatio du taux de succès pour les patiets ayat échoué avec A. b) O e peut pas répodre à cette questio, même e faisat u test statistique, puisque A et B ot été admiistrés à des groupes o comparables, pour la raiso évoquée ci-dessus : B a été essayé sur les sujets ayat échoué avec A. Master de Saté Publique - 017-018

4. Le ombre de sujets écessaires pour comparer deux pourcetages avec des groupes de même effectif est doé par : PQ (P P 1 ) (z z α/ 1 β ) avec P P + P 1 et Q 1 P où P 1 et P sot les pourcetages de succès avec B et C (chez les sujets où A est u échec). O a vu à la questio précédete qu'o peut predre P 1 10%, et doc P 15%. O a par ailleurs : z α/ 1,96 et z 1 β 1,8 O obtiet doc : P 1,5% et Il faut doc de l'ordre de 90 sujets par groupe. 0,15 0,875 (0,10 0,15) (1,96 +1,8) 919,7 Exercice 3 1. Lorsque la mère a allaité, le pourcetage d efats séropositifs est p 0 1 0,57. L itervalle 1 de cofiace est p 0 ± z α/ p o q o 0,36 ; 0,78. Les coditios d applicatio de cette formule e sot pas satisfaites car q s 1 0, 4,6 est iférieur à 5. Le résultat précédet 'est doc pas correct. Il faut recourir à la table 5 qui doe : [34,0% ; 78,18%]. Remarque : o costate que l écart etre l itervalle exact doé par la table et celui obteu par la formule o correcte est pas très grad. Cela est dû au fait que les coditios d applicatio sot presque satisfaites. Lorsque la mère a pas allaité, le pourcetage d efats séropositifs est p 0 66 30 0,. L itervalle de cofiace est : 0, ±1,96 (p i, q i, p s et q s 5) sot satisfaites. 0, 0,78 30 0,17 ; 0,7. Les coditios d applicatio. Il faut comparer les pourcetages d efats séropositifs chez les femmes qui ot allaité et chez celles qui ot pas allaité. Les hypothèses testées sot doc H 0 : P 1 P et H 1 : P 1 P où P 1 et P sot les pourcetages vrais d efats séropositifs lorsque la mère a allaité et lorsqu elle a pas allaité. Le test est u test de χ successives. exécuté sur des échatillos différets pour les trois questios a) Le tableau de χ est le suivat : Master de Saté Publique - 017-018 3

V + V A allaité 1 (5,1) 9 (15,9) N a pas allaité 66 (7,9) 36 (9,1) 78 45 1 30 33 Les coditios d applicatio du test (effectifs théoriques supérieurs ou égaux à 5) sot satisfaites. 1 O obtiet : χ 0 6,9 5,1 + 1 7,9 + 1 15,9 + 1 9,1 13,. χ o dépasse la valeur seuil de la loi de χ à 1 ddl (3,84). O rejette doc H 0 pour coclure que les pourcetages d efats séropositifs sot différets selo que la mère a allaité ou o. Le degré de sigificatio est p P( χ 13,) < 1. La différece est das le ses d u plus fort pourcetage chez les femmes qui ot allaité (57%) que chez celles qui ot pas allaité (%). b) Chez les femmes o africaies, le tableau est le suivat : V + V A allaité 8 (4,0) 9 (13,0) N a pas allaité 45 (49,0) 161 (157,0) 53 170 17 06 3 U des effectifs théoriques est iférieur à 5, mais les coditios d applicatio du χ corrigé de Yates (effectifs théoriques supérieurs ou égaux à 3) sot satisfaites. O obtiet : χ 0 ( 4,0 0,5) 1 4,0 + 1 49,0 + 1 13,0 + 1 157,0 4,33. Il y a doc, chez les femmes d origie o africaie, ue différece sigificative etre les pourcetages d efats séropositifs selo qu elles allaitet ou o, avec u degré de sigificatio p < 5%. La différece est das le ses d u plus fort pourcetage chez les femmes qui ot allaité (47%) que chez celles qui ot pas allaité (%). c) Chez les femmes africaies, le tableau est le suivat : A allaité V + 4 V 0 (1) (3) N a pas allaité 1 (4) 75 (7) 5 75 4 96 100 Master de Saté Publique - 017-018 4

Les effectifs théoriques figuret etre parethèses, celui de la première case est égal à 1 (et doc iférieur à 3). Le χ corrigé de Yates est pas applicable. Aucue des méthodes du programme e permet de répodre à la questio. Remarque : Si o utilise le test de Fisher, o trouve : p 5! 75! 96! 4! 4! 1! 0! 75!100! 0,003. D où p 0,006. La différece etre les pourcetages d efats séropositifs est sigificative (avec u degré de sigificatio égal à 0,006) das le ses : le pourcetage est plus élevé chez les femmes qui allaitet. 3. La première questio (.a) motre ue liaiso sigificative etre l allaitemet et la séropositivité de l efat (jugemet de sigificatio). O e peut cepedat pas e coclure qu il y a u lie causal (jugemet de causalité) car il s agit d ue equête d observatio. O a pas tiré au sort quelles femmes allaitet et quelles femmes allaitet pas; ces deux groupes de femmes peuvet doc différer par d autres facteurs que l allaitemet. Les questios suivates (b et c) viset à aller u peu plus loi e cherchat si l origie africaie ou o des femmes peut expliquer la liaiso allaitemet-séropositivité. Le fait que cette liaiso reste sigificative das au mois u des groupes suffit à coclure que ce est pas le cas. O accède toujours pas à ue coclusio causale, mais o a pu élimier le rôle d ue des différeces potetielles (l'origie ethique) etre les femmes qui allaitet et celles qui allaitet pas. Exercice 4 1. Les hypothèses testées sot H 0 : µ 1 µ et H 1 : µ 1 µ où µ 1 et µ sot les moyees vraies des ombres d heures de sommeil des témois et des traités. Les effectifs des groupes témois et traités sot iférieurs à 30 et les variaces apparaisset différetes (1,0 chez les témois et 3,06 chez les traités). U test de comparaiso de ces variaces (que ous verros plus tard) cofirmerait qu'elles sot effectivemet sigificativemet différetes. L'hypothèse H o doit doc être testée e calculat t ' 0 m 1 m s 1 1 + s 3,65 qu il faut comparer à la valeur seuil à 5% d ue loi de Studet à 30 ddl qui est l etier le plus proche de : k 1 1 1 s 1 + s 1 s 1 1 1 + 1 s 30,4. La différece etre les moyees est doc sigificative avec p < 1. La différece est das le ses d u plus grad ombre d heures de sommeil chez les traités. Ce test écessite que les distributios des durées de sommeil chez les traités et chez les témois soiet ormales. La ormalité est idiquée das l'éocé pour les groupes d hommes et de Master de Saté Publique - 017-018 5

femmes cosidérés séparémet, mais l est-elle pour l esemble? Ce poit sera repris à la questio 5.. Les hypothèses testées sot H 0 : µ 1 µ et H 1 : µ 1 µ où µ 1 et µ sot les moyees vraies des ombres d heures de sommeil des témois et des traités chez les hommes. L éocé idique que les distributios de durée de sommeil das ces deux populatios sot ormales et de même variace (l'égalité des variaces 'apparaît d'ailleurs pas cotredite par les doées). La comparaiso des moyees se fait doc par u test de Studet : t 0 m 1 m 1 s + 1 1 avec m 1 6,0 ; m 3,1 ; 1 10 et s 9 1,0 + 9 0,9 18 0,95 O obtiet : t 0 6,65 avec 18 ddl. Les moyees des groupes témois et traités diffèret doc sigificativemet chez les hommes, avec u degré de sigificatio p < 1. La moyee est plus élevée chez les traités. 3. Pour comparer les moyees de durée de sommeil chez les femmes, il faut calculer ces moyees aisi que les variaces à partir des doées. Désigos les moyees et variaces de la durée de sommeil par m H et s H et s F chez les femmes, m et s chez les hommes et femmes réuis. O a : m 10m H + 10m F 0 s x 0m 19 d où m F m m H x + F x 0m H 19 (9s +10m F F ) + (9s H +10m H ) 0m 19 chez les hommes, m F d où s F 19s 10m F 9s H 10m H + 0m 9 O obtiet aisi (o coservera ici, pour simplifier, pour les moyees et les variaces chez les femmes témois et traitées, les mêmes otatios m 1, m, s 1 et s que pour les hommes à la questio précédete) : - chez les femmes témois : m 1 m m H1,8 s 1 19 1,0 10,8 9 1,00 10 3,10 + 0,95 9 1,10 - chez les femmes traitées : m 3, et s 1,0 L éocé idique que, chez les femmes témois et traitées, les durées de sommeil sot distribuées ormalemet et ot même variace. Master de Saté Publique - 017-018 6

La variace commue est : s est doc : 9 1,10 + 9 1,0 18 1,15. Le test de comparaiso des moyees t 0 m m 1 s ( 1 1 + 1 ) 3,,8 1,15( 1 10 + 1 10 ) 0,83 avec 18 ddl. O e met pas e évidece d effet du traitemet chez les femmes. 4. Les groupes ayat été tirés au sort, les résultats précédets motret que le traitemet est efficace chez les hommes (au risque d erreur α près). Aucue efficacité a cepedat été mise e évidece chez les femmes. Remarques Le tirage au sort du traitemet a été fait séparémet chez les hommes et chez les femmes. O e peut doc pas coclure e terme de liaiso causale sur les deux sexes réuis. Par ailleurs, das ce type de problème, la stratégie d aalyse e devrait pas cosister à répodre successivemet aux questios 1 à 3 comme cela était demadé à titre d exercice. E effet, de deux choses l ue : - soit il était prévu de faire ue comparaiso globale (hommes et femmes réuis) et le tirage au sort aurait dû être fait sur l'esemble des sujets. Les questios et 3 correspodet alors à des aalyses ultérieures par sousgroupes qui sot décoseillées, otammet das les essais thérapeutiques. - soit il était prévu de faire deux aalyses séparées, l ue chez les hommes, l autre chez les femmes (comme le suggère la faço dot le tirage au sort a été fait) et la questio 1 a pas lieu d être. 5. Repreos les valeurs des moyees et des variaces trouvées chez les traités et chez les témois. Hommes Femmes Esemble Témois m 3,10 m,80 m,95 s 1,00 s 1,10 s 1,0 Traités m 6,00 m 3,0 m 4,60 s 0,90 s 1,0 s 3,06 Chez les sujets traités, la durée moyee de sommeil est différete chez les hommes (6,00) et les femmes (3,0); le test motre que cette différece est sigificative avec p < 1. C est à cause de cette différece qu il y a ue augmetatio de la variace lorsque ces deux groupes sot réuis (s 3,06). Chez les témois, ce phéomèe e se produit pas car les moyees sot voisies chez les hommes et chez les femmes. La différece etre les variaces trouvée à la questio 1 résulte doc de ce que le traitemet a u effet chez les hommes et o chez les femmes. O otera que la réserve faite à ce momet était Master de Saté Publique - 017-018 7

justifiée : la distributio des durées de sommeil est "bimodale" (avec u pic pour les hommes et u pic pour les femmes), elle est doc pas ormale et le test de comparaiso des moyees de la questio 1 a ue validité pour le mois discutable. Exercice 5 1. a) La distributio de la taille des efats de 10 as est supposée ormale. Il s agit doc, e particulier, d ue distributio symétrique autour de sa moyee µ. Le 5 ème et le 95 ème percetiles sot symétriques par rapport à µ, ou, ce qui est équivalet, µ est au milieu de ces deux 1 +146 percetiles. O e déduit : µ 134cm. Das la populatio 5% des efats ot ue taille T supérieure au 95 ème percetile, c est-à-dire : P(T > 146) 0,05. E se rameat à la loi ormale cetrée réduite, o e déduit : P Z T µ 146 134 > σ σ 0,05. O a doc 146 134 σ 1,645. D où σ 1 1,645 7,3cm. b) Par défiitio, le 10 ème percetile a est la valeur telle que 10% des efats aiet ue taille iférieure. C est-à-dire P(T < a) 0,10. E se rameat à la loi ormale cetrée réduite, o e déduit : P Z T µ σ > a µ a µ σ 0,90. D où : 1,8 et doc a µ - 1,8 σ. σ Ce qui doe : a 134-1,8 7,3 14,6 cm. c) La probabilité qu u efat mesure exactemet 134 cm est ulle. C est la particularité des variables cotiues (voir livre p 36).. O sait que la variace d ue moyee observée, var(m), est σ m σ variace observée est var(s ) σ4. et que celle d ue O obtiet doc ici : var(m) 7,3 100 0,53 et var(s ) σ4 7,34 839,8 56,80. 100 100 3. La questio posée reviet à comparer ue moyee observée m 136 cm à la valeur théorique 134. Les hypothèses à tester correspodates sot H 0 : µ 134 et H 1 : µ 134 où µ est la vraie valeur de la moyee das la populatio. O sait que la distributio de la taille est ormale et o coaît la variace vraie σ 7,3. Il y a doc pas de coditio particulière d effectif pour utiliser le test Z. O obtiet : z 0 m µ m µ 136 134,74. Cette valeur est supérieure à 1,96 et par σ m σ / 7,3 / 100 coséquet, si o applique la règle de décisio habituelle, o rejette l'hypothèse ulle. Master de Saté Publique - 017-018 8

Cela serait ici absurde puisqu'o sait que l'échatillo observé proviet d ue populatio où la moyee vraie est µ 134. H 0 e peut doc pas être fausse. L'erreur est e fait d'avoir fait le test. Lorsque les hypothèses ot été écrites "H 0 : µ 134 et H 1 : µ 134 où µ est la vraie valeur de la moyee das la populatio", o aurait dû se redre compte qu'o avait la répose puisqu'o savait que µ 134 : H 0 est vraie. La différece observée etre m et µ doit doc être attribuée aux fluctuatios d échatilloage : l observatio d u échatillo dot la moyee est aussi écartée de µ est peu probable, mais est pas impossible du fait des fluctuatios d échatilloage. Remarques Cet exercice motre l'importace d'écrire explicitemet les hypothèses testées pour éviter des erreurs d'iterprétatio. O a cosidéré ici les valeurs de la populatio comme des valeurs théoriques (e outre, l échatillo et la populatio e sot pas deux groupes idépedats, l échatillo état compris das la populatio. Mais comme il e est qu ue partie extrêmemet faible, l erreur est égligeable). Il serait plus correct, si o avait les doées, de comparer les deux moyees observées de la taille chez les 100 efats de l échatillo et chez les autres efats de la populatio. 4. Pour répodre à cette questio, le mieux serait de comparer la taille moyee à 10 as des prématurés à celle des efats és à terme. Cela 'est possible avec les doées de l'éocé. O va doc comparer la taille moyee à 10 as des prématurés à celles de l'esemble des ouveaués. Ce 'est qu'ue approximatio, assez satisfaisate cepedat car le pourcetage de prématurés état petit (de l'ordre de 5%), o peut cosidérer que la taille moyee à 10 as des efats és à terme est pratiquemet la même que celles de l'esemble des ouveau-és. Comme la taille de aissace moyee à 10 as de l'esemble de la populatio est coue (134 cm), les hypothèses testées sot H 0 : µ 134 et H 1 : µ 134 où µ est la vraie valeur de la moyee de la taille à 10 as des efats és prématurés. Le test est idetique à celui de la questio précédete, toujours sas coditio d applicatio particulière : z 0 m µ m µ 13 134 σ m σ / 7,3 / 100,74. La différece est sigificative puisque z 0 est supérieur à 1,96. Le degré de sigificatio est p<0,01. Les efats prématurés sot, à 10 as, plus petits e moyee que les autres. Il est cepedat pas possible, sur la base de ces seuls résultats, d iterpréter cette différece e termes de causalité car il s agit d ue equête d observatio. Les efats prématurés peuvet être différets des autres pour d autres facteurs que la prématurité. Master de Saté Publique - 017-018 9