HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page Correctio HEC III 7 Voie écoomique La correctio comporte 9 pages. Eercice. Par dé itio est ue valeur propre de t si et seulemet si est ue valeur propre de T: Et est ue valeur propre de T () T I 3 est o iversible Nous avos : T I 3 () T ue réduite de Gauss de T I 3 est o iversible @ @ @ ( ) A L $ L 3 A L 3 L 3 ( ) L La réduite de Gauss obteue de la matrice T I 3 état o iversible si et seulemet si ou ; alors : sp (T ) sp (t) f; g Détermios E (t) l espace propre de t associé à la valeur propre ; avec : A Aisi : E (t) v R 3 j t (v) R 3 ker t E (t) v ( ; ; 3 ) R 3 j + + 3 et v ( ; ; 3 ) R 3 j + 3 et Vect((; ; )) Comme le triplet (; ; ) est o ul, il costitue ue base de E (t) qui est doc de dimesio : D autre part : E (t) v R 3 j t (v) v ker (t id R +) v ( ; ; 3 ) R 3 j + 3 et 3 v ( ; ; 3 ) R 3 j 3 Vect((; ; )) Comme le triplet (; ; ) est o ul, il costitue ue base de E (t) qui est aussi de dimesio : Du fait que dim R 3 3 et que : E comme appartiet au spectre de t : dim E (t) + dim E (t) 6 3 l edomorphisme t est pas diagoalisable l edomorphisme t est pas bijectif 5 mai 7 Cocours 7
HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page. Soit t l edomorphisme de R + dé i par : 8i [j; + j] f + g : t (e i ) e ; t (e + ) + k e k : (a) Soit T la matrice de t das la base caoique B c (e ; : : : ; e ) alors : T B @..................... C A (b) Par dé itio : rg (t) dim Im (t) dim (Vect (t (e ) ; t (e ) ; : : : ; t (e + ))) dim (Vect (t (e ) ; t (e + ))) car les vecteurs t (e ) et t (e + ) sot o proportioels (c) Comme T présete de ombreuses coloes idetiques, elle est pas iversible et est valeur propre de T doc de t: Le théorème du rag a rmat que : ous pouvos coclure que : Et comme par dé itio ker t E (t), alors : Détermios ue base de E (t) : dim R + dim ker t + rg (t) dim ker t + dim E (t) E (t) ( ; : : : ; + ) R + j t ( ; : : : ; + ) R + ( ) ( ; : : : ; + ) R + j + k k et + ( 3 + + ; ; : : : ; ; ; + ; : : : ; + ) j ( ; : : : ; ; + ; : : : ; + ) R ( ; ; : : : ; ) + 3 ( ; ; ; ; : : : ; ) + + + ( ; ; : : : ; ; ) j ( ; : : : ; ; + ; : : : ; + ) R B C Vect @( ; ; : : : ; ) ; ( ; ; ; ; : : : ; ) ; : : : ; ( ; ; : : : ; ; ) A {z } {z } {z } v v v 5 mai 7 Cocours 7
HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page 3 O véri e sas peie que les vecteurs v ; v ; : : : ; v sot libres car la combiaiso liéaire ulle de ceu-ci a v + + a v R doe le système : 8 a a a a a >< >:. a a +. a qui admet clairemet comme uique solutio, la solutio ulle. Doc ue base de E (t) est : (( ; ; : : : ; ) ; ( ; ; ; ; : : : ; ) ; : : : ; ( ; ; : : : ; ; )) 3. Cette questio est classique présetat ue iclusio "aturelle", e e et : soit v Im (t t) alors il eiste u vecteur e de R + tel que y (t t) (e) ce que l o peut écrire sous la forme qu il eiste u vecteur e de R + tel que y t (t (e)) avec t (e) R + puisque t est u edomorphisme. Alors e posat t (e) f ous pouvos écrire que pour tout vecteur y de Im (t t) il eiste u vecteur f de R + tel que y t (f) : Alors y appartiet à Im t et ous avos bie l iclusio : Im (t t) Im t 4. Soit et l edomorphisme dé i sur Im t par :! + La famille B e ; e k k 8 Im (t) ; et () t () costitue ue base de Im t car tout d abord elle est costituée de deu vecteurs de Im t puisque ous savos vu que Im t Vect(t (e ) ; t (e + )) avec t (e ) e et + t (e + ) e k vecteurs qui sot o proportioels et au ombre de deu, (la dimesio de k Im t); das ce cas ous pouvos a rmer que : et puisque :! + B e ; e k k costitue ue base de Im t et (e ) t (e ) et et + k e k! e t + k + k e k! t (e k ) + e + k e k alors : Mat et; B 5 mai 7 Cocours 7
HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page 4 (a) Soit ue valeur propre o ulle de t et u vecteur propre associé à ; alors par dé itio ous avos f () ce qui etraîe que : f puisque 6 aisi il eiste bie u vecteur de R + oté u égal à tel que f (u) : Aisi ous avos l implicatio : E (t) ) Im t () (b) Tout d abord rappelos que appartiet clairemet à sp (t) puisque la matrice de t est o iversible avec dim E (t) : De ce fait il e ous reste au maimum que deu valeurs propres à chercher car () etraîe que : dim E (t) dim Im t ) dim E (t) Comme la dimesio de Im t vaut, soit ous avos à chercher u sous-espace propre de dimesio au plus égale! à deu, soit deu sous-espaces! propres de dimesio. Or comme + + + t (e ) e et t e k 6 e k ; t e k 6 e ; t admet que comme valeur propre k o ulle e plus de avec : k k dim E (t) dim Vect (e ) Coclusio : avec : sp (t) f; g dim E (t) + dim E (t) + < + (c est dim R + ) doc : t est pas diagoalisable Problème Partie I. _ (a) Cosidéros la foctio dé ie sur R par : g () e jj : Nous costatos qu elle paire car : Aisi les itégrales d après le cours. Or : Z 8 R; R et g ( ) e j j g () g et Z + Z a e a!+ g sot de même ature et égales e cas de covergece, a!+ a!+ d e a e a car a!+ e a 5 mai 7 Cocours 7
HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page 5 Comme la ite eiste et est ie, l itégrale comme dit précédemmet que Coclusio : Z + Z e Z + e d coverge aussi et vaut : g coverge et vaut par la relatio de Chasles : d coverge et vaut : Cela etraîe Z + g Z g + Z + g + (b) Nous costatos pour commecer que D g R: D autre part g est cotiue sur R comme produit d ue foctio costate et d ue foctio composée de 7! jj ; cotiue sur R à valeurs das R; et de ep cotiue sur R: La positivité de g e pose aucu problème et le résultat de la première questio s ajoutat cocerat la covergece et la valeur de ous pouvos coclure que : g est ue desité de probabilité Z +. Comme g est paire ous e l étudieros que sur D g \ R + R + et sur cet esemble g () s écrit e : Au passage, ous oublieros pas otre culture ous faisat a rmer que 7! jj est cotiue sur R et dérivable sur R : g est dérivable sur R + e tat que foctio composée de 7! ; dérivable sur R + à valeurs das R ; et de ep dérivable sur R : Avec : g, 8 ; g () e < E!+ g () et g () doc : + g () g () & y.6.5.4.3.. 5 4 3 3 4 5 5 mai 7 Cocours 7
HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page 6 3. _ Z + (a) Pour motrer que Y admet u momet d ordre r N; il su t de démotrer que r e d est covergete car si l eposat r est pair, la foctio 7! r e jj est paire et si r est Z + impair, elle est impaire. Alors, comme das la questio I..a les itégrales r e jj d et Z r e jj d sot de même ature et, soit égales, soit opposées, e cas de covergece. Or : (b) _!+ r e par croissaces comparées (epoetielle-puissace), aisi : r e o + Z + d avec qui est ue itégrale covergete e tat qu itégrale de Riema de paramètre Z + > : Alors par critère de égligeabilité appliqué au foctios positives, l itégrale r e d coverge aussi. E comme segmet [; ] ; Coclusio : Z + r e Z + Z r e Si r N + (r est impair) alors : Si r : d coverge aussi par cotiuité de l itégrade sur le d coverge et par parité Si r p où p N (r est pair) alors : Z r e d coverge aussi. r e jj d est covergete et m r (Y ) eiste m r (Y ) () m (Y ) (itégrale de la desité) (3) m r (Y ) Z + Z + Z + a!+ p e jj d p e d p e d Z a p e d A ce iveau-là, itroduisos pour tout a R + ; I p (a) itégratio par parties e posat : Z a u () p ) u () p p v () e ( v () e p e d: E ectuos ue 5 mai 7 Cocours 7
HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page 7 avec u et v deu foctios de classe C sur [; a] avec a : Alors : I p (a) p e Z a a + p a p e a + p p Z a p a p e a + pi p (a) e d e d et par passage à la ite quad p ted vers +; la covergece des itégrales e jeu ous permet d écrire que : I p pi p et par itératios successives : I p p (p ) Coclusio : selo () ; (3) et (4) Z + Z + e d (p)! e d Z a (p)! e d a!+ (p)! e Z a a a!+ + (p)! a!+ e d ae a a + e a (p)! (4) m r (Y ) si r N + r! si r N (5) Selo (5) : E (Y ) et V (Y ) 4. _ (a) Soit G la foctio de répartitio de Y: Elle est dé ie par : Si : Si > : 8 R; G () G () P ([G ]) Z e t d Z a! e a! a e t d (e e a ) Z e t G () G () + d Z + e t d + e e + (6) (7) 5 mai 7 Cocours 7
HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page 8 Coclusio : selo (6) et (7) 8 >< G () >: e e si si > (8) (b) Nous avos : G est cotiue et dérivable sur R + e tat que somme de telles foctios, G est cotiue et dérivable sur R e tat que foctio proportioelle à la foctio epoetielle, de plus! 8 > ; G () e G ()! +G () G () > ; 8 ; G () e > doc G est cotiue e doc sur R: Coclusio : G état cotiue et strictemet mootoe sur R; G est ue bijectio de R vers G (R) i G ; + G h ]; [ (c) Comme G (R) ; avec G bijective : il eiste u uique réel tel que G () (d) Nous avos 8 R; R avec : si ; : e G ( ) ( G ( )) + e e e ( G ()) G () (9) si > ; < : e e G ( ) ( G ( )) ( G ()) G () () Coclusio : selo (9) et () G est paire 5. _ (a) Nous avos les équivaleces : 8y ; ey () 8 ; ; e y () 8 ; ; y l () () 5 mai 7 Cocours 7
HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page 9 Coclusio : selo () et () e y 8y ; () 8 ; ; e y () 8 ; ; e y () 8 ; ; y l ( ) () 8 >< G () >: l () si < l ( ( )) si < (b) Voici la foctio : fuctio laplace:real; u: real; begi u:radom; if (u <.5) the laplace:l(u) else laplace -l((-u))) ed; Eplicatios : o tire au sort ue proba (u, comprise etre et ). Par la foctio réciproque G, o obtiet le poit où l o a pris la mesure de la proba. 6. Cosidéros pour tout etier o ul la foctio g dé ie sur R par : g () g () + e jj g dé it bie ue desité car : e jj + e jj g est cotiue sur comme produit de telles foctios ( 7! e jj état cotiue sur R e tat que produit de deu foctios cotiues sur R); g est clairemet positive sur R e tat que produit de foctios positives, Z + g est covergete car g () g () + e jj avec : Z + Z + g () d est covergete puisque ous savos que g est ue desité, g () e jj d est covergete, car du fait l imparité de l itégrade il su t d étudier la covergece de Z + e (+) d; or : (+) e!+ par croissaces comparées (epoetielle-puissace), aisi : e (+) o + avec Z + d qui est ue itégrale covergete e tat qu itégrale de Riema de paramètre > : Alors par critère de égligeabilité appliqué au foctios positives, 5 mai 7 Cocours 7
HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page l itégrale Z + e (+) d coverge aussi. Et comme par cotiuité de l itégrade sur le segmet [; ] ; imparité Z + Z e (+) d coverge aussi. Aisi : Z + Z e (+) Z + e (+) g () e jj d est covergete et vaut g est covergete et vaut par liéarité de l itégrale : Z + g () d Z + + g () d + Z + g () e jj d d coverge aussi d coverge et par Coclusio : g est bie ue desité 7. _ (a) Nous avos pour tout réel : jg () G ()j Z Z Z Z Z g (t) dt jg (t) g (t) Z g (t)j dt g (t) dt + te jtj g (t) dt g (t) te jtj dt g (t) te jtj dt A ce iveau étudios rapidemet la foctio ' dé ie sur R par : ' (u) juj e juj ue u si u ue u si u si u ; ' (u) ( u) e u et aisi pour tout réel u positif, ous avos u + ' (u) + ' (u) % e & ' (u) e (3) si u ; ' (u) ( + u) e u et aisi pour tout réel u égatif, ous avos u ' (u) + ' (u) % e & ' (u) e (4) 5 mai 7 Cocours 7
HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page Selo (3) et (4) : 8u R; ' (u) e E posat maiteat u t; le résultat précédet permet d écrire que : 8t ] ; ] ; 8 R; te jtj jtj e jtj e ) 8t ] ; ] ; 8 R; te jtj e par coséquet : 8 R; jg () G ()j Z e g (t) te jtj dt Z e G () g (t) dt Coclusio : 8 R; jg () G ()j e G () (b) Par le théorème d ecadremet, ous obteos pour tout réel (e lequel G est cotiue) que jg () G ()j puisque G () ; alors d après le cours :!+!+e la suite (Y ) coverge e loi vers ue variable suivat la loi L () Partie II. _ (a) Soit ue variable suivat la loi L () de desité associée f dé ie sur R par f () e j et soit F sa foctio de répartitio dé ie par : j 8 R; F () si alors j j et : Z f (t) dt si > alors j j + et : F () Z e t F () dt e t a! e Z f (t) dt + F () + + e + a Z e t+ e t+ e + dt (5) (6) 5 mai 7 Cocours 7
HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page Selo (5) et (6) : 8 >< F () >: e e + si si > (b) Tout d abord, la variable aléatoire est à valeur das R (car l est). Notos F sa foctio de répartitio dé ie par : alors : si + soit si : 8 R; F () P ([ ]) 8 R; F () P ([ + ]) (7) F ( + ) (8) F () e+ e (9) si + > soit si > : Selo (9) et () : Selo (8) et () : F () 8 >< F () >: e e e (+)+ e,! L () si si > () () (c) Comme la variable propriétés élémétaires : admet ue espérace, il e de même de la variable avec par E () E ( ) + + et V () V ( ) (d) Comme la desité d ue variable suivat la loi L () est strictemet positive, ous pouvos coclure que la foctio de répartitio F associée à cette variable est strictemet mootoe croissate, doc l équatio F () admet qu ue seule solutio. Comme F () selo (7) ous pouvos écrire que : F () (). _ 5 mai 7 Cocours 7
HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page 3 (a) Comme les variables ; : : : ; + sot idépedates par dé itio du fait qu elles servet à costituer u ( + ) échatillo, les évéemets [ i ] sot idépedats pour tout i [j; + j] et pour é. Aisi les évéemets [Z i ] pour tout i [j; + j] sot idépedats, alors d après le cours les évéemets [Z i "] pour " f; g et pour tout i [j; + j] restet idépedats, alors :! 8 ( ; : : : ; + ) (f; g) + ; P + \ i [Z i i ] + Y i P ([Z i i ]) Aisi : les variables Z i pour i [j; + j] sot idépedates (b) D après le cours : S +,! B ( + ; P ([Z ])) soit S +,! B ( + ; P ([ ])) ou ecore S +,! B ( + ; F ()) A ouveau d après le cours : E (S + ) ( + ) F () et V (S + ) ( + ) F () ( F ()) 3. _ (a) Calculos l espérace de + pour voir si cette variable est sas biais du paramètre : Cette première eiste du fait que + est ue combiaiso liéaire de variables i qui admettet chacue ue espérace avec : E + + + + E ( ) + i E ( i ) E ( ) Partie III. _ (b) Comme ous veos de démotrer que la variable est sas biais, le risque quadratique de + e est égal à la variace de + qui eiste car cette variable s eprime comme combiaiso liéaire de variables admettat chacue ue variace, avec : r + () V + + ( + ) V ( i ) par idépedace des variables i i + ( + ) V ( i) + O rappelle le théorème : soit (A ) ue suite d évéemets deu à deu idépedats (resp. mutuellemet idépedats), alors il e est de même de la suite d évéemets (B ) dé ie par 8 IN, B A ou A : 5 mai 7 Cocours 7
HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page 4. _ (a) Pour faciliter la rédactio qui va suivre et pour élargir votre culture, sachez que la variable b + partageat e deu l échatillo de variables aléatoires e deu parties égales (autat de variables e "amot" qu e "aval"), ue fois celles-ci ragées das l ordre croissat, s appelle médiae de l échatillo. Il est clair que dire que la médiae est iférieure ou égale à équivaut à dire qu il y a au mois + variables b i iférieures ou égales à ce qui équivaut ecore à dire qu il y a doc au mois + variables Z i égales à ce qui se traduit par l évéemet [S + + ] : Coclusio : h 8 R; b+ i [S + + ] (b) F b + la foctio de répartitio de b + est dé ie par : h i 8 R; F+ b () P b+ avec : 8 R; F+ b () P ([S + + ]) + ] ] P @ @ [Z i ] \ : : : \ [Z ik ] \ Z ik+ \ : : : \ Z i+ AA + k+ par + k+ P @ i <<i k + ] i <<i k + [Z i ] \ : : : \ [Z ik ] \ Z ik+ \ : : : \ Z i+ A additivité de P P [Z i ] \ : : : \ [Z ik ] \ Z ik+ \ : : : \ Z i+ k+ i <<i k + + k+ i <<i k + + k+ i <<i k + + k+ + k+ Coclusio : P ([Z i ]) P ([Z ik ]) P Z ik+ P Z i+ (F ()) k ( F ()) + k (F ()) k ( F ()) + k i <<i k + + (F ()) k ( F ()) + k k 8 R; b F+ () + k+ + (F ()) k ( F ()) + k k (a) Pour tout j de [j; j] : (j + ) + j + ( + )! (j + ) (j + )! ( j) ( + )! j! ( j) ( + )! ( + j) j! ( + j) + ( + j) j 5 mai 7 Cocours 7
HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page 5 Coclusio : 8j [j; j] ; (j + ) + + ( + j) j + j (b) Dérivos F b + sur R pour déduire ue desité f b + de b + (cette variable est e ectivemet à desité puisque elle représete l ue des variables i ): E e et F b + est dérivable sur R e tat que combiaiso liéaire de produits de foctios dérivables sur R (car oubliez pas que f est cotiue sur R): Cela doe 8 R : bf + () F b + () + P k + k k+" + P f () 6 f () 4 k+ + P k (F ()) f () ( F ()) + k + P k+ k + k k (F ()) ( F ()) + k + P k (F ()) ( F ()) + k {z } a k k + k k+ selo la" questio.a + P P f () k+ " + P + P f () a k k+ a k + k+ k+ f () [a + a + ] + f () ( + ) + + f () ( + ) + f () ( + ) f () ( + ) ()! f () Coclusio : a k+ # a k # (F ()) ( F ()) (F ()) ( F ()) (F ()) ( F ()) (!) (F ()) ( ( + )! (!) (F ()) ( F ()) F ()) 8 R; b f+ () f () car k+ + P k+ + k (F ()) k ( + k) ( F ()) k f () ( + k) + k (F ()) k ( F ()) # k 3 (k + ) + k+ (F ()) k ( F ()) k 7 5 {z } a k+ + + ( + )! (!) (F ()) ( F ()) (c) Commeços par détermier F b+ la foctio de répartitio de b + : Elle est dé ie par : h i 8 R; F b+ () P b+ Nous avos : h i 8 R; F b+ () P b+ + F b+ ( + ) et par dérivatio de F b+ sur R ous obteos ue desité de b + otée bg + égale Variable obteue à partir d ue trasformatio a e appliquée à b + qui est ue variable à desité. 5 mai 7 Cocours 7
HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page 6 à : 8 R; bg + () F b + ( + ) f b + ( + ) ( + )! f ( + ) (!) (F ( + )) ( F ( + )) e j+ j e jj g () ( + )! (!) (F ( + )) ( F ( + )) ( + )! (!) (G ()) ( G ()) ( + )! (!) (G ()) ( G ()) car oubliez pas que selo (8) : 8 R; F () F ( + ) où,! L () et l o peut predre F G selo la partie I: (d) Motros que l espérace de b + est ulle pour répodre Z à la questio. Tout d abord la variable b ( + )! + admet ue espérace si et seulemet si g () R (!) (G ()) ( G ()) d est absolumet covergete. Or l imparité de l itégrade, du fait de la parité de 7! (G ()) ( G ()) selo la questio I.4.d et de l imparité de 7! g () ous fera réduire e l étude de la covergece à celle de ZR+ ( + )! e e (!) d: E cas de covergece la valeur de l itégrale sera immédiate, elle vaudra : Or : e ( + )! e e (!) 3 e (+) ( + )! e + (!) ep l avec : doc : ep l e ep l e ep + o e e ep ep o e!!+ e et par compatibilité de pour le produit : e ( + )! e e (!) avec : doc : et : Z +!+ 3 e (+) ( + )!!+ + (!) 3 e (+) ( + )!!+ + (!) par croissaces comparées (epo-puissace)!+ e ( + )! (!) e ( + )! (!) e e e e o d avec qui est ue itégrale covergete e tat qu itégrale de Riema de paramètre > : Alors par critère de égligeabilité appliqué au foctios positives, l itégrale 5 mai 7 Cocours 7
HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page 7 Z + e ( + )! e e (!) d coverge aussi. Z e ( + )! e e Comme (!) d coverge aussi par cotiuité de l itégrade Z + e ( + )! e e sur le segmet [; ] ; (!) d coverge et par imparité Z ( + )! g () (!) (G ()) ( G ()) d coverge aussi. Coclusio : Z + g () ( + )! (!) (G ()) ( G ()) d est covergete et : E b+ Aisi par propriété élémetaire de l espérace : E b+ et l estimateur b + est sas biais 3. _ (a) Pour obteir ue desité de la variable p + b+ commeços par détermier sa foctio de répartitio que ous oteros F p +( b + ) dé ie sur R par : F p +( b + h p ) () P + b+ i das ce cas : F p +( b + ) () P + b p + + F b + p + + Par dérivatio de F p +( b + ) sur R; ous obteos ue desité b h + de p + b+ : 8 R; b h + () p b f+ p + + + ( + )! p f p + + + (!) F p + F p + + + ep p + + ( + )! p + (!) G p G p + + ( + )! p g p + + (!) G p G p + + Coclusio : 8 R; b ( + )! h+ () p + (!) G p G p g p + + + (b) Nous avos classiquemet, lorsque u ted vers : e u l ( u) u u + u + o u u + o u 5 mai 7 Cocours 7
HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page 8 (c) Du fait que la foctio G ( G) est paire ous predros l epressio de G sur R + trouvée e I.4.a. Aisi : G p G p + + ep p + ep p + p + p + + o + ( + ) + ( + ) + + p + 4 ( + ) p + + + o 4 ( + ) + 4 4 + + o après trocature à l ordre deu + 4 + + o + (d) Tout d abord remarquos que : 4 G p G p + + 4 ep l G p G p + + 4 ep l 4 + + o + 4 ep l 4 + l + + o + 4 ep l 4 + + o + 4 ep [ l 4] ep + + + " + 4 4 ep + + + " + ep ep + + " + Or :!+ et!+ + + " car + +!+ car!+ " + avec " + et +!!+!+ Par cotiuité de la foctio epoetielle sur R ous pouvos coclure que :!+ 4 G p G p ep e + + ep (e) Pour commecer, costatos que le résultat précédet ous fait écrire de maière équivalete (caractérisatio de l équivalece) que : 4 G p G p ep + +!+ soit que G p G p + +!+ 4 ep 5 mai 7 Cocours 7
HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page 9 E admettat que lorsque ted vers l i i o a : b h+ () p ous avos : p G p + + 4 ( + )! p g p + + (!) G p + ep ( + )! p + (!) + p + ep p + ep r!+ car!+ Coclusio : comme cela etraîe que : ep!+ ()! p + (!) ()! p + (!) 4 p p ep!+ G G G 4 ep p 6 doc ep + après simpli catios p ep p G p + + p G p + + p G p + + p ep p + b h+ () p ep!+!+ 4. Tout d abord rappelos que si est ue variable ormale cetrée et réduite, la table de la foctio de répartitio de cette loi ous doe que : P ([ :96 :96]) :95 p Aisi e appliquat ce résultat à la suite de variables + b+ a rmer que pour grad : h P :96 p i + b+ :96 ' :95 N ous pouvos Nota bee : le symbole ' traduit le fait que ous e ectuos u calcul approché lorsque est grad. Aisi : :96 P p b + :96 p ' :95 + + :96 soit ecore P b + p b + + :96 p ' :95 + + Coclusio : u itervalle de co ace IC 5% () pour le paramètre au risque de 5% de se tromper, est doé par : :96 IC 5% () b + p b + + :96 p [I ; J ] + + itervalle aléatoire avec : I b + :96 p + et J b + + :96 p + zzzzz 5 mai 7 Cocours 7