PROBLEME de niveu sup rédigé pr R. Ferreol ferreol@mthcurve.com TOUT SUR LE TRIANGLE. DONNÉES ET NOTATIONS 3 points A, B, C non lignés d un pln ffine euclidien P orienté de fçon à ce que (AB, AC ) soit directe. A, B, C, sommets du tringle ABC ; les mêmes lettres désignent les mesures dns 0, des ngles en A, B, C. BC, [CA], [AB] les côtés, de longueurs respectives, b, c. 2p b c, périmètre du tringle. S, ire du tringle. I A, I B, I C, milieux de [BC], [CA], [AB] ; ce sont les pieds des médines issues de A, B, C. H A, H B, H C projetés orthogonux de A, B, C sur (BC),(CA) et (AB) ; ce sont les pieds des huteurs (AH A ), (BH B ) et (CH C ). h A AH A, h B BH B, h C CH C. 2. RELATIONS FONDAMENTALES Un stérisque signifie qu il y 2 utres reltions qui s obtiennent pr permuttion des points. Inéglité tringulire (qui est une CNS d existence du tringle) : d où b c b c A B C 2 cosa cosb cosc 4 sin A 2 sin B 2 sin C 2 3 sin A sin B sin C 4 cos A 2 cos B 2 cos C 2 tn A tn B tn C tn A tn B tn C tn A 2 tn B 2 tn B 2 tn C 2 tn C 2 tn A 2 b cosc c cosb 4 cosa b2 c 2 2 2bc sin A 2 bc 5 (formule d Al Kshi) p p p b p c 6 (formule de Héron) S 2 h bc sin A p p p b p c 7 2 L loi des sinus : Les formules de l médine : sin A sin b B sin c C bc 2S 8
9 b 2 c 2 2 2 2AI A 2 b 2 c 2 2BC. H A I A Indictions de démonstrtion : Utiliser les conditions d intersection de 2 cercles. 2 Considérer l figure : 4 Projeter sur (BC). 5 Résdre en cosa le système obtenu dns 4 clculer BA AC 2. 6 Utiliser sin 2 A cos 2 A. 7 Pr l première églité, considérer l figure : Pr l deuxième églité, utiliser sin A h B c AB AC AI A BC. 8 Se déduit de 7. 2S bc 9 Utiliser b 2 AI A I A C 2 et c 2 AI A I A B. bien 3. TRIANGLES ISOCÈLES PROP A B b (utiliser 5 ) DEF Un tringle est dit isocèle s il 2 cotés ( 2 ngles) égux, équiltérl, s il trois côtés égux (donc 3 ngles de mesure 3 ). 4. TRIANGLES RECTANGLES PROP : A 2 2 b 2 c 2 (théorème de Pythgore) DEF Un tringle est dit rectngle s il un ngle droit. 5. CAS D ÉGALITE DES TRIANGLES On devrit dire cs d isométrie des tringles. PROP : pr ABC et A B C 2 tringles, les propositions suivntes sont équivlentes :. f Is P / f A A, f B B, f C C b., b b, c c c. A A, b b, c c d. A A, B B, c c Dns le temps on disit, 2 tringles sont égux s ils ont 3 côtés correspondnts égux, 2 côtés égux et un ngle égl 2 ngles égux et un coté égl. Indiction : démontrer b c d. Les 3 dernières implictions utilisent les formules 5 ; pr 4.. utiliser l rottion r telle que r A A et r AB A B et composer
éventuellement vec une symétrie. 6. CAS DE SIMILITUDE DES TRIANGLES PROP : pr ABC et A B C 2 tringles, les propositions suivntes sont équivlentes :. f Sim P / f A A, f B B, f C C b. b b c c c. A A, B B, C C Indiction : prver b c (utiliser les formules 5 ) ; pr c, utiliser les cs d églité. 7. POINTS REMARQUABLES DU TRIANGLE. Les médines sont concrntes u centre de grvité G de ABC. On AG 2 3 AI A ; G est ussi le point rendnt minimum l fonction sclire de Leibniz : f M AM 2 BM 2 CM 2 b. Les trois huteurs sont concrntes en l orthocentre du tringle ; utiliser pr exemple : c. Centre du cercle circonscrit. X P AX. BC BX. CA CX. AB 0 i. Il existe un unique point O équidistnt des trois sommets ; c est le point de concrs des méditrices des trois côtés, et c est le centre du cercle circonscrit C u tringle ; on ppelle A, B, C les points dimétrlement opposés à A, B, C. ii. Schnt que B B, B C A ( théorème de l rc cpble ) montrer que sin A 2R d où : sin A sin b B sin c C bc 4RS 2R 0 R bc 4 p p p b p c p sin A sin B sin C 2 S 2R 2 sin A sin B sin C 3 iii. O est l orthocentre du tringle I A I B I C. iv. I A est le milieu de [A H v. Les symétriques orthogonux de l orthocentre pr rpport ux côtés pprtiennent u cercle circonscrit.
(Indiction : si s est l symétrie orthogonle pr rpport à BC montrer que Hs 0 R et regrder s Hs O, bien montrer que AB, AC HC, HB s H B, s H C ). d. Centre du cercle inscrit. i. Il existe un unique point I équidistnt de AB, BC, CA ; ce point est le point de concrs des 3 bissectrices intérieures des ngles géométriques du tringle ; ppelons U, V, W les projetés orthogonux de I sur les côtés BC, CA, AB ; on pose IU IV IW r ; le cercle c de centre I et de ryon r est le cercle inscrit dns le tringle. ii. En jtnt les ires des tringles BIC,CIA et AIB, montrer que S pr 4 iii. Montrer que AV AW p (poser x AV, y BU et z CW et clculer x y, y z, z x) iv. En déduire AI 2 en fonction, b, c. v. Soient X, Y, Z les pieds des bissectrices issues de A, B, C sur les côtés opposés ; montrer que XB c XC b (utiliser 0 dns ABX et ACX). b c 8. LIENS ENTRE O,G et H. CERCLE DES 9 POINTS Soit h l homothétie de centre G et de rpport ; quel est le trnsformé du 2 tringle ABC? En utilisnt le c. du VII. 3. montrer que h H 0 et en déduire le fit que O, G et H sont lignés : leur droite commune s ppelle l droite d Euler du tringle. Montrer OH 2OG. Soit C h C ; montrer que son centre est le milieu de OH et son ryon R 2 ; montrer que l homothétie h de centre H et de rpport 2 trnsforme ussi C en C. En déduire que C psse pr :. les pieds des médines du tringle ABC b. les pieds des huteurs c. les milieux des segments joignnt chque sommet à l orthocentre. C s ppelle le cercle d Euler cercle des 9 points du tringle ABC. 9. COORDONNÉES BARYCENTRIQUES DE CES POINTS REMARQUABLES.. Démontrer que M P det BM, CM AM det CM, AM BM det AM, BM CM 0
En déduire que les coordonnées brycentriques de M dns le repère A, B, C sont (il s git des ires lgébriques ). ire MBC ire MCA ire MAB b. G pr coordonnées brycentriques ynt l même ire.. En déduire 3 tringles c. I pr coordonnées brycentriques formule 0 bien utiliser 7. (d).v. sin A sin B sin C b c (utiliser. et l d. O pr coordonnées brycentriques sin 2A sin 2B sin 2C cosa b cosb c cosc (utiliser OB OC R 2 sin 2A). e. H pr coordonnées brycentriques tn A tn B tn C / cosa b/ cosb c/ cosc (utiliser HO 2HG)