Chapire 7: Equaions différenielles-résumé de cours Dans ce chapire I désigne un inervalle non rivial e désigne ou. 1. Equaions différenielles linéaires du 1 er ordre 1.1 Présenaion Résoudre une équaion différenielle du 1 er ordre sur I consise à chercher oues les foncions définies e dérivables sur un inervalle I, qui vérifien une relaion algébrique mean en jeu la foncion, sa dérivée e/ou la variable. L'inconnue, qui es ici une foncion, es radiionnellemen noée y. On peu de plus imposer à y de prendre une valeur donnée en un poin donné (condiion iniiale). Exemple fondamenal: par définiion, la foncion exponenielle es l unique soluion sur l équaion différenielle y = y e y() = 1 de 1.2 EDL du 1 er ordre à coefficiens consans Lemme 7.1: Soi a. Les soluions de l'équaion différenielle y' = ay son oues les foncions f k:x ke ax où k décri. Proposiion 7.1: Soi a,b, avec a non nul. Les soluions de l'équaion y' = ay + b (E) son les foncions f k:x ke ax - b/a où k décri. Exemple: Résoudre sur : 3y'-2y = 1. D après la proposiion 6.4, les soluions de cee équaion son oues les foncions définies sur par x, f k(x) = 2 x ke 3 1 où k décri. 2 Proposiion 7.2: L'équaion y' = ay+b e y'(x ) = y adme une unique soluion sur. 1.3 EDL du 1 er ordre, cas général a) Généraliés Def : On appelle équaion différenielle linéaire du 1er ordre, oue équaion pouvan s'écrire sous la forme: y' + a()y = b() (E) forme normalisée où a e b désignen des foncions coninues de I dans. Vocabulaire : b() es appelé second membre de l'équaion. On associe à (E) une équaion die homogène (ou sans second membre): y'+a()y = (H) f es soluion de (E) sur I ssi f es dérivable sur I e I, f'()+a()f() = b(). Résoudre ou inégrer (E) c'es rouver oues les soluions de (E) sur I. Les représenaions graphiques des soluions de (E) son appelées courbes inégrales de (E). Toue soluion de (E) es une soluion pariculière de (E). Proposiion 7.3: Les soluions de (E) s'obiennen en faisan la somme des soluions de l'équaion homogène associée (H) e d'une soluion pariculière. Conséquence : Pour résoudre (E) il suffi de résoudre(h) e de déerminer une soluion pariculière de (E). N. Véron-LMB-nov 214
b) Résoluion de l'équaion homogène Théorème 7.1: Soi a une foncion coninue de I dans. Les soluions de y' + a()y = (H) son les foncions définies sur I par I, f k() = ke -A() où A es une primiive de a sur I e k décri. Remarques: A es une primiive choisie arbirairemen donc elle peu s'écrire: A() = a( x )dx où o es un réel quelconque de I. La foncion nulle es oujours soluion de l'équaion homogène. Si f es une soluion de (E ) différene de la foncion nulle alors f ne s'annule pas sur I. On appelle soluion générale de (H) la foncion f k :x ke -A(), k. Exercice: Résoudre dans : (x²+1)y' + xy = Annexe 1 c) Résoluion de l'équaion avec second membre Le problème se ramène à rouver une soluion pariculière de (E). Soluion évidene : Il fau oujours regarder si on peu rouver facilemen une soluion pariculière, en pariculier une soluion consane. Recherche direce d une soluion lorsque a es consane sur I. b() = P()e m où P es un polynôme e m un complexe, on cherche une soluion pariculière de la même forme. b() = Re(P()e m ) ou b() = Im(P()e m ). On déermine une soluion pariculière y de y +a()y = P()e m e on prend Re(y ) ou Im(y ) b() = cos( ) ou b() = sin( ) On cherche une soluion pariculière de la forme cos( ) sin( ). On peu aussi uiliser que cos() = Re( i e ) e sin() = Im( i e ). Principe de superposiion des soluions Proposiion 7.4: Si f 1 es soluion de y' + a()y = b 1() sur I e f 2 soluion de y' + a() = b 2() sur I alors f = f 1 + f 2 es soluion de y'+a()y = b 1()+b 2() sur I. Exercice: Résoudre dans y + y = e + 2sin² Méhode de variaion de la consane: La soluion générale de l'équaion homogène éan A( ) A( ) ke on cherche une soluion de la forme u: k( )e la consane devien une foncion. En injecan dans l équaion, on obien k'() = b()e A() k es donc une primiive de b()e A(), i.e. k() = A ( x ) b( x)e dx où oi. Exercice: y + 2y = e -² Annexe 2 Aenion: Cee méhode es générale mais elle peu mener à une recherche de primiive difficile, il fau donc d'abord ener les méhodes précédenes. Remarque: Noons que nous avons la forme générale des soluions de (E) : N. Véron-LMB-nov 214
f k: k b( x)e dx A ( x ) e -A() où A() = a( x )dx e oi. 1.4 Problème de Cauchy du 1 er ordre Def : Soi I e y, la condiion y( ) = y es une condiion iniiale e le sysème y' a( ) y b( ) y( ) y es appelé un problème de Cauchy. Proposiion 7.5: Soi a e b deux foncions coninues de I dans. Le sysème y' a( ) y b( ), adme une unique soluion sur I y( ) y Exercice: Résoudre dans, (x²+1)y' + xy = e y() = -1. 2. Equaion différenielle linaire du second ordre à coefficiens consans 2.1 Présenaion e srucure de l'ensemble des soluions : Def : On appelle équaion différenielle linéaire du 2nd ordre à coefficiens consans, oue équaion pouvan s'écrire sous la forme: ay'' + by' + cy = u() (E), où a,b e c son des complexes, a e u es une foncion coninue de I dans. Vocabulaire : u() es appelé second membre de l'équaion. On associe à (E) une équaion die homogène (ou sans second membre): ay'' + by' + cy = (H) f es soluion de (E) sur I ssi f es deux fois dérivable sur I e I, af''() + bf'()f'() + cf() = u(). Résoudre ou inégrer (E) c'es rouver oues les soluions de (E) sur I. Proposiion 7.6: La soluion générale de (E) s'obien en faisan la somme de la soluion générale de (H) e d'une soluion pariculière de (E) 2.2 Résoluion de l'équaion homogène, cas complexe Théorème 7.2: Résoluion de ay +by +cy = dans le cas complexe. Soi (H): ay'' + by' + cy =, on appelle équaion caracérisique de (E) l'équaion du second degré ar²+br+c = e on noe = b²- 4ac. Si =. alors l'équaion caracérisique adme une racine double r e les soluions de (H) sur son les foncions : (A B)e où (A,B) décri ². r Si alors l'équaion caracérisique adme deux racines complexes disinces r 1 e r 2 e les 1 2 soluions de (H) sur son les foncions : Ae Be, où (A,B) décri ² Exercice: Déerminer les soluions à valeurs complexes de y + y + y = 2.3 Résoluion de l'équaion homogène, cas réel Lorsque a, b, c son réels e le second membre à valeurs dans, on se conene de déerminer les soluions de (E) à valeur réelle. Cela passe par donner les soluions de (H) à valeurs réelles r r N. Véron-LMB-nov 214
Lemme 7.2 : Soi a, b, c réels, a e u coninue sur I à valeurs réelles. Les soluions à valeurs réelles de ay +by +cy = u son les paries réelles des soluions de ay +by +cy = U où U es elle que u = Re(U). Conséquence: Les soluions de (H) à valeurs réelles son les paries réelles des soluions de (H) à valeurs complexes. Théorème 7.3: Résoluion de ay + by + cy = dans le cas réel Soi (H): ay'' + by' + cy =, avec a, b, c, a. On appelle équaion caracérisique de (E) l'équaion du second degré ax²+bx+c= e on noe = b²- 4ac. Si > alors l'équaion caracérisique adme deux racines réelles r 1 e r 2 e les soluions 1 2 réelles de (H) sur son les foncions : Ae Be, où (A,B) décri ². r Si =. alors l'équaion caracérisique adme une racine double r e les soluions réelles de (H) sur son les foncions : r r A B e où (A,B) décri ². Si < alors l'équaion caracérisique adme deux soluions complexes conjuguées +i e -i e les soluions de réelles (H) sur son les foncions : e Acos( ) Bsin( ) décri ². Dans la praique On renconre en physique les équaions suivanes : y" - ²y = don la soluion générale es y() = Ae + Be - = C 1ch() + C 2sh() y" + ²y = don la soluion générale es y() = Acos() + Bsin() = Rcos(+) 2.4 Equaion avec second membre Le problème se ramène à rouver une soluion pariculière de (E). Si u es consane : on cherche une soluion consane. où (A,B) Si u() = P()e m où P es un polynôme e m un complexe, on cherche une soluion pariculière de la de la forme m Q()e où Q es aussi un polynôme. Si u() = Re(P()e m ) ou u() = Im(P()e m ). On déermine une soluion pariculière y de ay +by +cy = P()e m e on prend Re(y ) ou Im(y ) Principe de superposiion des soluions Proposiion 7.7: Si f 1 es soluion de ay +by'+cy = u 1() sur I e f 2 soluion de ay +by +cy = u 2() sur I alors f = f 1+f 2 es soluion de ay +by +cy = u 1()+u 2() sur I. Exercice : Résoudre y +y +y = xcos(x) + 1 2.5 Problème de Cauchy du 2 nd ordre Proposiion 7.8 (Admis): Soi x I, y e y 1 fixés dans e P un polynôme. Le problème de Cauchy: ay " by ' cy P( )e y(x ) y y '(x ) y1 m où a,b,c,m, a adme une unique soluion. Dans la praique: On écri la soluion générale de l'équaion e on déermine les consanes grâce aux condiions iniiales. N. Véron-LMB-nov 214
Annexe 1 : Quelques courbes inégrales de (x²+1)y' + xy = avec Pyhon Scrip pour racer une famille de courbes: def f(,k): reurn k/sqr(**2+1) # on défini fk impor numpy as np #on charge la bibliohèque numpy e on la nomme np impor maplolib.pyplo as pl #on charge la bibliohèque graphique e on la nomme pl x=np.linspace(-1,1,2)#on crée une lise de valeurs pour x for k in range(-5,5): y=f(x,k) #on calcule les valeurs de y = fk(x) pl.plo(x,y) #pour chaque valeur enière de k de -5 à 5, on race le graphe de fk pl.grid() #on fai une grille, c'es plus joli pl.axhline(color='black') #race l'axe des abscisses pl.axvline(color='black') #race l'axe des ordonnées pl.savefig('courbe-inégrale-1.pdf') #on sauve le graphique au forma pdf pl.show() #on demande à Pyhon de nous monrer le résula On admire le résula Annexe 2 : Quelques courbes inégrales de y + 2y=e -² avec Pyhon On modifie le scrip (à vous...) e on obien : N. Véron-LMB-nov 214