Ijectivité, Surjectivité Exercice 1 : Motrer que l applicatios f bijectios et détermier f 1 f : { N Z si est pair +1 si est impair Exercice : Soit f ue applicatio d u esemble E das lui-meme telle que f f f = f. Motrer que : f ijective f surjective. Exercice 3 : Soit fue applicatio d u esemble E das lui-même telle que f f = f Motrer que si f est ijective ou surjective alorsf = IdE Raisoemet par de récurrece Exercice 4 : Soit f ue applicatio défiie de N das N vérifiat les trois coditios suivates : i) f() = ii) f est strictemet croissate sur N iii) (, m) N, f(m) = f()f(m) 1. Motrer que f(0) = 0. Motrer que f(1) = 1 3. Soit N et, o suppose que k {0, 1,,..., }, f(k) = k, (a) o suppose que + 1 = k avec k N, motrer que f( + 1) = + 1 (b) o suppose que + 1 = k + 1 avec k N, motrer que f( + 1) = + 1 4. E déduire que N, f() = Équatios et Racies -ème Exercice 5 : Résoudre das C les équatios suivates (E 1 ) : 1 Z 6 = Z (E ) : (z + 1) = (z 1), (E 3 ) : e z = 1 + i 3 Exercice 6 : O cosidère N telle que, θ R et a = e iθ.ω = e πi Soit z 0, z 1,..., z 1 les racies de l équatio z = a 1. Motrer que les poits du pla complexe dot les affixes sot (z 0 + 1), (z 1 + 1),..., (z 1 + 1) Sot aligés 1. Calculer z k e foctio de a http://mathscpge.wordpress.com 1/6
3. Calculer ω k puis e déduire 4. Calculer ω k 1 5. Soit p Z,Calculer z p k ( ) 6. O pose la somme B = w k. Motrer que B est u réel. k 7. O pose z k S = (k + 1) z k E calculat (1 ω)s, détermier la valeur de S. 8. Établir que pour tout z C, z 1, ( e factorisat z 1) 1 (z ω k ) = 9. O admet que l égalité précédete reste valable pour z = 1. E déduire l égalité 1 si kπ = 10. Soit z C. Motrer qu o a l égalité : l=0 1 z l ( ) z + ω k = (z + 1) E déduire :. ( ) (k 1)π ( 1) k cos = 0 biôme de NEWTON état u etier aturel supérieur ou égal à, j = 1 + i 3 Exercice 7 : E développat (1 + 1), (1 1), (1 ± 1) ; (1 + i), (1 i), Calculer e foctio de les sommes suivates a = ( ) d = k + 1 ( k ), e =, b = ( ) ( 1) k k ( ) ( 1) k k + 1 k=, c = ( ) k ( ), f = ( 1) k k + 1
Exercice 8 : o pose k= ( ) 3 X = 3k ( ) 3, Y = 3k + 1 ( ) 3, Z = 3k + 1. Détermier suivat la somme σ = 1 + j + j. E développat (1 + 1) 3, (1 + j) 3, (1 + j ) 3 e les exprimat e foctio de X, Y, Z, 3. Détermier e foctio de X, Y, et Z Égalité et iégalité Exercice 9 : 1. Soit x et y des réels. Motrer : (a) x + y x + y + x y. (b) 1 + xy 1 (1 + x 1 ) (1 + y 1 ). (c) Motrer : x y x y.. Motrer : a, b, c R 3, a + b + c ab + bc + ca. 3. Motrer : a 0, b 0, a + b a + b 4. Soit x et y, deux réels strictemet positifs. O pose : a = x + y, g = xy, h = xy 1 x + y, q = (x + y ). Motrer que a, g, h et q sot ragés das u ordre idépedat de x et y. Plus précisémet : vérifier h g a q. Exercice 10 : (iégalité de Cauchy-Schwarz) Soit x 1, x,..., x, y 1, y,..., y des réels. ( ) 1/ ( Établir l iégalité : x i y i x i pour avoir l égalité. Idicatio : o pourra cosidérer l applicatio ϕ : λ ) 1/ yi. Doer ue CNS simple i=1 (λx i + y i ). Exercice 11 : Soit N et réels positifs a 1, a,..., a : motrer que Idicatio : e pas chercher trop compliqué. ( i=1 a i i ) i=1 j=1 a i a j i + j 1. Exercice 1 : 1. Motrer : x [0, 1], 0 x(1 x) 1 4.. E déduire : (a, b, c) [0, 1] 3, Max (a(1 b), b(1 c), c(1 a)) 1 4. Idicatio : a(1 b) b(1 c) c(1 a) = a(1 a) b(1 b) c(1 c).
Exercice 13 : 1. Motrer que : x ]0, + [, x + 1 x.. Motrer que, si a 1, a(,..., a sot des réels strictemet positifs, alors : 1 (a 1 + a + + a ). + 1 + + 1 ). a 1 a a Id : commecer par justifier (a 1 + a + + a ). + ( ai + a ) j. a j a i 1 i<j Exercice 14 : Soit deux réels 0 < a < b. Motrer que, pour tout etier, o a (b a)a 1 b a (b a)b 1. ( 1 + 1 + + 1 ) a 1 a a Partie etière Exercice 15 ( ) ( ) p + q p q + 1 1. Motrer : p, q Z, E + E = p.. Motrer : x, y R, E(x) + E(x + y) + E(y) E(x) + E(y). 3. Soit u etier 1 : simplifier la somme S = Id : S = k=3 E( k) + k=8 k=4 E( k) + 5 4. Soiet ( N ) et x R. Motrer que : E(x) E = E(x). Itervalles k=9 E( k). E( k) + + k= 1 k=( 1) E( k) +. Exercice 16 : Motrer que l itersectio d ue famille quelcoque d itervalles est ecore u itervalle. Qu e est-il pour la réuio? Si I et J sot deux itervalles tels que I J, motrer que I J est u itervalle. La coditio est-elle écessaire? Exercice 17 : Soit I et J sot des itervalles de R : motrer que I + J est ecore itervalle. Exercice 18 : Soit f : R R mootoe,et λ R o cosidère A = {x R f(x) λ}, motrer que A est u itervalle Exercice 19 : Soit f ue applicatio croissate de [0, 1] das [0, 1]. O veut prouver que f possède écessairemet u poit fixe (attetio, il est pas dit que f est cotiue!). O cosidère l esemble E = {x [0, 1] x f(x)}. 1. Motrer que E possède ue bore supérieure, que l o otera s = sup(e).
. O suppose que s < f(s) : e utilisat la mootoie de f, e déduire que f(s) E, puis coclure à ue absurdité. 3. O a doc forcémet f(s) s : supposos que f(s) < s. Justifier l existece d u élémet x 0 das E tel que f(s) < x 0 < s. E utilisat la mootoie de f, coclure à ue absurdité. 4. Déduire efi que s est u poit fixe pour f (i.e) f(s) = s. Idicatio : commecer par prouver que f(s) s, puis que f(s) < s est absurde. Desité s R Exercice 0 : Soit f : R R, ue applicatio croissate telle que : x, y R, f(x + y) = f(x) + f(y). Motrer que : x R, f(x) = xf(1) (utiliser la desité de Q das R). Exercice 1 : { } k O ote pour tout de N : D = /0 k Motrer que D = D est dese das [0, 1]. N Exercice : Soit G u sous groupe de (R,+) ie G φ et (x, y) G, x y G o suppose que G {0}. 1. Motrer que G R + admet ue bore iférieure α das R et que α 0.. (a) O suppose ici α > 0,Démotrer que G=αZ. (b) O suppose ici α = 0. Démotrer que G est dese das R. 3. Applicatio : Soit α R\Q.Motrer que {a + bα / (a, b) Z }est dese das R.
Bore sup et bore if Exercice 3 : Si A B R, prouver : sup(a) sup(b) et if(b) if(a). Exercice 4 : Détermier les bores des esembles suivats : A = { 1 N }. B = { 1 + 1 m N, m N }. C = { 1 + ( 1) N }. D = { 1 + 1 Z, m Z, m}. m E = { { x + 1 x x +} R. F } = Q ]0, 1[. G =]0, 1[ {}. H = {exp( ) N}. J = 1+( 1) N. K = { 1 + 1 m+1 N, m N }. L = { 1 + 1 m+1 Z, m Z }. Exercice 5 : Soit A = {xy (x, y) R et x + y < 1}. Motrer que A est majoré et possède ue bore supérieure S que l o détermiera. Exercice 6 : Soit A ue partie o vide et borée de R. Motrer que Sup x y = Sup(A) If(A). (x,y) A Exercice 7 : Soit N : o ote A = {k + k k N }. 1. Démotrer que A admet ue bore iférieure.. O ote B = {k + k k N, 1 k }. Démotrer que if A = mi B. 3. Démotrer que if A 4. 4. Das quel(s) cas a-t-o l égalité? Exercice 8 : Soit A = { a b / (a, b) N } et B = { + 1 / ( N } 1. Calculer lim( + 1 )). (a) Motrer que B est borée et détermier supb (b) Motrer que ifb=0. 3. soiet u, v R tel que 0 < u < v. (a) Motrer qu il existe z B tel que 0 < z < v u. (b) Soit k = E( u + 1), motrer que : u < kz < v. z E déduire que A est dese das R. (c) Trouver a, b N tels que.5 < a b <.6