THERMODYNAMIQUE D UN FLUIDE EN ÉCOULEMENT

Écol National d'ingéniur d Tarb Enignmnt Smtr 2 t 2* Duxièm parti THERMODYNAMIQUE D UN FLUIDE EN ÉCOULEMENT Anné 2009-10 Jan-Yv PARIS.. jan-yv.pari@nit.fr Karl DELBÉ... karl.dlb@nit.fr

Duxièm parti THERMODYNAMIQUE D UN FLUIDE EN ÉCOULEMENT Sommair I. SYSTÈME OUVERT I.1. Introduction... 1 I.2. Princip d l état local... 2 I.3. Princip d conrvation d la ma... 3 I.4. Travail d écoulmnt d un fluid... 6 I.5. Princip d conrvation d l énrgi t volum d contrôl... 7 I.6. Princip d évolution appliqué à un volum d contrôl... 11 II. ÉCOULEMENT EN RÉGIME PERMANENT II.1. Définition... 15 II.2. Bilan dan l ca d un ERP... 15 II.3. Travail mi n ju au cour d un E.R.P. révribl... 18 II.4. Application élémntair d un E.R.P..... 20 II.5. Rndmnt d un organ d machin... 24 III. ANNEXES III.1. Application du princip d conrvation d la ma... 26 III.2. L comprur... 27 III.3. Ca particulir d un Écoulmnt Uniform (E.U.)...28 Anné colair 2009 2010 Imag d couvrtur (filigran) : machin d Watt (1776) 2.

Modul Thrmodynamiqu2 Duxièm Parti I. SYSTÈME OUVERT I.1. Introduction a) Propriété d ytèm étudié Dan l domain d l ingéniur, nou vnon d voir qu un d application d la thrmodynamiqu conit n l étud d machin t d la production d énrgi (thrmodynamiqu dit claiqu). Pour c application, l ytèm étudié n put plu êtr conidéré comm frmé ou iolé : c t un ytèm ouvrt (applé égalmnt volum d contrôl) pouvant échangr aui bin d l énrgi (ou tout form) qu d la matièr avc l miliu xtériur. b) Définition d un ytèm ouvrt ou volum d contrôl Entré fluid P, T v W u Q Surfac d contrôl Sorti fluid P, T v Un volum d contrôl t un volum qu l'on définit n vu d'ffctur l étud ou l analy d un écoulmnt d matièr. La taill t la form du volum d contrôl ont complètmnt arbitrair t ont défini d façon à cadrr l miux poibl avc l'analy nviagé. La urfac du volum d contrôl t applé urfac d contrôl. C t un urfac toujour frmé qui put êtr fix ou n mouvmnt ; ll put égalmnt déformr ( dilatr, contractr...). D la matièr, d l énrgi mécaniqu (travail) t d l énrgi thrmiqu (chalur) puvnt êtr échangé à travr ctt urfac d contrôl. Aini, la quantité d matièr dan l volum d contrôl aini qu l propriété d ctt ma puvnt changr dan l tmp 1 (variation d la ma du ytèm). 1 En d'autr trm, l volum d contrôl (ou ytèm ouvrt) prmt l'analy d'un écoulmnt d ma (x. : turbin, comprur, tuyèr, chambr d mélang...) alor qu'un ytèm frmé trait d'un quantité d ma fix. 1

Il 'agit donc dan c chapitr d rformulr l princip d conrvation d la ma t d l'énrgi, aini qu l princip d évolution (duxièm princip), ou un form qui fa apparaîtr l variation d grandur phyiqu du fluid ntr l'ntré t la orti du ytèm 2. I.2. Princip d l état local a) Rappl L état d équilibr thrmodynamiqu d un ytèm impl t ntièrmnt défini par troi variabl xtniv : on énrgi intrn, on volum t a ma (ou la quantité d matièr). L état d équilibr thrmodynamiqu d un ytèm iolé ont défini par l xtrmum d l ntropi. b) Hypothè fondamntal Conidéron maintnant un ma d fluid n mouvmnt : ctt ma n t pa n équilibr thrmodynamiqu, au n où l grandur intniv tll qu la prion ou la tmpératur n y ont pa uniform. L princip d l état local conit à conidérr qu, malgré ctt non-uniformité, tout particul 3 d c miliu t approximativmnt n équilibr du point d vu thrmodynamiqu 4. En d autr trm : - à tout intant t, on put attachr à tout particul fluid un volum dv, un ma ρdv, un ntropi ρdv, un énrgi intrn ρudv, tc., où la ma volumiqu ρ (ou on invr l volum maiqu v), l ntropi 2 Un comprur, un turbin, un échangur thrmiqu, un vann, un détndur, un tuyèr, ont d ytèm ouvrt : parcouru par un fluid (gaz, liquid, ou mélang poly-phaiqu), lur fonction t d modifir la prion, la tmpératur ou la vit d c fluid, c't-à-dir d modifir on état thrmodynamiqu. 3 Par particul, on ntnd un volum d fluid uffiammnt ptit pour qu l grandur phyiqu puint êtr conidéré comm uniform à l intériur, mai contnant uffiammnt d atom ou d molécul pour qu l fluctuation y oint faibl. 4 L princip d l état local rvint à conidérr qu l tmp d rlaxation d un particul t court dvant un tmp caractéritiqu d évolution d la particul (duré d tranit d un particul fluid dan un machin, ou duré d un réaction chimiqu par xmpl). L xpérinc montr qu c princip t largmnt vérifié. 2

maiqu t l énrgi intrn maiqu u dépndnt du point d l pac t du tmp ; - l énrgi intrn u t lié à l ntropi t aux grandur xtniv maiqu par la mêm rlation fondamntal qu pour un miliu trictmnt à l équilibr. La tmpératur T, aini qu l autr grandur intniv ont défini par l mêm équation d état qu pour un miliu trictmnt à l équilibr. I.3. Princip d conrvation d la ma a) Énoncé général L princip d conrvation d la ma 'énonc implmnt : La ma t un grandur conrvativ, autrmnt dit, la ma d'un ytèm matéril uivi dan on mouvmnt t contant. b) Conrvation d la ma t volum Définion un volum d contrôl (Ω) intériur au d contrôl ytèm étudié, typiqumnt un élémnt d machin, limité par (figur 1) : - paroi fix, - paroi mobil (aubag, piton, oupap), - l ction d'ntré Σ 1 t d orti Σ 2. Nou upporon, pour implifir, qu l ytèm n comport qu'un ntré t qu'un orti, la généraliation à pluiur ntré ou orti n poant aucun difficulté. Conidéron un domain D d fluid, occupant à Figur 1 : Schéma d'un volum d contrôl défini par l paroi fix t mobil, aini qu l ction d ntré t d orti d un élémnt d machin (turbin, condnur, ct). l'intant t l volum d contrôl t débordant un pu n amont d la ction d'ntré. À l'intant t + t, c domain 't déplacé : il occup l volum d contrôl t débord un pu n aval d la ction d orti (figur 2). D'aprè l princip d conrvation d la ma, la 3

ma d'un domain matéril D (ou ytèm matéril), uivi dan on mouvmnt, t contant, oit : m(d(t+ t)) - m(d(t)) = 0 (1) La ma m(d(t)) put 'écrir comm la omm d la ma m t contnu dan l volum d contrôl à l intant t, t d la ma Δm qui pénètr dan l volum d contrôl pndant Δt : m(d(t)) = m t + Δm D mêm, la ma m(d(t+ t)) put 'écrir comm la omm d la ma m t+ Δt contnu dan l volum d contrôl à l intant t+δt, t d la ma Δm qui ort du volum d contrôl pndant Δt : m(d(t+ t)) = m t+ Δt + Δm La rlation (1) put donc écrir : ou ncor : m t+ Δt + Δm = m t + Δm m t+ Δt = m t + Δm - Δm (2) (avc Δm > 0 t Δm > 0) Si on not Δm vc l accroimnt d ma à l intériur du volum d contrôl, l princip d conrvation d la ma put alor xprimr ou la form : Δm vc = m t+ Δt - m t = Δm - Δm (3) La variation d ma dan un volum d contrôl ntr dux intant t 1 t t 2 (oit pndant l intrvall d tmp t) t égal aux apport d ma à travr la urfac d contrôl. c) Équation d continuité Débit maiqu d un fluid L débit maiqu m (ou D m ) d un fluid à travr un urfac d contrôl d ction A t égal à la ma travrant ctt ction par unité d tmp. L débit maiqu xprim n kg. -1. Équation d continuité Dan bon nombr d problèm nécitant un analy thrmodynamiqu, il put êtr trè avantagux d'xprimr l princip d la conrvation d la ma ou 4

la form d'un équation rapporté au tmp t appliqué au volum d contrôl 5. On obtint, n diviant l dux mmbr d l'équation (3) par Δt : Δm vc Δt = m t + Δt m t Δt = Δm Δt Δm Δt (4) Lorqu Δt tnd vr zéro (intant ou ytèm t volum d contrôl coïncidnt), on obtint l'équation d continuité pour l volum d contrôl (par calcul d la limit d chaqu trm) : dm vc ( m t = m m = débit ntrant - débit ortant (5) m rpréntnt l débit d ma intantané à travr la urfac d contrôl) Si l on a pluiur écoulmnt ntrant t ortant (ca d procédé d mélang ou d cux qui comportnt d réaction chimiqu) : dm vc = m m (6) d) Exprion du débit maiqu d un fluid dan l ca d un écoulmnt unidimnionnl 6 La ma dm travrant un urfac d contrôl 7 d ction droit (normal à la vit c du fluid) t d air A (figur 2) pndant l tmp t donné par la rlation : dm = ρcda d où dm = ρcda m = ρcda oit m = ρca (7) A Figur 2 : Ca particulir d'écoulmnt. Pour un fluid d ma volumiqu ρ donné, l débit maiqu dépnd d la vit c d écoulmnt du fluid mai aui d la ction A d écoulmnt. 5 Ctt équation rapporté au tmp rprént l taux moyn d variation d la ma à l intériur du volum d contrôl d mêm qu l débit d ma moyn à travr la urfac d contrôl pndant l'intrvall d tmp Δt. 6 Un écoulmnt t unidimnionnl lorqu caractéritiqu (vit, prion, tmpératur, ma volumiqu, tc.) n dépndnt qu d un ul coordonné d pac ; n prmièr approximation, l écoulmnt dan un tuyau t unidimnionnl. 7 Ctt urfac d contrôl t uppoé immobil : c rprént la vit du fluid qui travr la urfac d contrôl. 5

I.4. Travail d écoulmnt d un fluid a) Action d forc prant L ma d fluid qui travrnt la urfac d contrôl n amont ( m ) t n aval ( m ) du volum d contrôl donnnt liu à l'action d forc prant 8 qui ont à l'origin d'un travail d forc d prion, applé égalmnt travail d'écoulmnt. b) Travail d écoulmnt Écoulmnt d un fluid dan un canaliation Soit l ytèm contitué par l fluid compri à l'intant t ntr dux ction droit mobil S A t S B lié au fluid 9 (figur 3). À l'intant t +, l ytèm trouv ntr l ction S A' t S B. Figur 3 : Fluid n écoulmnt d A vr B. Noton dv A t dv B l volum compri, rpctivmnt, ntr l ction S A t S A', t ntr S B t S B' : dv A = S A dx A t dv B = S B dx B Noton dm t dm l ma élémntair d fluid qui ntr t ort rpctivmnt du ytèm durant. v t v étant l volum maiqu du fluid à l'ntré t à la orti, nou pouvon donc écrir 10 : dv A = v dm t dv B = v dm 8 Dan la ction d ntré d un machin thrmiqu, la vit réduit pratiqumnt à a compoant normal (vit longitudinal). Or, on montr n mécaniqu d fluid qu i l gradint d vit longitudinal t faibl (n négligant la vicoité du fluid : abnc d frottmnt), la contraint normal réduit à la prion. Il n t d mêm d contraint xrcé par l fluid xtériur à l aval du volum d contrôl (ction d orti). 9 Pour implifir, nou uppoon qu l'écoulmnt t unidimnionnl, c qui ignifi qu l grandur local (prion, tmpératur, tc.) ont uniform ur un ction. 10 On rappll qu dv A, dv B, dm t dm ont d grandur poitiv. 6

Travail d forc d prion aocié à l écoulmnt d ma dm t dm Si l'écoulmnt fait d A vr B, l travail ffctué ur la ma dm lorqu'll ntr t poitif t clui ffctué ur la ma dm lorqu'll ort t négatif. L travaux d forc d prion, n amont t n aval, ont donc : δw A = + P dv A = P v dm (8) δw B = - P dv B = - P v dm (9) Travail d forc d prion xrcé par l fluid xtériur δw = P v dm - P v dm (10) I.5. Princip d conrvation d l énrgi t volum d contrôl a) Définition du ytèm Comm pour l bilan maiqu, conidéron un domain D d fluid (ytèm matéril), occupant à l'intant t l volum d contrôl t débordant un pu n amont d la ction d'ntré Σ 1. À l'intant t +, c domain 't déplacé : il occup l volum d contrôl t débord un pu n aval d la ction d orti Σ 2 (figur 4). Réalion l bilan d évolution au in du volum d contrôl pndant. v = volum maiqu du fluid ntrant ; T = tmpératur du fluid ntrant ; = énrgi maiqu du fluid ntrant ; p = prion du fluid ntrant ; E t = énrgi dan l volum d contrôl à l intant t. v = volum maiqu du fluid ortant ; T = tmpératur du fluid ortant ; = énrgi maiqu du fluid ortant ; p = prion du fluid ortant ; E t+ = énrgi dan l volum d contrôl à l intant t+. Figur 4 : Schéma d'un volum d contrôl t notation pour l'analy du prmir princip 11. 11 On rappll qu,, v, v, dm t dm ont d grandur poitiv. 7

b) Bilan d énrgi pour un ytèm matéril La variation d'énrgi total du ytèm matéril (domain D d fluid) pndant l'intrvall d tmp t égal à la omm d travaux d forc xtériur δw t agiant ur l ytèm t d l'énrgi thrmiqu δq échangé. de = δw t + δq c) Accroimnt d énrgi total À l intant t, l énrgi du domain D d fluid t : E(D(t)) = E t + dm À l intant t +, l énrgi du domain D d fluid t : E(D(t+)) = E t+ + dm La variation d énrgi total de du domain d fluid D pndant l'intrvall d tmp put 'xprimr ou la form : de = E(D(t+)) - E(D(t)) = (E t+ + dm ) - (E t + dm ) ou ncor : de = (E t+ - E t ) + ( dm - dm ) (11) L prmir trm rprént la variation d'énrgi du volum d contrôl ; l duxièm rprént l débit nt d'énrgi qui travr la urfac d contrôl pndant l'intrvall d tmp par uit d l'écoulmnt d ma dm t dm à travr ctt urfac. d) Travail d forc xrcé ur l domain D d fluid L travail total d forc xrcé ur l domain D d fluid put êtr décompoé n : Travail d forc d prion aocié à l écoulmnt d ma dm t dm Comm nou l'avon vu précédmmnt ( I.3), dan l ca d'un écoulmnt avc un ul ction d'ntré t un ul ction d orti, c travail put 'xprimr ou la form : δw = P v dm - P v dm 8

Autr form d travail Rmarqu. Lorqu l volum d contrôl t rigid, il n'y a pa d travail d forc d prion échangé avc l miliu xtériur : c't l ca d'un comprur, d'un pomp, d'un turbin, d'un motur, d'un échangur thrmiqu, d'un vann, tc. Il xit n général d'autr apport d travail vnant du miliu xtériur. Il 'agit dan la plupart d ca du travail d forc xrcé par l paroi mobil comm l travail d aubag ou piton ou oupap, ur l fluid. On l'appllra travail util, noté δw u. C travail t poitif dan l ca d'un comprur ou d'un pomp, il t négatif dan l ca d'un turbin ou d'un motur à piton par xmpl. C travail t nul pour un échangur thrmiqu ou pour un vann. Travail total L travail élémntair total échangé avc l ytèm pndant 'écrit ou la form : δw t = δw u + p v dm - p v dm (12) ) Bilan d énrgi pour un volum d contrôl Compt tnu d réultat précédmmnt établi, l bilan énrgétiqu 'écrit : (E t+ - E t ) + ( dm - dm ) = δw u + (p v dm - p v dm ) + δq (13) Soit, (E t+ - E t ) + ( dm - dm ) - (p v dm - p v dm ) = δw u + δq Où ncor, (E t+ - E t ) + ( + p v ) dm - ( + p v ) dm = δw u + δq (14) L'énrgi total maiqu 'écrit : Rappl : E = E c + E p + U h = u + pv = 1 2 V 2 + gz + u (15) + pv = 1 2 V 2 + gz + h (16) avc, u l'énrgi intrn maiqu, h l'nthalpi maiqu 12, v l volum maiqu du fluid, V la vit du fluid t z la hautur d poitionnmnt du fluid. obtint : En ubtituant ( + pv) dan l'équation (14), on (E t + E t ) + (h + 1 2 V 2 + gz )dm - (h + 1 2 V 2 + gz )dm = δw u + δq (17) 12 Noton qu la définition d l'nthalpi jutifi principalmnt par la prénc d la combinaion (u + pv) chaqu foi qu'un quantité d ma travr un urfac d contrôl. 9

Divion la rlation (17) par, on obtint alor : (E t + E t ) + (h + 1 2 V 2 + gz ) dm (h + 1 2 V 2 + gz ) dm = δw u + δq (18) Donc, n faiant tndr vr zéro (paag à la limit), on put xprimr : Princip d conrvation d l'énrgi ou form d taux d variation pour un volum d contrôl 13 (19): de vc + m (h + 1 2 V2 + gz ) - m (h + 1 2 V 2 + gz ) = W u + Q de vc : accroimnt d'énrgi du volum d contrôl pndant l'intrvall d tmp ; m (h + 1 2 V2 + gz ) : énrgi tranporté par l fluid ntrant pndant l'intrvall d tmp ; m (h + 1 2 V2 + gz ) : énrgi tranporté par l fluid ortant pndant l'intrvall d tmp ; W u = δw u (watt, W) ; Q = δq : puianc mécaniqu intantané util ; puianc thrmiqu intantané ou taux d chalur (watt, W). Généralion au ca d pluiur écoulmnt ntrant t ortant (20): de vc + m (h + 1 2 V2 + gz ) - m (h + 1 2 V 2 + gz ) = W u + Q Rmarqu - En l abnc d écoulmnt, on rtrouv la rlation : de = W + Q 13 On notra qu l mmbr d gauch n fait intrvnir qu d fonction d état tandi qu clui d droit n fait intrvnir qu d fonction d tranfrt. 10

I.6. Princip d évolution appliqué à un volum d contrôl 14 a) Définition du ytèm Conidéron un domain D d fluid (ytèm matéril), occupant à l'intant t l volum d contrôl t débordant un pu n amont d la ction d'ntré Σ 1. À l'intant t +, c domain 't déplacé : il occup l volum d contrôl t débord un pu n aval d la ction d orti Σ 2 (figur 5). Réalion l bilan d évolution au in du volum d contrôl pndant. v = volum maiqu du fluid ntrant ; T = tmpératur du fluid ntrant ; = ntropi maiqu du fluid ntrant ; p = prion du fluid ntrant ; S t = ntropi dan l volum d contrôl à l intant t. v = volum maiqu du fluid ortant ; T = tmpératur du fluid ortant ; = ntropi maiqu du fluid ortant ; p = prion du fluid ortant ; S t+ = ntropi dan l volum d contrôl à l intant t+. Figur 5 : Schéma d'un volum d contrôl t notation pour l'analy du duxièm princip 15. b) Bilan 16 Bilan maiqu. Ma du ytèm matéril (domain D) à l intant t : m 1 = m t + dm Ma du ytèm matéril à l intant t + : Bilan ntropiqu. m 2 = m t+ + dm Entropi du ytèm matéril à l intant t : S 1 = S(D(t)) = S t + dm Entropi du ytèm matéril à l intant t + : S 2 = S(D(t+)) = S t+ + dm 14 Nou pouvon appliqur l duxièm princip d la thrmodynamiqu à un volum d contrôl n uivant un procédur mblabl à cll utilié pour appliqur l prmir princip à un volum d contrôl. 15 On rappll qu,, v, v, dm t dm ont d grandur poitiv. 16 Pndant l'intrvall d tmp la ma élémntair dm pénètr dan l volum d contrôl t la ma dm n ort ; un quantité d chalur élémntair δq t échangé par l ytèm à travr un ptit élémnt d'air où la tmpératur t T ; l travail élémntair d forc xtériur δw t t égalmnt échangé par l ytèm. 11

c) Ca d un tranformation révribl. Pour un ytèm frmé (domain D d fluid) ubiant un tranformation révribl, l duxièm princip put 'énoncr ou la form : ds = δq T. Pour un variation élémntair d'ntropi, produiant pndant un intrvall d tmp, nou pouvon écrir (ds = S 2 - S 1 ) : S 2 S 1 = 1 δq (21) T Accroimnt d ntropi du ytèm matéril (domain D d fluid) S 2 - S 1 = (S t+ + dm ) - (S t + dm ) = (S t+ - S t ) + ( dm - dm ) (22) L trm (S t+ - S t ) rprént l'accroimnt d'ntropi du volum d contrôl pndant l'intrvall d tmp ; l trm ( dm - dm ) rprént l débit nt d'ntropi ortant du volum d contrôl pndant l'intrvall d tmp par uit du paag d ma dm t dm à travr la urfac d contrôl. Par conéqunt : S 2 S 1 ( = S t + S t ) + ( dm dm ) Signification du cond trm d l équation (21) (23) Figur 6 : Variation d la tmpératur à la frontièr du volum d contrôl. L analy d un volum d contrôl oblig à éloignr d un viion trictmnt claiqu d la thrmodynamiqu t à accptr l xitnc d variation d la tmpératur à travr l volum d contrôl, c tà-dir à fair l hypothè d équilibr locaux (figur 6). En conéqunc pour l trm rlatif à l échang d chalur, nou dvon xaminr chaqu élémnt d air à travr lqul écoul d la chalur aini qu la tmpératur d la urfac à chacun d c ndroit 17. 17 Lorqu nou écrivon l trm (δq/t) pour un ytèm frmé, nou avon normalmnt un quantité d ma dont la tmpératur t uniform à tout intant. 12

Aini, c trm doit écrir comm la ommation d tou l trm d la form (δq/t) ur la urfac d contrôl, ou ncor : 1 Bilan ntropiqu δq 1 T δq (24) T En portant l équation (26) t (27) dan l équation (24), nou obtnon : ( S t + S t ) + ( dm dm ) = 1 δq (25) T En faiant tndr vr zéro, on obtint l équation rapporté au tmp : ds vc ortant, il vint : + m m = δq (26) T Dan l ca d pluiur écoulmnt ntrant t/ou Formulation du duxièm princip appliqué à un volum d contrôl ubiant un ds vc tranformation révribl: + m m = δq (27) T m t m : débit d ma intantané à travr la urfac d contrôl, d) Ca d un tranformation irrévribl ds vc : taux d variation d l ntropi dan l volum d contrôl, δ Q : puianc thrmiqu élémntair échangé à travr la urfac d contrôl. Dan l ca d un tranformation élémntair irrévribl, l duxièm princip a été énoncé ou la form : ΔS = S + S c = δq T + S c Pour un variation d'ntropi, ds = S 2 - S 1, 13

produiant pndant un intrvall d tmp, nou pouvon écrir alor : S 2 S 1 = 1 δq T + δs c (28) D'où, compt tnu du réultat pour un tranformation révribl 18 : ds vc + m m = δ Q T + δs c (29) Formulation du duxièm princip appliqué à un volum d contrôl ubiant un ds vc tranformation irrévribl 19 : + m m δq (30) T 18 Ctt xprion tipul qu la omm du taux d variation d ntropi à l intériur du volum d contrôl t du débit nt d ntropi ortant d clui-ci t égal à la omm d l ntropi échangé à la urfac d contrôl t du trm d ntropi créé (dû au caractèr irrévribl d la tranformation) pndant. 19 Puiqu l trm d ntropi créé t toujour poitif ou nul t qu il t difficil à évalur quantitativmnt, on prnd l parti d n pa l fair apparaîtr. 14

Modul Thrmodynamiqu2 Duxièm Parti II. ÉCOULEMENT EN RÉGIME PERMANENT II.1. Définition a) Introduction L écoulmnt n régim prmannt (E.R.P.), ou tationnair, ont d'un trè grand importanc n matièr tchniqu parc qu la production maiv d ubtanc t d'énrgi dmand d procu opérant n continu. Un évolution E.R.P. impliqu l flux continu d'un ubtanc au travr d'un dipoitif. b) Définition Un écoulmnt n régim prmannt ou régim tationnair corrpond à un ituation où l fluid 'écoul dan d condition tll qu'n chaqu point du dipoitif, la tmpératur, la prion t la vit d'nmbl n varint pa avc l tmp. Dan d tl dipoitif, l propriété thrmodynamiqu du fluid puvnt varir d'un point à un autr, mai ll n changnt pa n fonction du tmp n un point donné 20. L'équilibr thrmodynamiqu n't pa global mai local. II.2. Bilan dan l ca d un E.R.P. a) Hypothè aocié à un ERP (1) L volum d contrôl n boug pa par rapport au ytèm d coordonné choii. (2) L'état thrmodynamiqu d la ma n chaqu point du volum d contrôl n vari pa dan l tmp. (3) L flux t l'état thrmodynamiqu d la ma qui travr la urfac d contrôl ont indépndant du tmp. 20 Pour un machin au fonctionnmnt cycliqu (motur à piton par xmpl) ou pour un écoulmnt turbulnt, l écoulmnt n put êtr tationnair rigourumnt parlant, mai il put êtr tationnair n moynn. 15

(4) L puianc thrmiqu ( Q ) t mécaniqu ( W u ) qui travrnt la urfac d contrôl dmurnt contant. b) Conéqunc t bilan pour un tranformation qulconqu (révribl ou irrévribl) L'hypothè (1) impliqu qu l vit muré par rapport à c ytèm ont aui l vit rlativ à la urfac d contrôl t, donc, qu aucun travail n t rlié à l accélération du volum d contrôl. L hypothè (2) t (3) impliqunt qu la ma dan l volum d contrôl n vari pa au cour du tmp, c t-à-dir, qu l bilan d ma global t nul : dm vc = m m = 0 (31) La quantité d matièr qui ntr par unité d tmp t égal à la quantité d matièr qui ort du volum d contrôl, autrmnt dit, l omm d débit ntrant t ortant ont idntiqu 21. L'hypothè (4) impo qu l bilan énrgétiqu global t nul (l'apport énrgétiqu du miliu xtériur compn c qu l ytèm lui cèd) t donc qu l ntropi par unité d ma n tout point du volum d contrôl t indépndant du tmp : de vc = 0 t ds vc = 0. Dan l ca d un E.R.P., l bilan maiqu t l xprion d 2 princip dvinnnt : Bilan maiqu : Prmir princip : Duxièm princip : m = m (32) m (h + 1 2 V2 + gz ) - m m m (h + 1 2 V 2 + gz ) = W u + Q (33) δq (34) T c) Ca d'un tranformation avc un ul écoulmnt ntrant t un ul écoulmnt ortant Si l'on a un ul écoulmnt ntrant t un ul écoulmnt ortant, l bilan maiqu écrit : m = m = m (35) 21 En général, l débit - volum ntrant t ortant n ont pa égaux. 16

Prmir princip m (h h ) + 1 2 (V 2 V 2 ) + g(z - z ) = W u + Q (36) Duxièm princip m ( ) δq (37) T On introduit alor, dan c ca, l notation uivant : W u m = w u rprént l travail util rçu par unité d ma du fluid. Q = q rprént la quantité d chalur rçu par m unité d ma du fluid. Tranformation avc un ul écoulmnt ntrant t un ul écoulmnt ortant : Prmir princip : Duxièm princip : (h h ) + 1 2 (V 2 V 2 ) + g(z z ) = ω u + q (38) ( ) δq (39) T L application d c équation au fonctionnmnt d un apparil t indépndant du tmp. Ca particulir d un évolution adiabatiqu (q = 0) prmir princip : (h h ) + 1 2 (V 2 V 2 ) + g(z z ) = ω u (40) duxièm princip : m ( ) 0 (41) Au cour d un évolution adiabatiqu irrévribl, l ntropi du fluid n put qu augmntr ntr l ntré t la orti du volum d contrôl. > (42) Un évolution adiabatiqu révribl t un évolution à ntropi contant, c't-à-dir un évolution intropiqu. = (43) Ca particulir d un évolution iothrm révribl (T = contant) Pour l'xprion du prmir princip, on rtrouv 17

la rlation (38). En rvanch, l'xprion du duxièm princip dvint : m ( ) = δ Q T = 1 T δq = Q T où ncor, T( ) = Q = q m (44) II.3. Travail mi n ju au cour d'un E.R.P. révribl 22 a) E.R.P. révribl t adiabatiqu Prmir princip : ( ) + 1 2 V ω u = h h 2 2 ( V ) + g z z ( ) Duxièm princip : = D aprè l idntité thrmodynamiqu 23 : dh = Td + vdp (45) Or : d = 0 (car adiabatiqu révribl) D où, n intégrant ntr l'ntré t la orti, on obtint : dh = vdp h h = vdp (46) En rportant ctt rlation dan l xprion du prmir princip, on obtint pour un évolution intropiqu : ω u = vdp + 1 V 2 2 V 2 b) E.R.P. révribl t iothrm. Prmir princip : ( ) q + 1 2 V ω u = h h ( ) + g z z ( ) (47) 2 2 ( V ) + g z z ( ) Duxièm princip : T( ) = q Conidéron d nouvau l idntité thrmodynamiqu (45), on obtint : Td = dh vdp T ( ) = h h vdp (48) 22 Il t poibl d'établir un xprion prmttant d'obtnir l travail ffctué au cour d'un évolution E.R.P. révribl. Ctt xprion favori la compréhnion d variabl ignificativ pour un tll évolution. 23 Pour un ytèm impl dont l nombr d mol rt contant, l nthalpi t un fonction d l ntropi t d la prion. 18

Par uit, (h h ) q = vdp (49) En rportant ctt rlation dan l xprion du prmir princip, on obtint égalmnt pour un évolution iothrm révribl : ω u = vdp + 1 V 2 2 V 2 ( ) + g z z ( ) c) Généraliation pour un E.R.P. révribl 24 Travail échangé au cour d un évolution révribl avc écoulmnt n régim prmannt : ω u = vdp + 1 V 2 2 V 2 ( ) + g z z ( ) (50) Rmarqu Dan l ca d un E.R.P. révribl où l travail t nul (comm l écoulmnt dan un tuyèr) t où l fluid t incompribl (l volum maiqu dvint un contant), l intégration d l équation (50) donn 25 : ( ) + 1 2 V v P P 2 2 ( V ) + g z z ( ) = 0 (51) d) Travail d comprion t d détnt Ctt xprion du travail appliqu ouvnt à la grand cla d évolution qu décrivnt l turbin t l comprur t durant lqull l variation d énrgi cinétiqu t potntill du fluid motur ont faibl. L évolution modèl pour c machin t donc un E.R.P. révribl, an variation d énrgi cinétiqu t potntill. Pour c typ d évolution, l équation (50) réduit à la form uivant : ω u = vdp (52) Il découl d c réultat qu l travail d rotation d un arbr aocié à c typ d évolution t étroitmnt lié au volum maiqu du fluid au cour d l évolution. 24 On montr qu'à la limit, tout évolution révribl put êtr décompoé n un éri altrné d'évolution adiabatiqu t iothrm révribl. 25 Ctt équation t connu ou l nom d équation d Brnoulli (mécaniqu d fluid). 19

Travail d comprion Ctt xprion montr qu l travail d comprion t d autant plu faibl qu l volum maiqu t ptit : aini, il t baucoup plu économiqu d élvr la prion d un liquid (ca d un pomp) qu cll d un gaz (ca d un comprur). Par aillur, c volum maiqu étant, pour un gaz, d autant plu faibl qu la tmpératur t ba, on voit l intérêt d rfroidir l comprur 26. Néanmoin, l implantation d un dipoitif d rfroidimnt n t pa toujour tchniqumnt poibl, ni économiqumnt jutifié. Aui, la plupart d comprur n ont pa rfroidi 27. Travail d détnt Contrairmnt au travail d comprion, l travail d détnt t d autant plu élvé qu l volum maiqu t élvé : on comprnd aini l intérêt d réchauffr l turbin. II.4. Application élémntair d'un Écoulmnt n Régim Prmannt a) Détnt d Joul - Thomon Définition Il agit d un écoulmnt n régim prmannt à travr un rtriction (figur 7), dtiné à produir un chut d prion (robint partillmnt ouvrt/frmé). L fft Joul Thomon t un phénomèn xtrêmmnt important, mi n œuvr dan l procédé d rfroidimnt t d liquéfaction d gaz. Dan c ca, l fft réult d la détnt d un gaz à travr un bouchon porux ou à travr un tub capillair. 26 C rfroidimnt put êtr réalié par convction autour d ailtt ur l cartr, ou êtr réalié par un dipoitif pécifiqu d circulation d un fluid réfrigérant. 27 Par contr, lorqu la comprion t fractionné ur pluiur corp, l fluid t fréqummnt rfroidi ntr l corp dan un échangur thrmiqu. 20

Bilan énrgétiqu Surfac d contrôl Écoulmnt du fluid (P 1, T 1 ) Rtriction (P 2, T 2 ) Figur 7 : Rpréntation d l'écoulmnt d'un fluid à travr un rtriction Dan la plupart d ca, l ralntimnt du fluid produit i rapidmnt t dan un pac tllmnt rtrint, qu'il n'y a pa uffiammnt d tmp, ni un ction uffiammnt grand, pour qu'il y ait un quantité appréciabl d chalur échangé. Donc, nou pouvon habitullmnt uppor qu d tll évolution ont adiabatiqu (q = 0). Par aillur, l travail util w u y ait toujour nul (pa d parti mobil) t l variation d'énrgi cinétiqu t potntill ont n général négligabl. La rlation (38) dvint : ( ) + 1 2 / h h V 2 2 ( V / ) + g z / / ( ) = / z w u + q / (53) La détnt d Joul - Thomon caractéri par la conrvation d l nthalpi : h = h. L évolution t dit inthalpiqu 28. Cofficint d Joul - Thomon L xpérinc montr qu i la tmpératur initial du gaz t upériur à un tmpératur dit tmpératur d invrion d l fft Joul Thomon, la détnt accompagn d un réchauffmnt. Si la tmpératur initial t infériur à ctt tmpératur d invrion, la détnt accompagn d un rfroidimnt 29. L ign d la variation d tmpératur dan un détnt t donné par l ign du cofficint d Joul Thomon, défini par la rlation uivant : µ = T P h= contant (54) Si c cofficint t poitif, la détnt 28 Si la détnt d Joul - Thomon réali d façon révribl, l'évolution t non ulmnt inthalpiqu mai égalmnt intropiqu. 29 Par xmpl, l air, dont la tmpératur d invrion t 467 C, rfroidit lorqu il t détndu à partir d la tmpératur ambiant. Par contr, l hydrogèn, dan l mêm condition, réchauff : il faut l pré-rfroidir à un tmpératur infériur à a tmpératur d invrion, qui t 201 K, pour qu un tll détnt l rfroidi. 21

Figur 8 : Réau d inthalp d l azot t courb d invrion d l fft Joul Thomon. O : Point critiqu (- 146,9 C ; 34 bar). accompagn d un abaimnt d la tmpératur (car dan l ca d un détnt, dp < 0). Si c cofficint t négatif, alor la détnt accompagn d un élévation d tmpératur. C cofficint t rprénté par la pnt d inthalp dan l plan (P, T) (figur 8). L liu d point où c cofficint annul t un courb d allur paraboliqu. Un détnt n traduit par un rfroidimnt du gaz qu i l point rpréntatif d l état initial du gaz t à l intériur d la parabol. Rmarqu : dan l ca d un gaz parfait : dh = C p.dt oit µ = 0 Application à d organ d machin L vann t l détndur ont d organ d machin dtiné à contrôlr un débit ou un chut d prion. L travail util w u y ait toujour nul. L échang thrmiqu q aini qu la variation d'énrgi potntill ont n général négligabl. Enfin, la variation d'énrgi cinétiqu t n général faibl. Aini, l'évolution d'un fluid dan un vann ou un détndur t comparabl à cll d'un détnt d Joul - Thomon, c't-à-dir inthalpiqu : h 2 h 1 = 0 Par aillur, pour un ytèm comportant pluiur ntré ou orti, tl qu'un chambr d mélang, l princip d conrvation d l'énrgi 'écrit : m h = m h (55) b) Échangur thrmiqu Un échangur thrmiqu t un ytèm prmttant d réalir un échang thrmiqu ntr dux fluid. L travail util t nul, t l variation d'énrgi cinétiqu t potntill ont n général négligabl. L princip d conrvation d l'énrgi 'écrit donc : 22

h 2 - h 1 = q (56) c) Tuyèr t diffuur L tuyèr t l diffuur ont d ytèm prmttant rpctivmnt d'accélérr ou d ralntir un fluid n faiant varir la ction d paag. L travail util y t nul. Si c ytèm n ont pa rfroidi ou réchauffé par d dipoitif pécifiqu, on put l conidérr adiabatiqu. L variation d'énrgi potntill ont n général négligabl. L princip d conrvation d l'énrgi 'écrit donc : (h 2 - h 1 ) + ( c2 - c1 ) = 0 (57) d) Pomp t comprur L pomp t comprur ont d ytèm prmttant d'augmntr l'énrgi d'un fluid à partir d'un travail mécaniqu (w u > 0). L turbin réalint l'opération invr : détnt d un gaz ou d un vapur, t convrion d la chut d nthalpi corrpondant (énrgi du fluid) n travail mécaniqu (w u < 0) ur un arbr tournant. Si c ytèm n ont pa rfroidi (pour l pomp t l comprur) ou réchauffé (pour l turbin) par d dipoitif pécifiqu, on put conidérr qu'il ont adiabatiqu. L variation d'énrgi cinétiqu t potntill ont n général négligabl. L princip d conrvation d l'énrgi 'écrit donc : w u = h 2 - h 1 (58) Rmarqu - Pour un comprur à haut débit 30 : (h 2 - h 1 ) + ( c2 - c1 ) = w u (59) 30 Dan l ca d un comprur à grand débit, la variation d énrgi cinétiqu du fluid (n général d l air) n t plu négligabl, compt tnu d la vit élvé du fluid à la orti du comprur. 23

II.5. Rndmnt d'un organ d machin a) Définition Nou avon, précédmmnt, défini l rndmnt thrmiqu pour un machin décrivant un cycl. Avc l xtnion du duxièm princip aux tranformation produiant dan un volum d contrôl, on put définir l rndmnt d un organ d machin. Dan l ca d'un tranformation non cycliqu (applé aui tranformation ouvrt), l rndmnt t défini n comparant la prformanc réll d l organ d machin dan l condition donné à la prformanc qu il aurait réalié au cour d un évolution idéal. b) Ca d la turbin à vapur Pour un turbin à vapur donné fonctionnant n régim prmannt, l état d la vapur à l ntré d la turbin t la prion d orti ont connu. L rndmnt d la turbin, η (< 1), t défini comm uit : η = w rél w intropiqu (60) η = travail ffctué par unité d ma dan l condition donné travail ffctué dan un évolution adiabatiqu révribl dan l mêm condition c) Ca d la tuyèr Dan un tuyèr, l objctif t d obtnir l maximum d énrgi cinétiqu à la orti pour d condition d prion à l ntré t à la orti détrminé. L rndmnt d la tuyèr, η (< 1), t défini comm uit : η= énrgi cinétiqu obtnu dan l condition donné énrgi cinétiqu obtnu dan un évolution intropiqu η = ( E c ) rél ( ) intropiqu = E c 2 ( V ) rél 2 V ( ) intropiqu (61) d) Ca du comprur Dan l ca d un comprur, l travail rél fourni t upériur à clui qui corrpondrait à un évolution idéal. L condition d'ntré t la prion d orti 24

étant détrminé, l rndmnt, η (< 1), t alor défini comm uit : η = travail ffctué par unité d ma dan l condition idéal travail ffctué dan dan l condition donné (62) Dan l comprur d air ou d autr gaz, il y a dux évolution idéal auxqull nou pouvon comparr la prformanc réll. L dux évolution ont : Évolution adiabatiqu révribl : η comprur = ω intropiqu ω rél (63) Évolution iothrm révribl : η comprur = ω iothrm ω rél (64) 25

Modul Thrmodynamiqu2 Duxièm Parti III. ANNEXES III.1. Application du princip d conrvation d la ma Ca d un écoulmnt prpndiculair à la urfac d contrôl. dm vc da c rn Conidéron l ma dm t dm qui travrnt un élémnt d urfac da (urfac élémntair d contrôl, figur 1). On a donc : c rn dm vc = dm - dm (1) Figur 1 : Débit à travr un urfac d contrôl. c rn rprént la vit rlativ (par rapport à l élémnt d urfac da) du fluid qui travr la urfac d contrôl. En prnant comm convntion d calcul qu c rn > 0 vr l xtériur du ytèm, la ma d fluid qui travr da pndant xprim par la rlation uivant, où ρ rprént la ma volumiqu du fluid: dm - dm = ρ (-c rn ) da (2) d où, dm - dm = ρ c rn da (3) D plu, dan l volum d contrôl, l bilan maiqu conduit à (où dv rprént la variation d volum du volum d contrôl) : dm vc = ρ dv (4) D'aprè la loi d conrvation d la ma, la variation maiqu à travr la urfac d contrôl équivaut à la variation maiqu dan l volum d contrôl. Donc : En intégrant ur tout l domain, on obtint : dm vc = ρ dv = -ρ c rn da (5) ρdv + ρc rn da = 0 (6) V A La loi d conrvation d la ma écrit alor (puiqu la ma conrv dan l tmp) : d ρdv + ρc rn da = 0 (7) V A 26

ou ncor : d ρdv + (m V m) = 0 (8) L'équation (8) 'appliqu, qu la urfac d contrôl oit fix ou n mouvmnt, ou qu ll déform. L prmir trm rprént l taux d variation d la ma dan l volum d contrôl. L duxièm trm rprént la ma travrant la urfac d contrôl par unité d tmp. III.2. L comprur L comprur ont d compoant largmnt utilié, dan l cycl d production d énrgi mécaniqu (turbin à gaz, turboréactur), dan l cycl frigorifiqu, aini qu dan la uralimntation d motur, ou dan l alimntation d accumulatur d énrgi pnumatiqu (alimntation d outillag ou d automat). L dux caractéritiqu ntill d un comprur ont l taux d comprion (P 2 /P 1, rapport d la prion d orti P 2 ur la prion P 1 ) t l débit maiqu. L comprur à piton ont caractérié par un fonctionnmnt intrmittnt t donc bruyant. Il ont dtiné aux faibl puianc (0,1 à 10 kw) où il ont avantagé par lur faibl coût, t impont dan l application nécitant d taux d comprion élvé, d l ordr d 100, comm, par xmpl, pour la liquéfaction d gaz. L comprur rotatif comprnnnt l vntilatur, l oufflant t l comprur proprmnt dit. L vntilatur t l oufflant ont dtiné à ntrtnir un mouvmnt du gaz (aération d locaux, tirag d chminé, tc.). Il autorint d débit trè important, juqu à 500 m 3 /, mai ont d taux d comprion faibl, d l ordr d 1,05 pour l vntilatur, à 3 ou 4 pour l oufflant. L comprur à paltt t l comprur à vi, d dévloppmnt tchnologiqu plu récnt, tndnt à rmplacr l comprur à piton dan l domain d taux d comprion modéré, d l ordr d 10. L turbocomprur axiaux ont particulièrmnt adapté aux application qui rquièrnt d puianc élvé (1 à 100 MW), xigant d débit important (10 à 100 m 3 /). Il ont ouvnt contitué d pluiur étag d comprion. Un étag t contitué d un nmbl d aub ou ailtt monté radialmnt ur un rotor, t d un nmbl d aub fix monté dan l tator, dont l but t d «rdrr» la vit du gaz uivant l ax du comprur. L rapport d comprion par étag t faibl, d l ordr d 1,2, mai un nombr élvé d étag (d 10 à 20) prmt d obtnir d rapport d comprion élvé (d 15 à 30). C étag ont groupé n 27

«corp», l corp ba prion (B.P.) rgroupant l étag d ntré, l corp moynn prion (M.P.) l étag cntraux, t l corp haut prion (H.P.) l étag d quu du comprur. L rchrch actull portnt ur un élévation d la vit d rotation afin d augmntr la puianc maiqu, c qui conduit à d problèm d aérodynamiqu uproniqu t d vit critiqu d arbr. L turbocomprur radiaux ou cntrifug ont adapté aux débit-volum plu faibl, t rmplacnt parfoi l corp H.P. d comprur axiaux. L taux d comprion par étag t plu élvé qu clui d comprur axiaux, mai lur rndmnt t infériur. Lur puianc maiqu élvé l impo dan l intallation mbarqué (hélicoptèr, miil). III.3. Ca particulir d un Écoulmnt Uniform (E.U.) D nombru évolution n thrmodynamiqu font intrvnir un écoulmnt non prmannt. Un crtain nombr d c ca (rmpliag ou vidang d'un rérvoir frmé, figur 2) puvnt êtr rprénté az xactmnt, n prmièr approximation, par un modèl implifié : l'écoulmnt uniform. Figur 2 : Rmpliag d un rérvoir. L hypothè rlativ à un écoulmnt uniform ont l uivant : (1) L volum d contrôl t fix par rapport au ytèm d coordonné ; (2) Pour un pha donné du volum d contrôl (olid, liquid, gaz), l volum maiqu n vari pa, mai la ma du volum d contrôl put varir dan l tmp ; (3) Pour un pha donné (olid, liquid, gaz) qui travr la urfac d contrôl, l volum maiqu n vari pa. En rvanch, la omm d débit ntrant put êtr différnt d la omm d débit ortant : m m 28

L hypothè (2) t (3) impliqunt qu l volum d contrôl pa d l état 1 à l état 2, pndant l'intrvall d tmp t, lon l bilan maiqu uivant : m 2 m 1 = m m (9) Exprion du prmir princip Rprnon l équation général : de vc + m (h + 1 2 V2 + gz ) - m (h + 1 2 V 2 + gz ) = W u + Q Intégron ctt rlation ur un intrvall d tmp t (ntr 1 t 2). Étant donné qu : 2 de vc 2 = d m(u + 1 2 V 2 + gz) = E 2 E 1 = m 2 2 m 1 1 1 2 de vc 1 [ ] = m 2 (u 2 + 1 2 V 2 2 + gz 2 ) m 1 (u 1 + 1 2 V 1 2 + gz 1 ) 1 t m (h + 1 2 V2 + gz ) = m (h + 1 2 V2 + gz ) 0 t m (h + 1 2 V2 + gz ) = m (h + 1 2 V2 + gz ) 0 Nou pouvon écrir : Exprion du prmir princip pour un évolution avc écoulmnt uniform m 2 (u 2 + V 2 2 2 + gz ) m (u + V 1 2 1 1 2 2 + gz ) + m 1 (h + V 2 2 + gz) m (h + V 2 2 + gz ) = Q + W u (10) Exprion du duxièm princip Rprnon l équation généralié du duxièm princip : ds vc + m m δ Q T Intégron ctt rlation ur un intrvall d tmp t (ntr 1 t 2). Étant donné qu : 29

2 1 ds vc = 2 1 d(m vc ) = (m 2 2 m 1 1 ) vc t ( m ) = m t 0 t ( m ) = m 0 Nou pouvon écrir : ( m 2 2 - m 1 1 ) + m m t δq (11) T 0 Cpndant, puiqu, dan c typ d évolution, la tmpératur t uniform dan tout l volum d contrôl à chaqu intant, l intégral du mmbr d droit d l équation réduit à : d ort qu : t δq = T 0 t 1 T δ Q = 0 t 0 Q T Exprion du duxièm princip pour un évolution avc écoulmnt uniform ( m 2 2 - m 1 1 ) + m m t Q (12) T 0 30