Optique géométrique OPTIQUE GEOMETRIQUE

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1 OPTIQUE GEOMETRIQUE I On considère un système de trois lentilles minces L1, L2 et L3, de centres optiques O1, O2 et O3 et de distances focales images respectives f1, f2 et f3. Les lentilles L1 et L2 sont divergentes. La lentille L3 est convergente. On pose a = O 1 O 2 et b = O 2 O 3. Les distances a et b sont réglées de façon à ce qu'un faisceau cylindrique de rayon R1 dont l'axe est l'axe optique du système donne en sortie un faisceau cylindrique de même axe et de rayon R2 > R1. 1) Un tel système est-il convergent, divergent, afocal ou catadioptrique? 2) Pour que le système ait la propriété demandée, quelle proposition ci-dessous doit-il vérifier? a) L'image donnée par L2 du foyer objet de L1 est au foyer image de L3. b) L'image donnée par L3 du foyer image de L2 est au foyer image de L1. c) L'image donnée par L2 du foyer image de L1 est au foyer objet de L3. d) L'image donnée par L3 du foyer objet de L2 est au foyer objet de L1. 3) Déduire, de l'application de la relation de conjugaison de Descartes, une relation entre a, b, f1, f2 et f3. 4) Exprimer, à l'aide de considérations géométriques simples sur le schéma de la figure ci-dessus, le rapport R2/R1 en fonction de a, b, f1 et f3. 5) Déduire la valeur de a en fonction de R1, R2, f1, f2 et f3. 6) Déduire la valeur de b en fonction de R1, R2, f1, f2 et f3. 7) On donne : f 1 = 20 mm; f 2 = 20 mm; f 3 = 200 mm; R2/R1 = 20. Calculer l'encombrement d = O 1 O 3 du système. Réponse : 1 b f 3 1 = 1 ; a + f 1 f 2 R 2 = R 1 f 3 f 1 ( f 1 a) f 3 b ( ) ; a = f 1 + f2 ( 1 + R 2 R 1 f 1 f 3 ); b = f3 + f2 ( 1 + R 1 f 3 ); d = 19 cm. R 2 f 1 II Une lentille mince convergente L a pour centre O, pour foyer objet F et pour foyer image F '; sa distance focale image est f ' > 0. Un miroir plan M centré en S sur l'axe Oz de la lentille, est disposé parallèlement à celle-ci à la distance d = 2 f ' (fig. 7). Toutes les abscisses des points de l'axe seront comptées positivement dans le sens de l'axe Oz (sens de la lumière incidente). Un objet AB perpendiculaire à l'axe Oz est disposé de telle sorte que p = OA. Soit A1B1 son image après traversée de L et réflexion sur M. 1) Calculer OA 1 en fonction de p. 2) Soit A2B2 l'image définitive de AB après retraversée de la lentille L. Calculer OA 2 en fonction de p. 3) Trouver la condition à laquelle satisfait p lorsqu'il correspond à deux points de l'axe, dits points de Bravais, pour lesquels l'image A2B2 est dans le même plan que l'objet AB. 4) En déduire les valeurs numériques p1 et p2 (p1 < p2) de p qui satisfont à cette condition, sachant que f ' = 10 cm. 5) Déterminer en fonction de p, dans la cas d'une position quelconque de l'objet AB, le grandissement transversal γ du système. 6) Calculer les valeurs numériques γ1 et γ2 du grandissement transversal γ correspondant respectivement aux abscisses p1 et p2 des points de Bravais. B A Figure 7 L F O F ' S z d M Réponse : OA 1 = γ = ( ) p + f ' f ' 3p + 4 f ' f ' 2p + 3 f ' ; γ 1 = + 1; γ2 = - 1. ; OA 2 = ( ) f ' 3p + 4 f ' ; p f ' p + 2 f ' 2 = 0; p1 = - 20 cm; p2 = - 10 cm; 2p + 3 f ' /16

2 III Le grossissement en optique : étude d une lunette astronomique On considère une lunette astronomique formée : * d un objectif constitué d une lentille mince convergente L 1 de distance focale image f ' 1 = O 1 F' 1 > 0. * d un oculaire constitué d une lentille mince convergente L 2 de distance focale image f ' 2 = O 2 F' 2 > 0. Ces deux lentilles ont même axe optique Δ. On rappelle qu un œil normal voit net un objet sans accommoder quand celui-ci est placé à l infini. On souhaite observer la planète Mars, qui est vue à l œil nu sous un diamètre apparent α. 1) Pour voir la planète nette à travers la lunette, on forme un système afocal. a) Que cela signifie-t-il? Que cela implique-t-il pour les positions des lentilles? b) Faire le schéma de la lunette en prenant f ' 1 = 5f ' 2. Dessiner sur ce schéma la marche à travers la lunette d un faisceau lumineux formé de rayons issus de l étoile. On appellera A' B' l image intermédiaire. c) On souhaite photographier cette planète. Où faut-il placer la pellicule? 2) On note α l angle que forment les rayons émergents extrêmes en sortie de la lunette. a) L image est-elle droite ou renversée? b) La lunette est caractérisée par son grossissement G = α'. Exprimer G en fonction de f ' 1 et f ' 2. α c) Le principal défaut d une lentille est appelé défaut d aberrations chromatiques : expliquer brièvement l origine de ce défaut et ses conséquences. Pour quelle raison un miroir n a-t-il pas ce défaut? 3) On veut augmenter le grossissement de cette lunette et redresser l image. Pour cela, on interpose entre L 1 et L 2 une lentille convergente L 3 de distance focale f ' 3 = O 3 F' 3 > 0. L oculaire L 2 est déplacé pour avoir de la planète une image nette à l infini à travers le nouvel ensemble optique. a) Quel couple de points doit conjuguer L 3 pour qu il en soit ainsi? b) On appelle γ 3 le grandissement de la lentille L 3. En déduire O 3 F' 1 en fonction de f ' 3 et γ 3. c) Faire un schéma. (on placera O 3 entre F 1 et F 2, et on appellera A' B' la première image intermédiaire et A" B" la seconde image intermédiaire). d) En déduire le nouveau grossissement G en fonction de γ 3 et G. Comparer à G, en norme et en signe. Réponse : F 1 = F 2 soit O 1 O 2 = f 1 + f 2 ; image renversée ; G = f ' 1 ; O 3 F' 1 = 1 γ 3 f ' 3 ; G = γ 3 G. f ' 2 γ 3 IV Doublet On étudie un doublet comportant deux lentilles L 1 et L 2, de centres O 1 et O 2 représenté sur la feuille 1. Sur la gauche un rayon incident pénètre dans le système et émerge sur la partie droite, comme indiqué sur la figure. Un carreau correspond à un centimètre. 1) Compléter sur la feuille 1 le trajet du rayon lumineux. 2) En déduire la nature de chacune des deux lentilles (convergente ou divergente?). 3) Soient F 1 et F 1 les foyers objet et image de la lentille L 1, F 2 et F 2 les foyers objet et image de la lentille L 2. Trouver graphiquement la position de ces foyers. Préciser les valeurs algébriques O 1 F' 1 et O 2 F' 2. 4) Qu appellent-on foyer objet F, foyer image F d un système optique? Trouver graphiquement la position des ces foyers. Préciser les valeurs algébriques O 1 F et O 1 F'. On choisira une couleur pour chaque trajet réel des rayons lumineux. 5) Si O 1 F' 1 = + 4 cm, O 2 F' 2 = - 2 cm et O 1 O 2 = + 7 cm, déterminer par le calcul les valeurs algébriques O 1 F et O 1 F' /16

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4 Réponse : L 1 convergente ; L 2 divergente ; O 1 F' = + 5,8 cm. O 1 F' 1 = + 3,8 cm ; O 2 F' 2 = - 2 cm ; O 1 F = - 6,7 cm ; O 2 F' = - 1,2 cm ; O 1 F = - 7,2 cm ; V Le microscope sera ici modélisé par une lentille mince convergente (L1) dite objectif, de centre optique O1 et de distance focale f'1 = 5 mm et une lentille mince convergente L2 appelée oculaire, de centre optique O2 et de distance focale f'2 = 2 cm. Les deux lentilles sont coaxiales et leur distance O1O2 = l = 18,5 cm. L'objectif donne de l'objet AB une image A1B1 réelle agrandie, puis l'oculaire, fonctionnant en loupe, donne de A1B1 une image finale A'B' virtuelle, agrandie, et renversée par rapport à AB. L'œil est situé au foyer principal image F'2 de l'oculaire. 1) Déterminer la position de l'objet AB : - lorsque l'observateur met au point l'image A'B' sur l'infini; - lorsqu'il met au point cette image à 25 cm de l'œil. En déduire la latitude de mise au point, c'est-à-dire la distance des deux positions précédentes de l'objet. Montrer que ce résultat explique l'existence d'une vis micrométrique pour effectuer la mise au point. 2) Calculer le diamètre apparent α de l'objet AB, de 0,02 mm, vu à «l'œil nu» lorsqu'il est à 25 cm de cet œil, puis le diamètre apparent α' de l'image A'B' lorsqu'elle est observée à l'infini. α' Calculer le grossissement G = du microscope. α Réponse : O 1 A = -0,516 cm puis -0,515 cm; 1,55 µm; 400. VI Macrophotographie Un objectif photographique est constitué d'une lentille convergente L1 de centre O1, de distance focale image f'1 = O 1 F' 1 = 75 mm. La position de la pellicule est définie par le point P tel que O 1 F' 1 OP O 1 F' 1 + τ'; τ' = 4,25 mm est appelé le tirage de l'objectif. 1) On considère un objet AB = 1 cm situé à une distance AO 1 = 35 cm devant l'objectif dans un plan perpendiculaire à l'axe. Peut-on photographier cet objet en ayant une image nette? 2) On place devant l'objectif une lentille additionnelle L2 convergente de centre O2, de vergence V2 = 3 δ à une distance O1O2 = 5 cm constante. a) Le tirage τ' de l'appareil étant inchangé, déterminer l'ensemble des points A de l'axe qui peuvent, après mise au point, être photographiés en donnant une image nette. b) On désire photographier l'objet défini à la question 1). La mise au point étant faite (on vérifiera qu'il est possible maintenant d'avoir une image nette), calculer la grandeur A'B' de l'image portée sur la pellicule. c) Faire un schéma du système qui, sans respecter l'échelle, respecte la position relative des différents éléments de l'appareil photographique (positions des lentilles, foyers) et de l'objet. Tracer deux rayons issus du point B et en déduire l'image B' sur la pellicule. Réponse : non; 0 F 2 A 66,06 mm; -2,52 mm. VII Réfraction Un solide transparent d indice de réfraction n 1, est plongé dans un liquide transparent d indice de réfraction n 2. Un faisceau lumineux, en incidence normale, vient éclairer le solide, et après la traversée de celui-ci, illumine un écran situé sous le solide /16

5 1) En reproduisant fidèlement la figure ci-dessus, tracer l allure du prolongement des rayons réfractés issus de A, B, C et D, jusqu à l écran, dans le cas où l indice de réfraction n 1 est supérieur à n 2, puis dans le cas où l indice de réfraction n 1 est inférieur à n 2. On ne tiendra pas compte des rayons réfléchis. En déduire les zones de plus forte et de plus faible intensité lumineuse sur l écran. 2) Application Un collectionneur de gemmes possède trois petites pierres transparentes et incolores : une moissanite, un zircon et un morceau de verre à fort indice (flint), ainsi qu un flacon d iodure de méthylène liquide. Les propriétés physiques de ces quatre substances sont résumées dans le tableau ci-dessous : Substance Masse volumique (kg/m -3 ) Indice de réfraction Zircon ,95 Moissanite ,70 Verre flint ,64 Iodure de méthylène ,75 Les trois pierres ont été interverties, si bien que leur propriétaire doit conduire une série d expériences pour les reconnaître. a) L immersion des trois pierres dans l iodure de méthylène, permet de reconnaître immédiatement l une des trois pierres. Laquelle? b) Les deux pierres restantes sont posées sur un morceau de verre dépoli, recouvertes d iodure de méthylène, puis éclairées depuis le haut. Un miroir incliné situé sous le verre dépoli permet d observer le verre dépoli par en dessous (figure ci-dessous à gauche). La pierre numéro 1 est entourée d un contour brillant, et ses arêtes vives sont sombres. La pierre numéro 2 est entourée d un contour sombre, et les arêtes paraissent brillantes (figure ci-dessous à droite). Identifier les pierres numéro 1 et numéro 2. Réponse : on reconnaît la moissanite par immersion ; pierre n 1 : flint et pierre n 2 : zircon. VIII Observation des anneaux de Saturne avec une lunette afocale. Un astronome pointe sa lunette vers Saturne dans le ciel nocturne dégagé : on assimile cette planète à une source de lumière très éloignée, notée A, et une portion de l anneau le plus brillant à une autre source notée B (cf. figure 1 en annexe). Ces deux sources sont séparées par une zone sombre. La lunette reçoit de chacune de ces deux sources des faisceaux de rayons parallèles, l axe de la lunette étant parallèle à ceux venant de A. Le rayon de l anneau est de l ordre de R A = 10 8 m, la distance entre la Terre et Saturne est de l ordre de D = 1, m. On note α l angle entre les deux directions. La lunette forme un système afocal, c est-à-dire qu il ne possède pas de foyer : deux rayons incidents parallèles émergent parallèlement du système optique. Elle est constituée de deux lentilles minces : la première, l objectif, a pour centre O 1 et pour vergence V 1 = 1/f 1 = +1,0 δ ; la seconde, l oculaire, a pour centre O 2 et pour vergence V 2 = 1/f 2 = -5,0 δ ; elles sont écartées de O 1 O 2 = +0,80m. La figure 1, complétée, sera rendue avec la copie : l échelle sur l axe est 1/10 et l angle α est volontairement exagéré. Les conditions de Gauss sont supposées vérifiées. 1) Calculer numériquement l angle α. 2) Construire l image A 1 B 1 de A B par l objectif. Est-ce une image réelle ou virtuelle? Sera-t-elle considérée comme un objet réel ou virtuel pour l oculaire? 3) Tracer des rayons émergents issus de A 1 et B 1 après traversée de l oculaire. Expliquer pourquoi cette lunette est bien afocale. 4) On note α l angle entre la direction des faisceaux de rayons émergents issus de A et celle des rayons émergents issus de B. On appelle grossissement le rapport G = α /α. Exprimer la valeur absolue de G en fonction de f 1 et f 2 et la calculer numériquement /16

6 5) L œil, sans instrument d optique, ne peut distinguer deux rayons que si l angle qui les sépare est supérieur ou égal à α o = 1, rad (c est le pouvoir séparateur de l œil). Vérifier que l utilisation de la lunette est indispensable pour distinguer les anneaux de Saturne. 6) Une caméra numérique remplace l œil derrière l oculaire : elle est constituée par une lentille convergente de vergence V 3 = + 50 δ (remplaçant le cristallin) et une plaque tapissée de cellules photosensibles en nid d abeille distantes de 1 µm (remplaçant les cellules de la rétine) placée dans le plan focal de la lentille. Sur la figure 2 en annexe, on a noirci les cellules recevant de la lumière venant de la planète Saturne elle-même (où il apparaît qu elle n est pas réellement ponctuelle car son image occupe plusieurs pixels) ; noircir les cellules qui recevront de la lumière venant de l anneau (on suppose qu il est vu de face et de faible largeur). En déduire pourquoi on peut effectivement reconnaître la forme d un anneau. La figure 2, complétée, sera rendue avec la copie. ANNEXE (à rendre avec la copie) Figure 2 (Les 19 pixels de la tache formée par Saturne ont été grisés) Réponse : α = 0, rad ; G = 5. IX Doublet La lentille mince L 1 représentée ci-dessous de centre optique O 1 et de distance focale image f ' 1 est utilisée pour faire l image d un objet réel BC de taille 15 cm. Sur la figure ci-après, on a représenté un rayon lumineux incident passant par le point C. Chaque graduation le long de l axe optique correspond à une distance de 5 cm /16

7 On donnera la valeur numérique de toutes les grandeurs demandées. 1) En s appuyant sur la construction graphique du rayon émergent croisant l axe optique en 2) Déterminer la position O 1 A d un point objet A donnant une image en A. A', déterminer 3) Déterminer la position O 1 B' de l image B de B par la lentille L 1. 4) Quelle est la taille de B C, image de BC par L 1? 5) Une deuxième lentille L 2 convergente, de distance focale image f ' 2 = 7,5cm et de centre optique O 2, est placée après la lentille L 1 à une distance O 1 O 2 telle que l image B" de B par l ensemble { L 1 + L 2 } soit au point A. Déterminer les deux distances réalisant cette conjugaison optique. 6) Quelles sont alors les tailles des images B"C" de BC par l ensemble { L 1 + L 2 } pour les deux positions précédentes de L 2? Réponse : f ' 1 = 10cm ; O 1 A = +7,5cm ; O 1 B' = 5cm ; B C = 7,5 cm ; O 1 O 2 = +19,1cm et O 1 O 2 = +5,9cm ; B"C" = 16,6 cm et B"C" = 3,4 cm. X Photographie de l expérience de Rüchardt Le but de cette expérience est la mesure d une grandeur thermodynamique caractéristique d un gaz. Ce gaz est contenu dans un récipient surmonté d un tube vertical en verre. Une bille en acier peut se déplacer dans ce tube. La bille effectue des oscillations sinusoïdales d amplitude A voisine de 10 cm à une fréquence proche de f = 1 Hz. 1) A quelle distance mettre l appareil photo? On veut photographier l ensemble du dispositif expérimental (de hauteur totale h = 1 m). On utilise un objectif photographique assimilable à une lentille mince convergente de distance focale image f '= 50 mm. L image est enregistrée sur une pellicule notée Π de dimensions 50 mm * 50 mm. a) Pour une lentille convergente de centre O, construire l image A B d un objet réel AB perpendiculaire à l axe optique, A appartenant à l axe optique, placé avant le foyer objet F (voir figure 5). b) Utiliser cette construction pour démontrer la relation de conjugaison de Newton FA.F' A' = f ' 2 d une lentille mince et l expression du grandissement transversal F' A' γ =. f ' c) A quelle distance minimale de F peut-on mettre le dispositif expérimental pour le voir entièrement sur la pellicule? f ' 1. 2) Quel diaphragme utiliser? Pour obtenir une photo bien nette, sur laquelle la bille apparaît figée, on estime que la bille ne doit pas se déplacer de plus de d = 1 mm pendant la durée de la prise de vue τ. D autre part, la quantité totale de photons atteignant la pellicule doit être à peu près constante pour obtenir une photo ni sousexposée (sombre car pas assez de photons pour impressionner la pellicule) ni surexposée (blanchie par un excès de photons). Pour pouvoir remplir cette condition à plusieurs durées de prise de vue τ, on accole un diaphragme à l objectif. Le diamètre D du diaphragme est réglable afin de laisser entrer plus ou moins de lumière suivant l intensité de l éclairage et la durée de la prise de /16

8 vue τ. Pour l objectif (de distance focale image f '= 50 mm) et la pellicule utilisés, on doit choisir D = 10 mm pour une durée de prise de vue de τ = s dans les conditions d éclairage de l expérience. a) Calculer la vitesse maximale de la bille. b) Estimer la durée maximale τ max de la prise de vue pour avoir une photo nette, sans flou de bouger en fonction de d, ω et A ( ω est la pulsation des oscillations). Faire l application numérique. c) Justifier que la quantité de photons atteignant la pellicule est proportionnelle à τ et D 2. En déduire le diamètre D du diaphragme qu il faut alors utiliser pour obtenir une photo sans flou de bouger. 3) Profondeur de champ La profondeur de champ est l intervalle de valeurs de la distance OA sur lequel les images peuvent être considérées comme nettes sur la pellicule Π. Les grains de la pellicule ont un diamètre a = 10 µm donc les images les plus petites ont un diamètre a = 10 µm (petite tache et non un point). Le dispositif photographié est à la distance 1 m de l objectif. Sur la figure en annexe, la pellicule est dans le plan de l image A d un objet A à 1 m du foyer F de l objectif. La distance focale de l objectif est toujours f '= 50 mm mais l échelle n est pas respectée afin que la construction soit lisible. Le diaphragme a pour diamètre D = 15mm. On a tracé le rayon incident A 1 I le plus incliné par rapport à l axe optique où A 1 est un objet sur l axe optique différent de A. a) Tracer la marche du rayon A 1 I après l objectif. On le fera sur l annexe en fin d énoncé. b) L image A' 1 de A 1 sur la pellicule n est pas un point mais une tache de rayon r. En utilisant le théorème de Thalès (ou toute autre méthode), donner r en fonction de D, OA' 1 et A' A' 1. c) En déduire la valeur numérique maximale acceptable de A' A' 1 pour que l image de A 1 soit vue nette sur la photo. Cette valeur permet ensuite de remonter à la valeur maximale de AA 1. On trouve (calcul non demandé) AA 1 < 2,3cm. d) Cela convient-il pour photographier le dispositif? XI Etude sommaire de l optique d un capteur photographique de smartphone /16

9 Les téléphones portables intègrent maintenant quasi systématiquement une fonction appareil photographique. Les dispositifs photographiques sont donc de conception très simple afin que le prix de revient soit le plus bas possible et que leur encombrement et leur poids soient minimes. L objectif n est composé que d une seule lentille mince L, de diamètre utile D L et le capteur CCD se situe à une distance d fixe de la lentille. Aucune mise au point n est possible, c est à dire que la distance d est fixée lors de la fabrication et n est pas modifiable par l utilisateur ou par un dispositif autofocus, contrairement au cas des objectifs classiques. Nous travaillerons dans les conditions de Gauss. On rappelle les formules de conjugaison de Descartes et de Newton : 1 OA' 1 OA = 1 et f ' FA.F' A' = f ' 2. 1) Conditions de Gauss a) Rappeler en quoi consistent les conditions de Gauss ainsi que leurs avantages et leurs inconvénients. b) Comment fait-on en pratique pour travailler dans les conditions de Gauss? 2) En fonctionnement usuel, les objets et les images données par L sur le capteur sont réels. En s intéressant à la nature convergente ou divergente du faisceau incident et du faisceau émergent, justifier la nature convergente ou divergente de la lentille L servant d objectif. Par la suite, sa distance focale sera notée f. 3) L objet à photographier étant situé à l infini, déterminer la valeur de la distance d qu il faudrait prévoir lors de la fabrication pour que son image soit nette sur le capteur CCD. 4) Quelle est alors la dimension X sur le capteur CCD de l image de la Lune qui a un diamètre apparent correspondant à l angle α = 9, rad? On pourra s aider d une construction pour répondre. Faire l application numérique pour f = 3,9 mm. 5) Un objet ponctuel A, qui n est pas situé à l infini, a son image en dehors du plan du capteur et donne sur celui-ci une tache de diamètre D A. Soit d A la distance entre le point A et la lentille (d A est une distance, et est donc positive). a) Exprimer la distance OA en fonction de f et d A. b) Montrer que l expression de D A en fonction de D L (diamètre utile de la lentille), f et d A est : f ' D A' = D L.. d A 6) Le capteur est formé de récepteurs que l on supposera circulaires et de même diamètre ε. Une image, après codage numérique et affichage sur l écran de l appareil, paraît nette si un point objet n a éclairé qu un seul grain récepteur du capteur et a donc donné finalement une tache de diamètre inférieur ou égal à ε. Sachant que f = 3,9 mm, que D L = 2,0 mm et que ε = 15 µm, calculer numériquement la position du point A (donnée par d A ) le plus proche qui est encore net après traitement. 7) Afin de pouvoir diminuer d A, on augmente la distance d afin qu un point à l infini soit à la limite de netteté : il donne donc une tache de diamètre ε sur le capteur. a) Faire un schéma du dispositif montrant la tache donnée par l objet à l infini. b) Déterminer d et faire l application numérique. c) Déterminer la nouvelle distance d A correspondant au point le plus près donnant lui aussi une tache de diamètre ε sur la pellicule et faire l application numérique. Comment vérifier rapidement la cohérence de cette expression avec le résultat de la question 6)? Réponse : d = f ; X = 0,035 mm ; OA' = d A f ' d A f ' ; d A = 52 cm ; d = f ' 1+ ε = 3,93mm ; D L d A = f ' 2 1+ D L = 26cm. ε /16

10 XII Lecteur de compact disc 1 On rappelle les relations de conjugaison de Descartes OA' 1 OA = 1 et de Newton f ' FA.F' A' = f ' 2 pour les lentilles, en notant O le centre optique, f la distance focale image, A et A l objet et l image, et F et F les foyers objet et image. Dans un lecteur de compact disc, la lumière émise par une diode laser est transformée en un faisceau parallèle par une lentille L 1. Ce faisceau est ensuite partiellement réfléchi par un "cube séparateur". Une partie de la lumière traverse ainsi la lentille L 2 qui permet de focaliser le faisceau sur le disque optique dont le coefficient de réflexion code l'information en registrée (0 ou 1). Plus précisément, ce sont les discontinuités du coefficient de réflexion qui génèrent les codes. La lumière réfléchie retraverse L 2, puis le cube séparateur pour se focaliser grâce à une lentille L 3 sur le détecteur. L'ensemble est tel que le foyer image F' 1 de L 1 coïncide avec le foyer objet F 2 de L 2. 1) Caractérisation d'un système équivalent On considère le montage optique ci-contre où les deux lentilles ont pour axe commun Δ. Les foyers F' 1 et F 2 sont confondus. a) Soit A un point objet situé sur Δ et A' son conjugué à travers les deux lentilles. Démontrer la relation de conjugaison pour l'ensemble : F' 2 A' F 1 A = f ' 2 2 f ' 1 où f' 1 et f' 2 sont les distances focales image respectives des lentilles L 1 et L 2. b) Justifier le fait que ce système optique est équivalent à la première partie du montage correspondant au lecteur optique. 2) Influence du défaut de positionnement de la source laser La source laser est considérée comme ponctuelle. a) Expliquer pourquoi sa position idéale est le foyer objet de L 1, le disque étant situé dans le plan focal image de la lentille L 2. b) On suppose que la source laser est décalée par rapport au foyer F 1 de x = FA suivant l'axe optique. On appelle x'= F' A' la mesure algébrique entre l'image A' de la source laser et le foyer F' 2. Quelle est la relation entre x' et x? c) La lentille L 2 est diaphragmée, ce qui limite la dimension du faisceau à un diamètre maximal d au niveau de la lentille. Déterminer le diamètre ε du faisceau au niveau du disque optique toujours placé dans le plan focal image de L 2. Dans le cas où la source laser est placée idéalement en F 1, la convergence du faisceau se produit dans le plan focal image de L 2. Cependant cette convergence est limitée par le phénomène de diffraction, qui crée une "tache focale" dont le diamètre ε' est donné par la relation : ε' = λ.f' 2 / d, où λ est la longueur d'onde émise par la source laser. d) Afin de ne pas augmenter la dimension de la tache de diffraction, il faut que le défaut de positionnement de la source laser engendre une tache sur le disque dont le diamètre ε soit inférieur à ε'. En déduire l'expression de la tolérance Δx sur le positionnement de la source laser par rapport à F 1, en fonction de λ, f' 1, f' 2 et d. Application numérique : calculer Δx pour λ = 780 nm, f' 1 = 1,0 cm, f' 2 = 2,0 cm et d = 5,0 mm. Ce positionnement très précis est obtenu grâce à un système d'asservissement électronique réglant la position de la source par l'action de petits électro-aimants. Réponse : x' x = f ' 2 f ' 1 2 x' ; ε = d ; x'+ f ' 2 Δx = λf ' 1 2 d 2 λf ' 2 = 3,1µm /16

11 XIII Analyse documentaire Lire le document ci-dessous «Le principe de la lecture d un disque optique» pour répondre aux questions suivantes : 1) Le codage des données a) Déterminer une valeur approchée de la vitesse linéaire v de lecture des creux en mètre par seconde. b) En déduire la vitesse de rotation en tours par minute, sachant que la vitesse angulaire en rad/s s exprime par ω = v/r, où R est le rayon du disque. 2) Le principe de la lecture des données a) L indice optique du polycarbonate est n P = 1,55. Calculer la longueur d onde du laser dans le polycarbonate. b) Vérifier que la profondeur d un «pit» est de l ordre de λ/4. c) La réflexion sur un plat n entraine aucun déphasage entre l onde incidente et l onde réfléchie. Montrer que lors de la réflexion du faisceau dans un creux, il se crée une différence de marche de λ/2. d) Expliquer pourquoi il y a alors interférences destructives au niveau d un creux. e) Que se passe-t-il au niveau d un plat? 3) Le problème de la diffraction a) Calculer le diamètre d de la tache due à la diffraction pour un CD. b) Montrer que, compte tenu des dimensions des pistes du CD, ce diamètre permet une lecture correcte. c) Faire le calcul pour un DVD sachant que la largeur d un pit vaut 0,32 µm. d) Pour un DVD, quelle doit-être la profondeur p d un creux? e) Expliquer les choix techniques faits pour un DVD, pour un Blue-ray. Justifier le nom de Blue-ray. 1. Présentation Le principe de la lecture d un disque optique Inventé en 1982 par les sociétés Sony et Philips, le CD (Compact Disc) est un disque optique de 12 cm de diamètre et de 1.2 mm d'épaisseur permettant de stocker des informations numériques. Les CD audio et CD-ROM sont constitués de 4 couches (figure 1) : un substrat en matière plastique (polycarbonate) pourvu de creux obtenus par pressage une fine pellicule métallique (or ou argent) constituant la couche réfléchissante une couche de laque acrylique anti-uv créant un film protecteur pour les données une couche en polymère servant de support aux informations imprimées Figure 1 : Coupe d un CD 2. Le codage des données Les données sont gravées sur une piste en forme de spirale qui fait près de 5 km de long, du centre vers l extérieur. Il faut faire tours pour parcourir la totalité de la piste. (figure 2) La piste physique est constituée d alvéoles d une profondeur de 0,12 µm, d une largeur de 0,67 µm et de longueur variable. On nomme creux (en anglais pit) le fond de l alvéole et on nomme plat (en anglais land) les espaces entre les alvéoles. (figures 3 et 4) Figure 2 Figure 3 : Photo de la surface d un CD Figure 4 : Pits et Lands d un CD /16

12 Pour coder des données numériques, il faut une série de 0 et de 1. On pourrait penser que les creux représentent les «1» et les plats les «0» (ou vice-versa) mais la réalité est plus complexe. Tous les creux et plats sont des «0» et c est le passage d un creux à un plat (ou l inverse) qui représentera un «1» (figure 5). En pratique, la cellule chargée de lire les données regarde l état de la surface tous les 0,278 µm : s il n y a pas de transition, elle renvoie un «0», sinon elle renvoie un «1». Toutes les 8 lectures (chaque lecture représente un bit), on obtient un octet qui contient l information contenue sur le CD (texte, musique etc ). Un CD contient environ 700 Mbits. Cela correspond à 74 minutes de musique (voire 80 min sur certains CD). 3. Le principe de la lecture des données Une diode laser émet un faisceau de longueur d onde λ = 780 nm (figure 6). Ce faisceau traverse un miroir semi-réfléchissant et va frapper la surface du disque. Il se réfléchit et interfère avec lui-même. L onde résultante de cette interférence est renvoyée à un capteur de lumière (composé de 4 photodiodes). Si le faisceau a frappé un creux, les interférences sont destructives sinon elles sont constructives (figure 7). C est ainsi que la cellule (chargée de convertir les creux/plat en «0» et «1») a l information «plat» ou «creux» (et ainsi interpréter les transitions creux/plat). Figure 6 Figure 7 4. Le problème de la diffraction Le bloc optique est constitué d une diode laser suivi d une lentille convergente qui a pour rôle de faire converger le faisceau laser. Les diamètres de la diode et de la lentille sont très faibles. Le faisceau subit donc une diffraction et l image donnée par la lentille n est pas un point mais une petite tache (appelée tache d Airy). On montre que dans ce cas, le diamètre de la tache s exprime : d = 1,22 λ NA où NA (Numeric Aperture) est l ouverture numérique qui varie en fonction inverse de la distance focale f de la lentille : D /2 NA = sinα = La taille de cette tache limite le nombre d informations que peut stocker un CD car il faut que la tache du laser ne lise qu une piste à la fois (et ne déborde pas sur les pistes voisines). D f ' 2 Pour augmenter la capacité de stockage, c'est-à-dire augmenter le nombre de creux par disque, il faut modifier la longueur d onde du laser et l ouverture numérique du bloc optique. C est ainsi que sont nés le DVD et plus récemment le Blu-ray /16

13 Type de support CD DVD HD-DVD Blu-ray Longueur d onde 780 nm 658 nm 405 nm 405 nm Ouverture numérique NA 0,45 0,65 0,65 0,85 Capacité 700 Mbits 4,7 Gbits 15 Gbits 23 Gbits Distance entre pistes 1,6 µm 0,74 µm 0,32 µm 0,4 µm Largeur faisceau Réponse : v = 1,1 m/s ; ω = 175 tours/minute ; λ P = 503 nm ; d = 2,1 µm (CD) puis 1,24 µm (DVD) ; p = 105 nm. XIV Etude du microscope optique dans le cadre de l optique géométrique Un microscope optique élémentaire à champ large (figure 1) se compose essentiellement de quatre parties : Le tube optique, aux extrémités duquel se trouvent deux systèmes optiques centrés convergents de même axe optique : l objectif du côté de l objet et l oculaire du côté de l œil ou du capteur. La platine sur laquelle est placé l objet (ou préparation) à étudier. Le dispositif de translation du tube, parallèlement à son axe, par rapport à la platine (à mouvements micrométrique «lent» et macrométrique «rapide»), nécessaire à la mise au point. Le système d éclairage de l objet constitué d une source, d un condenseur et d un diaphragme. Les liaisons entre ces éléments sont assurées par le statif qui permet de maintenir leur alignement. Figure 1 Schéma d un microscope optique élémentaire 1) Grossissement et puissance d un microscope On assimile l objectif et l oculaire du microscope à deux lentilles minces convergentes notées respectivement L 1 et L 2, de même axe optique et de centres respectifs O 1 et O 2. L objectif, placé proche d un objet (AB), positionné perpendiculairement à l axe optique et tel que le point A soit situé sur cet axe, en donne une image réelle intermédiaire (A 1 B 1 ) très agrandie. L oculaire joue le rôle de loupe et donne de (A 1 B 1 ) une image finale virtuelle (A B ) agrandie. Les objectifs usuels ont des distances focales f 1 très petites, de l ordre de quelques millimètres, et les oculaires des distances focales f 2 de l ordre de quelques centimètres. On appelle longueur optique du microscope la distance Δ = F' 1 F 2 entre le foyer image de L 1 et le foyer objet de L 2. a) On se place dans les conditions de l approximation de Gauss d utilisation des lentilles. Rappeler en quoi consistent ces conditions. Indiquer les précautions expérimentales à prendre afin de se placer dans ces conditions. Donner l intérêt pratique à respecter ces conditions. b) Dans l approximation de Gauss, si l on considère une lentille mince de centre optique O, de distance focale image f, conjuguant un point objet P au point image P sur l axe optique, deux formules de conjugaison sont fréquemment utilisées : celle avec origine au centre optique O de la lentille /16

14 1 OP' 1 OP = 1 f ' et celle avec origine aux foyers F et F de la lentille F' P'.FP = f.f '= f ' 2. Préciser le nom attribué usuellement à chacune de ces relations. On donne par ailleurs les différentes expressions du grandissement : γ = OP' OP = f ' FP F' P' =. f ' Constructions géométriques d images et de rayons c) L œil emmétrope (à vision normale) voit nettement des objets situés entre la distance minimale de vision distincte d m = 25 cm (le punctum proximum) et l infini. Rappeler ce que signifie «régler un instrument d optique à l infini» et l intérêt que présente ce réglage. d) Dans toute la suite, le microscope est réglé pour donner une image (A B ) à l infini d un objet (AB) perpendiculaire à l axe optique. Réaliser soigneusement sur le document réponse n 1 (placé en annexe à la fin du sujet) la construction géométrique de (A 1 B 1 ), en traçant notamment la marche de deux rayons issus de B : l un émis parallèlement à l axe optique et l autre passant par O 1. Faire apparaître l angle α sous lequel on voit l objet à travers le microscope (α est le diamètre apparent de l objet à travers le microscope). Les diaphragmes circulaires D O et D C sont placés respectivement dans le plan focal image de L 1 et dans le plan focal objet de L 2. Leur rôle sera étudié en partie 2). e) Compléter la construction en traçant les rayons issus de A passant par les bords du diaphragme d ouverture D O (rayons marginaux). Le grossissement d un microscope Un microscope est constitué d on objectif portant l indication 20 et d un oculaire portant l indication optique Δ est égale à +160 mm. On observe un objet (AB), placé perpendiculairement à l axe optique. 10. La longueur f) L indication 10 de l oculaire est son grossissement commercial G c,oc défini par le rapport de l angle sous lequel on voit un objet à l infini à travers l oculaire et celui sous lequel on voit ce même objet à l œil nu à la distance minimale de vision distincte d m. Déterminer la distance focale image f 2 de l oculaire et donner sa valeur numérique. g) L indication 20 de l objectif est la valeur absolue de son grandissement transverse γ ob pour une image (A 1 B 1 ) formée à la distance Δ de F 1. Déterminer la distance focale f 1 de l objectif et donner sa valeur numérique. h) Le grossissement commercial G c du microscope est la valeur absolue du rapport de l angle sous lequel on voit l objet à travers le microscope et celui sous lequel on le voit à l œil nu à la distance minimale de vision distincte d m. Exprimer G c en fonction de G c,oc et de γ ob puis déterminer numériquement G c. i) Justifier l affirmation selon laquelle le grossissement du microscope mesure le rapport entre la dimension de l image rétinienne obtenue par observation de l objet à travers le microscope et celle obtenue à l œil nu. La puissance du microscope j) La puissance intrinsèque P m d un microscope est la valeur absolue du rapport entre l angle sous lequel on voit l objet à travers le microscope et la taille de l objet ; la puissance P m s exprime en dioptrie. Donner la relation entre la puissance du microscope, le grandissement de l objectif et la distance focale de l oculaire. Evaluer numériquement la puissance P m. 2) Champ visuel d un microscope La latitude de mise au point (ou profondeur de champ en microscopie visuelle) /16

15 a) Donner l expression de F 1 A lorsque l objet (AB) est placé de sorte que son image finale à travers le microscope soit à l infini. Déterminer la valeur numérique de F 1 A. Commenter cette valeur. b) Un observateur place son œil, supposé emmétrope, au foyer image de l oculaire. Déterminer la latitude de mise au point du microscope, définie comme la distance A A m entre les deux positions de l objet compatible avec une vision nette de l image finale par l œil, en fonction de f 1, f 2, Δ et d m. Commenter sa valeur numérique. Pour une longueur optique fixée et un oculaire donné, indiquer l évolution de cette latitude avec la puissance du microscope (modifiable en changeant d objectif). Les diaphragmes d un microscope On souhaite étudier le rôle du diaphragme d ouverture D O et du diaphragme de champ D C du microscope ; leurs rayons sont notés respectivement R DO et R DC, et R DC = 8,0 mm. Le diaphragme d ouverture se situe dans le plan focal image de l objectif tandis que le diaphragme de champ se situe au niveau du plan focal objet de l oculaire. c) Montrer, éventuellement à l aide d une construction géométrique, que le diaphragme d ouverture D O contrôle le flux d énergie lumineuse entrant dans le microscope. d) Le cercle oculaire, de centre C, est l image du diaphragme d ouverture à travers l oculaire (il s agit de la pupille de sortie du microscope). Déterminer la position du point C par rapport à F 2 en fonction de f 2 et Δ. Donner la valeur numérique de F' 2 C. Justifier que l observateur cherche toujours à placer son œil au niveau de ce cercle. e) Montrer, éventuellement à l aide d une construction géométrique, que le diaphragme de champ D C limite la dimension transverse du champ objet observable. Donner la valeur numérique de cette dimension pour le microscope de la partie 1). f) Un oculaire possède, en plus de la lentille L 2 et du diaphragme de champ D C, une seconde lentille L 3. Par exemple, un oculaire de Huygens (figure 2) est constitué d un doublet de lentilles minces convergentes non accolées, respectivement appelées verre de champ du côté de l objectif (lentille L 3 ) et verre d œil du côté de l œil (lentille L 2 ). L image intermédiaire se forme toujours dans le plan de D C, plan focal objet de L 2. Montrer qualitativement que l ajout d un verre de champ L 3 à la lentille L 2 permet notamment d augmenter la largeur transversale du champ de vision. Figure 2 Oculaire d Huygens /16

16 Réponse : f ' 2 = d m = 2,5cm ; f ' 1 = Δ = 8,0mm ; G c = γ ob G c,oc = 2, ; G c,oc γ ob A A m = f ' 2 1 Δ f ' = 6,2µm ; F' 2 2 C = f ' Δ = 3,9mm. d m Δ P m = γ ob f ' 2 = 8, δ ; F 1 A = f ' 1 2 Δ = 0,4mm ; /16