Cours de Mathématiques MATRICES

Transcription

1 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot MATRICES Morpheus : Unfortunately, no one can be told what The Matrix is You ll have to see it for yourself The Matrix L idée de ce chapitre, est de transformer les manipulations sur les systèmes linéaires en opérations sur les matrices Notation : Dans ce chapitre K désignera R ou C CALCUL MATRICIEL A L ensemble M np (K) Définition (Ensembles de matrices) Soient (n, p) (N ) 2, On note M n,p (K) l ensemble des matrices à n lignes et p colonnes et à coefficients dans K Soit A = (a i,j ) i n M n,p (K), les a i,j sont appelés les coefficients de la matrice A j p a, a,2 a,p a 2, a 2,2 a 2,p A = (a i,j ) i j np = a n, a n,2 a n,p Si p et n =, alors A est une matrice ligne (ou un vecteur ligne) : A = (a a 2 a a p ) Si p = et n, alors A est une matrice colonne (ou un vecteur colonne) : a a 2 A = a a n Explications : M n,p (K) représente l ensemble des systèmes homogènes à n équations et p inconnues dans K Définition 2 (Symbole de Kronecker) δ i j est appelé le symbole de Kronecker, il vaut pour i = j et 0 si i j δ 2, = 0, mais δ, = Page sur 28

2 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot Définition : On appelle matrice nulle et on note 0 n,p ou 0 s il n y a pas de risque de confusion, la matrice dont tous les coefficients sont nuls On note E i0,j 0 la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui d indice i 0, j 0 qui vaut j ème 0 colonne 0 0 E i0,j 0 = (δ ki0 δ lj0 ) k,l = 0 0 i0 ème ligne Explications : Dans toutes les notations, il faut toujours bien distinguer les indices qui sont fixes de ceux qui bougent Ici, i 0, j 0 sont deux nombres fixes qui permettent de définir la matrice k,l sont les indices qui bougent et nous permettent de parcourir tous les coefficients de la matrice Il faut comprendre ainsi cette notation : Tant que k i 0, δ ki0 prend la valeur 0 : le coefficient est donc nul Ainsi les coefficients de toutes les lignes k i 0 sont nuls Le premier symbole de Kronecker sert à sélectionner la ligne i 0 Sur la ligne k = i 0, tant que l j 0, le coefficient est nul Les coefficients sont donc tous nuls, sauf celui de la colonne l = j 0 Le second symbole de Kronecker sert à sélectionner la colonne j 0 Conclusion : tous les coefficients sont nuls, sauf celui d indices (i 0, j 0 ) qui vaut B Addition matricielle Définition 4 (Addition matricielle) Soient A = (a i,j ) i n j p et B = (b i,j ) i n j p deux matrices de M n,p (K) On définit alors la matrice somme par A + B = (a i,j + b i,j ) i n j p a, a,2 a,p b, b,2 b,p a, + b, a,2 + b,2 a,p + b,p a 2, a 2,2 a 2,p A + B = + b 2, b 2,2 b 2,p = a 2, + b 2, a 2,2 + b 2,2 a 2,p + b 2,p a n, a n,2 a n,p b n, b n,2 b n,p a n, + b n, a n,2 + b n,2 a n,p + b n,p : Explications : On fait simplement la somme, coefficient par coefficient Bien sûr, cela requiert que les deux matrices aient la même dimension n p Définition 5 (Matrice opposée) Soit A = (a i,j ) i n M n,p (K), alors on appelle matrice opposée et on note A la matrice ( a i,j ) i n j p j p Page 2 sur 28

3 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot Propriété 6 : La somme est une opération Interne : si (A,B) (M n,p (K)) 2 alors A + B M n,p (K ) Associative : si (A,B,C ) (M n,p (K)) alors(a + B) +C = A + (B +C ) (justifie l absence de parenthèses) Admet 0 n,p pour élément neutre : si A M n,p (K) alorsa + 0 n,p = 0 n,p + A = A Tout élément admet un opposé : si A M n,p (K ), alors ( A) M n,p (K) et A + ( A) = 0 n,p Commutative : si (A,B) (M n,p (K)) 2 alors A + B = B + A Remarque : On dit que (M n,p (K),+) est un groupe commutatif C Multiplication par les scalaires Définition 7 : Soient λ K (un scalaire) et A = (a i,j ) i n M n,p (K), j p on définit la matrice λa ou plus simplement λa, la matrice dont les coefficients sont λa i,j Explications : C est simplement la matrice pour laquelle on multiplie tous les coefficients par λ On remarque que cette multiplication externe est cohérente avec l addition Si n N alors n A = A + A + + A (n fois) A = A = Propriété 8 : La multiplication externe a vérifie Pour tout A M n,p (K), A = A Associative Pour tous (λ,µ) K 2, A M n,p (K), (λ µ)a = λ(µa) Distributive par rapport à + (scalaires) : Pour tous (λ,µ) K 2, A M n,p (K), (λ + µ)a = λa + µa Distributive par rapport à + (matrices) : Pour tous λ K, (A,B) (M n,p (K)) 2, λ(a + B) = λa + λb a On dit externe, parce qu on multiplie une matrice par un élément qui n est pas une matrice, mais un scalaire Remarque : On dit que l ensemble M n,p (K) muni des deux opérations + et est un espace vectoriel D Multiplication entre matrices La multiplication terme à terme des coefficient des matrices ne sera pas l opération intéressante ici Mais nous allons plutôt construire une multiplication qui puisse nous servir pour faire le lien avec la résolution des systèmes linéaires Définition 9 : Soient A M n,p (K) et B M p,q (K) alors, par définition, la matrice produit A B ou AB M n,q (K) est la matrice ( p ) a i,k b k,j k= i n j q Page sur 28

4 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot Méthode : Pour visualiser le calcul, on écrit (au brouillon) : b, b 2, b p, b,q b p,q a, a,2 a,p a n, a n,2 a n,p p a,k b k, k= p a n,k b k, k= p a,k b k,q k= p a n,k b k,q k= Attention : Les deux matrices ne sont pas de même taille Il faut multiplier une matrice n p avec une matrice p q pour obtenir une matrice n q Pour comprendre un intérêt de cette multiplication, il faut revenir aux systèmes linéaires : a, x +a,2 x 2 + +a,p x p = b a 2, x +a 2,2 x 2 + +a 2,p x p = b 2 a n, x +a n,2 x 2 + +a n,p x p = b n Si on pose les matrices suivantes : A = (a i,j ) i,j = a, a,2 a,p a 2, a 2,2 a 2,p X = x x 2 B = b b 2 a n, a n,2 a n,p x p b n On a alors AX = a, a,2 a,p a 2, a 2,2 a 2,p a n, a n,2 a n,p x x 2 x n = a, x +a,2 x 2 + +a,p x p a 2, x +a 2,2 x 2 + +a 2,p x p a n, x +a n,2 x 2 + +a n,p x p Résoudre le système, c est donc résoudre l équation d inconnue X : AX = B On vient de transformer un système de n équations à p inconnues, en un simple système linéaire à une seule inconnue Malheureusement pour nous, cette inconnue n est pas un nombre, mais une matrice Propriété 0 : La multiplication vectorielle est Associative : A (B C ) = (A B) C Linéaire à gauche : (A + λa ) B = A B + λa B Linéaire à droite : A (B + λb ) = A B + λa B avec (A, A ) ( M n,p (K) ) 2, et (B,B ) ( M p,q (K) ) 2, et C Mq,r (K) et λ K Page 4 sur 28

5 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot Attention : Le produit matriciel n est pas commutatif D une part, cela n a aucun sens en raison des tailles des matrices qui n ont plus de raison d être compatibles si on change l ordre Et même pour les matrices carrées où le problème de dimensions disparait, le produit n est pas commutatif (sauf cas particulier) Si on note A = ( ) et B = 0 ( ) 0, alors AB = 0 Ainsi, AB B A : le produit n est pas commutatif ( ) 0 2 et B A = 0 ( ) 0 0 Soient A et B, deux matrices de M n (R) Peut-on affirmer que AB B A? Solution : Non, en général, ces produit ne sont pas égaux, mais il arrive que l on ait l égalité On dit alors que A et B commutent Par exemple, si on choisit B = I n, alors AB = B A Attention : On peut avoir AB = 0 avec A 0 et B 0 Dans une équation avec un produit on ne pourra donc pas simplifier par A La phrase apprise en collège un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul n est pas vraie avec les matrices Si on note A = ( ) 2, B = 2 4 ( ) 2 6 et C = ( ) 2 0, alors AB = 5 ( ) 0 0 = AC 0 0 Ainsi, on vient de voir que AB = 0 (A = 0 ou B = 0) et que AB = AC B = C Définition (Rappel) (Rang d une matrice) Par définition, le rang d une matrice est égal au rang de son système linéaire homogène associé Il est donc égal au nombre de pivots de la matrice échelonnée E Transposée d une matrice Notation : Dans ce cours, on notera souvent A i,j le coefficient de A d indice i, j Même si cela provoque un petit conflit de notation avec les matrices E i0,j 0 définies plus haut : il s agit alors de la matrice complète et non d un seul coefficient Le contexte permettra de trancher Définition 2 : Soit la matrice A M n,p (K), alors on note t A ou A T la matrice de M p,n (K) telle que (j,i ) M p,n (K), ( t A ) j,i = A i,j Attention : On change d espace de matrice : si la matrice A est de taille n p alors que la matrice t A est de taille p n Page 5 sur 28

6 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot Méthode : D un point de vue du calcul pratique, cela revient à faire une symétrie suivant une diagonale virtuelle de la matrice : on échange les lignes et les colonnes Par exemple pour la transposée d une matrice 2 p ( a, a,2 a,p a 2, a 2,2 a 2,p ) a, a 2, a,2 a 2,2 a,p a 2,p Transposée de la matrice A = t A = Propriété (Propriétés de la transposition) Pour A,B M n,p (K) et λ,µ K, a) linéarité : t (λa + µb) = λ t A + µ t B b) involutivité : t ( t A) = A c) conservation du rang : rg( t A) = rg A Pour A M n,p (K) et B M p,q (K), d) produit : t (AB) = t B t A Attention : Avec le produit, l ordre de A et B est inversé! a) immédiat b) immédiat c) admis d) Soit (i, j ) [,n ] [, p ], d un côté, (t (AB) ) i,j = (AB) j,i = n a j,k b k,i k= d un autre côté, (t B t A ) i,j = n ( t B) i,k ( t A) k,j = n b k,i a j,k = n a j,k b k,i k= Donc ( (i, j ) [,n ] [, p ], t (AB) ) i,j = (t B t A ) i,j D où le résultat voulu k= k= Page 6 sur 28

7 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot 2 MATRICES CARRÉES A L algèbre des matrices carrées Définition 2 (Matrices carrées) On note M n (K) = M n,n (K) l ensemble des matrices carrées d ordre n dans K Soit A = (a i,j ) i,j n M n (K) une matrice carrée Les a i,i sont appelés les coefficients diagonaux de la matrice A, ce sont ceux qui apparaissent sur la diagonale a, a,2 a,n a 2, a 2,2 a 2,n A = (a i,j ) i,j n = a n, a n,2 a n,n Si a i,j = 0 pour i j alors A est une matrice diagonale, a, 0 0 a, (0) D = (a i,j ) i,j n = 0 a 2,2 0 = a 2,2 0 0 a n,n (0) a n,n Si a i,j = 0 pour i > j alors A est une matrice triangulaire supérieure, a, a,2 a,n a, a,2 a,n A = (a i,j ) i,j n = 0 a 2,2 an,n = a 2,2 an,n 0 0 a n,n (0) a n,n Si a i,j = 0 pour i < j alors A est une matrice triangulaire inférieure a, 0 0 a, (0) A = (a i,j ) i,j n = a 2, a 2,2 0 = a 2, a 2,2 a n, a n,n a n,n a n, a n,n a n,n Lorsque les coefficients diagonaux sont aussi nuls, on parle de matrice triangulaire supérieure stricte ou triangulaire inférieure stricte Par définition, une matrice carrée échelonnée est triangulaire supérieure Définition 22 : On appelle matrice identité de M n (K) et on note I n, la matrice ayant des sur la diagonale et tous les autres coefficients nuls (0) I n = (δ i,j ) i,j n = (0) Explications : Le symbole de Kronecker indique que le coefficient est nul sauf si i = j : c est-à-dire si on est sur la diagonale Dans ce cas, le coefficient vaut Page 7 sur 28

8 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot Propriété 2 : Pour A M n (K), AI n = I n A = A La matrice identité est l élément unité pour la multiplication matricielle Propriété 24 : Sur M n (K), le produit matriciel est (en plus des propriétés déjà énoncées) a) interne : si A,B M n (K), alors AB M n (K) b) admet un élément unité : I n Remarque : On dit que (M n (K),+,,) est une K-algèbre associative unifère B Puissance d une matrice carrée Définition 25 : Soit p N, on définit la puissance p ième d une matrice A M n (K) par récurrence avec A 0 = I n p N, A p+ = A A p Si A = alors A2 = Propriété 26 (Puissance d une matrice diagonale) Soit D M n (K) une matrice diagonale de coefficients diagonaux (λ,λ 2,,λ n ) K n On note λ (0) λ 2 D = diag (λ,λ 2,,λ n ) = (0) λ n Pour p N, λ p (0) D p = diag ( λ p,λp 2, λ n) p,λp 2 = (0) λ p n Par récurrence (À connaître) On définit la matrice J M n (K) dont tous les coefficients sont égaux à J = Page 8 sur 28

9 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot Pour tout p N, calculez J p Solution : On essaie de calculer J 2, J et on conjecture que pour tout p N, J p = n p J On le montre par récurrence sur p N Initialisation : Pour p =, la relation est vraie Hérédité : On suppose que pour p N fixé, J p = n p J Alors J p+ = J p J = n p J 2 = n p n J = n p J (le calcul de J 2 se fait facilement à la main, on observe que multiplier par J, c est ajouter tous les éléments de chaque ligne) Donc la propriété est vérifiée au rang p + Conclusion : par principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout p N J 0 = I n et p, J p = n p J (N oubliez pas le cas p = 0 si vous voulez répondre à la totalité de la question) Attention : Si A,B M n (K), alors en général (A + B) 2 = A 2 + AB + B A + B 2 A 2 + 2AB + B 2 L identité remarquable n est vraie que si A et B commutent, c est-à-dire si AB = B A Propriété 27 (Formule du binôme de Newton) Si A,B M n (K) commutent, alors la formule du binôme de Newton est valable ( ) p (A + B) p p = A k B p k k k=0 C est exactement la même preuve que sur R Méthode (Calculer la puissance d une matrice grâce au binôme) En particulier cette méthode est très pratique lorsque l une des matrices est I n (qui commute avec toutes les autres matrices) : ( ) p (A + I n ) p p = A k k En particulier : ( ) p B p = (B I n + I n ) p p = (B I n ) k k=0 k ( ) p = (B + I n I n ) p p = ( ) p k (B + I n ) k k k=0 k=0 On définit la matrice A M n (K) par 0 () A = () 0 La matrice a des partout sauf sur la diagonale où elle a des 0 On peut aussi la noter A = ( δ i j ) i,j n Calculez A p pour p N Page 9 sur 28

10 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot Solution : A = J I n, donc A p = (J I n ) p ( ) p p = ( ) p k J k k=0 k ( ) p = ( ) p p I n + ( ) p k J k k= k ( ) p = ( ) p p I n + ( ) p k n k J k= k ( ( ) = ( ) p p p I n + )( ) p k n k J k= k ( ( ) = ( ) p I n + p p )( ) p k n k J (n 0) n k= k ( ( ) = ( ) p I n + p p )( ) p k n k ( ) p J n k = ( ) p I n + n k=0 = ( )p n (ni n J) + ( (n ) p ( ) p) J (n )p J n Si on veut l exprimer en fonction de A, alors on remplace J par A + I n et on trouve A p = ( )p n (A + (n )I n) + (n )p (A + I ) n Propriété 28 (Égalité de Bernoulli) Si A,B M n (K) commutent, alors la l égalité de Bernoulli est valable p A p+ B p+ = (A B) A k B p k k=0 Comme sur R Définition 29 (Matrice nilpotente) Un matrice A M n (K) est dite nilpotente s il existe p N telle que A p = 0 n L indice de nilpotence est le plus petit exposant p N tel que A p = 0 Explications : L intérêt d une matrice nilpotente est qu il est facile de calculer ses puissances car elles s annulent toute à partir d un certain rang Les matrices nilpotentes ne font pas l objet d un travail particulier dans le programme, mais elles sont primordiales dans l étude générale des matrices Page 0 sur 28

11 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot C Matrices triangulaires et diagonales Propriété 20 (Sous-algèbre des matrices triangulaires supérieures) Si on note T n (K) l ensemble des matrices triangulaires supérieures de M n (K), alors a) I n T n (K) b) T n est stable par combinaison linéaire : Si (A,B) T n (K) et λ,µ K alors λa + µb T n (K) c) T n est stable par multiplication : Si (A,B) T n (K) alors AB T n (K) La transposée d un matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire inférieure Propriété 2 : Les mêmes propriétés de stabilité s appliquent aux matrices inférieures (par application de la transposition) et aux matrices diagonales (qui sont à la fois supérieures et inférieures) Remarque : On dit que les matrices triangulaires supérieures (resp inférieures) (resp diagonales) forment un sous espace vectoriel (et même une sous algèbre) de M n (K) D Transposées de matrices carrées Définition 22 : Soit A M n (K) On dit que A est symétrique si A = t A c est-à-dire pour tout (i, j ) [,n ] 2, a i,j = a j,i On dit que A est antisymétrique si A = t A c est-à-dire pour tout (i, j ) [,n ] 2, a i,j = a j,i On note S n l ensemble des matrices symétriques de taille n On note A n l ensemble des matrices antisymétriques de taille n Remarque : Pour qu une matrice soit symétrique, ou antisymétrique, il faut qu elle ait le même nombre de lignes que de colonnes : n = p La matrice est donc nécessairement carrée A = est symétrique B = est antisymétrique Propriété 2 : Une matrice antisymétrique a des 0 sur sa diagonale a i,i = a i,i donc a i,i = 0 Page sur 28

12 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot Propriété 24 : a) La matrice nulle est la seule matrice à la fois symétrique et antisymétrique b) Toute matrice peut s écrire de manière unique comme somme d une matrice symétrique et d une matrice antisymétrique Cette décomposition est A = 2 (A + t A) + 2 (A t A) Remarque : On dit que S n et A n sont en somme directe sur M n (K) et on note S n A n = M n (K) a) Si A S n A n alors pour tout (i, j ) [,n ] 2, a i,j = a j,i = a i,j Donc a i,j = 0 Donc 0 n est la seule matrice à la fois symétrique et antisymétrique b) On raisonne pas analyse-synthès Cela doit vous faire penser à l exercice de décomposition d une fonction quelconque en la somme d une fonction paire et d une fonction impaire (Analyse - unicité) Si A = S + T avec S S n et T A n Alors t A = t S + t T = S T Alors la demi-somme des deux lignes précédentes donne 2 (A + t A) = 2 (S + T + t (S + T )) = 2 (S + T + t S + t T ) = 2 (S + T + S T ) = S De même 2 (A t A) = T (Synthèse - validité de la décomposition proposée) t ( 2 (A + t A)) = 2 (t A + A) = 2 (A + t A) t ( 2 (A t A)) = 2 (t A A) = 2 (A t A) E Matrices carrées inversibles Définition 25 : Une matrice A M n (K) est dite inversible, s il existe une matrice B M n (K) telle que AB = B A = I n L ensemble des matrices inversibles de M n (K) se note GL n (K) ou GL n : c est le groupe général linéaire Attention : Puisque l on multiplie tantôt à droite et tantôt à gauche, la notion d inverse n est valable que pour des matrices carrées I n GL n (K) E i j GL n (K) (pour n 2) Toute matrice comportant une ligne ou une colonne nulle ne sera pas inversible (car alors la matrice produit comportera aussi une ligne ou une colonne nulle) Théorème 26 (Propriétés de l inverse) a) (unicité) Si A est inversible, alors son inverse est unique On le note A b) (involutivité) L inverse est involutive : pour A GL n (K), (A ) = A c) (produit) Si (A,B) GL n (K), alors AB GL n (K) et (AB) = B A Attention : Comme avec la transposition, pour le produit, il faut échanger l ordre des termes Page 2 sur 28

13 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot a) On suppose qu il y en a deux, on trouve qu ils sont égaux b) Trivial c) Faire le produit ABB A = B A AB = I n Attention : Le produit de deux matrices inversibles est inversible, par contre, en général leur somme ne l est pas (prendre I n et I n ) L inverse n est PAS linéaire Remarque : On dit que (GL n (K), ) est un groupe car il vérifie les propriétés de groupe pour la loi : a) Stable par la loi b) La loi est associative (mais pas commutative) c) Il contient un élément neutre I n : AI n = I n A = A d) Chaque élément contient un inverse pour la loi : A GL n Par contre, le groupe n est pas commutatif Théorème 27 : Pour qu une matrice A M n (K) soit inversible, il suffit qu il existe un inverse à gauche, ou un inverse à droite C est-à-dire A inversible ( B M n (K) tel que AB = I n ) ( B Mn (K) tel que B A = I n ) Admis Méthode (Méthode du polynôme annulateur) Objectif : Montrer que A GL n (K) et calculer A Méthode : Calculer A 2, A et rechercher une relation polynomiale simple entre les puissances de A Par exemple A +A 2 A +2I n = 0 Si la relation polynomiale fait intervenir l identité, alors A GL n (K) et A facile à calculer Obtention de A (permet de montrer l inversibilité de A en même temps) On met l identité d un côté de l égalité De l autre, on factorise par A Dans l exemple : A ( A 2 + A I n ) = 2In Si on pose B = 2 Ainsi on a montré que A est inversible, et que A = B ( A 2 + A I n ), alors on a AB = B A = In Remarque : Si on trouve une relation polynomiale de degré minimal qui ne fait pas intervenir I n, alors A n est pas inversible Preuve sur un exemple : Par exemple si A + A 2 A = 0, alors on a A ( A 2 + A I n ) = 0 Page sur 28

14 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot Si par l absurde, A était inversible, alors en multipliant par A, on obtiendrait A 2 + A I n = 0 On a donc une relation polynomiale de degré 2 sur les puissances de A C est absurde car on a supposé que la relation trouvée initialement était de degré minimal! Donc A n est pas inversible 2 0 Soit A = Montrer que A 4A 2 + 7A 4I = 0 Solution : A 2 = et A = En faisant la somme, on vérifie bien que A 4A 2 + 7A 4I = 0 Donc A 4A 2 + 7A = 4I, c est-à-dire : A ( A 2 4A + 7I ) = 4I Si on pose B = ( 4 A 2 4A + 7I ), alors AB = B A = I Donc A est inversible et A = ( 4 A 2 4A + 7I ) APPLICATIONS DE L ALGORITHME DE GAUSS-JORDAN Nous allons maintenant faire le lien entre les manipulations matricielles que nous avions vu pour les systèmes et le calcul matriciel A Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes Définition (Opérations élémentaires) Soient i, j N et λ K, alors on appelle opération élémentaire sur les lignes d une matrice A quelconque, les opérations permutation (échange) des lignes i et j notée L i L j multiplication de la ligne i par λ notée L i λl i addition de la ligne j multipliée par λ à la ligne i notée L i L i + λl j On définit de même les opérations élémentaires sur les colonnes C i C j, C i λc i et C i C i + λc j Remarque : Comme dans le chapitre sur les systèmes linéaires, on impose au scalaire d être non nul pour éviter les problèmes d inversibilité Page 4 sur 28

15 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot Définition 2 : On appelle matrice de permutation toute matrice carrée symétrique P i,j de la forme i ème j ème i ème ligne 0 j ème ligne 0 Explications : C est la matrice identité dans laquelle on a permuté les lignes i et j Définition : On appelle matrice de dilatation toute matrice carrée symétrique D i (λ) de la forme i ème i ème ligne λ Explications : C est la matrice identité dans laquelle on a multiplié la ligne i par λ Définition 4 : On appelle matrice de transvection toute matrice carrée T i,j (λ) de la forme i ème j ème i ème ligne λ Explications : C est la matrice identité dans laquelle on a ajouté λ fois la ligne j à la ligne i Page 5 sur 28

16 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot Théorème 5 (Interprétation matricielle des opérations élémentaires) Chaque opération élémentaire sur les lignes correspond à la multiplication à gauche par une matrice particulière : L i L j " " P i,j L i λl i " " D i (λ) L i L i + λl j " " T i,j (λ) Les opérations correspondantes sur les colonnes se font par des opérations à droite (avec la transposée de la matrice élémentaire) Pour se souvenir : Multiplication à gauche = opération sur les lignes Left = Lignes Il faut faire les calculs Remarque : Les matrices pour faire les opérations sont carrées, mais elles peuvent être utilisées pour opérer sur des matrices rectangulaires C est la cas général que nous avons utilisé pour résoudre des systèmes rectangulaires Théorème 6 (Inversibilité des matrices des opérations élémentaires) On a pour tout (i, j ) [,n ] 2 La matrice de permutation P i j est inversible et son inverse est elle-même, La matrice de dilatation D i (λ) est inversible a d inverse D i ( λ ) La matrice de transvection T i,j (λ) est inversible d inverse T i,j ( λ) a C est ici qu on a besoin de λ 0 Il suffit d écrire les opérations correspondantes sur les lignes : chercher l inverse correspond à défaire le travail Théorème 7 : Soit une équation linéaire représentée sous forme matricielle par AX = B où A M n,p (K), X M p, (K) et B M n, (K) Si P GL n (K), alors AX = B est équivalent à (PA)X = PB Sens direct : il suffit de multiplier par P cela conserve l égalité Sens réciproque : il suffit de multiplier par P car P GL n (K) Remarque : PA a la même dimension que A et PB a la même dimension que B Théorème 8 (Matrices équivalentes en ligne) Soit un système AX = B, Lorsque l on effectue une suite finie d opérations sur les lignes simultanément sur A et B, on obtient un système équivalent A X = B Page 6 sur 28

17 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot Notation : Deux matrices qui se déduisent l une de l autre par une suite finie d opération sur les lignes sont dites équivalentes en ligne On note A L A Faire des opérations sur les lignes, c est multiplier à gauche par des matrices inversibles E,E 2, E n On obtient donc le système E n E n E 2 E AX = E n E n E 2 E B Comme les E i GL n (K), leur produit E GL n (K) et les systèmes sont bien équivalents Attention : Quand je fais mes opérations successives, je multiplie à chaque fois à gauche la matrice obtenue, l opération finale correspond donc bien à multiplier par E n E n E 2 E dans cet ordre Les matrices E i ne commutent pas Méthode (Application au pivot de Gauss) On effectue matriciellement l algorithme du pivot de Gauss comme nous l avons fait dans le chapitre sur les systèmes linéaires Plutôt que de multiplier A et B en même temps comme dans le théorème précédent, on peut aussi multiplier directement la matrice augmentée A B C est strictement équivalent À présent, lorsque nous ferons le pivot de Gauss, nous calculerons en même temps la matrice inversible E 0 0 Réalisons cet algorithme sur M = 5 2 Opération Matrice op élément Résultat Matrice de permutation totale L L 2 P,2 M = 0 0 E = P,2 = L L L T, ( ) M 2 = 0 0 E 2 = T, ( )E = L 2 L 2 D 2 ( ) M = 0 0 E = D 2 ( )E 2 = L L 5L 2 T,2 ( 5) M 4 = 0 0 E 4 = T,2 ( 5)E = L L + 4L 2 T,2 (4) M 5 = 0 0 E 5 = T,2 (4)E 4 = L L D ( ) M 6 = 0 0 E 6 = D ( 0 )E 5 = L L 2L T, ( 2) R = 0 0 E = T, ( 2)E 6 = Page 7 sur 28

18 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot On observe qu à chaque étape, M L M i avec M i = E i M La dernière colonne peut vous aider à vérifier les calculs au fur et à mesure en effectuant le produit matriciel En particulier R L M et R est échelonnée réduite par construction Pour trouver la matrice E qui correspond aux opérations successives sur les lignes, il suffit de les faire opérer à partir de la matrice identité en parallèle de M B Lien entre la recherche d un inverse et la résolution matricielle Chercher l inverse de A c est chercher une matrice C telle que AC = I n Si on écrit C sous la forme de n vecteurs colonne accolés alors, C = (X X 2 X n ) De la même façon, on décompose I n en n vecteurs colonnes On note e i le vecteur colonne avec à la ième ligne et 0 ailleurs : 0 0 e i = 0 0 On a donc I n = (e e 2 e n ) On peut donc réécrire notre problème de recherche d inverse : AC = I n A(X X 2 X n ) = (e e 2 e n ) i [,n ], AX i = e i Trouver C c est donc résoudre les n systèmes linéaires : a a 2 a n 0 a (i ) a (i )2 a (i )n 0 a i a i 2 a i n a (i+) a (i+)2 a (i+)n 0 a n a n2 a nn 0 Ainsi, pour trouver C on peut effectuer le pivot de Gauss sur ces matrices augmentées Plutôt que de résoudre n systèmes différents, comme seule la dernière colonne change, on peut se contenter de résoudre le système en fonction des paramètres (x, x 2,, x n ) : a a 2 a n x a 2 a 22 a 2n x 2 a i a i 2 a i n x i a n a n2 a nn x n Ensuite, on obtient la ième colonne de C = A en prenant x i = et x j = 0 pour j i La matrice est inversible à la seule condition que ces systèmes admettent tous une unique solution : c est-à-dire pour rg(a) = n Page 8 sur 28

19 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot 0 2 Pour A = On résout le système avec second membre (volontairement, on aligne a,b,c) x +2t = a y +t = b x 2y = c x +2t = a y t = b L 2 L 2 0 2y 2t = a c L L L x +2t = a y t = b 0 4t = a 2b +c L L + 2L 2 x +2t = a y t = b 0 t = 4 a + 2 b 4 c L L 4 x = 2 a b 2 c L L 2L y = 4 a 2 b 4 c L 2 L 2 + L t = 4 a 2 b 4 c On obtient ainsi le système sous forme échelonnée réduite On observe qu il est de rang Cela veut dire que la matrice associée est inversible Et la partie de droite donne l inverse Je peux l intépréter de plusieurs façons 2 2 A = (interprétation matricielle) La partie de droite, consistait simplement à réaliser le pivot de Gauss sur la matrice identité (ce que j ai mis en valeur par l alignement de lettres a, b et c correspondant chacune à une colonne) (interprétation système) Pour trouver B telle que AB = I, On écrit B = (X X 2 X ), où X, X 2 et X sont les trois colonnes de B On doit alors avoir 0 0 AX = 0, AX 2 =, et AX = Quand on met les colonnes côte-à-côte, on retrouve alors 0 0 A (X X 2 X ) = Ainsi, pour trouver X, il suffit de reprendre la solution précédente avec a =, b = 0 et c = 0 Avec la résolution du système, on trouve donc x 2 X = y = 4 z De même pour X 2 et X, ce qui nous donne l inverse de la matrice grâce à la résolution du système 4 Page 9 sur 28

20 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot Méthode (Calcul de l inverse d une matrice) Trouver l inverse de A revient à la mettre sous forme échelonnée Le produit à gauche par les matrices d opérations élémentaires donne alors la matrice inverse : E A = I n E = A Concrètement, en effectuant la mise sous forme réduite de A, je multiplie successivement les matrices des opérations élémentaires pour connaître leur produit Autre méthode : On résout le système AX = B qui donne X = A B Remarque finale : Comme nous l avons vu, il existe de nombreuses façon d interpréter les résultats et en particulier l algorithme de Gauss Ce qui est riche, c est d être capable de faire le pont entre ces différentes interprétations, pour être capable de passer facilement de l une à l autre 4 CARACTÉRISATION DES MATRICES INVERSIBLES Petit récapitulatif (partiel) sur les matrices inversibles, lien entre la matrice et le système associé Théorème 4 (Caractérisation d une matrice inversible) Soit A M n (K), les propriétés suivantes sont équivalentes a) A est inversible, b) A est de rang n c) A L I n d) Pour toute matrice B M n, (K), le système AX = B admet une unique solution, e) Pour toute matrice B M n, (K), le système AX = B admet au moins une solution Nous allons faire une preuve en boucle (a) (b) d après l explication précédente (b) (c) la définition du rang l affirme avec la matrice échelonnée réduite (c) (d) il n y a que des inconnues principales, et aucune ligne de la matrice réduite n est nulle Donc le système n admet qu une solution (d) (e) évident (e) (a) C est ce que nous avons expliqué précédemment : Je peux construire l inverse en accolant des solutions X i côte à côte chacune correspondant à une solution de AX = e i avec e i le vecteur colonne qui a à la position i et 0 partout ailleurs La boucle est bouclée, on peut ainsi passer de n importe quelle assertion à une autre Ce type de démonstration en boucle est souvent utilisé pour montrer des équivalences multiples Corollaire 42 : Toute matrice inversible s écrit comme produit de permutations, dilatations et transvections Remarque : On dit que les matrices des opérations élémentaires engendrent GL n (K) En effet, A I n, donc il existe un produit de permutations, dilatations et transvections E, tel que E A = I n, c està-dire E = A Or nous avons vu que E était alors également exprimable comme un produit de matrice L d opérations élémentaires Propriété 4 : Soit A GL n (K) et B M n, (K), alors le système AX = B admet une unique solution X = A B Dans ce cas, on dit que le système est un système de Cramer Page 20 sur 28

21 5 CAS DES MATRICES D ORDRE 2 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot Théorème 5 (Inverse d une matrice carrée d ordre 2) ( ) a b Soient (a,b,c,d) K 4, et A = M c d 2 (K) A est inversible si et seulement si a b c d = ad bc 0 et dans ce cas ( ) A d b = ad bc c a Explications : Retour au collège : le critère ad bc 0 correspond à un produit en croix Si le produit en croix fonctionne, c est-à-dire si ad = bc alors c est que les deux lignes sont proportionnelles La matrice est donc de rang 0 ou La réciproque est aussi vraie Calculer l inverse de A = ( ) COMPLÉMENTS A Calcul pratique des puissances d une matrice carrée Le calcul des puissances d une matrice est souvent très utile Nous en verrons un exemple avec les suites récurrentes linéaires d ordre p Page 2 sur 28

22 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot Méthode (Calcul des puissances de A) Plusieurs méthodes sont possibles pour calculer les puissances d une matrice En particulier : a) Par calcul direct, avec une récurrence, On calcule les premières puissances à la main et on en déduit une conjecture sur la forme des puissances de A On démontre ensuite cette conjecture à l aide d une récurrence b) Par le binôme de Newton, On écrit A = B +C avec B et C deux matrices qui commutent et dont on sait calculer facilement les puissances En particulier, il faut penser aux matrices : les matrices scalaires : λi n dont on sait qu elles commutent avec toutes les matrices (λi n ) p = λ p I n la matrice J composée que de : pour p, J p = n p J Attention à bien vérifier la commutativité et à traiter à part le cas J 0 = I n pour lequel la formule précédente est fausse une matrice nilpotente N telle que N r = 0 pour une certaine puissance r On sait que toutes les matrices triangulaires supérieures strictes (ou inférieures strictes) sont nilpotentes d indice r n (Ce résultat est hors programme est doit être redémontré dans chaque cas particulier) Attention à bien vérifier la commutativité c) (Deuxième année) par une diagonalisation : vous serez guidé Voir plus loin d) Avec un polynôme annulateur : vous serez guidé On en parlera au moment du chapitre sur les polynômes e) Par une interprétation avec les applications linéaires : vous ne comprenez rien? C est normal, nous verrons plus tard dans l année qu une matrice est une écriture particulière d une application linéaire de R n dans R n et que les produit de matrices correspondent aux compositions de ces applications entre elles On pose A = Calculer les puissances de A Solution avec la méthode du binôme de Newton : 0 On écrit A = I + N avec N = 0 0 Les deux matrices commutent et N est nilpotente d indice En effet, N = 0 0 et N 2 = et N = Donc pour tout k, N k = 0, ainsi, d après le binôme de Newton, Donc A p = Solution par conjecture puis récurrence : ( ) p p N k I p k p(p ) = I + pn + k 2 k=0 A p = p p(p+) 2 0 p 0 0 N 2 Page 22 sur 28

23 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot On calcule à la main les premières puissances de A : 2 6 A 2 = 0 2 et A = On conjecture que la matrice A p a des sur la diagonale, p sur la sur-diagonale, et un autre coefficient non nul dans le coin (par stabilité des matrices triangulaires, on est sûr que les coefficients sous la diagonale resteront nuls) Sauf si l on a beaucoup d intuition, il est difficile d imaginer la valeur du coefficient dans le coin et on le pose comme une inconnue dans notre récurrence : p α p On cherche donc à montrer qu il existe une suite (α p ) telle que p N, A p = 0 p 0 0 Initialisation : pour p = 0 le résultat est vrai et α 0 = 0 Hérédité : on suppose le résultat vrai au rang p, et on cherche à le montrer au rang p + p + α p + p + A p+ = A p A = 0 p Ainsi, par principe de récurrence, le résultat est vrai pour tout p N, avec la suite (α p ) définie par α 0 = 0 et p N, α p+ = α p + (p + ) Il reste à trouver la forme de α p en fonction de p Assez simplement, on calcule successivement p = 0 α 0 = 0 p = α = 0 + p = 2 α 2 = p = α = p α p = p = p(p+) 2 Une méthode un peu plus élégante pour obtenir ce résultat est d écrire que p N, α p+ α p = p + On reconnait alors le terme général d une somme télescopique : p k=0 p (α k+ α k ) = k=0 (k + ) α p α 0 = p p(p + ) k α p = 2 k= B Diagonalisation d une matrice Cette partie est hors programme, mais vous l aborderez en profondeur en seconde année Cependant, dès à présent, elle peut intervenir dans des exercices ou des devoirs (vous serez guidé) Vous avez donc tout intérêt à comprendre le principe de cette méthode pour gagner en aisance et faciliter votre travail l an prochain Aucun des résultats qui suivent ne peut être réutilisé sans démonstration Définition 6 (Matrice diagonalisable) Soit A M n (K), On dit que A est diagonalisable sur K s il existe une matrice inversible P GL n (K), et une matrice diagonale D M n (K) telles que A = PDP Outre certains intérêts intrinsèques qu il est trop tôt pour présenter, la diagonalisation d une matrice permet de calculer facilement ses puissances : Page 2 sur 28

24 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot Théorème 62 (Puissance d une matrice diagonalisée) Si A M n (K), P GL n (K) et (λ, λ 2,, λ n ) tels que λ (0) A = PDP λ 2 avec D = (0) λ n Alors p N, λ p (0) A p = PD p P avec D p λ p 2 = (0) λ p n Par récurrence immédiate Très souvent, en première année, les questions des devoirs se suivront sur ce modèle : a) On donne la matrice P et on demande de montrer qu elle est inversible et de calculer P avec l algorithme de Gauss-Jordan b) On demande de montrer que P AP est une matrice diagonale c) On calcule les puissances de A à l aide du théorème précédent que l on démontre par récurrence Parfois, le sujet ira un peu plus loin et vous fera refaire une partie de ce qui suit : Théorème 6 (Condition suffisante de diagonalisabilité) Si A λi n est pas inversible pour n valeurs de λ distinctes, alors A est diagonalisable Avec les notations précédentes, on peut alors écrire la matrice diagonale D sous la forme λ (0) λ 2 D = (0) λ n avec (λ, λ 2,, λ n ) les n valeurs distinctes trouvées pour λ La i ème colonne de la matrice P est solution non nulle de l équation AX = λ i X Les (λ i ) s appellent les valeurs propres de A et le i ème vecteurs colonne de P est un vecteur propre associé à la valeur propre λ i Attention : La réciproque est fausse : cette condition est suffisante mais pas nécessaire Vous verrez cela plus en détail en deuxième année, le but n est pas de faire ici tout le programme de l an prochain Remarque : Si on change l ordre des λ i dans l écriture de D, alors cela revient simplement à échanger l ordre des colonnes dans la matrice P La matrice P n est pas unique : on peut multiplier ses colonnes par des coefficients non nuls sans changer la relation A λi GL n (K) (A λi )X = 0 n est pas un système de Cramer (A λi )X = 0 admet une solution X non nulle Page 24 sur 28

25 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot Supposons qu il existe n valeurs distinctes λ, λ 2,,λ n telles que i [,n ], A λ i I GL n (K) Alors, l équivalence précédente nous assure de l existence de n vecteurs colonnes non nuls K, K 2,, K n tels que i [,n ], (A λ i I )K I = 0 C est-à-dire AK i = λ i K i On définit la matrice P en plaçant côte à côte les n vecteurs colonne K i : P = (K K 2 K n ) Et on pose λ (0) λ 2 D = (0) λ n Alors, un calcul immédiat donne : λ (0) λ 2 PD = (K K 2 K n ) = (λ K λ 2 K 2 λ n K n ) = AP (0) λ n (la multiplication à droite de P par la matrice D revient à faire des dilatations sur les colonnes de P) On admet ici (se démontre très facilement quand on a étudié les applications linéaires) que la matrice P est inversible On a donc A = PDP Dans les devoirs, on vous guidera donc de la façon suivante : a) Trouver les valeurs de λ telles que A λi n est pas inversible (à l aide du pivot de Gauss-Jordan en général) b) Résoudre le système AX = λx et en déduire une matrice P qui convient C Écrire matriciellement les suites récurrentes linéaires d ordre p Définition 64 : On définit une suite récurrente linéaire d ordre p (à coefficients constants) dans K N par n N, u n+p = a u n+p + a 2 u n+p a p u n avec (a, a 2,, a p ) K p Page 25 sur 28

26 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot Propriété 65 : Toute suite récurrence linéaire d ordre p peut être écrite sous forme matricielle comme une suite linéaire d ordre : U n+ = AU n avec (U n ) ( M p, (K) ) N, et A Mp (K) Avec les notations précédentes, on définit U n et A par U n = u n u n+ u n+p A = a p a 2 a Il suffit de vérifier par le calcul que U n+ = AU n Propriété 66 : Soit la suite la suite (U n ) définie pour tout n N par U n+ = AU n Alors pour tout m 0, U n+m = A m U n En particulier U m = A m U 0 Attention : Les matrices A m et U 0 ne commutent pas (les dimensions seraient incompatibles) par récurrence immédiate La suite de Fibonacci définie par u n+2 = u n+ + u n et u 0 = 0 et u = La suite définie par u n+ = u n+2 + 5u n+ u n Théorème 67 (Solutions de la récurrence d ordre 2) Soit (b,c) R 2 On définit la suite récurrente linéaire d ordre 2 à coefficients constants par n N, u n+2 + bu n+ + cu n = 0 On rappelle que équation caractéristique est x 2 + bx + c = 0 On note son discriminant Si > 0, on note (r,r 2 ) les deux solutions de l équation caractéristique, Alors (λ,µ) R 2, tel que n N, u n = λr n + µr n 2 Si = 0, on note r la racine double de l équation caractéristique, Alors (λ,µ) R 2, tel que n N, u n = λr n + µnr n Si < 0, on note r ± = ρ e ±iθ les racines complexes conjuguées de l équation caractéristique, Alors (λ,µ) R 2, tel que n N, u n = ρ n ( λcos(nθ) + µsin(nθ) ) λ et µ sont déterminés de façon unique par u 0 et u Page 26 sur 28

27 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot Nous avions donné une preuve par récurrence dans le chapitre sur les suites usuelles Nous proposons ici, une preuve utilisant les matrices Elle est un peu plus difficile, mais elle permet de mieux comprendre d où viennent les disjonctions cas = 0, > 0 Si on pose pour tout n N, U n = ( u0 u ) ( ) 0 et A = c b Alors n N, U n+ = A n U n et par récurrence immédiate, U n = A n U 0 Pour calculer les puissances de A, on cherche à la diagonaliser lorsque c est possible On étudie donc pour quelles valeurs de λ la matrice A λi n est pas inversible ( ) λ A λi = c b λ Or cette matrice n est pas inversible si et seulement si son déterminant est nul, c est-à-dire si et seulement si On retrouve l équation caractéristique : λ 2 + bλ + c = 0 C est magique! λ( b λ) ( c) = 0 Si > 0, alors il y a deux valeurs propres distinctes r et r 2, et A est diagonalisable Il existe donc une matrice inversible P GL n (R) telle que ( ) r 0 A = P P 0 r 2 Si on note V n = P U n, alors n N, V n = P A n U 0 = P PD n P U 0 = D n V 0 ( ) vn On peut écrire pour tout entier naturel n, V n = Et dans ce cas, w n Or n N, U n = PV n, donc si on écrit P sous la forme n N, v n = r n v 0 et w n = r n 2 w 0 ( ) α β P = δ γ alors n N, u n = αv n + βw n = r n (αv 0) + r n 2 (βw 0) Dans le théorème, on a noté αv 0 = λ et βw 0 = µ (que l on trouve grâce aux premiers termes de la suite u) On remarque en particulier que l on n a pas besoin ici de connaître les coefficients de la matrice P Si < 0, alors on diagonalise la matrice sur C (deux racines complexes distinctes) et on se ramène ensuite sur R comme cela est détaillé dans la preuve du chapitre sur les suites usuelles Si = 0, alors la condition suffisante de diagonalisabilité n est pas vérifiée (dans le cas présent, on pourrait montrer très simplement que la matrice ne peut pas être diagonalisable : vous pouvez chercher à le démontrer en exercice) On note r = b 2 la racine double et on sait donc que = b2 4c = 0, ainsi c = b2 4 = r 2 Dans la suite, on suppose r 0 (sinon, la suite est nulle pour n 2) On peut écrire A sous la forme ( ) 0 A = r 2 2r En fait, c est mathématique, mais selon une acception très courante face au tableau : c est magique Et comme pour tout bon tour de magie, ce n est pas drôle d aller chercher à dévoiler les ficelles qui le permettent, et on se garde donc bien d essayer de comprendre ce que dit le prof pour garder intact l émerveillement Page 27 sur 28

28 M Molin - Lycée Marcelin Berthelot On s inspire du cas diagonalisable et on étudie la matrice N = A r I : ( ) ( ) ( ) 0 r 0 r N = A r I = r 2 = 2r 0 r r 2 r Et on trouve que N 2 = 0 On peut donc appliquer avec profit le binôme de Newton (les matrices commutent) : n, A n = (N + r I ) n = ( ) ( ) n n N k r n k = r n I + nr n N = r n (r + nn ) = r n r ( n) p k nr 2 r ( + n) k=0 Or U n = A n U 0 et donc avec la première ligne du produit : Dans le théorème, on a pose λ = u 0 et µ = u r u 0 Utilisation similaire : u n = r n ( n)u 0 + nr n u = r n u 0 + nr n ( u r u 0) Cette méthode de diagonalisation peut aussi être utilisée pour des suites ayant des relations linéaire entre elles Par exemple, si on définit deux suite (u n ) et (v n ) telles que { un+ = au n + bv n n N, v n+ = cu n + d v n alors on pourra poser Ainsi, U n = ( un v n ) ( ) a b avecu n+ = U c d n = AU n n N, U n = A n U 0 Et le problème revient à calculer les puissances de A par une méthode au choix Remarque : Dans le cas présent avec uniquement deux suites, il est souvent plus simple de faire apparaître une relation de récurrence d ordre 2 pour la suite (u n ) et de résoudre cette récurrence Si vous avez oublié cette méthode, un petit passage par le chapitre sur les suites usuelles pourrait vous éviter un passage par la case prison Nous retrouverons abondamment ce type de relations linéaires en probabilités Et si vous avez tout lu et êtes toujours en vie à la fin de ce polycopié, c est soit que vous n avez pas compris grand chose, soit que vous êtes très bien parti pour réussir! Neo: Why does my brain hurt? Morpheus: You ve never used it before Librement adapté de The Matrix Page 28 sur 28