Le rapport du stage du Master 2 recherche. YANG Chang

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1 Le rapport du stage du Master 2 recherche YANG Chang Le 19 Juin 2008

2 Table des matières 1 La méthode de level set La propagation d interface La formulation de la valeur initiale Les avantages de l équation de level set Les équations d Hamilton-Jacobi Les équations d Hamilton-Jacobi La solution de viscosité de l équation d Hamilton-Jacobi Les méthodes numériques pour discrétiser l équation d Hamilton- Jacobi Les schémas de la loi de conservation hyperpolique pour l équation d Hamilton-Jacobi La convergence des schémas pour l équation d Hamilton- Jacobi Quelques flux monotones Les schémas Essentiellement Non-Oscillant pour l équation d Hamilton-Jacobi La construction d ENO La méthode de TVD Runge-Kutta La stabilité et la condition au bord Les exemples des schémas ENO L équation de transport L évolution de la frontière Les applications de l équation de level set pour les problèmes imageries L introdution des problèmes Le mouvement du level set Les équations du mouvement Le flux min/max

3 4.3 Des exemples Les appliquations du flux min/max à l image binaire La restauration pour les images de niveau gris La restauration pour les images couleurs

4 Résumé Mon stage de Master 2 recherche concerne la méthode Level Set appliquée au filtrage d images. Dans le premier temps, j ai étudié les équations d Hamilton- Jacobi et de leur résolution numérique par des méthodes d ordre élevée type ENO, puis d appliquer ces techniques à la propagation d interface via la méthode Level Set. Une fois ces techniques assimilées, je les ai, suivant un article de Sethian, utiliser dans le cadre du filtrage d images et les comparer aux méthodes usuelles type filtrage gaussien ou autre.

5 Chapitre 1 La méthode de level set Dans ce chapitre, on va présenter la méthode de level set. Cette méthode est introduite par Osher et Sethian. Maintenant, elle est developpée dans beaucoup de domaines scientifiques. Nons allons présenter la technologie de cette méthode. 1.1 La propagation d interface Considèrons une frontière, soit une courbe en dimension deux ou soit une surface en dimension trois, qui sépare un milieu d un autre. Imaginons que cette courbe/surface bouge dans la direction normale avec une fonction de vitesse F connue (voir la figure 1.1). Notre but est de suivre le mouvement de cette interface. On ne s interesse qu au mouvement dans la direction normale et néglige celui dans la direction tangente. La fonction de vitesse F dépend de certains facteurs F = F prop + F cour + F adv où F prop = F 0 est la vitesse d expansion, F cour = εκ est la vitesse dépendant de la courbure et F adv = U (x, y, t) n est la vitesse d advection où n est la normale à la direction et la force dépendant de la position et le temps. Pour simplifier, dans ce rapport, on considère seulement F = F prop + F cour. 1.2 La formulation de la valeur initiale Supposons que la frontière bouge avec la vitesse F qui peut être positive ou négative. Ça veut dire que la frontière peut bouger vers l intérieur ou vers l extérieur. Le point essentiel de la méthode level set est d imaginer la 1

6 Fig. 1.1 La propagation de la courbe avec la vitesse F dans la direction normale position initiale de la frontière comme le level set de niveau zéro de la fonction φ de dimension supérieure qui dépend de l espace et du temps. Désormais, notre problème revient à étudier l évolution de la fonction φ à partir de la donnée initiale. Pour chaque pas de temps, la frontière est donnée par le level set de niveau zéro de la fonction φ (voir la figure 1.2). Soit Γ est la frontière considèrée, alors on a pour tous les instants Γ = {x R 2 tel que φ(x, t) = 0} et puis la position de Γ dépend de t, donc on a D après le règle de dérivation, φ(x(t), t) = 0 φ t + φ(x(t), t) x (t) = 0. (1.1) Or F est la vitesse dans la direction de la normale extérieure, et on a où n = φ/ φ. (1.1) et(1.2) entraînent que x (t) n = F, (1.2) { φt + F φ = 0 φ(x, t = 0). (1.3) (1.3) est l équation de level set. On va voir dans le chapitre suivant que l équation level set est une équation d Hamilton-Jacobi pour certaine fonction de vitesse F. 2

7 Fig. 1.2 Transformation du mouvement de la frontière sous la forme d un problème de Cauchy 1.3 Les avantages de l équation de level set Il y a certains avantages pour l équation de level set quand on étudie la propagation de l interface. L équation de level set garde la formulation en dimension supérieure. Les changements de topologies de l évolution de la fontière Γ sont manipulés naturellement. La position de la frontière en temps t est donnée par le level set de niveau zéro. Cet ensemble ne restreint pas à des courbes simples, il peut se casser et se fusionner quant t avance (voir la figure 1.3). Parce que la fonction de level set reste la seule valeur. La solution de viscosité de l équation de level set garantit d obtenir l unique solution entropique. On discrétise l équation de level set par la technique des lois de conservations hyperpoliques. Les propriétés géométriques de la frontière sont déterminées facilement. Par exemple, pour chaque point dans la frontière, le vecteur normal est 3

8 (a) La surface de level set avec deux frontière initiales separées (noir) (b) Le temps avancé : la topologie d interface change, donnant une courbe simple comme level set de niveau zéro Fig. 1.3 Le changement topologique donné par n = φ φ et la courbure de la frontière est obtenu à partir de la divergence du vecteur normal unitaire. κ = φ φ = φ xxφ 2 y 2φ x φ y φ xy + φ xx φ 2 y (φ 2 x + φ 2 y) 3/2. (1.4) 4

9 Chapitre 2 Les équations d Hamilton-Jacobi 2.1 Les équations d Hamilton-Jacobi Le problème d Hamilton-Jacobi(HJ) est un problème de Cauchy de la forme { ut + H(Du, x) = 0 (2.1) u(x, 0) = g. où H(Du, x) : R n R s appelle l Hamiltonien La solution de viscosité de l équation d Hamilton- Jacobi Dans les années 1980, Crandall, Evans et Lions ont introduit une solution faible pour les équations d Hamilton-Jacobi, qui s appelle la solution de viscosité. L idée est de trouver une manière pour d échanger la dérivé de la fonction singulière u à une fonction test v. La solution de viscosité est définie de la manière suivante : Définition 2.1 Une fonction u est appelée solution de viscosité de l équation (2.1), si pour toutes les fonctions v régulières, 1. si u v a un maximun local au point (x 0, t 0 ), alors v t (x 0, t 0 ) + H(Dv(x 0, t 0 ), x 0 ) 0, 2. si u v a un minimun local au point (x 0, t 0 ), alors v t (x 0, t 0 ) + H(Dv(x 0, t 0 ), x 0 ) 0. 5

10 D après l article de Crandall, Evans et Lions[1], on a quelques propriétés de la solution de viscosité de l équation d Hamilton-Jacobi. Remarque 2.1 Si u est une solution régulière de l équation d Hamilton- Jacobi, alors elle est une solution de viscosité. En effet, soit u est une solution régulière de l équation (2.1) et u v a un maximun local au point (x 0, t 0 ), alors D(u v)(x 0, t 0 ) = 0 et t (u v)(x 0, t 0 ) = 0, donc v t (x 0, t 0 ) + H(Dv(x 0, t 0 ), x 0 ) = u t (x 0, t 0 ) + H(Du(x 0, t 0 ), x 0 ) = 0. Il est similaire pour le minimun local. Donc d après la définition 2.1, une solution régulière est aussi une solution de viscosité de l équation d Hamilton-Jacobi. Remarque 2.2 Si une solution de viscosité est différentiable en certains points, elle est la solution régulière en ces points. Remarque 2.3 Il n existe qu une solution de viscosité qui satisfait la définition 2.1. Remarque 2.4 Si u est construite en prenant la limite de u ε quand ε tend vers zéro, où u ε est la solution régulière de l équation u t + H(Du, x) = ε u, alors elle est une solution de viscosité. Remarque 2.5 Si l Hamiltonien est lipschitzien pour chaque variable, c est à dire pour x, y, p, q R n H(p, x) H(q, x) C p q, H(p, x) H(p, y) C x y (1 + p ), alors il existe au plus une solution de viscosité de l équation d Hamilton- Jacobi. 2.2 Les méthodes numériques pour discrétiser l équation d Hamilton-Jacobi Dans cette section, on veut construire les schémas numériques pour l équation d Hamilton-Jacobi qui convergent vers la solution de viscosité. 6

11 2.2.1 Les schémas de la loi de conservation hyperpolique pour l équation d Hamilton-Jacobi On étudie d abord dans le cas dimension une, l équation (2.1) revient u t + H(u x ) = 0 (2.2) Si on pose u x = ϕ et dérive l équation (2.2), on obtient la loi de conservation hyperpolique ϕ t + [H(ϕ)] x = 0 (2.3) On intègre (2.3) par rapport x de x i 1/2 à x i+1/2, d dt xi+ 1 2 ϕ(x, t)dx + H(ϕ(x i+ 1, t)) H(ϕ(x 2 i 1, t)) = 0 (2.4) 2 x i 1 2 Pour discrétiser (2.4), on introduit la définition suivante : Définition 2.2 Un schéma est sous la forme conservative s il existe une fonction flux g qui approche H(ϕ) (voir la figure 2.1), tel que ϕ n+1 i ϕ n i t = g(ϕn i, ϕ n i+1) g(ϕ n i 1, ϕ n i ). (2.5) x Fig. 2.1 renouveler ϕ à partir de la fonction flux g Pour obtenir la propriété de consistance, il faut que g(ϕ, ϕ) = H(ϕ). Considèrons un schéma W qui possède trois arguments ϕ n i 1, ϕ n i, ϕ n i+1, on 7

12 dit que le schéma de différences finies à 3 points ϕ n+1 i = W (ϕ n i 1, ϕ n i, ϕ n i+1) est monotone si W est une fonction qui ne décroit pas par rapport à ses arguments. D après la figure 2.1, la partie à droite de l équation (2.5) est le schéma à différences centrées de la fonction de flux g. Si on réécrit l équation d Hamiltonjacobi comme u t + H(ϕ) = 0 (2.6) On discrétise l équation (2.6) en utilisant u n+1 i, u n i et H(ϕ n i ) (voir la figure 2.2) Le terme H(ϕ n i ) est approché par la fonction de flux comme Fig. 2.2 renouveler u à partir de l Hamiltonien numérique H(ϕ n i ) g(ϕ n, ϕ n ) i 1 i Donc on obtient le schéma pour l équation d Hamilton-jacobi en dimension une, u n+1 i = u n i tg(d x i, D +x i ), où D ± i u = ± un i±1 un i x. Les schémas de l équation d Hamilton-Jacobi en dimension supérieur pour Hamiltonien symétrique peuvent être construits en remplaçant chaque argument de la fonction de flux de la façon précédente. Par exemple, en dimension deux, on approche u t + H(u x, u y ) = 0 (2.7) par u n+1 i,j = u n i,j tg(d x i,j u, D+x i,j u, D y i,j 8 u, D+y i,j u). (2.8)

13 2.2.2 La convergence des schémas pour l équation d Hamilton- Jacobi Dans cette section, on travaille avec l équation (2.7). On réécrit (2.8) sous la forme suivante : u n+1 i,j = G(u n i 1,j, u n i,j 1, u n i,j, u n i+1,j, u n i,j+1) On dit que G a une forme différentiale s il existe une fonction g telle que G(u n i 1,j, u n i,j 1, u n i,j, u n i+1,j, u n i,j+1) = u n i,j tg(d x i,j u, D+x i,j u, D y i,j u, D+y i,j u). Dans ce cas, g est l Hamiltonien numérique du schéma. Crandall et Lions [2] ont montré que si un schéma satisfait deux propriété suivantes : 1. Consistence : Quand les dérivés sont constantes dans la direction x et dans la direction y, c est à dire que u x = a et u y = b pour H(Du) = H(u x, u y ), alors g(a, a, b, b) = H(a, b). 2. Monotone : G(u n i 1,j, u n i,j 1, u n i,j, u n i+1,j, u n i,j+1) est une fonction qui ne décroit pas par rapport à ses arguments si D ±x i,j R et D±y i,j R, où R est une borne à priori dépendant de la solution de l équation (2.7). Dans ce cas, le schéma s appelle monotone dans [ R, R]. Alors ce schéma converge vers la solution viscosité. Maintenant, on prend un exemple pour comparer les différents schémas. L equation u t F (1 + u 2 x) 1/2 = 0 (2.9) est une équation d Hamilton-Jacobi. Si on donne la donnée initiale comme { x, si x < 0, u(x, 0) = x, si x 0, alors la courbe bouge dans la direction normale avec la vitesse F. On discrétise l équation (2.9) d abord par le schéma aux différences finies centrées = u n i + dtf (1 + ( un i+1 u n i 1 ) 2 ) 1/2. (2.10) u n+1 i 2dx Le schéma (2.10) est consistent, mais il n est pas monotone, donc il ne converge pas vers la solution viscosité de l équation (2.9). La figure 2.3(a) vérifie ce résultat. Ensuit, on discrétise l équation (2.9) avec le schéma Go- 9

14 1.8 donnee initiale schema difference centrale 1.8 donnee initiale schema Godunov (a) La propagation avec le schéma différences finies centrées (b) La propagation avec le schéma Godunov Fig. 2.3 La solution viscosité avec F = 1 dunov u n+1 i = u n i + dtf (1 + (min(d x i, 0)) 2 + (max(d +x i, 0)) 2 ) 1/2. (2.11) Le schéma (2.11) remplit les conditions précédentes, donc il converge vers la solution de viscosité de l équation (2.9) (voir la figure 2.3(b)). 2.3 Quelques flux monotones On considère le schéma monotone d ordre 1, ϕ n+1 i,j = ϕ n i,j tĥ(d+x i,j ϕ, D x i,j ϕ, D+y i,j ϕ, D y i,j ϕ) (2.12) où Ĥ est la fonction de flux consistente et monotone. c est à dire que Ĥ(a, a, b, b) = H(a, b) et Ĥ ne croit pas par rapport aux premier et troisième arguments et ne décroit pas par rapport aux deuxième et quatrième arguments. On note Ĥ(u+, u, v +, v ). 1. Le flux de Lax-Friedrichs Ĥ LF (u +, u, v +, v ) = H( u+ + u 2, v+ + v ) αx (u + u ) 1 2 αy (v + v ) où α x = max H 1(u, v), α y = max H 2(u, v). A u B,C v D A u B,C v D Ici, H i (u, v) est la dérivé partielle de H par rapport au ième argument. Le flux ĤLF est monotone pour A u ± B, C v ± D. 10

15 2. Le flux de Godunov Ĥ Gov (u +, u, v +, v ) = ext u I(u,u + )ext v I(v,v + )H(u, v) où I(a, b) = [min(a, b), max(a, b)] et la fonction ext est définie par min, si a b, a u b ext u I(a,b) =, si a > b. max b u a À cause de min max H(u, v) max min H(u, v), donc l ordre différent u v u v donne ĤGov différent. Si H(u, v) = H 1 (u) + H 2 (v), alors ĤGov est unique. Dans ce cas, tĥgov (u, v) est la solution viscosité { du problème u +, si x 0, u, si x < 0,, de Riemann ϕ 0 (x, y) = xu 0 (x) + yv 0 (y), où u 0 (x) = { v v(x) = +, si y 0, v, si y < Le flux de Lax-Friedrichs Local Ĥ LF F (u +, u, v +, v ) = H( u+ + u αy (v +, v )(v + v ), v+ + v ) αx (u +, u )(u + u ) où α x (u +, u ) = max H 1 (u, v), u I(u,u + ),C v D α y (v +, v ) = max H 2 (u, v). A u B,v I(v,v + ) Ĥ LF F est monotone pour A u ± B, C v ± D. Ce flux a moins de dissipation que le flux Lax-Friedrichs. 4. Le flux Roe avec la correction entropique de Lax-Friedrichs Local Ĥ RF (u +, u, v +, v ) = H(u, v ), sih 1, H 2 ne change pas de signe pour u I(u, u + ), v I(v, v + ), H( u+ +u, v ), sinon et H 2 2 ne change pas de signe pour A u B, v I(v, v + ), H(u, v+ +v ), sinon et H 2 1 ne change pas de signe pour C v D, u I(u, u + ), Ĥ LF F (u +, u, v +, v ), sinon. { u où u (x) = +, si H 1 (u, v) 0, { u, si H 1 (u, v) 0, v et v (x) = +, si H 2 (u, v) 0, v, si H 2 (u, v) 0. Ĥ RF est monotone pour A u ± B, C v ± D. 11

16 Chapitre 3 Les schémas Essentiellement Non-Oscillant pour l équation d Hamilton-Jacobi Les schémas aux différences finies et volumes finis sont basés sur l interpolation de données discretes en utilisant des polynômes ou autres fonctions simples. Il est connu que plus de points sont utilisés dans le stencil, plus la précision qu on obtient pour les schémas augment. Mais si le stencil contient un point singulier, il produit une oscillation. Les schémas ENO sont introduits par Harten, Engquist, Osher et Chakravarthy en Le but de ces schémas est d essayé de choisir le stencil sans point singulier. Donc les schémas ENO sont appropriés aux problèmes qui contiennent les chocs ou les stuctures de flux régulier compliqué. 3.1 La construction d ENO On travaille d abord dans le cas de la dimension une sur l équation { ut + H(u x ) = 0 u(x, 0) = u 0 (x). (3.1) On discrétise l équation (3.1) seulement pour la variable spatiale, on obtient d dt u i(t) = Ĥ(D+x i u(t), D x i u(t)) (3.2) La formule (3.2) est un schéma d ordre 1 en espace. Maintenant, on veut remplacer D ± i u(t) par u± i (t), où u± i (t) sont les approximations d ordre supérieur pour les dérivés de u(x, t) à gauche et à droite 12

17 au point (x, t) : u ± u i (t) = x (x± i, t) + o( xr ) (3.3) où r est d ordre de précision. La procédure d interpolation d ENO est suivante : Donne les valeurs u(x j ), j = 0,, N de la fonction u aux points x j, j = 0,, N. On associe P u,r j+1/2 (x) un polynôme de degré r pour chaque intervalle [x j, x j+1 ], avce le point le plus gauche dans le stencil comme x (r) k, le min polynôme est construit par récurrence comme suite : 1. P u,1 j+1/2 (x) = u[x j] + u[x j, x j+1 ](x x j ), k (1) min = 1 2. Si k (l 1) min et u,l 1 et P (x) sont définis, alors on pose j+1/2 a (l) = u[x (l 1) k,, x (l 1) min k +l] min b (l) = u[x k (l 1) min 1,, x k (l 1) min +l 1] (a) si a (l) b (l), alors c (l) = b (l) et k (l) et k (l) min = k(l 1) min, (b) si P u,l j+1/2 u,l 1 (x) = Pj+1/2 (x) + c(l) min = k(l 1) min k (l 1) min +l 1 i=k (l 1) min (x x i ) 1, sinon c(l) = a (l) Dans la procédure précédente, u[,, ] est la différence divisée standard de Newton, définie par récurrence comme : u[x 1, x 2,, x k+1 ] = u[x 2,, x k+1 ] u[x 1, x 2,, x k ] x k+1 x 1 avec u[x 1 ] = u(x 1 ). L algorithme d interpolation ENO commence avec le polynôme de degré 1 P u,1 j+1/2 (x) qui interpole la fonction u(x) aux deux points x j et x j+1. Si on arrête ici, on obtient le schéma d ordre 1. Si on continue la procédure, on ajoute un point dans le stencil, le point vient d un des deux points à gauche et à droite au côté du stencil. Or, d après les propriétés de la différence divisé : 1. si la fonction u(x) est régulière dans le stencil u[x i,, x i+j ] = u(j) (ξ), (3.4) j! 13

18 2. Si u(x) est discontinue au certains points dans le stencil, alors d après la définition de la différence divisé u[x i,, x i+j ] = o( 1 ). (3.5) xj Donc la différence divisé est une mesure de la régularité de la fonction u(x) dans le stencil. À cause de (3.4) et (3.5), on choisit toujours la valeur absolue plus petite de différence divisé telle que le polynôme est plus régulier dans le stencil. On continue la procédure jusqu à l étape r, on obtient le polynôme P u,r j+1/2 (x) = r l=0 On dérive (3.6) par rapport à x u,r Pj+1/2 (x) = (x) p u,r j+1/2 x = u[x (1) k, x (1) min k +1] + min r l=2 u[x (l) k,, x (l) min k u[x (l) k,, x (l) min k L approximation de la dérivé à droite de u est u + j (l 1) kmin +l 1 +l] min i=k (l 1) min (l 1) kmin +l 1 +l] min m=k (l 1) min = p u,r u j+1/2 (x) = x (x j) + o( x r ). (x x i ) (3.6) k (l 1) min +l 1 i=k (l 1) min,i m (x x i ). (3.7) Donc u + j est d ordre r de la précision. Il est similaire pour u j = p u,r j 1/2 (x). Maintenant, on considère le problème pour la dimension 2. D après la section 2.3, on a ϕ t + tĥ(u+ i,j, u i,j, v+ i,j, v i,j ) = 0 où u ±, v ± sont les dérivés d ordre supérieur de la précision. En utiliant (3.7), on obtient u ± i,j = d dx P ϕ,r i±1/2,j (x i), et v ± i,j = d dx P ϕ,r i,j±1/2 (y j). Pour le cas de dimension supérieur que 2, on peut suivre la même procédure. 14

19 3.2 La méthode de TVD Runge-Kutta Jusqu à maintenant, on ne discrétise que l espace et laisse la variable en temps continue. Dans cette section, on considère la méthode de TVD Runge- Kutta, qui est développée par C.-W.Shu et S. Osher[3]. C est une méthode TVD et d ordre supérieur en temps. La méthode de TVD Runge-Kutta est utilisée pour résoudre le problème d EDO comme u t = L(u) (3.8) où L(u) est l approximation de la fonction de flux. Si on discrétise (3.8) en temps par un schéma d ordre 1, on a u n+1 = u n + tl(u n ) (3.9) On suppose que (3.9) est stable pour certaine norme sous la restriction en t : u n+1 u n (3.10) t t 1 (3.11) On veut chercher la méthode de TVD Runge-Kutta d ordre supérieur en temps telle que la propriété de stablité maintient sous la restriction en t : t c t 1 (3.12) où c est le cœfficient CFL pour la discrétisation en temps d ordre supérieur. Dans l article [3], une méthode générale de Runge-Kutta est donnée sous la forme : i 1 u (i) = (α ik u (k) + tβ ik L(u (k) )), i = 1,, m k=0 u (0) = u n, u (m) = u n+1 (3.13) Si tous les cœfficients sont non négatifs, c est à dire que α ik 0, β ik 0, alors (3.13) est une combination convexe des schémas explicites, avec t remplacé par β ik α ik t et i 1 α ik = 1. Si on prend la variation totale de u (i), où T V (u) = j k=0 u j u j 1, alors on a i 1 T V (u (i) ) = T V ( (α ik u (k) + tβ ik L(u (k) ))) k=0 15

20 i 1 α ik T V (u (k) + β ik tl(u (k) )) α ik k=0 Si β ik α ik t t 1, d après (3.10) et (3.11) on a pour k = 0,, i 1. Donc T V (u (k) + β ik α ik tl(u (k) )) T V (u n ) i 1 T V (u (i) ) α ik T V (u n ) T V (u n ). (3.14) k=0 Donc d après (3.14), on obtient immédiatement le lemme suivant : Lemme 3.1 La méthode de Runge-Kutta est TVD avec le cœfficient CFL où α ik 0 et β ik 0. c = min i,j D après [3], les schéma TVD Runge-Kutta d ordre 2 et d ordre 3 satisfont la condition du lemme 3.1 avec le cœfficient CFL égal à 1. Le schéma d ordre 2 s écrit : u (1) = u n + tl(u n ), u n+1 = 1 2 un u(1) tl(un+1 ). Le schéma d ordre 3 s écrit : u (1) = u n + tl(u n ), u (2) = 3 4 un u(1) tl(u(1) ), u n+1 = 1 3 un u(2) tl(u(2) ). α ik β ik 3.3 La stabilité et la condition au bord La stabilité des schémas utilisés est assurée si la condition CFL suivante est vérifiée (en dimension 3) : t max( H 1 x + H 2 y + H 3 z ) = C cfl avec 0 < C cfl < 1, où H ii=1,2,3 sont respectivement les dérivés partielles de H par rapport à ϕ x, ϕ y, ϕ z. D après [4], C cfl est choisi entre 0.5 et 0.7 dans la pratique. 16

21 La manière la plus naturelle de traitement de la condition au bord pour le schéma ENO est d utiliser seulement les valeurs intérieures au domaine de calcul quand on choisit le stencil. C est à dire que le stencil contenu completement dans la domaine de calcul est utilisé dans la procédure de la construction d ENO. Dans l implementation pratique, on peut ajouter les points ghost extérieur au domaine de calcul. Ces points possèdent des grandes valeurs et il y a des grandes variations entre eux. Par exemple, u j = (10j) 10 pour j = 1, 2, sont des points ghost. 3.4 Les exemples des schémas ENO Avant de donner des exemples, on résume la méthode des schémas ENO pour l équation d Hamilton-Jacobi. On considère l équation d Hamilton-Jacobi en dimension 2 comme { ϕt + H(ϕ x + ϕ y ) = 0, Algorithme 3.1 ϕ(x, y, 0) = ϕ 0 (x, y). 1. Dans chaque nœud (i, j), on calcule dans la direction x en fixant j, on obtient u ± ij = d dx P ϕ,r i±1/2 (x i) similaire pour v ± ij. Et puis, on pose L ij = tĥ(u+ ij, u ij, v+ ij, v ij ). 2. On obtient ϕ n+1 à partir de ϕ n par la procédure de Runge-kutta : k 1 ϕ (k) ij = (α kl ϕ (l) ij l=0 ϕ (0) ij L équation de transport + β kll (l) ij )), k = 1,, m, = ϕ n ij, ϕ (m) ij = ϕ n+1 ij. On consière l équation de transport dimension 1 avec la donnée initiale u t + u x = 0, (3.15) u(x, 0) = { sin(4πx), si 0 x 0.5 0, sinon. (3.16) 17

22 On peut écrire (3.15) sous la forme de l équation d Hamilton-Jacobi u t + H(u x ) = 0, avec H(u) = u. En utilisant le schéma de Lax-Friedrichs, on obtient la formule de semidiscrétisation u t + u+ + u (u+ u ) = 0 (3.17) On simplifie (3.17), on a u t + u = 0. (3.18) Si on approxime u par le schéma en amont u u i u i 1 u n+1 u n t, alors (3.18) revient u n+1 i x et discrétise u t par u n i + un i u n i 1 = 0. (3.19) t x Le schéma (3.19) est d ordre 1 en temps et d ordre 1 en espace. D après la figure 3.1(a) la ligne bleue, la dissipation excessive de la solution est évidente. Si on approche u par le schéma ENO d ordre 3, et discrétise u t comme précédent. Cette fois, le schéma produit des oscillations au sommet de la fonction sinus.(voir la figure 3.1(b) la ligne bleue) Donc le schéma ENO d ordre 3 n est pas TVD sous la condition CFL C cfl = 0.5. Or d après le lemme 3.1, la méthode Runge-Kutta est TVD sous la condition t c t 1. Si on suppose que ϕ n+1 est la solution obtenue par le schéma (3.19) et que ψ n+1 est la solution obtenue par la méthode de TVD Runge- Kutta, alors on a T V (ψ n+1 ) T V (ϕ n+1 ) Donc la méthode de TVD Runge-Kutta garantit la stabilité nonlinéaire. On reconstruit le schéma avec la méthode de TVD Runge-Kutta et la méthode ENO. En observant la figure 3.1(b) la ligne noir, on voit que la solution numérique approche bien la solution exacte. À la fin, on compare les erreurs relatives pour l équation de transport des différences méthodes. L erreur relative est définie comme N (u i uex i ) 2 ER(u) = i=0 N (uex i ) 2 On répéte les tests précédents et obtient le tableau suivant : i=0 18

23 ENO1 ENO2 ENO3 schéma d ordre 1 en temps schéma TVD RK schéma TVD RK Conclution : D après l analyse précédente, on sait que la variation totale de la méthode de TVD Runge-Kutta est plus petite que celle du schéma d ordre 1 en temps, donc en comparant chaque colonne du tableau, on voit que la méthode de TVD Runge-Kutta disperse plus. Mais on sait aussi que le schéma produit les oscillations donc l erreur relative du schéma ENO3 en espace et d ordre 1 en temps est la plus grande. Si on combine le schéma ENO3 et le schéma TVD Runge-Kutta, ils entraînent l erreur relative la plus petite L évolution de la frontière Maintenant, on considère l équation de level set du chapitre 1 { φt + F φ = 0, φ(x, y, 0) = h(x, y). (3.20) où F est la fonction de vitesse dans la direction normale. F dépend de la force extérieure ou la courbure de level set. Dans cette section, on ne considère que la fonction de vitesse F dépendant de la force extérieure. Pour simplifier le problème, on prend F constante. De même, on écrit (3.20) sous la forme de l équation d Hamilton-Jacobi φ t + H(φ x, φ y ) = 0, (3.21) avec H(u, v) = F u 2 + v 2. On veut utiliser le schéma Godunov(GOD) pour traiter notre problème. On étudie d abord le cas de la dimension 1. Le flux est donné par [5] g GOD (u j, u j+1 ) = χ j+1/2 min[χ j+1/2 H(u)] (3.22) où u [min(u j, u j+1 ), max(u j, u j+1 )] etχ j+1/2 = sgn(u j, u j+1 ) On pose que H (u) = a(u) est la vitesse de propagation. On suppose aussi que H est convexe. En considèrant un intervalle avec un point de maillage avec la valeur u j à gauche et la valeur u j+1 à droite, on analyse le schéma de Godunov pour tous les cas : 1. Si a(u j ), a(u j+1 ) > 0, la courbe caractéristique est à droite, donc g GOD = H(u j ). 2. Si a(u j ), a(u j+1 ) < 0, la courbe caractéristique est à gauche, donc g GOD = H(u j+ ). 19

24 3. Si a(u j ) < 0, a(u j+1 ) > 0, la vitesse à gauche est négative, alors la courbe caractéristique est à gauche ; en contraire, la vitesse à droite est positive, alors la courbe caractéristique est à droite, donc une raréfaction développe. Dans ce cas, g GOD = G(a 1 (0)). 4. Si a(u j ) > 0, a(u j+1 ) < 0, la vitesse à gauche est positive, alors la courbe caractéristique est à droite ; en contraire, la vitesse à droite est négative, alors la courbe caractéristique est à gauche, donc un choc se développe. Dans ce cas, la solution exacte du problème Riemann local dépend de la vitesse de choc s : si s > 0, alors g GOD = H(u j ) ; si s < 0, alors g GOD = H(u j ). Pour le cas particulier H(u) = f(u 2 ), si f (u) < 0, (3.22) entraîne g HJ (u n j, u n j+1) = f((min(u n j, 0)) 2 + (max(u n j+1, 0)) 2 ), si f (u) > 0, (3.22) entraîne g HJ (u n j, u n j+1) = f((max(u n j, 0)) 2 + (min(u n j+1, 0)) 2 ). Il est facile d appliquer le schéma à l équation d Hamilton-jacobi φ j t + g HJ(u, u + ) = 0. Ce schéma doit remplir la condition CFL : t/ x H 1/2. Maintenant, on développe le schéma dans le cas de la dimension 2. D après [5], on définit le schéma Godunov suivant : Soient χ (x) jk = sgn[dx +D φ x jk ],χ (y) jk = sgn[dy +D φ y jk ], on définit le schéma Godunov est H jk (u) = χ (y) jk min(χ(y) jk H(u, v)), v [min(d y φ jk, D y +φ jk ), max(d y φ jk, D y +φ jk )], g GOD (D x φ jk, D x +φ jk, D y φ jk, D y +φ jk ) = χ (x) jk max(χ(x) jk H jk(u)), u [min(d x φ jk, D x +φ jk ), max(d x φ jk, D x +φ jk )]. Dans le cas H(u, v) = f(u 2, v 2 ), si f est non-croissant par rapport à ses arguments, on a g HJ = f((min(d x φ jk, 0)) 2 +(max(d x +φ jk, 0)) 2, (min(d y φ jk, 0)) 2 +(max(d y +φ jk, 0)) 2 ); 20

25 si f est non-décroissant par rapport à ses arguments, on a g HJ = f((max(d x φ jk, 0)) 2 +(min(d x +φ jk, 0)) 2, (max(d y φ jk, 0)) 2 +(min(d y +φ jk, 0)) 2 ). De la même manière, on obtient la semi-discrétisation de l équation d Hamilton- Jacobi. φ jk + g HJ (u, u +, v, v + ) = 0, t avec la condition CFL 1 2[ t H x 1 + t H y 2 ]. On prend deux cercles séparés, tels que les valeurs intérieures des cercles soient négatives et les valeurs extérieures des cercles soient positves. En prenant F = 1, alors les deux cercles évoluent vers l extérieur (voir la figure). Les deux cercles coalescent et deviennent une seule courbe, ce qu on vérifie sur la figure 1.3 du chapitre1. Maintenant, on prend un autre exemple pour comparer les différences de schéma ENO appliqué à l équation de level set. On considère un carré, les valeurs intérieures du carré sont négatives et les valeurs extérieures du carré sont positives. On prend F = 1, alors la frontière bouge vers l intérieure. La figure 3.3(a) montre que le schéma ENO1 produit des lissages aux quatre coins ; La figure 3.3(b) montre que le schéma ENO3 fonctionne mieux que le schéma ENO1 aux quatre coins. 21

26 1.5 1 solution exacte schema ENO1 schema ENO1 et TVD RK (a) Le schéma ENO1 3 2 solution exacte schema ENO3 schema ENO3 et TVD RK (b) Le schéma ENO3 Fig. 3.1 L équation de transport avec donnée initiale la fonction sinus,le temps T = 1,C cfl =

27 la frontiere initiale evolution de la frontiere Fig. 3.2 L évolution de la frontière, la ligne bleue est le level set de niveau zéro initiale et la ligne rouge est le level set de niveau zéro quand le temps avance. 23

28 50 45 la frontiere initiale evolution de la frontiere avec le schema ENO (a) Le schéma ENO la frontiere initiale evolution de la frontiere avec le schema ENO (b) Le schéma ENO3 Fig. 3.3 L évolution de la frontière avec le schéma ENO 24

29 Chapitre 4 Les applications de l équation de level set pour les problèmes imageries Dans ce chapitre, on va étudier les applications de l équation de level set pour traiter les images. On considère aussi les filtrages. 4.1 L introdution des problèmes On considère une image comme une matrice, chaque composant de matrice est la valeur de l intensité I(x, y) qui dépend de la genre de l image. Par exemple, pour les images de blanc et noir, 0 correspond à noir et 255 correspond à blanc ; pour les images de niveau gris, les valeurs de I(x, y) correspondent les valeurs entre 0 et 255 ; pour les images de couleur, I(x, y) correspondent les vecteurs avec trois composants. Donnons une image avec le bruit (voir la figure 4.1), notre but est d éliminer le bruit sans sacrifier les détails utiles. Il existe deux principales façons pour éliminer le bruit. Une façons est d utiliser une fenêtre scannériser l image avec certains filtres, par exemple, le filtre gaussien et le filtre médian ; autre façon est d utiliser l EDP. On d abord étudier la première façon. Un filtre gaussien est un filtre dont la fenêtre est la fonction gaussienne a x π e ax2 Mathématiquement, un filtre gaussien modifie l image originale par la convolution avec la fonction gaussienne. Dans la pratique, on discrétise la fonction gaussienne comme une matrice de la taille de fenêtre, et puis on scannérise 25

30 Fig. 4.1 L image blanc et noir initiale avec 65% bruit l image par cette matrice et fait l opération de convolution avec la matrice, alors on obtient la nouvelle image. On traite la figure 4.1 avec le filtre gaussien (voir la figure 4.2(a)). On voit que le filtre gaussien élimine le bruit, mais il diffuse le bord de figure aussi. (a) Le filtre gaussien (b) Le filtre médian Fig. 4.2 L élimination du bruit avec différents filtres Le filtre médian est aussi un filtre qu on utilise souvant, surtout pour les images avec le bruit de sel et poivre. L idée du filtre médian est de scannériser l image par une fenêtre, chaque fois on remplace la valeur du point au centre de la fenêtre par la valeur médian des valeurs dans la fenêtre. On fait le traitement pour la figure 4.1. En observant la figure 4.2(b), on voit que le bruit reste et le bord des lettres diffuse. 26

31 Fig. 4.3 L élimination du bruit avec la méthode de level set La deuxième façon est d utiliser l EDP, précisément, on utilise l équation de level set. On va présenter les détails dans les sections suivantes. Ici, on utilise cette méthode pour éliminer le bruit de figure 4.1, on trouve qu elle fonctionne bien (voir la figure 4.3). Le bruit est disparu et le bord des lettres maintient bien. 4.2 Le mouvement du level set Les équations du mouvement Imaginons que l intensité I(x, y) évolue sous le flux I t = I. (4.1) C est une équation de chaleur. On peut croire que le bruit peut être éliminer, mais le bord diffuse dans le même temps. On réécrit l équation (4.1) suivante : I t = F I, (4.2) où F = I. I L équation (4.2) est notre équation de level set avec la vitessef = I. Mais I on ne sait pas comment la courbe de level set bouge avec cette vitesse. Pour ceci, on considère une altération de l équation (4.2) I t = F I, (4.3) 27

32 où F = I = κ. I C est notre équation d évolution avec la courbure. On va étudier le mouvement de level set avec cette équation. Considèrons Γ(t = 0) : [0, ) R N une hypersurface, on met cette hypersurface dans une fonction φ dimension supérieure telle que φ(x, t = 0) = 0 pour x Γ(t = 0). On suppose que φ(x, t = 0) = 0 est positive, si x est extérieur de l hypersurface et φ(x, t = 0) = 0 est négative, si x est intérieur de l hypersurface. En particuler, on considère un carré noir avec les perturbations dans quatre arêtes, le noir correspond de la valeur 1 et le blanc correspond de la valeur 1.(voir la figure 4.4(a)). On prend l équation φ t = F φ, (4.4) où F = φ. C est à dire que le level set déplace dans la direction normale φ avec la vitesse F = κ. Comme la figure 4.4(a), la direction normale est de noir à blanc. Si la courbure est positive, alors le level set déplace de noir à blanc ; si la courbure est négative, alors le level set déplace de blanc à noir. Maintenant, il faut discrétiser l équation (4.4). On regarde l équation (4.4) plus précisément, d après (1.4), on a φ t = φ xxφ 2 y 2φ x φ y φ xy + φ yy φ 2 x φ 2 x + φ 2 y (4.5) (4.5) contient les termes φ x, φ y, φ xx, φ yy, φ xy. Donc il faut utiliser le schéma de différence finie centrale pour discrétiser l équation (4.5). L explication est suivante : considèrons des cercle concentrique de nombre infini et chaque cercle comme un level set, alors il est clair que le level set proche à l origine a grande courbure pour les points dans le maillage. Et puis le terme κ φ dépend de la multiplication et la division de φ 2 x + φ 2 y, si on discrétise κ et φ par les schéma différents, alors la grande erreur développe. Donc on a φ x = φ i+1,j φ i 1,j 2dx, 2dx, φ y = φ i,j+1 φ i,j 1 φ xx = φ i+1,j 2φ i,j +φ i 1,j φ yy = φ i,j+1 2φ i,j +φ i,j 1 dx 2, dy 2, φ xy = φ i+1,j+1+φ i 1,j 1 φ i+1,j 1 φ i 1,j+1 4dxdy. (4.6) On remplace les dérivés en espace de (4.5) par (4.6), et discrétise φ t par, alors on obtient le schéma pour l équation (4.5). Avant appliquant φ n+1 φ n dt 28

33 ce schéma, on analyse la stabilité de ce schéma. On écrit le schéma explicite suivant : φ n+1 ij = φ n ij + t[ = t x 2 φ 2 y ( φn i+1,j 2φn i,j +φn i 1,j ) + φ2 φ 2 x +φ2 y dx 2 x ( φn i,j+1 2φn i,j +φn i,j 1 ) φ 2 x +φ2 y dy 2 ( φn i+1,j+1 +φn i 1,j 1 φn i+1,j 1 φn i 1,j+1 )] 4dxdy 2 φxφy φ 2 x +φ2 y φ 2 y φ 2 x +φ2 y +(1 2( t φ 2 y x 2 φ 2 x +φ2 y 2 t 4 x y (φ n i+1,j + φ n i 1,j) + t + t y 2 y 2 φ 2 x φ 2 x +φ2 y (φ n i,j+1 + φ n i,j 1) φ 2 x φ 2 x +φ2 y ))φ n ij φ xφ y φ 2 x +φ2 y (φ n i+1,j+1 + φ n i 1,j 1 φ n i+1,j 1 φ n i 1,j+1) (4.7) Pour chaque φ n k,l où i 1 k i + 1, j 1 l j + 1, on prend la norme infinie. Donc pour obtenir la stabilité de la norme infinie, il faut que 1 2( t x 2 φ 2 y φ 2 x + φ 2 y + t y 2 φ 2 x φ 2 x + φ 2 y ) 1 2( t x 2 + t y 2 ) 0 (4.8) Dans la pratique, on prend la condition CFL suivante : 2( t x + t ) 0.5. (4.9) 2 y2 On applique ce schéma à la figure 4.4(a), on voit que des perturbations sont disparus, mais les 4 coins diffuse beaucoup. Si on continue la procédure, alors le carré noir diminue à un point. (voir la figure 4.4(b)) Pour enlever des perturbations et garder la figure principale, il faut modifier la fonction de vitesse. Dans la section suivante, on va étudier le flux min/max Le flux min/max On a vu dans la section précédente que le flux de courbure diminue les perturbations ainsi que la frontière de la figure. Donc on va essayer des nouveaux flux. On considère deux flux suivants : F (κ) = min(κ, 0) F (κ) = max(κ, 0) Pour le flux min(κ, 0), si κ est négative, le level set déplace avec la vitesse de courbure dans la direction normale ; si κ est nul, le level set ne bouge pas. En appliquant ce flux à la figure 4.4(a), on voit que les perturbations à gauche et en bas sont disparu, mais les perturbations en haut et à droite développent. (voir la figure 4.4(c)) Pour le flux max(κ, 0), on peut analyser de la même manière. En appliquant le flux max(κ, 0) à la figure 4.4(a), on observe que les perturbations à droite et en haut sont disparu, mais les perturbations en 29

34 bas et à gauche développent. (voir la figure 4.4(d)) Pour l image inverse, on voit les mêmes phénomènes. (voir les figures 4.4(e), 4.4(f)) Notre but maintenant est de combiner le flux min(κ, 0) et max(κ, 0). Il faut construire un flux qui choisit le flux correct entre max(κ, 0) et max(κ, 0). On prend un flux qui s appelle le flux min/max de la formule suivante : { min(κ, 0), si Average(x, y) < 0, F min / max = (4.10) max(κ, 0), sinon. où Average(x, y) < 0 est la valeur moyenne de l intensité I(x, y) dans un carré centré au point (x, y). On voit que 0 est le threshold qui est la moyenne de la valeur de noir 1 et la valeur de blanc 1. On considère d abord le carré sans perturbation. Si le point (x, y) est dans la région noir, alors Average(x, y) est négative, et la courbure est non négative, donc le level set dans la région noir ne bouge pas. On peut faire l analyse analogue pour la région blanche. Maintenant, on ajoute des perturbations aux quatre arêtes comme le figure 4.4(a). Pour les deux perturbations en bas et à gauche, la valeur de Average(x, y) est négative, donc on prend le flux min(κ, 0), et puis la courbure au sommet de la perturbation est négative, donc le level set bouge extérieur. Il est analogue pour les perturbations en haut et à droite. En appliquant le flux min/max à la figure 4.4(a), on obtient un carré sans perturbation (voir la figure 4.5(b)). Pour l image inverse, on voit la même phénomène. (voir la figure 4.5(d)) Avant finir cette section, on résume les avantages du flux min/max : 1. Le flux min/max choisit le flux correct soi-même pour enlever les perturbations. 2. La figure principale est bien maintenue. 3. Le flux s arrête automatiquement dès que les perturbations sont enlevées. On prend un test pour vérifier ce avantage. On traite l image de lettres sans bruit comme la figure 4.6(a) avec le flux min/max, on fait respectement 50,100 et 150 itérations. En observant les figures 4.6(b), 4.6(c) et 4.6(d), on voit que la figure reste même. 4. Ce schéma a besoin de l information de level sets voisins. 4.3 Des exemples Les appliquations du flux min/max à l image binaire Maintenant, on applique notre schéma à l image binaire avec le bruit. L image binaire consiste deux couleurs, 0 correspond du noir et 255 cor- 30

35 respond du blanc. On prend comme le threshold. Le bruit est ajouté comme suite : 10% bruit veut dire que 10% de pixels sont remplacés par une valeur choisie par hasard avec la distribution uniforme entre 0 et 255. On traite cette l image avec le flux min/max, plupart du bruit est éliminé (voir la figure 4.7(b)), mais il reste quelques points isolés (c est à dire que le point est plus grand ou plus petit que les points autours), même si on laisse la programmation fonctionnant assez long temps. Parce qu il est facile d analyser que les points autour du point isolé arrivent un état stale avec le flux min/max. Or on sait que le filtre médian est le meilleur filtre pour éliminer le bruit de sel et poivre. On peut considerer les points isolés comme le bruit de sel et poivre. En appliquant le filtre médian à la figure 4.7(b), on obtient la figure sans bruit. (voir la figure 4.7(c)) On fait la même procédure pour les images avec 25, 50, 65 et 80% bruit. On voit la figure 4.8, la colonne à gauche est les images avec bruit, la colonne à droite est les images restaurées La restauration pour les images de niveau gris Pour les images de niveau gris, il n est pas appropié de choisir encore comme le threshold. Parce que si on prend la figure 4.4(a) et remplace le carré noir par un carré gris de la valeur supérieure que et laisse blanc encore 255, alors le flux min/max avec le threshold ne fonctionne plus. Donc on doit construire le threshold appropié. Comme l image binaire, on prend un carré de centre au point (x, y) et de rayon égal à 1. On divise les neuf points en deux groupes, l intensité de premier groupe est inférieure que celle de point (x, y) ; l intensité de deuxième groupe est supérieure que celle de point (x, y) ; et puis on ajout le point (x, y) dans un des deux groupes en comparant qu il est plus approche quel groupe. En utilsant la façon d analyse pour l image binaire, on trouve que si le nombre de points de premier groupe est plus petit que celui de deuxième groupe, on doit prendre le threshold égal à la moyenne de deuxème groupe ; sinon on doit prendre le threshold égal à la moyenne de premier groupe. Pour vérifier ce nouveau throshold, on fait le même test comme l image binaire. On remplace le blanc par le gris de niveau 200 et le noir par le gris de niveau 100. On observe que les perturbations dans le carré gris foncé sont disparus (voir la figure 4.9(b)), on a la phénomène similaire pour l image inverse (voir la figure 4.9(d)). Enfin, on teste le flux min/max pour le bruit de niveaus différents. On remplace 25% et 40% de valeurs de l intensité par la valeur engendrée par la distribution uniforme entre 0 et 255 (voir les figures 4.10(a)) et 4.10(c)). En appliquant le flux min/max, le bruit est éliminé et le bord de figure est un 31

36 peu diffusé. (voir les figures 4.10(b) et 4.10(d)) On traite la figure lenna gris avec 15% multiplicative bruit, le bruit est disparu, mais la figure diffuse un peu, surtout pour les détails, par exemples, les yeux, les cheveux,etc. (voir la figure 4.11) La restauration pour les images couleurs On sait que pour l image couleur chaque point possède trois composants. Donc il est naturel de traiter l image couleur respectement les trois composants et combine les composants restaurés après. Dans la figure 4.14, on élimine le bruit de l image couleur. Le bruit est ajouté en remplaçant 15% de points par la valeur engendrée par la distribution uniforme entre 0 et 255 pour chaque canal d image. On voit que le bruit est disparu, le plupart de détails est maintenu. 32

37 (a) Le carré avec des perturbations (b) F = κ (c) F = min(κ, 0) (d) F = max(κ, 0) (e) F = min(κ, 0) (f) F = max(κ, 0) Fig. 4.4 L évolution des perturbations avec les flux différents 33

38 (a) Le carré avec des perturbations (b) F = F min / max (c) Le carré inverse avec des perturbations (d) F = F min / max Fig. 4.5 L évolution des perturbations avec le flux min/max 34

39 (a) L image origiale sans bruit (b) 50 itérations (c) 100 itérations (d) 150 itérations Fig. 4.6 Le test de le flux min/max pour les différentes itérations 35

40 (a) 10% bruit (b) F = F min / max (c) F = F min / max avec le filtre médian Fig. 4.7 La combinasion du flux min/max et du filtre médian pour restaurer des images binaires avec le bruit sel et poivre 36

41 (a) 25% bruit (b) restauré (c) 50% bruit (d) restauré (e) 65% bruit (f) restauré (g) 80% bruit (h) restauré Fig. 4.8 La restauration des images binaires avec le bruit sel et poivre en utilisant le flux min/max 37

42 (a) Le carré gris avec des perturbations (b) F = F min / max (c) Le carré gris inverse avec des perturbations (d) F = F min / max Fig. 4.9 L évolution des perturbations avec le flux min/max pour les images de niveau gris 38

43 (a) L image de niveau gris avec 25% bruit (b) restauré (c) L image de niveau gris avec 40% bruit (d) restauré Fig La restauration des images de niveau gris avec le bruit sel et poivre en utilisant le flux min/max 39

44 (a) Lenna originale (b) Lenna avec 15% bruit multiplicative (c) restauré Fig Le traitement pour l image lenna avec 15% bruit multiplicative 40

45 Fig L image couleur originale Fig L image couleur avec 15% bruit 41

46 Fig La restauration de l image couleur avec le flux min/max 42

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