SUJET DE BREVET METROPOLE JUIN 2014

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1 SUJET DE BREVET METROPOLE JUIN 2014 SERIE GENERALE Exercice n 1 : (5 points) Voici un octogone régulier ABCDEFGH. 1) Représenter un agrandissement de cet octogone en l inscrivant dans un cercle de rayon 3 cm. Aucune justification n est attendue pour cette construction. 2) Démontrer que le triangle DAH est rectangle. 3) Calculer la mesure de l angle. Exercice n 2 : (6 points) Léa a besoin de nouveaux cahiers. Pour les acheter au meilleur prix, elle étudie les offres promotionnelles de trois magasins. Dans ces trois magasins, le modèle de cahier dont elle a besoin a le même prix avant promotion. Magasin A Cahier à l unité ou Lot de 3 cahiers pour le prix de 2 Magasin B Pour un cahier acheté, le deuxième à moitié prix Magasin C 30% de réduction sur chaque cahier acheté. 1) Expliquer pourquoi le magasin C est plus intéressant si elle n achète qu un cahier. 2) Quel magasin doit-elle choisir si elle veut acheter : a) deux cahiers? b) trois cahiers? 3) La carte de fidélité du magasin C permet d obtenir 10 % de réduction sur le ticket de caisse, y compris sur les articles ayant déjà bénéficié d une première réduction. Léa possède cette carte de fidélité, elle l utilise pour acheter un cahier. Quel pourcentage de réduction va-t-elle obtenir?

2 Exercice n 3 : (5 points) Voici un programme de calcul : Choisir un nombre Soustraire 6 Soustraire 2 Multiplier les deux nombres obtenus Résultat 1) Montrer que si on choisit 8 comme nombre de départ, le programme donne 12 comme résultat. 2) Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On rappelle que les réponses doivent être justifiées. Proposition 1 : le programme peut donner un résultat négatif. Proposition 2 : si on choisit comme résultat. comme nombre de départ, le programme donne Proposition 3 : le programme donne 0 comme résultat pour exactement deux nombres. Proposition 4 : La fonction qui, au nombre choisi au départ, associe le résultat du programme est une fonction linéaire. Exercice n 4 : (3 points) Un sac contient 20 jetons qui sont soit jaunes, soit verts, soit rouges, soit bleus. On considère l expérience suivante : tirer au hasard un jeton, noter sa couleur et remettre le jeton dans le sac. Chaque jeton a la même probabilité d être tiré. 1) Le professeur, qui connaît la composition du sac, a simulé un grand nombre de fois l expérience avec un tableur. Il a représenté ci-dessous la fréquence d apparition des différentes couleurs en fonction du nombre de tirages.

3 a) Quelle couleur est la plus présente dans le sac? Aucune justification n est attendue. b) Le professeur a construit la feuille de calcul suivante : Quelle formule a-t-il saisie dans la cellule C2 avant de la recopier vers le bas? 2) On sait que la probabilité de tirer un jeton rouge est de. Combien y a-t-il de jetons rouges dans ce sac?

4 Exercice n 5 : (4 points) Dans ce questionnaire à choix multiples, pour chaque question, des réponses sont proposées, une seule est exacte. Pour chacune des questions, écrire le numéro de la question et recopier la bonne réponse. Aucune justification n est attendue N Questions A B C D 1 Quand on double le rayon d une boule, son volume est multiplié par : 2 Une vitesse égale à 36 km.h -1 correspond à : 10 m.s m.s m.s m.s -1 3 Quand on divise 525 par 5, on obtient : On donne : 1 To (téraoctet) = octets et 1 Go (gigaoctet) = 10 9 octets. On partage un disque dur de 1,5 To en dossiers de 60 Go chacun. Le nombre de dossiers obtenus est égal à : , Exercice n 6 : (6 points) Pour savoir si les feux de croisement de sa voiture sont réglés correctement, Pauline éclaire un mur vertical comme l illustre le dessin suivant :

5 Pauline réalise le schéma ci-dessous (qui n est pas à l échelle) et relève les mesures suivantes : PA = 0,65 m ; AC = QP = 5 m et CK = 0,58 m. P désigne le phare, assimilé à un point. Pour que l éclairage d une voiture soit conforme, les constructeurs déterminent l inclinaison du faisceau. Cette inclinaison correspond au rapport. Elle est correcte si ce rapport est compris entre 0,01 et 0,015. 1) Vérifier que les feux de croisement de Pauline sont réglés avec une inclinaison égale à 0,014. 2) Donner une mesure de l angle correspondant à l inclinaison. On arrondira au dixième de degré. 3) Quelle est la distance AS d éclairage de ses feux? Arrondir le résultat au mètre près. Exercice n 7 : (7 points) Un agriculteur produit des bottes de paille parallélépipédiques. Information n 1 : Dimensions des bottes de paille : 90 cm 45 cm 35 cm Information n 2 : Le prix de la paille est de 40 par tonne. Information n 3 : 1 m 3 de paille a une masse de 90 kg.

6 1) Justifier que le prix d une botte de paille est 0,51 (arrondi au centime) 2) Marc veut refaire l isolation de la toiture d un bâtiment avec des bottes de paille parallélépipédiques. Le bâtiment est un prisme droit dont les dimensions sont données sur le schéma ci-dessous. Il disposera les bottes de paille sur la surface correspondant à la zone grisée, pour créer une isolation de 35 cm d épaisseur. Pour calculer le nombre de bottes de paille qu il doit commander, il considère que les bottes sont disposées les unes contre les autres. Il ne tient pas compte de l épaisseur des planches entre lesquelles il insère les bottes. a) Combien de bottes devra-t-il commander? b) Quel est le coût de la paille nécessaire pour isoler le toit?

7 CORRIGE DU BREVET METROPOLE JUIN 2014 SERIE GENERALE Corrigé de l exercice n 1 : (5 points) 1) figure réalisée sur à l aide du logiciel Geogebra 1 re méthode possible : Etapes de construction (partie non demandée ; seule la figure était exigée) On place un point O. On trace le cercle de centre O et de 3 cm de rayon. On trace un rayon [OA]. On trace une demi-droite d origine O formant avec le segment [OA] un angle de 45. On nomme B le point d intersection de cette demi-droite avec le cercle. On reporte à l aide du compas la longueur AB sur le cercle à partir du point B. On nomme C le nouveau point obtenu. On reporte de nouveau la même longueur à partir du point C et ainsi de suite jusqu à arriver au point A. On trace les côtés de l octogone en n oubliant pas d ajouter le codage.

8 2 e méthode possible : figure réalisée sur à l aide du logiciel Geogebra Etapes de construction (partie non demandée ; seule la figure était exigée) On place un point O. On trace le cercle de centre O et de 3 cm de rayon. On trace deux droites perpendiculaires en O. On trace les bissectrices (qu on prolonge en droites) de deux angles droits adjacents formés par les deux droites perpendiculaires. Chaque point d intersection avec le cercle est un sommet de l octogone. On nomme A, B, C, D, E, F, G et H les sommets de l octogone. On trace les côtés de l octogone en n oubliant pas d ajouter le codage. 2) DAH est un triangle inscrit dans le cercle circonscrit à l octogone régulier ABCDEFGH dont le côté [DH] est un diamètre de ce cercle. Or, si un côté d un triangle inscrit dans un cercle est un diamètre de ce cercle alors ce triangle est rectangle (et ce côté est son hypoténuse). Le triangle DAH est donc rectangle (en A).

9 3) L angle est formé par les deux angles adjacents et qui sont des angles au centre de l octogone régulier ABCDEFGH. Or, la mesure d un angle au centre d un polygone régulier est égale au quotient de 360 par le nombre de côtés de ce polygone. Un octogone ayant 8 côtés, on a : = = soit = = 45. Ainsi = + = = 90 Dans le cercle circonscrit à l octogone ABCDEFGH, l angle inscrit intercepte le même arc BH que l angle au centre. Or, dans un cercle, si un angle inscrit intercepte le même arc qu un angle au centre alors sa mesure est égale à la moitié de celle de cet angle au centre. Ainsi, = soit = c est-à-dire = 45. L angle!"# mesure 45. Corrigé de l exercice n 2 : (6 points) 1) Les magasins A et B ne proposent pas de réduction pour un seul cahier acheté contrairement au magasin C qui propose une réduction de 30% dès le premier cahier acheté. Le magasin C est alors le magasin le plus intéressant pour l achat d un cahier. Dans les prochaines réponses, on note x le prix initial d un cahier en.

10 2) On appelle A, B et C les dépenses respectives en dans les magasins A, B et C en fonction de x. a) Cas de l achat de 2 cahiers : Magasin A : deux cahiers sans promotion Magasin B : 2 e cahier à moitié prix Magasin C : réduction de 30 % sur chacun des deux cahiers A = 2x B = x + $ C = 2 %1& 'x B = 1,5 x C = 2 0,7x C = 1,4x C < B < A donc le magasin C reste le magasin le plus intéressant pour l achat de 2 cahiers. b) Cas de l achat de 3 cahiers : Magasin A : troisième cahier offert Magasin B : 2 e cahier à moitié prix ; 3 e cahier au prix normal Magasin C : réduction de 30 % sur chacun des trois cahiers A = 2x B = x + $ + x C = 3 %1& B = 1,5x + x C = 3 0,7x B = 2,5x C = 2,1x A < C < B donc le magasin A est le magasin le plus intéressant pour l achat de 3 cahiers. 3) On appelle R le prix d un cahier en après les deux réductions (30 % puis 10 %). On cherche à écrire R sous la forme %1& 1 après les deux promotions successives. R = %1& '.%1& '/0 R = 0,9 0,7 / R = 0,63/ R = 51&0,376/ R = %1& 78 9:: '/ 'x où p est le pourcentage de réduction Léa a obtenu une réduction totale de 37 % sur le prix d un cahier.

11 Corrigé de l exercice n 3 : (5 points) 1) On appelle R le résultat de ce programme de calcul. Lorsqu on choisit 8 comme nombre de départ, on obtient : R = (8 6)(8 2) R = 2 6 R = est bien le résultat du programme de calcul lorsqu on choisit 8 comme nombre de départ. 2) Proposition n 1 : VRAI Si on choisit 3 comme nombre de départ, on obtient : R = (3 6)(3 2) R = -3 1 R = -3 Le résultat de ce programme de calcul peut donc être négatif. Proposition n 2 : VRAI Si on choisit comme nombre de départ, on obtient : R = % &6'%&2' R = ; ; R = ; ; R = ; 5;6 R = Proposition n 3 : VRAI Rechercher les valeurs qui permettent d obtenir 0 comme résultat revient à résoudre l équation : 5/&665/&26 = 0 qui est une équation produit nul. Dire qu un produit est nul équivaut à dire qu un de ses facteurs au moins est nul. L équation équivaut à : x 6 = 0 ou x 2 = 0 x = 6 ou x = 2 2 et 6 sont les deux solutions de l équation 5/&665/&26 = 0 Le programme donne donc 0 comme résultat pour exactement deux nombres : 2 et 6.

12 Proposition n 4 : FAUX On appelle f la fonction qui à tout nombre x associe le résultat du programme de calcul lorsqu on choisit x comme nombre de départ soit f : x 5/&665/&26 Pour tout nombre x, on a f(x) = x² 2x 6x + 12 f(x) = x² 8x + 12 Corrigé de l exercice n 4 : (3 points) 1) a) Le jaune est la couleur la plus présente dans le sac (fréquence la plus élevée). b) La formule saisie dans la cellule C2 est = B2 / A2 2) On sait qu il y a 20 jetons dans le sac et que la probabilité de tirer un jeton rouge est de. Le nombre de jetons rouges s obtient en effectuant 20. Il y a donc 4 jetons rouges dans le sac. Corrigé de l exercice n 5 : (4 points) Les bonnes réponses sont coloriées ci-dessous. N Questions A B C D 1 Quand on double le rayon d une boule, son volume est multiplié par : 2 Une vitesse égale à 36 km.h -1 correspond à : 10 m.s m.s m.s m.s -1 3 Quand on divise 525 par 5, on obtient : On donne : 1 To (téraoctet) = octets et 1 Go (gigaoctet) = 10 9 octets. On partage un disque dur de 1,5 To en dossiers de 60 Go chacun. Le nombre de dossiers obtenus est égal à : ,

13 Corrigé de l exercice n 6 : (6 points) 1) Le quadrilatère PQCA a 3 angles droits (codés sur la figure). Or, si un quadrilatère a 3 angles droits alors il est un rectangle. Donc PQCA est un rectangle. Or, si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés sont égaux. Donc, QC = PA c est-à-dire QC = 0,65 m. Le point K appartient au segment [QC] donc QK = QC KC QK = 0,65 0,58 QK = 0,07 m. Ainsi =,L c est-à-dire MN MO = 0,014 2) Dans le triangle QPK rectangle en Q : tan P Q = tan P Q = 0,014 et, à l aide de la calculatrice, on obtient 0,8 L angle MON mesure bien environ 0,8 (mesure arrondie au dixième de degré près) 3) 1 re réponse possible : PQCA étant un rectangle, l angle est droit. De plus, cet angle est formé par les deux angles adjacents S T et S. Donc : S T = S où S = car K appartient à [QC] S T 90 0,8 S T 89,2

14 Dans le triangle APS, rectangle en A, on a : tan PS T Q = UV U AS = tanps T Q AS 0,65 tan589,2 6 AS 46,5 m La distance d éclairage est d environ 47 m (arrondie au m près). 2 e réponse possible : Dans les triangles APS et CKS, les points S, C et A sont alignés et les points S, K et P sont alignés. De plus, les droites (AP) et (QC) sont perpendiculaires à la droite (AS). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles. Donc, les droites (AP) et (QC) sont parallèles entre elles. D après le théorème de Thalès, on a : NW OX, YW YX,S S En particulier, on a : où,, VZ, VU SC = SA AC car le point C appartient au segment [SA] SC = SA 5 Ce qui revient à,, VU;, VU

15 En appliquant l égalité des produits en croix, on obtient : 0,58 SA = 0,65 (SA 5) 0,58 SA = 0,65 SA 5 0,65 0,58 SA 0,65 SA = -3,25 (0,58 0,65) SA = -3,25-0,07 SA = -3,25 SA = ;, ;,L SA 46,4 La distance d éclairage est d environ 46 m (arrondie au m près). Remarque : on obtient deux valeurs arrondies différentes car la réponse n 1 utilise une valeur approchée lors des calculs alors que la réponse n 2 n utilise que des valeurs exactes. C est donc la réponse n 2 qui est la plus précise. Mais les deux résultats sont acceptés pour la résolution de cet exercice. Corrigé de l exercice n 7 : (7 points) 1) On appelle V le volume d une botte de paille en m 3 : V = 0,9 0,45 0,35 V = 0, On appelle m la masse d une botte de paille en t : m = V 0,09 m = 0, ,09 m = 0, On appelle P le prix d une botte de paille en : P = m 40 P = 0, P = 0,510 3 Le prix d une botte de paille, arrondi au centime près, est bien de 0,51.

16 2) a) On recherche les dimensions de la face rectangulaire JKGF : BFGC étant un rectangle, ses côtés opposés sont de même longueur. Ainsi, FG = BC soit FG = 15,3 m. De même, FB = GC soit FB = 5 m. IFBA étant un rectangle, ses côtés opposés sont de même longueur. Ainsi, IF = AB soit IF = 3,6 m. De même, IA = FB soit IA = 5m. Le point I appartient au segment [JA] donc JI = JA IA soit JI = 7,7 5 JI = 2,7 m. D après le théorème de Pythagore dans le triangle JIF rectangle en I, on a : JF ² = JI ² + IF ² JF ² = 2,7² + 3,6² JF ² = 7, ,96 JF ² = 20,25 JF = 4,5 m On place chaque botte de paille sur une face rectangulaire de dimensions 90 cm 45 cm soit 0,9 m 0,45 m. 1re méthode : On appelle C le nombre de bottes de paille en colonne : C = JF : 0,9 C = 4,5 : 0,9 C = 5 On placera 5 bottes de paille par colonne. On appelle L le nombre de bottes de paille en ligne : L = FG : 0,45 L = 15,3 : 0,45 L = 34 On placera 34 bottes de paille en ligne. On appelle B le nombre de bottes de paille nécessaires pour isoler le toit :

17 B = C L B = 5 34 B = 170 On aura besoin de 170 bottes de paille pour isoler le toit. 2e méthode : On appelle AJKGF l aire en m² de la surface rectangulaire JKGF à isoler AJKGF = JF FG AJKGF = 4,5 15,3 AJKGF = 68,85 On appelle Abotte l aire en m² d une face rectangulaire de dimensions 90 cm 45 cm soit 0,9 m 0,45 m d une botte de paille. Abotte = 0,9 0,45 Abotte = 0,405 On appelle B le nombre de bottes de paille nécessaires pour isoler le toit : B = U z{ } U ~ B =,, B = 170 On aura besoin de 170 bottes de paille pour isoler le toit. b) On appelle C le coût en de la paille nécessaire pour isoler le toit C 170 0,51 C 86,7 Le coût de la paille nécessaire est d environ 86,70. Remarque : avec la valeur exacte obtenue (0,510 3 ) précédemment, on obtient 86,75. Les deux résultats sont acceptés pour la résolution de cet exercice.