Les Matrices. Chapitre II. Table des matières

Transcription

1 Chapitre II Les Matrices Table des matières Partie A : Définitions et notations. Définition et vocabulaire des matrices Matrices particulières Notation des coefficients Partie B : Opérations sur les matrices. Addition de deux matrices Multiplication d une matrice par un réel Produit de deux matrices Partie C : Matrices carrées et résolution de systèmes 0. Matrices inversibles et déterminant Application aux systèmes linéaires d équations Partie D : Exercices 4

2 Partie A Définitions et notations Activité d introduction : Math x Problème page 8.. Définition et vocabulaire des matrices Définition. Soit n, m des entiers naturels non nuls. Une matrice de taille n m est un tableau de nombres réels (ou même complexes comportant n lignes et m colonnes. Les nombres à l intérieur d une matrice sont appelés les coefficients de la matrice. Exemple. La matrice ( π 0 est une matrice de taille (, 4. 0, 7. Matrices particulières Définition. gmatrices particulières Une matrice ligne est une matrice de taille?, i.e. elle ne possède qu une seule ligne. Exemple : ( 4 6 est une matrice ligne. Une matrice colonne est une matrice de taille?, i.e. elle ne possède qu une seule colonne. Exemple : 0 est une matrice colonne. Soit n N. Une matrice carré d ordre n est une matrice de taille n n, i.e. elle ne possède le même nombre n de lignes et de colonnes. Exemple ( : est une matrice carrée d ordre.

3 Soit n N. La matrice nulle d ordre n, notée 0 n, est la matrice carrée d ordre n dont tous les coefficients sont nuls. Exemple : est la matrice nulle d ordre Notation des coefficients Notation. gcoefficients d une matrice Soit A une matrice de taille n m où n, m N. On peut alors écrire A sous la forme : a a... a,m a m a a... a,m a m A.... a n, a n,... a n,m a n,m a n a n... a n,m a nm où, pour i n et j m, les a ij sont les coefficients de la matrices. On note alors A (a ij i n, j m. Remarque. gégalité entre matrices Deux matrices A (a ij i n, j m et B (b ij i p, j q sont égales si, et seulement si, on a les deux conditions suivantes : i elles sont de même taille i.e. n p et m q ; et ii leurs coefficients sont tous égaux i.e. pour tout i n et j m, a ij b ij Définition. gdiagonale d une matrice Soit A (a ij i n, j n une matrice carrée d ordre n N. On appelle coefficients diagonaux de A, les coefficients a ii pour i n. On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls en dehors des coefficients diagonaux.

4 Notation. gmatrice identité d ordre nn Soit n N. On note I n la matrice diagonale d ordre n dont les coefficients diagonaux sont tous égaux à : I n

5 Partie B Opérations sur les matrices. Addition de deux matrices Définition 4. gaddition Soit A (a ij i n, j m et B (b ij i n, j m des matrices de même taille. On définit la matrice somme A + B de taille n m par : A + B (a ij + b ij i n, j m Autrement dit, on obtient donc la somme de deux matrice de même taille en additionnant coefficient par coefficient. Exemple. ( + ( / 0 ( + / ( / 0 Proposition. gpropriétés de del addition Soit A, B, C des matrices de même taille et 0 la matrice nulle de même taille également. On a : i A + B B + A ; ii A + (B + C (A + B + C ; iii A A A.. Multiplication d une matrice par un réel Définition. Soit A (a ij i n, j m et α un nombre réel. On définit la matrice αa de même taille que A, par : αa (αa ij i n, j m. Autrement dit, on obtient le produit d une matrice par un réel en multipliant tous les coefficients par ce réel.

6 Exercice. Soit M une matrice de taille n m et a, b des réels.. Calculer 0M et M ;. Que dire de (a + bm? Correction.. 0M 0 et M M. (a + bm am + bm.. Produit de deux matrices a. Produit d une matrice ligne par une matrice colonne Définition 6. Soit A ( b a a... a n une matrice ligne de taille n et B une matrice. b n colonne de taille n. On définit le produit de A par B par : b b A B ( a a... a n. a b + a b a n b n b n b n a k b k. k Exercice. Déterminer les produits de matrices lignes par des matrices colonnes suivants : ( ( ( 0 π ( 0 Correction. ( ( ( 0 π ( 0 6

7 b. Produit d une matrice par une autre Définition 7. gmultiplication Soit A (a ij i n, j m et B (b ij i m, j q des matrices. On définit la matrice produit A B AB de taille n q par : ( n AB a ik b kj k i n, j q Autrement dit, on obtient le coefficient c ij de la matrice AB en effectuant le produit de la ligne i de A par la colonne j de B. Attention! La multiplication de la matrice A (a ij i n, j m par la matrice B (b ij i p, j q n est possible que si : m p i.e. si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Exercice. Calculer, si c est possible, les produits de matrices suivants : ( 0 ( ( ( Correction. ( 0 ( ( ( produit impossible 4 0 ( Proposition. gpropriétés de delalamultiplication pour les lesmatrices carrées Soit n N et A, B, C des matrices carrées d ordre n. i (ABC A(B C. ii A(B + C AB + AC iii (λab λab A(λB pour λ R. 7

8 Exercice 4.. Calculer ( ( ( ( 4 4. Soit A une matrice carré d ordre n. Que dire des produits AI n, I n A et A0 n, 0 n A. Soit A une matrice carré d ordre n et B diag(λ,... λ n. Que dire des produits AB et BA? Correction.. ( ( (. On note A (a ij i,j n. Alors on a ( 4 4 ( ( ( ( ( (( ( ( ( ( 0 0 AB (λ i a ij i,j n et BA (λ j a ij i,j n Remarque. Attention! Pour deux matrices A, B carrées de même ordre, les produits AB et BA existent tous deux, mais ne sont pas égaux! En général, AB BA. On dit que la multiplication matricielle n est pas commutative. c. Puissances d une matrice carrée Notation. gpuissances d une matrice carrée Soit n N et A une matrice carré d ordre n. Pour p N, on note : et on convient que pour p 0, A 0 I n. A p A A... A }{{} p termes 8

9 Exercice.. Calculer, pour m N,. On considère M 0 m n I m n D m où D diag(α,..., α n. (. En remarquant que M A + I 0, calculer M. Correction.. 0 m n 0 n In m I n D m diag(α m,..., αn m. ( 0. On a M A + I où A Comme A et I 0 0 commutent (i.e. AI I A, on peut utiliser la formule du binôme de Newton : M (A + I Or on remarque que A 0, donc : M i0 ( A i i i0 ( A i I i i ( A i0 ( A i. i ( A I + A. D où : M ( ( ( 0 0 9

10 Partie C Matrices carrées et résolution de systèmes. Matrices inversibles et déterminant Définition 8. gmatrice inversible Soit n N et A une matrice carré d ordre n. On dit que A est inversible, s il existe une matrice B carrée d ordre n telle que AB BA I n. Dans ce cas, on note A et on appelle inverse de A la matrice A B. Exercice 6.. Montrer que si A est inversible, alors son inverse est unique (ce qui justifie la notation A. Déterminer si les matrices suivantes sont inversibles et le cas échéant, déterminer leurs inverses : ( 0 I n 0 n diag(x,..., x n Remarque. Attention! Dans une égalité matricielle du type AB AC on NE PEUT PAS SIMPLI- FIER par A en général. Mais si A est inversible, alors la simplification est possible. Exercice 7. ( (. Calculer AB où A et B. Conclure que pour les matrices, un produit est nul n implique pas qu un des facteurs l est! ( ( (. Calculer AB et AC où A, B et C. Que dire de la 4 simplification par A?. Soit A, B, C des matrices carrées de même taille telle que AB BC. Montrer que si A est inversible, alors B C. 0

11 Correction. ( ( ( 0 0 AB. On remarque donc qu un produit de matrices non 0 0 nulles peut donner la matrice nulle! ( 4 On a AB AC. Or B C, donc on ne peut pas simplifier par A. 4 On suppose AB AC. Comme A est inversible, on a : B I n B A AB A AC I n C C. Définition-Proposition 9. gdéterminant d une matrice d ordre ( a b Soit A une matrice carrée d ordre. On appelle déterminant de A et on note c d det(a la quantité : det(a ad bc Alors on a les deux cas suivants : i Si det(a 0, alors A est inversible et A ii Si det(a 0, alors A n est pas inversible. det(a ( d b c a. Exercice 8. Déterminer si la matrice d ordre suivante est inversible et calculer sont inverse : ( A 4 Correction. On a det(a 4 0 donc A est inversible et : ( A d b ( det(a c a 4 (. Application aux systèmes linéaires d équations Matrices et systèmes : On considère le système d inconnues x, x, x : ax + bx + cx y (S dx + ex + fx y gx + hx + ix y Alors on remarque que x, x, x sont solutions de ce système si, et seulement si, on a l égalité de

12 matrices : AX Y a b c x y où A d e f, X x et Y y. On dira que le système (S s écrit sous forme g h i x y matricielle AX Y de matrice colonne inconnue X. Proposition. Un système linéaire de n inconnues et n équations écrit sous forme matricielle AX Y possède une unique solution X x.. x n Dans ce cas, la solution X est vérifie : si, et seulement si, la matrice A est inversible. X A Y. Exercice 9. Résoudre le système suivant en utilisant son écriture sous forme matricielle : x y x + 4 y 0 Correction. Le système a pour écriture matricielle : ( Or, on remarque que A ( 4 x y x + 4 y 0 4 ( x y ( 0 est inversible : en effet, on a : det(a 4 ( 0. Par suite, on a A det(a ( d b c a ( 4 ( 4

13 Ainsi, le couple (x, y est solution du système si, et seulement si, X donc : On obtient alors : X I X A AX A ( 0 ( x y ( ( 4 0 ( Il en résulte que l unique couple (x, y solution du système est (,. ( x vérifie AX y ( et 0

14 Partie D Exercices Exercice 0. Finir l activité p8 Exercice. Exercice p46 Exercices 47 à 60 p46-47 Exercice. gmarche aléatoire sur un ungraphe Exercice 40 p44 Voire exercice p9 et 9,4 p44 4