Bases Indispensables des Mathématiques

Transcription

1 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation Bases Indispensables des Mathématiques Chapitre 2 : Algèbre linéaire. (Applications linéaires et Matrices) Julian Tugaut Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

2 Sommaire 1 Applications linéaires 2 Matrices : Introduction 3 Quelques matrices particulières 4 Calcul matriciel Addition et multiplication par un scalaire Produit de deux matrices 5 Déterminants 6 Inversion de matrices 7 Diagonalisation Introduction Méthode

3 Plan 1 Applications linéaires 2 Matrices : Introduction 3 Quelques matrices particulières 4 Calcul matriciel 5 Déterminants 6 Inversion de matrices 7 Diagonalisation

4 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation Applications linéaires Définition Soient E et F deux espaces vectoriels sur R. On dit qu une application f de E dans F est linéaire si λ R, x,y E, on a : f (λx +y) = λf(x)+f(y). Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

5 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation Applications linéaires Définition Soient E et F deux espaces vectoriels sur R. On dit qu une application f de E dans F est linéaire si λ R, x,y E, on a : f (λx +y) = λf(x)+f(y). Exemples L application Id E de E dans lui-même définie par Id E (x) := x est linéaire. L application de R n dans R définie par f(x 1,,x n ) := x 1 + +x n est linéaire. L application Tr de M n (R) dans R qui, à une matrice, associe sa trace est également linéaire. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

6 Vocabulaire Endomorphisme Une application linéaire de E dans lui-même est un endomorphisme.

7 Vocabulaire Endomorphisme Une application linéaire de E dans lui-même est un endomorphisme. Exemple L application f de C dans lui-même définie par f(z) := z.

8 Vocabulaire Endomorphisme Une application linéaire de E dans lui-même est un endomorphisme. Exemple L application f de C dans lui-même définie par f(z) := z. Isomorphisme Une application linéaire bijective de E vers F est un isomorphisme.

9 Vocabulaire Endomorphisme Une application linéaire de E dans lui-même est un endomorphisme. Exemple L application f de C dans lui-même définie par f(z) := z. Isomorphisme Une application linéaire bijective de E vers F est un isomorphisme. Exemple L application f de C dans R 2 définie par f(z) := (Re(z);Im(z)).

10 Vocabulaire Endomorphisme Une application linéaire de E dans lui-même est un endomorphisme. Exemple L application f de C dans lui-même définie par f(z) := z. Isomorphisme Une application linéaire bijective de E vers F est un isomorphisme. Exemple L application f de C dans R 2 définie par f(z) := (Re(z);Im(z)). Définition On dit que E est isomorphe à F s il existe un isomorphisme de l un vers l autre.

11 Théorème de la dimension Image On appelle image de f : Imf := {f(x) ; x E} F.

12 Théorème de la dimension Image On appelle image de f : Imf := {f(x) ; x E} F. Noyau On appelle noyau de f : Kerf := {x E f(x) = 0}. Imf est un sous-espace vectoriel de F tandis que Kerf est un sous-espace vectoriel de E. On appelle rang de f : rg(f) := dimimf.

13 Théorème de la dimension Image On appelle image de f : Imf := {f(x) ; x E} F. Noyau On appelle noyau de f : Kerf := {x E f(x) = 0}. Imf est un sous-espace vectoriel de F tandis que Kerf est un sous-espace vectoriel de E. On appelle rang de f : rg(f) := dimimf. Théorème du rang dime = dimimf +dimkerf = rg(f)+dimkerf.

14 Déterminer une application linéaire Résultat Soient {e 1 ; ; e p } une base de E et {f 1 ; ; f n } une base de F. Alors connaître les coordonnées des p vecteurs f(e 1 ),,f(e p ) dans la base {f 1 ; ; f n } est suffisant pour caractériser l application linéaire f.

15 Déterminer une application linéaire Résultat Soient {e 1 ; ; e p } une base de E et {f 1 ; ; f n } une base de F. Alors connaître les coordonnées des p vecteurs f(e 1 ),,f(e p ) dans la base {f 1 ; ; f n } est suffisant pour caractériser l application linéaire f. Démonstration On suppose connues les coordonnées des p vecteurs f(e 1 ),,f(e p ) dans la base {f 1 ; ; f n } : f(e j ) = a 1,j f 1 +a 2,j f 2 + +a n 1,j f n 1 +a n,j f n. Soit un vecteur quelconque x de E. Il existe α 1,, α p R tels que x = α 1 e 1 + +α p e p d où : f(x) = p α j f(e j ) = j=1 p j=1 i=1 n a i,j α j f i = n p a i,j α j f i i=1 j=1

16 Plan 1 Applications linéaires 2 Matrices : Introduction 3 Quelques matrices particulières 4 Calcul matriciel 5 Déterminants 6 Inversion de matrices 7 Diagonalisation

17 Matrice d une application linéaire On connaît donc l application linéaire f si l on connait : f(e 1 ) {}} { a 1,1. a i,1. a n,1 ; ; f(e j ) {}} { a 1,j. a i,j. a n,j ; ; f(e p) { }} { a 1,p. a i,p. a n,p Pour simplifier l écriture, on met tous les coefficients dans un tableau à n lignes et p colonnes : a 1,1 a 1,j a 1,p... a i,1 a i,j a i,p... a n,1 a n,j a n,p

18 Terminologie Matrice Ce tableau est appelé la matrice de l application linéaire f.

19 Terminologie Matrice Ce tableau est appelé la matrice de l application linéaire f. Rang d une matrice Le rang d une matrice M est égal au rang de son application linéaire.

20 Terminologie Matrice Ce tableau est appelé la matrice de l application linéaire f. Rang d une matrice Le rang d une matrice M est égal au rang de son application linéaire. Notation Pour simplifier, on écrit M = (a i,j ) 1 i n. 1 j p M est alors une matrice à n lignes et p colonnes. On appelle M n,p (R) l espace vectoriel des matrices à n lignes et p colonnes et à coefficients dans R. On note : dim M n,p (R) = np.

21 Transposée Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation Transposée La transposée de M est M T := (a j,i ) 1 i n, 1 j p. M T est alors une matrice à p lignes et n colonnes. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

22 Plan 1 Applications linéaires 2 Matrices : Introduction 3 Quelques matrices particulières 4 Calcul matriciel 5 Déterminants 6 Inversion de matrices 7 Diagonalisation

23 Matrices carrées Définition Matrices ayant autant de lignes que de colonnes : a 1,1 a 1,j a 1,n... M := a i,1 a i,j a i,n... a n,1 a n,j a n,n Trace On définit la trace comme étant la somme des éléments diagonaux : n Tr(M) := a i,i. i=1

24 Matrices symétriques Matrices symétriques Matrices carrées réelles telles que M = M T : a i,j = a j,i. Exemple : M :=

25 Matrices diagonales Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation Les matrices diagonales sont des matrices carrées telles que les coefficients hors diagonale sont nuls : a i,j = 0 si i j. Exemple : M := Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

26 Matrices diagonales Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation Les matrices diagonales sont des matrices carrées telles que les coefficients hors diagonale sont nuls : a i,j = 0 si i j. Exemple : M := Les matrices diagonales jouent un rôle particulier puisqu il est facile de les multiplier, de calculer leurs puissances et leur exponentielle. On cherche autant que faire se peut à travailler avec. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

27 Matrices triangulaires Remarque On ne peut pas toujours travailler avec des matrices diagonales mais si l on travaille dans C, on peut toujours se ramener à une matrice triangulaire supérieure (ou une matrice triangulaire inférieure).

28 Matrices triangulaires Remarque On ne peut pas toujours travailler avec des matrices diagonales mais si l on travaille dans C, on peut toujours se ramener à une matrice triangulaire supérieure (ou une matrice triangulaire inférieure). Définition Une matrice triangulaire supérieure est une matrice carrée telle que a i,j = 0 si i > j : M :=

29 Matrices identités Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation La matrice identité est une matrice diagonale dont tous les termes diagonaux sont égaux à 1. On la note I n lorsque l on est en dimension n : I 4 := Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

30 Matrices identités Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation La matrice identité est une matrice diagonale dont tous les termes diagonaux sont égaux à 1. On la note I n lorsque l on est en dimension n : I 4 := Il s agit aussi de l élément neutre pour la multiplication des matrices. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

31 Matrices nulles Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation La matrice nulle est une matrice carrée dont tous les coefficients sont égaux à 0. On la note O n lorsque l on est en dimension n : O 4 := Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

32 Matrices nulles Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation La matrice nulle est une matrice carrée dont tous les coefficients sont égaux à 0. On la note O n lorsque l on est en dimension n : O 4 := Il s agit aussi de l élément neutre pour l addition des matrices. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

33 Vecteurs lignes/colonnes Vecteur ligne Un vecteur ligne est une matrice ayant une unique ligne et p colonnes.

34 Vecteurs lignes/colonnes Vecteur ligne Un vecteur ligne est une matrice ayant une unique ligne et p colonnes. Exemple ( )

35 Vecteurs lignes/colonnes Vecteur ligne Un vecteur ligne est une matrice ayant une unique ligne et p colonnes. Exemple ( ) Vecteur colonne Un vecteur colonne est une matrice ayant une unique colonne et n lignes.

36 Vecteurs lignes/colonnes Vecteur ligne Un vecteur ligne est une matrice ayant une unique ligne et p colonnes. Exemple ( ) Vecteur colonne Un vecteur colonne est une matrice ayant une unique colonne et n lignes. Exemple

37 Plan 1 Applications linéaires 2 Matrices : Introduction 3 Quelques matrices particulières 4 Calcul matriciel Addition et multiplication par un scalaire Produit de deux matrices 5 Déterminants 6 Inversion de matrices 7 Diagonalisation

38 Addition L addition de deux matrices se fait coefficient à coefficient : a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 b 1,1 b 1,2 b 1,3 b 1,4 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 + b 2,1 b 2,2 b 2,3 b 2,4 a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,4 b 3,1 b 3,2 b 3,3 b 3,4 = a 1,1 +b 1,1 a 1,2 +b 1,2 a 1,3 +b 1,3 a 1,4 +b 1,4 a 2,1 +b 2,1 a 2,2 +b 2,2 a 2,3 +b 2,3 a 2,4 +b 2,4 a 3,1 +b 3,1 a 3,2 +b 3,2 a 3,3 +b 3,3 a 3,4 +b 3,4

39 Addition L addition de deux matrices se fait coefficient à coefficient : a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 b 1,1 b 1,2 b 1,3 b 1,4 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 + b 2,1 b 2,2 b 2,3 b 2,4 a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,4 b 3,1 b 3,2 b 3,3 b 3,4 = a 1,1 +b 1,1 a 1,2 +b 1,2 a 1,3 +b 1,3 a 1,4 +b 1,4 a 2,1 +b 2,1 a 2,2 +b 2,2 a 2,3 +b 2,3 a 2,4 +b 2,4 a 3,1 +b 3,1 a 3,2 +b 3,2 a 3,3 +b 3,3 a 3,4 +b 3,4 Les matrices doivent avoir le même nombre de lignes et de colonnes.

40 Addition L addition de deux matrices se fait coefficient à coefficient : a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 b 1,1 b 1,2 b 1,3 b 1,4 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 + b 2,1 b 2,2 b 2,3 b 2,4 a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,4 b 3,1 b 3,2 b 3,3 b 3,4 = a 1,1 +b 1,1 a 1,2 +b 1,2 a 1,3 +b 1,3 a 1,4 +b 1,4 a 2,1 +b 2,1 a 2,2 +b 2,2 a 2,3 +b 2,3 a 2,4 +b 2,4 a 3,1 +b 3,1 a 3,2 +b 3,2 a 3,3 +b 3,3 a 3,4 +b 3,4 Les matrices doivent avoir le même nombre de lignes et de colonnes. La multiplication par un scalaire λ R s effectue sur chaque coefficient : a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 λ.a 1,1 λ.a 1,2 λ.a 1,3 λ.a 1,4 λ. a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 = λ.a 2,1 λ.a 2,2 λ.a 2,3 λ.a 2,4 a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,4 λ.a 3,1 λ.a 3,2 λ.a 3,3 λ.a 3,4

41 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation Propriétés de l addition Addition et multiplication par un scalaire Produit de deux matrices Groupe L ensemble M n,p (R) des matrices à n lignes et p colonnes muni de l addition matricielle est un groupe abélien. Et, muni de la multiplication par un scalaire, c est un R-espace vectoriel. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

42 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation Propriétés de l addition Addition et multiplication par un scalaire Produit de deux matrices Groupe L ensemble M n,p (R) des matrices à n lignes et p colonnes muni de l addition matricielle est un groupe abélien. Et, muni de la multiplication par un scalaire, c est un R-espace vectoriel. Pour les matrices carrées, on a de plus : Tr(A+B) = Tr(A)+Tr(B) et Tr(λ.A) = λ.tr(a). La trace est donc une application linéaire de M n (R) vers R. On a également : (A+B) T = A T +B T. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

43 Définition du produit de deux matrices Rappel Une matrice est associée à une application linéaire. Ainsi, si f est une application linéaire d un espace vectoriel E de dimension p vers un espace vectoriel n, la matrice associée est un tableau à n lignes et p colonnes, les n coordonnées dans la nouvelle base des images par f de l ancienne base.

44 Définition du produit de deux matrices Rappel Une matrice est associée à une application linéaire. Ainsi, si f est une application linéaire d un espace vectoriel E de dimension p vers un espace vectoriel n, la matrice associée est un tableau à n lignes et p colonnes, les n coordonnées dans la nouvelle base des images par f de l ancienne base. Définition On définit le produit d une matrice A M n,p par une matrice B M q,r comme étant la matrice associée à la composée des deux applications linéaires associées.

45 Définition du produit de deux matrices Rappel Une matrice est associée à une application linéaire. Ainsi, si f est une application linéaire d un espace vectoriel E de dimension p vers un espace vectoriel n, la matrice associée est un tableau à n lignes et p colonnes, les n coordonnées dans la nouvelle base des images par f de l ancienne base. Définition On définit le produit d une matrice A M n,p par une matrice B M q,r comme étant la matrice associée à la composée des deux applications linéaires associées. Première remarque On en déduit immédiatement que le produit A B n est défini que si p = q et alors la matrice produit A B est dans M n,r.

46 Formule pour le produit On peut montrer que le produit d une matrice A M n,p par une matrice B M p,q est une matrice C dans M n,q dont chaque coefficient c i,j est égal à c i,j = p a i,k b k,j. k=1

47 Formule pour le produit On peut montrer que le produit d une matrice A M n,p par une matrice B M p,q est une matrice C dans M n,q dont chaque coefficient c i,j est égal à c i,j = p a i,k b k,j. k=1 Matrices carrées On peut toujours multiplier deux matrices carrées de même taille entre elles, dans un sens ou dans l autre.

48 Formule pour le produit On peut montrer que le produit d une matrice A M n,p par une matrice B M p,q est une matrice C dans M n,q dont chaque coefficient c i,j est égal à c i,j = p a i,k b k,j. k=1 Matrices carrées On peut toujours multiplier deux matrices carrées de même taille entre elles, dans un sens ou dans l autre. Propriétés Tr(A B) = Tr(B A). Et : (A B) T = B T A T.

49 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation Remarques importantes sur le produit Addition et multiplication par un scalaire Produit de deux matrices Le produit de deux matrices non nulles peut être nul. Exemple : = Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

50 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation Remarques importantes sur le produit Addition et multiplication par un scalaire Produit de deux matrices Le produit de deux matrices non nulles peut être nul. Exemple : = Et, une matrice est inversible pour le produit si et seulement si le rang de la matrice (en d autres termes, la dimension de l image de son application linéaire associée) est égal à n. Ainsi, une matrice est inversible si et seulement si ses vecteurs colonnes (ou ses vecteurs lignes) forment une famille libre dans R n. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

51 Plan 1 Applications linéaires 2 Matrices : Introduction 3 Quelques matrices particulières 4 Calcul matriciel 5 Déterminants 6 Inversion de matrices 7 Diagonalisation

52 Définition Par définition, le déterminant... détermine. Il détermine en particulier l inversibilité ou non de la matrice. On le définit comme étant une application multi-linéaire de la matrice.

53 Définition Par définition, le déterminant... détermine. Il détermine en particulier l inversibilité ou non de la matrice. On le définit comme étant une application multi-linéaire de la matrice. Exemple On considère une matrice carrée de n lignes et n colonnes. On appelle C 1,,C n ses n colonnes. On a alors : Det ( C 1,,C i 1, λ.c i +C i,c i+1,,c n ) =λdet(c 1,,C i 1,C i,c i+1,,c n ) +Det ( C 1,,C i 1,C i,c i+1,,c n ).

54 si k i. Enfin, on suppose Det(I n ) = 1. Définition Par définition, le déterminant... détermine. Il détermine en particulier l inversibilité ou non de la matrice. On le définit comme étant une application multi-linéaire de la matrice. Exemple On considère une matrice carrée de n lignes et n colonnes. On appelle C 1,,C n ses n colonnes. On a alors : Det ( C 1,,C i 1, λ.c i +C i,c i+1,,c n ) =λdet(c 1,,C i 1,C i,c i+1,,c n ) +Det ( C 1,,C i 1,C i,c i+1,,c n ). On suppose également que le déterminant est nul dès que deux colonnes sont égales d où : Det(C 1,,C i 1,C i + λ.c k,c i+1,,c n ) = Det(C 1,,C i 1,C i,c i+1,,c n )

55 Calcul pratique 1 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation Définition calculatoire Det(A) := n a i,σ(i). σ S n ( 1) Inv(σ) i=1 Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

56 Calcul pratique 1 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation Définition calculatoire Det(A) := n a i,σ(i). Peu pratique... σ S n ( 1) Inv(σ) i=1 Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

57 Calcul pratique 1 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation Définition calculatoire Det(A) := n a i,σ(i). Peu pratique... σ S n ( 1) Inv(σ) i=1 Dans M 2 (R) Det (( a b c d )) := ad bc. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

58 Calcul pratique 2 Dans M 3 (R) Det a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3

59 Calcul pratique 2 Dans M 3 (R) Det a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 se calcule par la méthode de Sarrus (NE FONCTIONNE PAS SI N 4!!). On réécrit les deux premières lignes en dessous de la matrice. On prend la somme des trois nombres obtenus en effectuant le produit des trois diagonales descendantes et l on retranche les trois nombres obtenus en effectuant le produit des trois diagonales ascendantes.

60 Calcul pratique 2 Dans M 3 (R) Det a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 se calcule par la méthode de Sarrus (NE FONCTIONNE PAS SI N 4!!). On réécrit les deux premières lignes en dessous de la matrice. On prend la somme des trois nombres obtenus en effectuant le produit des trois diagonales descendantes et l on retranche les trois nombres obtenus en effectuant le produit des trois diagonales ascendantes. En dimension quelconque On effectue le pivot de Gauss (opérations sur les lignes de la matrice) pour simplifier le calcul du déterminant.

61 Exemple de calcul de déterminant par le pivot (L 1 ) (L 2 ) (L 3 ) (L 4 ) On encadre le pivot que l on choisit puis l on applique les opérations sur les lignes : (L 1 ) (L 2 ) (L 1 ) (L 3 ) (L 1 ) (L 4 ) (L 1 )

62 Exemple de calcul de déterminant par le pivot 2 On conserve l encadrement du pivot (pour se souvenir de ne plus utiliser la ligne (L 1 )). On procède de même que précédemment : (L 1 )+ 1 2 (L 3) (L 2 ) (L 3 ) (L 4 ) (L 3 )

63 Exemple de calcul de déterminant par le pivot 2 On conserve l encadrement du pivot (pour se souvenir de ne plus utiliser la ligne (L 1 )). On procède de même que précédemment : (L 1 )+ 1 2 (L 3) (L 2 ) (L 3 ) (L 4 ) (L 3 ) Puis : (L 1 )+ 1 2 (L 2) (L 2 ) (L 3 ) (L 4 ) (L 2 )

64 Exemple de calcul de déterminant par le pivot 3 Puis : (L 1 )+ 1 4 (L 4) (L 2 )+ 1 2 (L 4) (L 3 )+ 1 2 (L 4) (L 4 )

65 Exemple de calcul de déterminant par le pivot 3 Puis : (L 1 )+ 1 4 (L 4) (L 2 )+ 1 2 (L 4) (L 3 )+ 1 2 (L 4) (L 4 ) On calcule ensuite le déterminant en développant par rapport à la première colonne.

66 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation Développement par rapport à une colonne (ou une ligne) Si une ligne ou une colonne contient beaucoup de 0, on peut utiliser la formule suivante : Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

67 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation Développement par rapport à une colonne (ou une ligne) Si une ligne ou une colonne contient beaucoup de 0, on peut utiliser la formule suivante : n ) Det(A) = a i,k ( 1) i+k Det (Ãi,k k=1 où Ãi,k est la matrice A à laquelle on a enlevé la ligne i et la colonne k. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

68 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation Développement par rapport à une colonne (ou une ligne) Si une ligne ou une colonne contient beaucoup de 0, on peut utiliser la formule suivante : n ) Det(A) = a i,k ( 1) i+k Det (Ãi,k k=1 où Ãi,k est la matrice A à laquelle on a enlevé la ligne i et la colonne k. De même : n ) Det(A) = a k,j ( 1) k+j Det (Ãk,j k=1 où Ãk,j est la matrice A à laquelle on a enlevé la ligne k et la colonne j. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

69 Quelques propriétés Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation Si le déterminant est nul, la matrice est non inversible. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

70 Quelques propriétés Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation Si le déterminant est nul, la matrice est non inversible. Si le déterminant est non nul, la matrice est inversible. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

71 Quelques propriétés Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation Si le déterminant est nul, la matrice est non inversible. Si le déterminant est non nul, la matrice est inversible. Det(AB) = Det(BA) = Det(A)Det(B). Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

72 Quelques propriétés Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation Si le déterminant est nul, la matrice est non inversible. Si le déterminant est non nul, la matrice est inversible. Det(AB) = Det(BA) = Det(A)Det(B). Le déterminant d une matrice diagonale est égal au produit des éléments diagonaux. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

73 Quelques propriétés Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation Si le déterminant est nul, la matrice est non inversible. Si le déterminant est non nul, la matrice est inversible. Det(AB) = Det(BA) = Det(A)Det(B). Le déterminant d une matrice diagonale est égal au produit des éléments diagonaux. Le déterminant d une matrice triangulaire est égal au produit des éléments diagonaux. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

74 Quelques propriétés Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation Si le déterminant est nul, la matrice est non inversible. Si le déterminant est non nul, la matrice est inversible. Det(AB) = Det(BA) = Det(A)Det(B). Le déterminant d une matrice diagonale est égal au produit des éléments diagonaux. Le déterminant d une matrice triangulaire est égal au produit des éléments diagonaux. Det(λA) = λ n Det(A). Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

75 Quelques propriétés Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Diagonalisation Si le déterminant est nul, la matrice est non inversible. Si le déterminant est non nul, la matrice est inversible. Det(AB) = Det(BA) = Det(A)Det(B). Le déterminant d une matrice diagonale est égal au produit des éléments diagonaux. Le déterminant d une matrice triangulaire est égal au produit des éléments diagonaux. Det(λA) = λ n Det(A). ( ) Det A T = Det(A). Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

76 Plan 1 Applications linéaires 2 Matrices : Introduction 3 Quelques matrices particulières 4 Calcul matriciel 5 Déterminants 6 Inversion de matrices 7 Diagonalisation

77 Définition Par définition, A M n (R) est inversible si et seulement s il existe une matrice B M n (R) telle que A B = B A = I n. On note A 1 cette matrice inverse (si elle existe).

78 Inversion par le pivot de Gauss On peut procéder par le pivot de Gauss. Reprenons notre exemple : A :=

79 Inversion par le pivot de Gauss On peut procéder par le pivot de Gauss. Reprenons notre exemple : A := On met la matrice identité à droite de la matrice initiale et on les sépare par un trait vertical. Puis, l on effectue le pivot de Gauss jusqu à obtenir la matrice identité à gauche. On aura alors l inverse de A à droite.

80 Exemple d inversion de matrice par le pivot de Gauss (L 1 ) (L 2 ) (L 3 ) (L 4 ) On encadre le pivot que l on choisit puis l on applique les opérations sur les lignes : (L 1 ) (L 2 ) (L 1 ) (L 3 ) (L 1 ) (L 4 ) (L 1 )

81 Exemple d inversion de matrice par le pivot de Gauss 2 On conserve l encadrement du pivot (pour se souvenir de ne plus utiliser la ligne (L 1 )). On procède de même que tout à l heure : (L 1 )+ 1 2 (L 3) (L 2 ) (L 3 ) (L 4 ) (L 3 )

82 Exemple d inversion de matrice par le pivot de Gauss 2 On conserve l encadrement du pivot (pour se souvenir de ne plus utiliser la ligne (L 1 )). On procède de même que tout à l heure : (L 1 )+ 1 2 (L 3) (L 2 ) (L 3 ) (L 4 ) (L 3 ) Puis : (L 1 )+ 1 2 (L 2) (L 2 ) (L 3 ) (L 4 ) (L 2 )

83 Exemple d inversion de matrice par le pivot de Gauss 3 Puis : (L 1 )+ 1 4 (L 4) (L 2 )+ 1 2 (L 4) (L 3 )+ 1 2 (L 4) (L 4 )

84 Exemple d inversion de matrice par le pivot de Gauss 3 Puis : (L 1 )+ 1 4 (L 4) (L 2 )+ 1 2 (L 4) (L 3 )+ 1 2 (L 4) (L 4 ) Et enfin : (L 1 ) (L 3) (L 2) (L 4)

85 Exemple d inversion de matrice par le pivot de Gauss 3 Puis : (L 1 )+ 1 4 (L 4) (L 2 )+ 1 2 (L 4) (L 3 )+ 1 2 (L 4) (L 4 ) Et enfin : (L 1 ) (L 3) (L 2) (L 4) La matrice à droite du trait vertical est l inverse de la matrice de départ.

86 Plan 1 Applications linéaires 2 Matrices : Introduction 3 Quelques matrices particulières 4 Calcul matriciel 5 Déterminants 6 Inversion de matrices 7 Diagonalisation Introduction Méthode

87 Matrices diagonales Si la matrice D est diagonale, alors : D 1 = D := λ 1 1 (0)... (0) λ 1 n λ 1 (0)... (0) λ n, et exp[d] = e λ 1 (0)... (0) e λn. On suppose bien sûr λ i 0 pour prendre l inverse de D.

88 Valeurs propres et vecteurs propres Définition d une valeur propre Soit f un endomorphisme d un R-espace vectoriel E. On dit que λ est une valeur propre de f s il existe un vecteur v E non nul tel que f(v) = λv. En d autres termes, λ est une valeur propre de f si Ker(f λid) {0}.

89 Valeurs propres et vecteurs propres Définition d une valeur propre Soit f un endomorphisme d un R-espace vectoriel E. On dit que λ est une valeur propre de f s il existe un vecteur v E non nul tel que f(v) = λv. En d autres termes, λ est une valeur propre de f si Ker(f λid) {0}. Définition d un vecteur propre On dit que v est un vecteur propre de f associé à la valeur propre λ si v E est tel que f(v) = λv et v 0. Puis, Ker(f λid) {0} est le sous-espace propre associé.

90 Valeurs propres et vecteurs propres Définition d une valeur propre Soit f un endomorphisme d un R-espace vectoriel E. On dit que λ est une valeur propre de f s il existe un vecteur v E non nul tel que f(v) = λv. En d autres termes, λ est une valeur propre de f si Ker(f λid) {0}. Définition d un vecteur propre On dit que v est un vecteur propre de f associé à la valeur propre λ si v E est tel que f(v) = λv et v 0. Puis, Ker(f λid) {0} est le sous-espace propre associé. Valeur propre d une matrice On dit que λ est une valeur propre de la matrice M si λ est une valeur propre de l application linéaire associée.

91 Trouver les valeurs propres Polynôme caractéristique Le polynôme caractéristique de la matrice M est le polynôme χ M (X) := Det (M XI n ). Soit f l application linéaire associée à M. On appelle polynôme caractéristique de f, et on note χ f, le polynôme χ M. Les racines du polynôme χ f correspondent aux valeurs propres de f, par définition.

92 Trouver les valeurs propres Polynôme caractéristique Le polynôme caractéristique de la matrice M est le polynôme χ M (X) := Det (M XI n ). Soit f l application linéaire associée à M. On appelle polynôme caractéristique de f, et on note χ f, le polynôme χ M. Les racines du polynôme χ f correspondent aux valeurs propres de f, par définition. Exemple ( ) 0 1 Soit M :=. Alors, 1 2 ( χ M (X) = X 2 2X 1 = X (1+ ) ( 2) X (1 ) 2). Les valeurs propres de M sont donc 1+ 2 et 1 2.

93 Trouver les valeurs propres Polynôme caractéristique Le polynôme caractéristique de la matrice M est le polynôme χ M (X) := Det (M XI n ). Soit f l application linéaire associée à M. On appelle polynôme caractéristique de f, et on note χ f, le polynôme χ M. Les racines du polynôme χ f correspondent aux valeurs propres de f, par définition. Exemple ( ) 0 1 Soit M :=. Alors, 1 2 ( χ M (X) = X 2 2X 1 = X (1+ ) ( 2) X (1 ) 2). Les valeurs propres de M sont donc 1+ 2 et 1 2. Spectre On apppelle spectre de M, et on note Sp(M) l ensemble des valeurs propres de M.

94 Définition Vecteurs propres On cherche ensuite les vecteurs propres associés à λ en résolvant (M λi n )v = 0.

95 Définition Vecteurs propres On cherche ensuite les vecteurs propres associés à λ en résolvant (M λi n )v = 0. Définition Soit M une matrice carrée n n. Soit λ 1,, λ d ses valeurs propres. On introduit le sous-espace vectoriel de K n : F := Ker (M λ 1 I n )+ +Ker (M λ d I n ). Si F = K n, on dit que la matrice M est diagonalisable. Et, alors, il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telle que M = PDP 1.

96 En pratique Étape 1 On calcule le polynôme caractéristique χ M.

97 En pratique Étape 1 On calcule le polynôme caractéristique χ M. Étape 2 Les racines de χ M correspondent aux valeurs propres.

98 En pratique Étape 1 On calcule le polynôme caractéristique χ M. Étape 2 Les racines de χ M correspondent aux valeurs propres. Étape 3 On cherche les vecteurs propres associés aux valeurs propres.

99 En pratique Étape 1 On calcule le polynôme caractéristique χ M. Étape 2 Les racines de χ M correspondent aux valeurs propres. Étape 3 On cherche les vecteurs propres associés aux valeurs propres. Étape 4 Si M est diagonalisable, on a une base {v 1,,v n } de vecteurs propres de M avec Mv i = λ i v i. On écrit la matrice associée à cette base : P := ((p i,j )) où p i,j est la j-ème coordonnée du vecteur v i. Alors : M = PDP 1 où D est la matrice diagonale dont les coefficients sont les valeurs propres.

100 Preuve On note {e 1,,e n } la base canonique de K n. Par définition, on a Pe i = v i d où P 1 v i = e i. Comme {v 1,,v n } est une base de K n, tout vecteur v K n peut s écrire sous la forme : D où v = α 1 v 1 + +α n v n. PDP 1 v = PDP 1 (α 1 v 1 + +α n v n ) = PD(α 1 e 1 + +α n e n ) = P(α 1 λ 1 e 1 + +α n λ n e n ) = α 1 λ 1 v 1 + +α n λ n v n = M(α 1 v 1 + +α n v n ) = Mv.