DIRECTION DE L ÉNERGIE NUCLÉAIRE

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1 CEA-R-6150 ISSN C O M M I S S A R I A T À L É N E R G I E A T O M I Q U E DIRECTION DE L ÉNERGIE NUCLÉAIRE COUPLAGE DE MÉTHODES ET DÉCOMPOSITION DE DOMAINE POUR LA RÉSOLUTION DE L ÉQUATION DU TRANSPORT DES NEUTRONS par Enrico GIRARDI CEA CADARACHE DIRECTION DE L ÉNERGIE NUCLÉAIRE DÉPARTEMENT D ÉTUDES DES RÉACTEURS SERVICE DE PHYSIQUE DES RÉACTEURS ET DU CYCLE LABORATOIRE D ÉTUDES DE PHYSIQUE RAPPORT 2007 DIRECTION DES SYSTÈMES D INFORMATION CEA / SACLAY GIF-SUR-YVETTE CEDEX FRANC E RAPPORT CEA-R-6150

2 - Rapport CEA-R CEA Cadarache Direction de L Énergie Nucléaire Département d Études des Réacteurs Service de Physique des Réacteurs et du Cycle Laboratoire d Études de Physique COUPLAGE DE MÉTHODES ET DÉCOMPOSITION DE DOMAINE POUR LA RÉSOLUTION DE L ÉQUATION DU TRANSPORT DES NEUTRONS par Enrico GIRARDI - Juillet

3 RAPPORT CEA-R-6150 Enrico GIRARDI «Couplage de méthodes et décomposition de domaine pour la résolution de l équation du transport des neutrons» Résumé - Une nouvelle méthodologie pour la résolution de l équation du transport, basée sur une méthode de décomposition de domaine est développée. Celle-ci permet l utilisation simultanée de trois méthodes de résolution différentes au sein du même calcul : une méthode variationnelle nodale, une méthode aux ordonnées discrètes et une méthode des caractéristiques. Cette nouveauté se concrétise par la possibilité d employer des développements spatiaux et angulaires différents, des maillages indépendants (cartésiens ou non-structurés), voire non conformes, pour chaque sous-domaine de calcul, introduisant une flexibilité de modélisation qui n est pas possible avec les codes de calcul disponibles actuellement. Les capacités de modélisation de l approche multidomaine-multiméthode sont démontrées à travers l étude d un problème réaliste de la physique des réacteurs : le calcul fin d hétérogénéités neutroniques localisées. Mots clés : Décomposition de domaine - Couplage de méthodes - Raffinements localisés - Equation du transport des neutrons - Méthode Variationnelle Nodale - Méthodes aux ordonnées discrètes - Méthode des caractéristiques Commissariat à l Énergie Atomique France RAPPORT CEA-R-6150 Enrico GIRARDI «Multidomain/Multimethod Numerical Approach for Neutron Transport Equation» Abstract - A new methodology for the solution of the neutron transport equation, based on domain decomposition methods has been developed. This approach allows us to employ different numerical methods together for a whole core calculation: a variational nodal method, a discrete ordinate nodal method and a method of characteristics. These new developments authorize the use of independent spatial and angular expansion, non conformal Cartesian and unstructured meshes for each subdomain, introducing a flexibility of modelization which is not allowed in today available codes. The effectiveness of our multidomain-multimethod approach has been tested on several configurations. Among them, one particular application is the modelization of strong local heterogeneities, a realistic problem in the field of reactor physics Commissariat à l Énergie Atomique France

4 N o d ordre: 2004-EVRY-0022 Université d Evry Val d Essonne THÈSE présentée pour obtenir le grade de Docteur de l Université d Evry Val d Essonne Discipline : ÉNERGÉTIQUE par Enrico GIRARDI Sujet de la thèse Couplage de méthodes et décomposition de domaine pour la résolution de l équation du transport des neutrons Soutenue le 17 Décembre 2004, devant le Jury composé de: M. : O. Daube Président du Jury MM. : E.E. Lewis Rapporteurs E.H. Mund P. Ravetto M. : R. Sanchez Directeur de thèse M. : J.M. Ruggieri Invité

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6 A ma famille, à Eve.

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8 Remerciements Ce travail a été réalisé au DER/SPRC/LEPH 1 (CEA/Cadarache), en collaboration avec le Service d Etude des Réacteurs et de Modélisation Avancée (CEA/Saclay). Je remercie Robert Jacqmin et Jean-Michel Ruggieri successivement chefs du LEPH, et Alain Zaetta, chef du SPRC pour m avoir accueilli au sein de leur unité. Les professeurs Elmer E. Lewis, Ernest Mund et Piero Ravetto ont accepté d être rapporteurs de ma thèse, je les remercie très sincèrement pour leur disponibilité et l intérêt qu ils ont porté à ce travail. Ce travail n aurait jamais pu être mené à bien, sans l étroite collaboration avec le trio Richard-Igor- Simone (SERMA/LENR). En tant que Directeur de cette thèse, Richard Sanchez a su orienter mon travail, tout en me laissant une grande liberté de recherche. Je lui suis, par ailleurs, reconnaissant de m avoir permis l utilisation du code TDT, pour mes travaux de thèse. Je tiens également à remercier Igor Zmijarevic, de m avoir donné accès aux sources informatiques du code IDT, dont il est l auteur et Simone Santandrea pour son aide pendant l intégration du solveur TDT dans la maquette de décomposition de domaine. Sans sa collaboration et sa connaissance précise de la méthode des caractéristiques, cette opération aurait sans doute été très difficile. De mon séjour à Cadarache je garde un excellant souvenir. Pour cela, je voudrais remercier tous ceux qui m ont été proches pendant ces trois années. En particulier, je voudrais remercier : Cyril pour les échanges fructueux et l intérêt qu il a montré pour mon travail, Laura pour avoir renforcé le groupe des "numériciens" pendant la dernière année et, accessoirement, confirmé que les italiens sont souvent blonds aux yeux bleus, Olivier B. pour les très bons souvenirs des sorties ski et go-kart, Tonino pour ses conseils et son humour, Gilles et Laurence pour leur amitié et pour m avoir fait découvrir la cuisine du Sud-Ouest. Aujourd hui, fraîchement embauché à EDF/R&D, j ai pu compter sur l excellent accueil du chef de groupe Mme Françoise Waeckel, de Mme Monique Robin et Mr Jean-Louis Vaudescal, successivement Chefs du Département Sinetics, ainsi que de tous mes nouveaux collègues. Parmi eux, je souhaite particulièrement remercier Tanguy, David, Alexandre pour la bonne ambiance de travail et Simone pour ces conseils, son amitié et surtout pour m avoir appris à faire le nœud à la cravate. Enfin, un grand merci à mon responsable de thèse, Jean-Michel Ruggieri, pour son aide quotidienne, sa patience (que j ai du mettre à l épreuve quelques fois...), les longues discussions, son indéfectible confiance dans les moments difficiles (on sait, il peut y avoir des moments de désespoir dans une thèse), et pour avoir toujours su orienter mon travail dans l objectif d un intérêt concret, contribuant ainsi à une mise en valeur des résultats obtenus. Je le remercie pour tout ce qu il a pu m apporter pendant ces trois ans, tant sur le plan scientifique, que sur le plan personnel. 1 Département d Etudes des Réacteurs - Service de Physique des Réacteurs et du Cycle - Laboratoire d Etudes Physiques.

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10 Table des matières Table des matières Liste des tableaux Liste des figures Introduction 7 1 Méthodes numériques pour l équation du transport L équation du Transport L Equation de Boltzmann L Equation du Transport pour les neutrons Traitement de l énergie dans l équation du transport Approximation multigroupe L équation monocinétique : traitement angulaire et spatial Equation intégro-différentielle Equation du second ordre en flux pair Une méthode de transport simplifié Equation intégrale Conclusion Une méthode de décomposition de domaine en neutronique Méthodes de décomposition de domaine Décomposition de domaine avec recouvrement Décomposition de domaine sans recouvrement Analyse de l existant Méthodes de décomposition de domaine en neutronique La méthode de décomposition de domaine M M M D Algorithme de Schwarz et méthode de décomposition Analyse de l algorithme de résolution Opérateurs de couplage spatiale Minimisation et Projection L Analyse du couplage spatial Conclusion Opérateurs de couplage angulaire Représentations angulaires et conditions limites dans VNM, IDT et TDT Couplage angulaire VNM VNM Couplage angulaire IDT IDT

11 TABLE DES MATIÈRES Techniques projectives par polynômes d interpolation de Lagrange Techniques d interpolation basées sur les harmoniques sphériques Techniques de projection du courant par maillages non conforme Couplage angulaire VNM IDT Couplage angulaire IDT VNM Couplage angulaire VNM IDT Prise en compte de repères différents Spécificités pour le couplage angulaire TDT VNM Analyse du couplage angulaire P n S n Validation numérique Un problème modèle de type : "Milieu infini hétérogène" Un problème modèle en deux dimensions : Test Conclusion Potentiel de modélisation de la méthode M M M D Phébus : description, problèmes modèles et étalon numérique Description du réacteur Phébus Problèmes modèles du réacteur Phébus Etalon numérique Principe de modélisation avec la méthode M M M D Modélisation par décomposition de domaine Choix des discrétisations associées aux modélisations Modélisation du problème modèle en géométrie cartésienne Résultats des calculs couplés IDT/IDT (S n S m ) Résultats des calculs couplés IDT/VNM (S n P m ) Comparaison IDT/IDT et IDT/VNM Modélisation du problème en géométrie non-structurée Résultats du couplage TDT (cartésien) / VNM Résultats du couplage TDT (non-structuré) / VNM Conclusion Conclusion 141 Annexes 145 A Proposition de formules de quadrature S n optimisées 147 B Données employées pour le calcul Phébus 151 B.1 Géométrie du problème et milieux homogènes associés B.2 Energie moyenne par milieu B.3 Section efficaces par milieu

12 TABLE DES MATIÈRES Publications 158 1) Article pour Supercomputing for Nuclear Applications, Paris, Septembre ) Article pour Physor2004, Chicago, Avril Bibliographie 190 3

13 Liste des tableaux 1.1 Rappel des caractéristiques principales des trois types de méthodes retenues et spécificités des solveurs associés Flux des opérations effectuées par le superviseur Coefficients du couplage spatial dans le cas de maillages coincidents Ordre de couplage S n P m maximal en fonction des formules de quadrature Sections efficaces pour le problème modèle Test Valeur du k eff en fonction du type et ordre de développement angulaire Probleme Test1 : k eff et k eff (pcm) par des calculs couplés VNM/IDT Problème Test1 : Erreur relatif sur le flux -- Plage de variation et valeur moyen (en %) Problème Test2. Couplage P n P n. Interface en x=8 cm Problème Test2. Couplage P n P n. Interface en x=12 cm Problème Test2. Couplage S n S n. Interface en x=8 cm Problème Test2. Couplage S n S n. Interface en x=12 cm Problème Test2. Couplage P n S n. Interface en x=8 cm Problème Test2. Couplage P n S n. Interface en x=12 cm Problème Test2. Couplage S n P n. Interface en x=8 cm Problème Test2. Couplage S n P n. Interface en x=12 cm Sections efficaces totales, taille géométrique et épaisseur optique du maillage de référence Quelques essais de convergence spatiale pour la méthode TDT Nombre de mailles de calcul pour chaque maillage Quelques maillages non-structurés Calculs Phébus couplés S 8 S n Calcul Phebus couplé S 8 P n Comparaison entre type de formules produit pour la méthode TDT Couplage TDT cartésien / VNM (P 3 ) sur Grille 1A Couplage TDT non-structuré / VNM (P 3 ) sur Grille 1A B.1 Energie produite par unité de parcours B.2 Sections efficaces pour le calcul Phébus

14 Liste des figures 1.1 Notation employée pour la méthode des caractéristiques non structurées : grandeurs associées à la trajectoire (t i, ˆΩ d ) traversant une maille quelconque Notation employée pour l intégration analytique du coefficient P ij Problème original de Schwarz Décomposition sans recouvrement Schéma de l algorithme de couplage Schématisation d un problème à 3 groupes d énergie, décomposé en 2 sous-domaines Benchmark Takeda. Nombre d itérations externes en fonction du nombre d itération de couplage Problème Phebus. Nombre d itérations externes en fonction du nombre d itération de couplage Benchmark Takeda. Temps de calcul en fonction de la stratégie d itération Problème Phebus. Temps de calcul en fonction de la stratégie d itération Maillage générique non-coïncident à l interface entre deux sous-domaines Matrice de couplage spatial dans le cas d un maillage générique non-coïncident Projection L 2 sur l espace E généré par la base de f Problèmes de positivité avec le changement de l ordre de développement Quelques formules de quadrature angulaire Exemple de couplage angulaire entre représentations d ordre différents : de P 3 à SP Partition d un octant sur la base d une formule de quadrature S Grilles associées à deux représentations angulaires différentes : S 8 et S Comparaisons numériques des trois approches pour le couplage S n S n Orientation des repères sur les côtés des mailles pour TDT, IDT et VNM Réversibilité du couplage angulaire P n S n (Level Symetric) Réversibilité du couplage angulaire P n S n (Formule Produit type Gauss-Legendre) Réversibilité du couplage angulaire P n S n (Formule Produit type Bickley-Naylor) Test1 : un problème à valeur propre de type "milieu infini hétérogène" Décomposition de domaine pour le problème Test1. Interface de couplage à x=8, 12, 16 cm Probleme Test1. Erreur relatif sur le flux. Interface de couplage en x=8 cm Problème Test1. Erreur relatif sur le flux. Interface de couplage en x=12 cm Problème Test1. Erreur relatif sur le flux. Interface de couplage en x=16 cm Description du benchmark Test2 et solution de référence Décomposition de domaine pour le problème Test2. Interface de couplage à x=8, 12 cm Test2 - Nappe d erreur pour le couplage P 5 S Test2 - Nappe d erreur pour le couplage S 2 P

15 LISTE DES FIGURES 4.1 Schéma détaillé d un quart de coeur du réacteur Phebus Modélisation simplifiée pour le réacteur Phébus Modélisation non-structurée pour le réacteur Phébus Maillage conforme pour le calcul de référence (maillage de référence) Solution de référence du réacteur Phébus. Problème modèle Nappe de puissance pour le réacteur Phébus Maillage non conforme, avec décomposition en trois sous-domaines (Grille 1) Trois maillages grossier pour la méthode de décomposition de domaine Maillage de calcul non-structuré pour la méthode de décomposition de domaine TDT/VNM Erreur sur le flux intégré en énergie à l intérieur de l assemblage expérimental Erreur sur le flux intégré en énergie à l intérieur de l assemblage expérimental Effets de la discrétisation angulaire et spatiale sur la réactivité calculée Maillage de calcul cartésien : Grille 1A Effets de la quadrature azimutale sur le couplage TDT/VNM Solution produite par le couplage TDT (cartésien) / VNM Nappe de puissance du réacteur Phébus Problème modèle Phébus. Solution par couplage TDT non-structuré / VNM Nappe de puissance pour le réacteur Phébus. Modélisation non-structurée A.1 Comparaisons entre une formule de quadrature optimisée S 8 et une formule de quadrature Level Symetric S A.2 Couplage par quadratures optimisées S 8 S B.1 Modélisation cartésienne B.2 Modélisation non-structurée

16 Introduction L exploitation fiable des réacteurs nucléaires actuels, ainsi que l étude et la proposition de systèmes innovants, dépendent de la capacité à modéliser correctement le comportement neutronique d un système nucléaire. Que ce soit en condition de fonctionnement normal ou accidentel, la physique des réacteurs a pour objectif de connaître la distribution de la population neutronique dans le coeur d un réacteur nucléaire. Cela permet d évaluer les principales quantités nécessaires au suivi du fonctionnement de l installation : la distribution de puissance, l évolution isotopique de différents matériaux présents (combustible, produit de fissions,...) ou encore, la fluence à l intérieur de la cuve. L équation du transport pour particules neutres, une version linéaire de l équation de Boltzmann, donne une très bonne description du comportement des neutrons [1, 2]. Toutefois, le calcul de la distribution de la population neutronique dans un réacteur demeure un problème complexe. D une part, les propriétés neutroniques des matériaux lourds ont une dépendance énergétique extrêmement irrégulière [5] (cela est due à la nature même de l interaction nucléaire, qui présente des "résonances" à des énergies particulières, des effets de seuil,... ). Voir figure U238(n,tot) Cross Section (barns) Energy (ev) FIG. 1 Section efficace totale pour l isotope U 238 D autre part, une description réaliste de la géométrie d un réacteur demande que l on prenne en compte un nombre extrêmement élevé de points de calcul, généralement plusieurs régions pour chaque cellule (voir figure page 8). Une telle discrétisation spatiale est notamment nécessaire pour répondre aux exigences de l Autorité de 7

17 INTRODUCTION Cellule Assemblage Gaine Modérateur Crayon combustible Cœur complet Cuve Réflecteur Assemblages combustible FIG. 2 Coupe schématique d un coeur de REP de 900 MW e Sûreté, qui demande à connaître la position du point chaud, c est à dire le crayon soumis à la température la plus élevée. Pourtant, une discrétisation fine de chaque variable de l équation de Boltzmann dans un coeur complet en trois dimensions, n a jamais été possible et, aujourd hui même, n est toujours pas d actualité. Le calcul se fait donc en plusieurs étapes : une première étape consistant à effectuer un calcul en théorie du transport très détaillé au niveau spatial et énergétique (plusieurs centaines de groupes), mais sur un domaine de taille réduite (généralement, un assemblage). L objectif de cette première étape est de produire les sections homogénéisées nécessaires au calcul de coeur, par pondération des sections efficaces hétérogènes avec le flux neutronique fin. Dans la deuxième étape, on effectue un calcul complet du réacteur en trois dimensions, mais avec un modèle plus simple (diffusion ou transport simplifié), un maillage plus large (généralement quatre mailles par assemblage) et peu de groupes d énergie. Cette procédure de calcul classique a donné des résultats satisfaisants pour des réacteurs à eau pressurisée chargé en uranium, en condition de fonctionnement normal, moyennant un effort considérable de qualification des schémas de calcul. Il y a cependant, un certain nombre de situations particulières, voire accidentelles, dans lesquelles l homogénéisation d une partie du problème peut introduire des erreurs importantes. On pense tout particulièrement aux problèmes présentant des fortes hétérogénéités localisées (accident de vidange, expulsion d une grappe de contrôle, calcul du flux à l intérieur d une instrumentation, d un détecteur). Dans ces cas, on souhaiterait pouvoir traiter très finement l hétérogénéité locale, sans devoir utiliser ce même niveau de discrétisation pour la partie restante du réacteur, qui est suffisamment bien décrite par une méthode plus simplifiée. 8

18 INTRODUCTION L utilisation des méthodes de décomposition de domaine trouve, alors, tout son intérêt grâce à la possibilité de ne traiter qu une partie du problème (typiquement une zone de la taille d un assemblage) en théorie du transport fin et de traiter la partie restante du coeur avec une méthode plus adaptée et moins coûteuse en temps de calcul. Dans cette perspective, l objectif de cette thèse a été le développement d une méthode de décomposition de domaine permettant d associer à chaque domaine spatial une forme de l équation du transport différente, afin de choisir la méthode la mieux adaptée pour traiter les caractéristiques géométriques ou physiques du domaine en question. Cela permet alors d introduire une plus grande flexibilité dans les calculs : raffinements localisés, couplage entre modèles numériques différents, raccordement de maillages cartésiens et non-structurés (éventuellement non-coïncidents),... Les améliorations développées dans ce travail permettent : la prise en compte d hétérogénéités par un raffinement localisé du maillage spatial et de pouvoir modéliser sans approximations une zone d intérêt, par l intermédiaire de la méthode des caractéristiques avec des maillages non-structurés (code TDT [17, 18]). de choisir, suivant la région de calcul, la modélisation la plus adaptée : soit le transport hétérogène (code TDT), soit le transport homogène (IDT [14, 15], VNM [21, 22, 23, 24, 25, 26]) et d employer l ordre de développement souhaité pour chaque sous-domaine. Présentation du document Le chapitre 1 est consacré à la présentation de l équation du transport pour les neutrons et de quelques unes des principales méthodes numériques disponibles pour sa résolution. On s intéressera principalement aux méthodes déterministes. La première étape dans le processus de discrétisation concerne la variable énergie et conduit à l approximation multigroupe. Ensuite, nous présenterons l équation monocinétique, à travers les principales formes sous lesquelles elle se décline (intégro-différentielle, forme paire, intégrale, équations SP n ), ce qui nous conduira à expliciter le traitement angulaire et spatial pour chacune d entre elles. Au final, parmi les différentes méthodes numériques présentées, nous en avons retenues trois : une méthode variationnelle nodale pour l équation en flux pair, une méthode aux ordonnées discrètes et une méthode des caractéristiques. Le choix de ces méthodes a été justifié par leur complémentarité et le fait que chacune d entre elles apporte une capacité de modélisation spécifique à une problématique particulière. Elles constitueront la base de travail pour la mise en place d un algorithme de décomposition de domaine, permettant le couplage entre ces méthodes. Par la suite, et par abus de langage, on pourra les appeler avec les noms du code dans lequel elles ont été implémentées (VNM, IDT, TDT). Au chapitre 2 nous traiterons des méthodes de décomposition de domaine et, plus particulièrement, de celle que nous avons développée dans le cadre de ce travail. Dans un premier temps, on rappellera les concepts de base des méthodes de décomposition de domaine, en partant de la formulation proposée par H.A. Schwarz [33]. En s inspirant de ces méthodes, nous développerons notre méthode de décomposition de domaine, en soulignant les spécificités liées à l équation du transport pour les neutrons et les modifications nécessaires 9

19 INTRODUCTION pour la mise en place d un formalisme employant simultanément différentes méthodes au sein du même calcul. Enfin, nous entamerons la description des opérateurs de couplage, qui sont nécessaires pour imposer la continuité de la solution à l interface entre sous-domaines, en commençant par la composante spatiale. L analyse des opérateurs de couplage angulaire fera l objet du chapitre 3. Dans un premier temps, nous présentons le couplage entre la méthode variationnelle nodale VNM, basée sur une discrétisation par harmoniques sphériques (P n ) et la méthode aux ordonnées discrètes du code IDT (S n ). Par la suite, nous étendons le couplage S n P n pour prendre en compte la méthode des caractéristiques (code TDT), en s appuyant sur les résultats précédemment établis. Nous donnons également une analyse du comportement pour chaque type d opérateur de couplage. Afin de vérifier la validité du couplage angulaire, un certain nombre de tests numériques sont également présentés. Ils permettent de confirmer les prédictions faites sur les opérateurs de couplage et de montrer l intérêt de l approche "multi-domaine/multi-méthode" pour la résolution de l équation du transport dans des configurations réalistes. Le dernier chapitre a pour objectif de montrer le potentiel de modélisation de la méthode développée dans cette thèse, à travers différentes approches de types de résolution d une même application. Le problème choisi est celui du réacteur expérimental Phebus [61]. Celui-ci se prête naturellement à une modélisation par décomposition de domaine avec raffinement localisé du maillage, puisqu il ne nécessite un calcul très fin que sur une zone limitée du problème global. A travers la modélisation cartésienne du réacteur, nous montrons que la méthode de décomposition de domaine permet d obtenir une solution très précise, avec une réduction sensible des temps de calcul. Enfin, dans le cadre de la modélisation par couplage TDT/VNM, notre méthode de couplage permet l utilisation de maillages non-structurés, sur une zone limitée du problème global. Nous montrerons que les gains en temps de calcul et place mémoire sont beaucoup plus importants, par rapport au cas où la modélisation du problème est assurée par des méthodes cartésiennes (IDT et VNM). L utilisation des méthodes de couplage trouve, alors, tout son intérêt grâce à la possibilité de ne traiter qu une partie limitée du problème avec la méthode des caractéristiques et de traiter la partie restante du problème avec une méthode plus adaptée et moins coûteuse en temps de calcul. Une partie des résultats de cette thèse a fait l objet de publications à deux congrès internationaux. Le premier, pour «Supercomputing for Nuclear Application», présente la mise en place de l itérateur multigroupe et analyse les premiers résultats obtenus avec la méthode de décomposition de domaine. Le deuxième, présenté à «Physor2004», porte sur une application de la méthode de couplage à un cas réaliste de la physique des réacteurs : la modélisation du réacteur Phébus. Nous en joignons une copie à la fin de ce document. 10

20 Chapitre 1 Synthèse des méthodes de résolution numérique de l équation du transport des neutrons Ce premier chapitre est consacré à l équation du transport pour les neutrons et à quelques unes des principales méthodes numériques disponibles pour sa résolution. On s intéressera principalement aux méthodes déterministes, en distinguant parmi les formulations existantes : la forme intégro-différentielle, la formulation en flux pair, la formulation intégrale et les équations du transport simplifié SP N, ce qui nous conduira à expliciter le traitement angulaire et spatial pour chacune d entre elles. Cette étude systématique des méthodes numériques que nous avions à disposition 1, nous a permis de mettre en évidence les aspects numériques et les capacités de modélisation propres à chaque méthode et, au final, de choisir celles que l on a été amené à coupler dans le cadre de nos travaux. Pour terminer, nous rappellerons les spécificités des trois codes de calcul que nous avons décidés d intégrer dans notre méthode de décomposition de domaine. Ce chapitre constitue l essentiel d une note technique [7], ayant pour objectif la présentation des méthodes de résolution pour l équation du transport, ainsi que quelques uns des principaux codes de calcul dans lesquels on les retrouve. 1.1 L équation du Transport Dans cette première section nous commencerons par dériver l équation de Boltzmann ; des hypothèses supplémentaires seront introduites afin de prendre en compte les spécificités du transport des neutrons. Nous nous concentrerons ensuite sur les méthodes de résolution de l équation du transport, en commençant par le traitement de la variable énergétique. Ceci nous permettra de distinguer les méthodes déterministes des méthodes stochastiques. 1 En particulier dans les codes de calcul disponibles au Commissariat à l Energie Atomique 11

21 CHAPITRE 1. MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L ÉQUATION DU TRANSPORT L Equation de Boltzmann La plupart des études en physique des réacteurs se basent sur la résolution d une version plus ou moins simplifiée de l équation du transport de Boltzmann. Celle-ci, dérivée vers la fin du XIX siècle, dans le contexte de la théorie cinétique, décrit l évolution d une population de particules, sur la base d une fonction de distribution f( r, v, t). Cette dernière peut être interprétée comme une densité de particules dans l espace des phases. En effet, la quantité f( r, v, t) d 3 r d 3 v représente le nombre de particules qui se trouvent, à l instant t, en r à d 3 r près, avec une vitesse v à d 3 v près [1, 2]. Une façon simple et élégante de dériver l équation du transport est d écrire un bilan de particules dans l espace des phases, en comptant les sources et les disparitions, à l intérieur d un volume élémentaire arbitraire. Considérons d abord l ensemble des particules contenues dans l élément de volume dγ = (d 3 r, d 3 v) de l espace des phases Γ = ( r, v) à l instant t. A t = t + δt, en l absence de collisions et de sources externes, les mêmes particules occuperont le volume dγ = (d 3 r, d 3 v ), et on aura : f( r, v, t ) d 3 r d 3 v = f( r, v, t) d 3 r d 3 v (1.1) Avec : r = r + v δt + O(δt 2 ) v = v + a δt + O(δt 2 ) En présence de collisions et d une source externe, on aura : f( r, v, t )d 3 r d 3 v = f( r, v, t) d 3 r d 3 v + [( ) ] f + S( r, v, t) t coll En faisant apparaître sa dérivée matérielle, le terme de gauche peut s écrire : [ f f( r, v, t ) = f( r, v, t) + t + v f r d 3 r d 3 v δt (1.2) ] f + a ( r, v, t) δt + O(δt 2 ) (1.3) v En passage à la limite δt 0, les équations (1.2) et (1.3) nous donnent enfin l équation de Boltzmann dans sa forme la plus générale : [ t + v r + F m ] f = v ( ) f + S (1.4) t coll Cette équation prendra un sens physique quand on explicitera l opérateur de collision ( f t ) coll L Equation du Transport pour les neutrons Pour la physique des réacteurs, l équation de Boltzmann sert à décrire le transport des neutrons. Pour cela, un certain nombre d hypothèses spécifiques sont introduites, afin de donner une forme explicite à l opérateur de collision pour l équation (1.4). Ces hypothèses sont les suivantes : 12

22 1.1. L ÉQUATION DU TRANSPORT 1. On négligera l action de toute force, à l exception de celles responsables des chocs. Par conséquent, les neutrons voyagent en ligne droite entre deux collisions. On posera l hypothèse que la collision est un phénomène localisé, ponctuel en temps et en espace ; malgré le fait que cela revient à dire que l accélération du neutron dans le choc est infinie, l impulsion reste tout de même finie. Il s agit, cependant d une hypothèse raisonnable tant que le temps moyen entre deux collisions demeure largement supérieur à la durée d une collision. 2. On négligera tout effet relativiste, étant donnée que l énergie maximale des neutrons que l on retrouve dans un réacteur nucléaire (E max 10 MeV) ne justifie pas la prise en compte de la correction de Lorentz (v c). 3. On négligera la disparition des neutrons par désintégration β + étant donnée la différence d ordre de grandeur entre le temps de demi-vie de la réaction et la vie moyenne l d un neutron entre sa naissance et son absorption (T β+ 1/2 l). 4. On négligera l apport des collisions entre deux neutrons à l intérieur de l opérateur de collision, ainsi que les collisions à plusieurs corps ; cela en vertu du fait qu elles sont beaucoup moins probables que celles avec les noyaux du milieu : σ n,n σ n,m. La validité de cette hypothèse est renforcée par la faible concentration des neutrons par rapport à celle des noyaux du milieu interagissant : n( r, t) M( r, t). On remarquera que c est seulement grâce à cette hypothèse que l équation est linéaire. 5. Dans le but de rendre plus simple la forme de l équation, on ne prendra pas en compte l effet des neutrons retardés (ceux qui sont produits par décroissance radioactive de produits de fission). Bien que cette hypothèse ne nous permette pas de donner une description cinétique du réacteur, celle-ci n est pas trop restrictive, car l effet des neutrons retardés n est sensible qu à des échelles temporelles d évolution très petites ( t = l 10 5 s pour les réacteurs thermiques). De plus, ils n interviennent pas dans le cas d un calcul stationnaire, cas d étude assez fréquent. Pour terminer, on rappelle les notations employées pour les sections efficaces macroscopiques : section totale : σ( r, v, t) = Probabilité par unité de parcours pour qu une particule en ( r, v) subisse section totale : σ( r, v, t) = une collision. section de transfert : σ tr ( r, v v, t) d 3 v = section totale : σ( r, v, t) = Probabilité par unité de parcours pour qu une particule en ( r, v) subisse section totale : σ( r, v, t) = une collision et soit réémise en v à d 3 v près. Grâce au formalisme des sections efficaces, le terme de collision s écrit : ( ) f = v σ( r, v, t) f( r, v, t) + d 3 v v σ tr ( r, v v, t) f( r, v, t) t coll On pose : ψ( r, v, t) = v f( r, v, t) la nouvelle inconnue dénommée flux angulaire, ˆΩ = v/v le vecteur donnant la direction de vol et l opérateur de collision : [Hψ]( r, v, t) = d 3 v σ tr ( r, v v, t) ψ( r, v, t) (1.5) Avec les hypothèses et définitions précédentes, l équation du transport pour les neutrons (1.4) devient : [ ] 1 v t + ˆΩ + σ ψ = Hψ + S 13

23 CHAPITRE 1. MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L ÉQUATION DU TRANSPORT Les neutrons produits par fission, ne sont pas comptés dans l opérateur de collision, mais inclus dans le terme de source, qui s écrit comme suit : S = S ext + F ψ (1.6) [F ψ]( r, v, t) = d 3 v σ fiss ( r, v v, t) ψ( r, v, t) (1.7) Le fait de séparer les neutrons produits par les collisions de ceux qui sont produits par les fissions est dû à l habitude d utiliser l inverse du coefficient de multiplication effective k eff comme valeur propre pour l opérateur de fission. Avec ( ) on obtient : [ ] 1 v t + ˆΩ + σ ψ = Hψ + F ψ + S ext Une dernière remarque sur la dépendance des variables. On a dérivé l équation de Boltzmann en utilisant l ensemble des variables ( r, v, t) ; en neutronique on a l habitude d exprimer la vitesse, non pas par ses trois composantes cartésiennes ( v) = (v x, v y, v z ) mais plutôt avec ses composantes angulaires et énergétique (ˆΩ, E). Cette manière de procéder, a pour but de mettre en évidence deux aspects très différents entre eux : la direction de propagation du neutron ˆΩ et son énergie E. Ces deux représentations sont, bien sûr, équivalentes, mais la deuxième se révèle beaucoup plus intéressante pour la description des caractéristiques neutroniques des matériaux dans l équation de Boltzmann. Flux Angulaire, Flux Scalaire, Courant Dans la section précédente, on a introduit une grandeur très utilisée en neutronique, le flux angulaire. A partir de celui-ci, on obtient le flux scalaire, défini comme le moment d ordre zéro par rapport à ˆΩ : φ( r, E, t) = dω ψ( r, ˆΩ, E, t) (1.8) 4π Malgré son appellation, il n y a pas d analogie avec le flux au sens hydrodynamique du terme, contrairement au moment d ordre un, le vecteur courant : J( r, E, t) = dω ˆΩ ψ( r, ˆΩ, E, t) (1.9) 4π Par la suite, on sera souvent amené à employer les courants partiels ou courant de Marshak ; ils sont définis comme étant le courant de neutrons qui traverse une surface unitaire en direction sortante (rentrante) par rapport au vecteur normal ˆn : J ± ( r, E, t) = dω ˆΩ ˆn ψ( r, ˆΩ, E, t) (1.10) 2π ± Traitement angulaire des sections efficaces La nature intégrale de l opérateur de collision est une des particularités propre à l équation du transport. Son noyau, la section efficace de transfert, σ tr ( r, v v ), que, par simplicité d écriture, nous avons considérée indépendante du temps, peut être simplifié en présence de certaines hypothèses additionnelles [4]. En particulier, les milieux que l on rencontre dans la physique des réacteurs, sont pratiquement toujours 14

24 1.1. L ÉQUATION DU TRANSPORT isotropes vis-à-vis des neutrons. En effet, tout milieu liquide ou gazeux l est ; de plus, les matériaux solides sont constitués de cristaux imbriqués dont l orientation est aléatoire. En excluant les neutrons ultra-froids, qui font l objet d applications spécifiques, le libre parcours moyen est largement supérieur à la taille des cristaux et on peut considérer sans difficultés que chaque neutron interagit avec des milieux, en moyenne, isotropes. Sous cette hypothèse, les sections efficaces sont invariantes par rotation. Pour la section de transfert, en particulier, cela signifie qu elle ne dépend pas simultanément des directions d entrée et de sortie, mais seulement de la déviation µ dev = ˆΩ ˆΩ que la particule a subi pendant la collision : σ( r, v) = σ( r, R v) = σ( r, E) σ tr ( r, v v) = σ tr ( r, R v R v) = σ tr ( r, E E, ˆΩ ˆΩ ) De plus, si on considère la séparabilité des variables, il est possible de développer la dépendance angulaire de la section de transfert sur une base de fonctions telles que les polynômes de Legendre. σ tr ( r, E E, ˆΩ ˆΩ ) = 1 4π (2k + 1) σ s,k ( r, E E) P k (ˆΩ ˆΩ ) (1.11) Chacun des moments d ordre k étant défini par : σ s,k ( r, E E) = dω σ tr ( r, E E, ˆΩ ˆΩ ) P k (ˆΩ ˆΩ ) 4π k=0 Pour poursuivre les développements de l opérateur de collision, on fera appel au théorème d addition pour les polynômes de Legendre, faisant intervenir les harmoniques sphériques. P k (ˆΩ ˆΩ ) = 1 2k + 1 +k l= k Y kl (ˆΩ) [Y kl (ˆΩ )] (1.12) Les harmoniques sphériques, définies en champs complexe, sont les fonctions propres de la partie angulaire du laplacien en coordonnées sphériques. Pour une description de ces fonctions, ainsi que pour une présentation des principales propriétés mathématiques voir les références en bibliographie [1, 2]. En substituant (1.12) dans (1.11), puis dans (1.5) on obtient l expression finale de l opérateur de collision : Hψ( r, E, ˆΩ, t) = 1 4π +k k=0 l= k Y kl (ˆΩ) Ayant défini le développement du flux angulaire par : 4π 0 de σ s,k ( r, E E) φ kl ( r, E, t) (1.13) ψ( r, E, ˆΩ, t) = 1 +k φ kl ( r, E, t) Y kl (ˆΩ) (1.14) 4π k=0 l= k φ kl ( r, E, t) = dω [Y kl (ˆΩ)] ψ( r, E, ˆΩ, t) (1.15) Pour le terme de fission, introduit auparavant dans l équation (1.7), le traitement est plus simple. En effet, étant données les énergies qui caractérisent les neutrons d un réacteur nucléaire, les neutrons de fission 15

25 CHAPITRE 1. MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L ÉQUATION DU TRANSPORT sont émis isotropiquement et on peut considérer que le spectre de fission χ(e) est quasi indépendant de l énergie de la particule incidente. L opérateur de fission apparaîtra comme : F ψ( r, E, ˆΩ, t) = x χ x ( r, E) 4π 0 de νσ micro f,x (E ) N x ( r) φ( r, E, t) (1.16) où la somme sur x est étendue à chaque isotope fissile, présent à la concentration atomique N x ( r), σ micro f,x est la section microscopique de fission, ν nombre moyen de neutrons émis par fission et χ x ( r, E) le spectre de fission pour l isotope x. Bien sûr, une normalisation du spectre de fission subsiste : 0 de χ x ( r, E) = 1 Avec les définitions (1.13) et (1.16), la forme finale, de l équation de Boltzmann pour le transport des neutrons est : [ ] 1 v t + ˆΩ + σ ψ( r, E, ˆΩ, t) = Hψ( r, E, ˆΩ, t) + F ψ( r, E, ˆΩ, t) + S ext ( r, E, ˆΩ, t) (1.17) On y rajoute les conditions limites et initiales nécessaires pour la fermature du problème : ψ( r, E, ˆΩ, t) = ψ 0 ( r, E, ˆΩ) t = t 0 ψ( r, E, ˆΩ, t) = β( r, E E, ˆΩ ˆΩ, t)ψ( r, E, ˆΩ, t) r r bd, ˆΩ ˆn < 0 où β représente un opérateur générique, appelé albedo, permettant de décrire le flux angulaire rentrant à la surface du domaine en fonction du flux sortant. Problèmes à source ou à valeur propre Sous certaines conditions mathématiques et physiques (concernant, notamment sections efficaces, sources, coefficient d albédo, flux initial) le problème défini par (1.17) admet une solution unique. En pratique, étant donné que les conditions de fonctionnement d un réacteur sont quasi statiques, on est souvent intéressé à connaître la solution stationnaire ( ψ t = 0). Cependant cette solution n existe pas toujours.2 Par contre, il est toujours possible de transformer un problème stationnaire homogène en un problème aux valeurs propres ; cela se fait en introduisant une valeur propre pour l opérateur de fission, son inverse étant ce que l on appelle d habitude le coefficient de multiplication effective : [ˆΩ + σ] ψ( r, E, ˆΩ) = Hψ( r, E, ˆΩ) + 1 k eff F ψ( r, E, ˆΩ) (1.18) Quand k eff = 1, on est dans le cas stationnaire d un système critique. Dans les autres cas, la valeur propre nous informe de combien on est éloigné de l état stationnaire : pour k eff < 1, on aura un système sous-critique, pour k eff > 1, un système sur-critique. En physique des réacteurs, les deux types de problèmes stationnaires que nous sommes amenés à traiter sont : 2 En effet, la solution de ce problème n existe et n est unique que dans des conditions très particulières. Il faut que le milieu soit sous-critique ; physiquement, cela signifie que le milieu ne multiplie pas les neutrons de manière "trop importante". Mathématiquement, cela revient à dire que le problème homogène associé n ait qu une seule solution, la solution nulle. Par contre, dans les autres cas, aucune solution du problème (1.17) stationnaire n est permise. Si on se penche alors sur la solution du problème homogène on observera que si une solution non triviale existe, alors elle n est pas unique. 16

26 1.2. TRAITEMENT DE L ÉNERGIE DANS L ÉQUATION DU TRANSPORT le problème à source (Equation 1.17) : On recherche le flux, réponse à une source imposée par l extérieur. Les applications les plus courantes sont le calcul des réacteurs sous-critiques ou des protections autour d une source de neutrons et les calcul de perturbations. le problème à valeur propre (Equation 1.18) : On recherche le coefficient de multiplication effectif. Les applications les plus courantes sont les réacteurs critiques, le calcul des coefficients inhérents à la sûreté et au fonctionnement du réacteur. Maintenant que nous avons donné une rapide vue d ensemble sur l équation du transport, nous allons décrire les méthodes numériques employées pour sa résolution, notamment à travers de la discrétisation de la variable énergie. 1.2 Traitement de l énergie dans l équation du transport Dans cette section on se propose de donner une première description des techniques et des approximations numériques nécessaires pour que l équation du transport puisse être résolue de façon efficace par un ordinateur. Tout d abord, une distinction s impose entre deux approches très différentes. L approche stochastique, telle celle des méthodes de Monte Carlo, où la recherche de la solution est obtenue en moyennant une grande quantité de parcours stochastiques. Ceux-ci sont obtenus par simulation directe de la vie d une particule. Cette procédure ne demande, en principe, aucune approximation sur les données des matériaux, les lois de choc, ou la géométrie. Bien évidemment, étant soumis aux lois de la statistique, les résultats obtenus comportent une erreur statistique. La deuxième approche, déterministe, cherche plutôt à transformer l équation du transport continue dans les variables énergie, espace et angle en un ensemble d équations, définies par discrétisation du problème initial. Il s agit, dans une certaine mesure, de projeter l équation du transport sur un sous-espace de dimension finie. Notre travail se concentrera sur les méthodes déterministes, qui constituent la famille de méthodes que l on désire étudier Approximation multigroupe C est une technique classique qui est employée dans la quasi totalité des codes de calculs déterministes que l on retrouve en neutronique [1, 2, 4, 8]. Il s agit de découper le domaine énergétique D. = [E G ; E 0 ] dans une partition D = G g=1 [E g; E g 1 ] et d intégrer ensuite l équation de Boltzmann sur chacune des régions d énergie ou groupes. Ceux-ci sont numérotés en ordre décroissant d énergie (E G =E min et E 0 =E max ) et l on appellera groupes rapides (resp. thermiques) ceux à haute (resp. basse) énergie. Cette séparation est loin d être purement formelle : alors que le comportement des neutrons à haute énergie est exclusivement dicté par des phénomènes de ralentissement, dans le domaine thermique, les collisions peuvent, selon la dynamique du choc, provoquer des remontées en énergie ou des ralentissements. Pour simplifier le traitement, on supposera que, à l intérieur de chaque groupe, le flux angulaire puisse 17

27 CHAPITRE 1. MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L ÉQUATION DU TRANSPORT se factoriser de la sorte 3 : ψ( r, E, ˆΩ) = f(e) ψ g ( r, ˆΩ) g de f(e) = 1 Ainsi, le formalisme multigroupe se présente comme un système de G équations monocinétiques avec pour inconnues les flux moyens ψ g sur l intervalle énergétique [E g ; E g 1 ] : [ˆΩ + σ g ( r)] ψ g ( r, ˆΩ) = G [Hψ] g g ( r, ˆΩ) + [F ψ] g ( r) + S g ext ( r, ˆΩ) (1.19) g =1 Ayant défini : [Hψ] g g ( r, ˆΩ) = 1 4π +k k=0 l= k σ g g s,k ( r) φ g kl ( r) Y kl(ˆω) [F ψ] g ( r) = χ g x( r) G 4π N x( r) νσ g f,x ( r) φ g ( r) x g =1 S g ext ( r, ˆΩ) = de S ext ( r, E, ˆΩ) g φ g kl ( r) = dω [Y kl (ˆΩ)] ψ g ( r, ˆΩ) 4π Et les paramètres multigroupes des matériaux : σ g ( r) = de σ( r, E) f(e) g σ g g s,k ( r) = de de σ s,k ( r, E E) f(e ) g g νσ g f,x ( r) = de νσ f,x ( r, E) f(e) g χ g x( r) = de χ x ( r, E) Résolution des équations multigroupes g En définissant : L g. = [ˆΩ + σ g ], H gg. down = H g g pour g. < g (opérateur de ralentissement) et up =H g g pour g >g (opérateur de remontée en énergie) on peut écrire en notation matricielle : H gg 3 Ces fonctions de pondération doivent être représentatives de l allure du flux neutronique dans le réacteur. Cependant, en présence d éléments résonants, le flux ne décroît pas régulièrement, ce qui complique l évaluation des fonctions de pondération. Dans le domaine des résonances, celui-ci présente des creux aux énergies autour de la résonance, pour reprendre une allure en 1 E loin de la résonance. Malgré la variation de la section efficace près de la résonance (plusieurs ordres de grandeurs), le taux de réaction reste relativement constant. Il s agit du phénomène de l autoprotection. Dans ce cas, la première étape pour un calcul neutronique sera de trouver un flux finement discrétisé en énergie à employer pour la pondération des sections efficaces. La mise en groupe des sections en présence d isotopes résonants est une opération délicate, car les modèles sur lesquels reposent le procédure d équivalence ne sont pas très rigoureux. 18

28 1.3. L ÉQUATION MONOCINÉTIQUE : TRAITEMENT ANGULAIRE ET SPATIAL L 1 H 11 Hup 1g Hup 1G H g1 down L g H gg Hup gg Hdown G1 H Gg down L G H GG ψ 1 ( r, ˆΩ). ψ g ( r, ˆΩ). ψ G ( r, ˆΩ) = [F ψ] 1 ( r) + Sext( r, 1 ˆΩ). [F ψ] g ( r) + S g ext ( r, ˆΩ). [F ψ] G ( r) + Sext( r, G ˆΩ) (1.20) On observera que le phénomène de remontée en énergie pour les neutrons, est négligeable pour la plupart des groupes rapides : σ g g s,k 0 pour g > g. Ceci donne une structure triangulaire inférieure à la matrice multigroupe ; ce qui suggère une résolution de type Gauss-Seidel. [L g H gg ] ψ g (e + 1) = g <g H gg down ψ g (e + 1) + Hup gg ψ g (e) + [F ψ] g (e) + S g ext Sg (1.21) g >g A ce niveau les itérations sur les groupes d énergie prennent le nom d itérations externes (numérotés par l indice e). Le balayage des groupes commence par le groupe le plus rapide (g = 1) et emploie les flux déjà calculés pour construire l opérateur de ralentissement H gg down. La source de fission est calculée une fois pour toute au début de chaque itération avec les flux scalaires de l itération précédente et le coefficient de multiplication effectif (en cas de calcul à valeur propre) est recalculé à la fin du balayage par une formule de projection sur une fonction poids w : k (e + 1) = k (e) [F ψ](e + 1), w [F ψ] (e), w Parfois, à cause de la difficulté de convergence à l intérieur des groupes thermiques (là où les phénomènes de remontée en énergie sont les plus importants) on impose des itérations supplémentaires (appelées itérations d upscattering ou thermiques) sur ces groupes spécifiques à l intérieur de chaque itération externe. D après le schéma itératif (1.21), tout calcul multigroupe en transport se réduit à la résolution systématique de plusieurs équations monocinétiques avec source connue. Celle-ci contiendra bien sûr les termes de transfert à partir des autres groupes d énergie, ainsi que la source de fission et la source externe. Dorénavant, sauf si cela peut porter à ambiguïté, on supprimera les indices de groupe, pour se concentrer sur la résolution de l équation monocinetique suivante : [ˆΩ + σ( r)] ψ( r, ˆΩ) = 1 4π K +k k=0 l= k σ s,k ( r) φ kl ( r) Y kl (ˆΩ) + S( r, ˆΩ) (1.22) Cette dernière nécessite évidemment la discrétisation des variables angulaire et spatiale. Nous aborderons ces aspects dans les chapitres suivants. Cela nous permettra de décrire les méthodes implémentées dans un certain nombre de codes de neutronique et de sélectionner ceux qui seront retenus pour la suite de notre travail de couplage. 1.3 L équation monocinétique : traitement angulaire et spatial Un premier classement des méthodes déterministes peut être fait en fonction de la forme analytique de l équation du transport sur laquelle elles se basent. Il en existe principalement quatre : 19

29 CHAPITRE 1. MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L ÉQUATION DU TRANSPORT 1. Equation intégro-différentielle. Il s agit tout simplement de l équation (1.22), caractérisée par le fait d être différentielle en espace au premier ordre, et d avoir développée l intégrale de collision à un ordre d anisotropie K. L inconnue est le flux angulaire ψ( r, ˆΩ). 2. Equation du second ordre en flux pair. A partir de la même équation (1.22), on décompose les parties paire et impaire en angle du flux angulaire, pour obtenir une équation différentielle du second ordre en espace, analogue à une équation de diffusion. Sous cette forme il est possible d appliquer un principe variationnel, qui conduit à des systèmes algébriques bien conditionnés, possédant une stabilité prouvée. L inconnue est ici la composante paire du flux angulaire ψ + ( r, ˆΩ). 3. Equation intégrale. En partant de l équation (1.22) on procède en intégrant formellement sur toutes les directions angulaires. On obtiendra alors une équation intégrale pour le flux scalaire, ce qui nous évite, a priori, toute approximation due à la discrétisation de la variable angulaire. Cependant, une limitation importante de cette technique est la complication formelle nécessaire pour prendre en compte l anisotropie de la source d émission. Cela implique des hypothèses supplémentaires : choc et sources externes isotropes. L inconnue est, cette fois-ci, le flux scalaire φ( r). 4. Equations du transport simplifié. Le point de départ est toujours l équation intégro-différentielle, qui est modifiée par une procédure heuristique afin d obtenir des équations simplifiées, ressemblant à celle de la diffusion. Chaque forme de l équation amène à des méthodes de discrétisation des variables angulaire et spatiale. Nous allons, dans ce chapitre, les développer une à une en mentionnant les codes qui s y rapportent. Pour la variable angulaire, deux méthodes sont communément utilisées pour sa discrétisation sur la sphère S 2 : la méthode aux ordonnées discrètes (ou méthode S n ) qui est une méthode de collocation et la méthode aux harmoniques sphériques, (ou méthode P n ) qui est une méthode de projection. La première méthode (S n ) est utilisée pour les deux premières formes de l équation, tandis que la deuxième (P n ) n est utilisée qu avec l équation du second ordre. On choisira de présenter la méthode P n pour l équation en flux pair et la méthode S n pour l équation intégro-différentielle. La méthode SP n fera l objet d une présentation spécifique Equation intégro-différentielle On rappelle l équation (1.22) que nous allons employer dans cette section : [ˆΩ + σ( r)] ψ( r, ˆΩ) = 1 4π K +k k=0 l= k σ s,k ( r) φ kl ( r) Y kl (ˆΩ) + S( r, ˆΩ) Méthode aux ordonnées discrètes (S n ) La méthode aux ordonnées discrètes consiste à se donner un ensemble fini de directions {ˆΩ d } d=1...nd sur la sphère unité S 2, permettant de discrétiser en angle l équation précédente. On obtiendra alors un système de N d équations différentielles dans la variable d espace, ayant pour inconnue le flux angulaire dans la direction ˆΩ d, couplées par l intermédiaire des moments angulaires φ kl ( r) qui apparaissent dans le terme de collision. ˆΩ d ψ d ( r) + σ( r) ψ d ( r) = 1 4π K +k k=0 l= k σ s,k ( r) φ kl ( r) Y kl (ˆΩ d ) + S( r, ˆΩ d ) (1.23) 20

30 1.3. L ÉQUATION MONOCINÉTIQUE : TRAITEMENT ANGULAIRE ET SPATIAL Pour calculer les moments angulaires intervenant dans le terme de collision, on se donnera une formule de quadrature, permettant l évaluation d intégrales sur la sphère S 2 : 1 N d dω f(ˆω) ω d f(ˆω d ) 4π 4π Ce formalisme permet de fermer le système d équations (1.23) et d approcher les moments angulaires du flux : N d φ kl ( r) = 4π ω d [Y kl (ˆΩ d )] ψ d ( r) (1.24) d=1 La stratégie naturelle de résolution des équations aux ordonnées discrètes (1.23) est l itération sur la source de collision. A ce niveau les itérations prennent le nom d itérations internes. En partant des moments angulaires connus au pas (p 1), on calcule la source directionnelle : Q (p) d ( r) = 1 4π K +k k=0 l= k d=1 σ s,k ( r) φ kl (p 1) ( r) Y kl (ˆΩ d ) + S d ( r) (1.25) Celle-ci nous permet alors de résoudre l équation suivante, et ainsi de connaître le nouveau flux à l itération p : (ˆΩ d + σ) ψ (p) d ( r) = Q(p) d ( r) d = 1... N d (1.26) A partir de cela, on calcule les nouveaux moments angulaires via (1.24). Un critère de convergence, imposé sur chaque moment angulaire nous permettra d arrêter le processus itératif, ou de le poursuivre. Discrétisation spatiale pour les méthodes S n A partir de l équation précédente, différentes méthodes ont été étudiées dans le but d obtenir un système algébrique apte à la résolution par voie numérique. Pour les méthodes aux ordonnées discrètes, la discrétisation spatiale est généralement obtenue par des méthodes aux différences finies, nodales, des caractéristiques ou par l intermédiaire d une discrétisation en éléments finis. On se limitera, pour le moment, aux maillages bidimensionnels cartésiens structurés, sachant que les raisonnements exposés ci-après peuvent être étendus au cas de maillages plus génériques. Enfin, on supposera que les propriétés des matériaux sont constantes à l intérieur de chaque maille. a) Méthodes aux différences finies S n Une technique simple, permettant de discrétiser l équation (1.26), tout en conservant le bilan neutronique, est d effectuer une intégration sur chaque nœud du maillage. Il s agit d une méthode qui s apparente à celle des volumes finis, malgré l appellation qui lui est traditionnellement donnée. Soient µ d, η d les composantes cartésiennes du vecteur ˆΩ d, l équation de bilan est : µ d x [ψx,out d ψ x,in d ] + η d y [ψy,out d ψ y,in d ] + σψ d = Q d (1.27) où ψ d représente le flux moyen sur le nœud, tandis que ψ ξ,out d (ψ ξ,in d ) représente le flux moyen sortant (rentrant) par la surface perpendiculaire au vecteur ê ξ, ξ = x, y. Le terme source Q d sur la cellule est définie en fonction des moments angulaires moyens φ kl et de la source moyenne S d : Q d = K +k k=0 l= k σ s,k φ kl Y kl (ˆΩ d ) + S d (1.28) 21

31 CHAPITRE 1. MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L ÉQUATION DU TRANSPORT En plus de l équation de bilan, il faudra introduire des relations de propagation à l intérieur de la cellule. Dans leur forme la plus générale, elle portent le nom générique de schéma diamant pondéré, et se présentent ainsi : ψ d = α ψ ξ,out d + (1 α) ψ ξ,in d (1.29) Le choix du poids α donne naissance à différents schémas : le plus souvent on emploie le schéma diamant classique, pour α = 1 2. Celui-ci est basé sur l hypothèse de continuité du flux à l intérieur de la cellule, mais n assure pas la positivité de la solution pour des cellules optiquement épaisses. Un remède consiste à faire appel au schéma step (α = 1) qui ne présente pas ce genre de problème. En revanche, il donne une bien piètre approximation du phénomène de propagation. Les relations (1.29), avec l équation de bilan (1.27) permettent de calculer les flux sortants et le flux moyen sur la cellule en fonction des flux rentrants. Ceci dit, la résolution du système (1.26) est faite en effectuant un balayage sur les directions discrètes, à travers le maillage spatial. On commencera par le coté où le flux rentrant est connu par une condition limite inhomogène (flux imposé sur la frontière, condition de vide,...). En présence de conditions limites homogènes (condition de réflexion, d albédo,...) on se donnera un flux de tentative permettant d initialiser le processus. On détermine alors le flux moyen dans la cellule ainsi que les flux sortants. Ceux-ci sont alors employés comme flux rentrants dans les cellules qui suivent selon la direction de propagation des neutrons ˆΩ d, permettant de déterminer complètement la distribution spatiale du flux angulaire ψ d pour chaque direction d. Avant de passer à d autres techniques de discrétisation, on remarquera que le schéma numérique décrit dans cette section est constitué par une approximation plutôt pauvre. En effet, les relations de propagation employées ne prennent en compte, ni les caractéristiques matérielles de la cellule, ni géométriques. Il s en suit qu une amélioration importante du schéma aux différences finies peut être obtenue en employant une représentation polynomiale du flux d ordre plus élevé, ainsi qu une équation de propagation capable de reproduire fidèlement le phénomène physique. Ces améliorations sont introduites dans les méthodes nodales ou des caractéristiques ; elles sont détaillées dans les prochaines sections. L algorithme que l on vient de décrire est, malgré sa relative simplicité, très répandu. Plusieurs codes neutroniques emploient ce schéma. En France : Apollo2 [9], Bistro [10], Idt, ou encore Twodant aux Etats- Unis. b) Méthodes nodales S n A l origine, ces méthodes ont été employées avec succès dans la discrétisation spatiale de l équation de la diffusion en géométrie multidimensionnelle, grâce à la possibilité d utilisation de mailles de grande taille à parité de précision demandée, tout en gardant un effort de résolution par nœud raisonnable. C est ainsi de façon tout à fait naturelle que l on a envisagé la possibilité de les appliquer dans la résolution de l équation du transport. L idée de base des méthodes nodales S n est de construire des relations de propagation par projection de l équation du transport le long des directions de la géométrie [11]. On obtient ainsi des équations quasimonodimensionnelles qui peuvent être inversées analytiquement. La conséquence de la projection est la présence des termes de fuites transverses qui donnent le couplage avec les directions perpendiculaires à celle de propagation. Pour effectuer les manipulations algébriques nécessaires à traiter l intégration des termes transverses, on supposera un développement du flux en surface et à l intérieur de la maille en fonction d un ensemble complet de fonction. Le choix le plus courant est celui des polynômes de Legendre, mais d autres choix sont clairement possibles. 22

32 1.3. L ÉQUATION MONOCINÉTIQUE : TRAITEMENT ANGULAIRE ET SPATIAL Par simplicité de notation dans les développements qui suivront, nous allons employer un repère de coordonnées (x, y) normalisé dans l intervalle [ 1, +1]. Dans ce cas, l équation du transport devient : 2µ d x ψ d (x, y) x + 2η d y ψ d (x, y) y + σψ d (x, y) = Q d (x, y) (1.30) Tout d abord, définissons les développements du flux à l intérieur de la cellule et sur les surfaces latérales par : ψ d (x, y) = m n ψ d (x, y =±1) = m (2m + 1) (2n + 1) ψ mn d P m (x) P n (y) ψ mn d = P x m P y n [ψ d (x, y)] (1.31) (2m + 1) ψ m d (±1) P m(x) ψ m d (±1) = P x m [ψ d (x, y =±1)] (1.32) ψ d (x=±1, y) = n (2n + 1) ψ n d (±1) P n(y) ψ n d (±1) = P y n [ψ d (x=±1, y)] (1.33) Avec P x m et P y n, opérateurs de projection : P x m [...] = 1 2 P y n [...] = dx P m (x)[...] m = 0, 1,... dy P n (y)[...] n = 0, 1,... On commencera par se donner un ensemble d équations de bilan, obtenues par projection de (1.30) sur les polynômes de Legendre d ordre (m, n). On obtient alors une équation reliant entre eux les moments spatiaux du flux en surface avec les moments internes du flux et les moments internes de la source : µ d x [ψn d (+1) s m ψ n d (-1)] + η d y [ψm d (+1) s n ψ m d (-1)] n a m,n d ψ m,n d b m,n d ψ m,n d + σ ψ mn d = Q mn d m (1.34) Les coefficients s n, s m, a m,n d, b m,n d, que nous ne detaillerons pas ici, se retrouvent facilement grâce à une intégration par parties et aux propriétés des polynômes de Legendre [12, 13]. Passons maintenant aux équations nodales de propagation. L objectif est d obtenir une équation reliant entre eux les moments du flux sur deux faces opposées de la cellule, en fonction des seuls moments internes. On présentera les étapes principales, permettant d y aboutir. Pour fixer les idées, on s occupera de la direction de propagation x, sachant que pour les autres directions le discours est le même. Tout d abord on réécrit l équation (1.30) en déplaçant le terme de fuite transversale à droite : 2µ d x ψ d (x, y) x + σψ d (x, y) = Q d (x, y) 2η d y ψ d (x, y) y (1.35) Ensuite, en appliquant l opérateur P y n à (1.35) on obtient une équation différentielle ordinaire de variable x, dont l inconnue est le moment d ordre n du flux, ψ n d (x) = P y n [ ψ d (x, y) ]. ( d dx + σ x ) ψ n d 2µ (x) = P y n [ Q d (x, y) 2η d d y 23 ψ d (x, y) y ] Fd n (x) (1.36)

33 CHAPITRE 1. MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L ÉQUATION DU TRANSPORT Il est alors possible d inverser analytiquement l équation précédente entre les bornes de l intervalle [ 1, +1], afin d obtenir une relation entre le flux surfacique en entrée de la cellule et celui en sortie. Définissant l épaisseur optique par τ = σ x µ d : ψ n d (+1) = ψn d (-1) e τ + x 2µ d +1 1 dx Fd n (x 1 x ) e τ 2 La dernière étape consiste à développer la source de convolution Fd n (x) en fonction des moments spatiaux du flux à l intérieur et sur les surfaces transverses de la cellule. Finalement, ces derniers seront éliminés en employant (1.34) dans la relation précédente (ce qui permet d éliminer le couplage avec les surfaces transverses). Le résultat sera alors une relation de propagation de type : 1 + α n d 2 ψ n d (+1) + 1 αn d 2 ψ n d (-1) = β m n d ψm d (1.37) m où les coefficients algébriques αd n et βm d dépendent de l épaisseur optique de la cellule τ et de l ordre de développement m du flux à l intérieur même de la cellule [12, 13]. Finalement, chaque cellule est gouvernée par un système algébrique constitué par des équations de bilan (1.34), couplées aux relations de propagation (1.37). La résolution se fait par balayage à travers des cellules du maillage, de façon analogue aux méthodes aux différences finies, traitées dans la section précédente. Parmi les codes de neutronique qui emploient ce type de méthodes nodales : IDT [14, 15], qui fait partie de l environnement Apollo 2. c) Méthodes des caractéristiques en maillage structuré La méthodes des caractéristiques en géométrie structurée ressemble fortement à la méthode nodale. En effet, on retiendra la même équation de bilan et la même forme pour le développement du flux ( ). Par contre, on emploiera des équations de propagation obtenues par une inversion formellement exacte de (1.26) le long des directions caractéristiques de propagation ˆΩ d [16]. Soit s la coordonnée donnant la position le long de la trajectoire et R l épaisseur géométrique de la cellule, mesurée comme étant la distance entre le point d entrée et celui de sortie de la trajectoire intersectant la cellule. ψ out d ( r) = ψin d ( r RˆΩ d ) e σr + R 0 ds Q d ( r sˆω d ) e σs (1.38) Cette dernière donne une relation ponctuelle pour le flux sortant au point r en fonction du flux rentrant et de la source interne. Celle-ci est alors développée sur une base des polynômes de Legendre, faisant apparaître les moments spatiaux du flux à l intérieur de la cellule. On développera également les flux aux surfaces. Les équations de propagation pour les moments surfaciques sont alors obtenues par projection de (1.38) sur les bases retenues pour le développement surfacique. L algorithme pour la résolution reste le même que celui présenté dans la section précédente pour les méthodes nodales. Le code IDT, cité précédemment, permet également l emploi de la méthode des caractéristiques en géométrie structurée, grâce à la forte analogie formelle avec les méthodes nodales. d) Méthodes des caractéristiques en maillage non structuré En présence de maillages non structurés, le développement de la source se limite généralement au terme constant, car la présence de cellules complètement différentes les unes des autres oblige à effectuer un 24

34 1.3. L ÉQUATION MONOCINÉTIQUE : TRAITEMENT ANGULAIRE ET SPATIAL nombre de calculs très élevé pour obtenir les coefficients des relations de transmission. Il existent toutefois des travaux de recherche qui ont exploré la possibilité d employer une description linéaire de la source [17]. En plus, il faudra définir un ordre de balayage à l intérieur du maillage spatial, qui varie selon la direction de propagation ˆΩ d et pour chaque trajectoire parallèle à celle-ci. Comme d habitude, on se dotera d une équation de bilan, obtenue par intégration de (1.26) à l intérieur de la cellule : 1 {J out d J in d } + σψ d = Q d (1.39) V Où l on a choisi une représentation du flux constante par morceaux sur la cellule de volume V. Les courants sortants (resp. rentrants) sont définis par intégration sur la surface caractérisée par ˆn ˆΩ d > 0 (resp. < 0) : Jd out = ds ˆn ˆΩ d ψ d ( r) = S out(ˆω d ) = ds ˆn ˆΩ d ψ d ( r) = J in d S in (ˆΩ d ) S,out (ˆΩ d ) S,in (ˆΩ d ) ds ψ d ( r) (1.40) ds ψ d ( r) (1.41) Les relations précédentes sont alors approchées par une formule de quadrature. On choisira un ensemble de trajectoires t i parallèles à ˆΩ d, intersectant la cellule et on associera à chacune d entre elles un poids s (t i, ˆΩ d ) que l on pourra interpréter comme la fraction de la surface normale qui est représentée par la trajectoire. Voir, à ce propos, la figure 1.1, page 26. J out d J in d (t i,ˆω d ) (t i,ˆω d ) s (t i, ˆΩ d ) ψ out d (t i, ˆΩ d ) (1.42) s (t i, ˆΩ d ) ψ in d (t i, ˆΩ d ) (1.43) Ces deux quantités peuvent alors être mises en relation en spécialisant le résultat (1.38) dans le cas d une source plate : ψ out d (t i, ˆΩ d ) = T (t i, ˆΩ d ) ψ in d (t i, ˆΩ d ) + E(t i, ˆΩ d ) Q d (1.44) où l on a défini un coefficient de transmission T et un coefficient de fuite E, fonctions de la trajectoire par l intermédiaire de la longueur de la corde R(t i, ˆΩ d ) : T (t i, ˆΩ d ) = e σr(t i,ˆω d ) E(t i, ˆΩ d ) = 1 T (t i, ˆΩ d ) σ (1.45) Parmi les codes neutroniques basés sur la méthode des caractéristiques en maillage non structuré, on trouve : TDT [18]. 25

35 CHAPITRE 1. MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L ÉQUATION DU TRANSPORT ˆΩ d R(t i, ˆΩ d ) ψ out d (t i, ˆΩ d ) s (t i, ˆΩ d ) ψ in d (t i, ˆΩ d ) FIG. 1.1 Notation employée pour la méthode des caractéristiques non structurées : grandeurs associées à la trajectoire (t i, ˆΩ d ) traversant une maille quelconque Equation du second ordre en flux pair L idée centrale est de décomposer le flux angulaire dans sa partie paire et impaire, vis à vis de ˆΩ, afin d obtenir une équation différentielle du second ordre en espace, analogue à une équation de diffusion [21]. Sous cette forme, l équation du transport est auto-adjointe, ce qui nous permet de faire appel à un principe variationnel, pour obtenir un système algébrique bien conditionné pouvant être résolu de façon efficace. On partira de l équation intégro-différentielle (1.22), dans l hypothèse de choc isotrope et sources isotropes. L extension de la méthode à un ordre d anisotropie plus élevé est cependant possible [22]. [ˆΩ + σ( r)] ψ( r, ˆΩ) = 1 4π σ s( r) φ( r) + S( r) 4π Tout d abord, on décomposera le flux angulaire dans ses composantes paire et impaire : (1.46) ψ( r, ˆΩ) = ψ + ( r, ˆΩ) + ψ ( r, ˆΩ) ψ + ( r, ˆΩ) = 1 2 [ψ( r, ˆΩ) + ψ( r, ˆΩ)] ψ ( r, ˆΩ) = 1 2 [ψ( r, ˆΩ) ψ( r, ˆΩ)] (1.47) On attirera l attention du lecteur sur les propriétés de parité des quantités définies ci-dessus, qui nous permettent d écrire le flux scalaire et le courant total comme : φ( r) = dω ψ + ( r, ˆΩ) J( r) = dω ˆΩ ψ ( r, ˆΩ) 4π Pour dériver la forme paire de l équation du transport, on combinera (1.46) avec son homologue évaluée dans la direction ˆΩ. En additionnant et en soustrayant, on obtiendra deux équations couplées par 26 4π

36 1.3. L ÉQUATION MONOCINÉTIQUE : TRAITEMENT ANGULAIRE ET SPATIAL l intermédiaire des composantes paire et impaire : ˆΩ ψ ( r, ˆΩ) + σ( r) ψ + ( r, ˆΩ) = 1 4π [σ s( r) φ( r) + S( r)] (1.48) ˆΩ ψ + ( r, ˆΩ) + σ( r) ψ ( r, ˆΩ) = 0 (1.49) En éliminant le flux impair dans la première, on arrive à l équation paire du transport : [ ˆΩ 1 ] σ( r) ˆΩ ψ + ( r, ˆΩ) + σ( r) ψ + ( r, ˆΩ) = 1 4π [σ s( r) φ( r) + S( r)] (1.50) Avec les conditions limites appropriées 4 : ψ + ( r, ˆΩ) 1 σ( r) ˆΩ ψ + ( r, ˆΩ) = 0 ˆΩ ˆn < > 0 r Γ v (1.51) ψ + ( r, ˆΩ) = ψ + ( r, ˆΩ r ) ˆΩ ˆn = ˆΩr ˆn (ˆΩ ˆΩ r ) ˆn = 0 r Γ r (1.52) Formulation variationnelle : forme primale Afin de pouvoir appliquer la méthode variationnelle, ce paragraphe se propose de fournir quelques notions de base concernant les techniques variationnelles appliquées à la forme primale de l équation du transport en flux pair continue en espace et angle. Ensuite, nous nous concentrerons sur les aspects de discrétisation spatiale et angulaire, ce qui nous permettra d obtenir un système algébrique discrétisé apte à l inversion numérique. La formulation variationnelle de la forme paire de l équation du transport, s obtient en demandant le respect de (1.50) au sens des distributions (e.g. dv dω [equ. 1.50] w). Soit w( r, ˆΩ) W une fonction suffisamment régulière (cette notion de régularité peut être mieux explicitée en demandant que w, ˆΩ w, ˆΩ ˆn 1/2 ˆΩ w soient de carré intégrable sur leur domaine d existence) et qui respecte les bonnes conditions limites sur Γ r (ˆΩ w = 0). Après quelques manipulations algébriques, faisant intervenir le théorème de Green et les conditions limites sur la frontière, on aboutit à : dv dω V 4π { 1 σ (ˆΩ ψ + ) (ˆΩ w) + σ ψ + w } + dγ dω ˆΩ ˆn ψ + w = dv dω ( σ s Γ v 4π V 4π 4π φ+ S 4π ) w (1.53) Cette dernière est valable pour ψ + W, w W. On notera a(φ, w) la forme bilinéaire à gauche du signe d égalité. Il est alors possible de montrer que, sous certaines conditions, résoudre l équation (1.53) est équivalent à minimiser la fonctionnelle 5 : F [ψ + ] = a(ψ +, ψ + ) Avec (f, g) W = V dv 4π dω f( r, ˆΩ) g( r, ˆΩ). ( σs 4π φ, ψ+) W ( ) S 2 4π, ψ+ W (1.54) La fonctionnelle précédente est le point de départ d un bon nombre de méthodes numériques. Dans cette optique, on se penchera sur son analyse suite à une variation arbitraire autour d un point de référence. Pour 4 On fera l hypothèse que la frontière externe se décompose en deux parties : Γ v (condition limite de type vide) et Γ r (condition limite de type réflexion) 5 Les conditions auxquelles on se réfère, comprennent la continuité, la symétrie et la coercitivité de la forme bilinéaire associée à la fonctionnelle, ainsi que la continuité du terme source. 27

37 CHAPITRE 1. MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L ÉQUATION DU TRANSPORT cela, on pose ψ + ( r, ˆΩ) = ψ + 0 ( r, ˆΩ) + δψ + ( r, ˆΩ) dans l expression (1.54), en obtenant une somme de trois contributions, selon l ordre de dépendance de la variation : F [ψ + ] = F [ψ + 0 ] + δf [ψ+ ] + δ 2 F [ψ + ] Le terme qui nous intéresse, dans le but de minimiser la fonctionnelle est δf : { ( δf [ψ + ] = 2 a(ψ + 0, σs δψ+ dω ψ + ) 0 ), δψ + 4π W ( ) } S 4π, δψ+ W Demander la stationnarité de la fonctionnelle (e.g. δf =0) autour de ψ + 0, équivaut effectivement à imposer que le flux ψ + 0 respecte l équation du flux pair (1.50) avec les conditions limites (1.51) sur Γ v et ˆΩ ψ + 0 = 0 sur Γ r, ce qui nous assure l équivalence entre cette procédure et l équation (1.53). Les manipulations algébriques nécessaires pour aboutir à ce résultat ne seront pas détaillées ici [1]. Les équations que l on obtient par cette procédure sont appelées équations d Euler-Lagrange. Discrétisation par procédure de Ritz Il s agit de supposer que l inconnue du problème de minimisation (1.54) peut être raisonnablement approchée par un développement limité de fonctions paires en angle. ψ + ( r, ˆΩ) = k c k u k ( r, ˆΩ) = c T u i ( r, ˆΩ) = u T i( r, ˆΩ) c En substituant cette dernière dans la fonctionnelle (1.54) on obtient : F [ψ + ] F [c] = c T A c 2 c T s (1.55) Avec : ( ) σs A = a(u i, u T dω u i i ), u T i 4π W s = ( ) S 4π, u i W Les coefficients c k sont choisis de façon à rendre stationnaire la fonctionnelle qui leurs est associée. Avec la démarche usuelle, on posera c = c 0 + δc dans la (1.55) pour obtenir : F [c] = F [c 0 ] + 2 δc T [A c 0 s] + 2 δc T A δc En demandant que la fonctionnelle ne dépende pas des variations au premier ordre, à savoir, en annulant le deuxième terme de la somme ci-dessus, on obtient un système algébrique, qui est l équivalent discret des équations d Euler-Lagrange continues. Par ailleurs, on peut voir cette procédure comme une méthode de Galerkine pour laquelle on a choisi les fonctions poids comme étant les bases employées dans le développement du flux. Discrétisation par harmoniques sphériques et éléments finis spectraux La discrétisation est faite en appliquant une procédure de Ritz au problème variationnel, comme décrit ci-dessus. Tout d abord, le domaine spatial est décomposé en sous domaines homogènes. Ce qui nous 28

38 1.3. L ÉQUATION MONOCINÉTIQUE : TRAITEMENT ANGULAIRE ET SPATIAL conduit à employer une fonctionnelle modifiée, obtenue en demandant la continuité de la trace ( ˆΩ ˆn ψ + ) du flux pair aux interfaces, par une méthode de multiplicateur de Lagrange [23]. F [ψ + ] L[ψ +, λ] = N i=1 F i [ψ + ] + dγ ˆΩ ˆn ψ +2 + Γ v M dγ γ m m=1 4π dω λ m ˆΩ ˆn m 1 2 (ψ + i ψ + j ) où γ m est l interface qui sépare les sous-domaines V i et V j et l intégrale sur le volume total V dv présent dans la fonctionnelle F [ψ + ] a été décomposée en N i=1 V i dv. Exclusion faite du terme de surface, ce découpage entraîne une décomposition similaire pour la fonctionnelle (1.54). Suite à la demande de stationnarité de la fonctionnelle L[ψ +, λ], on découvre que les multiplicateurs de Lagrange s identifient, à un facteur de multiplication près, à la composante impaire du flux angulaire 6 : λ m = 2 sign(ˆω ˆn m ) ˆΩ ˆn m 1 2 ψ m ψ m = ψ ( r, ˆΩ) r γm Cela conduit à une fonctionnelle de type L[ψ + i, ψ m] que l on traitera à l aide d une discrétisation de Ritz en posant : ψ + i = ξ T i u i ( r, ˆΩ) u i ( r, ˆΩ) = u i ( r, ˆΩ) (1.56) Pour résoudre le problème variationnel, on substitue (1.56) dans L[ψ + i, ψ m] et on demande la stationnarité de la fonctionnelle ainsi obtenue par rapport à ξ i, pour arriver au système algébrique suivant : A i ξ i = s i dγ dω (ˆΩ ˆn) ψ m u i (1.57) V i 4π Avec : A i = dv V i s i = dv V i [ 4π dω 4π dω { } 1 σ (ˆΩ u i ) (ˆΩ u i ) T + σ u i u T i σ s 4π ( ) o S 4π u i ( ) ( ) ] dω u i dω u T i 4π 4π Il est alors possible d inverser le problème précédant et de substituer ξ i dans (1.56) pour obtenir une expression pour le flux pair ψ + i en fonction du flux impair ψ m sur la frontière m du nœud i : ψ + i ( ) = u T i A 1 i s i dγ dω (ˆΩ ˆn) χ m u i V i 4π (1.58) On s attache maintenant aux aspects liés à la discrétisation, ce qui est fait en explicitant les bases u i ( r, ˆΩ). Discrétisation angulaire (P n ) et spatiale (éléments finis spectraux) 6 Par incidence, on remarquera que la fonctionnelle ainsi formulée préserve le bilan neutronique dans chaque sous domaine V i, indépendamment de la représentation choisie pour la discrétiser. 29

39 CHAPITRE 1. MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L ÉQUATION DU TRANSPORT En ce qui concerne la variable angulaire, un choix possible est d employer les harmoniques sphériques (méthode P n ), mais d autres choix sont également envisageables (e.g. des éléments finis en angle et, en principe, l emploi de toute fonctions à carré intégrable sur la sphère S 2 ). Ici on retiendra la méthode P n. La dépendance angulaire est donc prise en compte par un développement tronqué sur les harmoniques sphériques, cohérent avec celui que l on a déjà introduit lors du traitement de l anisotropie dans l intégrale de collision (1.14). On rappelle le développement employé pour le flux pair, que l on retiendra aussi pour la décomposition de la source externe S( r) isotrope : ψ + ( r, ˆΩ) = 1 4π even k ψ (e) kl ( r) = 4π +k l= k ψ (e) kl ( r) Y kl(ˆω) (1.59) dω [Y kl (ˆΩ)] ψ + ( r, ˆΩ) (1.60) La représentation spatiale sera généralement faite par une méthode des éléments finis classiques ou spectraux. Ici, on retiendra la deuxième possibilité, en employant une base polynomiale à l intérieur et sur les côtés de chaque sous-domaine. Afin de formuler le problème précédent en terme de matrices de réponse, on s inspirera de la démarche proposée par Dilbert et Lewis [21]. Tout d abord on explicitera les bases employées dans la procédure de Ritz en fonction de leurs composantes angulaire et spatiale : u i ( r, ˆΩ) = F i ( r) g(ˆω) (1.61) où g(ˆω) contient, comme on l a dit, les premières harmoniques paires en angle et la matrice F i ( r) est construite à partir du vecteur f i ( r) qui contient une base polynomiale en espace pour le nœud i : f i ( r) f i ( r) 0 F i ( r) = f i ( r) Cette factorisation nous aidera dans la prise en compte des conditions limites. Pour cela, on introduira les moments angulaires des courants de Marshak aux interfaces : j ν ± ( r) = dω ˆΩ ˆn g ν (ˆΩ) ψ( r, ˆΩ) (1.62) ˆΩ ˆn > < 0 que nous allons relier immédiatement aux flux pair et impair par : j ν + ( r) + jν ( r) = dω ˆΩ ˆn g ν (ˆΩ) ψ + ( r, ˆΩ) (1.63) 4π j ν + ( r) jν ( r) = dω (ˆΩ ˆn) g ν (ˆΩ) ψ ( r, ˆΩ) (1.64) 4π En employant la notation j ± ( r) = [j 0 ±, j± 1,..., j± n ] T, et en gardant à l esprit la factorisation (1.61) on applique l opérateur dω ˆΩ ˆn g(ˆω) à (1.58) : ( ) j + ( r) + j ( r) = dω ˆΩ ˆn g g T F i ( r) T A 1 i s i dγ F i ( r ) [j + ( r ) j ( r )] (1.65) V i 30

40 1.3. L ÉQUATION MONOCINÉTIQUE : TRAITEMENT ANGULAIRE ET SPATIAL La dernière étape est le développement de la dépendance spatiale des vecteurs j ± ( r) sur une base orthonormale h l ( r) : j ± ( r) l j ± l h l( r) j ± l = V i dγ j ± ( r) h l ( r) et d appliquer l opérateur V i dγ h l ( r) à (1.65). On obtient alors un système algébrique de type B J + = S + C J valable sur chaque maille et reliant entre elles les composantes spatiales des différents moments angulaires des courants de Marshak. La résolution globale, ayant imposée la continuité des inconnues aux interfaces, se fera alors par une méthode itérative, par exemple de type Rouge Noir. La méthode décrite dans cette section (forme primale avec harmoniques sphériques et éléments finis spectraux) a fait l objet de différents développements au sein du code TGV/Variant [24, 25, 26], qui fait partie du système ERANOS [27]. Discrétisation par ordonnées discrètes et éléments finis Il est également possible d appliquer les fondements de la méthode S n à la formulation variationnelle associée à la forme paire de l équation du transport. Cela implique de discrétiser la fonctionnelle (1.53) sur l ensemble des directions discrètes (ˆΩ n ) et d évaluer le flux scalaire φ à l aide de la formule de quadrature habituelle. Avec la notation ψ + d ( r) = ψ+ ( r, ˆΩ d ) et w d ( r) = w( r, ˆΩ d ) on a : V dv { 1 σ (ˆΩ d ψ + d ) (ˆΩ d w d ) + σ ψ + d w d } + dγ ˆΩ d ˆn ψ + d w d = Γ v N d V dv ( σ s 4π φ + S 4π ) w d (1.66) φ( r) = ω d ψ + d ( r) (1.67) d=1 L équation (1.66) correspond à un système de N d problèmes variationnels couplés par l intermédiaire du terme de source. Ceux-ci sont résolus par itérations sur le terme de collision, de façon analogue à ce qui a été présenté pour la méthode S n (section 1.3.1). En employant la notation compacte pour les équations variationnelles : ( ) ( ) a ψ + (p + 1) σ s φ (p) d, wd = 4π + S 4π, w d d = 1... N d (1.68) N d φ (p + 1) = ω d ψ + d d=1 (p + 1) W (1.69) A chaque problème variationnel on associe sa propre fonctionnelle pour le flux pair dans une direction discrète. Afin d obtenir un système algébrique apte à l inversion, il faudra prévoir une discrétisation spatiale. Celle-ci se fait généralement par une méthodes des éléments finis. On posera : ψ + d ( r) = m ϕ d,m h m ( r) = ϕ T d h( r) = ht ( r) ϕ d (1.70) En demandant la stationnarité de la fonctionnelle par rapport aux inconnues ϕ d on obtient le système algébrique suivant : (p + 1) A d ϕ d = B d φ (p) + s (1.71) 31

41 CHAPITRE 1. MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L ÉQUATION DU TRANSPORT Avec les définitions : A d = dv V N d φ (p) = ω d ϕ (p) d (1.72) d=1 { } 1 σ (ˆΩ d h) (ˆΩ d h T ) + σ h h T + dγ ˆΩ d ˆn h h T (1.73) Γ v B d = V dv σ s 4π h h T (1.74) s = dv S 4π h (1.75) V Le problème ( ) se résout de façon itérative. A chaque pas, un balayage direction par direction permet de mettre à jour les vecteurs ϕ d. Ceux-ci sont alors employés pour recalculer le vecteur φ qui sert de source à une nouvelle itération. Le solveur Priam [28], dans le système Cronos, est basé sur une discrétisation angulaire S n de la forme primale de l équation en flux pair Une méthode de transport simplifié Formulation des équations SP n La méthode SP n naît en réponse à la complexité de la méthode P n et aux difficultés rencontrées pour la résolution de cette dernière en géométrie multidimensionnelle. En ce sens, Gelbard [29], fut le premier à proposer une approche simplifiée, apparentée à la méthode des harmoniques sphériques, qu il appela SP n. L idée sous-jacente est celle de conserver la simplicité des équations P n en géométrie plane (1D) dans le cas d une géométrie générique. Cela est obtenu en remplaçant les moments de Legendre d ordre impair par des fonctions vectorielles et en laissant ceux d ordre pair comme des fonctions scalaires. ψ e (x) ψ e ( r) e = 0, 2,..., n 1 ψ o (x) ψ o ( r) o = 1, 3,..., n Par conséquent, les dérivées premières qui apparaissent devant les moments impairs (resp. pair) sont remplacées par des opérateurs de divergence (resp. gradients). Cette procédure heuristique, permet, dans une certaine mesure, de maintenir la description précise typique des équations P n, tout en gardant une grande simplicité dans la structure du système à résoudre : e 2e + 1 ψ e 1 + (σ σ s,e ) ψ e + e + 1 2e + 1 ψ e+1 = S e e = 0, 2,..., n 1 (1.76) o 2o + 1 ψ o 1 + (σ σ s,o ) ψ o + o + 1 2o + 1 ψ o+1 = S o o = 1, 3,..., n (1.77) En effet, on se rend rapidement compte que le système précédent est formellement similaire à celui qui découle de la discrétisation d une équation de diffusion multigroupe, à condition d identifier les moments ψ o avec les courants et les moments ψ e avec les flux. Il est alors possible d adapter des solveurs conçus à l origine pour la diffusion afin qu ils puissent résoudre le système SP n. 32

42 1.3. L ÉQUATION MONOCINÉTIQUE : TRAITEMENT ANGULAIRE ET SPATIAL Une fois obtenus les moments inconnus, la reconstruction du flux angulaire est déduite en supposant que une symétrie plane subsiste, au moins localement. Cela dit : { ψ(ˆω) 1 (2e + 1) ψ 4π e P e (ˆΩ ˆk) + e o (2o + 1) ( ψ o ˆk) P o (ˆΩ ˆk) } (1.78) Le vecteur unitaire ˆk est choisi en fonction des symétries locales existantes (ex. normal au plan de symétrie, à la surface externe, à l interface, ou encore parallèle au vecteur courant). Malheureusement cette méthode ne possède pas les mêmes propriétés de convergence que les méthodes mentionnées précédemment (S n, P n,...). En effet, pour n qui tend vers l infini, le flux angulaire défini par (1.78) ne converge pas nécessairement vers la solution exacte de l équation du transport, sauf, bien sûr, dans le cas où les hypothèses asymptotiques de symétrie sont exactement vérifiées (configuration qui se rapproche de celle d un problème à symétrie plane). Dans ce cas, il a été demontré que les équations SP n se derivent asymptotiquement de l équation du transport [30]. Malgré tout, l expérience montre que, si on se limite à un ordre de développement pas trop élevé (n = 3, 5), la solution approchée que l on obtient présente un bon accord avec celle obtenue par un développement exact P n du même ordre, tout en demandant un effort numérique bien plus réduit. Discrétisation par éléments finis mixtes duaux Les méthodes des éléments finis mixtes duaux ont vu le jour dans le domaine de la mécanique des structures et de la thermique (diffusion de la chaleur) ; grâce aux analogies entre ces dernières et l équation de diffusion des neutrons, celles-ci ont été ensuite appliquées en neutronique. Plus récemment, elles ont pu être étendues aux équations SP n [31] qui présentent un formalisme très proche de l équation de diffusion dans sa forme duale (équation flux courant). Formulation variationnelle La formulation variationnelle faible des équations SP n s obtient en projetant séparément l équation paire (1.76) et l équation impaire (1.77) sur deux espaces fonctionnels différents. Ensuite, en appliquant la formule de Green sur l équation impaire, on obtient : e 2e + 1 E o 2o + 1 ( ψ e 1 ) ϕ e + (σ σ s,e ) ψ e ϕ e + e + 1 E 2e + 1 Γ + o + 1 2o + 1 Γ E ( ψ e+1 ) ϕ e = E S e ϕ e (1.79) ( ϕ o ˆn) ψ o o 1 ( ϕ o ) ψ 2o + 1 o 1 + (σ σ s,o ) ψ o ϕ o + E E ( ϕ o ˆn) ψ o+1 o + 1 ( ϕ o ) ψ 2o + 1 o+1 = S o ϕ o (1.80) La discrétisation spatiale est faite par une méthode d éléments finis mixtes duaux. En géométrie cartésienne, des éléments finis possédant des propriétés très intéressantes sont ceux de type Raviart-Thomas- Nedelec. En particulier, ils permettent de discrétiser le problème variationnel en le transformant en un problème algébrique où la matrice est creuse et le couplage entre les directions orthogonales est limité. En passant sur un certain nombre de manipulations mathématiques, on obtient : E E 33

43 CHAPITRE 1. MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L ÉQUATION DU TRANSPORT A x 0 0 B x 0 A y 0 B y 0 0 A z B z t B x t B y t B z T ψ o x ψ o y ψ o z ψ e = S o x S o y S o z S e (1.81) où T est une matrice diagonale et A i diagonale par blocks. La structure du système (1.81) suggère une résolution itérative. On se souciera alors d obtenir une matrice symétrique et définie positive. Pour cela il suffit de substituer le flux pair ψ e dans les équations impaires ; ce que l on peut faire aisément car la matrice T est diagonale. Finalement, la résolution s effectue sur un système réduit, ayant pour inconnue le flux impair, selon une procédure itérative de type Gauss-Seidel par block. Parmi les applications numériques de la méthode mixte duale existante, le solveur Minos [31], faisant partie de l environnement de calcul Cronos, permet de traiter à la fois l équation de la diffusion et les équations du transport simplifié (SP n ) Equation intégrale Le point de départ est l inversion directe de l équation du transport le long de la direction ˆΩ, de façon tout à fait similaire à ce qui se fait dans la méthode des caractéristiques : ψ( r, ˆΩ) = ψ( r bd, ˆΩ) e τ( r, r bd ) + Rbd 0 dr Q( r, ˆΩ) e τ( r, r ) (1.82) où r = r R ˆΩ, tandis que rbd = r R bd ˆΩ représente le point d intersection entre la trajectoire et la surface qui délimite le domaine, avec, en plus, la définition d épaisseur optique : τ( r, r ρ ˆΩ) = ρ 0 ds σ( r sˆω) On veut maintenant obtenir une équation pour le flux scalaire. Cela se fait tout simplement en intégrant (1.82) en dω. On introduira à ce stade une approximation fondamentale en demandant que la source d émission soit isotrope : Q( r, ˆΩ) 1 4π Q( r). Cela va nous permettre d effectuer l intégration demandée plus simplement. 7 En employant le changement de variable dω R 2 bd = ds ˆΩ ˆn dans la première intégrale et dω R 2 dr = dv dans la seconde, on obtient : e τ( r, r in bd ) φ( r) = 4π ds ˆΩ ˆn in 2 ψ( r bd in, ˆΩ) + dv e τ( r, r ) S 4πR } {{ bd V 4πR } 2 Q( r ) (1.83) } {{ } k( r, r bd in ) k( r, r ) où le noyau de première collision k( r, r 0 ), donne la probabilité pour qu une particule émise isotropiquement en r 0 subisse sa première collision en r. On introduira ensuite une approximation sur le flux angulaire à la surface. Le choix le plus immédiat est celui d un flux isotrope : ψ( r bd, ˆΩ) 1 π J ± ( r bd ), J ± étant le courant partiel rentrant (sortant) à la frontière 8. 7 Le traitement de l anisotropie à un ordre plus élevé nécessite des développements numériques bien plus lourds. Pour éviter cela, dans le contexte du transport intégral, on emploie systématiquement une correction de transport pour la section de scattering isotrope, de façon à prendre en compte l anisotropie d ordre un. 8 Il est possible de se passer de l hypothèse précédente en traitant plus en détail la dépendance angulaire. Cela est obtenu en employant des fonctions de représentation angulaires χ ρ (ˆΩ) de type constant par morceaux ou de type δ(ˆω ˆΩ p) dans le développement du flux angulaire à la frontière : ψ( r bd, ˆΩ) = ρ ψρ ( r bd ) χ ρ (ˆΩ). Cette hypothèse, qui permet de prendre en compte de façon plus précise les conditions limites, conduit à une formulation différente, dite probabilités de collision directionnelles [18]. 34

44 1.3. L ÉQUATION MONOCINÉTIQUE : TRAITEMENT ANGULAIRE ET SPATIAL L étape suivante consiste à dériver une équation intégrale pour les courants partiels à la frontière en fonction des sources d émission à l intérieure. Celle-ci se déduit de (1.82) évaluée en r = r bd out par projection, à l aide de l opérateur intégrale S ds ˆΩ ˆn out : J + ( r out bd ) = 4π ds ˆΩ ˆn out ˆΩ ˆn in k( r out bd, r in bd ) ψ( r in bd, ˆΩ) + dv ˆΩ ˆn out k( r out bd, r ) Q( r ) (1.84) S Afin d obtenir un système algébrique pour la résolution, il est maintenant nécessaire d introduire des approximations spatiales pour le flux scalaire à l intérieur du domaine et des courants partiels en surface. On emploiera une représentation constante par morceaux en faisant appel aux fonctions caractéristiques ϑ i ( r) pour la cellule i et ϑ α ( r bd ) pour le morceau de surface α. V φ( r) = i Φ i ϑ i ( r) J ± ( r bd ) = α J ± α ϑ α ( r bd ) (1.85) Ici, Φ i et J α ± représentent les valeurs moyennes sur la cellule i (resp. sur la surface α). On notera que la première des équations ci-dessus induit une représentation similaire pour la source d émission, où Q i =σ si Φ i +S i. A partir de ces hypothèses, on arrive à une formulation discrète des équations (1.83, 1.84) : σ i Φ i V i = α I iα J α S α + j P ij Q j i (1.86) J + α S α = β T αβ J β S β + j E αj Q j α (1.87) avec les coefficients donnés par les relations suivantes : P ij = P ji = dv ϑ i ( r) dv ϑ j ( r ) k( r, r ) (1.88) V V E αj = S α 4 I jα = dv ϑ j ( r) ds ϑ α ( r bd ) ˆΩ ˆn k( r bd, r) (1.89) V S S β T αβ 4 = T S α βα 4 = ds ϑ α ( r bd ) ds ϑ β ( r bd) ˆΩ ˆn ˆΩ ˆn k( r bd, r bd) (1.90) S S On remarquera un certain nombre de propriétés de réciprocité, qui découlent de la symétrie du noyau de collision. De plus, il faudra prendre en compte des relations de conservation. Celles-ci nous permettent de réduire le nombre de coefficients à calculer : T αβ + σ i I iβ = 1 β σ i P ij + 1 E αj = 1 j V α i i j α L évaluation numérique des divers coefficients demande le calcul d intégrales multiples. Fixons-nous sur un cas représentatif, par exemple, celui du coefficient P ij, en sachant qu il est aisément possible étendre le même raisonnement aux autres cas. Dans l équation (1.88), il nous faut calculer deux intégrales en trois dimensions sur le noyau de collision. L idée est d en faire une bonne partie par voie analytique. Pour cela, on emploiera les changements de variables suivants (voir la figure 1.2) : Rout dv ϑ j ( r ) [...] dω dr R 2 [...] V ˆΩ V j R in ρout dv ϑ i ( r) [...] ds dρ [...] V S (V i ) ρ in 35

45 CHAPITRE 1. MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L ÉQUATION DU TRANSPORT On résoudra de façon semi-analytique les intégrales en dr et dρ. Les intégrations restantes sont faites de façon purement numérique, à l aide de formules de quadrature. Le traitement de l intégrale en ds sera alors identique à ce que l on a vu dans le cas de la méthode des caractéristiques, tandis que celui en dω sera fait de façon similaire aux calculs des moments angulaires dans le cas de la méthode S n. Le choix des directions dans la formule de quadrature pourra être fait, entre autre, en prenant en compte les symétries existantes, permettant de réduire le nombre de directions discrètes nécessaires. R out ˆΩ R in R ρ out V j ρ ρ in V i FIG. 1.2 Notation employée pour l intégration analytique du coefficient P ij La résolution des équations (1.86, 1.87) nécessite des conditions limites appropriées, décrivant la relation entre le courant rentrant en fonction du courant sortant et, le cas échéant, d une source externe : J α = β A αβ J + β + J 0,α (1.91) Selon le type d application, la dimension du problème, deux types d approches sont employés pour la résolution du système. 1. La dimension du problème est raisonnable (quelques dizaines de cellules). On combine les équations (1.91) et (1.87) afin d obtenir une expression pour le courant rentrant, que l on injectera dans (1.86), pour obtenir un système algébrique de type : BΦ = Ŝ que l on inversera directement, par exemple par une méthode de type Gauss avec pivot. 2. Le problème est très côuteux à inverser directement. Il est alors nécessaire de découpler le calcul global en plusieurs calculs locaux. Dans chaque sous-région, on emploie les équations (1.86, 1.87) pour déterminer la réponse en terme de courant sortant, en fonction du courant rentrant dans la cellule. Pour cela on inverse, localement, la première pour connaître le flux scalaire, et on l emploie dans la deuxième, pour obtenir un système avec pour inconnues les seuls courants partiels (J + = R J + S 0 ). Cette dernière, en liaison avec les relations d interconnexion (J = M J + ) entre les différentes sous-régions du domaine global, devient un système de type ( I RM ) J + = S 0 qui peut être résolu par inversion directe ou, plus souvent, par itération de type Rouge Noir. 36

46 1.3. L ÉQUATION MONOCINÉTIQUE : TRAITEMENT ANGULAIRE ET SPATIAL Grâce à sa capacité intrinsèque à traiter des mailles de forme quelconque, sans devoir introduire d erreurs dans la modélisation géométrique, la méthode des probabilités de collision continue à être très employée dans la plupart des codes de cellule. Les codes de neutronique Apollo 2 [9] et Ecco [32] en sont des exemples. Conclusion Parmi les méthodes numériques présentées dans ce chapitre, nous avons décidé d en retenir trois, qui nous intéressent plus particulièrement pour notre travail de couplage. Au delà des capacités intrinsèques de modélisation, le choix a été conditionné par la possibilité d accès aux sources informatiques des codes. Les méthodes retenues sont (voir tableau 1.1) : La méthode variationnelle nodale basée sur l équation en flux pair (solveur VNM). Les méthodes de l équation intégro-différentielle pour maillages cartésiens (solveur IDT). La méthode des caractéristiques pour les maillages non-structurés (solveur TDT) Les codes retenus couvrent les principales méthodes de discrétisation angulaire (S n, P n, SP n ), ainsi que les principales formes de l équation du transport (intégro-différentielle, second ordre en flux pair). De plus, elles permettent l utilisation de maillages spatiaux très différents. A côté de ceux le plus couramment utilisés (maillages cartésiens réguliers), la méthode TDT permet des maillages non-structurés, permettant une description plus fidèle de la géométrie du problème. Dans la suite du manuscrit nous étudierons la mise en place du couplage entre les trois méthodes citées ci-haut. Le produit finale du couplage de ces méthodes, ayant des caractéristiques et des possibilités de modélisation si différentes les unes des autres, est une méthode de calcul souple permettant une flexibilité dans la modélisation des réacteurs qui n est pas possible à l heure actuelle. Solver VNM IDT TDT Solution method Variational Nodal Nodal/Characteristics Characteristics Order Second-Order First-Order First-Order Transport Equation Form Even-Parity Integro-differential Integro-differential Geometry Cartesian 2D/3D Cartesian 2D/3D Untructured 2D Spatial Expansion Cell up to Order 6 up to Bilinear Flat Edges Quadratic Linear Flat Angular Expansion Spherical Harmonics Discrete Ordinates Discrete Ordinates up to P 5 up to S 16 Product Formula Anisotropy order Arbitrary Arbitrary Arbitrary Application Range Coarse-mesh Fine-mesh Fine mesh Core Calculation Assembly & Small Core Assembly & Small Core TAB. 1.1 Rappel des caractéristiques principales des trois types de méthodes retenues et spécificités des solveurs associés 37

47 38

48 Chapitre 2 Une nouvelle méthode de décomposition de domaine en neutronique Nous consacrons ce chapitre aux méthodes de décomposition de domaine et, en particulier, à la description de celle que nous avons développée dans le cadre de ce travail. Dans un premier temps, dans le but de se familiariser avec les concepts de base des méthodes de décomposition de domaine, nous passerons en revue les principales approches existantes (avec ou sans recouvrement, algorithme additif ou multiplicatif, méthode de Schwarz ou méthode du complément de Schur). Par la suite, nous présenterons quelques uns des travaux antérieurs à cette thèse et qui ont porté soit sur le couplage entre méthodes, soit sur la résolution de l équation du transport par décomposition de l espace de phases. Cela nous permettra de nous forger une idée sur la façon de poursuivre notre travail et de déterminer quel type de méthode de décomposition il conviendra d employer. Enfin, nous décrirons notre méthode de décomposition de domaine du point de vue algorithmique, en soulignant les spécificités liées à l équation du transport des neutrons et les modifications nécessaires pour le développement d un formalisme employant différentes méthodes au sein du même calcul. Pour terminer, nous entamerons la description des opérateurs de couplage en commençant par la partie spatiale. Les opérateurs de couplage angulaire feront l objet du chapitre Méthodes de décomposition de domaine Décomposition de domaine avec recouvrement La première proposition d une méthode de décomposition de domaine est généralement attribué à H.A. Schwarz [33], mathématicien suisse du XIX siècle, qui, en 1870, proposa une méthode itérative pour la résolution analytique de problèmes elliptiques sur un domaine géométriquement complexe (voir FIG. 2.1). Lu = f dans Ω (2.1) u = g sur Ω L idée centrale est de décomposer le domaine global en deux sous-domaines recouvrants, plus simples Ω = Ω 1 Ω 2 et de résoudre itérativement, sur chacun d entre eux, un problème de Laplace similaire au 39

49 CHAPITRE 2. UNE MÉTHODE DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE EN NEUTRONIQUE FIG. 2.1 Problème originale de Schwarz tel que publié dans [33] problème initial, en utilisant une condition limite de Dirichlet sur la frontière Γ i = Ω i Ω j pour prendre en compte la présence de l autre sous-domaine. Le schéma est alors le suivant : en partant d une estimation initiale de la solution dans le deuxième sousdomaine u 0 2, on aura, pour n = 0, 1, 2,... Problème 1 : Lu n+1 1 = f dans Ω 1 u n+1 1 = g sur Ω 1 \Γ 1 (2.2) u n+1 1 = u n 2 sur Γ 1 = Ω 1 Ω 2 Problème 2 : Lu n+1 2 = f dans Ω 2 u n+1 2 = g sur Ω 2 \Γ 2 (2.3) u n+1 2 = uñ1 sur Γ 2 = Ω 2 Ω 1 A chaque pas, on résoud les deux "demi-problèmes" ( ), ce qui nous permet de définir une suite de solutions approchées (u n 1, un 2 ). Ce processus itératif, dont H.A. Schwarz a montré la convergence vers la solution du problème initial (2.1), constitue le coeur des méthodes de Schwarz alternées (Alternating Schwarz Methods). Enfin, en fonction du type de mise à jour pour u n+1 2 = uñ1 (dernière ou avant-dernière valeur connue), la méthode se décline en deux sous-classes : Méthode de Schwarz Additive (pour ñ = n) Méthode de Schwarz Multiplicative (pour ñ = n + 1) 40

50 2.1. MÉTHODES DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE Nous expliquerons plus loin le pourquoi de cette appellation, pour l instant nous montrons que la première classe s apparente à des méthodes de Jacobi par bloc, tandis que la deuxième se réfère plutôt à des méthodes de type Gauss-Seidel. Pour nous en apercevoir, nous réécrivons l algorithme précédent sous forme matricielle du problème (2.1) discrétisé. Nous définissons les quantités suivantes : Au = f dans Ω (2.4) u = g sur Ω A i la forme discrète de l opérateur L restreint au domaine Ω i \Γ i A Γ i la forme discrète de l opérateur L restreint à l interface Γ i u i la solution discrétisée u restreint au domaine Ω i u Γ i la solution discrétisée u restreint à l interface Γ i f i la restriction au domaine Ω i du terme f discrétisé I Ωj Γ i la matrice qui représente un opérateur d interpolation adéquat pour construire la solution sur Γ i en fonction des valeurs sur Ω j On remarquera, enfin, que la définition de l opérateur I Ωj Γ i pourra, selon les cas, se réduire à une pure injection (dans le cas de maillages coïncidents) ou revêtir le rôle d opérateur de projection, dans le cas de maillages non-coïncidents. Sur la base des définitions précédentes, on pourra écrire : A 1 A Γ u 1 f 1 0 I I Ω2 Γ 1 0 u Γ A 2 A Γ = (2.5) 2 u 2 f 2 I Ω1 Γ I 0 0 et I étant respectivement la matrice nulle et la matrice identité de dimensions appropriées. On voit alors que la résolution du système 2.5 par une méthode de Jacobi par bloc conduit à une Méthode de Schwarz Alternée de type Additive, alors qu une résolution Gauss-Seidel par bloc conduit à l autre sousclasse de méthodes (Méthode de Schwarz Multiplicative). De plus, toutes choses égales par ailleurs, la convergence de la méthode additive de Schwarz est plus lente que celle de sa variante multiplicative. Ce résultat est en accord avec celui bien connu sur la convergence des méthodes itératives de type Gauss-Seidel et Jacobi [35]. Il est intéressant de donner une interprétation de l algorithme ( ) en terme d opérateur de projection et de sous-espaces [36]. Considérons une décomposition en S sous-domaines recouvrants et définissons la restriction R i de l espace Ω au sous-domaine Ω i, par : x i = R i x u Γ 2 x Ω, x i Ω i Inversement, R T i est un opérateur de prolongation allant de Ω i à Ω. Cela nous permet de définir aisément les restrictions sur un sous-domaine particulier d un opérateur global. On pourra écrire : A i = R i AR T i 41

51 CHAPITRE 2. UNE MÉTHODE DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE EN NEUTRONIQUE On montre alors que les deux versions de l algorithme alterné de Schwarz peuvent s écrire sous les formes suivantes : Schwarz Additif Schwarz Multiplicatif u n+1 u n + u n+1 u n + ( u n+1 u ) = [( I [ S i=1 I 1 i=s ( u n+1 u ) = [ 1 i=s ( R T i A 1 i R i ) (f Au n ) (2.6) S i=1 ( R T i A 1 i R i A ) ] (u n u) (2.7) ( I R T i A 1 i R i A ) ) ] A 1 (f Au n ) (2.8) ( I R T i A 1 i R i A ) ] (u n u) (2.9) Où les équations (2.6) et (2.8) explicitent le processus itératif u n+1 u n en fonction du résidu r = f Au n à l n-ième itération. On vérifie aussi que ces deux méthodes s identifient à la méthode de Richardson pour le problème initiale (2.4), avec le préconditionnement : B (SA) A = S i=1 ( R T i A 1 i R i A ) B (SM) A = I 1 i=s ( I R T i A 1 i R i A ) d où l utilisation du terme "additif" et "multiplicatif" pour designer les deux algorithmes. Parallèlement, les équations (2.7) et (2.9) montrent l opérateur de convergence de l erreur pour les algorithmes additifs et multiplicatifs. On remarquera que celui-ci dépend directement des quantités : P i = R T i A i 1 R i A On montre que P i est un opérateur de projection : (P i ) 2 = [R T i (R i AR T i ) 1 R i A][R T i (R i AR T i ) 1 R i A] = P i La convergence de la procédure itérative est assurée par la contractivité de l opérateur R T i A 1 i R i A. Le lecteur pourra consulter la référence [38] pour une interprétation variationnelle de la méthode et une analyse de la convergence. 42

52 2.1. MÉTHODES DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE Bilan Les méthodes de décomposition de domaine avec recouvrement sont extrêmement versatiles et comportent un certain nombre d avantages. Avantages Simplification de la géométrie initiale dans la perspective d utiliser des méthodes de résolution plus simples (approche de Schwarz, figure 2.1) Décomposition de la géométrie initiale dans l objectif de réduire la dimension de chaque problème à traiter. (Problèmes de taille mémoire) Utilisation de modèles ou approximations différents en fonction de la région observée ; la présence d une zone de superposition stabilise alors la transition d un modèle à l autre. Bonnes propriétés de convergence pour différents types d équations. Grande facilité de parallèlisation de l algorithme de Schwarz, du moins, dans sa version additive. Désavantages Parmi les désavantages, on constatera une mise en oeuvre informatique de la méthode relativement complexe. Mis à part la gestion de la zone superposée (avec des inconnues qui appartiennent simultanément à deux solveurs (duplication des structures ou partage?), son application demande à pouvoir accéder directement à la connaissance de la solution à l intérieur du sous-domaine de calcul. Or, cette approche élimine la notion très attractive de "boite noire" pour un solveur. La mise en place d une méthode de Schwartz avec recouvrement devient alors relativement complexe pour ces solveurs et demande des traitements plus compliqués. Plus particulièrement, parmi les méthodes pour l équation du transport que nous avons examinées au chapitre 1, la plupart d entre elles ne travaillent pas directement avec le flux angulaire ou n ont pas besoin de le garder en mémoire. Cela demande alors le stockage d inconnues supplémentaires (méthodes S n ) ou la reconstruction de la partie manquante de la solution (méthodes P n en flux paire). Ces considérations nous amènent tout naturellement à considérer une deuxième classe de méthodes de décomposition de domaine Décomposition de domaine sans recouvrement Cette deuxième classe de méthode de décomposition de domaine se base sur une partition du domaine initiale en S sous-domaines non recouvrants (voir FIG. 2.2). Ω = S i=1 Ω i Ω i Ω j = o La seule intersection non nulle entre sous-domaines (frontière comprise) se réduit à l interface de raccord Γ. La différence essentielle par rapport au cas précédent est que : { dim(ω) 1 (sans recouvrement) dim(u i U j (Ω i Ω j )) = dim(ω) (avec recouvrement) Nous définirons les quantités suivantes : 43

53 CHAPITRE 2. UNE MÉTHODE DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE EN NEUTRONIQUE FIG. 2.2 Décomposition sans recouvrement Γ ij = Ω i Ω j L interface commune entre deux sous-domaines Ω i et Ω j Γ ij = Γ ij = S Γ ij La partie de frontière du sous-domaine Ω i qui communique avec d autres sous-domaines. S Γ i L interface de séparation entre sous-domaines j=1 i=1 Si l on choisi une numérotation adéquate des points de calcul pour le problème global discrétisé 1, la matrice associée présente une structure par blocs. En particulier, dans le cas d une décomposition en S sous-domaines, on obtiendra le système linéaire suivant : A 1 A 1Γ A A S A Γ1 A Γ2... A ΓS C Γ A 2Γ A SΓ u 1 u 2. u S u Γ = f 1 f 2. f S g (2.10) où u i représente le vecteur des inconnues dans chaque sous-domaine et u Γ les inconnues à l interface Γ. De la même façon, A i et C Γ représentent les restrictions de l opérateur L discrétisé (voir le problème 2.1) aux sous-domaines Ω i et à l interface de couplage Γ. Enfin, A iγ et A Γi peuvent être considérées comme étant les matrices des conditions limites, puisqu elles mettent en relation les inconnues à l interface avec celle à l intérieur des sous-domaines. Il en découle que, si la solution à l interface u Γ est connue, la solution globale du problème peut s obtenir en inversant plusieurs problèmes locaux A i u i = f i de taille réduite. Il est avantageux d écrire le système (2.10) dans une forme plus simple, en regroupant les matrices du même type : 1 Par exemple en numérotant d abord les inconnues appartenant un sous-domaine 1, ensuite celles du sous-domaine 2,... et en dernier les inconnues sur l interface Γ. 44

54 2.2. ANALYSE DE L EXISTANT [ A B D C ] [ ] [ ] u f = g u Γ (2.11) En inversant formellement la première ligne du système (2.11), on obtient et, après substitution dans la deuxième ligne : u = A 1 (f Bu Γ ) (2.12) Su Γ = g DA 1 f (2.13) avec S = C DA 1 B la matrice du complément de Schur, qui est, en réalité, la version discrète de l opérateur de Poincaré-Stecklov [40]. Du fait de sa taille réduite, le système (2.13) peut être facilement résolu pour obtenir les variables d interface u Γ. Enfin, par l intermédiaire de (2.12) on obtient la solution sur chaque sous-domaine. On remarquera que la construction du complément de Schur demande l inversion de la matrice A. Toutefois, puisque celle-ci est diagonale par bloc, cela revient à inverser le problème locale pour chaque sous-domaine (A 1 i ). La résolution du système (2.13) est généralement faite par des méthodes de sous-espaces de Krylov préconditionnées [36]. Grâce à leurs multiples avantages, les méthodes de décomposition de domaine sont devenues un outil important pour la résolution des systèmes linéaires de grande taille issus de la discrétisation des EDP (Equations aux Dérivées Partielles) multidimensionnelles. 2.2 Analyse de l existant Si au départ la motivation principale dans l utilisation de ces méthodes était la limitation de la mémoire des ordinateurs, 2 depuis une quinzaine d années, c est davantage la disponibilité des ordinateurs parallèles qui a motivé les travaux de recherche autour des méthodes de décomposition de domaine. Notre étude, bien que largement inspirée par les méthodes de décomposition de domaine, a été motivée par la volonté de pouvoir utiliser différents types de méthodes numériques au sein du même problème global. L intérêt est très clair : tirer le meilleur parti de chaque méthode en fonction des caractéristiques du solveur, de sa capacité à traiter un certain type de maillage, ou en fonction du régime de la solution. On pourrait résumé ce concept par l adage utiliser la bonne méthode au bon endroit. Celui-ci est sans doute l aspect le plus novateur de cette thèse, puisque, à notre connaissance, le couplage entre méthodes a fait l objet d un nombre relativement limité de travaux, les méthodes de décomposition de domaine étant très souvent appliquées en utilisant la même méthode pour tous les sous-domaines. Ce relatif désintérêt pour la problématique est sans doute dû à la difficulté du couplage entre méthodes différentes, qui n est donc justifié que dans des cas bien précis. Toutefois, le couplage entre méthodes peut se révéler indispensable pour des problèmes très particuliers, comme le montre l étude [43] pour des écoulements hypersoniques semi-raréfiés. 2 Il s agissait typiquement de problèmes de grandes dimensions en mécanique des structures ne pouvant être traités que par un découpage en sous-problèmes plus petits (méthode de sous-structuration). 45

55 CHAPITRE 2. UNE MÉTHODE DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE EN NEUTRONIQUE Ici il s agit du couplage entre les équations de Navier-Stokes et une méthode basée sur l équation de Boltzmann, cette dernière étant mieux adaptée à la modélisation de l écoulement près de la paroi. 3 Bien que dans un domaine complètement différent de celui de la neutronique, cet exemple a le mérite d illustrer l intérêt d un couplage entre méthodes dans le cadre d une méthode de décomposition de domaine Méthodes de décomposition de domaine en neutronique Dans le domaine qui nous intéresse en particulier, à savoir celui de la physique des réacteurs, on retrouve un bon nombre de travaux qui s apparentent aux méthodes de décomposition de domaine. Plus particulièrement, on pourra citer deux directions de recherche complémentaires : une décomposition de l espace des phases (énergie, angle, espace) afin de résoudre en parallèle le problème décomposé. le couplage entre méthodes, dans le but de traiter avec la modélisation la plus appropriée chaque zone du problème. En principe, cette approche permet également une parallèlisation par sous-domaines. Toutefois, l objectif du couplage étant une bonne modélisation du problème, on ne se souciera pas forcément que le coût calcul soit équitablement partagé dans chaque sous-problème. Cela peut conduire à une disparité dans la complexité du calcul en fonction du sous-domaine. Cela n est néanmoins pas fondamental si le problème est traité en séquentiel. En revanche dans le cas d un traitement parallèle, cela détériore les performances du calcul. Décomposition de domaine et parallélisme Concernant l approche "décomposition de domaine et parallélisme", la première étape est celle de paralléliser la résolution du système linéaire multigroupe (1.20). Ce niveau de parallèlisation est disponible pour toutes les méthodes déterministes qui se basent sur l approximation multigroupe. Concrètement, il s agit d attribuer à chaque processeur un problème monocinétique tel que représenté par (1.21). Cela revient donc à résoudre le problème multigroupe par une méthode itérative de type Jacobi par bloc, alors que pour une méthode séquentielle classique, le processus itératif est de type Gauss-Seidel. Au niveau des variables espace-angle, les possibilités sont plus nuancées et dépendent du type de méthode considérée. Les méthodes S n sont les plus facilement parallèlisables et l on peut envisager de traiter séparément chaque direction (ou un bouquet de directions) par différents processeurs. On peut alors effectuer en parallèle la construction de la source de collision dans (1.25) et la résolution de l équation (1.26) pour une direction donnée. Une fois cette étape (parallèle) achevée, les tâches sont synchronisées par le calcul (séquentiel) des moments du flux angulaire (1.24) afin de poursuivre le processus d itération sur la source de collision. Pour plus de détails, nous invitons le lecteur à consulter l analyse proposée par Mattis et Haghighat qui porte sur différentes stratégies de décomposition de l ensemble de directions [44]. Ces réflexions sont aujourd hui suffisamment mures pour être transférées dans des systèmes de calcul industriels. Nous en citerons deux, mettant en application l approche de décomposition de domaine esquissée plus haut [46, 48]. 3 On soulignera cependant, que l équation de Boltzmann utilisée ici pour les gaz semi-raréfies diffère de celle employée en neutronique du fait de la non-linéarité de l opérateur de collision ( ) f = J(f, f) (voir l équation 1.4). t 46 coll

56 2.3. LA MÉTHODE DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE M M M D Dans le cadre de l équation intégrale et plus particulièrement pour la méthodes des probabilité de collision, Zmjiarevic et al., ont adopté une décomposition en espace, en connectant les sous-problèmes (de la taille d un assemblage) par une méthode de courant d interface [49]. Bien qu elle n ait pas été développée dans un contexte de calcul parallèle, cette approche répond aux critères de réduction des ressources nécessaires pour la résolution du problème global, notamment par la limitation de la place mémoire nécessaire pour le stockage et une réduction sensible du temps de calcul. Décomposition de domaine et couplage entre méthodes Concernant cette deuxième approche, Sanchez [50] a montré la viabilité du couplage entre une méthode de transport hétérogène (probabilité de collision 2D du code TDT) et une méthode de diffusion 1D. En particulier, il montre que pour certains types de problèmes que l on purrait qualifier de "présence d hétérogénéités locales dans un environnement homogène", on obtient des résultats très intéressants (en termes de temps d exécution et précision de la solution dans la zone hétérogène), par rapport à ceux obtenus par une méthode en transport sur le problème complet. Dans son travail sur le couplage des méthodes aux ordonnées discrètes, Bal [51] a montré différents résultats théoriques de convergence pour le problème couplé transport-transport ou transport-diffusion. On y trouve aussi une application de la méthode de couplage à un cas d intérêt industriel (traitement d assemblages MOX entourés d assemblages UOX standards ). Concernant la méthode variationnelle nodale pour l équation en flux pair, Ruggieri et al. [52] ont présenté une méthode de couplage «transport P 3 / diffusion P 1», avec raffinement de maillage. Ils montrent qu il est possible de traiter un problème avec des hétérogénéités locales en raffinant à la fois en espace et en angle une partie circonscrite du problème global. Globalement, toutes les méthodes de couplage brièvement présentées ici, se basent sur une décomposition de domaine sans recouvrement (pour les raisons pratiques de couplage entre solveurs, que l on a évoquées plus haut). Pour la suite de notre travail, nous avons donc privilégié ce type de méthode de décomposition, qui nous permet, d une part, de coupler les trois méthodes precedamment mentionnées (Tab.1.1) en limitant le degré d intervention à l intérieur de chaque solveur et d autre part, de garder une structure de l algorithme de couplage générique, pouvant être étendue à d autres méthodes. Nous utiliserons le terme de "multiméthode, multi-domaine" et son acronyme M M M D, pour indiquer cette méthodologie. Dans la prochaine section nous présentons la structure de notre méthode de décomposition de domaine, ainsi que les choix algorithmiques que nous avons faits. 2.3 La méthode de décomposition de domaine M M M D La méthode de décomposition de domaine que nous avons développée est basée sur une décomposition sans recouvrement du domaine spatiale, permettant l utilisation de méthodes différentes en fonction du sous-domaine. La résolution du problème couplé en espace est faite par un algorithme de type Schwarz multiplicatif. Pour développer cette méthodologie nous avons été amené à définir des conditions limites artificielles, qui représentent l influence des autres sous-domaines sur le sous-domaine considéré. Le couplage à l interface se fera alors par des opérateurs de couplage, chargés d effectuer la "traduction" de ces conditions limites entre les différentes représentations spatiales et angulaires. Nous discuterons de ces opérateurs dans 2.4, pour ce qui concerne la partie spatiale et au chapitre 3 pour les aspects angulaires. 47

57 CHAPITRE 2. UNE MÉTHODE DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE EN NEUTRONIQUE Algorithme de Schwarz et méthode de décomposition a Formulation du problème multigroupe à valeur propre Les trois méthodes déterministes que nous avons intégrées dans le formalisme multi-méthode, multidomaine se basent sur l approche multigroupe. Ce sera donc notre point de départ pour la mise en place de l algorithme de décomposition de domaine. Considérons le schéma représentant la résolution du problème à valeur propre par la méthode de la puissance. A chaque itération externe, il faut évaluer la nouvelle valeur propre k eff et la nouvelle source de fission F ( r) en fonction des valeurs à l itération précédente : ( keff old, F old) (k eff new, F new ) Pour cela, il faut résoudre à chaque itération le système multigroupe que l on pourra décrire schématiquement par : Aψ new = 1 k eff old F old (2.14) Finalement la nouvelle valeur propre peut être évaluée par la relation suivante : k eff new = k eff old < F new, F old > < F old, F old > Le processus itératif est arrêté sur la base des critères de convergence suivant : 1 k old eff < ε k max r k eff new 1 F old ( r) F new ( r) < ε f Afin d introduire la décomposition de domaine dans le schéma présenté ci-haut, nous allons développer dans les détails le système d équations multigroupes (2.14). Par soucis de simplicité, nous omettrons les indices "new" et "old". Aψ A 11 A 1G..... A G1 A GG ψ 1. ψ G = 1 k eff F 1. F G (2.15) avec : A gg = δ gg L g H gg où L g est l opérateur de streaming (ou propagation), H gg la contribution du groupe g à la source de collision du groupe g et F g est la source de fission. A titre d exemple, pour l équation intégro-différentielle ces quantités valent : (L g ψ g ) = ˆΩ ψ g ( r, ˆΩ) + σ g t ( r) ψg ( r, ˆΩ) ( Hgg ψ g ) = σ gg s,k ( r) φg kl ( r) Y kl(ˆω) k l 48

58 2.3. LA MÉTHODE DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE M M M D Dans la pratique, le système (2.15) est résolu par une méthode itérative de type Gauss-Seidel (voir pour plus de détails). Cela revient alors à résoudre l une après l autre des équations monocinétiques à source imposée : A gg ψ g = 1 F g + H gg ψ g S g (2.16) k eff g g C est à cette équation que nous allons appliquer une technique de décomposition de domaine sans recouvrement. Considérons le cas le plus simple, celui d une décomposition en deux sous-domaines. Soit Γ l interface de séparation et Ω = Ω 1 Ω 2 le domaine global partitionné en sous-domaines non recouvrant. Formellement, pour l équation monocinétique (2.16), la décomposition de Schwarz sans recouvrement (voir equ. 2.10, 2.1.2) conduit à la formulation matricielle suivante : A 1 gg 0 b 1 g ψg 1 Sg 1 0 A 2 gg b 2 g ψ 2 g = S 2 g (2.17) d 1 g d 2 g c Γ Avec : ψ i g ψ Γ g A i gg S i g b i g, d i g la restriction de la solution dans le groupe g au domaine Ω i pour i = 1, 2 b a la restriction de la solution dans le groupe g à l interface Γ b a la restriction de l opérateur de transport au domaine Ω i pour i = 1, 2 b a la source dans le groupe g pour le domaine Ω i pour i = 1, 2 b a des opérateurs de projection opportuns (conditions limites) b a c Γ des opérateurs de couplage sur Γ b a En réalité, du fait de la double modélisation de l équation du transport à l interface Γ, la (2.17) se doit d être réécrite pour prendre en compte les deux représentations du flux angulaire qui coexistent : A 1 gg 0 b 1Γ g 0 ψg 1 Sg 1 0 A 2 gg 0 b 2Γ g 0 0 I c Γ c Γ 21 I 49 ψ Γ g ψ 2 g ψ 1Γ g ψ 2Γ g S Γ g = S 2 g 0 0 (2.18)

59 CHAPITRE 2. UNE MÉTHODE DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE EN NEUTRONIQUE On remarquera que les deux dernières lignes du système matriciel représentent une condition de raccord et que chaque élément matriciel c Γ ij contient, à lui seul, tous les opérateurs de couplage permettant la transformation entre les différentes représentations angulaires et spatiales des conditions aux limites à l interface. Si l on introduit la (2.17) ou son équivalente (2.18) dans le système (2.15), on obtient la matrice d itération globale pour le problème multigroupe avec décomposition spatiale. Permutations sur la matrice d itération globale Il est intéressant d observer que, moyennant un certain nombre de permutations sur la matrice d itération globale, l on obtient une nouvelle matrice globale qui rappelle la décomposition spatiale effectuée : A 1 0 B 1 0 A 2 B 2 D 1 D 2 C Γ ψ 1 ψ 2 ψ Γ = S 1 S 2 S Γ (2.19) où : A i = A i 11 A i 1G..... pour i = 1, 2 A i G1 A i GG représente le problème multigroupe pour chaque sous-domaine et ψ α = ψ α 1. ψ α G S α = S α 1. S α G pour α = 1, 2, Γ sont les restrictions des flux multigroupes ψ et des sources S aux sous-domaines Ω i ou à l interface Γ, B i, D i les matrices d interface rassemblant leurs homologues b i g, d i g et C Γ une matrice de couplage diagonale. 4 Cette formulation du problème décomposé en termes de problèmes multigroupes permet une mise en place plus rapide de la méthode de décomposition de domaine puisque le couplage entre solveurs se fait au niveau des itérations externes et ne demande pas à connaître les détails de chaque solveur monocinétique. Dans un premier temps, nous avons utilisé cette approche pour tester la validité de la maquette de décomposition de domaine et des opérateurs de couplage. Par la suite, nous avons étendu l algorithme à l utilisation des solveurs monocinétiques. Cette deuxième approche permet de résoudre un problème multigroupe classique, tel que décrit en début de cette section 2.3.1, la partie concernant l algorithme de décomposition spatiale étant reléguée au niveau de la résolution de l équation monocinétique. Les deux approches sont donc possibles. Nous présenterons quelques tests numériques pour illustrer leurs comportments dans les paragraphes suivants. Toutefois, nous nous attendons à des moins bonnes performances en termes de convergence, mais cela dépendra du type de problème, de la décomposition de domaine employée et, en particulier, de l importance 4 Cela est une conséquence directe du fait que le maillage énergétique est strictement le même dans chaque sous-domaine. Dans le cas contraire, cet opérateur serait représenté par une matrice plus ou moins pleine, selon le nombre d intersections entre les deux maillages multigroupe. On voit donc toute la puissance de ce formalisme matriciel, permettant facilement d étendre la description à différents types de couplage. 50

60 2.3. LA MÉTHODE DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE M M M D du phénomène de remontée en énergie des neutrons dans les groupes thermiques (up-scattering) par rapport au transfert de neutrons à l interface entre sous-domaines b Résolution de l algorithme multigroupe de décomposition de domaine La résolution du problème multigroupe à valeur propre se base sur la méthode de la puissance, que nous avons décrit en début de cette section (page 48). Nous ne soulignerons donc que les différences introduites par la méthode de décomposition de domaine et le fait de faire coexister diverses approximations à la fois. Pour être plus générique, nous décrirons l algorithme de résolution pour une décomposition spatiale en S sous-domaines. A chaque itération externe le système multigroupe (2.14) demande la résolution de plusieurs équations monocinétiques (2.16) à la fois. Dans le cadre de la décomposition de domaine, celle-ci est décrite par le système linéaire (2.18). La stratégie de résolution est alors la suivante : Itérer pour k =1,..., N iter : Pour chaque sous-domaine i = 1,..., S : 1. Calcul de la condition limite entrante ψ Γ i en fonction de la dernière valeur connue : ( ) ψ iγ k 1 g = c Γ in ij ( ) ψ jγ k 1 g out i < j ( ) ψ iγ k 1 g = c Γ in ij ( ) ψ jγ k 1 g out i > j 2. Résoudre le problème monocinétique avec conditions aux limites imposées : A i ggψg i + b iγ g ψg iγ = Sg i Cette dernière induit implicitement la mise à jour de la condition limite sortante : Fin itérations ( ψ iγ g ) k 1 out ( ψg iγ ) k out Par ailleurs, la présence de plusieurs sous-domaines modifie le calcul de la nouvelle valeur propre : k eff new = k eff old S < F ψnew, i F ψold i > i=1 S < F ψold, i F ψold i > i=1 Ces modifications dans la structure sont prises en charge par un programme superviseur. Celui-ci s occupe de la gestion des itérations et des boucles supplémentaires, ainsi que d enchaîner correctement les tâches pour chaque solveur monocinétique. Un aperçu de la mise en place du schéma des tâches prises en compte par le superviseur est donné en figure

61 CHAPITRE 2. UNE MÉTHODE DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE EN NEUTRONIQUE Calcul des coefficients de couplage Initialisation des itération externes (sources de fission, k eff ) Itérations externes Boucle sur les groupes Itération de couplage Boucle sur les domaines Calcul de la condition limite rentrante Appel du solveur monocinétique (IDT, VNM, TDT) Stockage de la condition limite sortante Calcul de < Fi new, Fi old > Calcul du nouveau k eff Renormalisation des sources de fission par le k eff Test de convergence (source de fission, k eff ) superviseur superviseur, solveurs superviseur superviseur superviseur superviseur superviseur superviseur, solveurs superviseur superviseur, solveurs superviseur superviseur, solveurs superviseur FIG. 2.3 Schéma de l algorithme de couplage. En bleu, les étapes supplémentaire par rapport à un calcul classique avec une description sommaire de son fonc- Nous terminons cette partie dédiée à la méthode M M M D tionnement c Aspects techniques et fonctionnement de la méthode M M M D Le choix de la décomposition du problème est à la charge de l utilisateur, mais, si l on respecte les contraintes de forme imposées par les solveurs internes (périmètre externe rectangulaire), l algorithme de décomposition de domaine accepte une décomposition du problème initial dans un nombre arbitraire de sous-domaines (par exemple le découpage 2.2). Pour cela, il faut donner une description du problème global (taille, type de conditions limites), ainsi que pour chaque sous-domaine séparément (taille, type de conditions limites). Plus particulièrement, on y spécifiera les conditions limites internes en décrivant les connections entre périmètres juxtaposés. En reprenant la notation de la figure 2.2, pour chaque Γ ij il faudra donner le segment Γ ji correspondant. Plusieurs tests sur les dimensions externes et la topologie des connections entre sous-domaines sont effectués par le superviseur, afin de s assurer de la cohérence du problème décrit par l utilisateur. L assignation du type de méthode employée pour chaque sous-domaine, ainsi que le contrôle de paramètres qui touchent à la stratégie itérative est fait à ce niveau. Cette première partie ne concerne donc que le superviseur. On remarquera, d ailleurs, que les sousdomaines sont décrits de façon abstraite sans spécifier leur contenu. En fait, la lecture des informations internes à chaque sous-domaine est faite par l intermédiaire d un fichier séparé, écrit dans le format spécifique à chaque solveur. 52

62 2.3. LA MÉTHODE DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE M M M D Cette séparation physique entre les informations destinées au superviseur et celles destinées à chaque solveur interne est très bénéfique, puisqu elle permet, par exemple, de changer la modélisation d un sousdomaine en ne changeant que le fichier correspondant. De plus elle permet l utilisation du module de lecture correspondant, en profitant d une partie de code déjà écrite. 1. Lecture des données pour le superviseur (test de la topologie) Création des structures pour les sous-domaines Pour chaque sous-domaine : Lecture des données relatives à chaque zone par le solveur adéquat 2. Initialisation de la méthode, calcul des coefficients de couplage Pour chaque sous-domaine : Initialisation de chaque solveur, calcul des coefficients, matrice de réponse 3. Appel du solveur itératif multi-domaine 4. Post-traitement et visualisation : maillage, flux multigroupe, puissance (interface Matlab) TAB. 2.1 Flux des opérations effectuées par le superviseur Analyse de l algorithme de résolution a Stratégie de résolution Dans la section précédente, nous avons esquissé deux stratégies itératives pour la résolution de la matrice globale du problème multigroupe couplé en espace. La première, représentée par le schéma en figure 2.3, consiste à garder la même structure algorithmique d un problème multigroupe classique, si ce n était que la résolution du problème monocinétique est faite en itérant avec un algorithme alterné de Schwarz. On parlera de stratégie d itérations par groupe, ou, selon la figure 2.4, d itération horizontale. La deuxième s obtient en effectuant des permutations sur la matrice globale du problème et consiste à résoudre itérativement un problème multigroupe sur chaque sous-domaine. Dans ce deuxième cas, on emploiera le terme de stratégie d itérations par domaine. En fait, pour reprendre le schéma de la figure 2.3, ces deux approches se distinguent par la position relative que la boucle sur les groupes d énergie et celle sur les sous-domaines occupent l une par rapport à l autre. Quand le niveau d itération le plus externe est occupé par la boucle sur les groupes, on utilisera l appellation itérations par groupe. Si l on inverse la position des boucles, on aura des itérations par domaine. Quelle que soit l approche employée pour la résolution du problème global, il peut être intéressant, du point de vue du coût de la résolution, de limiter le nombre d itérations de couplage. Nous analysons, à l aide de deux problèmes multigroupe, les performances de l algorithme de résolution en fonction du type de stratégie et du nombre d itérations de couplage. 53

63 CHAPITRE 2. UNE MÉTHODE DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE EN NEUTRONIQUE Itérations par Groupe Itérations par Domaine g =1 g =2 g =3 i=1 i=2 i=1 i=2 FIG. 2.4 Schématisation d un problème à 3 groupes d énergie, décomposé en 2 sous-domaines. Visualisation des deux stratégies de résolution du problème b Convergence des itérations selon le type de stratégie adoptée Les deux problèmes multigroupe que nous utiliserons pour cette analyse sont : A) le benchmark de Takeda [53] B) le problème modèle du réacteur Phebus, que nous décrirons de façon détaillée au chapitre 4 Nous ne donnerons donc pas de description de ces deux problèmes multigroupes, et nous invitons le lecteur à consulter les références indiquées ci-dessus. Afin de ne pas mélanger les effets du couplage entre méthodes, nous avons toujours utilisé la même modélisation pour chaque sous-domaine. Le critère d arrêt pour les itérations externes est donné par : err keff 10 5 err fiss 10 4 Le premier problème considéré (Takeda) est un problème à deux groupes d énergie, sans up-scattering. Nous avons effectué un découpage en sous-domaines de taille comparable. Le deuxième est un problème à quatre groupes d énergie (dont deux thermiques). Il a été subdivisé en trois sous-domaines. Nous avons visualisé le nombre d itérations externes selon le type de stratégie et le nombre d itération de couplage, en figures 2.5 et 2.6, page 55. A ce propos, on peut retenir un certain nombre de considérations. Tout d abord, la stratégie d itérations par groupe est plus efficace que celle par domaine. Cela s explique par une importance plus marquée du transfert de neutrons à l interface entre sous-domaines, par rapport au phénomène de remontée en énergie dans le groupes thermiques (ce qui est d autant plus vrai pour le benchmark de Takeda, vue l absence d up-scattering). Deuxièmement, en augmentant le nombre d itérations de couplage, le nombre d itérations externes se stabilise à une valeur asymptotique, qui, dans le cas de la stratégie d itération par groupes, est égale au nombre théorique d itérations externes pour un calcul sans décomposition de domaine. Cette situation asymptotique signifie que le problème monocinétique (itération par groupes) ou le problème multigroupe (itération par domaines) sont suffisamment convergés. Par conséquent, très peu d itérations de couplage (2 à 4) suffisent pour ramener la convergence des itérations externes à un niveau comparable à un calcul sans décomposition de domaine. 54

64 2.3. LA MÉTHODE DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE M M M D FIG. 2.5 Benchmark Takeda. Nombre d itérations externes en fonction du nombre d itération de couplage FIG. 2.6 Problème Phebus. Nombre d itérations externes en fonction du nombre d itération de couplage 55

65 CHAPITRE 2. UNE MÉTHODE DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE EN NEUTRONIQUE FIG. 2.7 Benchmark Takeda. Temps de calcul en fonction de la stratégie d itération FIG. 2.8 Problème Phebus. Temps de calcul en fonction de la stratégie d itération 56

66 2.4. OPÉRATEURS DE COUPLAGE SPATIALE Pour terminer, nous donnons un aperçu des temps de calcul en fonction du type de stratégie et du nombre d itération de couplage, en figure 2.7 et 2.8, page 56. Globalement, on retiendra que les temps de calcul augmentent de façon monotone avec le nombre d itération de couplage, et que le minimum est souvent atteint pour un nombre d itération de couplage très proche de un. A la lumière de ces résultats, et pour la suite de notre travail, nous utiliserons l approche "itération par groupes" et un nombre très limité d itérations de couplage. 2.4 Opérateurs de couplage spatiale Dans cette section, nous donnons le détail des opérateurs de couplage mentionnés auparavant, en commençant par les aspects spatiaux. Tout d abord, remarquons que, indépendamment de la méthode ou de la nature de la condition limite, les conditions limites peuvent (formellement) toujours être factorisées de la sorte : c( r, E, ˆΩ) = g c g k,l f k( r) g l (ˆΩ) ϑ g (E) l k } {{ } c g l ( r) Ici ϑ g (E) est la fonction caractéristique pour le groupe g, f k ( r) est la k-ième composante de la base spatiale, de même que g l (ˆΩ) est la l-ième composante de la base angulaire. 5 De ce fait, dépendance angulaire et spatiale sont indépendantes les unes des autres et peuvent être traitées séparément en phase de couplage. Nous nous intéressons donc, pour l instant, à c g l ( r), la partie spatiale de la condition limite dans un groupe donné et pour une composante angulaire fixée et à sa "traduction" sur une base de développement différente. Soit Γ = U i Γ i = U j Γ j avec Γ i = [x i 1, x i ] et Γ j = [ˆx j 1, ˆx j ] (voir figure 2.9) l interface entre deux sous-domaines, que nous supposons, par simplicité, être un segment orienté selon l axe x et f(x), g(x) deux fonctions ayant comme support Γ mais définies sur deux espaces de discrétisation différents (en termes de maillage, type de fonction de base, ordre du développement,...). Nous cherchons à définir un opérateur L qui transforme g(x) en f(x) g(x) L f(x) et qui respecte les propriétés suivantes : Minimiser la distance entre f(x) et g(x) : d(f, g) =. [f(x) g(x)] 2 dx Γ Conservativité : dx f(x) = dx g(x) Γ i Γ i Positivité : si g(x) 0 = f(x) 0 5 Cette séparation entre partie spatiale et angulaire, est particulièrement bien vérifiée dans le cas des méthodes P n où la dépendance angulaire est développée sur la base des harmoniques sphériques. Pour ce qui concerne les méthodes collocatives (Ordonnées discrètes) il est possible de se ramener à la même situation en faisant appel à des bases particulières, constituées par des distributions de Dirac. 57

67 CHAPITRE 2. UNE MÉTHODE DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE EN NEUTRONIQUE Réversibilité : L 1 L = I x 0 x 1 x i 1 x i x Ni 1 x Ni 1... i... N i 1... j j N j ˆx 1 ˆx j 1 ˆx j ˆx j+1 ˆx Nj 1 ˆx 0 ˆx Nj x FIG. 2.9 Maillage générique non-coïncident à l interface entre deux sous-domaines Considérons un développement polynomial par morceau pour f(x) et g(x) : N i f(x) = ϑ i (x) a (i) k p k(ξ i (x)) (2.20) i=1 N j j=1 k g(x) = ϑ j (x) b (j) m q m (ξ j (x)) (2.21) où ϑ l (x) est la fonction caractéristique du segment Γ l, p k (ξ) et q m (ξ) les composantes de la base polynomiale définies sur un repère local et ξ l (x) une fonction mettant en relation la coordonnée réelle x avec son homologue définie sur l intervalle normalisé [+ 1 ξ, 2 1 ξ] (i.e. ξ 2 l(x) = x c l h l ξ, où c l et h l sont respectivement le centre et la longueur du l-ième segment, ξ étant sa longueur normalisée). L approche que nous avons utilisée pour l opérateur de projection est basée sur la minimisation de la fonctionnelle : N i F = dx [f(x) g(x)] 2 = dx [f(x) g(x)] 2 (2.22) Γ i=1 Γ } i {{ } F i Minimiser la somme globale ci-haut, dans laquelle chaque élément est positif, revient à demander de minimiser séparément chaque terme F i. Nous obtenons alors les coefficients inconnus a (i) k pour le développement (2.20) en imposant F i / a (i) k = 0 i, k. Sans s attarder sur les développements algébriques, nous arrivons à la relation suivante : a (i) k = L j i m,k b(j) m (2.23) j m m Sous l hypothèse d orthogonalité entre fonctions de bases, ( e.g. p k (ξ), p k (ξ) = 0 si k k ), les coefficients de couplage se definissent par : dx p k (ξ i (x)) q m (ξ j (x)) L j i m,k = Γ i Γ j (2.24) dx [p k (ξ i (x))] 2 Γ i 58

68 2.4. OPÉRATEURS DE COUPLAGE SPATIALE On voit donc que les coefficients du couplage spatial dépendent exclusivement du maillage à l interface, ainsi que de l ordre d approximation et des fonctions de bases employées pour la représentation spatiale de la condition limite. De plus, en raison de la nature locale du couplage (le segment Γ i reçoit la contribution seulement par des segments Γ j ayant une intersection non nulle), l opérateur de couplage L est une matrice creuse par blocs. a) Maillage générique non-coïncident X i j X b) Matrice de couplage (m 2 et k 2) L j i m,k FIG Matrice de couplage spatial dans le cas d un maillage générique non-coïncident Dans ce cas, il est souhaitable de ne stocker que les éléments non-nuls et de prévoir une procédure adéquate pour l exécution du produit matriciel (2.23). Ci-après le lecteur trouvera un exemple de facteurs de couplage dans le cas très particulier de maillages coïncidents à l interface. Dans ce cas l opérateur L est une matrice diagonale par bloc, chaque bloc pouvant être constitué par un bloc du tableau 2.2, en fonction du type de méthodes couplées. Les bases de développement pour chaque solveur sont : 1 (k=0) VNM : IDT : h k (ξ)= { s k (ξ)= 2 3 ξ (k=1) 5/ ξ 2 (k=2) 1 (k=0) 3 ξ (k=1) ξ 1 2 TDT : t k (ξ)= { 1 (k=0) ξ 1 59 ξ 1 (2.25)

69 CHAPITRE 2. UNE MÉTHODE DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE EN NEUTRONIQUE q m (ξ) L j i m,k VNM IDT TDT p k (ξ) h 0 h 1 h 2 s 0 s 1 t 0 VNM h h h IDT s s 1 0 3/ TDT t TAB. 2.2 Coefficients du couplage spatial dans le cas de maillages coincidents Minimisation et Projection L 2 Il est intéressant de noter que la procédure de minimisation de la fonctionnelle (2.22) est équivalente à une projection de lafonction g sur l espace généré par les fonctions de base de f. Soit w, u i = dx u(x) w(x), le produit interne de l espace des fonctions réelles de variable réelle Γ i définies sur Γ i IR, nous pouvons alors écrire le terme qui apparaît dans la somme (2.22) comme : F i = f, f i 2 g, f i + g, g i Sa minimisation, sous les hypothèses du théorème de dérivation sous signe d intégration, conduit à : ce qui, par la relation f a (i) k F i a (i) k = 2 f, f a (i) k i 2 g, f a (i) k i = 0 =ϑ i (x) p k (x), donne le résultat suivant : f, p k i = g, p k i (2.26) g f = Lg E i = span{p k, x Γ i } FIG Projection L 2 sur l espace E généré par la base de f De plus, avec l hypothèse supplémentaire d orthogonalité entre fonctions de bases p k, p k i = p k 2 i δ kk, on vérifie aisément que l on parvient au même opérateur de couplage défini auparavant (equs ). 60

70 2.4. OPÉRATEURS DE COUPLAGE SPATIALE Analyse du couplage spatial Nous résumons quelques propriétés de l opérateur de couplage a Analyse du couplage spatial : conservativité L opérateur de couplage spatial défini dans cette section respecte rigoureusement la conservation du moment zéro, qu elle que soit la méthode et l ordre d approximation employé. dx f(x) = Γ i dx g(x) Γ i (2.27) C est une conséquence directe de (2.26) et du fait que, pour les trois méthodes mentionnées p 0 = 1. Plus généralement, pour que le schéma soit conservatif, il est suffisant de montrer qu il existe une combinaison linéaire α k telle que k α kp k (x) = b Analyse du couplage spatial : positivité Il n est pas évident de prouver la positivité du schéma de couplage dans le cas le plus générique (maillages non coïncidents, ordre de développement arbitraire). En revanche, il est possible de donner quelques résultats si l on accepte des hypothèses simplificatrices. Considérons le cas où l espace d arrivée de l opérateur de couplage L est bâti sur des fonctions constantes par morceaux f(x)=a 0. Dans ce cas la positivité est un corollaire de la conservation : g(x) 0 = g(x) 0 Equ. (2.27) f(x) 0 = f(x)=a 0 0 Considérons maintenant le cas d un développement d ordre arbitraire, mais avec des maillages coïncidents. Dans ce cas, le comportement du schéma de couplage dépendra de la différence relative entre l ordre de développement de la fonction de départ N g et celui de la fonction d arrivée N f. Tant que N f = N g, aucun problème de positivité se manifeste, d autant plus que, vu le type de polynômes employés, on aura strictement f(x)=g(x). Egalement, si N f > N g, il n y aura pas de soucis de positivité, puisque les N f N g composantes d ordre plus élevé seront simplement mises à zéro. Par contre, si N f =2 <N g =3, on peut s attendre à des situations où la positivité est assurée pour g(x) mais pas pour f(x) (voir la figure 2.12). Cela peut arriver si min{f(x)}>min{g(x)} et que le niveau moyen à l interface n est pas suffisant pour compenser cette différence. g(x) f(x) 0 b b 1 5 b 0 3b ξ FIG Problèmes de positivité : min{f(x)} > min{g(x)} Avec les mêmes notations des équations ( ), cela s exprime par les conditions suivantes : 0<b 2 / b 1 <( 3+ 2)/ , ainsi que 0 b 0 / b 1 < 3. 61

71 CHAPITRE 2. UNE MÉTHODE DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE EN NEUTRONIQUE Ces conditions sont représentatives d une situation où le flux présente des variations importantes, en direction tangentielle par rapport à l interface. Nous verrons au chapitre 3 que cette situation reflète un choix inadapté pour le positionnement de l interface entre sous-domaines. En conclusion, bien qu il ne soit pas possible d affirmer avec certitude que l opérateur de couplage respecte la positivité dans tous les cas de figure possibles, il existe un bon nombre de situations où cela est vérifié et démontré. De plus, la positivité des valeurs moyennes est globalement assurée (au sens intégral du terme) et cela suffit, seul, à écarter la possibilité d avoir des flux négatifs dans le bilan local à l intérieur des régions de calcul c Analyse du couplage spatial : réversibilité Pour terminer, nous nous intéressons au problème suivant : g(x) L f(x) M g(x) (2.28) avec f E k =span{p k }, g, g E m =span{q m }, L et M étant les opérateurs de couplage définis sur les espaces appropriés. La 2.28 représente la transformation de la fonction g(x) sur la base {p k }, ainsi que sa "retraduction" sur les fonctions initiales {q m }. Il semble alors légitime de se demander si g g et, en définitive, dans quelle mesure l endomorphisme ML s apparente à l opérateur identité. Une fois de plus, il n est pas possible de démontrer exactement la réversibilité dans le cas le plus générique du schéma de couplage. Cependant, comme on a vu dans la section précédente, il peut être intéressant de donner quelques résultats pour le cas de maillages coïncidents. Cette simplification permet de réduire l opérateur de couplage à une ensemble d opérateurs locaux agissant sur un segment à la fois et de s affranchir de l interdépendance à grande échelle. Pour cela on pourra se baser sur l analogie établie dans : f = Lg f, p k i = g, p k i (2.29) g = Mf g, q m i = f, q m i (2.30) Ensuite, remarquons une propriété intéressante des bases polynomiales, valable pour les trois méthodes employées (voir équations 2.25). Qu il s agisse des polynômes de Legendre (IDT), des polynômes orthonormalisés par une procédure de Grahm-Smith (VNM) ou plus simplement la fonction constante (TDT), il est possible d écrire chacun de ces polynômes, en fonction de ceux appartenant à un autre base, pourvu que l ordre du polynôme ne soit pas supérieur à la dimension de la base. Cela nous donne, une sorte d équivalence ou de complétude des représentations spatiales entre méthodes. Nous pouvons alors écrire 6 : q m = K αk m p k 0 m K (2.31) k=0 6 En réalité, vu le développement d ordre relativement limité, on observe une relation de proportionnalité entre bases de même ordre, voir d identité pour dans le cas du polynôme d ordre 0 et on pourrait écrire α k m = α k δ km avec δ km symbole de Kronecker. Cependant, la simplification évoquée ci-dessus n apporte rien de plus à notre analyse tandis que le choix initiale 2.31 nous permet une plus grande généralité. 62

72 2.4. OPÉRATEURS DE COUPLAGE SPATIALE En appliquant K k=0 α m k à l équation (2.29) et en injectant le résultat obtenu dans la (2.30) nous obtenons : g, q m i = g, q m i 0 m K =dim{e k } (2.32) Cela signifie que l opérateur H = ML conserve les premiers moments de la fonction g, ce qui nous parait être raisonnable. Enfin, si dim{e m } dim{e k } alors l opérateur H devient l opérateur identité I m de l espace E m. Inversement, si dim{e m } > dim{e k } la projection de E m vers E k cause la perte des moments d ordre supérieur, ce qui ne permet plus de retrouver la même relation. La réversibilité de H est donc soumise à cette contrainte, liée aux dimensions des espaces E k et E m. La généralité des hypothèses nous permet, dans le cas d une nouvelle base (i.e. EF respectant la 2.31 mais non la simplification évoquée dans la note en bas de page 62) d étendre directement le résultat Conclusion Dans ce chapitre, nous avons présenté une méthode de décomposition de domaine appliquée à l équation du transport pour les neutrons. En s inspirant des méthodes de décomposition de domaine classiques, nous avons créé un formalisme permettant l utilisation simultanée de méthodes de résolution différentes dans chaque sous-domaine (algorithme multi-méthode multi-domaine, M M M D ). Cette approche, permettant une modélisation spécifique dans chaque zone du problème initial, nécessite la définition d opérateurs de couplage, afin d effectuer le raccord de la solution à l interface entre sousdomaines. Concrètement, cela signifie de pouvoir effectuer une "traduction" des conditions aux limites de chaque méthode vers toutes les autres. Dans cette perspective, nous avons alors abordé la problématique du couplage spatiale et présenté une analyse des opérateurs de couplage. Le prochain chapitre sera consacré à l étude du couplage angulaire entre les trois méthodes que nous avons considérées dans cette étude. 63

73 64

74 Chapitre 3 Opérateurs de couplage angulaire Dans ce chapitre nous abordons le couplage entre les diverses représentations angulaires propres aux trois méthodes de calcul utilisées dans la méthode M M M D. Nous débuterons par la présentation et l analyse du couplage entre VNM et IDT, représentative respectivement d une méthode aux harmoniques sphériques (P n ) et d une méthode aux ordonnées discrètes (S n ). Par la suite, nous étendrons le couplage S n P n au cas VNM / TDT, en s appuyant sur les résultats précédemment établis pour VNM / IDT. Finalement, dans l objectif de vérifier la validité du couplage angulaire, un certain nombre de tests numériques ont été effectués permettant de dégager les tendances de la méthode et de confirmer les prédictions faites sur son comportement. 3.1 Représentations angulaires et conditions limites dans VNM, IDT et TDT Au chapitre 2 nous avons vu comment le couplage entre méthodes différentes est rendu possible par l intermédiaire de conditions limites "internes" ayant la même forme que des conditions limites "externes" de type flux ou courant imposé. Avant de se consacrer à la description et à l analyse des opérateurs de couplage angulaire, principal sujet de ce chapitre, nous nous proposons de synthétiser rapidement la représentation angulaire utilisée par chacune des trois méthodes que nous avons couplées au sein de la méthode M M M D, afin de mieux appréhender leurs différences. Conditions limites dans VNM La résolution de la méthode variationnelle nodale (cf ), telle qu implémentée dans le code VNM [24] est basée sur un algorithme de type matrices de réponse j + =R j + Bs dans lequel les inconnues aux interfaces internes, ainsi que les conditions limites, s écrivent : j ± = 1 4 Ψ ± 1 2 χ (3.1) où j ± représentent les pseudo-courants 1 sortant (+), rentrant ( ) et sont définis en fonction des quantités suivantes : 1 Cette dénomination se justifie par le fait que, au premier ordre, les j ± s identifient avec les courants de Marshak (1.10). 65

75 CHAPITRE 3. OPÉRATEURS DE COUPLAGE ANGULAIRE Ψ( r) = χ( r) = 4π 4π dω (ˆΩ ˆn) ψ + ( r, ˆΩ) k (ˆΩ) (3.2) dω ψ ( r, ˆΩ) k (ˆΩ) (3.3) avec k (ˆΩ) = {Y kl } avec k = 1, 3, 5,... et l = 0,..., n 1, le vecteur constitué par les harmoniques sphériques d ordre impaire. Conditions limites dans IDT Dans le cas de la méthode IDT, celle-ci étant basée sur une équation du premier ordre, les conditions limites sont déterminées par les flux angulaires rentrant à la frontière du domaine. Plus particulièrement, puisque la discrétisation angulaire est faite par une méthode aux ordonnées discrètes, les conditions limites à imposer à la surface seront les : ψ d ( r) d t.q. ˆΩd ˆn < 0 Pour la suite de notre travail, les points de discrétisation de la sphère S 2 seront choisis sur la base d une formule de quadrature de type "Level Symetric" (fig. 3.1a). Conditions limites dans TDT Pour la méthode TDT, les conditions limites sont celles décrites par ( ) : Jd out = ds ˆn ˆΩ d ψ d ( r) (3.4) S out(ˆω d ) = J in d ds ˆn ˆΩ d ψ d ( r) (3.5) S in (ˆΩ d ) Par analogie avec la méthode IDT, s agissant d une méthode basée sur l équation intégro-différentielle du premier ordre (hyperbolique), les conditions aux limites qu il faut imposer sont reliées aux flux angulaires rentrants et, plus particulièrement, représentent le courant rentrant selon la direction d. Dans ce sens, deux représentations angulaires des conditions limites sont possibles, selon les fonctions de bases employées : constant par morceau ou de type Dirac. De plus, pour la formule de quadrature, plusieurs choix sont possibles : mis à part des choix classiques tels que les quadratures symétriques par niveau (Level Symetric), la méthode des caractéristiques prévoit l utilisation de formules de quadrature de type produit. Il s agit d une formule de N d = N ϕ N µ directions reparties sur N µ niveaux azimutaux, chacun contenant N ϕ directions par octant. Dans chaque niveau azimutal les directions sont positionnées de façon equiespacée : ϕ i = (i 1 2 )π/n ϕ. Les niveaux µ j sont déterminés par les zéros du polynôme de Legendre d ordre N µ (fig. 3.1b) ou par minimisation d une fonctionnelle reliée aux fonctions de Bickley-Naylor (fig. 3.1c). L intérêt de ce type de formule de quadrature est d avoir des directions qui produisent des "bonnes trajectoires" (non-ergodiques). Cette particularité est essentielle, pour la méthode des caractéristiques et, plus généralement, pour toute autre méthode numérique basée sur le traçage, pour traiter correctement les conditions limites générées par des mouvements géométriques (tels que translations, symétries axiales, rotations). Voir à ce propos [54]. 66

76 3.2. COUPLAGE ANGULAIRE VNM VNM N d = 21 N µ = 4, N ϕ = 10 N µ = 4, N ϕ = 10 a) Level Symetric (S 12 ) b) Formule Produit (Gauss-Legendre) c) Formule Produit (Bickley) FIG. 3.1 Quelques formules de quadrature angulaire Pour cette raison, dans la suite de notre travail nous utiliserons exclusivement les formules de quadrature produit avec le code TDT. Nous abordons maintenant la problématique du couplage angulaire entre les diverses représentations utilisées par les différentes méthodes. Dans la suite du chapitre, dans le souci d une meilleure lisibilité, nous omettrons la dépendance spatiale des conditions limites, afin de ne se concentrer que sur le couplage angulaire. 3.2 Couplage angulaire VNM VNM Nous avons vu que, dans la méthode VNM, le couplage aux interfaces entre mailles adjacentes est effectué en imposant la continuité du courant sortant de la cellule i avec le courant rentrant dans la cellule i : j + i = j i Le couplage angulaire à l interface entre deux sous domaines de type VNM, sera assuré par une relation du même type, avec une attention particulière lorsque les ordres des développements angulaires de chaque coté de l interface sont différents. Pour cela, on imposera l égalité des moments angulaires des vecteurs courants communs aux deux représentations. Cette approche à déjà fait l objet d études, dans le cas du couplage transport-diffusion (P n P 1 ) ; voir, à ce propos, [23, 52] pour plus de précisions. Cependant, nous attirons l attention du lecteur sur le fait que, à notre connaissance, aucune tentative de couplage transport-transport (P n P m ) ou transport-transport simplifié (P n SP m ) n ait été effectué de nos jours. 67

77 CHAPITRE 3. OPÉRATEURS DE COUPLAGE ANGULAIRE Ce type de couplage est justifié par la stationnarité du problème variationnel, qui impose la continuité de la trace du flux pair Ψ = (ˆΩ ˆn) ψ + à l interface entre deux mailles, ainsi que la continuité du flux impair ψ. Dans le cas où le vecteur sortant j + i ne contient pas certains moments nécessaires au vecteur j i, ces mêmes moments sont fixés à zéro (voir la figure 3.2 pour un exemple). Y 10 Y 10 Y 32 Y 30 + = j j = SP5 P3 Y31 Y50 Y 30 0 FIG. 3.2 Exemple de couplage angulaire entre représentations d ordre différents : de P 3 à SP Couplage angulaire IDT IDT Dans le cas d une méthode S n, où le flux angulaire n est connu que dans un nombre limité de points, le couplage angulaire est moins direct. Il faut alors trouver une représentation intermédiaire permettant de mettre en relation les diverses représentations angulaires. Pour cela, nous disposons de la discrétisation S n de la sphère unité, permettant d approcher les intégrales en angle à l aide d une formule de quadrature : S f(ˆω) dω ω d f(ˆω d ) (3.6) 2 d A partir de cette discrétisation, nous disposons d un ensemble de directions angulaires ˆΩ d, ainsi que des poids ω d représentatifs de la zone d influence associée à chaque direction. Dans l objectif de définir les opérateurs de couplage, diverses approches sont possibles. Nous citerons : Des techniques projectives basées sur les polynômes d interpolation de Lagrange. Des techniques d interpolation sur les harmoniques sphériques. Des techniques de projection par maillages (notre approche) Techniques projectives par polynômes d interpolation de Lagrange Cette approche a été développée spécialement pour des quadratures de type produit, on en retrouvera une description détaillée dans [51]. L idée est celle de conserver, à l interface entre sous-domaines, le maximum de moments d une quantité proche du courant neutronique. On définira alors l opérateur de couplage Q := P N1 P N2 comme étant une projection entre espaces polynomiaux : +1 1 dθ (1 θ) P k (θ) Qf(θ) = dθ (1 θ) P k (θ) f(θ) (3.7)

78 3.3. COUPLAGE ANGULAIRE IDT IDT avec θ [ 1, +1] un changement de variable (θ = 2 π ϑ) tel que µ= ˆΩ ˆn=cos(ϑ), ˆn la normale sortante et f(θ) P N1 une représentation polynomiale du flux angulaire. On vérifiera que (1 θ) f(θ) est, à un facteur près régulier et strictement positif, le courant angulaire : sin( π 2 ϑ) f(ϑ). Afin d exprimer le flux angulaire par un développement polynomial, on choisira l utilisation des polynômes d interpolation de Lagrange pour la quadrature de Gauss-Legendre. Cette technique de couplage se résume alors aux étapes suivantes : 1. Interpolation du flux discret par des polynômes d interpolation de Lagrange d ordre équivalent au nombre de directions en θ ou r. 2. Projection du flux continu f(θ) sur une nouvelle base polynomiale apparentée au degré de la formule de quadrature de l espace d arrivée (3.7) 3. Injection dans les points de la quadrature angulaire à partir du flux polynomial obtenu par projection. Dans le principe, cette approche s apparente à la famille des méthodes d interpolation. Nous en présentons une deuxième, basée sur les harmoniques sphériques dans le prochain paragraphe Techniques d interpolation basées sur les harmoniques sphériques Cette approche se base sur l équivalence S n P n 1 établie en géométrie monodimensionnelle [55]. ψ(µ d ) d=1,..., n ψ(µ) = n 1 k=0 2k φ k P k (µ) où : φ k = +1 1 dµ ψ(µ) P k (µ) d ω d ψ(µ d ) P k (µ d ) Cette dernière est généralisable en dimension 2, par l intermédiaire des harmoniques sphériques : ψ(ˆω d ) d=1,..., n( n 2 + 1) ψ(ˆω) = où : φ kl = dω ψ(ˆω) Y kl (ˆΩ) 4π d n 1 k=0 l=0 k φ kl Y kl (ˆΩ) ω d ψ(ˆω d ) Y kl (ˆΩ d ) Soit Q N1 = (ˆΩ D, ω D ) la formule de quadrature d ordre S N1 associée aux flux {ψ D } et Q N2 = (ˆΩ d, ω d ) une deuxième formule de quadrature d ordre S N2 associée aux flux {ψ d }. Nous pouvons alors écrire les flux angulaires pour la formule de quadrature (Q N1 ) en fonction de ceux appartenant à la formule de quadrature (Q N2 ). ψ(ˆω D )= d C d D ψ(ˆω d ) et avec n = 1 2 min(n 1, N 2 ). n 1 C d D =ω d k=0 l=0 k Y kl (ˆΩ d ) Y kl (ˆΩ D ) 69

79 CHAPITRE 3. OPÉRATEURS DE COUPLAGE ANGULAIRE Bien qu élégante et simple d application, cette formulation n assure pas la positivité du flux angulaire, ce qui, dans le cadre d une méthode aux ordonnées discrètes, peut provoquer une mauvaise convergence et même la divergence des itérations internes. De plus, il est difficile de montrer que ce schéma est conservatif, au sens du courant. Nous avons donc préféré une approche différente Techniques de projection du courant par maillages non conforme. L approche que nous proposons ici a pour but de conserver le maximum d information sur le flux angulaire, et, en même temps, de conserver exactement le courant partiel après transmission à l interface entre sous-domaines. Plus précisément, nous nous proposons de conserver le courant partiel, non seulement de façon globale sur la demi-sphère 1 2 S2, mais aussi sur chaque maille S d appartenant à une partition de celle-ci : 1 j d = dω ˆΩ ˆn ψ(ˆω) S d avec 2 S2 = d S d (3.8) S d a Découpage angulaire La question qui se pose maintenant est donc de déterminer un découpage de la demi-sphère, qui soit compatible avec la méthode S n. Bien entendu, cette question est loin d être sans conséquence, le couplage angulaire dépendra du découpage choisi. Le choix qui a été fait, est de définir un découpage représentatif de la formule de quadrature employée, de façon à avoir S d dω ω d. Sans perte de généralité, nous nous limitons au premier octant défini par (µ, ϕ) [0, 1] [0, π 2 ]. La première étape consiste à condenser la formule de quadrature sur l axe µ. Pour cela, nous regroupons les directions ayant le même cosinus azimutal (même valeur de µ d = µ i ), de façon à avoir N µ groupes de directions. 2 Ensuite, nous allons additionner les poids ω d appartenant au même groupe de directions et, par ce biais, retrouver une formule de quadrature monodimensionnelle (µ i, W i ) : W i = d ω d ˆΩd = (µ i, ϕ d ) i = 1,..., N µ L étape suivante consiste à découper l intervalle µ [0, 1] en segments de taille µ i = W i, ce qui produit par la même un découpage partiel de la surface de l octant en "bandes horizontales" définies, avec abus de langage, par : (µ, ϕ) [ µ i ] [0, π 2 ] Enfin, chaque bande est découpée de façon à attribuer à chaque maille S d une surface proportionnelle au poids ω d de la direction qu elle représente. 2 Certaines formules de quadrature S n peuvent avoir des directions dont les µ d diffèrent très légèrement les uns par rapport aux autres. Du point de vue de la logique de regroupement, ces mêmes directions sont à considérer comme faisant partie du même niveau azimutal. Toutefois, on notera que ce problème ne se présente jamais dans le cas des formules de quadrature S n-level Symetric (N µ = n ) et les formules de type produit, où les directions sont, par construction de la formule de quadrature, alignées 2 par niveau. 70

80 3.3. COUPLAGE ANGULAIRE IDT IDT Au final, on obtient un découpage de la demi-sphère unité qui, à chaque direction (µ d, ϕ d ) associe de manière unique une maille S d de surface ω d ; voir, à ce propos, la figure 3.3. Formule de quadrature S 8 -Level Symmetric Découpage d µ η ξ ω µ ϕ( 2 π ) FIG. 3.3 Partition d un octant sur la base d une formule de quadrature S b Projection à travers des maillages non conformes Nous nous intéressons, maintenant, au couplage entre deux formules de quadrature différentes, et par conséquent, deux découpages angulaires non conformes (figure 3.4). En reprenant la notation de la 3.3.2, on indiquera avec l indice D les quantités relatives à la formule de quadrature Q N1 = (ˆΩ D, ω D ) et avec l indice d les quantités relatives à Q N2 = (ˆΩ d, ω d ). Pour être plus précis, la conservation du courant (3.8) entre deux grilles angulaires s explicite par : dω ˆΩ ˆn ψ(ˆω) = dω ˆΩ ˆn ψ(ˆω) (3.9) S D S d D d S D où la somme qui apparaît porte sur toutes les mailles S d ayant une intersection non nulle avec la maille S D. Cette équation n est pourtant que formelle, puisqu il nous reste encore à donner une représentation explicite du flux angulaire ψ(ˆω). 71

81 CHAPITRE 3. OPÉRATEURS DE COUPLAGE ANGULAIRE S 8 S 4 µ = µ = µ = 0 µ = 0 ϕ = 0 ϕ = π 2 ϕ = 0 ϕ = π 2 FIG. 3.4 Grilles associées à deux représentations angulaires différentes : S 8 et S 4 Dans cette perspective, nous allons introduire et analyser quelques approches qui nous ont semblées intéressantes. En partant de la (3.9) nous avons dérivé trois sous-méthodes, en fonction de la représentation choisie pour le flux angulaire. 1) Approximation Flux plat (FFA) Ici nous faisons l approximation que le flux est constant sur chaque maille S d : ψ(ˆω) d ψ d ϑ d (ˆΩ) (3.10) où ϑ d (ˆΩ) est la fonction caractéristique de la maille S d : ϑ d (ˆΩ) = { 1 ˆΩ Sd 0 sinon Si l on admet l hypothèse de continuté du flux angulaire, cela signifie que l on fait une approximation à l ordre zéro d un développement de Taylor (sur chaque maille S d ) : ψ(ˆω) = ψ(ˆω d ) } {{ } + 1 (ˆΩ ˆΩd ) + ψ ˆΩd 2 ψ ˆΩd (ˆΩ ˆΩ d ) ψ d On s attend donc que l approximation "flux plat" soit particulièrement satisfaisante pour des formules de quadrature d ordre élevé. En développant la (3.9), à l aide de l approximation FFA, on obtient : ψ D S D ˆΩ ˆn dω = d D 72 ψ d S d S D ˆΩ ˆn dω

82 3.3. COUPLAGE ANGULAIRE IDT IDT et finalement, ψ D = d A d D ψ d (3.11) avec A d D = S d S D dω ˆΩ ˆn S D dω ˆΩ ˆn (3.12) 2) Approximation Delta de Dirac (DDA) Ici nous faisons l hypothèse que le flux est une convolution de distributions de Dirac centrées dans les directions ˆΩ d : ψ(ˆω) d ω d ψ d δ 2 (ˆΩ ˆΩ d ) (3.13) où δ 2 (ˆΩ ˆΩ d ) est la fonction delta de Placzek [56], dont nous donnons ici la propriété principale : S 2 dω f(ˆω) δ 2 (ˆΩ ˆΩ d ) = f(ˆω d ) (3.14) On remarquera au passage que, grâce à cette dernière, la (3.13) est cohérente avec (3.6). Cependant, cette relation ne nous permet pas de conclure pour des intégrations faisant intervenir la fonction de Placzek sur des sous-régions de la sphère S 2. Dans l objectif de pouvoir effectuer ce type d opération, nous définissons une nouvelle relation, basée sur la (3.14). A dω f(ˆω) δ 2 (ˆΩ ˆΩ d ) A S d dω f(ˆω d ) S d dω } {{ } (3.15) P A,Sd Avec A S 2 un sous-domaine quelconque de la sphère unité. Cette relation assure les propriétés suivantes : Si A = S 2, on retrouve la (3.14) Si A = S d, alors P Sd,S d = 1 et la relation (3.15) donne le même résultat que la (3.14). Cela est bien cohérent avec le fait que δ 2 (ˆΩ ˆΩ d ) = 0 pour ˆΩ S 2 \S d. Dans les autres cas, cette relation agit en pondérant la contribution de la direction d selon P A,Sd, qui représente la fraction de surface de A ayant une intersection non nulle avec la maille S d. Finalement, si l on écrit (3.9) dans le cadre de l approximation DDA et à l aide de (3.15), on obtient : ω D ψ D ˆΩ D ˆn = d D ω d ψ d ˆΩ d ˆn S d S D S d dω dω On retrouve alors la même relation 3.11, mais avec les coefficients : A d D = ω d ˆΩ d ˆn ω D ˆΩ D ˆn S d S D S d dω dω ˆΩ d ˆn ˆΩ D ˆn S d S D S D dω dω (3.16) 73

83 CHAPITRE 3. OPÉRATEURS DE COUPLAGE ANGULAIRE 3) Approximation mixte (MXA) L approche mixte combine les deux approches présentées dans les paragraphes précédents en essayant de tirer parti des avantages de chacune. L idée est d employer l approximation FFA pour traiter la projection entre maillages angulaires, tandis que l approximation DDA sera employée pour convertir les flux avant et après transformation de maillage, afin de garder la conservation du courant au sens S n. Ce concept est schématisé dans la relation suivante : j F F A D = j DDA D = d D js DDA d S D avec : jd DDA = jd F F A En développant, on retrouve une fois de plus la relation 3.11, où les coefficients sont : A d D = ω d ˆΩ d ˆn ω D ˆΩ D ˆn S d S D ˆΩ ˆn dω ˆΩ ˆn dω S d (3.17) c Analyse des trois types de couplage IDT IDT Nous analysons plus dans le détail les propriétés des trois types de couplage présentés, avant de tester les trois approches sur un problème modèle. Positivité La positivité de la transformation S n S m est une propriété essentielle. En effet, dans le cas où celle-ci génèrerait des flux négatifs, cela ferait apparaître des oscillations dans la méthode aux ordonnées discrètes et sa résolution en serait compromise. Il faut donc veiller à ce que le schéma de couplage génère des opérateurs positifs. Nous nous intéressons donc à la propriété suivante : Soit A N 1 N 2 : Q N2 Q N1 l opérateur de couplage représenté par (3.11). On dira que A est positif si : ψ d 0 = Aψ d =ψ D 0 Il est aisé de vérifier que, indépendamment de l approche choisie pour leur génération (i.e. 3.12, 3.16 ou 3.17), les coefficients A d D sont toujours non-négatifs, ce qui assure la positivité de chaque opérateur de couplage. Traitement du flux isotrope Nous examinons la capacité des différents opérateurs de couplage à restituer un flux S n isotrope quand le flux de départ est lui même isotrope. Dans ce cas nous avons ψ d = ctte que nous fixons arbitrairement égale à 1. De ce fait, la (3.11) se réduit à : ψ D = A d D (3.18) d On analysera systématiquement les trois approches par rapport à cette propriété. 74

84 3.3. COUPLAGE ANGULAIRE IDT IDT Approximation Flux Plat Avec l approche FFA nous avons : A d D = d d S d S D dω ˆΩ ˆn S D dω ˆΩ ˆn Par conséquent, la relation (3.18) se réduit à ψ D = ψ d = ctte. = 1 Approximation Delta de Dirac Avec l approche DDA nous avons : A d D = d d ˆΩ d ˆn S d S D dω ˆΩ D ˆn S D dω ctte Cette approche ne respecte pas l isotropie du flux angulaire et transforme des flux isotropes en flux anisotropes. Approximation Mixte Avec l approche MXA nous avons : A d D = d d ω d ˆΩ d ˆn ω D ˆΩ D ˆn S d S D ˆΩ ˆn dω ˆΩ ˆn dω A priori, cette équation ne respecte pas l isotropie du flux angulaire, sauf si les relations ci-aprés sont valables. ω D ˆΩ D ˆn = ˆΩ ˆn dω D Q N1 (3.19) S D ω d ˆΩ d ˆn = ˆΩ ˆn dω d Q N2 (3.20) S d Dans ce cas, la transformation agissant sur des flux isotropes garde la même structure angulaire avec ψ D = ψ d = ctte. On pourrait alors envisager de générer une quadrature optimale (au sens du couplage S n S n ) pour que les conditions énoncées ci-haut soient respectées. Sans s attarder ultérieurement sur la question, nous renverrons le lecteur à l annexe A. Nous y analysons la possibilité de générer ce type de quadrature et nous en donnons un exemple. Toutefois, l étude de ce type de quadrature étant à un état préliminaire, nous ne les utilisons pas dans le cadre de ce travail. S d Conservation du courant S n Toute méthode pour la résolution de l équation du transport doit respecter le bilan neutronique à l intérieur de chaque cellule du maillage de calcul. Pour les méthodes S n, l équation de bilan fait intervenir le courant discrétisé par la formule de quadrature : 75

85 CHAPITRE 3. OPÉRATEURS DE COUPLAGE ANGULAIRE j Sn = d ω d ˆΩ d ˆn ψ d (3.21) Il est donc légitime de se demander dans quelle mesure les opérateurs de couplage conservent la quantité (3.21) et c est ce que nous allons vérifier. Approximation Flux Plat Avec l approche FFA nous avons : j N 1 = ω D ˆΩ D ˆn ψ D = ω D ˆΩ S d S D dω ˆΩ ˆn D ˆn ψ d D D d S D dω ˆΩ ˆn A priori, cette dernière ne respecte pas la conservation du courant S n, sauf si les relations (3.19) sont valable. Dans ce cas, on aura : j N 1 = D ω D ˆΩ D ˆn ψ D = d ω d ˆΩ d ˆn ψ d = j N 2 (3.22) Approximation Flux Dirac On vérifie aisément que la (3.21) avec (3.16) vérifie la conservation du courant. Approximation Mixte On vérifie aisément que la (3.21) avec (3.17) vérifie la conservation du courant. Investigation numérique Afin d en tester la validité, les trois approches présentées ci-dessus ont été implémentées dans le code M M M D. Nous avons, ensuite, vérifié le comportement des trois types de couplage à l aide d un problème "milieu homogène infini", pour lequel une solution analytique est connue 3. Nous présentons dans la figure 3.5 les résultats concernant le couplage S 8 S 4 d un problème périodique infini calculé sur le domaine (x, y) [0, 1] 2 où l interface de couplage à été positionné en x=0,4. En observant la figure 3.5, nous remarquons des comportements très différents les uns des autres. Plus précisément, la seule approche satisfaisante semble être celle appelé Approximation Flux Plat (FFA), les autres approches présentant des erreurs importantes, en particuliers l approximation Flux Delta (DDA). Ce résultat nous fait redimensionner l importance de la propriété de conservation du courant S n, que l on pensait avoir un rôle essentiel, vue la nature des méthodes couplées. En effet, en vue des résultats obtenus, il nous semble plus pertinent de privilégier un couplage qui donne une solution continue. Conclusion L approche retenue pour le couplage entre méthode de type S n a été celle basée sur l approximation "flux plat". Celle-ci respecte la positivité et la conservation du courant, tel que exprimé par la relation (3.9). 3 La solution de l équation du transport dans un milieu homogène et infini est évidemment invariante par rotation et translation. De cela : ψ( r, ˆΩ) = constante = k eff = νσ f σ σ s et φ( r) = constante. 76

86 3.3. COUPLAGE ANGULAIRE IDT IDT FFA DDA MXA x x x FIG. 3.5 Comparaisons numériques des trois approches pour le couplage S8 S4. Problème "milieu infini" (en bleu la solution analytique) 77

87 CHAPITRE 3. OPÉRATEURS DE COUPLAGE ANGULAIRE A S 4 = S8 A S 4 = S8 A S 4 = S Flat Flux Approximation A S 8 = S Delta Approximation A S 8 = S Mixed Flux Approximation A S 8 = S T T T 78

88 3.4. COUPLAGE ANGULAIRE VNM IDT 3.4 Couplage angulaire VNM IDT Dans cette section, nous présentons et analysons le couplage entre la méthode variationnelle nodale VNM et une méthode aux ordonnées discrètes. Ce couplage, initialement développé pour la méthode IDT, s applique aussi dans le cas du couplage TDT/VNM. Contrairement aux couplages précédents, puisque l approche pour le couplage VNM-IDT est radicalement différente de celle pour le couplage IDT-VNM, nous allons les décrire séparément Couplage angulaire IDT VNM L objectif est de transformer le flux S n, dans la condition limite correspondante et compréhensible par la méthode variationnelle nodale. Cette dernière (voir 3.1) demande que l on fixe le pseudo-courant rentrant à l interface entre sous-domaines : où : Ψ( r) = χ( r) = 4π 4π j = 1 4 Ψ 1 2 χ (3.23) dω (ˆΩ ˆn) ψ + ( r, ˆΩ) k (ˆΩ) (3.24) dω ψ ( r, ˆΩ) k (ˆΩ) (3.25) Ici, k (ˆΩ) est le vecteur des harmoniques sphérique impaires, tandis que ψ + et ψ sont respectivement le flux pair et impair, définis par la décomposition suivante (cfr. 1.47). ψ( r, ˆΩ) = ψ + ( r, ˆΩ) + ψ ( r, ˆΩ) Sur la base de cette définition, on vérifie que : dω ψ + ( r, ˆΩ) k (ˆΩ) = 4π 4π ψ + ( r, ˆΩ) = 1 2 [ψ( r, ˆΩ) + ψ( r, ˆΩ)] ψ ( r, ˆΩ) = 1 2 [ψ( r, ˆΩ) ψ( r, ˆΩ)] dω (ˆΩ ˆn) ψ ( r, ˆΩ) k (ˆΩ) = 0 On peut alors effectuer les substitutions ψ + ψ et ψ ψ dans les intégrales ( ) pour obtenir : Ψ( r) = χ( r) = 4π 4π dω (ˆΩ ˆn) ψ( r, ˆΩ) k (ˆΩ) (3.26) dω ψ( r, ˆΩ) k (ˆΩ) (3.27) Nous attirons l attention du lecteur sur le fait que, pour l instant, nous n avons fait aucune approximation ou hypothèse. Maintenant, il nous reste à évaluer les intégrales ci-dessus, et c est là que nous allons devoir faire des approximations. Puisque la méthode aux ordonnées discrètes nous donne accès au flux en un certain nombre de points, ainsi qu à une formule de quadrature pour approcher les intégrales sur la sphère S 2, il nous a semblé judicieux d évaluer les intégrales ( ) par la même formule de quadrature que la méthode S n. Par ce biais, nous obtenons : 79

89 CHAPITRE 3. OPÉRATEURS DE COUPLAGE ANGULAIRE Ψ( r) = d χ( r) = d ω d (ˆΩ d ˆn) ψ d ( r) k (ˆΩ d ) ω d ψ d ( r) k (ˆΩ d ) (3.28) Ces équations nous permettent de calculer les vecteurs liés au flux pair Ψ et impair χ, et successivement, la condition limite rentrante par l intermédiaire de l équation On remarquera au passage que, contrairement au couplage S n S m, ici, l opérateur de couplage fait intervenir le flux angulaire sur toute la sphère S 2 pour pouvoir créer la condition limite entrante pour la méthode variationnelle nodale. 4 Cela est une conséquence du fait que la méthode variationnelle nodale se base sur une équation différentielle d ordre deux, alors que d autres méthodes pour l équation du transport se basent sur la forme intégro-différentielle, qui, elle, est une équation hyperbolique d ordre un. Champ d application du couplage IDT VNM L opérateur de couplage, tel que défini dans cette section, nécessite d être mieux précisé. Pour s en apercevoir, il suffit de considérer le couplage entre une formule de quadrature d ordre très faible et une discrétisation angulaire P n d ordre très élevé. On se retrouve alors dans la situation paradoxale où l on essaye de calculer des moments angulaires d ordre très élevé, à l aide d une formule de quadrature très pauvre. Dans ce cas de figure, le couplage S n P m peut donner des résultats incohérents, en introduisant de fortes discontinuités à l interface. Pour remédier à cela, il suffit simplement de limiter l application de la (3.28) aux moments d ordre plus bas et d imposer à zéro les moments d ordre trop élevé. Cela équivaut à effectuer un couplage en deux étapes à l aide d une représentation intermédiaire P m. Le schéma qui en résulte est le suivant : S n P m P m avec m < m tel que le couplage S n P m soit correctement posé. Nous expliciterons mieux le sens de cette affirmation lors de l analyse du couplage S n P n (voir 3.4.5) Couplage angulaire VNM IDT Dans cette section on s intéresse au problème inverse de celui traité dans la section précédente. Ici, l objectif est de transformer les conditions limites fournies par la méthode variationnelle nodale, dans un flux angulaire correspondant, nécessaire à la méthode aux ordonnées discrètes, celui-ci étant défini sur la demi-sphère rentrante. ψ d ( r) ˆΩd ˆn > 0 (3.29) La première étape consistera alors à construire le flux angulaire continu sur la base des conditions aux limites exprimées par la méthode VNM à l interface. 4 On rappellera le fait que, pour le couplage S n S m, les flux définis sur la demi-sphère rentrante ou sortante suffisent, seuls, à générer les bonnes conditions de couplage. 80

90 3.4. COUPLAGE ANGULAIRE VNM IDT Dans cette perspective, nous inversons l équation 3.1, afin d obtenir les quantités Ψ et χ. 2(j + + j ) = Ψ( r) Ψ( r) = j + j = χ( r) χ( r) = 4π 4π dω (ˆΩ ˆn) ψ + ( r, ˆΩ) k (ˆΩ) (3.30) dω ψ ( r, ˆΩ) k (ˆΩ) (3.31) Ensuite, nous nous penchons sur le sens des intégrales liées aux parties paires et impaires du flux angulaire. Pour cela, nous énonçons la propriété suivante, qui se base sur le théorème de Riesz-Ficher [57]. Propriété : Soit H(ˆΩ) = span{a k } k K l espace de Hilbert généré par l ensemble de fonctions réelles orthonormales A k, doté du produit scalaire a, b = S dω a(ˆω) b(ˆω). 2 K On a équivalence entre : f H(ˆΩ) et f(ˆω) = f k A k (ˆΩ) k Pour l application de la propriété énoncée, on prendra {A k }=k et {f k }=Ψ ou χ. Sur la base du corollaire précédent, nous pouvons écrire le développement de ψ et (ˆΩ ˆn) ψ + en fonction de leurs moments respectifs ( ) : (ˆΩ ˆn) ψ + ( r, ˆΩ) =Ψ T ( r) k (ˆΩ) (3.32) ψ ( r, ˆΩ) = χ T ( r) k (ˆΩ) (3.33) On retrouve alors le flux angulaire en additionnant sa composante paire et impaire : ψ( r, ˆΩ) = ψ + ( r, ˆΩ) + ψ ( r, ˆΩ) Une fois obtenu le flux continu en angle, la dernière étape consiste à fixer les valeurs du flux S n dans ses directions discrètes. On pourrait pour cela imposer une condition de conservation du courant à travers les mailles d une partition de la demi-sphère rentrante, de façon similaire à ce qui a été fait pour le couplage S n S m. Dans ce cas, on obtiendrait : avec les coefficients : ψ d ( r) = α T d Ψ( r) + βt d χ( r) 81

91 CHAPITRE 3. OPÉRATEURS DE COUPLAGE ANGULAIRE α d = S d dω ˆΩ ˆn k (ˆΩ) S d dω ˆΩ ˆn et β d = S d dω k (ˆΩ) S d dω ˆΩ ˆn Une autre alternative possible, est d évaluer le flux continu dans chaque direction ˆΩ d : ψ d = ψ(ˆω) ˆΩ=ˆΩd Dans ce cas, l opérateur de couplage P n S n sera : ψ d ( r) = [ (ˆΩ d ˆn) 1 Ψ( r) + χ( r)] T k (ˆΩ d ) (3.34) Nous avons choisi cette dernière approche parce qu elle permet d avoir des opérateurs de couplage qui soient réversibles (voir 3.4.5) Prise en compte de repères différents Dans la dérivation des opérateurs de couplage nous avons fait implicitement l hypothèse que les repères employés pour la méthode S n et la méthode P n sont les mêmes. Cette hypothèse, à première vue évidente, en réalité, ne l est pas. En effet, cela n est pas le cas pour le solveur IDT et le solveur VNM, essentiellement à cause de ce dernier pour lequel les repères aux interfaces sont orientés pour que la normale sortante soit toujours parallèle à l axe x (voir figure 3.6). Pour prendre en compte cette différence, il faut prévoir un changement de coordonnées pour les directions ˆΩ d afin d assurer la cohérence des opérateurs de couplage ( ). Ici, le changement de coordonnées se réduit à une rotation de i π 2 radiants, avec i = 0, 1, 2, 3 en fonction du côté. VNM IDT, TDT FIG. 3.6 Orientation des repères sur les côtés des mailles pour TDT, IDT et VNM 82

92 3.4. COUPLAGE ANGULAIRE VNM IDT Spécificités pour le couplage angulaire TDT VNM Due à la nature de la méthode TDT, assez proche de la méthode IDT, la plupart des considérations développées autour du couplage IDT/VNM sont valables dans le couplage TDT/VNM. Pourtant certainaines différences apparaissent entre la méthode aux ordonnes discrètes nodale (IDT) et celle des caractéristiques (TDT). Pour la définition des opérateurs de couplage, c est essentiellement le traitement des conditions limites qui nous intéresse. Puisque les opérateurs de couplage P n S n ont été dérivés sur la base du flux angulaire, l enjeu est maintenant de trouver la représentation angulaire du flux, à partir des conditions limites suivantes : J α± d = ds ϑ α ( r) dω ˆΩ ˆn ψ( r, ˆΩ)E d (ˆΩ) (3.35) 2π ± Celles-ci s interprètent comme étant les courants sortant (+) ou rentrant ( ) associés à la direction ˆΩ d intégrés sur la surface α. Ici, nous introduisons la fonction de représentation angulaire E d (ˆΩ), nous permettant de définir deux approximations différentes pour le courant angulaire (3.35). Conformément à cela, la méthode TDT permet l utilisation de l approximation constante par morceaux (PCA, pour Piecewise Constant Approximation) et de l approximation par collocation angulaire (RAC, pour Ray Angular Collocation). Ces deux possibilités se traduisent par : { ϑd (ˆΩ) (PCA) E d (ˆΩ) = ω d δ 2 (ˆΩ ˆΩ d ) (RAC) Les fonctions E d (ˆΩ) forment une base orthogonale. On vérifie d ailleurs 5 : dω ˆΩ ˆn E d (ˆΩ)Êd (ˆΩ) = c d δ dd (3.36) 2π ± Où c d est un coefficient de normalisation qui vaut : dω ˆΩ ˆn (PCA) c d = 2π ± (3.37) ω d ˆΩ d ˆn (RAC) En se basant sur les propriétés d orthogonalité entre fonctions de représentation angulaire (3.36) il est alors possible de reconstruire le flux angulaire à partir du courant directionnel J α± d : ψ( r, ˆΩ) = 1 ϑ α ( r) S α α d Jα± d Ê d (ˆΩ) c d En fin de compte, le flux angulaire que l on recherche pour le couplage angulaire est : ψ d ( r) = ψ( r, ˆΩ d ) = α ϑ α ( r) J d α± S α c d puisque Êd(ˆΩ d ) = 1. Dans la réalité, à l intérieur du code TDT, on dispose des valeurs S α et c d calculées numériquement par une procédure d intégration basée sur le traçage. De ce fait deux alternatives 5 Dans le cadre de l approximation RAC, cette relation nous est interdite d écriture, par le fait que les fonctions de base soient des distributions. Cependant il est possible de modifier cette relation en introduisant une fonction duale Êd(ˆΩ) = ϑ d (ˆΩ) définie sur le même support que δ 2(ˆΩ). Le lecteur trouvera dans [54] plus de précisions à ce sujet. Dans le cas de l approximation PCA on prendra : Êd (ˆΩ) = E d (ˆΩ) 83

93 CHAPITRE 3. OPÉRATEURS DE COUPLAGE ANGULAIRE s offrent à nous : soit calculer analytiquement les facteurs de normalisation c d sur la base de leur définition (3.37), soit utiliser les valeurs numériques présentes dans le code. Après avoir testé les deux approches, nous avons retenu la deuxième, vérification faite que l utilisation des coefficients numériques assure une meilleure cohérence avec l équation de bilan (1.39) qui, elle, est basée sur les courants "numériques" définis par intégration sur le même type de traçage Analyse du couplage angulaire P n S n Du fait de la nature profondément différente entre la représentation angulaire du flux S n et celle du flux P n et de la difficulté à les comparer entre elles, il n est pas aisé d analyser séparément le couplage S n P m ou P m S n. Par contre, nous pouvons plus facilement étudier l action conjointe de ces deux opérateurs, puisque l espace de départ et celui d arrivée coïncident. Cette démarche s apparente à l étude de la réversibilité d un opérateur et sera un point essentiel sur lequel juger les opérateurs de couplage P m S n. Réversibilité P m S n Soient A Pm S n, A Sn P m les opérateurs de couplage (3.28) et (3.34). Nous nous attendons à que l opérateur K Sn P m = A Sn P m A Pm S n représenté par l enchaînement : P m S n P m puisse s apparenter à l identité pour l espace P m. Afin d analyser cette transformation, nous introduisons la (3.34) dans (3.28). En indiquant avec un tilde les nouveaux moments, nous avons 6 : Ψ = d χ = d ω d k (ˆΩ d ) k (ˆΩ d ) T Ψ = KΨ ω d k (ˆΩ d ) k (ˆΩ d ) T χ = Kχ avec : K ij = d ω d k i (ˆΩ d ) k j (ˆΩ d ) (3.38) On remarquera que cette dernière peut être interprétée comme étant l application de la formule de quadrature S n dans le calcul de l intégrale suivant : 4π dω k i (ˆΩ) k j (ˆΩ) = δ ij (3.39) On a donc bon espoir de trouver K = I, grâce au fait que les formules de quadrature sont généralement construites pour intégrer exactement les polynômes de Legendre d un certain ordre. 6 On soulignera le fait que, pour que l on puisse arriver à ce résultat, nous avons implicitement fait l hypothèse que la formule de quadrature est symétrique par rapport à l origine. Il faut pour cela que : (ˆΩ d, ω d ) Q Sn ( ˆΩ d, ω d ) Q Sn. Ceci est une requête très raisonnable, que l on observe dans quasiment toutes les formules de quadrature. On trouvera cependant en littérature des quadratures adaptées à des problèmes spéciaux (traitement de faisceaux de particules) [58]. 84

94 3.4. COUPLAGE ANGULAIRE VNM IDT Afin de quantifier les erreurs commises par cette double projection avec retour à l espace de départ, nous avons évalué la matrice d erreur : ε ij = K ij I = d ω d k i (ˆΩ d ) k j (ˆΩ d ) dω k i (ˆΩ) k j (ˆΩ) 4π pour trois formules de quadrature différentes (Level Symetric, formule produit de type Gauss-Legendre et formule produit de type Bickley-Naylor). Cela nous permet de donner un critère d équivalence (au sens du couplage) entre une représentation de type S n et une représentation de type P n, et, au final, de mieux préciser le sens de la limitation introduite sur le nombre de moments angulaires dans la section "Couplage angulaire S n P m ". Nous donnons une représentation visuelle de ε ij, en fonction du nombre de directions ou, pour être plus précis, du nombre de niveaux azimutaux dans le cas des quadratures produit. Voir les figures , à ce propos. Tout d abord, puisque la matrice d erreur est symétrique, nous n en visualisons que la moitié. De plus, pour une lecture simplifiée, nous notons les lignes et colonnes de la matrice par les harmoniques sphériques correspondantes. Exemple : (i, j) (k i, k j ). Les carrés en vert clair représentent une erreur nulle, des couleurs plus foncées, des erreurs élevées. A ce propos, on remarquera que, pour qu un moment angulaire soit exactement conservé, il faudra que l erreur soit nulle sur toute la ligne horizontale le concernant. Regardons de plus près les trois tableaux de figures. Le premier (figure 3.7) se réfère à la formule de quadrature que nous utilisons dans IDT (Level Symetric). La figure en haut/gauche concerne la formule de quadrature S 2. On remarque immédiatement que seule la première ligne relative au moment d ordre plus bas (Y 10 ) répond au critère d erreur nulle. On peut affirmer que le couplage P 1 S 2 P 1 est correctement traité. La deuxième figure en haut représente le couplage P m S 4 P m. Dans ce cas, on note une certaine amélioration du couplage, par rapport au cas précédent. Bien qu il ne soit pas encore parfait, le couplage P 3 S 4 devient acceptable et de surcroît, celui SP 3 S 4. De plus, avec une quadrature de type S 6 (troisième figure) on a une intégration exacte des moments jusqu à l ordre P 3. Enfin, dans les trois figures du bas, basées sur S 8, S 10 et S 12, les formules de quadratures sont suffisamment riches pour prendre en compte les moments angulaires d ordre plus élevé (P 5 ). Les figures suivantes, (figure ) présentent la matrice d erreur pour deux quadratures produit (utilisées par la méthode TDT). Par rapport à une formule de type Level Symetric, ces dernières semblent moins efficaces du point de vue du couplage. On remarquera, par exemple, que les quadratures à un seul niveau (N µ = 1) n arrivent pas à intégrer le moment d ordre le plus bas (P 1 ). Ce résultat est en accord avec l analyse des formules de quadrature que l on peut trouver dans [54]. Par ailleurs, le couplage avec une formule de quadrature type Gauss-Legendre (GL) est meilleur que le couplage obtenu sur des quadratures type Bickley (BK). Cela est mis en évidence surtout à ordre élevé (N µ = 4, 5, 6) où l on voit que la quadrature BK présente toujours une erreur non nulle, tandis que la quadrature GL intègre exactement (3.39). C est la raison principale pour laquelle nous avons décidé d utiliser essentiellement des formules produit GL, pour lesquelles le choix des noeuds est basé sur les polynômes de Legendre. Le comportement des trois formules de quadrature face au couplage avec la méthode variationnelle nodale est résumé dans le tableau

95 CHAPITRE 3. OPÉRATEURS DE COUPLAGE ANGULAIRE Couplage P 1 SP 3 P 3 SP 5 P 5 Level Symmetric S 2 (FIG. 3.1a) S 4 S 6 S 8 S 10 S 12 Gauss-Legendre N µ = 1 (FIG. 3.1b) Bickley-Naylor N µ = 1 (FIG. 3.1c) TAB. 3.1 Ordre de couplage S n P m maximal en fonction des formules de quadrature Réversibilité S n P m Nous nous intéressons maintenant à la réversibilité au sens S n P m S n et à la forme de l opérateur A Pm S n A Sn P m. Si l on introduit la (3.28) dans (3.34) on obtient : ψ d = 1 ˆΩ d ˆn k (ˆΩ d ) T d ω d (ˆΩ d ˆn) ψ d k (ˆΩ d ) + k (ˆΩ d ) T d ω d ψ d k (ˆΩ d ) Contrairement à ce que l on peut montrer pour le cas précédent, il n est pas possible de pousser l analyse à un niveau comparable ou d exprimer des conditions d équivalence entre les deux représentation angulaires. On observe d ailleurs que chaque flux angulaire ψ d reçoit une contribution de toutes les autres directions, du fait que la représentations intermédiaire P n est calculée de façon intégrale sur toute les directions de la sphère S 2. 86

96 COUPLAGE ANGULAIRE VNM IDT S 2 Level Symetric quadrature formula S 4 Level Symetric quadrature formula S 6 Level Symetric quadrature formula Y 10 Y 10 Y 10 Y Y Y Y 31 Y 31 Y 31 Y Y Y Y 54 Y 54 Y Y 53 Y 53 Y 53 Y 52 Y 52 Y Y 51 Y 51 Y 51 Y 50 Y 50 Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y S 8 Level Symetric quadrature formula S 10 Level Symetric quadrature formula S 12 Level Symetric quadrature formula Y 10 Y 10 Y 10 Y Y Y Y 31 Y 31 Y 31 Y Y Y Y 54 Y 54 Y Y 53 Y 53 Y 53 Y 52 Y 52 Y Y Y Y 51 Y 50 Y 50 Y Y 10 Y 32 Y 31 Y 30 Y 54 Y 53 Y 52 Y 51 Y 50 Y 10 Y 32 Y 31 Y 30 Y 54 Y 53 Y 52 Y 51 Y 50 Y 10 Y 32 Y 31 Y 30 Y 54 Y 53 Y 52 Y 51 Y 50 FIG. 3.7 Réversibilité du couplage angulaire Pn Sn (Level Symetric) 0 87

97 0 CHAPITRE 3. OPÉRATEURS DE COUPLAGE ANGULAIRE Product formula: 10 phi angles, Gauss Legendre Product formula: 10 phi angles, Gauss Legendre Product formula: 10 phi angles, Gauss Legendre Y 10 Number of polar angles : 1 Y 10 Number of polar angles : 2 Y 10 Number of polar angles : 3 Y Y Y Y 31 Y 31 Y 31 Y Y Y Y 54 Y 54 Y Y 53 Y 53 Y 53 Y 52 Y 52 Y Y 51 Y 51 Y 51 Y 50 Y 50 Y Y Y Y Y Y 54 Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Product formula: 10 phi angles, Gauss Legendre Product formula: 10 phi angles, Gauss Legendre Product formula: 10 phi angles, Gauss Legendre Y 10 Number of polar angles : 4 Y 10 Number of polar angles : 5 Y 10 Number of polar angles : 6 Y Y Y Y 31 Y 31 Y 31 Y Y Y Y 54 Y 54 Y Y 53 Y 53 Y 53 Y 52 Y 52 Y Y Y Y Y 50 Y 50 Y Y Y 10 Y 32 Y 31 Y Y 53 Y 52 Y 51 Y 50 Y Y 10 Y 32 Y 31 Y Y 53 Y 52 Y 51 Y 50 Y Y 10 Y 32 Y 31 Y Y 53 Y 52 Y 51 Y 50 FIG. 3.8 Réversibilité du couplage angulaire Pn Sn (Formule Produit type Gauss-Legendre) 0 88

98 COUPLAGE ANGULAIRE VNM IDT Product formula: 10 phi angles, Bickley Product formula: 10 phi angles, Bickley Product formula: 10 phi angles, Bickley Y 10 Number of polar angles : 1 Y 10 Number of polar angles : 2 Y 10 Number of polar angles : 3 Y Y Y Y 31 Y 31 Y 31 Y Y Y Y 54 Y 54 Y Y 53 Y 53 Y 53 Y 52 Y 52 Y Y 51 Y 51 Y 51 Y 50 Y 50 Y Y Y Y Y Y 54 Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Product formula: 10 phi angles, Bickley Product formula: 10 phi angles, Bickley Product formula: 10 phi angles, Bickley Y 10 Number of polar angles : 4 Y 10 Number of polar angles : 5 Y 10 Number of polar angles : 6 Y Y Y Y 31 Y 31 Y 31 Y Y Y Y 54 Y 54 Y Y 53 Y 53 Y 53 Y 52 Y 52 Y Y Y Y Y 50 Y 50 Y Y Y 10 Y 32 Y 31 Y Y 53 Y 52 Y 51 Y 50 Y Y 10 Y 32 Y 31 Y Y 53 Y 52 Y 51 Y 50 Y Y 10 Y 32 Y 31 Y Y 53 Y 52 Y 51 Y 50 FIG. 3.9 Réversibilité du couplage angulaire Pn Sn (Formule Produit type Bickley-Naylor) 0 89

99 CHAPITRE 3. OPÉRATEURS DE COUPLAGE ANGULAIRE 3.5 Validation numérique La dernière partie du chapitre est consacrée à la validation du couplage angulaire à l aide de deux problèmes modèles différents. Ici, nous présentons quelques résultats de couplage, obtenus sur des cas-test représentatifs des conditions dans lesquelles on s attend à pouvoir employer notre méthode de décomposition de domaine. Afin de se concentrer sur l aspect angulaire du couplage, on veillera à avoir la même discrétisation spatiale à l interface entre sous-domaines (maillages coïncidents et même ordre de développement spatial) pour tous les tests numériques que nous présentons dans ce chapitre. Une partie de ces résultats ont servi de base pour une publication présentée lors de la conférence Supercomputing for Nuclear Application (Paris, 2003) [59] Un problème modèle de type : "Milieu infini hétérogène" Le premier problème analysé est un problème à valeur propre qui représente une succession périodique infinie de deux matériaux (combustible et modérateur) juxtaposés les uns derrière les autres. Du fait de la symétrie en x=0 et x=24, le domaine de calcul (x, y) [0, 24] 2 se réduit à un domaine monodimensionnel où la solution du problème ne dépend plus que de la variable x. Nous en donnons un aperçu en figure Les sections efficaces, à deux groupes d énergie, proviennent de la référence [53]. Elles sont données au tableau 3.2. Test1 (Réflexion spéculaire sur les quatre côtés) Solution de référence (IDT-S 8 ) Fast Flux Coeur Réflecteur Thermal Flux x (dimensions en cm, voir tab. 3.2 pour les sections efficaces) FIG Test1 : un problème à valeur propre de type "milieu infini hétérogène" Puisqu il s agit d un problème à géométrie monodimensionnel, l équation du transport en est grandement simplifiée. Dans ce cas, la représentation du flux angulaire devient : ψ( r, ˆΩ) ψ(x, µ) avec µ= ˆΩ ê x Pour s en convaincre, il suffit de remarquer que, à cause de la nature du problème (invariant par rotation autour de l axe x), le flux angulaire doit forcement être le même pour toutes les directions appartenant au 90

100 3.5. VALIDATION NUMÉRIQUE σ g (νσ f ) g χ g σ 1 g σ 2 g Coeur g= E E E E E+00 g= E E E E E 01 Reflecteur g= E E E E E+00 g= E E E E E+00 TAB. 3.2 Sections efficaces pour le problème modèle Test1 cône d ouverture θ = arccos(µ), orienté selon l axe x. Par ailleurs, l invariance par translation dans le plan yz nous assure que la solution ne dépendra plus spatialement que de la coordonnée x. Dans ce cas, il a été démontré que la discrétisation angulaire de l équation du transport (continue en espace) par le développement en polynômes de Legendre d ordre 2n 1 est équivalente à celle obtenue par une méthode aux ordonnées discrètes d ordre S 2n [55]. Ces prévisions théoriques sont d ailleurs bien respectées par les résultats obtenus numériquement à l aide des deux méthodes angulaires dont nous disposions. Nous pouvons voir au tableau 3.3 le bon accord obtenu entre la méthode aux ordonnées discrètes (IDT) et la méthode variationnelle nodale (VNM). Bien entendu, dans l objectif d effectuer une comparaison au niveau des discrétisations angulaires seulement, nous avons veillé à ce que les maillages spatiaux soient suffisamment raffinés pour nous assurer une bonne convergence spatiale 7. IDT k eff k eff (pcm) S S S S VNM k eff k eff (pcm) P P P TAB. 3.3 Valeur du k eff en fonction du type et ordre de développement angulaire Dans le tableau 3.3 le terme de référence pour la détermination de l erreur est assuré par le calcul d ordre plus élevé, parmi ceux disponibles. Dans ce cas, il s agit du k eff obtenu par la modélisation S 8. Enfin, nous pouvons remarquer qu il y a un écart extrêmement élevé entre les modélisations d ordre le plus bas (S 2, P 1 ) et la référence, d environ 1400 pcm, alors que à l ordre supérieur (S 4, P 3 ) l écart est beaucoup plus réduit (moins de 40 pcm). Application de la méthode de couplage Afin de pouvoir appliquer la méthode de décomposition de domaine, nous définissons une partition du domaine de calcul D en deux sousdomaines non-recouvrant D 1 et D 2 tels que D 1 D 2 = D 1 D 2 =Γ et D D 1 D 2. Pour la suite de notre étude, nous considérerons trois partitions distinctes, en fonction du positionnement de l interface de couplage : x = 8, 12, 16 (voir figure 3.11). Cela nous permet d avoir trois situations différentes : un premier cas où l interface de couplage est positionnée dans le combustible, un deuxième où chaque milieu est traité par une méthode différente et un troisième cas où l interface de couplage est assez 7 Et, de ce fait, nous assurer que l on est bien dans le cadre de l équivalence cité plus haut valable pour l équation du transport continue en espace. 91

101 CHAPITRE 3. OPÉRATEURS DE COUPLAGE ANGULAIRE loin de l interface physique entre combustible et modérateur. L analyse de ces trois situations nous permettra d estimer l effet du changement de modélisation en fonction de la position de l interface de couplage dans le domaine de calcul FIG Décomposition de domaine pour le problème Test1. Interface de couplage à x=8, 12, 16 cm Bien entendu, dans tous les calculs effectués, nous avons employé le même maillage de calcul, constitué par des mailles régulières carrées de taille h=1 cm. Choix de la solution de référence Dans un premier temps, nous nous proposons d étudier principalement le couplage entre la méthode aux ordonnées discrètes et la méthode variationnelle nodale, qui constitue à lui seul un des éléments de nouveauté de ce travail. Nous présenterons dans la suite du chapitre la validation des autres types de couplage (S n S n et P n P n ). On retiendra, en fonction du sous-domaine de calcul, les méthodes de résolution suivantes : sous-domaine D 1 méthode VNM (P n ) n=1, 3, 5 sous-domaine D 2 méthode IDT (S n ) n=2, 4, 8 De ce fait, neuf calculs couplés P n S n ont été considérés. S agissant d un problème à valeur propre, l analyse des résultats a été faite sur la base du coefficient de multiplication effective (k eff ) et du flux multigroupe. Afin de porter un jugement sur ces résultats, il est donc nécessaire de choisir une solution de référence avec laquelle comparer les solutions obtenues par la méthode de décomposition de domaine. Traditionnellement, il est d usage de prendre comme terme de référence une solution obtenue avec une discrétisation d ordre très élevé. Dans notre cas, ce serait donc la solution obtenue par la discrétisation S 8 (cfr. table 3.3). Cependant, puisque notre objectif est d évaluer le couplage entre méthodes angulaires différentes, il nous semble plus judicieux de choisir comme référence pour le calcul couplé une solution obtenue par une discrétisation angulaire d ordre comparable. 8 Enfin, puisque le calcul couplé comporte deux modélisations, il nous reste un dernier point à résoudre, c est-à-dire laquelle parmi les deux modélisations doit être choisie pour devenir la référence du calcul couplé. A la lumière de la nature du problème Test 1 et du découpage en sous-domaines choisi, il nous 8 Imaginons de vouloir évaluer un calcul couplé P 1 S 2. Dans ce cas, il est évident qu il n y aurait aucun intérêt à prendre comme référence un calcul S 8. 92

102 3.5. VALIDATION NUMÉRIQUE a semblé raisonnable de privilégier la modélisation employée dans le sous-domaine D 1, puisque c est la région qui contient (majoritairement) le combustible et qui contribue le plus à la génération des neutrons. C est donc le choix que nous allons faire (bien que cela revienne à avoir plusieurs solutions de référence pour le même problème). Bien évidemment, d autres choix sont possibles, mais il nous semble que celui-ci est un bon choix puisqu il permet de n évaluer que l action du couplage angulaire en filtrant la composante d erreur due à une différence de modélisation. Plus concrètement, si P m S n représente un calcul couplé générique, on aura, pour référence, la solution d un calcul "tout" P m : Calcul couplé Référence P 1 S n P 1 P 3 S n P 3 P 5 S n P 5 Présentation des résultats Une fois le choix du terme de référence effectué, nous pouvons présenter les résultats du couplage P m S n, dans les neuf configurations m=1, 3, 5, n=2, 4, 8, ainsi que pour les trois découpages présentés en figure Nous donnons aux tableaux 3.4 les valeurs du k eff ainsi que les écarts calculés par rapport à la référence. Par ailleurs, nous avons rassemblé aux tableaux 3.5 deux indices pour les erreurs relatifs sur les flux : 1) la plage de variation : min g 2) la moyenne intégrale : max g min { x 1 24 err g (x) max g 24 } err g (x) dx 0 max x err g (x) Avec la définition : err g (x) φg (x) φ g ref (x) φ g ref (x) Enfin, nous donnons ces mêmes erreurs dans différents graphiques que l on trouvera aux figures 3.12, 3.13, 3.14 (pages 96 98) et qui permettent de se faire une idée sur l allure spatiale de l erreur pour les différentes discrétisations et en fonction de la position de l interface de calcul. Pour l erreur relative nous avons la notation suivante : une étoile bleue pour le flux rapide ( ), un circle vert pour le flux thermique ( ). Analyse des résultats Tout d abord, analysons les tableaux 3.4. Indépendamment de la position de l interface de couplage, nous observons essentiellement deux comportements : d une part, une bonne prédiction du k eff pour ce qui concerne les couplages P 1 S 2 et de type P m S n avec m=3, 5, n=4, 8. D autre part, nous constatons une mauvaise capacité de prédiction pour les résultats obtenus par le couplage P 1 S n avec n = 4, 8 ou P m S 2 avec m = 3, 5. Les écarts sur le k eff sont importants même s ils restent (à une exception près) inférieurs à 1400 pcm, qui représente l écart entre les calculs d ordre plus bas (P 1 ou S 2 ) et ceux d ordre plus élevé. 93

103 CHAPITRE 3. OPÉRATEURS DE COUPLAGE ANGULAIRE k eff S 2 S 4 S 8 P P P k eff S 2 S 4 S 8 P P P Interface en x=8 cm Interface en x=12 cm Interface en x=16 cm k eff S 2 S 4 S 8 P P P k eff S 2 S 4 S 8 P P P k eff S 2 S 4 S 8 P P P k eff S 2 S 4 S 8 P P P TAB. 3.4 Probleme Test1 : k eff et k eff (pcm) par des calculs couplés VNM/IDT Cela n est pas surprenant puisque, dans le premier cas, nous nous trouvons dans une situation proche de l équivalence P 2n 1 S 2n, que nous avons évoquée au début de cette section. Pour le deuxième cas, il est plus difficile de justifier un tel comportement. On peux cependant donner une explication, en évoquant la complexité (conceptuelle) de comparaison d un calcul couplé constitué par deux modélisations très différentes entre elles. En effet, nous sommes en train de comparer un couplage transport-diffusion 9 avec une solution de type diffusive, alors que l effet de transport à été évalué à 1400 pcm (voir TAB. 3.3). Enfin, pour ce qui concerne la position de l interface, il est difficile de déceler une tendance claire. Toutefois, nous pouvons noter une détérioration des résultats dans le deuxième cas (interface à x = 12), où celle-ci coïncide avec l interface de séparation combustible-modérateur. Ces tendances sont confirmées par les données concernant l erreur sur le flux, que nous avons synthétisées dans les tableaux 3.5. Nous pouvons observer comme les écarts sur le flux présentent un comportement très similaire par rapport aux écarts sur la valeur propre. Une fois de plus, nous avons donc de très bons résultats pour les couplages de type P 2n 1 S 2n, avec un erreur moyenne limitée à environ 0.1% sur la diagonale du tableau, qui remonte à environ 0.8%, si l on considère deux cas hors-diagonale supplémentaires P 5 S 4 et P 3 S 8. Par contre, sur les couplages restant l erreur est très élevée. Il est d ailleurs intéressant de visualiser la dépendance spatiale de l erreur (figures ) puisque cela va nous permettre d identifier clairement l effet de l opérateur de couplage, qui induit des erreurs exclusivement près de l interface de couplage, de l effet du changement de modélisation qui agit sur tout le sous-domaine de calcul. Plus particulièrement, on peut observer l effet du changement de modélisation sur les calculs couplés P 1 S n avec n=4, 8 ou P m S 2 avec m=3, 5 Nous pouvons aussi remarquer que le maximum de l erreur se situe très souvent à l intérieur du réflecteur, près de l interface avec le combustible. Cela est particulièrement visible dans les calculs couplés 9 On peut monter, pour ce problème, que les modélisations P 1 ou S 2 conduisent a une équation de diffusion classique. 94

104 3.5. VALIDATION NUMÉRIQUE Interface en x=8 cm err φ S 2 S 4 S 8 P P P Interface en x=12 cm err φ S 2 S 4 S 8 P P P Interface en x=16 cm err φ S 2 S 4 S 8 P P P err φ S 2 S 4 S 8 P P P err φ S 2 S 4 S 8 P P P err φ S 2 S 4 S 8 P P P TAB. 3.5 Problème Test1 : Erreur relatif sur le flux -- Plage de variation et valeur moyen (en %) P 1 S n avec n=4, 8 ou P m S 2 avec m=3, 5, ce qui explique les écarts importants du point de vue de la réactivité. Il est aussi intéressant de noter que la forme de l erreur dans les calculs couplés P 1 S n avec n=4, 8 est, à peu près, inversée par rapport à celle des calculs P m S 2 avec m=3, 5. Si dans le premier cas, c est une sous-estimation du pic thermique que l on remarque, dans le deuxième cas on constate une surestimation. Cette dualité de comportement, confirme le fait que c est bien un effet du changement de modélisation que l on observe. Enfin, pour ce qui concerne la position de l interface, les valeurs concernant le flux permettent de trancher un peu plus clairement sur l influence de ce paramètre. Globalement, les résultats les moins bons sont liés au cas où l interface coïncide avec la séparation combustible-modérateur (x = 12), suivis par le cas où le couplage est fait à l intérieur du combustible (x = 8). Enfin, avec le troisième cas (x = 16) on constate une nette amélioration de la solution. En définitive, l analyse présentée dans cette section confirme la viabilité du couplage P n S n et son intérêt dans des configurations raisonnables. Plus précisément, il conviendra d employer des modélisations angulaires pas trop éloignées, le problème modèle choisi étant particulièrement sensible aux effets de transport. Cependant, un certain nombre de points restent ouverts, et il se doit de considérer avec attention le positionnement de l interface de couplage. 95

105 CHAPITRE 3. OPÉRATEURS DE COUPLAGE ANGULAIRE 1 x 10 3 Relative Error (P 1 S 2 ) x 0.12 Relative Error (P 3 S 2 ) x 0.12 Relative Error (P 5 S 2 ) x 0.04 Relative Error (P 1 S 4 ) x 4 x 10 3 Relative Error (P 3 S 4 ) x 0.02 Relative Error (P 5 S 4 ) x 0.06 Relative Error (P 1 S 8 ) x Relative Error (P 3 S 8 ) x 2 x 10 3 Relative Error (P 5 S 8 ) x FIG Probleme Test1. Erreur relatif sur le flux. Interface de couplage en x=8 cm 96

106 3.5. VALIDATION NUMÉRIQUE 0.5 x 10 3 Relative Error (P 1 S 2 ) x 0.2 Relative Error (P 3 S 2 ) x 0.16 Relative Error (P 5 S 2 ) x 0.06 Relative Error (P 1 S 4 ) x 3 x 10 3 Relative Error (P 3 S 4 ) x Relative Error (P 5 S 4 ) x 0.06 Relative Error (P 1 S 8 ) x Relative Error (P 3 S 8 ) x 3 x 10 3 Relative Error (P 5 S 8 ) x FIG Problème Test1. Erreur relatif sur le flux. Interface de couplage en x=12 cm 97

107 CHAPITRE 3. OPÉRATEURS DE COUPLAGE ANGULAIRE 1 x 10 4 Relative Error (P 1 S 2 ) group 1 group x 0.02 Relative Error (P 3 S 2 ) group 1 group x Relative Error (P 5 S 2 ) group 1 group x 0.04 Relative Error (P 1 S 4 ) group 1 group x 0.5 x 10 3 Relative Error (P 3 S 4 ) group 1 group x 1 x 10 3 Relative Error (P 5 S 4 ) 0 group 1 group x Relative Error (P 1 S 8 ) group 1 group x 2 x 10 3 Relative Error (P 3 S 8 ) 1.5 group 1 group x 2 x 10 4 Relative Error (P 5 S 8 ) 1 group 1 group x FIG Problème Test1. Erreur relatif sur le flux. Interface de couplage en x=16 cm 98

108 3.5. VALIDATION NUMÉRIQUE Un problème modèle en deux dimensions : Test2 Nous terminons le chapitre en présentant des calculs couplés sur un problème modèle très orienté vers le type d application idéale pour l utilisation d une méthode de décomposition de domaine multi-méthodes. Il s agit d un benchmark en deux dimensions, constitué par une zone de combustible très hétérogène (plusieurs zones d absorbants sont présentes) et une zone de réflecteur. Dans sa simplicité, ce problème a été conçu comme étant constitué par deux zones au comportement neutronique profondément différent : d un coté une région hétérogène où le flux neutronique est sujet à des variations spatiales et angulaires très importantes, de l autre, une région très homogène, où le flux ne subit pas de variation brutale et décroît de façon régulière. Dans cette dernière zone, on ne doit pas être très loin du régime diffusif de milieu infini homogène. Il s agit donc d un problème pouvant être traité par deux méthodes neutroniques d ordre différent, idéalement, dans le cadre d une méthode de décomposition de domaine. On peut d ailleurs s en convaincre en observant la solution du problème (Figure 3.15). Conditions limites : Reflection, Vide R Solution de référence (IDT-S 12, maillage : 24 12) R V R Sections efficaces (1 groupe, scattering P 0 ) FIG Description du benchmark Test2 (à gauche) et solution de référence (à droite) Application de la méthode de couplage Afin de pouvoir appliquer la méthode de décomposition de domaine, nous définissons une partition du domaine de calcul D en deux sous-domaines non-recouvrants D 1 et D 2 tels que D D 1 D 2 et D 1 D 2 = D 1 D 2 =Γ. Pour la suite de notre étude, nous considérerons deux découpages différents, selon la position de l interface de couplage : x=8 ou x=12 (voir figure 3.16). Ces deux types de découpage nous permettrons d analyser deux situations différentes : un premier cas où l interface de couplage se situe à la frontière entre combustible et modérateur, un dernier cas où l interface de couplage est relativement loin de l interface physique entre la coeur et modérateur. 99

109 CHAPITRE 3. OPÉRATEURS DE COUPLAGE ANGULAIRE Interface en x=8 cm Interface en x=12 cm FIG Décomposition de domaine pour le problème Test2. Interface de couplage à x=8, 12 cm A l aide de ces deux configurations, nous nous proposons d étudier les quatre types de couplage possibles entre la méthode aux ordonnées discrètes et la méthode variationnelle nodale : 1. P n P m sous-domaine D 1 méthode VNM (P n, SP n ) n=1, 3, 5 sous-domaine D 2 méthode VNM (P m, SP m ) m=1, 3, 5 2. S n S m sous-domaine D 1 méthode IDT (S n ) n=2, 4, 6, 8, 12 sous-domaine D 2 méthode IDT (S m ) m=2, 4, 6, 8, P n S m sous-domaine D 1 méthode VNM (P n, SP n ) n=1, 3, 5 sous-domaine D 2 méthode IDT (S m ) m=2, 4, 6, 8, S n P m sous-domaine D 1 méthode IDT (S n ) n=2, 4, 6, 8, 12 sous-domaine D 2 méthode VNM (P m, SP m ) m=1, 3, 5 Bien entendu, puisque notre objectif est la validation du couplage angulaire, nous avons employé, à l interface entre sous-domaines, des maillages spatiaux coïncidents avec le même ordre de développement (linéaire par morceaux) pour les deux méthodes de calcul (IDT et VNM). Dans tous les calculs effectués, le maillage de calcul était constitué par des mailles régulières carrées de taille h=1 cm (voir figure 3.15). Choix de la discrétisation de référence A la lumière des considérations développées pour le problème Test 1, il nous a semblé judicieux d adopter les mêmes critères pour la détermination de solution de référence. Plus concrètement, si M i (avec i = 1, 2) représente une méthode de résolution générique pour le sousdomaine D i, on définira la référence d un calcul couplé M 1 M 2 par la solution obtenue par un calcul complet M 1 sur tout le domaine de calcul D. Calcul couplé Référence M 1 M 2 M 1 En effet, vu le découpage en sous-domaines que nous avons choisi (figure 3.16) et la nature du problème que nous traitons il paraît raisonnable de privilégier la modélisation employée dans le sous-domaine D 1, puisque c est la région qui contient le combustible et qui contribue majoritairement au bilan global. 100

110 3.5. VALIDATION NUMÉRIQUE Présentation des résultats Une fois le choix du terme de référence effectué, nous pouvons présenter les résultats pour chaque type de couplage (P m P n, S m S n, P m S n, S m S n ) et pour les deux découpages présentés en figure Afin de prendre en compte tous les couplages qui sont rendus possibles par les deux méthodes de résolution dont nous disposons, nous ferons appel aux discrétisations S 2, S 4, S 6, S 8, S 2 pour la méthode IDT, et P 1, SP 3, P 3, SP 5, P 5 pour la méthode VNM. S agissant d un problème à valeur propre, l analyse des résultats a été faite sur la base du coefficient de multiplication effective (k eff ) et du flux scalaire. Par ailleurs, il a été nécessaire de définir une normalisation pour le flux scalaire. Vue la forme de la solution et le choix du terme de référence, nous avons convenu de normaliser toutes les solutions par la valeur : f = max x,y max x,y φ ref (x, y) φ(x, y) Pour chaque type de couplage et pour chacune des deux configurations en figure 3.16 nous présentons deux tableaux : un premier contenant les valeurs du k eff ainsi que les écarts calculés par rapport à la référence et un deuxième tableau rassemblant l erreur maximum défini par : err max = max max x 24 y φ(x, y) φ ref (x, y) φ ref (x, y) On remarquera que cette définition ne prend volontairement pas en compte l erreur en x=24 cm et cela pour éviter de comptabiliser des contributions parasites dues au fait que le flux de référence est très proche de zéro et que des petites erreurs pourraient générer une erreur relative très grande. Enfin, dans l objectif d évaluer les résultats, nous nous donnons un critère d acceptation (permettant d exclure des valeurs manifestement trop imprécis) : erreur sur la réactivité 100 pcm ou erreur sur le flux 5% De ce fait, pour ce qui concerne les tableaux de résultats, nous ferons appelle à la notation suivante : les chiffres en rouge dénotent des valeurs en dehors du niveau d acceptation que l on vient de définir les chiffres en jaune dénotent des valeurs acceptables (erreur maximum 5%) les chiffres en noire dénotent des très bons résultats (erreur maximum 2.5%) les chiffres en bleu indiquent l erreur la plus élevée parmi les valeurs acceptables a Analyse des résultats. Couplage P n P m Nous analysons le comportement de la méthode de couplage dans le cas d une discrétisation mixte P n P m. Les résultats se trouvent page 102. Premièrement, nous remarquerons que les éléments se trouvant sur la diagonale du tableau présentent une erreur nulle. Cela est du au fait que l on a choisi comme référence pour les calcul couplés P n P m la solution obtenue par un calcul P n. Accessoirement, cela nous indique que le processus de convergence est 101

111 CHAPITRE 3. OPÉRATEURS DE COUPLAGE ANGULAIRE Left Side k eff Right Side err k ( 10 5 ) P 1 SP 3 P 3 SP 5 P P SP P SP P Left Side err max ( 10 2 ) Right Side P 1 SP 3 P 3 SP 5 P 5 P SP P SP P TAB. 3.6 Problème Test2. Couplage P n P n. Interface en x=8 cm Left Side k eff Right Side err k ( 10 5 ) P 1 SP 3 P 3 SP 5 P P SP P SP P Left Side err max ( 10 2 ) Right Side P 1 SP 3 P 3 SP 5 P 5 P SP P SP P TAB. 3.7 Problème Test2. Couplage P n P n. Interface en x=12 cm 102

112 3.5. VALIDATION NUMÉRIQUE correct et un calcul couplé entre deux méthodes identiques est équivalent à un calcul unique avec une seule méthode. Considérons maintenant le cas où l interface de couplage se trouve en x=8 (TAB. 3.6). Si l on parcours le tableau du haut, qui contient les valeurs du k eff, on remarquera que les écarts sont extrêmement faibles (inférieur à 45 pcm). Cela ne fait que confirmer que, pour ce type de problème le bilan neutronique dépend essentiellement par la modélisation numérique que l on fait dans le sous-domaine qui contient le combustible (D 1 ). De plus cela nous conforte dans le choix que nous avons fait pour le terme de référence. Analysons maintenant le deuxième tableau, qui nous donne la borne supérieur de l erreur commise sur le flux : pour tous les couplages présentés celui-ci est inférieur à 2.5%. Les erreurs plus élevées sont liées à l utilisation de développements angulaires plutôt éloignés, par exemple P 1 avec P m (m = 3, 5). De plus, nous pouvons observer que les couplages faisant intervenir les développements simplifiés ou d ordre bas (P 1, SP m avec m = 3, 5) produisent les erreurs le plus faibles. Parmi les configurations présentées, particulièrement efficace semble être le couplage de type P 3 SP m ou P 5 SP m, puisque à la lumière des considération précédentes, il nous permet de retrouver une bonne valeur du k eff (méthode de calcul P n d ordre relativement élevé dans le combustible) tout en limitant le niveau de complexité pour le traitement du modérateur. Enfin, pour les couplages en x = 12 cm (TAB. 3.7), on retrouve les mêmes tendances mais avec des écarts encore plus faibles comparés au cas précédent, où le couplage est fait à l interface combustiblemodérateur (x = 8 cm). Dans ce cas nous obtenons une prédiction du k eff à 1 pcm près, c est qui est plutôt remarquable, et des erreurs sur le flux très réduites ( 1%) b Analyse des résultats. Couplage S n S m Nous analysons maintenant le comportement de la méthode de couplage dans le cas d une discrétisation mixte S n S m. Les résultats se trouvent page 104. Puisque nous considérons un couplage avec la même méthode de résolution (IDT) des deux cotés, les éléments se trouvant sur la diagonale du tableau seront toujours caractérisés par une erreur nulle. Pour commencer, fixons notre attention sur le cas où l interface de couplage se trouve en x=8 (TAB. 3.8). A la différence du couplage précédent, où l on avait un comportement plus homogène, ici nous distinguons deux situations au comportement très différentes. Si l on exclut le cas S 2 S 2 pour des raisons évidentes, tous les couplages faisant intervenir la modélisation S 2 présentent des erreurs assez importantes en terme de réactivité ( pcm). Par ailleurs, les autres couplages sont plutôt satisfaisants, l erreur maximum étant de 64 pcm dans le cas du calcul S 12 S 4. Il est toutefois possible de donner une explication globale, puisque ces comportements sont reconductibles à l ordre des quadratures angulaires intervenant dans le couplage. Pour être plus précis, l erreur commise dépend du "degré d éloignement" entre les deux représentations angulaires. En effet, la modélisation S 2 est très éloignée des autres (il suffit de voir les écarts sur le k eff ), tandis que les quadratures d ordre plus élevé ont un comportement plus proches entre elles. IDT k eff k eff (pcm) S S S S S

113 CHAPITRE 3. OPÉRATEURS DE COUPLAGE ANGULAIRE Left Side k eff Right Side err k ( 10 5 ) S 2 S 4 S 6 S 8 S S S S S S Left Side err max ( 10 2 ) Right Side S 2 S 4 S 6 S 8 S 12 S S S S S TAB. 3.8 Problème Test2. Couplage S n S n. Interface en x=8 cm Left Side k eff Right Side err k ( 10 5 ) S 2 S 4 S 6 S 8 S S S S S S Left Side err max ( 10 2 ) Right Side S 2 S 4 S 6 S 8 S 12 S S S S S TAB. 3.9 Problème Test2. Couplage S n S n. Interface en x=12 cm 104

114 3.5. VALIDATION NUMÉRIQUE Un comportement intéressant à remarquer est que la valeur propre du problème couplé ne se situe pas entre les deux valeurs que l on obtiendrait en utilisant séparément les deux méthodes sur le problème globale. Cet effet doit forcement venir de l opérateur de couplage et de la redistribution angulaire des neutrons que celui-ci effectue lors de la transformation à l interface. On retrouve d ailleurs les mêmes tendances dans le deuxième tableau, pour l erreur maximale commise sur le flux. Les erreurs sont élevées pour les couplages faisant intervenir la discrétisation S 2, mais cela est en accord avec les considérations que nous avons énoncées précédemment. Enfin, pour les couplages en x = 12 cm (voir TAB. 3.9), on retrouve les mêmes comportements, mis à part le fait que les écarts sont nettement plus faibles. Dans ce cas la prédiction du k eff est faite à une cinquantaine de pcm près, ce qui devient globalement acceptable, alors que les erreurs sur le flux se réduisent d environ une fois et demie. Toutefois, cette amélioration ne nous permet pas de reconsidérer l utilisation de la modélisation S 2. Finalement, si l on exclu l emploi de la formule de quadrature S 2 (mais cela est loin d être une contrainte majeure, puisque celle-ci n est quasiment jamais utilisée en physique des réacteurs), nous pouvons affirmer que les différents couplages que nous avons présentés dans cette section ont fait preuve d un bon comportement, nous confortant ainsi dans nos choix des opérateurs de couplage c Analyse des résultats. Couplage P n S m Le troisième type de couplage que nous analysons concerne les discrétisations mixtes P n S m. Les résultats se trouvent page 106. Comme d habitude, nous analysons en premier le cas où l interface de couplage se trouve en x = 8 (TAB. 3.6), le cas avec l interface en x=12, étant qualitativement similaire. Si l on regarde le tableau en haut, qui rassemble les valeurs du k eff, on remarquera que les écarts sont globalement acceptables (inférieur à 55 pcm), à l exclusion des couplages faisant intervenir la quadrature d ordre plus bas : SP 3 S 2, P 3 S 2, SP 5 S 2 et P 5 S 2. Pour ces quatre cas, l erreur sur la réactivité s élève à pcm. Cela est sans doute une conséquence de la pauvreté de la formule de quadrature S 2 qui ne nous permet pas d évaluer les moments P n d ordre plus élevé. De plus, l interface de calcul étant positionnée à la frontière entre deux matériaux, il y a des fortes chances que les échanges neutroniques soient mal pris en compte. Pour avoir plus d éléments de comparaison, regardons maintenant le tableau des erreurs sur le flux. Nous constatons que, pour les couplages mentionnés ci-haut, l erreur maximum est toujours très importante. Par ailleurs, on observe une amélioration des résultats pour les couplages avec des formules de quadrature d ordre élevé. Ce comportement est normal, puisque le couplage angulaire P n S m s améliore pour m croissant, en accord avec les propriétés de réversibilité (voir TAB. 3.1). Enfin, pour ce qui concerne le tableau 3.11, qui rassemble les résultats des calculs couplés en x = 12 cm, nous remarquons une très bonne prédiction de la réactivité (erreur inférieure à 15 pcm). De plus, pour la plupart des calculs, les erreurs sur le flux sont très réduites ( 1%) sauf pour les cas faisant intervenir la modélisation S 2 ( 6%). On peut cependant penser que ces erreurs si élevées, ne doivent pas avoir une grande influence sur le bilan global (vu les précisions atteintes sur le k eff ), et doivent probablement être limitées à la zone du réflecteur. Nous pouvons vérifier l allure de la nappe d erreur pour le cas P 5 S 2, les autres couplages P n S 2 étant similaires (voir figure 3.17, page 107). Dans le premier cas, nous observons une surestimation du flux neutronique autour de l interface de combustible-réflecteur, ce qui explique l importante surestimation du k eff, que l on observe au tableau

115 CHAPITRE 3. OPÉRATEURS DE COUPLAGE ANGULAIRE Left Side k eff Right Side err k ( 10 5 ) S 2 S 4 S 6 S 8 S P SP P SP P Left Side err max ( 10 2 ) Right Side S 2 S 4 S 6 S 8 S 12 P SP P SP P TAB Problème Test2. Couplage P n S n. Interface en x=8 cm Left Side k eff Right Side err k ( 10 5 ) S 2 S 4 S 6 S 8 S P SP P SP P Left Side err max ( 10 2 ) Right Side S 2 S 4 S 6 S 8 S 12 P SP P SP P TAB Problème Test2. Couplage P n S n. Interface en x=12 cm 106

116 3.5. VALIDATION NUMÉRIQUE interface x=8 interface x=12 FIG Test2 - Nappe d erreur pour le couplage P 5 S 2 Au contraire, dans la deuxième figure, l allure de la nappe d erreur est beaucoup plus régulière et l erreur dans la zone combustible très réduite ( 2%). En fait, les erreurs élevées sont dues à la condition limite de vide en x=24 cm qui n est pas traitée avec la même précision par la méthode P n ou la méthode S 2. Finalement, si l on exclu l utilisation de la formule de quadrature S 2 (dans le cas du couplage en x = 8 cm, seulement), nous pouvons affirmer que les différents couplages ont fait preuve d un bon comportement, nous confortant ainsi dans les choix fait dans la définition des opérateurs de couplage d Analyse des résultats. Couplage S n P m Le dernier type de couplage que nous analysons concerne les discrétisations mixtes S n P m. Les résultats se trouvent page 108. Tout d abord, on remarquera une forte ressemblance entre le comportement du coupage S n P m et celui du couplage P m S n, présenté dans la section précédente. Cependant, certaines différences existent, essentiellement dans le cas où l interface de couplage se trouve en x=8 (TAB. 3.6). En effet, si l on regarde le tableau contenant les valeurs du k eff, on remarquera que les écarts sont globalement acceptables (au maximum 53 pcm), et cela pour tous les discrétisations employées. C est une première différence par rapport au couplage P m S n où l on avait constaté des écarts importants avec la discrétisation S 2. Regardons maintenant le tableau des erreurs sur le flux. Globalement, les erreurs sont plus bas que dans le cas du couplage P m S n, sauf pour les couplages faisant intervenir la modélisation P 1, où l on constate des valeurs une fois et demie plus élevées. Toutefois, le comportement globale confirme les similitudes entre coupage S n P m et couplage P m S n, les résultats les moins satisfaisants étant, dans les deux cas, ceux faisant intervenir la discrétisation S 2. Enfin, pour ce qui concerne le tableau 3.13, concernant les calculs couplés en x = 12 cm, nous remarquons une très bonne prédiction de la réactivité (erreur 13 pcm, et globalement de l ordre du pcm). De plus, pour la plupart des calculs, les erreurs sur les flux sont sensiblement réduites ( 0.5%) sauf pour les cas faisant intervenir la modélisation P 1 ( 1.3%) ou S 2 (entre 2.5 et 4%). Toutefois, les considérations exprimées dans le cadre du couplage P m S n restent valables et il est raisonnable de penser que, même si ces erreurs ne sont pas négligeables, ils ne doivent pas avoir une grande influence sur le bilan global. 107

117 CHAPITRE 3. OPÉRATEURS DE COUPLAGE ANGULAIRE Left Side k eff Right Side err k ( 10 5 ) P 1 SP 3 P 3 SP 5 P S S S S S Left Side err max ( 10 2 ) Right Side P 1 SP 3 P 3 SP 5 P 5 S S S S S TAB Problème Test2. Couplage S n P n. Interface en x=8 cm Left Side k eff Right Side err k ( 10 5 ) P 1 SP 3 P 3 SP 5 P S S S S S Left Side err max ( 10 2 ) Right Side P 1 SP 3 P 3 SP 5 P 5 S S S S S TAB Problème Test2. Couplage S n P n. Interface en x=12 cm 108

118 3.5. VALIDATION NUMÉRIQUE Afin de montrer que ces erreurs sont en réalité plus faibles dans le combustible et se limitent à la zone du réflecteur, nous allons vérifier l allure de la nappe d erreur pour le cas S 2 P 5, les autres couplage du même type ayant un comportement similaire (voir figure 3.18, page 109). interface x=8 interface x=12 FIG Test2 - Nappe d erreur pour le couplage S 2 P 5 Dans le premier cas, nous observons une modeste sous-estimation du flux neutronique autour de l interface de combustible-réflecteur, ce qui explique la sous-estimation du k eff. Dans la deuxième figure, l allure de la nappe d erreur est beaucoup plus régulière et l erreur dans la zone combustible très réduite ( 1.5%). Pour finir, il est intéressant de noter que les nappes d erreur sont très ressemblantes 10 à celles présentées en figure Cela est du au fait que si l on compare deux solutions proches φ 1 et φ 2, l erreur relatif est, au sigle près, le même : err(φ 1, φ 2 ) φ 1 φ 2 φ 2 err(φ 2, φ 1 ) φ 2 φ 1 φ 1 Globalement, les conclusions sur les calculs couplés S n P m sont assez similaires à celles présentées dans la section précédente. Mise à part les couplages faisant intervenir la discrétisation S 2 (essentiellement pour le couplage en x = 8 cm), on peut affirmer que les couplages mixtes présentés ici ont donné de très bons résultats. 10 Attention à bien remarquer le fait que l axe z a été inversé! 109

119 CHAPITRE 3. OPÉRATEURS DE COUPLAGE ANGULAIRE Conclusion Dans ce chapitre, nous avons présenté et analysé un aspect essentiel de notre méthode de décomposition de domaine, celui du couplage angulaire entre les différentes représentations à l interface entre sousdomaine. Les applications numériques nous ont permis de confirmer le bien-fondé du couplage entre méthodes. D autre part cela nous a emmené à soulever un certain nombre de problématiques : quel terme de comparaison pour un calcul couplé faut-t-il employer pour évaluer efficacement l action du couplage dans une méthode de résolution par décomposition de domaine. Ou encore, est-il possible d affirmer, a priori, laquelle, entre deux solutions M 1 /M 2 et M 3 /M 4 obtenues par la méthode de couplage est la plus précise? Au final, l analyse paramétrique sur un certain nombre de problèmes modèles, a permis de démontrer l intérêt de la résolution par couplage de deux méthodes différentes (au moins du point de vue des capacités de modélisation : prédiction du k eff, évaluation du flux scalaire). Cela nous a permis d envisager l approche "multi-domaine, multi-méthode", comme étant une possibilité concrète pour la résolution de calculs neutroniques. Nous verrons au chapitre 4 une application typique de la physique des réacteurs, pour laquelle on emploiera des maillages non coïncidents ainsi que non structurés. De plus, on s intéressera aux temps de calcul, pour vérifier la "compétitivité" de l approche "multidomaine, multi-méthode", face aux méthodes de calculs classiques qui sont actuellement disponibles. 110

120 Chapitre 4 Démonstration du potentiel de modélisation de la méthode M M M D Dans ce chapitre, le potentiel de la méthode qui a été développée dans cette thèse est démontré à travers différentes approches de modélisation d une même application. Une partie des résultats présentés dans ce chapitre a fait l objet d un article à la conférence PHYSOR en avril 2004 [60]. Le problème choisi est celui de la caractérisation neutronique du coeur du réacteur expérimental Phébus. Ce réacteur se situe sur le centre d études de Cadarache. Le choix de cette application a été motivé, d une part, par la complexité de sa résolution avec les méthodes traditionnelles, et d autre part, car elle se prête naturellement à une modélisation par décomposition de domaine avec raffinement localisé du maillage. En effet, un calcul très fin de l assemblage central, comprenant le dispositif expérimental, est nécessaire, tout en gardant une prédiction satisfaisante du comportement globale du coeur. L utilisation des méthodes de couplage trouve, alors, tout son intérêt grâce à la possibilité de ne traiter qu une partie du problème (typiquement une zone de la taille d un assemblage) en théorie du transport fin et de traiter la partie restante du coeur avec une méthode plus adaptée et moins coûteuse en temps de calcul. La première partie est dédiée à la description du problème neutronique que l on considère. On décrit brièvement le réacteur Phébus et son application pour ensuite définir des problèmes modèles qui sont représentatifs de Phébus et permettent leurs modélisations par les différentes méthodes numériques introduites dans la méthode M M M D. On y décrit aussi le calcul de référence qui a été défini comme étalon numérique ainsi que la méthodologie de comparaison des différentes modélisations envisagées. Ensuite, les principes de modélisation de ces problèmes modèles sont exposés afin de mieux appréhender les choix qui ont été faits pour tirer partie de la méthode M M M D. La troisième partie permettra de mettre en évidence les capacités des modélisations basées sur des maillages cartésiens ainsi que leurs performances. Tout d abord, on abordera la modélisation par décomposition de domaine avec raffinement localisé en espace et en angle avec la méthode de couplage IDT/IDT. Dans un deuxième temps, on présentera le coeur de la méthode M M M D, avec le couplage IDT/VNM, en réalisant une décomposition de domaine avec une méthode numérique par domaine augmentée d un raffinement localisé en espace et en angle. Enfin, la dernière partie du chapitre sera dédiée au couplage entre une méthode n utilisant qu un maillage structuré (VNM) avec une méthode permettant des discrétisations avec des maillages non-structurés (TDT). La démonstration de validité du couplage TDT/VNM sera faite sur le modèle cartésien pour, ensuite, en présenter les capacités sur le modèle mixte non-structuré de Phébus. 111

121 CHAPITRE 4. POTENTIEL DE MODÉLISATION DE LA MÉTHODE M M M D 4.1 Phébus : description, problèmes modèles et étalon numérique Description du réacteur Phébus } {{ } Dispositif expérimental } {{ } Coeur nourricier } {{ } Enveloppe et réflecteur FIG. 4.1 Schéma détaillé d un quart de coeur du réacteur Phebus Phébus est une installation expérimentale dédiée à l étude des accidents graves dans les réacteurs de type REP (Réacteurs à Eau Pressurisée) [61]. Le but du programme expérimental Phebus-FP est l évaluation du terme source radiologique libéré dans l enceinte de confinement du réacteur au cours de la simulation d un accident de refroidissement. Afin d évaluer, le plus précisément possible, la quantité, la forme (gaz, aérosols) et la cinétique du relâchement des produits de fission, il est nécessaire de connaître, tout au long du suivi de la simulation expérimentale, la puissance dégagée par la grappe de combustible qui est amenée à fondre. Le but est, donc, de déterminer avec précision le niveau de réactivité du réacteur, la distribution de puissance fine à l intérieur du dispositif expérimental, ainsi que le coefficient de couplage. Ce dernier est défini comme étant le rapport entre la puissance globale produite par le coeur nourricier et celle produite par les crayons de combustible à l intérieur du dispositif expérimental (voir figure 4.1). Pour ce dernier paramètre, la précision des mesures expérimentales se situe entre 5% et 10%. En conséquence, dans les comparaisons entre les modélisations proposées avec la méthode M M M D et l étalon numérique, le critère de précision que l on retiendra pour ce coefficient de couplage, doit être inférieur à 5%. La précision sur les autres grandeurs neutroniques d intérêts sera précisée lors de la description de l étalon numérique que l on s est donné. Après avoir très brièvement introduit le contexte de notre étude, nous allons décrire deux problèmes 112

122 4.1. PHÉBUS : DESCRIPTION, PROBLÈMES MODÈLES ET ÉTALON NUMÉRIQUE modèles du réacteur Phébus, que nous allons employer par la suite pour démontrer les capacités de modélisation de notre méthode de couplage. Le premier modèle sera basé sur une modélisation complètement cartésienne, adaptée aux solveurs IDT et VNM. Le deuxième problème modèle contiendra des éléments de géométrie non-structurée, pouvant être traités par le solveur TDT Problèmes modèles du réacteur Phébus Modèle 1 : géométrie cartésienne Pour analyser les capacités de modélisation de notre méthode de couplage, nous avons défini un premier problème modèle, en deux dimensions, du réacteur Phébus. Pour permettre sa modélisation par un solveur cartésien, la forme cylindrique de l assemblage central a été modélisée par une succession de segments verticaux et horizontaux. Nous pouvons voir en figure 4.2 la géométrie initiale du réacteur, ainsi que le problème modèle cartésien que nous allons étudier. FIG. 4.2 Géométrie détaillée du réacteur Phébus et problème modèle correspondant Celui-ci est constitué de 13 matériaux homogènes. Ceci constitue une simplification de modélisation par rapport au schéma de référence actuel du réacteur Phébus [62]. En partant de l extérieur nous rencontrons le modérateur, le réflecteur et le caisson. Le coeur nourricier est constitué par deux types de matériaux représentatifs respectivement des assemblages combustibles avec et sans grappe de contrôle. Le huit matériaux restants représentent le dispositif expérimental constitué de l enveloppe (trois matériaux), d une lame d eau, de trois types de crayons combustible et d un crayon absorbant en AIC (un alliage Ag-In-Cd). Les sections efficaces utilisées pour caractériser ces 13 matériaux ont été produites à partir des calculs d assemblage du schéma de référence actuel [63] basé sur le code de réseau APOLLO 2 [8]. Ces sections efficaces ont été condensées et homogénéisées à partir du flux fin représentatif du calcul d assemblage afin d obtenir des sections efficaces à 4 groupes d énergie et une anisotropie de scattering d ordre un. L ensemble de données employées (géométrie du problème, sections efficaces, énergie moyenne par unité de flux) est reporté en annexe B. 113

123 CHAPITRE 4. POTENTIEL DE MODÉLISATION DE LA MÉTHODE M M M D Modèle 2 : géométrie non structurée Pour la définition du modèle non structuré, nous nous sommes largement appuyés sur le modèle précédent en géométrie cartésienne. En effet, les améliorations de représentativité du problème initial qui ont été apportées, concernent l assemblage central et plus particulièrement la grappe d essai. Ici, nous avons essayé de conserver une description géométrique plus réaliste. Pour cela, une description explicite des crayons a été faite sans introduire aucune homogénéisation avec le modérateur qui les entoure. De plus, les trois couches de l enveloppe ont gardé leur géométrie cylindrique. Leurs rayons ont été déterminés de façon à conserver le même volume que dans la description cartésienne du Modèle 1. En ce qui concerne les crayons de combustible, nous nous sommes inspirés des données disponibles [63]. On retrouve en figure 4.3 un rappel de la géométrie initiale du réacteur, ainsi que la géométrie descriptive du modèle 2 dans sa version non-structurée. FIG. 4.3 Géométrie détaillé du réacteur Phébus et problème modèle non-structuré correspondant Entre autre, tous les éléments permettant une comparaison détaillée entre la modélisation cartésienne (FIG. B.1) et celle non-structurée (FIG. B.2) sont reportés en annexe B. Par facilité de mise en oeuvre et pour ne pas multiplier les données du problème, nous avons conservé le même nombre et les mêmes types de milieux homogènes préparés pour le problème modèle cartésien. Les sections efficaces n ont donc pas été recalculées sur le nouveau motif. Il faut préciser que cette démarche n est pas physiquement correcte pour les sections employées pour la grappe car elles proviennent d une procédure d homogénéisation et d équivalence faite pour le cas du problème modèle en géométrie cartésienne. Par contre, les sections efficaces pour le réflecteur, le modérateur, le caisson et le coeur combustible conservent leur validité par rapport au problème modèle cartésien. Cette imperfection physique n a toutefois aucun impact pour notre étude. En effet, celle-ci a pour but principal de tester la méthode de couplage M M M D sur une configuration type de physique des réacteurs et non pas de produire un calcul de référence pour ce problème physique Etalon numérique Les deux problèmes modèles ayant été définis, il nous reste, maintenant, pour juger des performances de la méthode M M M D, à définir un étalon numérique pour avoir une solution de référence à laquelle se 114

124 4.1. PHÉBUS : DESCRIPTION, PROBLÈMES MODÈLES ET ÉTALON NUMÉRIQUE comparer. Il s agit aussi de se donner des critères et une méthodologie de comparaison des résultats obtenus. C est l objet de ce paragraphe. Solution de référence pour le modèle cartésien Afin de pouvoir mesurer les capacités de modélisation de la méthode M M M D, il est nécessaire de se donner un étalon numérique donnant une solution de référence du problème modèle 1. Le choix qui a été fait pour cet étalon numérique est arbitraire mais fondé sur les critères suivants : la solution obtenue doit être suffisamment proche de la "vrai solution", sachant qu aucune solution analytique n existe. La méthode de modélisation doit posséder des propriétés de convergence permettant d assurer le critère ci-dessus. La solution de référence doit pouvoir se comparer à celles qui seront obtenues avec la méthode M M M D. Le temps calcul pour l obtention de cette solution ne doit pas être prohibitif afin de permettre une comparaison non biaisée sur ce critère. Ces critères nous ont conduit à choisir, pour établir l étalon numérique, la méthode des ordonnées discrètes du solveur IDT. En effet, cette méthode possède les critères de convergence en espace et en angle suffisant pour pouvoir établir une solution de référence de notre problème modèle 1. Pour l obtention de cette référence, nous avons recherché les discrétisations spatiale et angulaire convergées. Concernant la discrétisation angulaire, la formule de quadrature qui nous a permis d obtenir une représentation angulaire suffisamment convergée est celle de type S 8. Pour la discrétisation spatiale, nous avons choisi un maillage très proche de celui qui est préconisé pour le schéma de calcul actuel classique, mis à part un raffinement de la grille de discrétisation dans le milieu modérateur, pour que la taille optique des mailles ne soit pas trop élevée en terme de libre parcours moyen. Voir le tableau 4.1 pour plus d informations, ainsi que la figure 4.4 pour un aperçu du maillage de calcul pour l obtention de la solution de référence. Milieu section totales (cm 1 ) Taille Taille optique g=1 g=2 g=3 g=4 (cm) g=1 g=2 g=3 g=4 Modérateur 0, , , , ,000 0,526 1,814 3,011 6,547 Réflecteur 0, , , , ,750 0,508 1,092 1,335 1,478 Caisson 0, , , , ,899 0,332 0,536 0,215 0,259 Combustible 0, , , , ,272 0,328 0,831 1,330 2,375 Comb. Barré 0, , , , ,272 0,307 0,687 1,070 1,891 Perche1 0, , , , ,260 0,248 0,499 0,466 0,747 Perche2 0, , , , ,260 0,278 0,639 0,928 1,242 Perche3 0, , , , ,260 0,308 0,554 0,552 0,562 Eau 0, , , , ,630 0,169 0,481 0,768 1,375 Crayon1 0, , , , ,630 0,165 0,408 0,656 1,170 Crayon2 0, , , , ,630 0,165 0,408 0,653 1,171 Crayon3 0, , , , ,630 0,165 0,407 0,651 1,165 AIC 0, , , , ,630 0,172 0,392 0,699 1,679 TAB. 4.1 Sections efficaces totales, taille géométrique et épaisseur optique du maillage de référence 115

125 CHAPITRE 4. POTENTIEL DE MODÉLISATION DE LA MÉTHODE M M M D FIG. 4.4 Maillage conforme pour le calcul de référence (maillage de référence) Des raffinements supplémentaires (en angle comme en espace) par rapport à la discrétisation de référence n ont pas donné d améliorations sensibles de la solution. Ce choix permet une très bonne prédiction de la réactivité et du flux, avec un temps de calcul raisonnable. De plus, il est représentatif du schéma de calcul Phébus classique, pour lequel aucune méthode de raffinement locale n est disponible. La méthode choisie et la discrétisation associée répond donc aux différents critères que nous nous sommes fixés et permet d obtenir une solution de référence du modèle 1 très adaptée à notre étude d analyse de performances de la méthode de couplage M M M D. Le résultats du calcul de référence, pour le modèle 1, sont : La réactivité : ρ = 6763 pcm ; Le coefficient de couplage : C = 50, 95 ; Le temps de calcul sans accélération : t free = s ; Le temps de calcul avec accélération : t BP A = s ; Le flux par groupe est donné en figure 4.5 ; La puissance est donnée en figure 4.6. Pour la solution du problème multigroupe, la précision demandée sur les itérations externes a été de : 10 5 pour la valeur propre (k eff ) 10 4 sur la source de fission 116

126 4.1. PHÉBUS : DESCRIPTION, PROBLÈMES MODÈLES ET ÉTALON NUMÉRIQUE Groupe 1 Groupe 2 Groupe 3 Groupe 4 FIG. 4.5 Solution de référence du réacteur Phébus. Problème modèle 1. FIG. 4.6 Nappe de puissance pour le réacteur Phébus 117

127 CHAPITRE 4. POTENTIEL DE MODÉLISATION DE LA MÉTHODE M M M D Solution de référence pour le modèle non-structuré Pour le problème modèle non-structuré (Modèle 2), les deux seules méthodes qui nous permettraient d obtenir une solution de référence sont la méthode TDT, que nous avons introduit dans la méthode M M M D, ou une méthode de Monte Carlo. Ces deux méthodes ne nous ont pas permis d obtenir de solution de référence pour le modèle 2. Les raisons sont les suivantes : Concernant TDT, nous n avons pas pu obtenir une solution de référence, à cause des temps de calcul prohibitifs et de problèmes d occupation mémoire. En effet, les quelques tentatives effectuées avec la méthode TDT (voir le tableau 4.2) ne nous ont pas permis d obtenir une solution de référence. Malgré les temps de calculs très élevés ( 7200 s), nous ne sommes pas assuré de la convergence spatiale de la solution obtenue. Nous estimons que pour un calcul de référence, il nous faudrait au moins diviser par deux la taille du maillage le plus fin, parmi ceux proposés au tableau (4.2). Il faut donc compter (dans l hypothèse d une dépendance linéaire des temps de calcul en fonction du nombre de régions), sur des délais encore plus longs ( s 8 heures). De plus, l utilisation d une formule de quadrature d ordre plus élevé pourrait se révéler nécessaire. Enfin, ces calculs ont été faits avec des conditions aux limites approchées (réflexion isotrope au lieu de réflexion spéculaire), dans l objectif de limiter le temps nécessaire au traçage des caractéristiques. Maillage # régions # directions k eff Temps Totale Grappe Coeur N µ N ϕ (s) , , , , TAB. 4.2 Quelques essais de convergence spatiale pour la méthode TDT Pour la Méthode de Monte Carlo, outre le fait que les temps de calcul sont beaucoup plus longs que les méthodes déterministes, le traitement des sections efficaces est fait de façon continue en énergie. D une part, cela nous aurait donné une référence entachée d un biais du aux données d entrée du code. D autre part, la lecture des sections macroscopiques n est pas possible dans la version du code que nous avions à disposition (TRIPOLI 4, [64]). En conséquence, nous avons, dans un premier temps, utilisé le modèle 1 en géométrie cartésienne, pour pouvoir comparer notre modélisation couplée TDT/VNM. Ensuite, nous nous sommes servis du modèle 2 pour démontrer la faisabilité de notre approche et donner une évaluation qualitative des résultats obtenus. Méthodologie de comparaison par rapport à la solution de référence Avant de passer à la discussion des résultats de modélisation obtenus avec notre méthode M M M D, il convient de mieux préciser quelques aspects concernant le post-traitement (normalisation de la solution, estimation de l erreur,...) qui sera utilisé dans la suite. Il faut rappeler que, dans le cas d un problème aux valeurs propres, la solution n est pas unique. Elle est déterminée à un niveau de normalisation près. Comparer deux solutions du même problème, n est donc pas si immédiat que l on pourrait le penser. En effet, deux solutions rigoureusement exactes du problème, mais avec deux niveaux de normalisation légèrement différents présenteraient, à première vue, une erreur 118

128 4.2. PRINCIPE DE MODÉLISATION AVEC LA MÉTHODE M M M D non nulle. Il faut donc se focaliser sur la contribution de l erreur due à la différence de forme et non pas sur celle qui vient de la différence de niveau. Traditionnellement, la normalisation est faite en se basant sur le niveau de puissance du réacteur. Dans le cas de notre problème, une bonne décision serait celle de normaliser toutes les solutions afin d avoir le même taux de fission (ou la même puissance) à l intérieur de la grappe d essai. Dans la pratique, le choix de la normalisation reste ouvert, et nous avons décidé de normaliser toutes les solutions en fonction de la valeur du flux totale au centre du crayon central de la grappe d essai, là où la solution est la moins perturbée par la présence de l interface qui sépare les sous-domaines. On vérifie, a posteriori, que cette normalisation est pratiquement équivalente à celle basée sur le niveau de puissance dans la grappe. L efficacité des modélisations qui seront proposées, sera évaluée sur la capacité à prédire correctement les quantités suivantes : la réactivité à moins de 100 pcm ; le coefficient de couplage C à moins de 2% ; la nappe de flux à l intérieur de la grappe d essai à moins de 1.5%. Plus particulièrement, pour la mesure de l erreur sur la nappe de flux, nous avons adopté deux estimations d erreur différentes. Si err g ( r) est l erreur relative pour le g-ième groupe d énergie, par rapport à la solution de référence : err g ( r) = φg ( r) φ g ref ( r) φ g ref ( r) l erreur maximum err et l erreur moyenne err 2 seront définies par : [ ] err = max g sup err g ( r) r V [ 1 err 2 = max g V V ] 1 err g ( r) 2 2 dv Dans les paragraphes suivants, nous allons analyser les différentes possibilités de couplage permises par notre méthode. Les premières modélisations, basées sur le couplage des méthodes IDT et VNM, sont réalisées sur le problème modèle 1 en géométrie cartésienne. Les résultats des différents couplages sont présentés dans la section 4.3. Ensuite, le couplage, basé sur la méthode mixte TDT VNM, est testé sur les deux modèles 1 et 2. En effet, il permet d employer des maillages plus évolués. Nous profitons des capacités intrinsèques du solveur TDT pour modéliser l assemblage central avec un maillage structuré ou non-structuré. Les résultats sont présentés dans la section 4.4. (4.1) 4.2 Principe de modélisation avec la méthode M M M D Nous abordons, ici, le principe de modélisation qui a été adopté pour résoudre le "problème Phébus" qui a été posé ci-avant. Les nouvelles capacités offertes par notre méthode sont exploitées pour permettre une précision optimale et un gain significatif en temps de calcul. Cette recherche de l optimum nous permettra de mettre en évidence le bon comportement et la robustesse de la méthode dans ses diverses modes d utilisation. Le fil conducteur de cette étude est : "Utiliser la bonne méthode au bon endroit". 119

129 CHAPITRE 4. POTENTIEL DE MODÉLISATION DE LA MÉTHODE M M M D Modélisation par décomposition de domaine La méthode M M M D, qui a été présentée dans les chapitres précédents, est basée sur le principe de la décomposition du domaine de calcul en plusieurs sous-domaines correspondant chacun à un problème quasi indépendant des autres. Cette méthode est donc, a priori, adaptée à la résolution de problèmes physiques comportant de fortes hétérogénéités locales qui requièrent une modélisation très fine et coûteuse ne pouvant pas être déployée sur tout le domaine de résolution, pour des contraintes de temps de calcul ou de place mémoire. Comme nous l avons vu, les grandeurs physiques d intérêt que l on veut accéder dans le problème Phébus, correspondent à cette problématique de modélisation. Dans les deux modèles qui ont été définis, il s agit de calculer très précisément le flux neutronique localement dans le dispositif expérimental et la puissance globale générée dans le coeur nourricier. Il s agit donc, dans l optique d utiliser "la bonne méthode au bon endroit", de déterminer sur une décomposition de domaine du problème Phébus pour appliquer la méthode M M M D. Pour ce découpage physique du domaine, on a séparé naturellement l assemblage central du reste du domaine. Une contrainte supplémentaire, celle de définir des sous-domaines convexes, nous a conduit à partager le problème global en trois sous-domaines rectangulaires, voir figure 4.7, pouvant être résolus par les solveurs qui ont été introduits dans M M M D, à savoir IDT, VNM et TDT. Il nous faut maintenant affecter à chaque domaine une méthode de calcul. Pour cela, nous définissons deux zones : l assemblage central (sous-domaine 1) et le reste du coeur (sous-domaines 2 et 3). Nous avons deux zones d intérêt et trois méthodes de calcul : La zone 1 : L assemblage central qui doit être calculé très finement pour obtenir le flux dans le dispositif expérimental ; La zone 2 : Le coeur nourricier avec son caisson et le réflecteur pour lequel il nous faut estimer la puissance totale générée ; La méthode IDT qui a été choisie pour le calcul de référence pour ses propriétés de convergence en maillage ; La méthode VNM qui se caractérise par ses possibilités des discrétisations spatiales à mailles très larges ; La méthode TDT qui autorise les modélisations d éléments géométriques non structurés. Quels sont les choix possibles de modélisation? Toutes les combinaisons "Zone d intérêt/méthode" sont, a priori, possibles. Toutefois, pour atteindre les objectifs de modélisation physique pour le modèle cartésien, le domaine contenant la grappe d essai sera systématiquement associé à la méthode et la discrétisation de référence, à savoir, IDT avec le maillage très fin et la discrétisation angulaire S 8. Par contre, différentes combinaisons de modélisation seront faites pour le coeur nourricier. On étudiera les méthodes IDT ou VNM pour différents maillages spatiaux et différentes discrétisations angulaires. Cela nous permet, aussi, de comparer aisément la solution obtenue par la méthode de couplage, dans le sous-domaine 1, avec le résultat du calcul de référence. L utilisation de la méthode TDT permettra de modéliser le problème 2 en géométrie non-structurée. On associera TDT à la zone 1 et VNM à la zone 2. Cette combinaison sera aussi testée sur le problème modèle cartésien afin de valider cette approche en comparaison avec la combinaison IDT/VNM sur le même cas. Ces combinaisons permettent de répondre à la nécessité d une description fine de l assemblage expérimental et d une bonne description globale de la partie restante du réacteur, tout en réduisant la complexité globale du problème. 120

130 4.2. PRINCIPE DE MODÉLISATION AVEC LA MÉTHODE M M M D Pour les itérations de couplage sur les flux d interface entre sous-domaines, nous avons adopté la stratégie IterateByGroups limitée à une seule itération. Les critères de convergence sur le k eff et la source de fission sont identiques à ceux du calcul étalon, respectivement 10 5 et Choix des discrétisations associées aux modélisations Pour réaliser notre étude sur les capacités offertes par la méthode M M M D, des discrétisations spatiales et angulaires doivent être associées aux combinaisons [domaine/méthode] qui ont été proposées. Maillages pour le problème modèle cartésien Quatre maillages ont été définis pour le problème modèle 1 en cartésien. La complexité de ces maillages est donnée dans le tableau 4.3. Comme nous l avons dit plus haut, les quatre maillages ont en commun la même grille fine pour le dispositif expérimental. Ils ne différent que par le maillage qui discrétise le coeur nourricier. Maillage # mailles # subdivisions Figure Totale Grappe Coeur Combustible Caisson Réflecteur Modérateur Référence Grille Grille Grille Grille TAB. 4.3 Nombre de mailles de calcul dans chaque sous-domaine, dans chaque milieu Le maillage 1 (Fig.4.7) est très proche du maillage de référence (Fig.4.4). La seule différence, permise par la nature même de la méthode de couplage, est l utilisation d un maillage non conforme au niveau de l interface entre le sous-domaine 1 et les autres. Le maillage très raffiné du dispositif ne se propage pas dans le reste du domaine comme c est le cas dans le maillage utilisé pour le calcul étalon. Par rapport au maillage de référence, cela permet de réduire le nombre de maille près des axes x = 0 et y = 0, d environ 10%. 3 1 FIG. 4.7 Maillage non conforme, avec décomposition en trois sous-domaines (Grille 1) 2 121

131 CHAPITRE 4. POTENTIEL DE MODÉLISATION DE LA MÉTHODE M M M D Grid 2 Grid 3 Grid 4 FIG. 4.8 Trois maillages grossier pour la méthode de décomposition de domaine Cependant, nous ne nous attendons pas nécessairement à une réduction du temps de calcul, puisque la diminution de complexité du maillage 1 ne compensera probablement pas les itérations supplémentaires dues à la méthode de décomposition de domaine. Ce maillage a donc pour principal but la mise en évidence du bon comportement de la méthode de couplage par décomposition de domaine et de la pertinence du découpage des domaines. Les maillages 2, 3 et 4 (Fig.4.8) sont caractérisés par une discrétisation du coeur de plus en plus grossière. On utilise très significativement la possibilité d avoir des maillages non-conformes. Plus concrètement, cela se traduit par une discrétisation avec 4 4 mailles par assemblage (grille 2), 2 2 mailles (grille 3) et, finalement, une seule maille par assemblage (grille 4). Les grilles 2 et 3 permettront d analyser les critères de convergence des deux méthodes IDT et VNM, quant à la grille 4, elle ne sera utilisée que pour la méthode VNM car elle n est pas adaptée à la méthode IDT. Maillage pour le problème modèle non-structuré Par rapport au problème modèle cartésien, ce problème ne diffère que par la géométrie de la zone 1 (assemblage expérimental). Celle-ci va donc être discrétisée de façon non-structurée, tandis que la zone 2 (coeur combustible, caisson et réflecteur) sera modélisée par des maillages cartésiens et structurés. Cela répond à la logique d utiliser la méthode TDT exclusivement sur l assemblage central et de traiter le restant du coeur par une méthode cartésienne, plus rapide. On pourra alors définir le maillage de façon indépendante dans chaque zone ayant comme seule contrainte la cohérence avec la méthode utilisée. Concernant la zone 1 et l assemblage expérimental, la définition du maillage non-structuré sera faite en gardant à l esprit un certain nombre de faits : 1. la méthode TDT se base sur l approximation constant par morceaux. Cela signifie que la prise en compte des variations spatiales du flux nécessite plus de régions de calcul, par rapport à IDT (qui utilise l approximation linéaire par morceaux). 2. le flux est relativement plat dans les cellules près de l interface de couplage, par ailleurs, il présente des variations très importantes aux alentours de la grappe de crayons combustibles. On peut donc envisager de discrétiser plus finement cette partie, par rapport à la périphérie de l assemblage. 122

132 4.2. PRINCIPE DE MODÉLISATION AVEC LA MÉTHODE M M M D 3. Plus que jamais, il n est pas souhaitable d introduire un nombre inconsidéré de régions de calcul, à cause du coût numérique de la méthode non-structurée. FIG. 4.9 Maillage de calcul non-structuré pour la méthode de décomposition de domaine TDT/VNM Sur la base de ces considérations, nous avons défini un maillage suffisamment fin autour de la grappe d essai, tout en gardant un nombre raisonnable de régions (voir l agrandissement en figure 4.9). Concernant la zone 2 (coeur combustible, caisson et réflecteur), la définition du maillage cartésien peut être faite en s inspirant des maillages définis pour le problème modèle cartésien (FIG ). On gardera la même notation que dans le cas cartésien (Grille 1, Grille 2,...). Maillage # mailles # subdivisions Totale Grappe Coeur Combustible Caisson Réflecteur Modérateur Figure Grille Grille 1A Grille Grille Grille TAB. 4.4 Quelques maillages non-structurés Nous avons effectué des tests préliminaires sur ces différents maillages, cependant les résultats que nous présenterons par la suite, seront tous basés sur un seul type de maillage. Puisque dans le cas d un couplage avec la méthode TDT le coût CPU du calcul du sous-domaine cartésien est négligeable, il est tout à fait possible d utiliser un maillage relativement fin dans la zone cartésienne, sans que cela devienne pénalisant pour la méthode de couplage. Pour la suite de notre étude, nous choisirons donc de nous doter d un maillage assez fin, en choisissant une discrétisation intermédiaire entre la Grille 1 et la Grille 2, que l on notera par Grille 1A et dont les différences par rapport aux autres grilles sont mises en évidence au tableau

133 CHAPITRE 4. POTENTIEL DE MODÉLISATION DE LA MÉTHODE M M M D Discrétisations angulaires Après avoir définis les maillages spatiaux pour la modélisation du benchmark Phébus, les discrétisations angulaires associées sont : Pour le couplage IDT/IDT : S 8 dans le sous-domaine 1 S n, avec n = 2, 4, 6, 8 pour les sous-domaines 2 et 3. Pour le couplage IDT/VNM : S 8 dans le sous-domaine 1 P n, avec n = 1, 3, 5 et SP n, avec n = 3, 5 pour les sous-domaines 2 et 3. Pour le couplage TDT/VNM : Quadrature produit Q(N µ, N ϕ ), avec N µ =2, 3, 5 et N ϕ =10, 20, 40 dans le sous-domaine 1 P 3 pour les sous-domaines 2 et Modélisation du problème modèle en géométrie cartésienne Résultats des calculs couplés IDT/IDT (S n S m ) Dans cette section, la méthode de couplage M M M D, est utilisée en tant que technique de raffinement localisé de maillage appliquée à la méthode IDT. Le but est d analyser le comportement de cette méthode sur un cas réaliste. Présentation des résultats Les simulations présentées dans cette section portent sur les discrétisations angulaires suivantes : S 8 dans le sous-domaine 1 S n, avec n = 2, 4, 6, 8 pour les sous-domaines 2 et 3. Pour la discrétisation spatiale, l approximation linéaire par morceaux a été choisie pour représenter le flux à intérieur des cellules avec une méthode de transmission de type nodale. Ces choix numériques limitent l analyse aux maillages 1, 2 et 3, afin d éviter des mailles de taille trop importante, pour lesquelles l approximation linéaire ne serait plus justifiée. Les résultats, pour chaque simulation, sur les grandeurs d intérêts ont été rassemblés dans le tableau 4.5 et sur la figure Dans le tableau, les principales informations nécessaires à l évaluation de la méthode sont reprises. Tout d abord, les grandeurs neutroniques : la réactivité ρ, le coefficient de couplage C et deux estimations de l erreur commise sur le flux à l intérieur du dispositif expérimental, en accord avec les définitions qui se trouvent à page 119. Enfin, dans les deux dernières colonnes du tableau, nous donnons les temps de calcul. A gauche, t BPA, pour le cas où les itérations internes du solveur IDT sont accélérées par une technique de type S 2 -Boundary Projection Acceleration [65] ; à droite, t free, pour le cas où aucune accélération n est employée. Pour compléter les résultats, l erreur, par rapport à la solution de référence, sur la nappe de flux total à l intérieur du domaine 1 est tracée en figure

134 4.3. MODÉLISATION DU PROBLÈME MODÈLE EN GÉOMÉTRIE CARTÉSIENNE Maillage Sous-domaine Réactivité Flux Couplage Temps (s) ρ err err err 2 C err t BPA t free Référence S Grille 1 S 8 S % 0.00 % % S 8 S % 0.02 % % S 8 S % 0.05 % % S 8 S % 0.31 % % Grille 2 S 8 S % 0.03 % % S 8 S % 0.03 % % S 8 S % 0.04 % % S 8 S % 0.31 % % Grille 3 S 8 S % 0.20 % % S 8 S % 0.20 % % S 8 S % 0.20 % % S 8 S % 0.33 % % TAB. 4.5 Calculs Phébus couplés S 8 S n Les résultats obtenus par le calcul de référence sont rappelés dans la première ligne du tableau et la solution de référence est donnée en figure 4.5, page 117. La présence de fortes hétérogénéités dans l assemblage central est confirmée par la forme de la solution autour du point (x, y)=(0, 0) et donne une justification à l utilisation d une méthode de raffinement localisé. Enfin, nous donnons une image de la nappe de puissance, calculée a partir du flux multigroupe de référence (figure 4.6). Analyse des résultats Comme nous l avons mentionné lors de la définition des maillages, la grille 1 nous permet d analyser le comportement numérique de la méthode de couplage IDT/IDT appliquée au cas Phébus. Les résultats obtenus pour ce maillage donnent les tendances globales de cette méthode de raffinement localisé (voir tableau 4.5). Tout d abord, on peut remarquer que le couplage S 8 S 8, avec ce maillage non conforme, permet une prédiction quasi parfaite des grandeurs neutroniques recherchées, tant pour les valeurs intégrales comme la réactivité et le coefficient de couplage que pour les valeurs fines du flux dans le dispositif expérimental. Ce très bon accord démontre la validité de la méthode de couplage sur deux points : 1. Le choix des projections spatiales aux interfaces inter-domaines : sa validité avait été démontrée sur des cas simplifiés, dans 2.4, elle est confirmée sur un cas réel. 2. Le choix de la décomposition de domaine : l interface de séparation des domaines est positionnée dans une région où la solution est suffisamment régulière et cela n introduit pas des perturbations majeures dans les résultats obtenus. Le deuxième intérêt de la série de résultats afférents à la grille 1 porte sur le raffinement angulaire. On peut remarquer une bonne convergence en discrétisation angulaire de la méthode de couplage. En effet, l erreur sur chaque grandeur diminue régulièrement quand on va de la discrétisation S 2 à la discrétisation S 8. De la même façon que pour la projection spatiale, on peut affirmer que la projection angulaire est validée sur ce cas. 125

135 CHAPITRE 4. POTENTIEL DE MODÉLISATION DE LA MÉTHODE M M M D La dernière remarque concernant ces résultats porte sur le mauvais comportement global de la modélisation S 8 S 2. Cette modélisation est, en effet, trop simplifiée pour rendre une bonne représentativité du problème posé. Le problème Phébus requière un modélisation en transport d ordre relativement élévé du fait de la petite taille du coeur et de la présence de barres de contrôle, du caisson et du réflecteur en eau. La deuxième série de résultats sur la grille 2 présente les mêmes caractéristiques que ceux de la grille 1. Les mêmes conclusions en terme de convergence angulaire peuvent être faites, ainsi que sur l incapacité de la discrétisation S 2 à reproduire la solution de référence. L aspect remarquable de cette modélisation spatiale se trouve dans la capacité confirmée sur ce maillage (Grille 2) de la méthode à traiter des interfaces de mailles non conformes. L erreur, sur chaque grandeur, est quasi identique que pour le maillage en grille 1. L intérêt de cette modélisation porte essentiellement sur le fait que l on utilise pour le coeur un maillage spatial plus grossier permettant l obtention d une solution convergée du problème calculé. Ceci permet de réduire sensiblement les temps de simulation pour une discrétisation angulaire identique. Le gain est, en moyenne, d un facteur 4 entre les simulations avec la grille 1 et la grille 2. D ailleurs du point de vue des temps de calcul, la méthode de couplage se révèle très intéressante dans le cas des discrétisations avec la Grille 2 indépendamment de la présence (t BPA ) ou non (t free ) d accélération pour le solveur IDT. On remarque que dans le cas sans accélération, que notre méthode de décomposition de domaine est systématiquement plus rapide (à l exception du cas S 8 S 8 en maillage 1). Enfin sur la grille 3, aucune solution ne respecte les critères d acceptabilité de la modélisation. Le comportement, observé pour ce maillage, est expliqué, puisque la méthode IDT est basée sur une représentation du flux linéaire en espace qui n est pas adaptée aux grilles trop grossières. Cette modélisation permet de vérifier que la contrainte sur la taille des mailles ne doit pas être omise dans les phases de modélisation des problèmes physiques. Globalement, si on exclut le maillage 3 et la discrétisation S 2, la précision sur le flux à intérieur du dispositif expérimental et le coefficient de couplage, montrent d excellents résultats. En particulier, l erreur relative sur le coefficient de couplage est toujours inférieure à 0.50%, et ce quelle que soit la modélisation adoptée. Pour le flux dans le dispositif expérimental, l erreur moyenne ne dépasse jamais le 0.05% et l erreur maximum 0.12%. De plus, mis à part le fait que l erreur en valeur absolue est très petite, il faut noter qu elle est souvent bien plus faible dans la zone proche du centre de l assemblage qu à la périphérie (figure 4.10). Cela nous démontre encore que la frontière de raccord entre sous-domaines a été bien choisie. La perturbation introduite par le changement du model numérique se limite à quelques mailles et s estompe assez rapidement dès que l on s éloigne de l interface de couplage. En conclusion, pour la résolution du problème modèle cartésien, si on recherche un optimum "précision/temps de calcul", avec ce type de modélisation par raffinement de maillage utilisant le couplage IDT/IDT, la modélisation la plus intéressante est celle effectuée avec la discrétisation S 8 S 4 sur le maillage 2. Par rapport au calcul de référence, on obtient une très bonne précision : 50 pcm sur la réactivité, 0.24% pour le coefficient de couplage et moins de 0.11% pour le flux, avec un temps de calcul réduit d environ un facteur huit dans le cas du solveur non-accéleré. Nous allons maintenant voir comment ce ratio [précision/temps de calcul] peut être amélioré, en utilisant de nouvelles potentialités de la méthode M M M D. 126

136 4.3. MODÉLISATION DU PROBLÈME MODÈLE EN GÉOMÉTRIE CARTÉSIENNE Maillage 1 S 8 S 8 S 8 S 4 S 8 S 2 Maillage 2 S 8 S 8 S 8 S 4 S 8 S 2 Maillage 3 S 8 S 8 S 8 S 4 S 8 S 2 FIG Erreur sur le flux intégré en énergie à l intérieur de l assemblage expérimental 127

137 CHAPITRE 4. POTENTIEL DE MODÉLISATION DE LA MÉTHODE M M M D Résultats des calculs couplés IDT/VNM (S n P m ) Pour aller plus loin dans notre objectif qui est d utiliser la bonne méthode au bon endroit, nous allons maintenant présenter les résultats du couplage IDT/VNM sur le problème modèle 1 en géométrie cartésienne. Présentation des résultats Comme dans les modélisations précédentes, la méthode IDT avec le maillage fin et la discrétisation angulaire S 8 est conservée pour la modélisation de l assemblage central. Par contre, la méthode Variationnelle Nodale (VNM), dans ses diverses approximations, est choisie pour le traitement du coeur nourricier. A ce propos, il est intéressant de rappeler que cette méthode est bien adaptée au traitement des maillages grossiers. Il est possible de faire appel à des développements d ordre élevé pour la représentation du flux à l intérieur de chaque cellule. Pour assurer une convergence de la méthode pour tous les maillages, nous avons choisi un développement d ordre 6 pour le flux pair, d ordre 2 pour la source de fission et d ordre 1 pour le flux impair aux interfaces. Ces choix numériques peuvent être affinés en fonction du maillage. En effet, les maillages plus fins ne nécessitent pas un développement aussi élevé. Dans ce cas, un développement d ordre 4 pour le flux pair, d ordre 1 pour la source de fission et pour le flux impair aux interfaces, est plus que suffisant. Toutefois, nous avons choisi de ne pas faire d étude sur ces paramètres numériques intrinsèques à la méthode VNM pour ne pas compliquer notre analyse. Par contre, contrairement à ce que l on a pu observer dans la section précédente, la méthode de couplage M M M D, pourra être appliquée avec les maillages 3 et 4. Nous étudions les discrétisations angulaires suivantes : IDT - S 8 dans le sous-domaine 1 VNM - P n, avec n = 1, 3, 5 et VNM - SP n, avec n = 3, 5 pour les sous-domaines 2 et 3. Ces discrétisations seront associées aux trois maillages les plus grossiers (Grille 2, 3 et 4). Les résultats sont présentés de la même manière que pour les simulations de la section précédente dans le tableau 4.6 pour les grandeurs d intérêts et en figure 4.12 pour l erreur sur le flux total dans le sousdomaine 1. Analyse des résultats En première analyse, le comportement des simulations couplées IDT-VNM, semblent beaucoup plus homogènes que celui des simulations réalisées avec le couplage IDT-IDT. Tout d abord, les résultats sont insensibles au maillage spatial employé dans le calcul. Cela indique que pour chacun des maillages, le calcul est convergé numériquement avec la méthode VNM. Ceci confirme que les développements spatiaux choisis pour la méthode variationnelle nodale sont suffisamment élevés pour représenter correctement le flux à intérieur de chaque maille de calcul. Cela donne une bonne idée de la robustesse de cette méthode et de la simplicité de sa mise en oeuvre. La sensibilité des résultats est, par contre, très importante vis à vis de la discrétisation angulaire. On peut alors identifier trois comportements distincts en fonction de la discrétisation angulaire adoptée pour le coeur nourricier : 1) S 8 P 1. 2) S 8 SP n, n = 3, 5. 3) S 8 P n, n = 3,

138 4.3. MODÉLISATION DU PROBLÈME MODÈLE EN GÉOMÉTRIE CARTÉSIENNE Maillage Sous-domaine Réactivité Flux Couplage Temps (s) ρ err err err 2 C err t BPA t free Reference S Grille 2 S 8 P % 0.25 % % S 8 P % 0.27 % % S 8 SP % 0.66 % % S 8 SP % 0.64 % % S 8 P % 1.13 % % Grille 3 S 8 P % 0.24 % % S 8 P % 0.26 % % S 8 SP % 0.67 % % S 8 SP % 0.65 % % S 8 P % 1.16 % % Grille 4 S 8 P % 0.25 % % S 8 P % 0.27 % % S 8 SP % 0.68 % % S 8 SP % 0.66 % % S 8 P % 1.16 % % TAB. 4.6 Calcul Phebus couplé S 8 P n Dans le premier cas, S 8 P 1, on observe une différence très importante par rapport à la solution de référence, que ce soit au niveau de la réactivité ( pcm), des erreurs du flux (err >3% et err 2 2%) ou sur le coefficient de couplage ( 1.7%). Ces mauvais résultats se recoupent avec ceux obtenus avec la modélisation S 8 S 2. En effet, l approximation P 1 de l équation du transport est très proche de l équation de la diffusion et, dans certains cas, de l approximation S 2 des méthodes aux ordonnées discrètes. Pour la deuxième catégorie de modélisation, les calculs couplés de type S 8 SP n modélisent le coeur nourricier en transport simplifié. Pour ces simulations, l erreur sur la réactivité devient nettement plus acceptable ( pcm), ainsi que l imprécision sur les flux (err 2% et err %) ou sur le coefficient de couplage (0.5% 0.6%). On remarquera, au passage, qu il n y a pas de différence sensible entre la modélisation SP 3 et SP 5. Bien que meilleurs, les résultats avec ces approximations ne respectent pas les critères d acceptabilité de la simulation par rapport au calcul étalon. Ceci confirme que le problème Phébus requière une modélisation en transport complet. Finalement, la troisième catégorie (couplage S 8 P n ), offre les meilleurs résultats parmi les modélisations traitées. La précision obtenue sur les principales grandeurs neutroniques est très bonne. En particulier, l erreur sur la réactivité est 55 pcm, celui sur le flux dans l assemblage expérimental, err 1.1% et err %, et pour le facteur de couplage, l erreur est 0.1%. Dans ce cas aussi, l erreur du flux dans le dispositif expérimental est plus faible au centre qu en périphérie (figure 4.11). De la même façon que pour le couplage IDT-IDT, le couplage S 8 P n, n = 3, 5, avec les maillages non conformes, permet une prédiction très bonne des grandeurs neutroniques recherchées. Les mêmes conclusions sur la validité de la méthode de couplage s imposent : 1. La validité des projections spatiales aux interfaces inter-domaines est démontrée sur un cas réel. 2. La validité des projections angulaires du S n au P n est aussi démontrée. 3. Le choix de la décomposition de domaine reste cohérent en changeant de méthode. 129

139 CHAPITRE 4. POTENTIEL DE MODÉLISATION DE LA MÉTHODE M M M D Maillage 2 S 8 P 3 S 8 SP 3 S 8 P 1 Maillage 3 S 8 P 3 S 8 SP 3 S 8 P 1 Maillage 4 S 8 P 3 S 8 SP 3 S 8 P 1 FIG Erreur sur le flux intégré en énergie à l intérieur de l assemblage expérimental 130

140 4.3. MODÉLISATION DU PROBLÈME MODÈLE EN GÉOMÉTRIE CARTÉSIENNE Examinons maintenant, l aspect performance des calculs. Du point de vue des temps de calcul, les modélisations mixtes présentées dans cette section ont été plutôt concluantes. En effet, mis à part le couplage S 8 P 5, les modélisations proposées se sont toutes révelées plus rapides que le calcul de référence, que se soit dans le cas où le solveur IDT est accéléré par BPA, ou dans celui sans accélération. En résumé, pour cette série de modélisation, le meilleur compromis, parmi les couplages testés avec la méthode IDT/VNM, est la modélisation S 8 P 3 avec le maillage 4. On obtient un gain en temps de simulation d un facteur 3 pour le cas accéléré et jusqu à 12 pour le cas sans accélération, pour une solution comparable à la solution de référence Comparaison IDT/IDT et IDT/VNM Les deux paragraphes précédents ont permis d analyser les qualités intrinsèques de la méthode M M M D, appliquée à deux types de modélisations : La première de type raffinement de maillage pour la méthode IDT ; La deuxième permettant, en plus, l utilisation d une méthode différente par domaine de calcul (couplage IDT/VNM). Ce paragraphe nous permet d en faire une analyse croisée afin de définir l apport de l une par rapport à l autre. La première remarque est liée au comportement de la méthode de couplage en fonction du maillage spatial et de la modélisation choisie. La figure 4.12 permet une comparaison sur la réactivité entre le couplage S 8 S n et le couplage S 8 P n. Sur la figure de gauche, on observe, pour IDT/IDT, une convergence régulière en espace (Grille3 Grille1), là où, sur la figure de droite, la réactivité est quasiment constante en passant du maillage le plus fin (Grille 2) au plus grossier (Grille 4) pour IDT/VNM. Ceci met en évidence l importance des choix numériques associés à chaque type de solveur : Pour IDT, le choix de l approximation linéaire impose de respecter certains critères de taille des mailles, alors que, pour VNM, les choix d ordres élevés pour les polynômes permet quasiment de s affranchir de la contrainte sur le maillage. La même figure 4.12 montre à l inverse le bon comportement en convergence angulaire de IDT/IDT (S 8 S 2 S 8 S 8 ) alors que pour IDT/VNM il est difficile, sur ce cas test, de faire un choix sans connaître la solution de référence. Comme on l a discuté plus avant, il y a trois comportements distincts : le P 1, les SP n et les P n pour n = 3, 5. Les discrétisations angulaires plus élevées pour la méthode VNM n existant pas dans la version du code intégré dans M M M D, une recherche de tendance plus avancée n a pas été possible. Sur le plan des précisions atteintes sur le coefficient de couplage et sur le flux neutronique dans l assemblage central, les deux méthodes répondent aux exigences que nous nous étions fixées. Cela démontre la robustesse et la validité des méthodes de projections qui ont été développées pour les variables spatiales et angulaires aux interfaces entre sous-domaines. On prouve aussi que les algorithmes itératifs mis en place pour la décomposition de domaine convergent vers la solution du problème non décomposé. Le dernier point de comparaison est celui des temps de calcul. Sur cet aspect, les deux méthodes apportent une amélioration significative par rapport au calcul étalon. Toutefois, on peut remarquer que les gains les plus grands sont à mettre au crédit de la méthode de couplage IDT/VNM. Ce dernier point combiné aux remarques préalables démontre l intérêt de la méthode M M M D, dans sa configuration mixte. L objectif de pouvoir utiliser la bonne méthode au bon endroit est atteint et permet en plus d obtenir un meilleur rapport coût/performances. 131

141 CHAPITRE 4. POTENTIEL DE MODÉLISATION DE LA MÉTHODE M M M D S 8 S n S 8 P n Réference S 8 S 8 S 8 S 6 S 8 S 4 S 8 S Réference S 8 P 5 S 8 P 3 S 8 SP 5 S 8 SP 3 S 8 P Réactivité (pcm) 6500 Réactivité (pcm) Grille 1 Grille 2 Grille Grille 2 Grille 3 Grille 4 FIG Effets de la discrétisation angulaire et spatiale sur la réactivité calculée. Maintenant afin de mettre en évidence un autre aspect de la méthode de décomposition de domaine que nous avons développée, nous allons présenter des résultats des simulations couplées TDT/VNM. Ces modélisations offrent la capacité de modéliser plus précisément les hétérogénéités locales du réacteur Phébus. On pourra, notamment, résoudre le problème modèle 2 en géométrie non-structurée. 4.4 Modélisation du problème en géométrie non-structurée Dans cette section, nous présentons un dernier atout de la méthode M M M D, celui de pouvoir traiter des géométries non-structurées, grâce à la méthode des caractéristiques du solveur TDT. Comme nous l avons précisé plus haut, nous validerons d abord le couplage TDT/VNM sur le problème modèle 1, pour lequel une référence est connue. Ensuite nous présenterons les résultats pour le problème modèle non-structuré et nous en donnerons une analyse qualitative Résultats du couplage TDT (cartésien) / VNM Les calculs couplés que l on présentera dans cette section seront tous effectués sur la version cartésienne du maillage Grille 1A (voir les figures 4.9 et 4.13). Choix du type de quadrature pour le couplage TDT VNM Comme nous l avons évoqué au chapitre 3, dans la méthode TDT plusieurs choix pour la détermination des formules de quadrature produit sont possibles. Alors que les directions sont toujours equiespacées en ϕ, la détermination des points de la quadrature en µ= ˆΩ ê z se fait soit par identification avec les zéros du polynôme de Legendre d ordre N µ, soit par minimisation d une fonctionnelle liée aux fonctions de Bickley. Dans la suite, nous identifierons ces deux formules de quadrature par leurs acronymes respectifs (GL) et (BK). Dans la section et dans la perspective du couplage avec la méthode variationnelle nodale, nous avons mis en évidence un comportement, a priori plus favorable des quadratures du type (GL) par rapport 132

142 4.4. MODÉLISATION DU PROBLÈME EN GÉOMÉTRIE NON-STRUCTURÉE FIG Maillage de calcul cartésien : Grille 1A aux quadratures (BK). Dans l objectif de vérifier si ces prévisions sont bien valables pour un cas réel, nous nous proposons d étudier l effet de la quadrature azimutale sur le couplage TDT/VNM. Pour cela, on utilisera un maillage bien défini, à savoir la Grille 1A. De plus, on utilisera un nombre fixe de directions dans le plan xy qui soit, notamment, suffisamment élevé (N ϕ =20) pour ne pas biaiser le couplage avec la méthode variationnelle nodale à l ordre P 3. Nous donnons au tableau 4.7 quelques exemples de calculs couplés entre la méthode TDT et la méthode VNM, en fonction du type (GL ou BK) et de l ordre (N µ ) de la quadrature azimutale. Quadrature Ang. Réactivité Couplage Type N µ N ϕ ρ err C err IDT S GL % % 4 20 n.d. n.d. n.d % BK % % % % TAB. 4.7 Comparaison entre type de formules produit pour la méthode TDT Dans ce tableau, on retrouvera deux valeurs intégrales (la réactivité et le coefficient de couplage) ainsi que leurs écarts par rapport à la référence du problème modèle cartésien, que nous avons rappelée dans la première ligne. C est sur la base de ces paramètres que nous allons donner une appréciation des résultats du couplage. Tout d abord, analysons la dépendance de la réactivité. Globalement, on observe une meilleure prédiction de ce paramètre dans les cas où l on utilise les quadratures de type (GL) par rapport aux formules (BK). 133

143 CHAPITRE 4. POTENTIEL DE MODÉLISATION DE LA MÉTHODE M M M D Nous pouvons mieux nous en apercevoir en observant la figure Gauss Legendre (N φ =20) 6700 Réactivité (pcm) Bickley Naylor (N φ =20) N µ FIG Effets de la quadrature azimutale sur le couplage TDT/VNM Dans cette figure on retrouve un bon comportement de la formule de quadrature produit (GL), pour laquelle on peut raisonnablement affirmer que la convergence angulaire est vérifiée (N µ 3), du moins en ce qui concerne la partie azimutale. Par contre, les réactivités calculées par la formule de type (BK) se caractérisent par des écarts très importants et une convergence assez lente en fonction de l ordre de quadrature. En particulier, le cas N µ = 3 met en lumière l insuffisance du couplage avec les moments d ordre P 3. Le niveau de discrétisation n est pas assez élevé et des imprécisions sont introduites par les opérateurs de couplage. Par ailleurs, on remarquera que si le même effet ne se produit pas dans le cas N µ =2, cela est du au fait que le couplage se limite exclusivement aux moments d ordre P 1, qui sont correctement évalués par la transformation angulaire. Concernant le coefficient de couplage, ses variations en fonction de la discrétisation azimutale recoupent celles mises en évidence pour la réactivité. Par contre le coefficient de couplage semble se stabiliser à une valeur légèrement plus élevé que la référence ( +2.5%). Ces résultats confirment les prévisions sur le couplage entre méthodes aux ordonnées discrètes et méthodes aux harmoniques sphériques énoncées au chapitre 3. Pour la suite de notre investigation sur le couplage TDT/VNM et à la lumière des argumentation que l on vient de présenter, nous ferons exclusivement utilisation des formules de quadrature produit de type Gauss-Legendre. Présentation des résultats Dans cette section nous terminons notre étude sur les capacités de modélisation de la méthode de couplage TDT/VNM du problème cartésien. Nous présentons notamment différentes modélisations angulaires pour le traitement de l assemblage expérimental : Quadrature produit de type GL, avec N µ =2, 3, 5 et N ϕ =10, 20, 40 dans le sous-domaine 1 P 3 pour les sous-domaines 2 et 3. Dans ce but, nous avons rassemblé les résultats des différentes modélisations au tableau 4.8, de la même manière que pour les simulations précédentes. 134

144 4.4. MODÉLISATION DU PROBLÈME EN GÉOMÉTRIE NON-STRUCTURÉE Maillage Quadrature Ang. Réactivité Couplage Flux Temps (s) spatial Type N µ N ϕ ρ err C err err err 2 Ref. IDT S IDT S % 8.20 % 1.45 % TDT GL % 3.37 % 1.43 % % 3.39 % 1.43 % % 3.38 % 1.43 % % 4.17 % 1.44 % % 4.09 % 1.53 % % 4.22 % 1.61 % % 4.08 % 1.51 % % 4.00 % 1.60 % % 4.14 % 1.68 % 1107 Calcul couplé Grille 1A Méthode des Caractéristiques Maillage de référence, avec approximation linéaire par morceaux. TAB. 4.8 Couplage TDT cartésien / VNM (P 3 ) sur Grille 1A En haut du tableau nous avons reporté la référence pour le problème modèle 1. Il s agit de la solution obtenue par IDT sur le maillage de référence (FIG. 4.4) avec l approximation linéaire par morceaux en espace et la discrétisation angulaire de référence (S 8 ). Nous l utiliserons comme terme de comparaison pour l évaluation des résultats couplés. Enfin, dans la partie restante du tableau on retrouvera des résultats issus de calculs couplés avec la méthode VNM (P 3 ) et basés sur le maillage Grille 1A. En fonction du type de méthode employée pour la modélisation du sous-domaine 1, nous avons deux modélisations distinctes. Tout d abord, dans la partie inférieure du tableau nous présentons le couplage entre la méthode TDT et la méthode VNM, il s agit donc des résultats qui nous intéressent majoritairement pour la validation du couplage TDT/VNM. Dans la deuxième ligne du tableau, afin de nous aider à mieux comprendre les résultats du couplage TDT/VNM, nous avons rajouté un calcul couplé IDT/VNM, dans lequel la modélisation employée par la méthode IDT est le plus possible proche de celle faite par le méthode TDT. Plus précisément, nous avons utilisé une représentation constante par morceaux pour le flux à l intérieur et aux sommets des mailles et effectué le calcul par la méthode des caractéristiques également disponible dans IDT. Nous constatons cependant un certain nombre de différences : La discrétisation angulaire est assurée par une quadrature S 8 Level-Symetric pour IDT, alors que la méthode TDT utilise des formules de quadrature produit. Toutefois, si cette différence n intervient pas au niveau du couplage (à la lumière des considérations énoncées dans le paragraphe précédent), elle touche à la discrétisation du flux angulaire et du noyau qui modélise la propagation des neutrons dans la matière. Cet impact est loin d être négligeable. Bien que basés sur le même type de maillage et sur la même approximation spatiale du flux à l intérieur de chaque région, les coefficients de transmission ne sont pas calculés de la même façon dans les deux méthodes. Alors que IDT emploie des relations quasi-analytiques (facilement calculables et accessibles, du fait que toutes les cellules du maillage sont rectangulaires), la méthode des 135

145 CHAPITRE 4. POTENTIEL DE MODÉLISATION DE LA MÉTHODE M M M D caractéristiques présente dans TDT calcule ces mêmes coefficients de façon numérique, sans tenir compte du fait que les régions ont une géométrie simplifiée. Elles dépendront alors de la précision des quadratures spatiales, du type de quadrature angulaire, et autres. Cet impact est, en principe, plus maîtrisable, puisque il suffit de choisir une quadrature spatiale suffisamment fine pour s affranchir des différences avec IDT. Malgré les différences énoncées ci-haut et avec toutes les précautions d usage, cette modélisation par la méthode des caractéristiques du solveur IDT nous permettra de mieux évaluer les écarts des calculs couplés TDT/VNM avec la référence. Analyse des résultats Nous donnons ici l analyse des résultats du couplage TDT(cartésien)/VNM présentés au tableau 4.8. En ce qui concerne la prédiction de la réactivité, nous remarquons un comportement globalement correct. En particulier, on observe un écart relativement important ( pcm), pour les calculs basés sur la quadrature angulaire d ordre plus bas (N µ = 2). Par contre, les écarts deviennent largement acceptables avec les quadratures d ordre supérieur (N µ 3). Dans ce cas, la prédiction de la réactivité est faite à 60 pcm près, de plus il n y a pas de différences sensibles par rapport au nombre de directions azimutales. Par ailleurs, on remarquera une dépendance assez marquée par rapport au nombre de directions N ϕ discrétisant le demi-cercle du plan xy, avec un effet de ±50 pcm. Dans tous les cas, les différences par rapport à la solution de référence sont toujours inférieures à l écart du calcul IDT/VNM obtenu dans des conditions similaires. Concernant le coefficient de couplage C, nous observons une surestimation généralisée (entre +1.7 et +2.8%). De plus, les erreurs les plus importantes touchent les couplages faisant intervenir les quadratures d ordre le plus élevé. Par ailleurs, l écart entre le calcul couplé IDT caractéristiques/vnm est de 1.87%, c est-à-dire, le même ordre de grandeur que pour la méthode TDT, mais de signe opposé. Au final, le coefficient de couplage ne permet pas de conclure sur le type de couplage à adopter. Enfin, nous présentons les erreurs sur le flux à l intérieur du dispositif expérimental, avec la même notation que dans les sections précédentes. Encore une fois, nous constatons que les écart sont sensibles (err 4% et err 1.5%) et qu ils suivent la même tendance que pour le coefficient de couplage. Cela pourrait être l indice d un mauvais choix de normalisation des solutions, mais aussi le signe que la modélisation de référence est relativement différente de celle qui est faite avec la méthode TDT. Pour essayer d élucider la situation nous avons effectué une analyse sur plusieurs types de normalisation possibles (même flux dans le crayon central de l assemblage, même flux moyen dans la grappe ou dans l assemblage). Nous n avons pas obtenu de différences sensibles pour le comportement de l erreur en fonction de la discrétisation angulaire. Il est donc probable que ces écarts soient du à la différence de discrétisation spatiale entre la méthode TDT (approximation constante par morceaux) et celle de référence, qui se base sur une approximation linéaire. Cette hypothèse est confirmée par le niveau de l erreur (même valeur moyenne) pour le calcul IDT avec le même type d approximation. Enfin, nous pouvons observer une très forte ressemblance du résultat TDT cartésien/vnm (voir figure 4.15) par rapport au flux de référence qui a été présenté en figure 4.5, page 117. Pour terminer, dans la dernière colonne du tableau nous présentons les temps de calculs. Bien entendu, ils sont à comparer avec un calcul TDT complet. Nous avons mis en évidence dans ce même chapitre (page 118), qu un calcul de référence de ce type nécessite des temps de calcul prohibitifs ( s). 136

146 4.4. MODÉLISATION DU PROBLÈME EN GÉOMÉTRIE NON-STRUCTURÉE Groupe 1 Groupe 2 Groupe 3 Groupe 4 FIG Solution produite par le couplage TDT (cartésien) / VNM FIG Nappe de puissance du réacteur Phébus 137

147 CHAPITRE 4. POTENTIEL DE MODÉLISATION DE LA MÉTHODE M M M D Puisqu une bonne modélisation pour le problème couplé (N µ 3) demande entre 500 et 1100 s, le gain sur le temps de calcul peut être facilement estimé entre 30 et 60 fois. De plus, aucun problème de dépassement de mémoire n a été déploré, grâce à la taille réduite de la zone de calcul assignée au solveur TDT. En conclusion, les calculs couplés entre la méthode des caractéristiques TDT et la méthode variationnelle nodale VNM ont donné des résultats globalement satisfaisants. Sur la base des résultats ici exposés, on pourra retenir pour la suite de notre étude les modélisations angulaires basées sur les formules de quadrature produit (GL) d ordre suffisamment élevé (N µ 3). Malgré quelques incertitudes, dues au fait que l on ne disposait pas de solution de référence TDT complet, la validation du couplage TDT/VNM peut donc être considérer comme acquise. Nous pouvons alors nous consacrer à la résolution du problème modèle 2 en géométrie non-structurée Résultats du couplage TDT (non-structuré) / VNM Dans cette section nous présentons les résultats pour le problème modèle non-structuré et nous en donnons une analyse qualitative. En accord avec la section précédente, nous emploierons les modélisations angulaires suivantes : Quadrature produit de type GL, avec N µ =2, 3, 5 et N ϕ =10, 20, 40 dans le sous-domaine 1 P 3 pour les sous-domaines 2 et 3. Ensuite, nous avons rassemblé les résultats des différentes modélisations au tableau 4.9. Quadrature Ang. Réactivité Couplage Temps (s) Type N µ N ϕ ρ C GL TAB. 4.9 Couplage TDT non-structuré / VNM (P 3 ) sur Grille 1A Du fait de l absence d une solution de référence, le tableau est simplifié. Nous retrouvons les deux principaux paramètres intégraux : la réactivité et le facteur de couplage. Enfin, nous donnons les temps de calcul. Globalement, la variation de ces paramètres en fonction de la modélisation angulaire effectuée dans le sous-domaine 1 se recoupe avec les résultats du cas cartésien traité par le même type de couplage. Sur la base des considérations du calcul couplé TDT/VNM, nous pouvons estimer la réactivité à environ 6470±70 pcm et le coefficient de couplage à 67.8±0.3%. Bien entendu, la diminution de la réactivité et l augmentation du coefficient de couplage par rapport au problème modèle 1 sont liées à une plus faible quantité de combustible dans la grappe expérimentale. 138

148 4.4. MODÉLISATION DU PROBLÈME EN GÉOMÉTRIE NON-STRUCTURÉE Groupe 1 Groupe 4 FIG Problème modèle Phébus. Solution par couplage TDT non-structuré / VNM FIG Nappe de puissance pour le réacteur Phébus. Modélisation non-structurée 139

149 CHAPITRE 4. POTENTIEL DE MODÉLISATION DE LA MÉTHODE M M M D En ce qui concerne les temps de calculs, ils sont légèrement plus élevés par rapport au couplage TDT/VNM sur le problème modèle 1, toutefois les conclusions de la section précédente restent valables et cette méthodologie reste très attractive du point de vue de la réduction des temps de calcul. Pour finir, nous donnons une aperçue de la solution obtenue par le couplage TDT (non-structuré) /VNM (voir figure 4.17), permettant d apprécier les niveaux du flux, ainsi que la nappe de puissance, calculée à partir de la même solution. On peut remarquer d ailleurs que le pic de puissance est plus élevé que par rapport à la modélisation cartésienne ( 20%). Cela est sans doute due à la présence du modérateur autour des crayons de la grappe et, en définitive, à une meilleure thermalisation de flux dans le groupe 4. Par contre le pic de puissance est situé au même endroit dans le réacteur. Conclusion Dans ce chapitre, nous avons montré le potentiel de la méthode de décomposition de domaine qui a été développée dans le cadre de cette thèse, à travers une applications typique de la Physique des Réacteurs. Le choix de cette application, le réacteurs Phébus, a été motivé pour la complexité de sa résolution avec les méthodes de calcul actuelles et du fait qu elle se prête naturellement à une modélisation par décomposition de domaine. Grâce à sa capacité de modélisation optimisée permettant d associer à chaque sous-domaine la méthode de résolution la plus adaptée, en fonction du type de maillage (cartésien, non-structuré), de la taille des mailles (maillages fins ou grossiers) et du type d approximation de transport voulue (S n, P n, diffusion-p 1 ), notre méthode de décomposition de domaine nous a permis de montrer qu il est possible de produire une solution très précise (par rapport à une référence donnée), mais avec une réduction sensible du temps de calcul. Enfin, dans le cadre de la modélisation par couplage TDT/VNM, notre méthode de décomposition de domaine permet l utilisation de maillages non-structurés, sur une zone limitée du problème global. Or dans les problèmes de grande taille, cette approche permet une utilisation plus souple de la méthode des caractéristiques (TDT) pour les calculs de coeur. Dans ce cas, le gain en temps de calcul et place mémoire est évident, le problème complet ne pouvant pas être traité dans des délais raisonnables ou, tout simplement, par manque de place mémoire. 140

150 Conclusion Un des principaux objectifs de cette thèse était celui d étudier et développer une méthode de décomposition de domaine pour la résolution de l équation du transport en physique des réacteurs. Pour cela, une nouvelle méthodologie, permettant de prendre en compte simultanément différentes méthodes de résolution au sein du même calcul, a été proposée et développée. Celle-ci permet l utilisation de modèles différents pour chaque sous-domaine, introduisant une flexibilité qui n est pas possible avec les codes de calcul disponibles à l heure actuelle. Cette nouveauté se manifeste par la possibilité d employer des développements spatiaux et angulaires différents, des maillages indépendants, éventuellement non coïncidents (cartésiens ou non-structurés) pour chaque sous-domaine de calcul. Actuellement, l algorithme de décomposition de domaine dispose de trois méthodes de résolution : une méthode variationnelle nodale (éléments finis), très adaptée pour la résolution en transport homogène avec des maillages grossiers, une méthode aux ordonnées discrètes avec discrétisation spatiale de type nodale, idéale pour du transport homogène sur maillages fins, ainsi qu une méthode des caractéristiques pouvant traiter des géométries réalistes non-structurées. Ces trois méthodes présentent des caractéristiques complémentaires, rendant leur utilisation conjointe très attractive. Une bibliographie complète sur les méthodes déterministes nous a permis d appréhender le potentiel de chaque méthode de résolution et de déterminer le choix des solveurs numériques à utiliser dans l algorithme multidomaine-multiméthode. Dans la mise en place de l approche multidomaine-multiméthode, les principales étapes de ce travail ont été : La construction de l algorithme de décomposition de domaine. La proposition, la validation et l analyse des opérateurs de couplage angulaires et spatiaux. La démonstration du potentiel de l approche multidomaine-multiméthode à travers l étude et la modélisation d un cas réaliste de la physique. Concernant les deux premiers points, une étude de la méthode de décomposition (au niveau de l algorithme comme des opérateurs de couplage) nous a permis d obtenir une validation préliminaire de la méthode développée, les paramètres optimales pour l itérateur de couplage, ainsi que des indications sur les capacités de couplage des opérateurs proposés. Plus particulièrement, ce dernier point nous a permis, d une part, de valider notre approche, par la confirmation du bon comportement des opérateurs de couplage observé au chapitre 3, d autre part, de mettre en valeur la capacité de modélisation de la méthode sur un problème à la fois réaliste et complexe, typique de la physique des réacteurs : le calcul fin d hétérogénéités neutroniques localisées dans un coeur de réacteur. A travers la modélisation cartésienne de ce problème nous avons montré que, grâce à sa capacité de modélisation optimisée permettant d associer à chaque sous-domaine la méthode de résolution la plus adaptée, 141

151 CONCLUSION en fonction du type de maillage (cartésien, non-structuré), de la taille des mailles (maillages fins ou grossiers) et du type d approximation de transport voulue (S n, P n, diffusion), notre méthode de décomposition de domaine permet d obtenir une solution très précise, avec une réduction sensible des temps de calcul. Enfin, dans le cadre de la modélisation conjointe entre la méthode des caractéristiques (code TDT) et la méthode variationnelle nodale, l approche que nous avons développée a permis l utilisation de maillages non-structurés sur une zone spécifique, tout en continuant à traiter la partie restante du problème avec une méthode peu coûteuse. Ce dernier, est de loin le cas le plus intéressant parmi les utilisations possibles de notre méthode de décomposition de domaine. En effet, le calcul d un réacteur complet avec la méthode des caractéristiques demande des temps de calcul prohibitifs, alors que le traitement spécifique par la méthode des caractéristiques d un zone très limitée du problème initial (dans notre cas, l assemblage expérimental), permet d obtenir une solution aussi précise, avec un gain considérable sur le temps de calcul (estimé à environ 50 fois pour le problème que nous avons analysé) et sur la place mémoire. Perspectives Dans une logique de continuation de ce travail, plusieurs voies sont envisagées : La généricité de l algorithme de décomposition de domaine permet sans difficultés d ajouter d autres méthodes de résolution aux trois qui ont déjà été intégrées. Dans une telle perspective, il pourrait être intéressant d introduire un solveur rapide en diffusion ou en transport simplifié de type [31] (voir 1.3.3). Celui-ci permettrait de compléter la palette des méthodes en apportant le choix d une modélisation plus pauvre que les méthodes en transport actuellement disponibles (TDT,IDT,VNM), mais très efficace du point de vue de la rapidité de résolution. Si l on se pose à l opposé dans l échelle des modélisations de l équation du transport, on pourrait envisager un couplage plus exotique faisant intervenir une méthode de Monte Carlo. Toutefois, une telle extension de la méthode de couplage serait loin d être banale et nécessiterait une véritable réflexion sur la façon de faire coexister simultanément des méthodes déterministes et stochastiques. Bien que cela n ait pas fait l objet d une attention spécifique, une des perspectives les plus prometteuses, dans le cas d une utilisation industrielle de la méthode développée est la parallèlisation. Nous avons brièvement discuté de cet aspect au chapitre 2. Du fait de sa structure, deux niveaux de parallèlisation peuvent être envisagés : un sur le système multigroupe, l autre sur la partition en sous-domaines. Bien que techniquement faisable l efficacité d une approche parallèle reste à démontrer. Dans tous les cas, elle dépendra du choix de la décomposition (notamment spatiale) et nécessitera un compromis entre l exigence d efficacité du calcul parallèle et celle du choix de la modélisation la mieux adaptée pour chaque zone de calcul. Dans cette thèse nous avons fait intervenir la décomposition de domaine exclusivement sur les variables angulaires et spatiales. Il serait envisageable de poursuivre dans cette logique en appliquant une décomposition au niveau énergétique. On peut alors imaginer un raffinement en énergie, par l adoption d une discrétisation énergétique propre à chaque sous-domaine. Cette extension est particulièrement adaptée à la structure de l algorithme de couplage que nous avons développé dans un souci de généricité et d évolutivité. Une autre possibilité est celle de prévoir une discrétisation spatiale (et, pourquoi pas, angulaire) en fonction du groupe d énergie. Cette approche nécessite des opérateurs d interpolation spatiale et demanderait une implémentation plus complexe. Elle ne semble pas particulièrement adaptée à l algorithme de décomposition proposé dans cette thèse. 142

152 CONCLUSION Enfin, dans notre démarche de validation de notre méthode de décomposition de domaine, nous nous sommes toujours situé au niveau du calcul de coeur. Il existe une deuxième possibilité d application de la méthodologie multidomaine-multiméthode ici développée. A l heure actuelle, les calculs des assemblages reposent sur deux modèles approximatifs : un modèle d autoprotection de résonances et un modèle de fuites neutroniques. Le premier modèle permet de prendre en compte la variation très rapide des sections efficaces des corps lourds à l intérieur des groupes. L objet du deuxième modèle est de prendre en compte les effets de l environnement de l assemblage dans le coeur. Celui-ci se base sur l hypothèse que le flux suit le mode fondamentale, ce qui n est pas forcement le cas. Dans cette perspective, nous pouvons imaginer l utilisation de la méthode multidomaine-multiméthode pour le calcul d un assemblage en théorie du transport hétérogène et de son environnement réel (réacteur) en transport homogène ou diffusion. Cette approche permettra de se passer de l approximation du modèle de fuites, tout en assurant la prise en compte des effets des hétérogénéités locales à l intérieur de chaque assemblage. 143

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154 Annexes

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156 Annexe A Proposition de formules de quadrature S n optimisées Dans cette section nous reprenons la discussion entamée au chapitre 3. Nous analysons plus attentivement la possibilité de générer des formules de quadrature "optimisées" pour le couplage S n S n et nous en donnerons quelques exemples. Pour finir, nous effectuerons un test de couplage préliminaire afin de vérifier les capacités de ces quadratures. Divagations sur des formules de quadrature "optimisées" pour le couplage Nous avons vu à la section que les conditions ( ) permettent à l approximation mixte (MXA) de respecter la condition de flux isotrope, ainsi que à l approximation flux plat (FFA) d être conservative au sens S n (voir 3.22). Il nous semble donc intéressant d étudier la possibilité de définire des formules de quadrature optimisées pour le couplage basées sur les conditions (3.19), car ce n est pas une condition naturelle pour les formules de quadrature généralement disponibles en littérature. Dans l optique de définir une nouvelle formule de quadrature, la condition (3.19) est donc à considérer comme une requête supplémentaire, par rapport aux contraintes qui sont demandées aux formules de quadrature classiques : ω d = 1 ω d > 0 d d Nous examinons maintenant comment construire des formules de quadrature respectant la (3.19). En première approche, on commencera par étudier une formule de quadrature S 2, avant de passer à un ordre plus élevé. Une formule de quadrature S 2 "optimisée" Une formule de quadrature S 2 est constituée par une seule direction par octant. Elle est donc univoquement déterminée par le couple (ˆΩ 1, ω 1 ), les autres directions se retrouvant par rotation autour de l origine. De ce fait, le poids vaut ω 1 = 1 4, en accord avec la normalisation d ω d = En géométrie 2D on ne définit la quadrature que sur quatre octants (à cause de la symétrie par rapport au plan z = 0) 147

157 ANNEXE A. PROPOSITION DE FORMULES DE QUADRATURE S N OPTIMISÉES De plus aucune partition n est générée et la maille S d coïncidera avec le premier octant (I). En imposant la condition (3.19) on obtient : ω 1 ˆΩ 1 ˆn = I ˆΩ ˆn dω = π 2 0 dϕ 2π 1 0 dµ ˆΩ ˆn = 1 8 Cette relation nous permet de déterminer le vecteur ˆΩ 1. Cependant, puisque ce dernier est un vecteur de norme unitaire, deux conditions linéairement indépendantes suffisent pour le déterminer de façon univoque. Dans l optique de préserver le couplage dans les directions x et y nous choisissons ˆn = ê x, ê y, ce qui nous donne : ˆΩ 1 ê x = ˆΩ 1 ê y = 1 2 Finalement, la troisième composante se trouve en imposant ˆΩ 1 = 1 : ˆΩ 1 ê z = 2 2 Formules de quadrature S n "optimisées" Nous pouvons étendre le résultat précédent, établi pour une quadrature S 2, à une quadrature d ordre générique. Par simplicité d écriture, nous considérons une hypothèse supplémentaire, en prenant ω d = ctte = 1 4N où N est le nombre de directions par octant (i.e. N = n(n+2) 8, pour une formule S n ). De ce fait, on aura le découpage suivant : { } i(i + 1) 0 ;... ; 1 2N ;... ; 1 En imposant la condition (3.19) avec ˆn = ê x on obtiendra : ˆΩ d ê x = 1 1 N i k 2k 1 2 avec : i = n 2, n 1,..., 0 2 avec : ˆΩd µ i [0, π 2 ] et 1 i n 2 i = n 2 i + 1 Pour ce qui concerne la composante y, le calcul est légèrement plus compliqué du fait que ˆΩ 1 ê y = 1 µ 2 cos ϕ. Il est cependant possible d effectuer les intégrations nécessaires et d obtenir une expression analytique. Nous omettons les passages algébriques en donnant directement le résultat. ˆΩ d ê y = N π [ µ ] µb 1 µ 2 arccos(µ) sin ϕ ϕ b ϕ µ a a pour la direction ˆΩ d S d = [µ a, µ b ] [ϕ a, ϕ b ]. Comme auparavant, on veillera à ce que les vecteurs ˆΩ d soient normalisés à 1. On dispose alors d une formule de quadrature respectant la (3.19). Cela dit, il nous semble important de souligner que la démarche présentée dans cette section vise à produire une quadrature spécialement optimisée pour le couplage S n S n tel que défini par la relation (3.9), mais qu elle ne le sera pas forcement pour le couplage S n P n (cet aspect a été traité dans 3.4.5) ou pour le calcul des moments du flux angulaire. 148

158 FIG. A.1 Comparaisons entre une formule de quadrature optimisée S 8 et une formule de quadrature Level Symetric S 8 Nous donnons un aperçu d une formule de quadrature optimisée d ordre S 8, en figure A.1. Pour terminer, nous avons effectué un test sur le benchmark "milieu infini homogène" à l aide des formules de quadrature nouvellement développées. On retrouve un bon comportement, similaire à celui de l approximation flux plat. Quadratures Optimisées x FIG. A.2 Couplage par quadratures optimisées S 8 S 4. Solution numérique du problème "milieu infini" (en bleu la solution analytique) 149

159 150

160 Annexe B Données employées pour le calcul Phébus B.1 Géométrie du problème et milieux homogènes associés FIG. B.1 Modélisation cartésienne FIG. B.2 Modélisation non-structurée 151

161 ANNEXE B. DONNÉES EMPLOYÉES POUR LE CALCUL PHÉBUS B.2 Energie moyenne par milieu (#) Milieu g=1 g=2 g=3 g=4 (1) Modérateur E E E E 02 (2) Réflecteur E E E E 03 (3) Caisson E E E E 02 (4) Combustible E E E E+01 (5) Comb. Barré E E E E+00 (6) Perche E E E E 02 (7) Perche E E E E 01 (8) Perche E E E E 01 (9) Eau E E E E 02 (10) Crayon E E E E+01 (11) Crayon E E E E+01 (12) Crayon E E E E+01 (13) AIC E E E E+00 TAB. B.1 Energie produite par unité de parcours (en MeV cm 1 ) B.3 Section efficaces par milieu (1) Modérateur g=1 g=2 g=3 g=4 σ g t E E E E+00 g = E 01 σ g g s,0 g = E E 01 g = E E E E 05 g = E E E E+00 g = E 02 σ g g s,1 g = E E 01 g = E E E E 05 g = E E E E 01 (2) Réflecteur g=1 g=2 g=3 g=4 σ g t E E E E 01 g = E 01 σ g g s,0 g = E E 01 g = E E E E 04 g = E E E E 01 g = E 02 σ g g s,1 g = E E 02 g = E E E E 05 g = E E E E 02 TAB. B.2 Sections efficaces pour le calcul Phébus 152

162 B.1. GÉOMÉTRIE DU PROBLÈME ET MILIEUX HOMOGÈNES ASSOCIÉS (3) Caisson g=1 g=2 g=3 g=4 σ g t E E E E 01 g = E 01 σ g g s,0 g = E E 01 g = E E E E 05 g = E E E E 01 g = E 02 σ g g s,1 g = E E 02 g = E E E E 06 g = E E E E 02 (4) Combustible g=1 g=2 g=3 g=4 σ g t E E E E+00 νσ g f E E E E 01 χ g E E E E 09 g = E 01 σ g g s,0 g = E E 01 g = E E E E 04 g = E E E E+00 g = E 02 σ g g s,1 g = E E 01 g = E E E E 04 g = E E E E 01 (5) Comb. Barré g=1 g=2 g=3 g=4 σ g t E E E E+00 νσ g f E E E E 02 χ g E E E E 09 g = E 01 σ g g s,0 g = E E 01 g = E E E E 04 g = E E E E+00 g = E 02 σ g g s,1 g = E E 01 g = E E E E 04 g = E E E E 01 TAB. B.2 Sections efficaces pour le calcul Phébus 153

163 ANNEXE B. DONNÉES EMPLOYÉES POUR LE CALCUL PHÉBUS (6) Perche1 g=1 g=2 g=3 g=4 σ g t E E E E 01 g = E 01 σ g g s,0 g = E E 01 g = E E E E 04 g = E E E E 01 g = E 02 σ g g s,1 g = E E 01 g = E E E E 05 g = E E E E 01 (7) Perche2 g=1 g=2 g=3 g=4 σ g t E E E E 01 g = E 01 σ g g s,0 g = E E 01 g = E E E E 04 g = E E E E 01 g = E 02 σ g g s,1 g = E E 01 g = E E E E 05 g = E E E E 01 (8) Perche3 g=1 g=2 g=3 g=4 σ g t E E E E 01 g = E 01 σ g g s,0 g = E E 01 g = E E E E 04 g = E E E E 01 g = E 02 σ g g s,1 g = E E 02 g = E E E E 07 g = E E E E 02 TAB. B.2 Sections efficaces pour le calcul Phébus 154

164 B.1. GÉOMÉTRIE DU PROBLÈME ET MILIEUX HOMOGÈNES ASSOCIÉS (9) Eau g=1 g=2 g=3 g=4 σ g t E E E E+00 g = E 01 σ g g s,0 g = E E 01 g = E E E E 04 g = E E E E+00 g = E 02 σ g g s,1 g = E E 01 g = E E E E 04 g = E E E E 01 (10) Crayon1 g=1 g=2 g=3 g=4 σ g t E E E E+00 νσ g f E E E E 01 χ g E E E E 09 g = E 01 σ g g s,0 g = E E 01 g = E E E E 03 g = E E E E+00 g = E 02 σ g g s,1 g = E E 01 g = E E E E 04 g = E E E E 01 (11) Crayon2 g=1 g=2 g=3 g=4 σ g t E E E E+00 νσ g f E E E E 01 χ g E E E E 09 g = E 01 σ g g s,0 g = E E 01 g = E E E E 03 g = E E E E+00 g = E 02 σ g g s,1 g = E E 01 g = E E E E 04 g = E E E E 01 TAB. B.2 Sections efficaces pour le calcul Phébus 155

165 ANNEXE B. DONNÉES EMPLOYÉES POUR LE CALCUL PHÉBUS (12) Crayon3 g=1 g=2 g=3 g=4 σ g t E E E E+00 νσ g f E E E E 01 χ g E E E E 09 g = E 01 σ g g s,0 g = E E 01 g = E E E E 03 g = E E E E+00 g = E 02 σ g g s,1 g = E E 01 g = E E E E 04 g = E E E E 01 (13) AIC g=1 g=2 g=3 g=4 σ g t E E E E+00 g = E 01 σ g g s,0 g = E E 01 g = E E E E 03 g = E E E E+00 g = E 02 σ g g s,1 g = E E 01 g = E E E E 04 g = E E E E 01 TAB. B.2 Sections efficaces pour le calcul Phebus 156

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167 Publications

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169 Article pour Supercomputing for Nuclear Applications, Paris, Septembre

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171 MIXED FIRST- AND SECOND-ORDER TRANSPORT METHOD USING DOMAIN DECOMPOSITION TECHNIQUES FOR REACTOR CORE CALCULATIONS Enrico GIRARDI and Jean-Michel RUGGIERI Commissariat á l Energie Atomique - Centre d Etude de Cadarache CEA/DEN/CAD/DER/SPRC/LEPH - BAT. 230 F Saint-Paul Lez Durance - FRANCE Abstract The aim of this paper is to present the last developpements made on a domain decomposition method applied to reactor core calcultions. In this method, two kind of balance equation with two different numerical methods dealing with two different unknowns are coupled. In the first part the two balance transport equations (first order and second order one) are presented with the corresponding following numerical methods : Variational Nodal Method and Discrete Ordinate Nodal Method. In the second part, the Multi-Method/Multi-Domain algorithm is introduced by applying the Schwarz domain decomposition to the multigroup eigenvalue problem of the transport equation. The resulting algorithm is then provided. The projection operators used to coupled the two methods are detailled in the last part of the paper. Finally some preliminary numerical applications on benchmarks are given showing encouraging results. 1 Introduction Current 3D core calculation techniques consist of separating the neutronic behaviour in several successive processing steps; at first, detailed (in energy and space) transport calculations are performed for a small region (usually one or a few assemblies); the results are condensed in energy and space to yield coarse mesh few group cross sections. These collapsed cross-sections are then used in coarse mesh full core diffusion or simplified transport calculations to produce fluxes and reaction rates. Finally, local fluxes and reaction rates are reconstructed using interpolation scheme of the coarse mesh results. Every step in these procedures involves approximations with limited validity domain. Of particular concern is the treatment of strong localised heterogeneities such as control rods which in the classical approach are smeared with the surrounding fuel and moderator regions; this treatment usually introduces non negligible errors in the neutronic calculations which might not be compatible with the need to reduce design margins in future reactor concepts. Ideally, strong heterogeneities would be explicitly represented in a complete 3D pin by pin transport calculation of the core; nevertheless this approach would not be realistic on the current generation of computers. The purpose of this paper is to describe and test an approach which should provide the capability, for full core calculation, to change locally the model of the balance equation and numerical resolution technique. To take advantage of a new generation of computers, many studies have been done on domain decomposition techniques although focusing on only one resolution method. This work deals with two very different methods within the same domain decomposition algorithm. This is a novel way to take more advantage of parallel computers with distributed memory capacities. In this work, two kinds of transport method are used. The first one, based on the second order transport equation, is the well known Variational Nodal Method (VNM) developed by E.E. Lewis [1] and the second one, based on the first order equation, is a discrete ordinates (Sn) Nodal Method (SNM) [2, 3]. Theses two methods are presented, in the first part of this paper, to delineate the differences between them. The second part of the paper is devoted to the description of the domain decomposition algorithm used to couple the two methods. The main results of this algorithm is that we can use, for within group equation resolutions the existing codes can be used in developping a generic supervisor to deal with one method in each sub-domain. An important part of this study is the developpement of the coupling operators for the two forward methods. The coupling is achieved by the manipulation of the Boundary Conditions (BC), that are transformed into an understandable BC for each method. The coupling method is applied independently on the angular and the spatial components of the BC.The spatial coupling is realized by a minimisation procedure applied to the discretized BC on the interfaces which are discretized on the bases functions of each transport code. For the angular coupling, two techniques have been used depending on the method that supplies the BC and the one that uses it. Finaly, two validation cases of the method are proposed and discussed. The first use case is a two groups infinite media problem and the second one is a two groups benchmark taken from the well known Takeda benchmarks cases [18]. 1

172 2 First- and Second-Order Neutron Transport Balance Equations 2.1 First Order Balance Equation: Integro-Differential Form The within group integro-differential boltzmann neutron transport equation [4, 5] that is the base of the discrete ordinates (S n ) nodal method follows in its general form : [ˆΩ + σ( r)] ψ( r, ˆΩ) = 1 4π K (2k + 1) σ s,k ( r) k=0 +k l= k φ kl ( r) Y kl (ˆΩ) + S( r, ˆΩ) (1) where the unknown is the neutron angular flux ψ( r, ˆΩ) and φ kl ( r) are the moments of this flux on the spherical harmonics basis Y kl (ˆΩ) and S( r, ˆΩ) is the independent neutron source. Again, σ( r) is the macroscopic total cross section and σ s,k ( r) are the moments of the within group scattering cross section on the Legender Polynomial basis. The appropriate boundaries conditions are : ψ( r, ˆΩ) = 0 ˆΩ ˆn < 0 r Γv (2) ψ( r, ˆΩ) = ψ( r, ˆΩ r ) ˆΩ ˆn = ˆΩr ˆn (ˆΩ ˆΩ r ) ˆn = 0 r Γ r (3) where Γ v and Γ r are the boundary of the domain whereas vacuum and reflective, conditions are applied. 2.2 Second Order Balance Equation : Even-Parity Form In this section, the even parity form [4] of the within-group transport equation that is the basis of the Variational Nodal Method (VNM) [1] is introduced. First the previous within group transport equation (1) with isotropic scattering and sources is given : [ˆΩ + σ( r)] ψ( r, ˆΩ) = 1 4π [σ s( r) φ( r) + S( r)] (4) The even- and odd-parity flux components, ψ + and ψ, with respect to the angular variable ˆΩ are then defined : { ψ( r, ˆΩ) = ψ + ( r, ˆΩ) + ψ ( r, ˆΩ) ψ + ( r, where : ˆΩ) = 1 2 [ψ( r, ˆΩ) + ψ( r, ˆΩ)] ψ ( r, ˆΩ) = 1 2 [ψ( r, ˆΩ) ψ( r, ˆΩ)] To derive the even-parity form of the transport equation, the equation (4) is evaluated for ˆΩ and ˆΩ. By adding and substracting the two resulting equations, two coupled equations with even- and odd- parity fluxes are obtained : ˆΩ ψ ( r, ˆΩ) + σ( r) ψ + ( r, ˆΩ) = 1 4π [σ s( r) φ( r) + S( r)] (5) ˆΩ ψ + ( r, ˆΩ) + σ( r) ψ ( r, ˆΩ) = 0 (6) With (6) the odd-parity flux is expressed in term of the even one and introduced in (5) to obtain the following even-parity form of the transport equation: [ ˆΩ 1 ] σ( r) ˆΩ ψ + ( r, ˆΩ) + σ( r) ψ + ( r, ˆΩ) = 1 4π [σ s( r) φ( r) + S( r)] (7) The appropriate boundary conditions are the following one : ψ + ( r, ˆΩ) 1 σ( r) ˆΩ ψ + ( r, ˆΩ) = 0 ˆΩ ˆn > < 0 r Γ v (8) ψ + ( r, ˆΩ) = ψ + ( r, ˆΩ r ) ˆΩ ˆn = ˆΩr ˆn (ˆΩ ˆΩ r ) ˆn = 0 r Γ r (9) It is important to note that the unknown of this balance equation is the even-parity flux ψ + and not the angular flux ψ anymore. 3 Numerical Methods In this section, the two numerical methods intended to be coupled in our study are introduced. The first one is the Variational Nodal Method based on the second order transport equation and the second one, the Discrete Ordinates Nodal Method based one the first order transport equation. 2

173 3.1 Variational Nodal Method The second order neutron transport balance equation allow us to apply a variational formulation. So, the even-parity transport equation may be formulated as variational principle in terms of minimizaton of a global functional F [ψ + ], including natural (reflexion) and essential boundary condition (vacuum) : F [ψ + ] = V { dv dω 4π [ ] 1 σ (ˆΩ ψ + ) 2 + σ (ψ + ) 2 1 } 4π (σ sφ 2 + 2φS) + dγ dω ˆΩ ˆn (ψ + ) 2 Γ v 4π Decomposition of the spatial domain V into homogeneous nodes V i, i = 1,.., N, yields to use a new functional L. This functional is obtained by using Lagrange multipliers method to inforce the continuity of the trace of the function ( ˆΩ ˆn ψ + ) on each interface between the nodes [6]. N F [ψ + ] L[ψ +, λ] = F i [ψ + ] + dγ ˆΩ ˆn ψ +2 + dγ dω λ m ˆΩ ˆn m 1 2 (ψ + i ψ + j ) i=1 Γ v m γ m 4π where the volumic integral V dv in the fonctional F [ψ+ ] has been decomposed on each node by N i=1 V i dv and λ m are the Lagrange multipliers on the interfaces γ m between the two nodes V i and V j. It may be shown that requiring the stationarity of L[ψ +, λ] with respect to ψ + and λ results in euler- Lagrange equations that are the even-parity transport equation and the identification of the Lagrange multipliers as the odd-parity flux on the interface. λ m = 2 sign(ˆω ˆn m ) ˆΩ ˆn m 1 2 ψ m ψ m. = ψ ( r, ˆΩ) r γ m The resulting functional L[ψ + i, ψ m] can be treated with a Ritz procedure, using: ψ + i ( r, ˆΩ) = ξ T i u i ( r, ˆΩ) u i ( r, ˆΩ) = F i ( r) g + (ˆΩ) r V i (10) ψ m( r, ˆΩ) = χ T m v m ( r, ˆΩ) v m ( r, ˆΩ) = H m ( r) k (ˆΩ) r γ m (11) Here, g + (ˆΩ) vector [k (ˆΩ) vector] contains the first even [odd] spherical harmonics and F i ( r) matrix [H m ( r) matrix] contain the polynomial basis for the internal node i [edge side m] Substituting (10) and (11) into L[ψ + i, ψ m], produce a discretised functional L[ξ i, χ m ]. stationarity with respect to ξ i, the following system appears : Requiring the A i ξ i = s i m M i,m χ m (12) where : [ A i = dv dω V i 4π M i,m = dγ dω (ˆΩ ˆn) v T m u i γ m Vi 4π s i = S dv dω u i 4π V i 4π { } 1 σ (ˆΩ u i ) (ˆΩ u i ) T + σ u i u T i σ s 4π ( ) ( ) ] dω u i dω u T i 4π 4π At the same time, stationarity with respect to χ m, leads to the continuity of the even flux trace (ˆΩ ˆn)ψ + across the interface : Ψ i,m = 0 where : Ψ i,m = M T i,m ξ i (13) m Now, let us define Ψ i ={Ψ i,m, m=1,.., M}, M i ={M i,m, m=1,.., M}, χ i ={χ i,m, m=1,.., M}, the vectors containing the whole side-dependent quantities for each specific node i, so that the equation (13) can be formulated in the following matrix form : Ψ i = M T i ξ i (14) and, in order to develop the reponse-matrix formalism, the following change of variable is introduced : j ± i = 1 4 Ψ i ± 1 2 χ i (15) 3

174 At the lowest order (P 1 ) these quantities represent the Marshack partial currents. Inverting equation (15) Ψ i = 2 (j + i + j i ) and χ i = j + i j i are obtained and finally, after some algebraic manipulations, the reponse-matrix equation (the node indice i is eliminated) becomes : j + = R j + B s (16) The global solution on the full domain is made by a red-black iteration method on the nodes. 3.2 Discrete Ordinates Nodal Method The starting point for the discrete ordinates method [4, 7] is the integro-differential form of the neutron transport equation (1), evaluated on a discrete set of angular direction {ˆΩ d for d=1,.., N d } defined by a proper quadrature formula. This will produce a set of N d integro-differential equations for the unknown ψ d ( r) =ψ( r,. ˆΩ d ) coupled by the source term Q d ( r): Q d ( r) = 1 4π ˆΩ d ψ d ( r) + σ( r) ψ d ( r) = Q d ( r) (17) K (2k + 1) σ s,k ( r) k=0 +k l= k φ kl ( r) Y kl (ˆΩ d ) + S( r, ˆΩ d ) (18) To calculate the angular moments of the flux φ kl, present in the right hand side of equation (17) a quadrature formula is employed, allowing the evaluation of an integral function as: 4π N d dω f(ˆω) 4π ω d f(ˆω d ) (19) This formalism allow to close the system (17 18) and calculate the angular flux moments : d=1 N d φ kl ( r) = 4π ω d [Y kl (ˆΩ d )] ψ d ( r) (20) d=1 The solution of the angular-discretized equation is made by an iterative procedure, called source iteration. First the source term (18) is build in order to be able to solve equation (17). Then the new flux moments (20), needed in the new source term, are build and so on. Spatial discretisation by nodal method The next step in the discretisation of these equations is the treatment of the spatial dependency by using the nodal method [2, 8]. In order to simplify the notation, the direction indice d is eliminated and, on each homogeneus mesh cell, the (x, y) coordinate set is normalised to [ 1, +1]. In this case, the transport equation (17) becomes : 2µ x ψ(x, y) x + 2η y ψ(x, y) y + σψ(x, y) = Q(x, y) (21) First, the expansions of the flux within a node (22) and on the interfaces (23 24) are defined by : ψ(x, y) = (2m + 1) (2n + 1) ψ mn P m (x) P n (y) ψ mn = P m x P n y [ψ(x, y)] (22) m n ψ y± (x) = m (2m + 1) ψ y± m P m (x) ψ y± m = P x m [ψ y± (x)] (23) ψ x± (y) = n (2n + 1) ψ x± n P n (y) ψ x± n = P y n [ψ x± (y)] (24) where ζ ± indicate the outgoing (+) or entering ( ) surface defined by ζ =±1 (with ζ = x, y) and P m n x, P y the transversal projection operators : P m x [...] = 1 2 P n y [...] = dx P m (x)[...] m = 0, 1,... dy P n (y)[...] n = 0, 1,... 4

175 By projection of the equation (21) on the Legendre polynomes of order (m, n), one obtain a set of balance equations : L x mn + L y mn + σ ψ mn = Q mn (25) where the transverse leakage term L ζ mn on the cartesian direction ζ depends on the surface flux moments ψ ζ± n and the interior flux moments ψ m n (if ζ =x) or ψ mn (if ζ =y). With : ν = ν 1, ν 3,... 0 (ν =m, n). Each balance equation (25) couples the interior flux moments to the internal source and surface flux moments. So it can t be solved without a set of propagation equations. The basic idea of the S n nodal method is to write a propagation equation for each cartesian direction, by transverse projection of the equation (21). This produce a set of quasi one-dimensional equations, coupled via the transverse leakage terms, for which a formal solution can be written and evaluated between incoming and outgoing surface. Expanding the internal source and the transverse leakage term, in the case of x-axis, a propagation equation for the y-moment flux is obtained : ψ y+ n = ψ y n e τ x + m E x m [Q mn L y mn] (26) where : E x m = (2m + 1) x 2µ +1 1 dx P m (x ) e τ x 1 x 2 and τ x = σ x µ. Finally, each node governed by an algebric system build on balance equations (25) is coupled with the propagation relationship (26). The solution algorithm is a classical mesh sweep method on the nodes of the domain. The S n nodal method (SNM) we used, is extracted from the IDT code [9]. 4 Multi-method/multi-domain Algorithm 4.1 Drawback At that point, the two methods intended to couple in our domain decompsition method are determinedand cumulate the following properties : The Variational Nodal Method deals with : the Second-order neutron transport balance equation the main unknow is the even-parity flux on each node, and the odd-parity flux on the interfaces the spatial discretization is perform by expansion with Legendre polynomial basis the angular one is based on spherical harmonics basis Whereas the Discrete Ordinates Nodal Method deals with : the Integro-differential neutron transport balance equation the main unknow is the angular flux the spatial discretization is perform by expansion with Legendre polynomial basis the angular one is based discrete ordinates method The only common solution algorithm is the solution of the multigroup formulation of the neutron transport equation by power method. The main difficulties in this work has been the definition of the coupling quantities between the two methods. One natural way to define this quantities was to complete a Schwarz decomposition domain without overlapping and to consider, for each sub-domain, the interface with an other sub-domain as an imposed boundary condition. 5

176 4.2 Solution Algorithm Using Schwarz Domain Decomposition Schwarz Decomposition Method The eigenvalue problem for neutron transport with multigroup approximation imposes to solve for each iteration of the power method the following system : H 11 H 1G Ψ 1 S 1 H =. (27) H G1 H GG Ψ g S g where ( H 0 gg Ψ g ) ( r, ˆΩ) = ˆΩ Ψg ( r, ˆΩ) + σ g t ( r)ψ g ( r, ˆΩ) ( H 1 gg Ψ g ) ( r, ˆΩ) = n n m= n Y nm (ˆΩ) G g =1 σ gg s,n( r)φ g ( r) (28) H gg = δ gg H 0 gg + H 1 gg (29) This system is solved by applying the domain decomposition without overlapping method for two subdomains V v and V s in V where Γ is the interface between these sub-domains. In sub-domain V v, the Variational Nodal Method is used and in sub-domain V s, S N Nodal Method is performed. Formally, for the within group equation, the Schwarz algorithm [14, 15] generates the following matrix formulation : Where : Hgg v 0 bc v 0 Hgg s bc s b v b s d Γ Ψ v g Ψ s g Ψ Γ g = Ψ α g is the restricton of the neutron flux in group g on V α for α = v, s Ψ Γ g is the restricton of the neutron flux in group g on Γ H α gg is the within group transport equation for sub-domain V α for α = v, s bc α are the boundary operators of each method S v g S s g S Γ g (30) b α and d Γ are group independant projection operators on Γ that are detailled in the next section. System (30) is introduced in system (27), and after some permutations, the following system is obtained : H v 0 BC v Ψ v S v 0 H s BC s Ψ s = S s (31) B v B s D Γ Ψ Γ S Γ H11 α H1G α where : H α =..... α = v or s HG1 α HGG α are the multigroup transport equations for each sub-domain and Ψ α 1 S α Ψ α =., S α = 1. α = v, s or Γ (32) Ψ α g are the restriction of multigroup flux Ψ and source S on each sub-domain and on the interface between them and BC α, B α and D Γ are diagonal matrices containing group independant operators. This formulation can be easily extend to N sub-domains. S α g 6

177 4.2.2 Multigroup Solution Algorithm The eigenvalue problem that we have to solve can be writen as : Find the greatest k eff so that the couple (k eff, Ψ) verify HΨ = 1 k eff F Ψ (33) The solution algorithm is performed with the classical power method. But in this case, several methods co-exist * in different sub-domains. The following strategy is defined : Let h be the current iteration number of the power method : Let initialize Ψ 0 and k 0 eff ; Ψ h+1 is defined as a function of Ψ h, so that : Step 1 : Compute Ψ Γ h+1 : Step 2 : Compute for all domains D i, Ψ Di h+1 : Then the eigenvalue k (h+1) eff N dom Ψ Γ h+1 = D Γ 1 (S Γ B Di Ψ Di h ) H Di Ψ Di h+1 = 1 k (h) eff i=1 F Ψ Di h BCDi Ψ Γ h+1 can be evaluated by the following Rayleigh fraction: k (h+1) eff Ndom = k (h) eff i=1 < F Ψ Di h+1, F ΨDi Ndom i=1 < F Ψ Di h The iterative process is stopped when the condition : 1 k(h) eff < ε k is obtained. k (h+1) eff h >, F ΨDi h > The supervisor process developped to take account of this algorithm and that used the core of the codes IDT and VNM, is described in figure 1. 5 Projection Operators The projection operators are now detailled. Because of factorization on angular and spatial basis, u( r, ˆΩ) = f( r) g(ˆω), angular and spatial coupling are independents from each other. Moreover, they depends only on spatial mesh and approximation order of the method-dependent flux basis, so that they can be calculated and stored at the beginning of the code as datas. 5.1 Spatial coupling The aim of our procedure is to transpose a spatial function into an other, caracterised by different discretisation spaces (meshes, base fonctions and order) : g(x) L f(x) Let be Γ = l Γ l, with l = i, j (see figure 2) the discretized interface between two subdomains and ϑ l (x) the caracteristic function for each segment Γ l. The explicit developpement of our function will be : f(x) = g(x) = N ϑ i (x) a (i) k p k (ξ i (x)) (34) i=1 j=1 k M ϑ j (x) b (j) m q m (ξ j (x)) (35) m 7

178 Coupling coefficient calculation Initialisation of solvers (Fission sources, k eff ) External Iteration Loop on domains Loop on groups calculation of the incoming boundary condition : BC Di Ψ Γ Calculate Ψ Di with one-group solvers Storage of the outgoing boundary condition : Ψ Γ Storage of < F new, F old > Eingevalue calculation Fission sources renormalisation by k eff Convergence test (Fission sources, k eff ) supervisor supervisor, IDT / VNM code supervisor supervisor supervisor supervisor IDT / VNM code supervisor supervisor supervisor supervisor supervisor Figure 1: Scheme of the domain decomposition algorithm applied to multigroup transport equation resolution where p k (ξ) and q m (ξ) are the spatial basis defined on a normalised coordinate set and ξ l (x) is the proper scaling function relating the x coordinate to its normalized one (e.g. x = c l + ξ l h l / ξ, where: c l and h l are the center and the lenght of l-th mesh, and ξ its normalised size). x 0 x 1 x i 1 x i x N 1 x N 1... i... N 1... j j M x x 0 x 1 x j 1 x j x j+1 x M 1 x M Figure 2: Generic non-coincident mesh at the interface between two subdomains A classical approch for that kind of problems is to proceed by a minimization of the following functional: F = dx [f(x) g(x)] 2 (36) To obtain the coefficients a (i) k we obtains: Γ present in the development (34) we ask F/ a (i) k a (i) k = j where, because of the orthogonality between p k (ξ) and p k (ξ) : L j i m,k = m = 0 i, k. By this way, L j i m,k b(j) m (37) Γ i Γ j dx p k (ξ i (x)) q m (ξ j (x)) Γ i dx [p k (ξ i (x))] 2 (38) Finally, one could notice that, independently on the choice of spatial basis p k, the zero-moment of each function are strictly conserved : 8

179 q m (ξ) VNM SNM h 0 h 1 h 2 t 0 t 1 VNM h h p k (ξ) = h SNM t t 1 0 3/ Table 1: Spatial coupling coefficient for coincident meshes As seen, spatial coupling does not present major problem for this application. All coupling coefficients can be calculated and stored. Where the spatial basis for each code are : 1 (k=0) VNM : h k (ξ) = 2 3 ξ (k=1) 5/2 + 6 ξ 1 (39) 5 ξ 2 2 (k=2) 5.2 Angular coupling { SNM : t k (ξ) = 1 (k=0) 3 ξ (k=1) ξ 1 (40) For simplicity, spatial dependancies of boundary quantities are not specified, so that all our attention can be fucosed on angular dependancies Angular coupling for VNM< >VNM interface First of all, let us recall the matrix-reponse formalism of the Variational Nodal Method. The one-group solver make several iterations on each node i of the spatial mesh : j + i = Rj i + Bs i (41) At each internal interface between the node i and i we have j i = j + i. Hence, the angular coupling at the interface between two subdomains will be assured by the same kind of relation, with a special note to the fact that the angular developement could be different. Then, the continuity of each spherical harmonic moment presents on both side is imposed. When the outgoing vector j + i does not contains all moments needed for the ingoing vector j i, they are forced to zero (see figure 3). Finally, the coupling method exactly conserve all angular moments. Figure 3: Coupling scheme for odd angular moments from simplified P 5 to P 3 9

180 5.2.2 Angular coupling for SNM< >SNM interface In this case, the continuity of the angular flux can not be enforced because of differences of S n order in each subdomains. The simplest and natural principle for the coupling procedure will be to conserve partial current across interfaces. In order to keep a maximum of information on the angular flux, partial current on each mesh S d of a partition of the half unit sphere 1 2 S 2 = d S d are conserved. Obviously, the coupling will depend on the way one make the partition of the unit sphere in solid angle surrounding each direction. The idea is to define each mesh S d, so that it will be representative of each direction and will have S d dω ω d. For simplicity, let us focus on the first octant. First of all, the 2D quadrature formula are collapsed into a monodimensional one, by adding all weight whose direction have the same µ d, so that we obtain n 2 weight W i (assuming a level symetric quadrature is used). Then,the µ [0, 1] axis is subdevided so that each segment size µ i is proportional to the collapsed wheigt defined before. This will produce a partial decomposition of the octant surface in n 2 streeps defined by (µ, φ) µ i [0, π 2 ]. Finally, each streep is partitioned so that each mesh size S d is proportional to its wheigt ω d. Once the boundaries for the angular grid S d are defined, the conservation of the following quantities is imposed : j d = dω ˆΩ ˆn ψ(ˆω) d=1,.., N d (42) S d Then, with flat flux approximation : ψ(ˆω) d ψ d ϑ d (ˆΩ) where : ϑ d (ˆΩ) = { 1 ˆΩ Sd 0 elsewhere (43) By developing the flux in the (42), : ψ d = S α d,i ψ i where α d,i = d dω ˆΩ ˆn i S i S d dω ˆΩ ˆn This coupling method verify the positivity of the angular flux and the current conservation. (44) Angular coupling for SNM >VNM interface From S n solver the angular flux ψ d ( r) is known on a set of discrete directions done by the quadrature formula. As seen, the Variational Nodal Method needs to know the following quantities at the interface : where : Ψ( r) = χ( r) = 4π 4π j = 1 4 Ψ 1 2 χ (45) dω (ˆΩ ˆn) ψ + ( r, ˆΩ) k (ˆΩ) (46) dω ψ ( r, ˆΩ) k (ˆΩ) (47) The main idea to couple the outgoing S n flux to the incoming partial current-like j of the P n method is to evaluate the integrals(46 47) by the S n quadrature formula : Ψ( r) = d χ( r) = d ω d (ˆΩ d ˆn) ψ d ( r) k (ˆΩ d ) (48) ω d ψ d ( r) k (ˆΩ d ) (49) 10

181 5.2.4 Angular coupling for VNM >SNM interface To set the right boundary condition for an S n method, the incoming angular flux is supplied ψ d ( r) ˆΩd ˆn > 0 (50) In order to build the angular flux done by our P n code, even and odd angular moments are isolated by inversing equation (15) : 2(j + + j + ) = Ψ( r) Ψ( r) =. j + j + = χ( r) χ( r) =. 4π 4π dω (ˆΩ ˆn) ψ + ( r, ˆΩ) k (ˆΩ) (51) dω ψ ( r, ˆΩ) k (ˆΩ) (52) First one remarks that χ contains the angular moments for the odd flux. Again, Ψ represents the angular moments for the odd quantity (ˆΩ ˆn) ψ + (ˆΩ). A limited developement of the odd quantities ψ (ˆΩ) and (ˆΩ ˆn) ψ + (ˆΩ) can be written in term of their moments (52 51) : (ˆΩ ˆn) ψ + ( r, ˆΩ) =Ψ T ( r) k (ˆΩ) (53) ψ ( r, ˆΩ) = χ T ( r) k (ˆΩ) (54) Thus the angular flux is build by adding its odd and even components and the evaluation on each angular direction of discrete ordinate set is then : [ ψ d ( r) = (ˆΩ d ˆn) 1 T Ψ( r) + χ( r)] k (ˆΩ d ) (55) All the operators are defined for the domain decomposition algorithm. The first applications performed with this method are detailled in the following section. Test1 Takeda Core 2 - Control Rod 3 - Reflector (all dimensions are in cm, see tab. 2 for cross sections) Figure 4: Two eingenvalue problems: 1/ heterogeneous infinite medium, 2/the well-known Takeda benchmark 6 Numerical Applications To improve the generic algorithm that has been developped, multiple preliminary tests for each step of the method have been performed. First, testing the domain decomposition technique for each method independently, then Takeda Benchmark [18] is used to check : PN-PM, SPN-SPM, SPN-PM (N and M =1, 3, 5) with VNM domain decomposition method ; SN-SM (N and M=2, 4, 6, 8) with SNM domain decomposition method ; 11

182 Different mesh refinements in each sub-domain : same one, refined and coarse,... A preliminary validation of the supervisor described here was performed by comparing with previous Ph.D Thesis works [6, 17]. Material group σ g (νσ f ) g χ g σ 1 g σ 2 g Core g= E E E E E+00 g= E E E E E 01 Control Rod g= E E E E E+00 g= E E E E E 02 Reflector g= E E E E E+00 g= E E E E E+00 Table 2: Cross sections for the two use case problems Now focusing on the real VNM/SNM coupling method, the first two applications that improve this techniques are presented here. The geometry of the cases calculated are given in figure 4. The first one is an infinite medium with two regions : core and reflector. The second one is the Takeda benchmark geometry with three regions: core, reflector and control rod. The cross-sections used in these applications are given in table 2. The reference flux shape solutions of the two problems are given in figure 5. These references correspond to the transport calculations performed with VNM-P 5 or IDT-S 8 code. For the two geometry k eff Full SNM Full VNM MIXED S 2 S 4 S P P P Table 3: Eigenvalue results of the test1 case for the VNM, SNM and mixed methods the calculations with VNM and SNM include the following approximations : VNM : P 1, P 3, P 5 ; SNM : S 2, S 4, S 8. k eff Full SNM Full VNM MIXED S 2 S 4 S P P P Table 4: Eigenvalue results of the Takeda problem for VNM, SNM and mixed methods In the infinite medium case, the domain is decomposed into two regions with a vertical interface at X=2, 5, 8, 12, 15, 18 cm. VNM [SNM] on the left hand side and SNM [VNM] on the right hand side of the interface have been tested. All the results were similar and only the case with the interface at 8 cm with VNM on the left hand side and SNM on the other is presented. In the Takeda case, the same investigations have been made and the results were similar in terms of flux shapes. Similarily only one case with a vertical interface at 10 cm with VNM on the left hand and SNM on the right hand of the interface is presented. For all these configurations, P 1 S 2, P 1 S 4, P 1 S 8, P 3 S 2, P 3 S 4, P 3 S 8, P 5 S 2, P 5 S 4, P 5 S 8 coupling calculations have been performed and all the resulting k eff are given in the body of tables 3 and 4. In tables 5 and 6, the maximum relative errors between the mixed flux calculations and the reference transport SNM-S 8 flux are given. And finally, figure 6 presents the relative flux error distribution for infinite 12

183 medium case in all coupling cases, figure 7 [resp. 8] show the P 3 S4 [resp. P 3 S2] mixed flux shape and the relative error distribution. φ φ ref φ ref sup S 2 S 4 S 8 P P P Table 5: Mixed flux error results for test1 case The results obtained on the infinite medium case provide us several informations on the VNM-SNM coupling method. First of all, as seen in the table 3 the most consistent cases are the P 1 S 2, P 3 S 4 and P 5 S 8 and that is easily explain by the fact that the angular expansions in each method is consistent. The less accurate results are obtain when the level of angular expansion in SNM is lower that in VNM. In the other hand, the cases where the expansion of VNM is lower than the one in SNM (P 1 S 4, P 1 S 8 and P 3 S 8 ) provide g ood accuracy which is a confirmation of previous results using VNM-VNM coupling method [16]. The same effects are found on the relative flux errors and are given in the table 5 and figure 6. Furthermore, in the figure 6 the trace of the interface at 8 cm that pertubs the flux is strong and on each side of it, there is a smoothing area before recovering a good error shape. φ φ ref φ ref 100 P 1 /S 2 P 1 /S 4 P 3 /S 2 P 3 /S 4 Thermal group Fast group Table 6: Mixed flux error results for Takeda problem These findings on the accuracy of the method are confirmed by the Takeda test case (see tables 4 and 6). But in addition, several interesting effects can be seen on figure 7 for the case P 3 S 4. For example, even if the k eff is different, the shape of the flux is preserved in each group and the error is flat and certainly over-estimated. On the other hand, in the P 3 S 2 case, the accuracy is poor, the interface effect strong and remarkable on the flux shape. In this case, the error flux shape is poor in the SNM sub-domain. Figure 5: Reference fluxes for the two test cases All these preliminary results on the mixed VNM-SNM coupling method are encouraging and new investigations are in progress to solve the non consistent cases we found. 7 Conclusion A mixed first- and second-order transport method using domain decomposition techniques for reactor core calculations has been developped. These algorithms have been structured to extend easily to other methods. The first results obtained provide good accuracy in the coupling of similar angular order for the two methods VNM-SVN. Further work is necessary when the coupling is not conservative and inconsistent. A change of projection operator for VNM >SNM is thus needed to become more efficient in all cases. A lot has now to 13

184 Figure 6: Mixed flux relative error for Infinite Media test Figure 7: Mixed P3 S4 flux shape and relative error for Takeda benchmark Figure 8: Mixed flux P3 S2 shape and relative error for Takeda benchmark 14

185 be done on the convergence of the domain decomposition algorithm and acceleration of the scheme. These findings are also important to make this method usefull for core calculation. the use of parallel computing is one area that are going to be investigated. And in the near future, probability collision method, unstructured characteristics method or even a Monte Carlo Method will be used. References [1] I. Dilbert, E.E. Lewis. Variational Nodal Methods for Neutron Transport. Nucl. Sci. Eng., 91: , [2] W.F. Walters, R.D. O Dell. Nodal Method for Discrete-Ordinates Transport Problems in (x, y)- Geometry. Proc. ANS/ENS Joint Topical Meeting on Advances in Mathematical Methods and Computations, Munich, [3] E.W. Larsen, R.E. Alcouffe. The Linear Caracteristic Method for Spatially Discretisating the Discrete- Ordinates Equations in (x, y)-geometry. Proc. ANS/ENS Joint Topical Meeting on Advances in Mathematical Methods and Computations, Munich, [4] E.E. Lewis, W.F.Miller. Computational Methods of Neutron Transport. Wiley and Sons, New York, [5] J.J. Duderstat, W.R. Martin. Transport Theory. Wiley and Sons, New York, [6] J.M. Ruggieri. Méthodes numériques pour la prise en compte d hétérogenités locales dans le calculs neutroniques de cœurs de rèacteurs. PhD Thesis, Université de Provence, France, [7] R. Sanchez, N.J. McCormick. A Rewiew of Neutron Transport Approximations. Nucl. Sci. Eng., 82:47 63, [8] Y.Y. Azmy. The Weighted Diamond-Difference Form of Nodal Transport Methods. Nucl. Sci. Eng., 98:29 40, [9] I. Zmijarevic. Multidimensional Discrete Ordinates Nodal and Characteristics Methods for the Apollo 2 Code. Proc. ANS Topical Meeting on Advanced Methods and Computations, Madrid, [10] G. Palmiotti, C.B. Carrico, E.E. Lewis. Variational Nodal Transport Methods with Anisotropic Scattering. Nucl. Sci. Eng., 115: , [11] E.E. Lewis, G. Palmiotti. Simplified Spherical Harmonics in the Variational Nodal Method. Nucl. Sci. Eng., 126:48 58, [12] E.E. Lewis. Space-Angle Approximation in the Variational Nodal Method. Proc. ANS Topical Meeting on Advanced Methods and Computations, Madrid (Spain), [13] G. Palmiotti, E.E. Lewis, C.B. Carrico. VARIANT: Variational, Anisotropic Nodal Transport for Multidimensional Cartesian and Hexagonal Geometry Calculation, [14] H.A. Schwarz. Gesammelte Mathematische Abhandlungen. Vierteljahrsschrift der Naturfotschenden Gesellschaft in Zürich, 15: , [15] Y. Saad. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. PWS Pubhishing Company, Boston, [16] J.M. Ruggieri, R. Boyer, J.Y. Doriath, P.J. Finck. Accounting for Strong Localized Heterogeneities and Local Transport Effect in Core Calculation. Nucl. Sci. Eng., 124:82 88, [17] G. Bal. Qualques résultats sur le transport neutronique et le couplage d équations. note HI-72/96/012/0, EDF/DER/DMMN, France, [18] Takeda, Ikeda. 3D neutron transport benchmarks. Nucl. Sci. Tech., 28[7], 656,

186 177

187 Article pour Physor2004, Chicago, Avril

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189 PHYSOR The Physics of Fuel Cycles and Advanced Nuclear Systems : Global Developments Chicago, Illinois, April 25-29, 2004, on CD-ROM, American Nuclear Society, Lagrange Park, IL (2004) A New Method for the Treatment of Local Strong Heterogeneities and its Application to the Phebus Experimental Facility Enrico Girardi 1, Jean-Michel Ruggieri *1, Patricia Sireta 1 and Guillaume Ritter 1 1 Commissariat à l Energie Atomique, Cadarache, St-Paul Lez Durance, France This paper describes an application of our recently-developed decomposition method (Multimethod/multi-domain), showing its benefits, in terms of accuracy and computational time. The chosen application is a benchmark model of the PHEBUS experimental facility at CEA Cadarache. This benchmark is presented and we explain why it is relevant to problems with strong local heterogeneities. The discretization method is described and the results are presented and discussed. The main result is that this method allows us to reduce the CPU time by a factor of 3, while preserving the accuracy of the neutronic indicators: 50 pcm for reactivity, 1% for the flux relative error and 0.1 % for the core-to-bundle power coupling coefficient. KEYWORDS : Transport Calculation, Heterogeneities, Local refinement, Domain Decomposition, Multi-Method/Multi-Domain, Phebus Reactor 1. Introduction Classical techniques for solving the neutron transport equation consist of separating the neutronic calculation in several successive steps. First, very detailed (in energy and space) transport calculations are performed for a small region (usually one or a few assemblies); then, the results are condensed in energy and space to yield few groups homogenized cross sections. These collapsed cross-sections are then used in coarse mesh full core diffusion or simplified transport calculations to yield fluxes and reaction rates. Finally, detailed pin-by-pin fluxes and reaction rates are reconstructed from the coarse mesh results, using an interpolation scheme. Every step in this procedure involves approximations with a limited validity domain. Of particular concern is the treatment of strong localized heterogeneities such as experimental bundles in a reactor, which, in the classical approach, are smeared with the surrounding fuel and moderator regions. This homogenization treatment usually introduces non negligible errors in the neutronic calculations, which might not be compatible with expected experimental accuracy goals. In this work, we apply a new calculation scheme to a benchmark model of the PHEBUS experimental reactor, to quantify the improvements in terms of accuracy on the neutronic quantities of interest and computing time. This new recently-developed approach [1] uses domain decomposition techniques and two kinds of transport methods. The first one, based on the first order transport equation, is a discrete ordinates (S n ) nodal and characteristics method (SNM) [2, 3] whereas the second one, based on the second order transport equation, is the Variational Nodal Method (VNM) developed by E.E. Lewis [4]. These coupled methods give us the capability to employ a very fine mesh in describing a particular fuel bundle with an appropriate numerical method (SNM), while using a much large mesh size in the rest of the core, in conjunction with a coarse-mesh method (VNM). In the next section, our new calculation method and its properties are briefly presented. In Section 3, the benchmark problem is described. Finally, in the last two sections (Secs. 4, 5), the discretization is presented and the results are discussed. * Corresponding author, Tel. (33) , FAX (33) , jmruggieri@cea.fr

190 2. Multi-Method/Multi-Domain Method Our domain decomposition method, named Multi-Method/Multi-Domain (MM/MD), is intended for full core calculations, with provisions for local changes in the solution technique. Many past studies on domain decomposition and mesh refinement techniques have focused on only one resolution method [5, 6, 7]. The present technique is base on two very different methods within the same domain decomposition algorithm. This is an original way to take advantage of different method properties within the same calculation. The two methods coupled in the MM/MD method have the following characteristics : 1) the Discrete Ordinates Nodal Method (SNM) deals with : the Integro-differential neutron transport equation : [ [ˆΩ + σ( r)] ψ( r, ˆΩ) = the main unknown is the angular flux : ψ ; K + 1 k eff F ] ψ( r, ˆΩ) spatial discretization is performed by expansion with Legendre polynomial basis ; angular discretization is based on discrete ordinates method ; 2) the Variational Nodal Method (VNM) deals with : the Second-order neutron transport equation : [ ˆΩ ( 1 ] σ( r) ˆΩ ) + σ( r) ψ + ( r, ˆΩ) = [ ] K + 1 F ψ + ( r, k ˆΩ) eff the main unknowns are the even-parity flux, ψ +, within each node, and the odd-parity flux, ψ, on the interfaces ; spatial discretization is performed by expansion with Legendre polynomial basis ; angular discretization is based on spherical harmonics expansion. The first method, SNM, is very useful to obtain a very good local accuracy [2, 3, 8] because the spatial convergence criterion is the size of the mesh, it is a h-type convergence method: the smaller the mesh is, the more accurate the result is. This method is commonly used for assembly transport calculations. The second method, VNM, is a very powerful method for coarse mesh transport calculation [9, 10, 11]. The convergence criterion is the order of the polynomial basis we used for the expansion of the flux, it is a p-order convergence method: the higher the polynomial expansion is, the more accurate the result is. This method is usually employed in full core transport calculations. The global MM/MD algorithm requires the solution of an eigenvalue problem with multigroup approximation. This algorithm imposes to solve, for each iteration of the power method, a one-speed equation for each group. The presence of several sub-domains doesn t affect the multigroup iterator; only the fission rate contribution for each sub-domain have to be collapsed to build the total fission rate and calculate the global eigenvalue. In order to solve the one-speed problem over the whole domain, iterations are done over the sub-domains [12]. The boundary conditions that represent the connection between sub-domains are computed by specific coupling operators [1].

191 3. PHEBUS Benchmark Description PHEBUS is a small, water cooled, experimental power reactor dedicated to the study of accidental transients [13]. An experimental fuel bundle is located in a dedicated separate loop in the middle of the core. In the PHEBUS-FP experiments, this central bundle is first irradiated for 9 days in a high water cooling flow; then it is heated up for 5 hrs in a monitored low rate steam flow environment (the water cooling circuit is turned off) until fuel meltdown. During this latter phase, the experimental fuel releases FP s in the form of gases and aerosols. The evaluation of this radiological source term is the goal of the PHEBUS-FP program. As a consequence, the power produced by the experimental bundle is an important normalization factor both for thermal degradation and chiefly for fission products release. The neutronic characterization of PHEBUS is a major challenge that require a specific computation scheme as well as a dedicated validation case. The main features to be evaluated are reactivity parameters and power monitoring indicators. Integral and local power indicators are required with a very good accuracy in order to define the conduct of test strategy and also to allow an interpretation of the experiment. Apart the central fuel element, the PHEBUS core does not present any major difficulty for modern neutronic tools. On the contrary, the neutronic characterization of the experimental bundle is very complicated. Indeed there are numerous heterogeneities among which vapor/fuel interfaces, absorbing material in the control rod, but also the experimental fuel burn up and eventually the experimental bundle geometrical evolution during the heat up phase. This is why a mixed calculation scheme seems appropriate, with a refined computation scheme for the bundle and a coarser model for the rest of the core. To be able to analyse the benefit of the MM/MD method for the treatment of the local heterogeneities in the PHEBUS experiments, a benchmark of one configuration has been defined. In this benchmark, a horizontal 2D section has been considered, in which the bundle and the core are approximated in Cartesian geometry. The original geometry is presented with the benchmark model in figure 1. The benchmark model is defined by 13 homogeneous materials. Three regions correspond to the moderator, the reflector and the vessel. The pin cells in the core have been homogenized so that there are only two core regions. Finally, the bundle is described with eight different homogeneous regions. Figure 1: Original geometry and corresponding benchmark model for the PHEBUS core The core-to-bundle power coupling coefficient is defined as the ratio of the energies released in both the core and the bundle. This coupling coefficient is obtained from a calculation which requires a good prediction of the core overall power and an even better prediction of the bundle integral power. The expected overall accuracy in this parameter is between 5% and 10%. To obtain the neutronic characteristics of this model, a classical calculation scheme has been used: a 172 energy groups and detailed collision probability transport calculation has been performed for each sub-assembly. The results are, then, condensed in 4 energy groups and homogenized, to yield the 13 materials cross sections. These sections have been calculated with the APOLLO 2 cell code [14].

192 The neutronic quantities to be evaluated are : the reactivity, the flux shape in each energy group in the bundle and the core-to-bundle power coupling coefficient. 4. Problem Discretization In order to compare all calculations performed in this study, we first produce a reference solution for the benchmark problem. This reference scheme is obtained with a fine mesh, high order S n calculation (S 8 ), in order to take into account spatial and angular flux dependency. A particular attention is needed for thermal group which present the characteristic peak at the interface core-moderator (see Fig.5). The reference mesh (see Fig.2) is 1 mesh per cell for the core, 2 cm square mesh for the moderator, 2 meshes in the reflector thickness and 2 in the aluminum vessel. Figure 2: One-domain, conformal computational mesh : reference grid This choice gives a good reactivity and flux prediction, with a reasonable computational time in 2D calculations. This reference discretization represents a standard PHEBUS calculation mesh in the case that no local refinement method is available. Let us consider the discretization strategy that has been adopted to combine the two types of methods in the same calculation. For that, let us define a 2-subdomain partition for the MM/MD method: the first one is located in the SW corner, containing the bundle and the second one contains the surrounding core. This allows us to independently define the computational mesh for each subdomain. Indeed, this partition has been done to keep in the bundle zone the very fine description of the reference mesh and a relatively coarse mesh discretization in the other sub-domain. So, a good local accuracy can be expected for the experimental bundle with SNM, while accurate global core predictions should be obtained with VNM. To reach our goal, four computational grids have been chosen (see Figs. 3 and 4). The four grids have the same fine reference mesh to discretize the bundle in sub-domain 1. So, the only difference, between them, is the mesh discretization of the core in sub-domain 2. Figure 3: Two-domains, non-conformal computational mesh : Grid 1

193 The first grid (Fig.3) looks closely like the reference mesh (Fig.2), with one fundamental difference, permitted by the MM/MD method: a non conformal mesh is used at the interface between the two subdomains. The mesh in the core corresponds to 1 mesh per cell in the core, 15 meshes in the moderator region, 2 in the reflector and 2 in the aluminum box. The second grid, Grid 2, and third grid, Grid 3, have coarser meshes in the core: 4 by 4 meshes for (Grid 2) and 2 by 2 for (Grid 3), but they both have 6 meshes in the moderator region, one in the reflector and the aluminum box. Finally, the last computational mesh, Grid 4, has 1 coarse mesh per assembly in the core and 3 meshes in the moderator. Grid 2 Grid 3 Grid 4 Figure 4: Coarse computational mesh grids employed in PHEBUS calculations In all calculations, to enforce accuracy, the reference S 8 angular discretization of SNM is kept in the sub-domain containing the bundle. With these four grids, the analysis of MM/MD calculations, in terms of accuracy and computing time, is presented below for different approximations of the VNM or SNM methods in the second subdomain. 5. Results and Discussions Two series of calculations are discussed. In the first one, we explore the capability of the MM/MD algorithm of providing local refinements in space and angle with SNM in both sub-domains. In the second part, the mixed SNM/VNM method with local mesh refinement is tested, using VNM in the second subdomain. 5.1 Phebus benchmark: S 8 S n coupled calculations In this part, we present local refinement calculations for SNM with : S 8 in the sub-domain 1 containing the bundle S n for n = 4, 6, 8 in sub-domain 2. As the SNM method could have trouble with meshes having a too important optical thickness, the calculations are performed only with Grid 1, 2 and 3. Results are reported in Tab.1. In this table, the interesting parameters of the benchmark are given. On the one hand, reactivity ρ, core-to-bundle power coupling coefficient C and the flux error in the bundle subdomain, give a global indication of calculation accuracy compared to the reference calculation. On the other hand, the computational time is presented with S 2 -Boundary Projection Acceleration [15] of inner iterations (t BPA ) or without acceleration (t noacc ).

194 Mesh Grid Bundle Core ρ err ρ flux err C err C t BPA (s) t noacc (s) Reference S Grid 1 S 8 S % % S 8 S % % S 8 S % % Grid 2 S 8 S % % S 8 S % % S 8 S % % Grid 3 S 8 S % % S 8 S % % S 8 S % % Table 1: Phebus calculation S n S m coupling Reference calculation results are contained in the first line of the table and reference flux shapes for the four groups are given in figure 5. These flux shapes show the difficulty to calculate the neutronic parameters of this benchmark while keeping CPU time reasonable. First, neutronic parameters are analysed. The error made in the flux in the bundle subdomain never exceed 1%, so the solution in subdomain 1 is very accurate. Therefore, in this case, it is not a discriminant parameter for the method. Reactivity and power coupling coefficient are more discriminant. From the reactivity point of view, a discrepancy of less than 100 pcm is assumed to be in good agreement with the reference calculation. None of the solution obtained on grid 3 meet this criterion. This is not surprising as we expected that this grid would not be appropriate for the SNM method (O(h) type of convergence). For the coefficient C, the expected target of 5% accuracy, translate into a maximum error of about 1% vs the reference calculation. So, the solutions based on S 8 S 4 angular discretization are not accurate enough. The conclusion of this first part is that, for this benchmark, the most interesting calculation performed by the MM/MD with SNM S 8 S n coupled calculation, with local refinement method, is the S 8 S 6 discretization on Grid 2. Indeed, compared to the reference calculation, the numerical results for all parameters are very good and the computing time is reduced by a factor of about Phebus benchmark: S 8 P n coupled calculations In this section, the coupled SNM/VNM method and local mesh refinement are tested using MM/MD with VNM in the second sub-domain, keeping the S 8 method in sub-domain 1. In contrast to the preceding case, we don t expect any problem with the mesh size thickness, by using an appropriate high order polynomial expansion for the even parity flux for VNM. The calculation on Grid 1 has not been performed, our analysis focusing on Grids 2, 3 and 4. For each grid, the following angular expansions have been performed : P 1, SP 3, SP 5, and P 3. The results are reported in table 2. All solutions obtained with S 8 P 1 calculation present an important discrepancy in terms of reactivity and bundle flux error compared to the reference solution. These results can be easily explained by the fact that the VNM P 1 method is very close to diffusion theory, so that it accounts poorly for transport effects. The other coupled S 8 (S)P n calculations provide more interesting results. The flux error in the bundle subdmain, and power coupling coefficient error do not exceed 1%. From the reactivity point of view, the S 8 P 3 calculation gives the best results ( 50 pcm), compared to S 8 SP n ( pcm). The most accurate calculation obtained with the mixed SNM/VNM method is the S 8 P 3 discretization on Grid 4. This case produces results very close to the reference case. It is about three times faster than the reference case and about 1.5 times faster than the best S n S m calculation.

195 Mesh Grid Bundle Core ρ err ρ flux err C err C t BPA (s) t noacc (s) Reference S Grid 2 S 8 P % % S 8 SP % % S 8 SP % % S 8 P % % Grid 3 S 8 P % % S 8 SP % % S 8 SP % % S 8 P % % Grid 4 S 8 P % % S 8 SP % % S 8 SP % % S 8 P % % Table 2: Phebus calculation S n P m coupling 6. Conclusion In this work, a new approach to take into account strong localized heterogeneities in transport core calculations is presented. This technique allows to distinguish, within a full core calculation, the capability to define several sub-domains where appropriate transport balance equation and resolution techniques can be used. Moreover, in each sub-domain the mesh size is independently refined to take advantage of the selected solution method. To treat correctly local heterogeneities, this MultiMethod/MultiDomain decomposition method relies on two kinds of transport methods. The first one, a discrete ordinates nodal and characteristics method (SNM), is employed with highly refined meshes for the treatment of strong local heterogeneities. The second one, the Variational Nodal Method (VNM), is a powerful method for the treatment of the surrounding core, with a very coarse mesh discretization. To show the efficiency of these techniques, a benchmark model of the PHEBUS reactor, in which a central experimental fuel element require a finer mesh description than the surrounding core, has been defined. The numerical results, show very good accuracy of the coupling method for the most important neutronic indicators. The analysis of these results show that the best way to use the method is to define 2 sub-domains with the following characteristics: Sub-domain 1 : Containing the bundle, discretized with reference fine mesh and SNM method with S 8 angular approximation; Sub-domain 2 : The whole domain without the bundle, discretized with a very coarse mesh and VNM method with P 3 angular approximation. The numerical accuracy is 50 pcm for reactivity, 1% for the flux relative error and 0.02 % for the power coupling coefficient with a cpu time three times smaller with respect to a reference full S 8 calculation. These results are very encouraging and show that the MM/MD algorithm could be an effective way to reduce computational time in Phebus-like problems. We expect even better performance in the case of a 3D calculations. In the future, we intend to investigate an unstructured characteristics solver in the MM/MD method. This will allow us to eliminate the modeling errors due to the Cartesian description of the bundle.

196 First Energy Group Second Energy Group Third Energy Group Fourth Energy Group Figure 5: Flux shapes for the four energy group of PHEBUS benchmark Acknowledgments The authors wish to thank Igor Zmijarevic at CEA Saclay for providing the IDT code [8], which has been used as SNM solver in the MM/MD method. References [1] E. Girardi, J.M. Ruggieri. Mixed First- and Second-order Transport Method Using Domain Decomposition Techniques for Reactor Core Calculations. Proc. International Conference on Supercomputing in Nuclear Application, Paris (France), [2] W.F. Walters, R.D. O Dell. Nodal Method for Discrete-Ordinates Transport Problems in (x, y)- Geometry. Proc. ANS/ENS Joint Topical Meeting on Advances in Mathematical Methods and Computations, Munich, [3] E.W. Larsen, R.E. Alcouffe. The Linear Caracteristic Method for Spatially Discretisating the Discrete-Ordinates Equations in (x, y)-geometry. Proc. ANS/ENS Joint Topical Meeting on Advances in Mathematical Methods and Computations, Munich, 1981.