Solutions examen 5GT math 4h : Décembre 2017

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1 Solutions examen 5GT math 4h : Décembre ère partie 1. Voir feuille de correction séparée : Stats à variables Remarques : - Attention : sois attentif à bien arrondir correctement! - Si on vous demande de donner un résultat final à 3 décimales, utilisez au moins le double de décimales dans vos calculs intermédiaires (6 décimales donc)! - N oubliez pas de mettre une légende sur vos graphiques, que le lecteur s y retrouve dans vos courbes et vos points!!! - Plusieurs élèves confondent ce qu est la meilleure droite d ajustement et la notion de fiabilité de la droite. La droite de régression est toujours la droite d ajustement optimale (au sens des moindres carrés), elle sera donc toujours meilleure que la droite de Mayer pour ajuster le nuage de points. Mais cela ne veut pas dire qu elle est automatiquement fiable!! (la fiabilité dépend de la valeur du coefficient de corrélation r : si r est proche de 0, la droite de régression n est pas fiable.). Voir feuille séparée pour a) et b) c) S = { 0,595 + kπ, k Z} Remarque importante : tan(x) =,5 tan x =,5 On ne peut pas «mettre en évidence» le à l intérieur de la tangente!!! d) voir feuille séparée et ci-dessous (pour s exercer : exs de révision vu avant Noël : ) 1

2 3. (Question très mal faite, je donne la solution complète) L oscillation d une masse accrochée au bout d un ressort positionné horizontalement peut être décrite par la fonction harmonique suivante : d(t) = 3 cos(6πt) où d(t) est la distance (en cm) de la masse par rapport au mur en fonction du temps (en s). d(t) a) Ecris l expression analytique de la fonction d(t) sous la forme d une fonction harmonique sinusoïdale. d(t) = 3 sin ( π 6πt) OU d(t) = 3 sin (6πt + π ) Remarque : π 6πt (π 6π) t b) Précise tous les paramètres de la fonction harmonique obtenue en a) (en ce y compris la période, la fréquence et le déphasage). Indique à chaque fois le nom complet à côté de la lettre représentant le paramètre. A = et A = ω = 6π (pulsation ) T = 1 3 et f = 3 (Rem : on appelle aussi dans ce cas-ci ω la fréquence angulaire, comme rien ne tourne ici ) b = 3 φ = π t = 1 1 c) En combien de temps le ressort fait-il une oscillation complète? En une période, c est-à-dire en un tiers de seconde : 1 s 0,333 s 3 d) En combien de secondes le ressort atteint-il son extension maximale? Il atteint son extension maximale quand d(t) est maximum, c est-à-dire quand le sinus atteint sa valeur minimum (à cause du signe " "). Il suffit donc de résoudre : Ce qui donne, sin (6πt + π ) = 1 t = k, avec k Z

3 En physique, on cherche des grandeurs positives pour le temps. Pour trouver le premier instant où le ressort atteint son extension maximale, il suffit d ajouter autant de périodes qu il faut pour atteindre un temps positif. Ici, une seule période suffit (k=1). La solution est donc t solution = = 1 6 Il faut donc 1/6 de seconde 0,167 s pour que le ressort soit complètement détendu. e) Détermine quels sont les zéros de la fonction d(t). Justifie ton raisonnement. Pour trouver le zéro de d(t), il suffit d égaler d(t) à 0, et de résoudre l équation en t. 0 = 3 sin (6πt + π ) 3 = sin (6πt + π ) Cette dernière équation n a pas de solution, et donc il n y a pas de zéros de d(t). Cette solution est logique physiquement, car cela signifie que la masse ne touche jamais le mur (le modèle mathématique tient compte de l épaisseur du ressort)! e partie 4. L = α. R = 0,76.π ,36 km En estimant à la louche sans calculatrice, cela fait environ Ce qui est une estimation raisonnable. 0, km 5. Le plus simple est de vérifier l identité en travaillant avec les deux membres en même temps et en égalant les produits croisés. Attention : ne pas oublier de JUSTIFIER CHAQUE LIGNE! Remarque : Il est interdit de simplifier des termes dans une somme!!! ex : dans l expression cos α+1 cos α, tu ne peux pas simplifier les cos α!!! 6. 3

4 7. S = { π + kπ, k Z} 3 {π + kπ, k Z} dessin du cercle trigonométrique : voir correction en classe. 6 Remarque importante : cos ( π + x) cos π + cos(x) On ne peut pas «distribuer» le cosinus dans la parenthèse!! 8. no. de la solution : a) / b) 1 c) (Rép : sin π ) d) cotan θ e) 1 & 5 5 f) R\{ π + kπ} g) 0,7 h) p = π i) 4 j) 3 e partie 9. A = T = π ω = 4 b = 1 t = π 8 φ = π Au final, f(t) = sin (4t π ) S = α. r L aire de la pièce correspond à la différence des aires de deux secteurs angulaires : 15 π A = 4 5 π 10 π = L aire de la pièce est donc approximativement de 10 cm. L ordre de grandeur est raisonnable : on peut le vérifier en comptant les carrés sur le dessin. 11. Non! Corrélation n implique pas causalité! On constate que les deux variables sont liées, mais elles pourraient être toutes deux les conséquences d une même cause (ex : population avec un revenu plus faible que la moyenne). 1. (i) Faire des prévisions (interpolation et extrapolation) ; (ii) diminuer la quantité d information à transmettre. 13. Voir théorie. 14. Voir théorie. 15. (a) Voir théorie. (b) p = π application de la théorie f(x) = f(x + p)? sin(4x) = sin (4 (x + π )) = sin(4x + π) = sin(4x) Ok! vérifié x Dom f (c) Impaire et Dom e f = [ 0 ; π 4 ] 4

5 16. Fig 1 : r = 0,7 (corrélation moyenne positive : 0,6 < r <0,8 points assez alignés et quand une variable augmente, l autre a tendance à augmenter aussi) Fig : r = -0,6 (corrélation moyenne négative : -0,8 < r <-0,6 points assez alignés et quand une variable augmente, l autre a tendance à diminuer) Fig 3 : r = 0,1 (corrélation nulle : -0,35 < r < 0,35 points ne sont pas alignés) Fig 4 : r = 0,9 (corrélation forte positive : 0,8 < r < 0,98 points très alignés et quand une variable augmente, l autre a tendance à augmenter aussi) BONUS : f(t) = sin ( π 3 t 8π 3 ) 5