Thème 6: Systèmes d équations

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1 SYSTÈMES D ÉQUATIONS 91 Thème 6: Systèmes d équations Introduction: Certaines applications mathématiques nécessitent parfois l emploi simultané de plusieurs équations à plusieurs inconnues, c est-à-dire de systèmes d équations. Dans ce chapitre, nous allons développer des méthodes pour trouver les solutions communes à toutes les équations d un système. Nous nous limiterons à résoudre des systèmes de deux équations à deux inconnues puis de trois équations à trois inconnues. Finalement, nous appliquerons ces démarches à quelques problèmes de la vie courante. 6.1 Résolution d un système par voie graphique y Démarche générale : Dans ce paragraphe, nous ne traiterons que des systèmes de deux équations à deux inconnues. b P(a ; b) a Q y = f(x) y = g(x) x Considérons la représentation graphique de deux fonctions f et g présentées dans la figure ci-contre. Nous allons nous intéresser aux coordonnées du point (ou des points) d intersection P(a ; b). Il s agira de trouver le(s) couple(s) (a ; b) vérifiant les conditions simultanément : c est-à-dire : b = f (a) et b = g(a) «les deux courbes sont à la même hauteur b au même moment a» Nous dirons que (a ; b) est une solution du système d équations : y = f (x) y = g(x) Sur la figure, nous pouvons observer que ce problème admettra 2 solutions, car il y a 2 points d intersection P et Q. Marche à suivre pour la résolution graphique : a) Transformer le système d équations pour l écrire sous la y = f (x) forme. y = g(x) b) Représenter les 2 fonctions f et g sur un graphique. c) En déduire les coordonnées (a ; b) du ou des points d intersection. d) Coder la solution sous la forme S = {(a ; b) ; }.

2 92 THÈME 6 Modèle 1 : Résoudre le système d équations y = x 2 2x 2 2x y = 2 résolution graphique d un système d équations : y x Exercice 6.1: Résoudre graphiquement les systèmes suivants : a) d) 2x 3y = 6 x + 3y = 15 y = 2x y + 3 = 0 b) e) x 2y = 0 x + 3y = 5 x y +1= 0 x + 2y 8 = 0 c) f) y = x 2 4 x + y = 2 y = x x x + y + 4 = 0 Exercice 6.2: Résoudre graphiquement (ci-dessous) les systèmes suivants : a) 2x + 4y = 6 x + 2y = 3 y b) 2x + 4y = 6 x + 2y = 4 y x x

3 SYSTÈMES D ÉQUATIONS Résolution algébrique d un système de deux équations du 1 er degré à deux inconnues Pour trouver les solutions d un système, nous pouvons manipuler les équations individuellement (comme d habitude) ou combiner les deux équations ensemble jusqu à ce que nous obtenions un système d équations simples dont les solutions peuvent être trouvées rapidement. Ces manipulations (ou transformations) ne modifiant pas les solutions d un système sont précisées ci-dessous. Manipulations : (1) Intervertir deux équations, (2) Additionner un multiple d une équation à un multiple de l autre équation. Modèle 2 : Résoudre le système : 6x + 3y = 1 2x 5y = 5 Définition : La technique utilisée dans le modèle précédent est appelée méthode par addition (ou par combinaison linéaire), elle est particulièrement efficace sur les systèmes présentés sous la forme : x + y = x + y =

4 94 THÈME 6 Modèle 3 : Résoudre le système : 5 x 1 y + 1 = x 7 3y = 0 2 résolution par addition Exercice 6.3: Résoudre par addition les systèmes suivants : a) 2x + 3y = 2 x 2y = 8 b) 4x + 5y =13 3x + y = 4 c) 2x + 5y =16 3x 7y = 24 d) 7x 8y 9 = 0 4x + 3y +10 = 0 e) 3r + 4s = 3 r 2s = 4 f) 9u = 2v 5v = 3u 17 g) x = 6y y = 3x h) 2x + 8y = 7 3x 5y = 4 i) 1 c + 1 d = c 2 d = 1 3 j) l) 1 2 t 1 5 v = t + 1 v = ,11x 0,03y = 0,25 0,12x + 0,05y = 0,70 k) m) 3x 2y = x + 3y = 2 2x 3y = 5 6x + 9y =12

5 SYSTÈMES D ÉQUATIONS 95 Modèle 4 : Résoudre le système : 2x + 4y = 6 x + 2y = 3 avec une infinité de solutions Modèle 5 : Résoudre le système : 2x + 4y = 6 x + 2y = 4 n admettant pas de solution Exercice 6.4: Résoudre par addition les systèmes suivants : a) 3p q = 7 12p + 4q = 3 b) 3m 4n = 2 6m + 8n = 4 c) x 5y = 2 3x 15y = 6

6 96 THÈME 6 Exercice 6.5: Pour les cracks: a) x y 3 x y 2 =1 x + y = 3 b) x y 2 5 = 2 2x 21 = 5 2y 3 c) x 4 3y +4 = x y x 5 2y 4 = x d) x 3 y +1 +1= x +1 3y 1 = e) = 2 x y 4 5 =1 x y 6.3 Problèmes d application Les techniques de résolution des systèmes d équations à deux inconnues permettent de résoudre des problèmes de la vie courante. application : Modèle 6 : Un producteur a une exploitation de 100 hectares sur laquelle poussent des laitues et des choux. Chaque hectare de choux nécessite 600 heures de travail, et chaque hectare de laitues nécessite 400 heures de travail. Si l on dispose de heures et que tout le terrain et toute la main-d œuvre doivent être utilisés, trouver le nombre d hectares de chaque légume qu il faudrait planter.

7 SYSTÈMES D ÉQUATIONS 97 Démarche : Pour résoudre un problème à deux inconnues : on désigne les 2 inconnues ; on traduit les données du problème par deux équations ; on résout le système formé par les deux équations ; on vérifie si la solution découverte convient au problème ; on énonce la (les) solution(s) qui convient (conviennent) sous la forme d une phrase. Exercice 6.6: Exercice 6.7: Exercice 6.8: Exercice 6.9: Exercice 6.10: Le prix d entrée pour une pièce de théâtre dans un lycée était de 3 fr. pour les élèves et de 4.50 fr. pour les autres personnes. Si 450 billets ont été vendus pour un total de fr., combien de billets de chaque catégorie ont été achetés? Une papeterie vend deux sortes de blocs-notes aux librairies des collèges, la première sorte au prix de gros de 1 fr. et la seconde sorte à 1,40 fr. La papeterie reçoit une commande de 500 blocsnotes, accompagnée d un chèque de 572 fr. Si la commande ne précise pas le nombre de blocs-notes de chaque sorte, comment la papeterie devrait-elle exécuter la commande? Un marchand veut mélanger des cacahuètes coûtant 6 fr. la livre et des noix de cajou coûtant 16 fr. la livre, pour obtenir 60 livres d un mélange coûtant 10 fr. la livre. Combien de livres de chaque sorte faudrait-il mélanger? Le vol de Los Angeles à Albuquerque, avec une escale à Phoenix, coûte 90 fr. de Los Angeles à Phoenix et 120 fr. de Los Angeles à Albuquerque. Au total, 185 passagers sont montés dans l avion à Los Angeles, et la recette totale a été de fr. Combien de passagers sont descendus de l avion à Phoenix? Un crayon de 8 centimètres de long et 1 centimètre de diamètre doit être fabriqué à partir de 5 cm 3 de cire colorée. Le crayon doit avoir la forme d un cylindre surmonté d une petite pointe conique (voir la figure). Trouver la longueur x du cylindre et la hauteur y du cône.

8 98 THÈME 6 Exercice 6.11: Exercice 6.12: Exercice 6.13: Une femme a fr. à investir dans deux fonds qui paient un intérêt simple à des taux de 6% et 8%. Les intérêts sur le fond à 6% sont exemptés d impôt ; par contre, il faut payer un impôt sur les intérêts du fond à 8%. Comme la femme est dans une tranche d imposition élevée, elle ne veut pas investir tout son argent dans le compte à 8%. Y a-t-il un moyen d investir l argent afin qu elle reçoive f. d intérêts à la fin d une année? Un fondeur d argent a deux alliages, l un contenant 35 % d argent et l autre 60 % d argent. Quelle quantité de chaque alliage faudrait-il fondre et mélanger pour obtenir 100 grammes d un alliage qui contienne 50 % d argent? Une grande table de conférence doit être fabriquée en forme de rectangle avec deux demi-cercles à ses extrémités (voir la figure). La table doit avoir un périmètre de 12 mètres, et l aire de sa partie rectangulaire doit être le double de la somme des aires de ses deux parties en demi-cercle. Trouver la longueur l et la largeur w de la partie rectangulaire de la table de conférence. Exercice 6.14: Un avion, volant avec un vent arrière, parcourt km en 2 heures. Le trajet de retour, effectué contre le vent, prend 2 1/2 heures. Trouver la vitesse de croisière de l avion et la vitesse du vent (supposer que les deux vitesses sont constantes). Exercice 6.15: La figure montre les échelles de température Celsius C et Fahrenheit F. La relation entre les 2 températures est du type: C = a(f b) Déterminer a et b afin de retrouver la formule permettant de convertir les Fahrenheit en Celsius. Exercice 6.16: Lorsqu une balle roule le long d un plan incliné, sa vitesse v(t) (en cm/s) au temps t (en s) est donnée par v(t) = v 0 + at pour une vitesse initiale v 0 et une accélération a (en cm/s 2 ). Si v(2) = 16 et v(5) = 25, trouver v 0 et a.

9 SYSTÈMES D ÉQUATIONS 99 Exercice 6.17: Exercice 6.18: Exercice 6.19: Exercice 6.20: Exercice 6.21: Si un objet est projeté verticalement vers le haut d une hauteur de s 0 mètres avec une vitesse initiale de v 0 (en m/s), sa position s(t) par rapport au sol après t secondes est 5t 2 + v 0 t + s 0. Si s(1) = 95 et s(2) = 160, que valent v 0 et s 0? Une petite société d ameublement fabrique des canapés et des fauteuils. Chaque canapé nécessite 8 heures de travail et 120 fr. de matériel, alors qu un fauteuil peut être construit pour 70 fr. en 6 heures. La société dispose de 340 heures de travail par semaine et peut se permettre d acheter pour fr. de matériel. Combien de fauteuils et de canapés peut-on fabriquer s il faut utiliser toutes les heures de travail et tout le matériel? Un fermier prépare un mélange d avoine et de blé pour le bétail. 30 grammes d avoine apportent 4 grammes de protéines et 18 grammes d hydrates de carbone, et 30 grammes de blé fournissent 3 grammes de protéines et 24 grammes d hydrates de carbone. Quelle quantité (en grammes) de chaque céréale faudrait-il employer pour satisfaire à des besoins nutritionnels de 200 grammes de protéines et grammes d hydrates de carbone pour chaque ration? Déterminer la pente est l ordonnée à l origine d une fonction affine dont la représentation graphique passe par les points A(-1 ; 4) et B(8 ; -2) Déterminer les coordonnées du point d intersection I représenté sur le graphe ci-contre. Intermède curieux: On considère les 3 systèmes suivants : 10x + 9y =19 9x + 8y =17 10x + 9y =19,2 9x + 8y =16,9 10x + 8,9y =19 9,1x + 8,1y =17 a) les comparer «visuellement» ; b) résoudre chaque système. Que constatez-vous d étrange?

10 100 THÈME Systèmes du second degré Modèle 7 : Résoudre le système : xy x 2 = 10 2x y 9 = 0 résolution par substitution : Démarche de résolution : on isole une inconnue dans une des deux équations; dans l'autre équation, on remplace cette inconnue par l'expression trouvée; on résout l'équation à une inconnue ainsi obtenue ; pour chaque solution obtenue, on remplace dans la première équation la deuxième inconnue par la solution qui vient d'être découverte ; on résout cette dernière équation à une inconnue ; on vérifie, si on a un doute, que les nombres du couple trouvé vérifient les équations du système ; la solution cherchée est donnée par le couple ainsi déterminé que l on code sous la forme S = {( ; ) ; }.

11 SYSTÈMES D ÉQUATIONS 101 Modèle 8 : Résoudre le système : 2x 2 + y 2 = 51 x + 2y = 3 résolution par substitution : Exercice 6.22: Résoudre par substitution les systèmes suivants : a) d) g) y = x 2 4 y = 2x 1 y 2 = x x + 2y + 3 = 0 3x 4y + 20 = 0 3x + 2y + 8 = 0 b) e) y = x 2 +1 x + y = 3 x + y =1 2x 3y =12 c) f) y 2 =1 x x + 2y =1 2x 3y =1 6x + 9y = 4

12 102 THÈME 6 Modèle 9 : Résoudre le système : x 2 + y 2 = 25 2x + 3y = 18 résolution par substitution : Exercice 6.23: Résoudre par substitution les systèmes suivants : a) d) g) x + 3y = 5 x 2 + y 2 = 25 x 2 + y 2 = 25 3x + 4y = 25 x 2 + y 2 =16 2y x = 4 b) e) h) 3x 4y = 25 x 2 + y 2 = 25 x 2 + y 2 = 9 y 3x = 2 x 2 + y 2 =1 y + 2x = 3 c) f) i) x 2 + y 2 = 8 y x = 4 x 2 + y 2 =16 y + 2x = 1 xy = 2 3x y + 5 = 0

13 SYSTÈMES D ÉQUATIONS 103 Modèle 10 : Un rectangle a un périmètre de 112 cm et une aire de 768 cm 2. Trouver les dimensions du rectangle. application : Exercice 6.24: Un rectangle a un périmètre de 164 cm et une aire de 897 cm 2.. Trouver les dimensions du rectangle. Exercice 6.25: Exercice 6.26: Exercice 6.27: La somme des périmètres de deux carrés est de 128 cm et la somme des aires de ces carrés est de 520 cm 2. Trouver les dimensions des carrés. Trouver deux nombres connaissant leur somme 16 et la différence de leurs carrés 32. Trouver une fraction égale à 3 dont la somme des carrés du numérateur et du dénominateur égale 160.

14 104 THÈME 6 Exercice 6.28: Exercice 6.29: Exercice 6.30: Exercice 6.31: Exercice 6.32: Exercice 6.33: Exercice 6.34: Exercice 6.35: On place un capital de fr. de la manière suivante : une partie à un certain taux et le reste à un taux supérieur de 1% au précédent. Après un an, l'intérêt de la première partie est 1080 fr. et celui de la seconde 960 fr. On demande la répartition du capital et les taux. Un fermier a 2420 m de clôture pour entourer un domaine rectangulaire qui longe une rivière rectiligne. Si aucune clôture n est utilisée le long de la rivière, est-il possible d entourer ares de terrain? (Rappelons que 1 are = 100 m 2 ) Un rectangle a pour aire 120 cm 2. Si on augmente une dimension de 3 cm, et si on diminue l'autre de 2 cm, l'aire ne change pas. Déterminer les dimensions du rectangle. Déterminer les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle connaissant son aire 30 cm 2 et son hypoténuse 13 cm. Déterminer la base d'un triangle isocèle sachant que son aire égale 48 cm 2 et que les côtés égaux du triangle ont 10 cm chacun. Dans un triangle isocèle, on donne le périmètre : 18 cm et la hauteur relative à la base : 6 cm. Déterminer les côtés du triangle. Un sol est recouvert de 500 dalles carrées. Si l on avait utilisé des dalles 5 cm plus longues et 5 cm plus larges, il en aurait fallu 320 pour recouvrir le sol. Quelles sont les dimensions des premières dalles? Le problème de l isopérimètre consiste à démontrer que de toutes les figures géométriques planes ayant le même périmètre (isopérimètre), c est le cercle qui a la plus grande aire. Montrer qu aucun rectangle ne peut avoir à la fois le même périmètre et la même aire qu un cercle de rayon 1.

15 SYSTÈMES D ÉQUATIONS Résolution algébrique d un système de trois équations du 1 er degré à trois inconnues Nous allons généraliser, la méthode de résolution par addition ( 6.3) à un système de 3 équations à 3 inconnues. Modèle 11 : Marie a fait des confitures et a placé les pots, petits, moyens et grands sur trois rayons. Il y a exactement 5 kg sur chaque rayon. Combien pèsent un grand pot, un moyen et un petit? Création du système Modèle 12 : Résoudre le système : x + y + z = 6 5x + 4y + 3z = 22 15x +10y + 6z = 53 résolution d un système de 3 équations à 3 inconnues :

16 106 THÈME 6 Exercice 6.36: Résoudre les systèmes suivants : a) x + 3y + 2z = 13 2x 6y + 3z = 32 3x 4y z =12 b) 2x 3y + 2z = 6 x + 8y + 3z = 31 3x 2y + z = 5 c) 2x + y = 2 4y + z = 0 4 x + z = 6 d) 2x + y z =19 x y + 3z = 19 2x y z = 9 e) x + y + z =14 x y + z = 6 x y z = 4 f) x + y 6z = 9 x y + 4z = 5 2x 3y + z = 4 g) 2x 3y + 5z = 4 3x + 2y + 2z = 3 4 x + y 4z = 6 h) x + y + z = 30 8x + 4y + 2z = 50 27x + 9y + 3z = 64 Exercice 6.37: À propos du modèle n 11. Résoudre le problème d introduction (pots de confiture) Exercice 6.38: Une personne possède 19 pièces de monnaie, 8 pièces de type A, 5 pièces de type B et 6 pièces de type C. La pile des 19 pièces mesure 21 mm de hauteur. Une pile constituée de 3 pièces de type B et de 4 pièces de type C mesure 9,5 mm de hauteur. Une pile constituée de 6 pièces de type A et de 4 pièces de type B mesure 10,5 mm de hauteur. Déterminer la hauteur d une pile constituée de 2 pièces de type A et 9 pièces de type C. Exercice 6.39: Exercice 6.40: Mélange de solutions médicamenteuses. Trois solutions contiennent un certain médicament. La première contient 10% de médicament, la deuxième 30% et la troisième 50%. Un infirmier aimerait utiliser les trois solutions pour obtenir 50 millilitres d un mélange contenant 32% de médicament. S il veut utiliser deux fois plus de solution à 50% que de solution à 30%, combien de millilitres de chaque solution devrait-il utiliser? Mélange de cafés. Un magasin est spécialisé dans la préparation de mélanges de cafés pour gourmets. À partir de cafés colombiens, brésiliens, et kenyans, le propriétaire aimerait préparer des paquets d une livre, qui se vendraient à 8 fr 50. Le prix à la livre de ces cafés est respectivement de 10 fr, 6 fr et 8 fr. La quantité de café colombien doit être le triple de celle du café brésilien. Trouver la quantité de chaque sorte de café dans le mélange.

17 SYSTÈMES D ÉQUATIONS 107 Application Modèle 13 : Déterminer la fonction du 2 ème degré dont voici la représentation graphique : y x Exercice 6.41: Déterminer la fct du 2 ème degré dont le graphe passe par les points: a) A(-2 ; 11) B(1 ; -4) C(3 ; 6) b) A(1 ; -2) B(-1 ; -6) C(0 ; -3) Exercice 6.42: Un peu d artillerie!!! La trajectoire d un obus est assimilée une parabole Connaissant 3 points de la trajectoire, saurez-vous retrouver Distance par rapport à Lausanne 20 km 30 km 40 km altitude de l obus 700 m 1000 m 900 m a) La position du canon b) La position de la cible si elle est à la même altitude que le canon c) La flèche de la trajectoire de l obus (jetez un coup d oeil dans le dico!) d) Si la cible est à une altitude de 400 m plus élevée que le canon, quelle est sa distance par rapport à Lausanne?

18 108 THÈME 6 Exercice Défi: Compléter ce triangle de manière à ce que le nombre inscrit dans chaque case soit égal à la somme des deux nombres inscrits dans les cases juste en dessous de celle-ci

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20 110 THÈME 6