Université Sultan Moulay Slimane

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1 Université Sultan Moulay Slimane Faculté des sciences et techniques de Beni Mellal Année universitaire : 2012/2013 Cours du Module Algèbre I Abdesselam BOUARICH Deuxième version : 14/01/2013

2 Table des matières 1 Logique mathématique et théorie des ensemble Logique mathématique Assertions et propositions logiques Les connecteurs logiques Théorie des ensembles Ensembles et appartenance Les quantificateurs Opérations sur les ensembles L intersection de deux ensembles La réunion de deux ensembles Intersection et réunion d une famille d ensembles La différence de deux ensembles La différence symétrique de deux ensembles Le produit cartésien de deux ensembles Notion d applications (ou fonctions) Défintions et propriétés Injection, surjection, bijection Les modes de raisonnement mathématique Raisonnement par déduction dirècte Raisonnement par exclusion Raisonnement par contraposition Raisonnement par l absurde Raisonnement par la recherche d un contre-exemple Raisonnement par récurrence Arithmétique de l ensemble Z L ordre dans l ensemble Z

3 2.2 Divisibilité dans Z Généralités sur la divisibilité Le PGCD L Algorithme d Euclide Le PPCM Les nombres premiers Structures algébriques fondamentales Groupes, anneaux et corps Structure de groupes Structure d anneaux Structure de corps Les congruences dans Z Le corps des nombres complexes C Construction algébrique du corps des nombres complexes C Représentation classique des nombres complexes Représentation géométrique des nombres complexes Expression exponentielle des nombres complexes Racine n-ième de l unité Résolution des équations algébriques de degré Polynômes et fractions rationnelles L anneau des polynômes K[X] Définition abstraite de l anneau K[X] Arithmétique de l anneau des polynômes K[X] Factorisation en polynômes irréductibles Les zéros d un polynôme de K[X] Dérivation des polynômes de K[X] Polynômes irréductibles de C[X] et de R[X] Le corps des fractions rationnelles K(X) Définition du corps K(X) Décomposition en fractions rationnelles simples Espaces vectoriels sur un corps commutatif : R ou C Généralités sur les espaces vectoriels Définitions et propriétés Le K-espace vectoriel des matrices Sous-espaces vectoriels Définitions et propriétés

4 5.2.2 Opérations sur les sous-espaces vectoriels L intersection de deux sous-espaces vectoriels La somme de deux sous-espaces vectoriels Engendrement des sous-espaces vectoriels Les systèmes lineaires Généralités sur les systèmes d équations linéaires Définitions et exemples Structure algébrique de l ensemble solution d un système linéaire Le cas d un système linéaire homogène Espaces affines dans K n Le cas d un système linéaire non homogène Opérations élémentaires de Gauss sur les systèmes linéaires Définition des opérations élémentaires de Gauss Effets des opérations élémentaires de Gauss sur les systèmes linéaires Expressions matricielles des systèmes linéaires Résolution des systèmes linéaires par la méthode du pivot La méthode du pivot de Gauss L algorithme de Gauss-Jordan Problème de l appartenance d un vecteur à un sous-espace vectoriel Base et dimension d un espace vectoriel Bases et dimension d un espace vectoriel Indépendance linéaire Base d un espace vectoriel Dimension d un espace vectoriel Supplémentaire d un sous-espace vectoriel Constructions pratiques des bases Le rang d une famille de vecteurs Les sous-espaces vectoriel des lignes et des colonnes d une matrice Bases de l ensemble solution d un système linéaire homogène Système d équations linéaires d un sous-espace vectoriel Bases de l intersection de deux sous-espaces vectoriels Base de la somme de deux sous-espaces vectoriels Les applications linéaires et les matrices L algèbre des matrices La structure de K-algèbres

5 8.1.2 L algèbre des matrices Matrices particulières Transposé d une matrice Matrices symétriques et antisymétriques Matrice diagonale Matrices triangulaires Matrices carrées inversibles Définition et propriétés Matrices élémentaires de Gauss Algorithme du calcul de l inverse d une matrice carrée Les applications linéaires Définitions et propriétés L espace vectoriel des applications linéaires Les matrices et les applications linéaires Les matrices en tant que applications linéaires Matrice associée à une application linéaire Noyau et image d une applicaton linéaire Définitions et propriétés Relation entre les applications linéaires et les systèmes linéaires Changement de bases Changement des coordonnés dans un espace vectoriel Le cas d une application linéaire Détérminant d une matrice Déterminants Le déterminant d une matrice carrée d ordre deux Le déterminant d une matrice carrée d ordre trois Le déterminant d une matrice carrée d ordre n Définition et propriétés Applications des déterminants Calcul de l inverse d une matrice inversible Résolution des systèmes linéaires par la méthode de Cramer Espaces et vecteurs propres d un endomorphisme Vecteurs propres et valeurs propres Polynôme caractéristique et calcul des valeurs propres Théorèmes de diagonalisation

6 vi TABLE DES MATIÈRES

7 Chapitre Premier Éléments de logique mathématique et théorie des ensembles En analysant attentivement un cours de mathématique (ou un livre) on constate que son contenu se développe en passant par les trois étapes élémentaires suivantes : 1. La construction des objets mathématiques : nombres, fonctions, ensembles, figures géométriques... C est l étape préliminaire de définition et d introduction d objets mathématiques. 2. La formation de relations entre les objets mathématiques construits en respectant un ensemble de règles et de lois logiques. C est l étape de formulation des propositions et des théorèmes mathématiques. 3. La démonstration des théorèmes. C est l étape de validation des propositions qui sont logiquement vraies. D habitude, l homme construit les objets mathématiques dans le but de comprendre, de décrire, de modéliser, de calculer et de prédire les phénomènes naturelles(physique, économique, sociologique, météorologique...) et par la suite en découvrir les lois qui les gouvernent. Les objets mathématiques sont donc crées par l homme pour résoudre des problèmes vécus au quotidien et non pas pour répondre ou satisfaire un plaisir intellectuel personnel. En mathématique on entend par théorème toute relation entre les objets mathématiques qui soit logiquement vraie. La méthode qui permet de justifier qu un théorème donné est vari s appelle raisonnement mathématique ou démonstration. En général, la démonstration d un théorème se développe en utilisant des notions mathématiques logiquement évidentes (les axiomes) tout en respectant les règles de la logique mathématique. Une démonstration peut faire aussi appel à d autres théorèmes démontrés auparavant, donc considérés comme des notions mathématiques acquises. Grosso modo les théorèmes en mathématique se divisent en quatre types : 1. Le lemme : est un théorème dont la démonstration prépare la démonstration d un autre théorème très important. 2. Le corollaire : est un théorème qu on déduit de façon prèsque immédiate à partir d un

8 2 Logique mathématique et théorie des ensemble théorème déjà démontré. 3. Théorème d existence : est un théorème qui énonce l existence d un objet mathématique répondant à une certaine question ou possédant une propriété particulière. La démonstration de tels théorèmes se fait soit de façon inductive ou soit de façon constructive. 4. Théorème d unicité : est un théorème qui énonce l existance d un seul objet mathématique vérifiant certaines propriétés ou lois logiques bien déterminées. Dans ce chapitre, on donnera les outils de la logique mathématique nécessaires pour développer les démonstrations rigoureuses des théorèmes proposés. Concernant l apprentissage des méthodes de construction d objets mathématiques et la formulation des théorèmes ce sont des habilités qui se dévelepperont chez l étudiant avec le temps et au fur et à mesure qu en assistant au cours et aux travaux dirigés (ou par fois en participant aux travaux partiques), ces habilités s acquièrent aussi et se perfectionnent en lisant les livres de mathématique écrits par des mathématiciens expérimentés. Dans la première section de ce chapitre on donnera quelques définitions et on fixera les règles de la logique mathématique utiles pour le développement des démonstrations des théorèmes qu on va énoncer dans le reste de ce cours d algèbre et dans les autres cours de mathématique. Dans la deuxième section on va introduire les notions intuitives d ensembles et d appartenance, puis on effectuera quelques opérations sur les ensembles. Dans la dernière section de ce premier chapitre on va exliquer et illustrer les modes de raisonnement mathématiques les plus célèbres. 1.1 Logique mathématique Assertions et propositions logiques Définition 1. On appelle assertion une phrase (ou un énoncé) mathématique possédant une seule valeur de vérité logique qui soit vraie ou fausse. Noter que le texte de la définition 1 exige qu une assertion logique est nécessairement vraie, sinon il est nécessairement fausse. Ce fait logique s appelle principe du tière exclu. Pour formuler une assertion logique on pourra utiliser des signes (+,,,=, ), des symboles, les mots du langage courant et les phrases qui sont grammaticalement correctes. Dans la suite, si une assertion est reconnue vraie on lui attribue la valeur de vérité V et si elle est reconnue fausse on lui attribue la valeur de vérité F. Exemple 1. On désigne par N = {0,1,2, } l ensemble des entiers naturels. Dans N on a 1 < 2 : est une assertion vraie, donc sa valeur de vérité est V. Dans N on a 1+1 = 3 : est une assertion fausse, donc sa valeur de vérité est F. Définition 2. Un énoncé mathématique qui est formulé par la combinaison de plusieurs asserions ou qui peut contenir des variables s appelle proposition logique. En particulier, toute assertion logique est une proposition.

9 Logique mathématique 3 Unepropositionlogiquepeutêtredésignéeparunelettremajusculeouminuscule:P,Q,R, ou p,q,r, Lorsque la valeur de vérité d une proposition P est vraie indépendamment des variables de P on dira que la proposition P est une loi logique. Exemple 2. Voici des exemples de propositions logiques : Dans l ensemble N, l enoncé P(x) : x 2 16 > 0 : est une proposition vraie pour les entiers naturels x strictement supérieurs à quatre, et elle est fausse pour les entiers naturels x = 0,1,2,3 et 4. Dans l ensemble N, l enoncé Q(x) : x 0 : est une loi logique car elle vraie pour tous les entiers naturels x éléments de N Les connecteurs logiques Dans ce pargraphe, on va introduire des opérations élémentaires sur les propositions logiques. Ces opérations s appellent connecteurs logiques car elles nous permettent de construire de nouvelles propositions logiques à partir d autres propositions logiques dont la valeur de vérité est connue. A) La négation d une proposition P se note (non P) ou P. La proposition P est vraie si P est fausse, elle est fausse si P est vraie. Le tableau suivant s appelle table de vérité de la proposition P. P P V F F V Il est interessant de souligner que puisque une proposition logique P supporte une seule valeur de vérité il s ensuit que P et P ne prennent jamais la même valeur de vérité, autrement dit, une proposition logique P ne peut pas être simultanément varie et fausse. Ce fait logique s appelle principe de non-contradition. B) La conjonction des propositions P et Q se note (P et Q) ou P Q, sa valeur de vérité est donnée par la table de vérité suivante : P Q P Q V V V F V F V F F F F F C) La disjonction des propositions P et Q se note (P ou Q) ou P Q, sa valeur de vérité est donnée par la table de vérité suivante :

10 4 Logique mathématique et théorie des ensemble P Q P Q V V V F V V V F V F F F D) L implication des propositions P et Q est par définition la proposition logique définie par l expression ( P Q), elle se note (P = Q) et se lit : P implique Q. La valeur de vérité de l implication (P = Q) est donnée par la table de vérité suivante : P P Q P = Q V F V V F V V V V F F F F V F V E) On dira que les propositions logiques P et Q sont équivalentes si P implique Q et si Q implique P à la fois. L équivalence des propositions logiques P et Q sera désignée par l expression (P Q) qui se lit : P est équivalente à Q. Donc, pour trouver les valeurs de vérité de l équivalence logique (P Q) il suffit qu on dresse la table de vérité de la proposition logique (P = Q) (Q = P). P Q P = Q Q = P P Q V V V V V F V V F F V F F V F F F V V V Exercice 1. Soient P et Q des propositions logiques. Trouver la négation des propositions suivantes : P Q, P Q, P = Q, P Q Exercice 2. Si P et Q désignent des propositions logiques vérifier est-ce que les couples de propositions suivantes sont équivalentes ou non. 1. ( P) et P. 2. P Q et Q P. 3. P Q et Q P. 4. (( P) ( Q)) et P Q. 5. (( P) ( Q)) et P Q. 6. P = Q et Q = P. 7. P Q et Q P.

11 Théorie des ensembles 5 Exercice 3. Soient M, N, P et Q des propositions logiques. a) Dresser la table de vérité des propositions suivantes : 1. (M N) P. 2. (M P) (N P). 3. (M N) (P Q). 4. (M P) (M Q) (N P) (N Q). b) En déduire qu on a les équivalences (1) (2) et (3) (4). c) Calculer la négation de la proposition (M P) (M Q) (N P) (N Q) et en trouver une expression équivalente simplifiée. d) Résoudre les deux systèmes d équations algébriques : { { x(y 1) = 0 x 2 y 2 = 0 et y(x 1) = 0 x 2 +y 2 = 1 Exercice 4. Soient M, N, P et Q des propsoitions logiques. En utilisant la table de vérité, démontrer que les deux propositions suivantes sont des lois logiques. 1. L 1 = [(P = Q) ( P = Q)] Q. 2. L 2 = [(P = Q) (Q = M)] = (P = M). 3. L 3 = [(M = N) (P = Q)] = [(M P) = (N Q)]. 4. L 4 = [(M = N) (P = Q)] = [(M P) = (N Q)]. 1.2 Théorie des ensembles Ensembles et appartenance On entend par ensemble la donnée d une collection d objets (objets concrets ou notions abstraites). Les ensembles seront désignés par les lettres majuscules A, B, C. Les objets qui constituent un ensemble E s appellent éléments de E. Pour désigner l appartenance d un objet x à un ensemble E on utilise l expression x E qui se lit : x appartient à E. Lorsque l élément x ne figure pas dans l ensemble E on dira que x n appartient pas à l ensemble E et on écrit : x E. Définition 3. Un ensemble qui ne contient aucun élément s appelle ensemble vide et se note, on le désignera aussi par {}. Soient E et F deux ensembles. Si tout élément de l ensemble F appartient aussi à l ensemble E on dira que F est un sous-ensemble (ou une partie) de E et on écrit F E. Le symbole s appelle symbole d inclusion large et l expression F E se lit : F est inclu dans E. L inclusion de l ensemble F dans l ensemble E peut être traduite par la proposition logique : F E (x F = x E)

12 6 Logique mathématique et théorie des ensemble Notons que si F est un sous-ensemble de E et s il existe un élément x de E qui n appartient pas à F on dira que le sous-ensemble F est strictement inclu dans E et on note F E ou F E. Les symboles et s appellent symboles d inclusion stricte. Dans la suite, étant donné un ensemble E on admet que l ensemble vide est une partie de E, donc on pourra écrire : E. L inclusion large vérifie les propriétés suivantes : 1. Réflexivité : E E 2. Antisymétrie : E F et F E = E = F. 3. Transitivité : E F et F G = F G. Noter que l inclusion stricte ne vérifie pas la réflexivité et l antisymétrie, en revanche vérifie la transitivité. Exemple 3. 1) Considérons les ensembles A = {0,2,3}, B = {2,3} et C = {0,1,3}. a) B est un sous-ensemble de A et on a B A parce que 0 B. b) B n est pas un sous-ensemble de C parce que 2 n appartient pas à C. 2) On désigne par D(R 2 ) la famille de toutes les droites qu on peut dessiner sur le plan R 2, et par D 0 (R 2 ) on désigne la famille constituée par toutes les droites passant par l origine (0,0) du plan R 2. Les familles D(R 2 ) et D 0 (R 2 ) sont donc des ensembles non vides dont les éléments sont des droites du plan R 2. D 0 (R 2 ) est un sous-ensemble de D(R 2 ) et puisqu il existe des droites du plan R 2 qui ne passent pas nécessairement par l origine (0,0) ceci implique qu on a une inclusion stricte D 0 (R 2 ) D(R 2 ). Définition 4. Soit E un ensemble. L ensemble de toutes les parties de E s appelle ensemble des parties de E et il se note P(E). Notons que les éléments de l ensemble des parties de E sont caractérisés par l équivalence X P(E) X E Notons aussi que l ensemble des parties P(E) est toujours non vide. En effet, si l ensemble E = alors l ensemble des parties P( ) = { } est non vide car il contient l ensemble vide comme élément. De même, si l ensemble E est non vide alors l ensemble des parties P(E) possède au moins deux éléments : P(E) et E P(E). Exercice 5. Déterminer l ensemble des parties de E = {0}, de F = {0,1} et de G = {0,1,2}. Exercice 6. Si E = {0} déterminer les ensembles P(P(E)) et P(P(P(E))) et compter le nombre de leurs éléments. Définition 5. Soient E un ensemble et F une partie de E. Le sous-ensemble des éléments de E qui n appartiennent pas à F s appelle partie complémentaire de F dans E. Le complémentaire de F dans E sera désigné par le symbole C F E et s il n y a aucun risque de confusion on le désignera par F.

13 Théorie des ensembles 7 En appliquant la définition du complémentaire de F dans E on obtient l équivalence : x C F E (x E) et (x F) Le passage au complémentaire sur les parties d un ensemble E vérifie les propriétés suivantes : 1. = E. 2. E =. 3. F = F. Parfois, il est utile de représenter les ensembles par des figures planes appelées diagrammes d Euler ou diagrammes de Venn. En règle générale, si A est un sous-ensemble d un ensemble E on les représentent par un diagramme d Euler-Venn en représentant E par un rectangle et A par un domaine limité par une courbe fermée contenue dans le rectangle représentant E (Voir la figure 1.1). E y A x Figure 1.1 Diagramme d Euler-Venn : A E, x A et y C A E Les quantificateurs SoientEunensemblenonvideet P(x) uneproposition logique dontla valeur devérité dépend dela variable x élément del ensemblee. La correspondancequi associe à x E la proposition P(x) s appelle fonction propositionnelle et E est son domaine de définition. P : E {V,F} x P(x) Étant donnée une fonction propositionnelle P(x) définie sur un ensemble E on lui associe deux sous-ensembles de E qui sont complémentaires l un de l autre : {x E P(x) est vraie} et {x E P(x) est fausse} En pratique, pour alléger les notations on préfère écrire {x E P(x)} = {x E P(x) est vraie} et {x E P(x)} = {x E P(x) est fausse}

14 8 Logique mathématique et théorie des ensemble Lorsque le sous-ensemble {x E P(x)} = E on dira que la propriété P(x) est universelle sur l ensemble E. Dans la suite, pour traduire le fait que la propriété P(x) est universelle sur l ensemble E on utilisera l expression suivante : ( x E),P(x) Le symbole s appelle quantificateur universel et l expression x E se lit : pour tout x élément de E ou quelque soit x élément de E. Notons que si la propriété P(x) est universelle sur E il en résulte que le sous-ensemble {x E P(x)} = Notons aussi que si la propriété P(x) n est pas universelle sur E on déduit alors que le sous-ensemble {x E P(x)} E, et donc il existe au moins un élément x de E tel que la proposition P(x) soit vraie. Dans la suite, pour traduire le fait que la propriété P(x) n est pas universelle sur l ensemble E on utilisera l expression suivante : ( x E),P(x) Le symbole s appelle quantificateur existentiel et l expression x E se lit : il existe au moins un x élément de E. Exemple 4. 1) L ensemble {x N x 0} peut être traduit par l expression : ( x N),x 0. 2) Puisque dans l ensemble des entiers N l inégalité x 2 < 9 est vérifiée que par les entiers 0,1,2 on pourra donc traduire ce fait en utilisant l expression : ( x N),x 2 < 9. En appliquant la définition des quatificateurs et on vérifie à titre d exercice que les équivalences suivantes sont vraies : 1. [( x E),P(x)] ( x E), P(x). 2. [( x E),P(x)] ( x E), P(x). 3. [( x E), P(x)] ( x E),P(x). Les quantificateurs et peuvent être combinés pour formuler des propositions logiques dont la valeur de vérité dépend à priori de l ordre des quantificateurs utilisés. Pour comprend l importance de l ordre des quatificateurs et dans une proposition logique nous allons considérer les deux expressions suivantes : ( x R)( y R),x+y = 1 et ( x R)( y R),x+y = 1 La proposition logique ( x R)( y R),x+y = 1 est toujours vraie parce quesi on se donne un réel x 0 alors en posant y = 1 x 0 on aura x 0 +(1 x 0 ) = 1. En revanche, la proposition logique ( x R)( y R),x+y = 1 n est pas vraie parce si on fixe le réel x 1 on en déduit que le réel y = 1 x 1 est constant, et donc l expresion x 1 +y = 1 n est pas valable pour tout y élément de R. Exercice 7. Trouver la valeur de vérité des propositions suivantes :

15 Théorie des ensembles 9 1. ( x R)( y R),x 2 y 2 = ( x R)( y R),x 2 y 2 = ( x Z)( y Z),x+y = ( x Z)( y Z),x+y = y. 5. ( x N)( y Z),x = y ( y N)( x R),x 2 2xy +y 2 y ( x R)( y R),x y Z. Exercice 8. Soit E un ensemble non vide. Démontrer l équivalence ( x E)( y E)( z E),(x y) [(z = x) (z = y)] E = {x,y} Opérations sur les ensembles L intersection de deux ensembles Définition 6. Soient A et B deux ensembles. L ensemble des éléments x qui appartiennent en même temps à A et à B s appelle intersection de A et B. L intersection de A et B est un sous-ensemble de A et de B on le désigne par le symbole A B qu on lit : A inter B. Lorsque l intersection A B = on dira que A et B sont disjoints. E A B A x B Figure 1.2 A E, B E et x A B Il est facile de vérifier que les affirmations suivantes sont vraies : 1. A =. 2. A B = B A. 3. A B A et A B B. 4. (x A B) (x A) (x B). 5. (A B) C = A (B C) La réunion de deux ensembles Définition 7. Soient A et B deux ensembles. L ensemble constitué par tous les éléments de A et tous les éléments de B s appelle réunion de A et B, il se note par le symbole A B qu on lit : A union B.

16 10 Logique mathématique et théorie des ensemble Il est facile de vérifier que les affirmations suivantes sont vraies : 1. A = A. 2. A B = B A. 3. A A B et B A B. 4. (x A B) (x A) (x B). 5. (A B) C = A (B C). 6. (A B) C = (A C) (B C). Exercice 9. Soient A et B deux parties d un ensemble non vide E. Démontrer les affirmations suivantes : 1. P(A) P(E). 2. P(A) P(B) = P(A B). 3. P(A) P(B) P(A B). 4. P(A) P(B) = P(A B) (A B) ou (B A) Intersection et réunion d une famille d ensembles En utilisant les quatificateurs on pourra généraliser l intersection (resp. la réunion) de deux ensembles au cas des familles quelconques d ensembles. Plus précisésent, considérons un ensemble non vide I et une famille d ensembles F = {A i i I} dite indexée par I et que I est son ensemble d indices. On définit alors l intersection des éléments de la famille F par l expression A i := {x i I,x A i } i I De même, on définit la réunion des éléments de la famille F par l expression A i := {x i I,x A i } i I Donc, si on veut prouver qu un élément x appartient à l intersection i (resp. à la réunion i IA A i ) on pourra utiliser l équivalence : i I x i IA i ( i I),x A i resp. x i IA i ( i I),x A i Notons que ces deux équivanleces impliquent qu on a les inclusions suivantes : 1. i I, i IA i A i. 2. i I,A i i IA i.

17 Théorie des ensembles 11 Exercice 10. On rappelle que pour tout réel a R les éléments du sous-ensemble D a = {(x,ax) R 2 x R} sont les points de la droite du plan R 2 d équation y = ax. La droite D a passe par l origine O = (0,0) et fait un angle avec l axe Ox dont la tangente est égale au nombre réel a. 1) Monter que l intersection généralisée a RD a = {(0,0)}. 2) Montrer que la réunion généralisée a RD a = R 2. Exercice 11. Pour tout entier n N on pose A n = {x R n x n}. Décrire les sous-ensembles : n N A n et n NA n La différence de deux ensembles Définition 8. Soient A et B deux ensembles. L ensemble des éléments de A qui n appartiennent pas à B s appelle différence de A et B, il se note A\B et on lit : A moins B. E A\B A x B Figure 1.3 A E, B E et x A\B En partant de la définition de la différence de deux ensembles on vérifie facilement que les propositions suivantes sont vraies : 1. A\B A. 2. (A\B) B =. 3. (A\B) B = A B. 4. A\B = C B A B. 5. (A\B) (A B) = A. 6. (A\B) (B\A) =. 7. (A\B) (A B) (B\A) = A B La différence symétrique de deux ensembles Définition 9. Soient A et B deux ensembles. Le sous-ensemble des éléments x appartenant à la réunion A B et qui appartiennent uniquement à A ou uniquement à B s appelle différence symétrique de A et B, il se note A B et on lit : A delta B.

18 12 Logique mathématique et théorie des ensemble D après la définition de la différence symétrique on déduit que pour tout couple d ensembles A et B on a les égalités suivantes : A B = (A\B) (B\A) et A B = (A B)\A B Pour finir ce paragraphe on donnera la proposition suivante qui réexprime les opérations ensemblistes définies ci-dessus an moyen des connecteurs logiques. Proposition 1. Soient P(x) et Q(x) des fonctions propositionnelles définies sur un ensemble non vide E. On définit deux sous-ensembles de E par : A = {x E P(x)} et B = {x E Q(x)} Alors les affirmations suivantes sont vraies : 1. A B = {x E P(x) Q(x)}. 2. A B = {x E P(x) Q(x)}. 3. A\B = {x E P(x) Q(x)}. 4. A B = {x (P(x) Q(x)) (Q(x) P(x))}. Exercice 12. Démontrer la proposition précédente. Exercice 13. Soient A, B et C des sous-ensembles d un ensemble E. Démontrer que les propositions sont vraies : 1. A B = A A B. 2. A B = A B A. 3. A B = A A\B B C A E. 4. A (B C) = (A B) (A C). 5. A (B C) = (A B) (A C). 6. C A B E = C A E C B E. 7. C A B E = C A E C B E Le produit cartésien de deux ensembles Définition 10. Soient A et B des ensembles. Pour tous les éléments a A et b B on désigne par (a, b) la paire ordonnée dans laquelle a (resp. b) s appelle première (resp. deuxième) composante. L ensemble de toutes les paires ordonnées de A et B se note A B et il s appelle produit cartésien et ses éléments s appellent couples de A et B. Puisque les éléments du produit cartésien A B sont des paires ordonnées une égalité des couples de type (a,b) = (a,b ) dans A B entraîne donc que a = a et b = b. Autrement dit, dans A B on a l équivalence (a,b) = (a,b ) (a = a ) (b = b )

19 Théorie des ensembles 13 Notons aussi que d après la définition du produit cartésien on aura A B est vide si et seulement si A = ou B =. De même, on aura A B = B A sauf si A = B ou bien si A = ou B =. Le produit cartésien de deux ensembles se généralise au cas d une famille quelconque d ensembles F = {A i i I}. Plus précisément, on appelle produit catrésien de la famille d ensembles F l ensemble noté A i dont les éléments sont les familles d éléments notées i I (x i A i ;i I) ou bien (x i ) i I avec x i A i Notion d applications (ou fonctions) Défintions et propriétés Soient A et B des ensembles non vides. On appelle application (ou fonction) toute correspondance notée, f : A B ou A f B, qui envoie un élément x de A sur un seul élément f(x) de B. Dans la littérature mathématique, étant donnée une application A f B où B est une partie de l un des ensembles numériques R ou C on préfère dire que f est une fonction. Soient A f B et A g B des applications. Si pour tout x A on a f(x) = g(x) on dira que l application f est égale à l application g et on écrit f = g, et s il existe au moins un x A tel que f(x) g(x) on dira alors que f est différente de g et on écrit f g. En pratique, on représente une application f de A dans B par un diagramme de type : f : A B x f(x) L élément x de A s appelle variable de l application f : A B et f(x) s appelle image de x par f. L ensemble A (resp. B) s appelle domaine de définition (resp. codomaine) de f tandis que le sous-ensemble Im(f) = {y B x A,f(x) = y} s appelle image de f. Plus généralement, pour toute partie non vide X A on définit son image dirècte comme un sous-ensemble de B noté f(x) = {f(x) x X}. De même, étant donné un sous-ensemble C B on appelle image réciproque de C par f le sous-ensemble de A noté : f 1 (C) = {x A f(x) C} En particulier, à tout élément y B on peut associer une image réciproque définie par : f 1 ({y}) = {x A f(x) = y} L ensemble des couples (x,y) A B tels que y = f(x) s appelle graphe de l application f et se note Gr(f). Donc, on a Gr(f) = {(x,f(x)) x A}. L application qui envoie un élément x de A sur lui même s appelle l identité de A ou application identique de A, elle se note id A : A A. id A : A A x x

20 14 Logique mathématique et théorie des ensemble Soient f : A B et g : B C des applications. On appelle application composée de f et g l application notée g f : A C (ou A f B g C) qui envoie un élément x de A sur l élément g(f(x)) de C. L expression g f se lit : g rond f. g f : A f B g C x f(x) g(f(x)) Notons que pour pouvoir composer une application f avec une autre application g il faut que le sous-ensemble image Im(f) soit contenu dans le domaine de définition Dom(g). Exemple 5. Sur l ensemble E = {1,2,3,4} on définit deux applications par les diagrammes suivants : f : E E et g : E E Les applications composées f g et g f sont données par les diagrammes suivants : f g : E E qui nous montrent que f g = g f. et g f : E E Si les applications composées g f et f g sont bien définies on ne peut pas dire qu elles sont égales comme on va le montrer dans l exemple suivant. Exemple 6. Sur l ensemble A = {1, 2, 3} on définit deux applications par les diagrammes suivants : f : A A g : A A et Notons que puisque g f(1) = 3 et f g(1) = 2 on en déduit que f g g f. Proposition 2. Les propositions suivantes sont vraies : 1. Pour toute application f : A B on a : f id A = f et id B f = f. 2. Pour tout triplet d applications f : A B, g : B C et h : C D on a la relation d associativité : (f g) h = f (g h). Pour finir ce paragraphe on donnera quelques propriétés des applications vis à vis des opérations sur les ensembles :

21 Théorie des ensembles 15 Proposition 3. Soient f : A B une application et X 1, X 2 et X sont des parties de A. Alors, on a les propositions suivantes : 1. X 1 X 2 = f(x 1 ) f(x 2 ); 2. f(x 1 X 2 ) = f(x 1 ) f(x 2 ); 3. f(x 1 X 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ). 4. X f 1 (f(x)). De même, si Y 1, Y 2 et Y sont des parties de B les propositions suivantes sont vraies : 1. Y 1 Y 2 = f 1 (Y 1 ) f 1 (X 2 ); 2. f 1 (Y 1 Y 2 ) = f 1 (Y 1 ) f 1 (Y 2 ); 3. f 1 (Y 1 Y 2 ) = f 1 (Y 1 ) f 1 (Y 2 ). 4. f(f 1 (Y)) Y. Exercice 14. Démontrer la proposition Injection, surjection, bijection Ilestcalirquepourtouteapplicationdonnéef : A Bonaural unedesdeuxcaspossibles: 1. f(a) = B. 2. B\f(A). Dans le premier cas pour tout élément y B il existe au moins un élément x A tel que f(x) = y. En revanche, dans le second cas pour un élément y B on aura l une des deux cas possibles f 1 (y) = {x A f(x) = y} = ou bien f 1 (y) = {x A f(x) = y} Lorsque le sous-ensemble f 1 (y) = {x A f(x) = y} est non vide on peut se demander est-ce qu il contient un seul élément ou plusieurs. En pratique cette discussion s impose naturellement lorsqu on cherche à résoudre une équation de type f(x) = y où y B est connu (donné) et x A est inconnu. Ainsi, si par exemple le sous-ensemble f 1 (y) = {x A f(x) = y} est non vide on en déduit que l équation f(x) = y possède au moins une solution, et sinon l équation f(x) = y n aura pas de solution. La définition suivante nous propose un dictionnaire de mots clefs qui nous aiderons dans la suite à discuter la résolution des équations de type f(x) = y avec x l incunnu. Définition 11. Soit f : A B une application. 1. Si l image f(a) = B on dira que f est surjective ou une surjection. Autrement dit, f est surjective si, ( y B)( x A),f(x) = y

22 16 Logique mathématique et théorie des ensemble 2. On dira que f est injective ou une injection si pour tous les éléments x et x de A on a : f(x) = f(x ) = x = x 3. On dira que f est bijective ou une bijection si elle est à la fois injective et surjective. Avec les mots clefs de cette définition on déduit les faits suivants : 1. Si f : A B est surjective alors pour tout y B l équation f(x) = y possède au moins une solution. 2. Si f : A B est injective et si pour un certain y B l équation f(x) = y possède une solution, alors cette solution est unique. 3. Si f : A B est bijective alors pour tout y B l équation f(x) = y possède une seule solution. Notons aussi que si l application f : A B est bijective on en déduit que pour tout y B l équation f(x) = y possède une seule solution qui dépend uniquement de y, on va la noter x = f 1 (y). Observons que dans ce cas la correspondance y B f 1 (y) A définit une application f 1 : B A que l on appelle application réciproque de f. Il est claire que l application f 1 vérifie les deux relations suivantes : f f 1 = id B et f 1 f = id A En effet, à titre d exercice, on pourra démontrer que s il existe une application g : B A qui vérifief g = id B et g f = id A alors f est bijective et son application réciproquef 1 = g. Exercice 15. Considérons les deux fonctions f et g : N N définies par : n N, f(n) = 2n+1 et g(n) = n 2 1) Montrer que f est injective et que g est surjective. 2) Montrer que f g est ni injective ni surjective. Exemple 7. Soient E un ensemble et A E une partie non vide. On désigne par in A : A E l application qui envoie x A sur in A (x) = x E. L application in A est visiblement injective on l appelle injection canonique. De même, si A et B sont deux ensembles non vides on leurs associe deux applications surjectives définies par : pr A : A B A (x, y) x et pr B : A B B (x, y) y L application pr A (resp. pr B ) s appelle projection canonique sur A (resp. sur B). Proposition 4. Soit f : A B une application. Les équivalences suivantes sont vraies :

23 Théorie des ensembles f est injective ( X 1 A)( X 2 A),f(X 1 X 2 ) = f(x 1 ) f(x 2 ). 2. f est surjective ( Y B),f(f 1 (Y)) = Y. Démonstration. 1) a) Supposons que f est injective. Rappelons que pour tous X 1 A et X 2 A on a f(x 1 X 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ) et démontrons que grâce à l injectivité de f l inclusion inverse f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 1 X 2 ) est vraie. En effet, si on se donne y f(x 1 ) f(x 2 ) on pourra trouver x 1 X 1 et x 2 X 2 tels que y = f(x 1 ) = f(x 2 ). Donc, x 1 = x 2 car f est injective. D autre part, puisquex 1 = x 2 X 1 X 2 on déduit que y f(x 1 X 2 ) et donc f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 1 X 2 ). Par conséquent, si f est injective il s ensuit que f(x 1 X 2 ) = f(x 1 ) f(x 2 ). b) Supposons que la proposition suivante est vraie ( X 1 A)( X 2 A), f(x 1 X 2 ) = f(x 1 ) f(x 2 ) et démontrons que f est injective. Soient x et y A tels que f(x) = f(y). Observons que si on pose X 1 = {x} et X 2 = {y} on obtient f(x 1 X 2 ) = f(x 1 ) f(x 2 ) = {f(x)} {f(y)} = X 1 X 2 = {x} {y} Donc, x = y et par conséquent f est injective. 2) a) Supposons que f est surjective. D abord, rappelonsqued aprèslaproposition 3pourtoute partiey Bonaf(f 1 (Y)) Y. D autre part, observons que si on fixe un point y Y la surjectivité de f implique qu il existe au moins un x A tel que f(x) = y. Ainsi, puisque x f 1 (Y) on en déduit que y f(f 1 (Y)). Donc, comme Y f(f 1 (Y)) on conclut que Y = f(f 1 (Y)). b) Supposons que pour toute partie Y B on a Y = f(f 1 (Y)) et démontrons que f est surjective. En effet, puisque pour tout y B le sous-ensemble {y} = f(f 1 ({y})) est non vide on en déduit que le sous-ensemble f 1 ({y}) est non vide, donc il existe au moins un x A tel que x f 1 ({y}) c est-à-dire on a f(x) = y. Par conséquent, l application f est surjective. Exercice 16. Démontrer qu une application f : A B est injective si et seulement si pour toute partie X A on a f 1 (f(x)) = X. Exercice 17. Soient f : A B et g : B C des applications. 1) Démontrer que si f et g sont injectives (resp. surjectives) alors g f est injective (resp. injective). 2) En déduire que si f et g sont bijectives alors g f est bijective et son application réciproque (g f) 1 = f 1 g 1. 3) Démontrer que si g f est injective alors f est injective. 4) Démontrer que si g f est surjective alors g est surjective.

24 18 Logique mathématique et théorie des ensemble Exercice 18. On désigne par D O l ensemble de toutes les droites du plan R 2 qui passent par l origine O = (0,0). On considère l application T O : D O D O qui envoie une droite D D O sur son orthogonale D qui passe par l origine O. 1) Vérifier qu on a T O T O = id DO. 2) En déduire que l application T O est bijective. Exercice 19. Étant donné un ensemble non vide E, on se propose de démontrer qu il n existe pas de surjection de E dans l ensemble des parties P(E). Pour cela supposons qu il existe une application f : E P(E) qui soit surjective et posons A = {x E x f(x)}. Noter que A P(E). a) En procédant par l absurde, démontrer qu il n existe aucun élément y de l ensemble E tel que f(y) = A. b) Conclure. Exercice 20. Soit A et B des ensembles non vides. On désigne par F(A,B) l ensemble de toutes les applications de A dans B. C est-à-dire on a f F(A,B) f : A B Dans l ensemble des applications F(A, B) on définit les trois sous-ensembles suivants : I(A, B) est l ensemble des applications injectives. S(A, B) est l ensemble des applications surjectives. B(A,B) = I(A,B) S(A,B) est l ensemble des applications bijectives. Trouver des ensembles non vides A et B pour lesquels on a I(A,B) = ou S(A,B) = ou B(A,B) = Définition 12. Soit f : A B une application. 1. Si X A est une partie non vide l application f X : X B qui envoie tout élément x X sur f(x) s appelle restriction de f sur la partie X. 2. Soit Y un ensemble tel que A Y. S il existe une application g : Y B dont la restriction g A = f on dira que g est un prolongement de f sur Y. Exercice 21. Soit A et B des ensembles non vides. On désigne par F(A,B) l ensemble de toutes les applications de A dans B. C est-à-dire on a f F(A,B) f : A B 1) Soit X A un ensemble non vide. On désigne par Res X : F(A,B) F(X,B) l application qui consiste à restreindre f F(A,B) sur X, c est-à-dire : Res X (f) = f X. Démontrer que l application Res X est surjective. 2) Soit Y B un ensemble non vide. On désigne par Ext Y : F(A,B) F(A,Y) l application qui envoie f : A B sur l application, Ext Y (f) : A Y, définie par : ( a A),Ext Y (f)(a) = f(a). Démontrer que l application Ext Y est injective.

25 Les modes de raisonnement mathématique 19 3) Étant donné deux applications f : A A et g : B B on leurs associe deux autres applications définies par : L f : F(A,B) F(A,B) h h f a) Démontrer que si g est injective alors R g est injective. b) Démontrer que si f est surjective alors L f est injective. c) Étudier la surjectivité des applications R g et L f. et R g : F(A,B) F(A,B ) h g h Exercice 22. Soit E un ensemble non vide. Pour toute partie A E on définit une application χ A : E {0,1} appelée fonction caractéristique de la partie A définie par : { 1 si x A ( x E), χ A (x) = 0 si x A Démontrer que l application χ : P(E) F(E,{0,1}) qui envoie une partie A E sur sa fonction caractéristique χ A est bijective. Exercice 23. Soient A un sous-ensemble non vide d un ensemble E. Sur l ensemble des parties P(E) on définit deux applications par : R A : P(E) P(E) X X A 1) Démontrer que l image Im(I A ) = P(A). 2) Soit B E une partie. Démontrer les équivalences suivantes : et I A : P(E) P(E) X X A 1. R 1 A ({B}) A B. 2. I 1 A ({B}) B A. 3) Déterminer les images réciproques R 1 A ({B}) et I 1 A ({B}). 4) Démontrer qu il existe une bijection entre l ensemble P(E\A) est l image Im(R A ). 1.3 Les modes de raisonnement mathématique Raisonnement par déduction dirècte Soient P et Q deux propositions. Dans l énoncé (P = Q) la proposition P s appelle hypothèse tandis que la proposition Q s appelle conclusion. En mathématique, la plus part des théorèmes se présentent sous forme d une implication de type (P = Q) où l hypothèse P est vraie. Lorsque l hypothèse P est vraie et le thèorème (P = Q) est aussi vrai on dira que P implique Q ou bien que P entraîne Q. Notons que si on dresse la table de vérité de l implication (P = Q) P P Q P = Q V F V V F V V V V F F F F V F V

26 20 Logique mathématique et théorie des ensemble ondéduitdela deuxièmelignedelatabledevéritéquepourdémontrerle théorème(p = Q) est vrai sachant que son hypothèse P est vraie on devrait démontrer que la conclusion Q est vraie. La démonstrations qui suit ce modèle de raisonnement s appelle raisonnement par déduction dirècte, elle se traduit par l expression logique : (P (P = Q)) = Q quisignifie:si l hypothèse P est vraie et si le théorème (P = Q) était vrai alors la conclusion Q est nécessairement vraie. Les deux phrases suivantes sont tirées de la dernière phrase qui exprime le principe du raisonnement par déduction dirècte : P (vraie) est une condition suffisante (C.S) pour Q (vraie). Q (vraie) est une condition nécessaire (C.N) pour P (vraie). Ajoutons que si (P = Q) (vraie) et (Q = P) (vraie) on diraque P (vraie) est unecondition nécessaire et suffisante (C.N.S) pour Q (vraie). Enfin, notons que pour démontrer un théorème de type (P = Q) est vrai on commence par la phrase : Supposons que P est vraie et montrons que Q est vraie. Pour démontrer que la conclusion Q est vraie sous l hyposthèse P varie on ne doit utiliser que des propositions et des théorèmes qui sont déjà démontrés vrais Raisonnement par exclusion Rappelons que la l implication (P = Q) est définie par l expression P Q, donc sa négation est la proposition (P Q). Ainsi, pour démontrer que le théorème (P = Q) est vrai il suffit qu on suppose que la proposition (P Q) est fausse, et ainsi comme l hypothèse P est vraie la table de vérité de la conjonction nous montre que la proposition Q est fausse. Donc, la conclusion Q est nécessairement vraie. Ce modèle de démonstrations s appelle : raisonnement par exclusion Raisonnement par contraposition En partant de la définition de l implication = on voit que pour tout couple de propositions P et Q on a les équivalences suivantes : (P = Q) ( P Q) ( ( Q) P) ( Q = P) Donc, pour démontrer que le théorème (P = Q) est vrai sachant que l hypothèse P est vraie il suffit qu on démontre que le théorème ( Q = P) est vraie sous l hypothèse Q est vraie. Ce modèle de démonstrations s appelle : raisonnment par contraposition. Exemple 8. Démontrons que pour tout réel a > 0, le cube a 3 = a a a est positif. Supposons que pour un certain réel a R on a a 3 < 0 et observons que si on écrit a 3 = (a 2 ) a < 0 on en déduit que a < 0, car le carré a 2 > 0. Donc, d après le principe du raisonnement par contraposition on déduit que la proposition donnée est varie i.e. ( a R),a > 0 = a 3 > 0

27 Les modes de raisonnement mathématique Raisonnement par l absurde Soit (P = Q) unthéorème vrai, doncson hypothèsepest varie. Observonsquesi on suppose que la conclusion Q est fausse on en déduit que la proposition (P = Q) ( Q) est vraie, et ainsi si on analyse la table de vérité (voir la dérnière ligne) P Q P = Q (P = Q) ( Q) V V V F V F F F F V V F F F V V on en tire que la proposition P est nécessairement fausse, or ceci contredit le fait que l hypothèse P est supposée varie. Par conséquent, la conclusion Q du théorème (P = Q) est vraie. Ce modèle de démonstrations s appelle : raisonnement par l absurde. Exemple 9. Soient m et n deux entiers naturels. On rappelle que s il existe un entier a tel que n = am on dira que n est un multiple de m. Partons de cette définition démontrons que si n N est un multiple de 6, n est aussi un multiple de 2. Pour démontrer ce théorème on va proceder par l absurde. Donc, il s agit de supposer que n est multiple de 6 et que n n est pas multiple de 2. Notons que sous ces conditions il existe deux entiers m et k N tels que n = 6m et que n = 2k +1. Ainsi, comme on a n = 6m = 2k+1 = 2(3m k) = 1 = 3m k = 1 2 Z Or, ceci est absurde car puisque m et k N on doit avoir 3m k Z. Par conséquent, l entier n est un multiple de Raisonnement par la recherche d un contre-exemple Considérons l implication ( x R),x > 0 = x x 2 Cette proposition est fausse parce que si on prend x 0 = 1/2 on aura (x 0 ) 2 = 1/4, et donc (x 0 ) 2 x 0. Dans de telles situations, on dira que nous avons démontré la proposition donnée est fausse en donnant un contre-exemple; c est l élément x 0 = 1/2. L exemple précédent se généralise comme suit. Étant donné un ensemble non vide E et une fonction propositionnelle P(x) définie sur E, donc pour démontrer que la proposition ( x E),P(x) est fausse il suffit qu on démontre que sa négation ( x E), P(x)

28 22 Logique mathématique et théorie des ensemble est vraie. Donc, il suffit qu on trouve (qu on construise) un élément x 0 E qui donne P(x 0 ) fausse. Quand l élément x 0 existe dans E il sera appelé : contre-exemple de la proposition ( x E),P(x) Raisonnement par récurrence Le principe du raisonnement par récurrence est basé sur le résultat de la proposition suivante: Proposition 5 (Principe de la récurrence). Soit A N un sous-ensemble non vide qui possède les deux propriétés suivantes : 1. 0 A; 2. Si l entier n A entraîne que l entier n+1 A. Alors, le sous-ensemble A = N. Démonstration. Notons que puisque d après l hypothèse 1) 0 A, l hypothèse 2) implique que 0+1 = 1 A. Si on applique de nouveau l hypothèse 2) à l élément 1 on en déduit que 1+1 = 2 A, et donc 3 = 2+1 A. En effet, puisque tout entier n N est égal à la somme } {{ } alors en appliquant n fois l hypothèse 2) n-fois on en déduit que n A, donc N A. Par conséquent, comme A est un sous-ensemble de N on aura A = N. Théorème 1 (Récurrence). Soit P : N {V, F} une fonction propositionnelle. Si 1. P(0) est varie; 2. et si pour tout n N tel que P(n) est vraie entraîne que P(n+1) est vraie alors pour tout entier n N la proposition P(n) est vraie. Démonstration. Observons que si on pose A = {n N P(n) est vraie} on obtient un sousenseble de N tel que : 0 A et ( n A) = (n+1) A Ainsi, d après la proposition précédente on conclut que N = A. Autrement dit, pour tout entier n N la proposition P(n) est vraie. Théorème 2 (Récurrence complète). Soit P : N {V, F} une fonction propositionnelle telle que 1. il existe un entier n 0 N tel que P(n 0 ) est varie; 2. pour tout entier n n 0 tel que P(n) est vraie entraîne P(n+1) est vraie alors pour tout entier n n 0 la proposition P(n) est vraie. Démonstration. À titre d exercice on vérifie que l ensemble {n N P(n) est vraie } contient le sous-ensemble {n N n n 0 }.

29 Les modes de raisonnement mathématique 23 Exemple 10. Vérifions par récurrence que pour tout entier n 0 on a (2n+1) = (n+1) 2 Pour tout n N on désigne par P(n) la propostion : (2n+1) = (n+1) 2. Notons que la proposition P(0) est varie, et que P(1) est vraie. Supposons donc que la proposition P(n) est vraie et démontrons que l hypothèse de récurrence P(n+1) est vraie. En effet, (2n+1)+(2n+3) = (n+1) 2 +2n+3 = n 2 +4n+4 = (n+2) 2 Donc, d après le principe du raisonnement par récurrence on déduit que pour tout entier n 0 la proposition P(n) est vraie. Exemple 11. Soit E un ensemble. Si le nombre d éléments de l ensemble E est fini on dira que E est un ensemble fini et le nombre d éléments de E s appelle cardinal de E, il se note Card(E). Ainsi, par exemple on a Card( ) = 0 et Card({0,1}) = 2 Soit n N. Démontrons que si le Card(E) = n alors le cardinal de l ensemble des parties P(E) est égal à 2 n. Pour démontrer cette affirmation est vraie nous allons démontrer par récurrence que pour tout n N la proposition suivante est vraie : P(n) : Card(E) = n = Card(P(E)) = 2 n Notons que si E = on aura P(E) = { }, donc Card(P(E)) = 1 = 2 0. De même, on voit que si Card(E) = 1 on aura P(E) = {,E}, donc Card(P(E)) = 2 = 2 1. Supposons que l hypothèse de récurrence P(n) est vraie pour tous les ensembles E dont le cardinal est inférieur ou égal à n et vérifions qu elle est aussi vraie pour les ensembles E n+1 = {a 1,,a n,a n+1 } ayant n+1 éléments. Observons que pour toute partie X E n+1 on aura l une des deux cas possibles : 1. a n+1 X; 2. a n+1 X. Notons que si X vérifie le cas (1) on aura X E n = {a 1,,a n }, donc X P(E n ). Et, si X vérifie le cas (2) il existe donc une partie Y E n telle que X = Y {a n+1 }. Ainsi, comme l ensemble des parties P(E n+1 ) = P(E n ) {Y {a n+1 } Y P(E n )} et puisque d après l hypothèse de la récurrence les ensembles P(E n ) et {Y {a n+1 } Y P(E n )} sont de cardinal 2 n on déduit alors que le cardinal de l ensemble P(E n+1 ) est égal à 2 n +2 n = 2 n+1, donc l hypolthèse de récurrence P(n+1) est vraie. Par conséquent, pour tout ensemble fini E le Card(P(E)) = 2 Card(E).

30 24 Logique mathématique et théorie des ensemble Exercice 24. Démontrer les propositions suivantes : 1. ( n N),1+2+ +n = n(n+1) ( n N), n 2 = n(n+1)(2n+1). 6 ( n(n+1) ) ( n N), n 3 = 2 4. ( n N), n 4 = n(n+1)(2n+1)(3n2 +3n 1) ( n N),2n+1 < 2 n ( a N),a 3 = ( n N),n 2 < a n. 7. ( a N)( n N),(1+a) n 1+na. 8. a 1,,a n R +, (1+a 1 )(1+a 2 ) (1+a n ) 1+a 1 a 2 a n.

31 Chapitre Deux Arithmétique de l ensemble Z 2.1 L ordre dans l ensemble Z On désigne par Z = {, 1,0,1, } l ensemble des entiers relatifs que l on suppose muni de l addition + et de la multiplication ordinaires. Dans ce qui va suivre la multiplication de deux entiers m et n Z sera désignée par m n ou par mn au lieu de m n. On rappelle que la fonction valeur absolue : Z N est définie par l expression suivante : a Z, a = { a si a 0 a si a 0 La fonction valeur absolue vérifie les propriétés suivantes : 1. ( a Z)( b Z), ab = a. b ; 2. ( a Z)( b Z), a+b a + b ; 3. ( a Z)( b Z), a b a b ; 4. ( x Z)( a N)[ x a a x a]. Sur l ensemble des entiers N la relation d ordre vérifie les faits suivants. Fait 1 : Toute partie non vide A N possède un plus petit élément relativement à la relation d ordre. Démonstration. Pour toute partie non vide A N on a deux cas possibles : 1) Si 0 A, 0 est donc le plus petit élément de A. 2) Supposons que 0 A, donc 0 N\A. Notons que sous cette hypothèse il existe un entier n 1 1 tel que {0,1,,n 1 } N\A et (n 1 +1) A, parce que sinon pour tout entier n N on aura : {0,1,,n} N\A = n+1 N\A Ainsi, d après le principe de récurrence on déduit que N\A = N, ce qui entraîne A =. Or, ceci est absurde. Donc, il existe un n 1 1 tel que {0,1,,n 1 } N\A avec (n 1 +1) A est le plus petit élément de A qu on cherche.

32 26 Arithmétique de l ensemble Z Rappelons qu une partie non vide A N est dite finie s il existe n-entiers naturels ordonnés a 1 < a 2 < < a n tels que A = {a 1,a 2,,a n }. Fait 2 : Toute partie finie non vide A N possède un plus grand élément relativement à la relation d ordre. Fait 3 : L ensemble ordonné (N, ) est archimédien. C est-à-dire, pour tous les entiers a et b > 0 il exsiste au moins un p N tel que a < pb. Démonstration. 1) Notons que si a b on prend alors p = 2. 2) Supposons que b < a et considérons le sous-ensemble A = {p N a pb 0}. Le sous-ensemble A N n est pas vide, car 1 A. De plus, puisque pour tout entier p N tel que a < p implique a pb < a ab = a(1 b) 0 on en déduitquep A, doncle sous-ensemblea {0,1,2,,a} est fini. Ainsi, si on désigne par p 0 1 le plus grand élément de A on voit que l entier p = p 0 +1 A, donc par définition de la partie A on déduit que a < pb. Notons que dans l ensemble ordonné (Z, ) la relation d ordre ne vérifie pas le Fait (1), car si on prend le sous-ensemble Z = { n n N} on obtient une partie non vide qui n a pas de plus petit élément. En revanche, les Faits (2) et (3) sont vrais dans (Z, ). 2.2 Divisibilité dans Z Généralités sur la divisibilité Définition 13. Soient a et b Z. S il existe un entier q Z tel que b = qa on dira que a divise b et on note a b. 1. L entier q s appelle quotient de la division de b par a. 2. L entier a s appelle diviseur de b. 3. L entier b s appelle multiple de a. D après la définition on voit que tout entier n 0 divise zéro i.e. 0 = n 0, ainsi dans la suite, pour éviter ce cas trivial nous allons écrire la relation de divisibilité a b que lorsque b 0 et a 0. Proposition 6. La divisibilité dans Z vérifie les proprietés suivantes : 1. Tout entier n Z non nul est divisible par 1, 1, n et n. 2. Si a b et b c alors a c. 3. Si a b et b a alors a = ±b. 4. Si a b alors pour tout c Z, a bc. 5. Si a b 1 et a b 2 alors pour tous c et d Z, a cb 1 +db 2.

33 Divisibilité dans Z 27 Démonstration. 1) Évidente. 2) S il existe des entiers q 1 et q 2 Z tels que b = aq 1 et c = bq 2 on en déduit que c = a(q 1 q 2 ). Donc, a c. 3) Observer que si b = aq et a = bq on en déduit que b = b(qq ). Ainsi, si b est non nul on aura qq = 1, donc b = ±a. 4) S il existe un entier q Z tel que b = aq il s en suit que pour tout c Z, bc = acq. Donc, a divise bc. 5) S il existe des entiers q 1 et q 2 Z tels que b 1 = aq 1 et b 2 = aq 2 donc pour tous les entiers c et d Z on aura cb 1 +db 2 = aq 1 c+aq 2 d = a(q 1 c+q 2 d). Donc, a divise cb 1 +db 2. Théorème 3 (Division euclidienne dans N). Pour tout couple d entiers b 0 et a > 0 il existe un unique couple d entiers q et r tels que b = qa+r où 0 r < a L entier q (resp. r) s appelle quotient (resp. reste) de la division euclidienne de l entier b par l entier a. Démonstration. 1) Existence des entiers q et r : Puisque l ensemble ordonné (N, ) est archimédien on déduit que le sous-ensemble A(a,b) = {p N b < pa} est non vide, donc A(a,b) possède un plus petit élément n = q Ainsi, comme aq b < (q +1)a il en résulte que 0 b qa < a. Par conséquent, si on pose r = b qa on déduit que b = aq +r avec 0 r < a. 2) Unicité des entiers q et r : Supposons qu il existe deux couples d entiers (q,r) et (q,r ) tels que b = qa+r = q a+r avec 0 r < a et 0 r < a Observons que si on suppose r < r on aura r r = a(q q ), et ainsi comme l entier a divise r r on déduit que 0 < a < r r < r. Or, ceci contredit le fait que par hypothèse on a 0 r < a. Donc, r = r et q = q. Corollaire 1 (Division euclidienne dans Z). Pour tout couple d entiers a et b Z avec a > 0 il existe un unique couple d entiers q et r tels que b = qa+r où 0 r < a Démonstration. Si l entier b 0 la proposition précédente prouve l existence et l unicité de q et r tels que b = aq +r avec 0 r < a. De même, si l entier b < 0 la proposition précédente permet de trouver deux entiers q et r tels que b = q a + r avec 0 r < a. Donc, b = ( q )a+( r ). Ainsi, si r = 0 le corollaire est démontré; mais si 0 < r < a alors en remarquant que a < r < 0 implique 0 < a r < a on en déduit que si on pose r = a r et q = 1 q on aura b = qa+r avec 0 < r < a.

34 28 Arithmétique de l ensemble Z Exercice 25. Dans l ensemble des entiers naturels non nuls, N, on considère la relation binaire définie par : ( a N )( b N )[a b ( q N ),b = qa] 1) Vérifier que (N, ) est un ensemble ordonné. 2) La relation d ordre est-elle totale sur N? 3) Pour tout a N on pose N a = {a,a 2,a 3, }. Démontrer que l ensemble ordonné (N a, ) est totalement ordonné. 4) Pour tout a N on pose an = {a,2a,3a, }. L ensemble ordonné (an, ) est-il totalement ordonné? Exercice 26. Montrer que pour tout entier n, le nombre n 3 n est divisible par Le PGCD Pour tout entier a > 0 on désigne par D(a) = {q N q divise a} le sous-ensemble de tous les diviseurs de a. Notons que D(a) est non vide car 1 D(a) et puisque pour tout diviseur q D(a) on a 0 < q a ceci entraîne que l ensemble D(a) est fini. Définition 14. Soient a et b N. Le plus grand élément de l ensemble fini D(a) D(b) s appelle plus grand commun diviseur de a et b, on le note PGCD(a,b) 1. Pour les entiers a et b Z on définit leur plus grand commun diviseur par PGCD(a,b) = PGCD( a, b ) et on dira que a et b sont premiers entre eux si le PGCD(a,b) = 1. Plus généralement, étant donné une famille finie d entiers {a 1,a 2,,a n } Z le plus grand élément de l intersection D( a 1 ) D( a n ) s appelle plus grand commun diviseur de la famille {a 1,a 2,,a n } Z, on le note PGCD(a 1,a 2,,a n ). Exemple 12. 1) Calculons le PGCD(32, 12). Puisque les ensembles des diviseurs des entiers 12 et 32 sont égaux à D(12) = {1,2,3,4,6,12} et D(32) = {1,2,4,8,16,32} on aura D(12) D(32) = {1,2,4}. Donc, le PGCD(32,12) = 4. 2) Montrons que 24 et 35 sont premiers entre eux. En effet, puisque les ensembles des diviseurs des entiers 24 et 35 sont égaux à D(24) = {1,2,3,4,6,8,12,24} et D(35) = {1,5,7,35} on aura D(24) D(35) = {1}. Donc, le PGCD(24,35) = 1 et par suite les entiers 24 et 35 sont premiers entre eux. 3) Calculons le PGCD(49, 21, 56).

35 Divisibilité dans Z 29 Puisque les ensembles des diviseurs des entiers 56, 49 et 21 sont égaux à D(56) = {1,2,4,7,8,14,28,56}, D(49) = {1,7,49} et D(21) = {1,3,7,21} on voit que D(56) D(49) D(21) = {1,7}. Donc, le PGCD(49,21,56) = L Algorithme d Euclide Dans ce paragraphe, on va décrire une méthode algorithméque découverte par Euclide qui va nous permettre de déterminer le plus grand commun diviseur de deux entiers positifs non nuls a et b sans déterminer leurs ensembles de diviseurs. Lemme 1. Soient a et b deux entiers tels 0 < a < b. Si r > 0 est le reste de la division euclidiènne de b par a alors le PGCD(a,b) = PGCD(a,r). Démonstration. Posons d = PGCD(a,b), d = PGCD(a,r) et écrivons b = aq + r avec 0 < r < a. Ensuite, observons que puisque l entier d divise a et b, d divise r = b aq. Donc, d d. De même, puisque l entier d divise a et r il divise aussi b = aq+r, donc on a d d. Ceci démontre que d = d. Le résultat du lemme est très important sur le plan de recherche du pgcd d un couple d entiers; il nous suggère l algorithme suivant découvert pour la première fois par Euclide dont le principe est le suivant : Étape 1) Supposons que 0 < a < b. D après le principe de la division euclidienne, il existe donc deux entiers q 1 et r 1 tels que b = aq 1 +r 1 avec 0 r 1 < a Ainsi, si r 1 = 0 on aura PGCD(a,b) = a. Étape 2) Si 0 < r 1 < a il existe donc deux entiers q 2 et r 2 tels que a = r 1 q 2 +r 2 avec 0 r 2 < r 1 Ainsi, si r 2 = 0 le lemme 1 implique PGCD(a,b) = PGCD(a,r 1 ) = r 1. Étape 3) Si 0 < r 2 < r 1, dans ce cas le lemme implique que PGCD(a,b) = PGCD(a,r 1 ) = PGCD(r 1,r 2 ) Pour calculer le PGCD(a, b) il suffit donc qu on applique le principe de l étape précédente le nombre de fois nécessaire jusqu à ce qu on obtient un reste nul i.e. : b = aq 1 +r 1 0 < r 1 < a a = r 1 q 2 +r 2 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 q 3 +r 3 0 < r 3 < r 2 < r 1. =.. r n 2 = r n 1 q n +r n 0 < r n < < r 3 < r 2 < r 1 r n 1 = r n q n = r n+1 < r n < < r 3 < r 2 < r 1

36 30 Arithmétique de l ensemble Z Ainsi, en appliquant le lemme 1 à ces divisions euclidiènnes consécutives on déduit que le PGCD(a,b) = PGCD(a,r 1 ) = PGCD(r 1,r 2 ) = = PGCD(r n 2,r n 1 ) = r n Théorème 4 (L identité de Bezout). Si l entier d 1 est le plus grand commun diviseur des entiers a et b alors, il existe deux entiers u et v tels que au+bv = d. Démonstration. Pour établir l identité de Bezout il suffit qu on calcule les restes non nuls en suivant les étapes de l algorithme d Euclide : r n = r n 2 r n 1 q n r n 1 = r n 3 r n 2 q n 1. =. r 2 = a r 1 q 2 r 1 = b aq 1 Ensuite, si on remplace le reste r n 1 par son expression dans la deuxième ligne on obtient l expression suivante r n = r n 2 r n 1 q n = r n 2 (r n 3 r n 2 q n 1 )q n = r n 2 (1+q n 1 q n ) r n 3 q n Donc, si on continue ce procédé tout en éliminant les restes r k on aboutira à l identité de Bezout : au+bv = r n = d. Corollaire 2. Deux entiers non nuls a et b sont premiers entre eux si et seulement, s il existe deux entiers u et v tels que au+bv = 1. Exemple 13. 1) Appliquons l algorithme d Euclide pour calculer le PGCD(1011, 261) = = = = = 3 10 Donc, suite à ces calculs on déduit que le PGCD(1011,261) = 3. 2) Cherchons une identité de Bezout qui correspond aux entiers 1011 et = = 33 ( ) = = ( ) = = ( ) 8 =

37 Divisibilité dans Z 31 Proposition 7. Le plus grand commun diviseur PGCD vérifie les propriétés suivantes : 1. Si d = PGCD(a,b), alors un entier n divise a et b si et seulement si n divise d. 2. Si a, b et n > 0 sont des entiers non nuls alors PGCD(na,nb) = npgcd(a,b). 3. Si n > 0 divise a et b alors PGCD( a n, b n ) = 1 n PGCD(a,b). 4. (Lemme de Gauss) Si a et a sont premiers entre eux et si a a b alors a b. Démonstration. 1) Supposons d = PGCD(a, b). Donc, d après l identité de Bezout il existe des entiers u et v tels que au+bv = d. Ainsi, si l entier n divise a et b il divise aussi d. Inversement, en écrivant que a = da et b = db on voit que si en plus d = nd alors ceci entraîne que a = n(d a ) et b = n(d b ). Donc, n divise a et b. 2) Soient a, b et n > 0 des entiers non nuls et soit d = PGCD(a,b). Il est évident que nd d = PGCD(na,nb) D autre part, observons que si on choisit des entiers u et v tels que (na)u + (nb)v = d on déduit que l entier n divise d. Donc, il existe d 1 tel que d = nd 1 et au + bv = d 1. Notons aussi que nd d entraîne que d d 1. Donc, pour établir la formule du 2) il suffit qu on démontre que d = d 1. En effet, si on suppose d < d 1 il existe deux entiers q et r tels que d 1 = qd+r avec 0 r < d. Mais, comme on a au+bv = d 1 = qd+r et comme d divise a et b on en déduit que d divise r, donc r = 0 et q = 1. Par conséquent, d = d 1 et nd = d. 3) Est une conséquence de 2). 4) Soient a et a deux entiers premiers entre eux, et soit b un entier tel que a divise a b. Notons que d après l identité de Bezout il existe deux entiers u et v tels que au + a v = 1. Ainsi, comme b = (a b)u+(ab)v et a divise a b on en déduit que a divise b. Remarque 1. Soit (u 0,v 0 ) un couple d entiers tel que au 0 +bv 0 = d = PGCD(a,b). 1) Observons que si on pose a = da et b = db on obtient l identité de Bezout a u 0 +b v 0 = 1 qui montre que les entiers u 0 et v 0 sont premiers entre eux. 2) Notons aussi que le couple d entiers premiers entre eux (u 0,v 0 ) n est pas unique. En effet, si pour tout entier n on pose u = u 0 b d n et v = v 0 + a d n on obtient au +bv = a(u 0 b d n)+b(v 0 + a d n) = au 0 +bv 0 = d Pour finir ce paragraphe, on va appliquer l identité de Bezout pour résoudre les équations diophantiennes de la forme : ax+by = n où les entiers a, b et n sont donnés et les entiers x et y sont des inconnus.

38 32 Arithmétique de l ensemble Z Proposition 8 (Équations diophantiennes). Soient a, b et c des entiers. 1. L équation diophantienne ax+by = c possède une solution (x,y) Z 2 si et seulement, si le PGCD(a,b) divise c. 2. Si le PGCD(a,b) = d divise c et si au+bv = d (i.e. identité de Bezout) alors la solution générale de l équation diophantienne ax+by = c est donnée par : x = 1 d (bm+uc) et y = 1 ( am+vc) où m Z d Démonstration. 1) Notons que puisque le PGCD(a,b) = d divise a et b on voit que si pour un certain couple d entiers (x,y) Z 2 on a l égalité ax +by = c il en résulte que l entier d divise c. Inversement, supposons que le PGCD(a,b) = d divise c et posons c = dc. Notons que d après l identité de Bezout il existe deux entiers u 0 et v 0 tels que au 0 +bv 0 = d, donc si on la multiplie par c on obtient l égalité a(u 0 c ) + b(v 0 c ) = n qui entraîne que le couple d entiers (u 0 c,v 0 c ) est une solution de l équation ax+by = c. 2) Observons que si on a au + bv = d alors en écrivant c = dc on déduit que pour tout (x,y) Z 2 solution de l équation ax+by = c on a : a(x c u)+b(y vc ) = 0. Donc, si on applique le lemme de Gauss aux entiers premiers entre eux a d et b d on déduit que a d divise vc y et que b d divise x c u. Ceci entraîne donc qu il existe m Z tel que x = 1 d (bm+uc) et y = 1 d ( am+vc). Exemple 14. Pour tout a Z cherchons toutes les solutions de l équation diophantienne 1011x+261y = a. Rappeloons que PGCD(1011, 261) = 3, donc l équation diophantienne 1011x + 261y = a possède une solution dans Z 2 si et seulement, si 3 divise a. Supposons donc a = 3a avec a Z. D autre part, rappelons qu on a trouvé l identité de Bezout : 1011 ( 8) = 3 = 1011 ( 8a )+261 (31a ) = 3a = a Donc, si le coupe (x,y) Z 2 est solution de l équation 1011x + 261y = a on obtient par soustraction : 1011( 8a x)+261(31a y) = 0 337(8a +x) = 87(31a y) Ainsi, comme 337 et 87 sont premiers entre eux; le lemme de Gauss implique que 337 divise 31a y et que 87 divise 8a +x. Donc, il existe un entier n Z tel que x = 87n 8a et y = 31a 337n Conclusion : Lorsque l entier a est divsible par 3 l ensemble des solutions de l équation diophantienne 1011x+261y = a est donné par ( a ( a {(87n 8,31 337n) n Z} 3) 3)

39 Divisibilité dans Z 33 Par exemple, si on prend a = 3 on voit que l ensemble des solutions de l équation diophantienne 1011x+261y = 3 est égal à l ensemble des couples {(87n 8,31 337n) n Z}. Exercice 27. Pour tout couple d entiers (a, b) calculer le PGCD(a, b) = d et trouver un couple d entiers (u,v) qui réalisent l identité de Bezout : au+bv = d. 1. a 1 = 2011 et b 1 = 265; 2. a 2 = et b 2 = 2091; 3. a 3 = et b 3 = Exercice 28. Résoudre les équations diophantiennes suivantes : 1. 31x+19y = 1; x+1876y = 24; 3. 49x+117y = 36. Exercice 29. Soient x, y, a, b, a et b des entiers. Démontrer les affirmations suivantes : 1. PGCD(x,y) divise PGCD(ax+by,a x+b y); 2. PGCD(ax+by,a x+b y) divise (ab ba )PGCD(x,y). En déduire que si ab a b = 1 alors PGCD(x,y) = PGCD(ax+by,a x+b y). Exercice 30. Démontrer que pour tous les entiers non nuls a, b et c on a les égalités : PGCD(a,b,c) = PGCD(PGCD(a,b),c) = PGCD(a,PGCD(b,c)) Exercice 31. Soient a et b deux entiers premiers entre eux. Démontrer que si a et b divisent un entier n alors ab divise n i.e : (a n et b n) et PGCD(a, b) = 1 = ab n Exercice 32. Démontrer que si un entier n est premier avec chacun des entiers b 1,, b m, alors n est premier avec leur produit b 1 b m i.e. : 1 i m, PGCD(n,b i ) = 1 = PGCD(n,b 1 b 2 b m ) = Le PPCM Pour tout entier a > 0 on désigne par M(a) = {qa q N} l ensemble de tous les multiples de a dans N. Notons que pour tout couple d entiers a > 0 et b > 0 l intersection M(a) M(b) est non vide, car elle contient le produit ab, donc elle possède un plus petit élément. Définition 15. Le plus petit élément de l itersection M(a) M(b) s appelle plus petit commun multiple de a et b, il se note PPCM(a,b). Si les entiers a et b Z on définit leur plus petit commun multiple par PPCM(a,b) = PPCM( a, b ) Proposition 9. Le PGCD et le PPCM vérifient les propriétés suivantes :

40 34 Arithmétique de l ensemble Z 1. Un entier non nul m Z est multiple de a Z et de b Z si et seulement, si m est multiple du PPCM(a, b). 2. PPCM(a,b) PGCD(a,b) = ab. Exercice 33. Démontrer la proposition. Exercice 34. Démontrer que pour tous les entiers non nuls a, b et c on a les égalités : 1. PGCD(a, PPCM(b, c)) = PPCM(PGCD(a, b), PGCD(a, c)). 2. PPCM(a, PGCD(b, c)) = PGCD(PPCM(a, b), PPCM(a, c)) Les nombres premiers Définition 16. Soit p 2 un entier. Si les seuls diviseurs de p sont 1 et p on dira que p est un nombre premier. Si p n est pas premier on dira qu il est composé. Exemple 15. 1) Les entiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 101, 121 sont des nombres premiers. 2) Le entiers : 123, 405, 2001 sont composés. Lemme 2. Soit n 2 un entier. Le plus petit diviseur d > 1 de l entier n est un nombre premier. Si n est composé alors d n. Démonstration. Soit D(n) N l ensemble des diviseurs positifs de n, et soit d > 1 le plus petit élément de D(n). Supposons qu il existe un entier u > 1 qui divise d. Notons que u divise n, car on a n = dn et d = um implique n = u(mn ). D autre part, puisque d est le plus petit élément de l ensemble D(n) on déduit que d u. Ainsi, puisque u d on aura d = u et donc d est un nombre premier. Observons que si on suppose que l entier n est composé alors en posant n = dd avec d > 1 on aura d D(n), et ainsi comme d est le plus petit élément de l ensemble D(n) on aura d d. Donc, puisque d 2 dd = n il s ensuit que d n. Le lemme possède plusieurs applications importantes : Corollaire 3. Un entier naturel n > 0 est soit premier, ou soit qu il est divisible par un nombre premier p < n. Corollaire 4. Soit n 2 un entier. Si tous les nombres premiers p n ne divisent pas n, alors l entier n est un nombre premier. Corollaire 5. Dans N, le sous-ensemble de tous les nombres premiers est infini. Démonstration. Désignons par P l ensemble de tous les nombres premiers de l ensemble N et supposons que P est fini. Donc, on peut l ordonner comme suit P = {p 1,p 2,,p m } avec p 1 < p 2 < < p m Observons que si on pose N = p 1 p 2 p m +1 N on voit que p m < N, donc N P.

41 Divisibilité dans Z 35 Noter que puisque l entier N est composé le lemme 2 implique que son plus petit diviseur d est un nombre premier, c est-à-dire d P. Mais, d après l expression de N aucun élément de l ensemble P ne peut diviser l entier N, or ceci est absurde. Par conséquent, l ensemble de tous les nombres premiers P est infini. Exemple 16. L entier N = 2011 est un nombre premier parce que tous les nombres premiers p 2011 = ne divisent pas N. Pour finir ce paragraphe on va démontrer le théorème fondamental de l arithmétique qui s énonce comme suit : Théorème 5 (Théorème fondamental de l arithmétique). Pour tout entier n 2 il existe une unique famille finie de nombres premiers {p 1,p 2,,p m } ordonnés du plus petit au plus grand, il existe aussi une unique famille d entiers {α 1,α 2,,α m } N qui vérifient les propriétés suivantes : 1. Pour tout entier 1 i m, 1 α i ; 2. Pour tout entier 1 i m, la puissance p α i i divise n mais p α i+1 i ne le divise pas; 3. L entier n = p α 1 1 pα 2 2 pαm m. Démonstration. Considéron un entier n 2. Étape 1 : Si n est un nombre premier alors en posant n = p 1 et α 1 = 1 on obtient n = p α 1 1. Donc, le théorème est démontré. Étape 2 : Si n n est pas un nombre premier le lemme 2 implique que son plus petit diviseur d > 1 est un nombre premier. Posons alors p 1 = d et considérons le sous-ensemble A(p 1 ) = {α N p α 1 divise n}. Ainsi, puisque pour tout α A(p 1) on a p α 1 n on déduit que l ensemble A(p 1 ) est fini. Donc, A(p 1 ) possède un plus grand élément α 1 1 tel que p α 1 1 divise n mais p α ne divise pas n. Étape 3 : D après l étape 2) il existe donc un entier n 1 tel que n = p α 1 1 n 1 avec 1 n 1 < n et p 1 ne divise pas n 1. Ainsi, si n 1 = 1 le théorème est démontré. De même, si n 1 > 1 est un nombrepremier alors la preuve du théorème s achève en posant n 1 = p 2, α 2 = 1 et n = p α 1 1 p 2. En revanche, si l entier n 1 n est pas un nombre premier alors en lui appliquant les idées de l étape 2) on peut trouver un nombre premier p 2 et un entier α 2 1 tels que p α 2 2 divise n 1 et que p α ne divise pas n 1. Notons que puisque p 2 divise n 1 il divise n, et donc 1 < p 1 < p 2. Comme ci-dessus, on déduit qu il existe un entier 1 n 2 < n 1 < n tel que n = p α 1 1 pα 2 2 n 2 avec p 1 et p 2 ne divisent pas n 2. Par conséquent, si on continue ce processus (fini) on achèvera la preuve du théorème. Définition 17. Soit n > 1 un entier. L expression n = p α 1 1 pα 2 2 pαm m établie dans le théorème précédent s appelle factorisation de n en nombres premiers. Les nombres premiers p 1, p 2, et p m s appellent facteurs premiers de n. Exemple 17. Cherchons la factorisation en nombre premiers de l entier M =

42 36 Arithmétique de l ensemble Z Selon l expression de M on voit qu il est divisible par 3 et par 9. Donc, M = Notons aussi que le quotient est divisible par 7 et on a = Donc, M = De même, après des teste on trouve que le plus petit nombre premier qui divise est 19, et que = Enfin, puisque 529 = 23 2 on déduit que la factorition en nombres premiers de M = Le théorème fondamental de l arithmétique possède plusieurs applications pratiques, ci-dessous on va en donner quelques une. Corollaire 6. Soit N = p α 1 1 pα 2 2 pαm m une factorisation en nombres premiers. Si un entier n 2 divise N alors il existe des entiers 0 β i α i tels que n = p β 1 1 pβ 2 2 pβm m. En conséquence, le nombre de diviseurs de l entier N est égal au produit : (α 1 +1)(α 2 +1) (α m +1) Démonstration. 1) Observer que si l entier d 2 divise l entier N il s ensuit que tout nombre premier p 2 qui divise d divise N. Ainsi, comme p = p i pour un certain indice 1 i m on déduit que la factorisation de d en nombres premiers est de la forme d = p β 1 1 pβ 2 2 pβm m avec 0 β i α i. 2) Maintenant, puisque l ensemble des diviseurs de l entier N est égal à D(N) = {p β 1 1 pβ 2 2 pβm m 0 β i α i } N a le même nombred éléments que l ensemble des m-uplets {(β 1,,β m ) 0 β i α i } N m on en déduit que le cardinal Card(D(N)) = (α 1 +1)(α 2 +1) (α m +1). Corollaire 7. Soient a = p α 1 1 pα 2 2 pαm m et b = pβ 1 1 pβ 2 2 pβm m sont des factorisations en nombres premiers où p i peut être égal à un. Alors, on a : 1. PGCD(a,b) = p min(α 1,β 1 ) 1 p min(α 2,β 2 ) 2 p min(αm,βm) m. 2. PPCM(a,b) = p max(α 1,β 1 ) 1 p max(α 2,β 2 ) 2 p max(αm,βm) m. Exemple 18. 1) L entier N = possède (5+1) (3+1) (6+1) (2+1) = 504 diviseurs. 2) Si a = et b = on aura alors : PGCD(a,b) = et PPCM(a,b) = Exercice 35. Les entiers suivants sont-ils des nombres premiers 203, 221, 307, 313, 367, Exercice 36. Chercher la factorisation en nombres premiers des entiers : N 1 = 12345, N 2 = , N 3 = Exercice 37. Soient a et b deux entiers non nuls. 1) Démontrer que si un nombre premier p 2 divise ab alors p divise a ou b. 2) En déduire que le PGCD(a,b) = 1 si et seulement s il n existe aucun nombre premier p 2 qui divise a et b à la fois.

43 Divisibilité dans Z 37 Exercice 38. Soient a 2 et b 2 deux entiers, et p 2 un nombre premier. Calculer le PGCD(a 2,b 2 ) sachant que le PGCD(a,b) = p 3. Exercice 39. Soient a 2 et b 2 deux entiers tel que le PGCD(a,b) = 8. Quelles sont les valeurs possibles du PGCD(a 4,b 5 )? Exercice 40. Démontrer les affirmations suivantes : 1. Si les entiers a et b sont premiers entre eux alors pour tout entier n 2 les puissances a n et b n sont premiers entre eux. 2. Les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement, si les entiers a+b et ab sont premiers entre eux. 3. Soient a, b et n > 0 des entiers. Si a n divise b n alors a divise b. Exercice 41. On vous rappelle que tout nombre rationnel x Q s écrit de manière unique sous la forme x = p q où les entiers p Z et q Z sont premiers entre eux. 1) Démontrer que la racine carrée 2 Q. 2) Démontrer que la racine cubuque 3 2 Q. Exercice 42. On définit le n-ième nombre de Fermat par la formule : F n = 2 2n +1. 1) Calculer les nombres de Fermat F(0), F(1), F(2), F(3) et F(4) et vérifier qu ils sont premiers. 2) En remarquant que F n+1 2 = (2 2n 1)(2 2n +1), démontrer que F n+1 2 = F n F n 1 F 1 F 0 3) Déduire de 2) que si n m alors F n et F m sont premiers entre eux. 4) En utilisant 3) déduire que l ensemble des nombres premiers est infini.

44 Chapitre Trois Structures algébriques fondamentales 3.1 Groupes, anneaux et corps Structure de groupes Définition 18. Soit G un ensemble non vide. Toute application T : G G G s appelle loi de composition interne sur G. Lorsque l ensemble G est muni d une loi de composition interne T on pose pour tous les éléments x et y G, xty := T(x,y). Par exemple, l addition et la multiplication ordinaires sont des lois de compositions internes dans les ensembles N, Z, Q, et R. Définition 19. Soit G un ensemble non vide muni d une loi de composition interne notée T. On dira que le couple (G,T) est un groupe si on a les conditions suivantes : Unité Il existe un élément e G tel que pour tout g G, gte = etg = g. L élément e G s appelle unité de (G, T) ou élément neutre. Associativité ( x, y, z G),(xTy)Tz = xt(ytz). Inverse Pour tout g G il existe g G tel que gtg = g Tg = e. L élément g s appelle inverse de g dans (G,T). De plus, si pour tous les éléments x et y G on a xty = ytx on dira que le groupe G est commutatif ou abelien. Dans un groupe (G,T) l élément neutre est unique. En effet, si on suppose que e G et e G sont neutres dans le groupe (G,T) on obtient en même temps ete = e et ete = e. Donc, e = e. De même, dans un groupe (G,T) l inverse d un élément g G est unique. Parce que si on suppose que x et y sont des inverses de g dans (G,T) on écrit gâce à l associativité de la loi de composition T : xt(gty) = (xtg)ty = xte = ety = x = y

45 Groupes, anneaux et corps 39 Dans la suite, s il n y a aucun risque de confusion à craindre une loi de composition interne T sera notée multiplicativement. C est-à-dire, pour tous x et y G on écrira x y (ou xy) au lieu de xty. Dans ce cas, l élément neutre du groupe G sera noté 1 = e et l inverse de tout x G sera désigné par x 1. Proposition 10. Soient (G 1, 1 ) et (G 2, 2 ) deux groupes. Sur le produit cartésien G 1 G 2 on définit une loi de composotion internes par l expression suivante : ( (x,y),(a,b) G 1 G 2, (x,y) (a,b) = (x 1 a,y 2 b) Alors, (G 1 G 2, ) est un groupe qui devient commutatif si et seulement si les deux groupes (G 1, 1 ) et (G 2, 2 ) sont commutatifs. Exercice 43. Démontrer la proposition. Exemple 19. 1) Les couples (Z,+), (Q,+), (R,+), (Q, ) et (R, ) sont des groupes commutatifs. 2) Les couples (N,+) et (Z, ) ne sont pas des groupes car leurs éléments ne possèdent pas des inverses. Exercice 44. Soit k R fixé. Dans R on définit une loi de composition interne par (R,T) est-il un groupe? ( x R )( y R ),xty = kxy Exercice 45. Soit E un ensemble non vide. Il est clair que l intersection, la réunion et la différence symétrique définissent des lois de compositions internes dans l ensemble des parties P(E). 1) Dire pour qu elles raisons les couples (P(E), ) et (P(E), ) ne sont pas des groupes. 2) Démontrer que le couple (P(E), ) est un groupe commutatif. Définition 20. Soit (G, ) un groupe multiplicatif. On dira que le sous-ensemble H G est un sous-groupe de G si 1. H est stable par la loi interne de G i.e : x,y H, x y H; 2. le couple (H, ) est un groupe. Notons que si (H, ) est un sous-groupe de (G, ) alors l élément neutre de H est égal à celui de G noté 1. En effet, si e est l élément neutre de (H, ) on aura e e = e. De plus, comme e H G est inversible dans (G, ) on déduit que e 1 (e e) = e 1 e = 1 = (e 1 e) e = 1 = e = 1 Exemple 20. Dans le groupe abelien (R, ) les sous-ensembles Q et { 1,1} sont des sousgroupes. Proposition 11. Soit (G, ) un groupe. Pour qu un sous-ensemble non vide H G soit un sous-groupe de G il faut et il suffit qu on ait les conditions suivantes :

46 40 Structures algébriques fondamentales 1. 1 H. 2. ( x,y H),xy 1 H. Démonstration. Exercice. Proposition 12. Pour qu un sous-ensemble non vide G Z soit un sous-groupe de (Z,+) il faut et il suffit qu il existe un entier m tel que G = {mn n N} = mz. Démonstration. 1) Il est clair que pour tout entier m 0 le sous-ensemble mz est stable par l addition des entiers, et puisque 0 mz la proposition précédente implique que (mz, +) est un sous-groupe. 2) Soit G un sous-groupe de (Z,+). Notons que si G = {0} on aura donc G = 0Z. Supposons donc G {0}. Donc, sous cette hypothèse il existe un entier n N tel que {n, n} G. Puisque le sous-ensemble G N est non vide il possède donc un plus petit élément m > 0. Ainsi, comme m G le sous-groupe mz G. D autre part, notons que si on prend x G\{0} le principe de la division euclidienne permet de trouver un unique couple d entiers q et r tels que x = mq+r et 0 r < m. Ainsi, puisque l entier x mq G on déduit que r G, mais comme m est le plus petit entier positif appartenant à G N et r 0 on en déduit que r = 0 et par suite x = mq, donc G mz. Par conséquent, G = mz. Exercice 46. Pour tout couple d entiers a > 0 et b > 0 on définit la somme az+bz = {am+bn m,nz} 1) Démontrer que l entier a divise l entier b si et seulement, si le sous-groupe bz az. 2) Démontrer que la somme az+bz est un sous-groupe de (Z,+). 3) Démontrer que az+bz = PGCD(a,b)Z. 4) En déduire que a et b sont premiers entre eux si et seulement si az+bz = Z. 5) Démontrer que l intersection az bz = PPCM(a,b)Z. Exercice 47. Soit (G, ) un groupe. Démontrer que si H 1 et H 2 sont des sous-groupes de G alors l intersection H 1 H 2 est un sous-groupe de G. Exercice 48. Démontrer que le sous-ensemble G = {n + m 2 R n,m Z} est un sous-groupe de (R, +). Exercice 49. Soit k Q fixé. Dans R on définit une loi de composition interne par ( x R )( y R ),xty = kxy 1) Montrer que (R,T) est un groupe commutatif. 2) Montrer que (Q,T) est un sous-groupe de (R,T).

47 Groupes, anneaux et corps 41 Exercice 50. On définit sur le produit R R la loi de composition interne suivante : (a,b),(x,y) R R, (a,b) (x,y) = (ax,bx+y) 1) Montrer que (R R, ) est un groupe non commutatif. 2) Montrer que le sous-ensemble G = {(1,x) x R} est un sous-groupe commutatif du groupe (R R, ) Structure d anneaux Définition 21. Soit A un ensemble non vide muni de deux lois de compositions internes + (additive) et (multiplicative). On dira que le triplet (A,+, ) est un anneau si on a les conditions suivantes : 1. (A,+) est un groupe abelien dont l élément neutre est noté 0 A. 2. La loi interne multiplicative est associative. 3. La loi interne multiplicative est distributive à droite et à gauche par rapport à l addition + i.e. : ( x,y,z A), x (y +z) = x y +x z et (x+y) z = x z +y z Quand, la loi interne multiplicative possède un élément neutre il sera noté 1 A, et on dira que l anneau (A,+, ) est unitaire. De même, quand la loi est commutative on dira que l anneau (A, +, ) est commutatif. Notons que dans l anneau (A,+, ) de la relation 0 A +0 A = 0 A on déduit grâce à la distributivité de par rapport à + que pour tout élément x A on a, { x 0 A +x 0 A = x 0 A 0 A x+0 A x = 0 A x = x 0 A = 0 A x = 0 A Exemple 21. Les triplets (Z,+, ), (Q,+, ) et (R,+, ) sont des anneaux commutatifs et unitaires. Notons que dans la définition d un anneau (A,+, ) on a exiger que la loi multiplicative soit une loi associative. On a fait cette condition sur la loi multiplicative dans le seul but de simplifier le calcul dans (A, ). Pour expliquer ce que je viens de dire rappelons que la loi de composition interne multiplicative compose (agit sur) les couples d éléments; c est-à-dire étant donné (a,b) A A on obtient un produit a b A bien défini. En revanche, si on se donne trois éléments a 1, a 2, a 3 A (ou plusieurs éléments ordonés) le produit deux à deux de ces trois éléments pose le problème du choix des couples qu on va former avec eux. Par exemple, on calcul (a 1 a 3 ), puis on calcul (a 1 a 2 ) a 3 ; ou bien on calcul (a 2 a 3 ), puis on calcul a 1 (a 2 a 3 ).

48 42 Structures algébriques fondamentales Ainsi, avec l hypothèse d associativité de la multiplication ces deux calculs nous donnent un seul élément de A qu on pourra écrire sans mettre les parenthèses : a 1 a 2 a 3 = (a 1 a 2 ) a 3 = a 1 (a 2 a 3 ) A Donc, l associativité assure l indépendance du calcul du produit de plusieurs éléments vis-àvis du placement des parenthèses comme on va l illustrer encore une autre fois avec le calcul du produit de quatre éléments a 1, a 2, a 3 et a 4 A : ((a 1 a 2 ) a 3 )) a 4 = (a 1 a 2 ) (a 3 a 4 ) = a 1 (a 2 (a 3 a 4 )) Ces trois produits égaux dans l anneau (A,+, ) on pourra les écrire sans utiliser les parenthèses a 1 a 2 a 3 a 4. Notons aussi que grâce à l associativité de la multiplication on garantie l unicité de l inverse d un élément x A par rapport à la multiplication. Pour se convaincre réviser la preuve de l unicité de l inverse dans un groupe (G, ) (cf ). Proposition 13 (Binôme de Newton). Soit (A, +, ) un anneau commutatif. Pour tous les éléments x et y A et pour tout entier n N on a les deux formules suivantes : k=n 1. (Binôme de Newton) (x+y) n = C k n xk y n k k=n 1 2. x n y n = (x y) x k y n 1 k k=0 k=0 Démonstration. La formule (2) est une vérifiaction. Pour démontrer la formule (1) du binôme de Newton on procède par récurrence sur l entier n et on utilise la formule du triangle de Pascal C k n = C k n 1 +Cn 1 k 1 avec n! Ck n = et n! = n. k!(n k)! Définition 22. Soit (A,+, ) un anneau et A A une partie non vide. Si le triplet (A,+, ) est un anneau on dira que A est un sous-anneau de A. Proposition 14. A Z est sous-anneau de (Z,+, ) si et seulement, s il existe un entier m N tel que A = mz. Démonstration. Utiliser la caractérisation des sous-groupes de (Z, +). Remarque 2. Si dans la définition d un anneau on ne demande pas que la seconde loi multiplicative soit nécessairement associative on obtient ainsi une théorie générale des anneaux, car elle va nous fournir des anneaux associatifs et des anneaux non associatifs. Exercice 51 (Exemples d anneaux non associatifs). Soit (A, +, ) un anneau dont la multiplication est associative et n est pas commutative. À partir de l addition + et de la multiplication on définit deux lois de composition internes sur A en posant : (x,y) A A, x y = x y +y x et x y = x y y x

49 Groupes, anneaux et corps 43 1) Vérifier que les lois internes et sont distributives à gauche et à droite par rapport à l addition + de A. 2) Vérifier que les lois internes et ne sont pas associatives dans A. 3) En déduire que les triplets (A,+, ) et (A,+, ) sont des anneaux non associatifs. 4) Exemple : On désigne par F(R,R) l ensemble de fonctions définies de R dans R. On désigne par les symboles + et l addition et la composition des fonctions : ( f,g F(R,R))( x R),(f +g)(x) = f(x)+g(x) et f g(x) = f(g(x)) i) Vérifier que le triplet (F(R,R),+, ) est un anneau unitaire, associatif mais non commutatif. ii) En déduire que si pour tous f et g F(R,R) on pose f g = f g +g f alors le triplet (F(R,R),+, ) est un anneau commutatif, non unitaire et non associatif. iii) En déduire aussi que si pour tous f et g F(R,R) on pose f g = f g g f alors le triplet (F(R,R),+, ) est un anneau anti-commutatif (i.e. x y = y x), non unitaire et non associatif. Exercice 52. Démontrer que pour tout ensemble non vide E le triplet (P(E),, ) est un anneau commutatif unitaire. Exercice 53. Pour tout entier non nul a > 0 dont la racine carrée a N on pose : Z[ a] = {m+n a m,n Z} 1) Vérifier que Z[ a] est stable par l addition et la multiplication des nombres réels. 2) En déduire que le triplet (Z[ a],+, ) est un sous-anneau de R. Exercice 54. Dans l anneau (R, +, ) on considère les sous-ensembles suivants : A = {m+n 3 2+p 3 4 m,n,p Z}; B = {m+n 3 2 m,n Z}; 1) Vérifier que (A,+, ) est un sous-anneau de R. 2) Dire pour quelle raison le triplet (B,+, ) n est pas un sous-anneau de R. Exercice 55. Soit (A,+, ) un anneau unitaire. On désigne par U(A) le sous-ensemble des éléments de A qui sont inversibles par rapport à la multiplication. Donc, on a x U(A) (x A) et ( y A), x y = y x = 1 1) Démontrer que le couple (U(A), ) est un groupe appelé groupe des unités de l anneau A. 2) Déterminer le groupe des unités des anneaux (Z,+ ), (Q,+ ) et (R,+ ).

50 44 Structures algébriques fondamentales Exercice 56. On désigne par A l ensemble de toutes les fonctions f a,b : R R dont l expression est donnée par f a,b (x) = ax+b, où a et b R sont des constantes. Sur l ensemble des fonctions A on définit les deux lois de compositions suivantes : f a,b +f c,d = f a+c,b+d. f a,b f c,d = f ac,ad+b. 1) Montrer que (A,+, ) est un anneau unitaire. Est-il commutatif? 2) Caractériser les couples (a,b) R 2 pour que la fonction f a,b soit inversible relativement à la loi de composition. Est-ce que (A,+, ) est un corps? 3) Montrer que B = {f a,b A a,b Z} est un sous-anneau de A Structure de corps Définition 23. Soit (K,+, ) un anneau unitaire. Si le couple (K\{0}, ) est un groupe on dira que K est un corps. Si, en plus, le groupe (K\{0}, ) est commutatif on dira que K est un corps commutatif. Exemple 22. 1) (Q,+, ) et (R,+, ) sont deux corps commutatifs. 2) L anneau (Z,+, ) n est pas un corps parce que les seuls entiers inversibles dans (Z, ) sont ±1. Définition 24. Soit (K,+, ) un corps. On dira que la partie K K est un sous-corps si elle est stable par l addition + et la multiplication, et si en plus le triplet (K,+, ) est un corps. Exemple 23. (Q,+, ) est un sous-corps de (R,+, ). Exercice 57. Démontrer que le sous-ensemble Q( 2) = {x+y 2 x,y Q} est un sous-corps de (R,+, ). 3.2 Les congruences dans Z Soit m N. On dira que les entiers a et b Z son congrus modulo m si la différence a b est divisible par m. Dans ce cas, on note : a = b mod m m a b La proposition suivante est facile à démontrer Proposition 15. Si m N est fixé alors pour tous les entiers a, b et c Z on a les propositions suivantes : 1. a = a mod m; 2. si a = b mod m alors b = a mod m; 3. si a = b mod m et b = c mod m alors a = c mod m.

51 Les congruences dans Z 45 D après la définition de la congruence modulo m on voit que si on a a = b mod m ceci on peut le traduire en disant qu il existe un entier k Z tel que a = km+b Proposition 16. Pour que a Z soit congrus modulo m à b Z il faut et il suffit que a et b aient le même reste de la division euclidiènne par m. Démonstration. Écrivons a = k 1m+r 1 et b = k 2 m+r 2 avec k 1, k 2 Z et avec 0 r 1,r 2 < m et observons que puisque la différence a b = (k 1 k 2 )m+r 1 r 2 il s ensuit que m divise a b si et seulement si m divise r 1 r 2. Mais, comme on a m < r 1 r 2 < m on en déduit que m divise a b si et seulement si r 1 = r 2. Dans la suite on désigne par a ou par ȧ l ensemble de tous les entiers b Z qui sont congrus à a modulo m et on dira que ā est la classe de a des congruences modulo m. L ensemble non vide des classes de congruences modulo m sera désigné par Z/mZ ou Z m = {ā a Z} Notons que si on applique le principe de la division euclidiènne à un entier a Z par rapport à l entier m on peut trouver un quotient q Z et un reste r {0,1,,m 1} tels que a = mq+r.ainsi, comme m divisea r = mq on en déduitque a = r mod m. Ceci démontre la proposition. Proposition 17. Pour tout entier m N l ensemble l ensemble contient m éléments : Z/mZ = {0,1,,m 1}. Exemple 24. En conséquence de la proposition précédente on déduit que les ensembles quotients Z/2Z = {0,1}, Z/3Z = {0,1,2} et Z/6Z = {0,1,2,3,4,5} Dans le reste de paragraphe, on va munire l ensemble quotient Z/mZ par la structure d anneau commutatif unitaire et on donnera la condition arithmétique sur l entier m pour que Z/mZ supporte la structure d un corps commutatif. Soient a et b Z. Notons que si on applique le principe de la division euclidienne aux couples (a,m) et (b,m) on peut trouver deux quotients q 1 et q 2 Z et deux restes r 1 et r 2 {0,1,,m 1} tels que a = mq 1 +r 1 et b = q 2 m+r 2. Ainsi, comme la somme (a+b) = m(q 1 +q 2 )+(r 1 +r 2 ) = a+b = r 1 +r 2 mod m De même, puisque le produit ab = m(mq 1 q 2 +q 1 r 2 +q 2 r 1 )+r 2 r 2 = ab = r 1 r 2 mod m Ainsi, suite à ces remarque on voit que si on pose a +b = a+b et a b = ab on définit ainsi deux lois de composition internes sur l ensemble Z/mZ des classes de congruences modulo m.

52 46 Structures algébriques fondamentales Proposition 18. Le triplet (Z/mZ, +, ) est un anneau commutatif unitaire. Exercice 58. Démontrer la proposition. Exemple 25. Dressons les tables de l addition + et de la multiplication de l anneau commutatif unitaire (Z/6Z, +, ) et Rappelons que d après l identité de Bezout, si un entier a Z est premier avec m il existe deux entiers u et v tels que au+mv = 1. Ainsi, puisque au 1 = m( v) est divisible par m on déduit que le produit au = 1 mod m = a u = au = 1 Donc, ceci démontre le : Corollaire 8. Dans l anneau (Z/mZ, +, ) une classe de congruence a est inversible si et seulement, si l entier a est premier avec l entier m. Corollaire 9. Le triplet (Z/mZ, +, ) est un corps commutatif si et seulement, si l entier m est un nombre premier. Exemple 26. 1) Les ensembles Z/2Z, Z/3Z, Z/5Z et Z/19Z sont des corps commutatifs. 2) Puisque 24 n est pas premier il s ensuit que l anneau commutatif unitaire (Z/24Z, +, ) n est pas un coprs. Par exemple, noter que la classe 2 n est pas inversible dans (Z/24Z, +, ). Exercice 59. 1) Remplir la table suivante : r r 2 r 2 mod 8 2) En déduire que pour tout entier x Z on a x 2 = 0, 1 ou 4 mod 8. 3) En remarquant que l entier N = = déduire qu il n existe aucun entier n N tel que N = n 2. C est-à-dire, l entier N n est pas un carré parfait. Exercice 60. Pour tout entier m 2 on désigne par U(Z/mZ) Z/mZ le sous-ensemble des éléments inversibles par rapport à la multiplication. On vous rappelle que le couple (U(Z/mZ), ) est un groupe (cf. exe. 64) dont le nombre d éléments se note ϕ(m) et s appelle indicateur d Euler.

53 Le corps des nombres complexes C 47 Dans cet exercice, on va appliquer les éléments de l arithmétique de Z pour trouver l expression explicite de indicateur d Euler ϕ(m). 1) Démontrer que pour tout nombre premier p 2 on a ϕ(p) = p 1. 2) Déterminer les groupes des unités U(Z/2 3 Z), U(Z/3 2 Z) et U(Z/5 2 Z), et en déduire les valeurs de ϕ(2 3 ), ϕ(3 2 ) et ϕ(5 2 ). 3) Démontrer que pour tout nombre premier p 2 et pour tout entier n 1 on a ϕ(p n ) = (p 1)p n 1 = p n (1 1 p ) 4) On suppose que m = ab avec a et b sont deux entiers premiers entre eux. Démontrer qu un entier 0 < q < m est premier avec m si et seulement, s il est premier avec a et avec b. 5) En déduire que si deux entiers a et b sont premiers entre eux alors ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) 6) En utilisant la factorisation en nombres premiers, m = p α 1 1 pαn n, déduire que ϕ(m) = m(1 1 p 1 ) (1 1 p n ) 7) Calculer le cardinal des groupes des unités suivants : U(Z/17Z), U(Z/18Z), U(Z/45Z), U(Z/231Z), U(Z/503Z), U(Z/2012Z) 3.3 Le corps des nombres complexes C Le corps des nombres complexes, noté C, possède plusieurs constructions différentes : au moins trois. Dans cette section, on donnera la construction algébrique (abstraite) qui définit les nombres complexes comme des couple de réels (a,b) R 2 obiessant à un couple de lois de compositions internes + et qui font de (C,+, ) un corps commutatif. En utilisant la représentation polaire des vecteus de R 2 on donnera un sens géométrique concret aux nombres complexes, et grâce à cette représentation on écrira les nombres complexes sous forme exponentielle (complexe). Comme on va le voir, l écriture exponentielle des nombres complexes va rendre la multiplication des nombres complexes très simple notamment au niveau de l extraction des racines n-ième de l unité Construction algébrique du corps des nombres complexes C Sur le produit cartésien R 2 on définit les deux lois de compositions internes suivantes : L addition : (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d). La multiplication : (a,b) (c,d) = (ac bd,ad+bc). La preuve de la proposition suivante est un exercice facile, elle est donc laissée au soin de l étudiant. Proposition 19. (R 2,+, ) est un corps commutatif dans lequel on a les propriétés suivantes :

54 48 Structures algébriques fondamentales 1. (0, 0) est l élément neutre de l addition; 2. (1, 0) est l élément neutre de la multiplication; 3. (0,1) (0,1) = ( 1,0); a 4. l inverse de (a,b) (0,0) est égal à ( b a 2 +b 2, a 2 +b 2); 5. R {0} = {(a,0) a R} est un sous-corps de (R 2,+, ). Dans la suite on désignera le corps (R 2,+, ) par le symbole C et ces éléments seront appelés nombres complexes. Observant que les lois internes + et définies sur C permettent de développer les couples de réels (a,b) sous la forme suivante : (a,b) = (a,0) (1,0)+(b,0) (0,1) Ainsi, si on identifie le couple (a,0) avec le réel a et si on pose 1 = (1,0) et i = (0,1) on pourra écrire tout nombre complexe (a, b) sous la forme (a,b) = a+ib Notons que les règles de calcul dans le corps des nombres complexes C deviennent maintenant: 1. i i = i 2 = 1; 2. (a+ib)+(x+iy) = (a+x)+i(b+y); 3. (a+ib)(x+iy) = (ax by)+i(ay +by); 4. ( (a+ib) C), (a+ib) = a+i( b); 5. ( (a+ib) C ), (a+ib) 1 a = a 2 +b 2 i b a 2 +b 2 ; 6. ( a R)( x+iy C),a(x+iy) = ax+i(ay); Représentation classique des nombres complexes Notons que grâce aux notations introduites dans le paragraphe précédent on peut écrire tout nombre complexe z C sous la forme d une somme de deux composantes z = Re(z)+iIm(z) où i s appelle l imaginaire complexe que l on caractérise par son carré (i) 2 = 1. La composante Re(z) R s appelle partie réelle du nombre complexe z et la composante Im(z) R s appelle sa partie imaginaire. Lorsque la partie imaginaire Im(z) est nulle on dira que z est un nombre réel pure, et si la partie réelle Re(z) est nulle on dira que z est un nombre imaginaire pure. Ajoutons que à tout nombre complexe z C on associe un nombre complexe z C, appelé conjugué de z, il est défini par l expression z = Re(z) iim(z) Il est facile de vérifier que la conjugaison dans le corps des nombres complexes C satisfait aux propriétés suivantes :

55 Le corps des nombres complexes C z C [z R z = z]; 2. z C, z z R + ; 3. z C, z 1 = 1 z = z z z ; 4. z C, Re(z) = 1 2 (z + z) et Im(z) = 1 (z z); 2i 5. z C, z = z; 6. z,u C, z +u = z +ū; 7. z,u C, z ū = z u. Exercice 61. Réduire les nombres complexes suivants à la forme standard a+ib avec a et b sont des nombres réels. (1+i) 5, (1+i) 5 +(1 i) 5, (1 i) 5 1 (1+i) 5 +1, (1+i) n où m,n N (1 i) m Exercice 62. Soient a, b et c C, et soit j = i. Établir les formules suivantes : 2 1. j 3 = 1, j = j 2 et 1+j +j 2 = (a+bj +cj 2 )(a+bj 2 +cj) = a 2 +b 2 +c 2 (ab+bc+ca). 3. (a+b)(a+bj)(a+bj 2 ) = a 3 +b (aj +bj 2 )(aj 2 +bj) = a 2 ab+b 2. Exercice 63. Démontrer que z C est un réel (resp. un imaginaire) pure si et seulement, si z = z (resp. z = z). Exercice 64. Soit a > 0 un réel fixé. Pour tout z C on pose U(z) = z ia z +ia. 1) Trouver tous les z C pour que U(z) soit un réel pure. 2) Trouver tous les z C pour que U(z) soit un imaginaire pure Représentation géométrique des nombres complexes Le fait que chaque nombre complexe possède une partie réelle et une partie imaginaire ceci nous permet d identifier les éléments du corps C avec les points du plan euclidien R 2 en associant à tout nombre complexe z = x+iy C le couple (x,y) R 2. y z O x Figure 3.1 Représentation de z = x+iy C dans le plan R 2 Rappelons dans le plan euclidien R 2 tout point (x,y) peut être défini par un système de coordonées polaires centré à l origine donné par { x = rcos(θ) y = rsin(θ)

56 50 Structures algébriques fondamentales où r = x 2 +y 2 mesure la distance qui sépare l origine (0,0) du point (x,y), tandis que le réel θ [0,2π[ mesure l angle que fait l axe Ox et la droite qui passe par l origine (0,0) et le point (x, y). rsin(θ) z O θ rcos(θ) Figure 3.2 Coordonnées polaires (r,θ) du point M = (x,y) L angle θ s appelle argument du nombre complexe z et se note arg(z) [0,2π[. De même, le réel r = x 2 +y 2 s appelle module de z et se note z. Avec ces notations, tout nombre complexe z C s écrit donc sous la forme suivante dite forme polaire : z = z (cos(arg(z))+isin(arg(z))) La fonction z C z R + généralise la fonction valeur absolue qu on définit sur R et elle vérifie les propriétés suivantes : 1. z C, z 2 = z z; 2. z C[z = 0 z = 0]; 3. z C,z 1 z = ( z ) 2 ; 4. z,u C, z u = z u ; 5. z,u C, z +u z + u ; 6. z,u C, z u z u ; Exercice 65. Représenter les nombres complexes suivants dans le plan euclidien R 2 et donner la forme polaire de chacun d eux : z 1 = 2, z 2 = 1 i, z 3 = 1 i 3, z 4 = 3 i Exercice 66. Démontrer que pour tout couple de nombres complexes z et u C on a l identité z +u 2 + z u 2 = 2( z 2 + u 2 ) Expression exponentielle des nombres complexes Définition 25. Soit θ R. On définit l exponentielle du nombre complexe, iθ C, par la formule d Euler e iθ = cos(θ)+isin(θ) L expression exponentielle complexe e iθ sera justifiée dans le cours d analyse 3. Ci-dessous on donnera quelques une de ses propriétés et nous l appliquerons pour établir certaines formules très utiles pour le reste de ce chapitre.

57 Le corps des nombres complexes C ( θ R), e iθ = 1; 2. ( θ R)( k Z), e i(θ+2πk) = e iθ ; 3. ( θ 1 R)( θ 2 R), e i(θ 1+θ 2 ) = e iθ1 e iθ 2 ; 4. ( θ R), e iθ = e iθ ; ( ) n 5. ( θ R)( n Z), e iθ = e inθ. Notons que si on applique la propriété (5) on déduit que pour tous θ R et n Z on a la formule de Moivre : ( cos(θ)+isin(θ)) n = cos(nθ)+isin(nθ) Notons aussi que grâce à l exponenetielle complexe on pourra écrire la forme polaire de tout nombre complexe non nul, z C, sous la forme z = z e iarg(z) Par conséquent, si on applique la propriété (3) ci-dessus on déduit que la forme polaire du produit de deux nombres complexes z et u C est égale à : z u = z e iarg(z) u e iarg(u) = z u e i(arg(z)+arg(u)) Ainsi, puisque la représentation polaire du produit z u est donnée par l expression z u = z u e iarg(z u) on en déduit que e iarg(z u) = e i(arg(z)+arg(u)). Par conséquent, comme l argument d un nombre complexe par convention appartient à l intervalle [0, 2π[ il s ensuit que arg(z)+arg(u) arg(z u) = 0 ou 2π Autrement dit, l argument du produit z u est soit est égal à arg(z u) = arg(z)+arg(u) ou soit il est égal à arg(z u) = arg(z)+arg(u) 2π Exemple 27. Considérons les deux nombres complexes suivants : z = 1+i = ( 2exp i 3π 4 ) et ( u = i = exp i 3π 2 Observons que le produit z u = 1+i = ( ) 2exp i π 4 et que la somme de leur arguments est égale à : arg(z)+arg(u) = 2π + π 4 = 2π +arg(z u) )

58 52 Structures algébriques fondamentales Racine n-ième de l unité Définition 26. Soient z C et n N. On dira que le nombre complexe Z C est une racine n-ième de z si on a : Z n = z. Soit z C et Z C sa racine n-ième avec n 1 (i.e. Z n = z). Observons que si on écrit les nombres complexes Z et z sous la forme polaire { Z = R(cos(Θ)+isin(Θ)) on déduit de la relation Z n = z que { R n = r nθ = θ+2kπ où k Z z = r(cos(θ)+isin(θ)) R = n r Θ = θ n + 2πk n où k Z Proposition 20. Tout nombre complexe non nul, z = r(cos(θ) + isin(θ)), possède n 1 racines distinctes données par l expression : Z k = n [ r cos( θ n + 2πk n )+isin(θ n + 2πk ] n ) En particulier, l unité 1 C possède n-racines distincts données par : où 0 k n 1 2πk ω k = e i2πk n = cos( n )+isin(2πk ) où 0 k n 1 n qui s appellent racines n-ièmes de l unité. Noter que grâce aux racines n-ièmes de l unités, ω k, on pourra exprimer les racines n-ième de tout nombre complexe non nul, z C, par l expression suivante : Z k = n z exp[i( arg(z) n )]ω k où 0 k n 1 1 z 3 z z 1 z 4 1 z 0 Figure 3.3 Les racines 5-ièmes complexes de l unité : z k = exp[i 2kπ ],0 k 4. 5 Exemple 28. 1) Les racines carrées complexes de l unité sont 1 et 1. En conséquence, les racines carrées de tout nombre complexe non nul z sont ègales à : z 0 = [ z exp i arg(z) ] 2 et z 1 = z 0

59 Le corps des nombres complexes C 53 2) Les racines cubiques complexes de l unité sont {1,j,j 2 } où le nombre complexe j = e i2π 3 = cos( 2π 3 )+isin(2π 3 ) = 1 2 +i 3 2 Donc, les racines cubiques complexes d un nombre complexe non nul z sont égales à : z 0 = 3 [ z exp i arg(z) 3 ], z 1 = z 0 j et z 2 = z 0 j 2 3) Les racines quatrièmes complexes de l unité sont {1, i, 1, i}. Par conséquent, les racines quatrièmes complexes d un nombre complexe non nul z = re iθ sont égales à : z 0 = 4 re iθ/4, z 1 = 4 rie iθ/4, z 2 = 4 re iθ/4 et z 3 = 4 rie iθ/4 Exercice 67. Extraire les racines complexes suivantes : 1+i, 3 i, 8 16, 6 27, 6 Exercice 68. Trouver l erreur de la démonstration suivante : 1 i 1+i 3 1 = i i = 1 1 = ( 1) ( 1) = 1 = 1 Exercice 69. Démontrer que pour tout nombre complexe z = e iθ différent de 1 il existe un nombre réel t R tel que z = 1+it 1 it. Exercice 70. Pour tout n N et tout réel x on pose A n = cos(x)+c 1 n cos(2x)+ +Cn n cos(n+1)x B n = sin(x)+c 1 nsin(2x)+ +C n nsin(n+1)x 1) En utilisant l exponentielle complexe et le nombre complexe A n +ib n déduire les expressions simplifiées de A n et de B n. 2) En procédant comme dans 1) trouver les expressions simplifiées des nombres réels C n = cos(x) C 1 n cos(2x)+ +( 1)n C n n cos(n+1)x D n = sin(x) C 1 nsin(2x)+ +( 1) n C n nsin(n+1)x Exercice 71 (Groupe des racines n-ièmes complexes de l unité). On vous rappelle que les racines n-ièmes complexes de l unité sont données par l expression [ ω k = exp i 2kπ ] n où l entier 0 k < n 1) Pour tout entier 0 < k < n établir l identité : 1+ω k +(ω k ) 2 + +(ω k ) n 1 = 0. 2) Démontrer que l ensemble de toutes les racines n-ièmes complexes de l unité U n = {ω k 0 k < n}

60 54 Structures algébriques fondamentales est stable par la multiplication des nombres complexes. Vérifier qu en fait (U n,.) est un groupe commutatif. 3) On suppose que l entier 0 < k < n est premier avec l entier n. i) Soient p et q Z. Démontrer que (ω k ) p = (ω k ) q si et seulement si n divise p q. ii) En utilisant l identité de Bezout, démontrer que l application p Z fn (ω k ) p U n est surjective. iii) Vérifier que pour tout couple d entiers p et q Z on a f n (p+q) = f n (p) f n (q). iv) Démontrer que l application f n : Z U n induit une bijection f n : Z/nZ U n telle que pour tout couple de classes de congruence p et q Z/nZ on a f n ( p q) = f n ( p) f n ( q) v) En déduire que le groupe U n = {(w k ) p 0 p < n}. 4) Soit ω U n. Si le sous-ensemble {ω p 0 p < n} = U n on dira que ω est une racine primitive de l unité. On désigne par P n le sous-ensemble des racines n-ièmes primitives de l unité. i) Démontrer que ω P n est une racine primitive de l unité si et seulement, s il existe un entier 0 < k < n premier avec n tel que ω = ω k. ii) Démontrer que l entier 0 < d n divise n si et seulement si P d P n. iii) Pour 0 < k,d n, démontrer que si P d P k alors P d = P k. iv) En déduire que la famille des sous-ensembles des racines primitives de l unité, {P d ; d n}, constitue une partition de l ensemble P n. v) Déterminer les ensembles P 3, P 4, P 5, P 6 et P 8. vi) Déterminer les deux partitions P 12 = {P d ; d 12} et P 24 = {P d ; d 24} Résolution des équations algébriques de degré 2 Dans ce paragraphe, on va appliquer le principe de l extraction des racines carrées d un nombre complexe pour résoudre les équations algébriques de type az 2 +bz +c = 0 où les coefficients a, b, et c sont des nombres complexes donnés et où z est le nombrecomplexe inconnu à déterminer. Notons que si on suppose a 0 on voit que le trinôme, az 2 + bz + c, peut s écrire sous la forme canonique suivante : az 2 +bz +c = a(z 2 +2 b 2a z)+c = a(z + b 2a )2 b2 4ac 4a [ = a (z + b 2a )2 ] 4a 2 où = b 2 4ac C

61 Le corps des nombres complexes C 55 Donc, si on désigne par C l une des racines carrées de on déduit que les solutions complexes de l équation az 2 +bz +c = 0 sont données par les exprerssions suivantes : z 1 = b+ 2a et z 2 = b 2a Le nombre complexe = b 2 4ac s appelle dicriminant du trinôme az 2 +bz +c. Exercice 72. Résoudre les équations algébriques suivantes : 1. (1 i)z 2 z 1 i = 0; 2. z 2 (1+i)z +i = 0; 3. z 2 2cos(a)z +1 = 0; 4. z 4 z 2 +1 = 0; 5. z 4 2 2z 2 7 = 0; 6. z 6 4z 3 +5 = 0. Exercice 73. Dans le corps des nombres complexes C, résoudre les deux équations suivantes : 1. (z +1) 2n +(1 z) 2n = 0. ( z 1 ) n ( z +1 ) n = 0. z +1 z 1 Exercice 74. Démontrer que pour tout entier n 0 on a : 1. (1+i) n = 2 n2 (cos( nπ 4 )+isin(nπ 4 )). 2. ( 3 i) n = 2 n (cos( nπ 6 )+isin(nπ 6 )). 3. ( 1+itg(a) 1 itg(a) ) n = 1+itg(na) 1 tg(na). Exercice 75 (Le corps des quaternions). Sur le produit cartésien Q = C C on définit les deux lois de compositions internes suivantes : (a,x),(b,y) Q, (a,x)+(b,y) = (a+b,x+y); (a,x),(b,y) Q, (a,x) (b,y) = (ab xȳ,ay +x b). 1) Montrer que (Q,+, ) est un corps. 2) On pose 1 = (1,0), I = (i,0), J = (0,1), K = (0,i) où i est l imaginaire complexe. Vérifier que dans le corps Q on a les expressions suivantes : (a) I 2 = 1, J 2 = 1, K 2 = 1; (b) I J = K, J K = I, K I = J; (c) J I = K, K J = I, I K = J. 3) Déduire de 2) que le corps Q n est pas commutatif.

62 Chapitre Quatre Polynômes et fractions rationnelles à une indéterminée 4.1 L anneau des polynômes K[X] Dans le reste de ce chapitre, on désignera par K soit le coprs des nombres réels R ou soit le corps des nombres complexes C Définition abstraite de l anneau K[X] Dans ce paragraphe une fonction f : N K sera appellée suite numérique à valeurs dans le coprs commutatif K et la valeur f(n) K sera appellée terme général de la suite f. On désignera par F(N, K) l ensemble de toutes les suites numériques à valeurs dans le corps K. Étant donné deux suites numériques f et g : N K, on définit leur somme f + g par l expression ( n N), (f +g)(n) = f(n)+g(n) Il est facile de vérifier que le couple (F(N,K),+) est un groupe commutatif dont lequel l élément neutre, noté 0 K, n est autre que la suite numérique constamment nulle i.e. : n N, 0 K (n) = 0 Sur l ensemble des suites numériques F(N,K) on définit le produit de Cauchy de deux éléments f et g F(N,K) par l expression : k=n n N, (f g)(n) = f(k)g(n k) Le produit de Cauchy induit donc une loi de composition interne commutative sur F(N,K) qui est associative, distributive à droite et à gauche par rapport à l addition + et dont l élément neutre est la suite numérique e 0 : N K définie par : { 1 si n = 0 e 0 (n) = 0 si n 0 k=0

63 L anneau des polynômes K[X] 57 Proposition 21. Le triplet (F(N, K), +, ) est un anneau commutatif unitaire dans lequel un élément f est inversible relativement au produit de Cauchy si et seulement, si f(0) 0. Démonstration. Notons que si f F(N,K) possède un inverse g F(N,K) relativement au produit de Cauchy on aura pour tout entier n N, k=n (f g)(n) = f(k)g(n k) = e 0 (n) k=0 Noter que puisque f(0)g(0) = 1 il s ensuit que f(0) 0, et donc g(0) = 1. Pour n = 1 on f(0) déduit de l expression f(0)g(1)+f(1)g(0) = 0 que g(1) = f(1) g(0). En effet, si on procéde f(0) par réccurence sur n N on tire de l expression f(0)g(n)+f(1)g(n 1)+ +f(n)g(0) = 0 que le terme général g(n) s exprime en fonction des termes g(0), g(1),, g(n 1). Exercice 76. On pose F 1 (N,K) = {f F(N,K) f(0) = 1}. 1) Démontrer que (F 1 (N,K), ) est un groupe. 2) Calculer l inverse de l élément f F 1 (N,K) défini par f(0) = 1, f(1) = 1 et f(n) = 0, n 2 3) Calculer l inverse de l élément g F 1 (N,K) défini pour tout n N par g(n) = ( 1) n. Définition 27. Soit f F(N,K). S il existe un entier n 0 0 tel que pour tout entier n n 0 on a f(n) = 0 on dira que la suite numérique f est stationnaire sur zéro. Le sous-ensemble de toutes les suites stationnaires sur zéro sera désigné par F 0 (N,K). Proposition 22. Le triplet (F 0 (N,K),+, ) est un anneau commutatif unitaire. Définition 28. Soit f F 0 (N,K). Si f 0 K le plus grand entier n tel que f(n) 0 s appelle degré de f et se note deg(f). Si f = 0 K on pose deg(0 K ) =. Notons que si pour tout entier n N on désigne par e n : N K la fonction définie par les expressions m N, e n (m) = { 1 si n = m 0 si n m on obtient une suite numérique élément de F 0 (N,K) dont le degré deg(e n ) = n. Observons aussi que si pour tout λ K et pour tout élément f F 0 (N,K) on pose (λf)(n) = λf(n), n N on obtient une suite numérique stationnaire sur zéro telle que pour tout λ 0 on a deg(λf) = deg(f)

64 58 Polynômes et fractions rationnelles En particulier, si on prend f = e n on voit que la suite numérique λe n est donnée par l expression { λ si m = n (λe n )(m) = 0 si m n et on a deg(λe n ) = n lorque λ 0. Ainsi, avec ces notations on voit que chaque élément f F 0 (N,K) peut s écrire sous la forme d une somme finie f = f(0)e 0 +f(1)e 1 + +f(n)e n où n = deg(f) Notons aussi que puisque l application λ K λe 0 F 0 (N,K) est injective cela permet de regarder le corps K comme étant un sous-anneau de F 0 (N,K). Dans la suite de ce chapitre, on va confondre un élément λ K avec l élément λe 0 F 0 (N,K) et on pose λ = λe 0. Lemme 3. Pour tous les entiers m et n N le produit de Cauchy, e m e n = e m+n En conséquence du lemme, on déduit que pour tout entier n 1 on a l expression (e 1 ) n = e 1 e } {{ 1 = e } n n et que toute suite stationnaire, f F 0 (N,K), s écrit sous la forme f = f(0)e 0 +f(1)e 1 +f(2)(e 1 ) 2 + +f(n)(e 1 ) n où n = deg(f) Dans le reste de ce chapitre, pour simplifier les notations on convient de poser e 0 = 1 et e 1 = X ce qui va nous permettre d écrire tout élément f F 0 (N,K) de degré n 0 sous la forme : (4.1) f = a 0 +a 1 X+a 2 X 2 + +a n X n Puisque actuellement les éléments de l anneau F 0 (N,K) s éxpriment en fonction des puissances du symbole X, dorénavant on va poser K[X] = F 0 (N,K). Comme on va le voir cidessous, la présentation des éléments de l anneau K[X] par l expression (4.1) possède plusieurs avantages pratiques. Les éléments de K[X] seront applés polynômes à coefficients dans le corps K, donc grâce à l expression (4.1) chaque polynôme P K[X] s écrit sous la forme P(X) = a 0 +a 1 X+a 2 X 2 + +a n X n où deg(p) = n Dans la suite de ce chapitre on va utiliser les mots clefs suivants 1. le symbole X s appelle une indéterminée; 2. les nombres a 0, a 1,, a n K s appellent coefficients du polynôme P;

65 L anneau des polynômes K[X] le nombre a n s appelle coefficient dominant du polynôme P; 4. l expression a k X k s appelle monôme de degré k; 5. si a n = 1 on dira que le polynôme P est unitaire ou qu il est monique; 6. si le degré du polynôme P est nul (i.e. P(X) = a 0 ) on dira qu il est constant. Étant donné un couple de polynômes à coefficients dans le corps K, P(X) = a 0 +a 1 X+a 2 X 2 + +a n X n et Q(X) = b 0 +b 1 X+b 2 X 2 + +b m X m (avec n m) alors grâces aux notations fixées ci-dessus on déduit qu on a l équivalence suivante : { n = m P(X) = Q(X) a i = b i, i De même, on voit que la la somme (addition) des poltnômes P(X) et Q(X) prend l expression suivante : (P+Q)(X) = (a 0 +b 0 )+(a 1 +b 1 )X+ +(a n +b n )X n +b n+1 X n+1 + +b m X m et que leur produit de Cauchy (multiplication) est donné par l expression (P Q)(X) = a 0 b 0 +(a 0 b 1 +a 1 b 0 )X+(a 0 b 2 +a 1 b 1 +a 2 b 0 )X 2 + +a n b m X n+m Proposition 23. Pour tout couple de polynômes P et Q K[X] on a les propositions suivantes : 1. deg(p+q) max(deg(p),deg(q)); 2. si deg(p) < deg(q) alors deg(p+q) = deg(q); 3. deg(p Q) = deg(p)+deg(q); 4. si P Q = 0 alors P(X) = 0 ou Q(X) = 0. Corollaire 10. Un polynôme non nul P K[X] est inversible relativement au produit des polynômes si et seulement, si son degré est nul (i.e. P(X) = a 0 K ). Démonstration. Notons que si le polynôme P est inversible dans l anneau(k[x], +, ) il existe donc un polynôme Q K[X] tel que P(X)Q(X) = 1. Ainsi, puisquele deg(1) = 0 on en déduit que deg(p)+deg(q) = 0, donc comme deg(p) = deg(q) = 0 on aura P(X) = a 0 K Arithmétique de l anneau des polynômes K[X] A) Divisiblité dans l anneau K[X] Définition 29. Soit A et B K[X] deux polynômes. S il existe un polynôme Q K[X] tel que B = AQ on dira que A divise B et on écrit A B. Le polynôme A s appelle diviseur de B et B est dit multiple de A.

66 60 Polynômes et fractions rationnelles Notons que puisque le degré du produit de polynômes AQ = B est égal à la somme deg(aq) = deg(a) + deg(q) on en déduitquesi A divisebalors deg(a) deg(b), mais si on a l inégalité deg(a) deg(b) on ne peut pas affirmer que A divise nécessairement B. Quand deg(a) deg(b) la réponse exacte est alors donnée par le théorème suivant. Théorème 6 (Division euclidienne). Soient A et B deux polynômes de K[X] non nuls tels que deg(a) deg(b). Alors, il existe un unique couple de polynômes Q et R K[X] tels que B = AQ+R avec deg(r) < deg(a) Le polynôme Q (resp. R) s appelle le quotient (resp. le reste) de la division euclidienne de B par A dans l anneau K[X]. Démonstration. 1) Unicité : Supposons qu il existe deux couples de polynômes (Q,R) et (P 1,R 1 ) tels que deg(r) < deg(a), deg(r 1 ) < deg(a) et qu on a B = AQ+R = AQ 1 +R 1 = A(Q Q 1 ) = R 1 R Ainsi, comme le deg(r 1 R) < deg(a) on en déduit que Q = Q 1 et que par suite R = R 1. 2) Existence : Dans cette preuve on procède par recurrence sur le degré du polynôme B. Étape 0 : Si le deg(b) = 0 il en résulte que deg(a) = 0, donc A(X) = a K et B(X) = b K. Ainsi, en posant Q(X) = b et R(X) = 0 on obtient l expression a B(X) = A(X)Q(X)+R(X) avec deg(r) = deg(a) = 0 Donc, le théorème est démontré. Étape 1 : Supposons que le deg(b) = 1. Donc, il existe a K et b K tels que B(X) = ax+b. Notons que si A(X) = c K en posant Q(X) = 1 B(X) et R(X) = 0 on obtient l expression c B(X) = A(X)Q(X) + R(X) avec deg(r) = deg(a) = 0. Et, si le deg(a) = 1 alors en écrivant A(X) = cx + d avec c 0, Q(X) = a et R(X) = ad + b on voit que B(X) = c c A(X)Q(X)+R(X) avec deg(r) < deg(a) = 1. Donc, le théorème est démontré. Étape 2 : Supposons que le théorème est démontré pour tous les polynômes B K[X] de degré inférieur ou égal à n, et vérifions que cette hypothèse de récurrence est vraie pour tous les polynômes de degré n+1 : B(X) = b n+1 X n+1 +b n X n + +b 1 X+b 0 où b n+1 0 Observons que si deg(a) = m n + 1 alors en posant Q 1 (X) = b n+1 a m X n+1 m, avec a m est le coefficient dominant du polynôme A, on obtient un polynôme B 1 = B AQ 1 de degré

67 L anneau des polynômes K[X] 61 inférieur ou égal à n. Donc, d après l hypothèse de récurrence il existe deux polynômes Q 2 et R 2 tels que B 1 = B AQ 1 = AQ 2 +R 2 avec deg(r 2 ) < deg(a) Ainsi, si on pose Q = Q 1 +Q 2 et R = R 2 on déduit que B = AQ+R avec deg(r) < deg(a), et donc l hypothèse de la récurrence est vérifiée pour n+1. L idée de l étape 2 de la preuve du théorème précédent nous donne une méthode pratique pour trouver le quotient et le reste de la division euclidienne de deux polynômes donnés; on va l appliquer dans l exemple suivant. Exemple 29. Calculons le quotient et le reste de la division euclidienne du polynôme B(X) = 2X 5 +5X 4 2X 3 +X 2 2X 1 par le polynôme A(X) = 4X 3 X+1. Comme dans la preuve du théorème 6 on calcule donc le quotient du monôme de plus haut degré de B par le monôme du plus haut degré de A, on multiplie le monôme trouvé par le polynôme A et puis on forme la différence : (4.2) B 1 (X) = B(X) 1 2 X2 A(X) = (2X 5 +5X 4 2X 3 +X 2 2X 1) 1 2 X2 (4X 3 X+1) = 5X X X2 2X 1 Ainsi, puisque le deg(a) < deg(b 1 ) on applique donc les mêmes idées de l étape 2) à A et B 1 : (4.3) B 2 (X) = B 1 (X) 5 4 XA(X) = (5X X X2 2X 1) 5 4 (4X3 X+1) = 3 2 X X X 1 Noter que puisque deg(a) deg(b) on doit appliquer de nouveau l étape 2) de la preuve du théorème 6 : (4.4) B 3 (X) = B 2 (X) ( 3 8 )A(X) = ( 3 2 X X X 1) ( 3 8 )(4X3 X+1) = 7 4 X X 5 8 Maintenant, observons que si on calcule la somme des lignes (3.2), (3.3) et (3.4) on déduit que le polynôme B(X) = A(X)( 1 2 X X 3 8 )+ 7 4 X X 5 8

68 62 Polynômes et fractions rationnelles où le polynôme Q(X) = 1 2 X X 3 est le quotient de la division euclidienne de B par A 8 et que R(X) = 7 4 X X 5 est le reste de la division enclidienne. 8 Les opérations qu on vient d effectuer on peut les organiser dans le tableau suivant où on calcule la somme de deux lignes (du côté gauche) non séparées par une trait horizontale : B(X) = 2X 5 +5X 4 2X 3 +X 2 2X 1 A(X) = 4X 3 X X2 A(X) = 2X X3 1 2 X2 Q(X) = 1 2 X X 3 8 B 1 (X) = 5X X X2 2X XA(X) = 5X X2 5 4 X B 2 (X) = 3 2 X X X A(X) = 3 2 X3 3 8 X+ 3 8 B 3 (X) = R(X) = 7 4 X X 5 8 Exercice 77. Soient p, q et m R ou C, dans quels cas le polynôme X 3 + px + q est-il divisible par le polynôme X 2 +mx+1? Exercice 78. Soient p, q et m R ou C, dans quels cas le polynôme X 4 + px 2 + q est-il divisible par le polynôme X 2 +mx+1? Exercice 79. Effectuer la division euclidienne du polynôme B par le polynôme A : B 1 (X) = 2X 4 X 3 +X 2 +X+1 B 2 (X) = X 3 3X 2 X 1 B 3 (X) = X 4 2X 3 +4X 2 6X+8 et A 1 (X) = X 2 3X+1 et A 2 (X) = 3X 2 2X+1 et A 3 (X) = X 1 B 4 (X) = 2X 4 3X 3 +4X 2 5X+6 et A 4 (X) = X 2 3X+1. B) PGCD et l identité de Bezout Définition 30. Soient A et B K[X] deux polynômes de degré non nuls. On appelle plus grand commun diviseur de A et B tout polynôme unitaire D K[X] qui vérifie les deux propriétés suivantes : 1. D A et D B; 2. ( C K[X])[ C A et C B = C D] Le plus grand commun diviseur de deux polynômes A et B se note PGCD(A,B) ou A B. Proposition 24. Le plus grand commun diviseur de deux polynômes non nuls A et B K[X], quand il existe, il est unique. Démonstration. Supposons que les deux polynômes unitaires D 1 et D 2 K[X] vérifient la définition du plus grand commun diviseur de A et B, et démontrons qu ils sont égaux. Notons que puisque le polynôme D 1 vérifie la condition 1) de la définition 35 on aura D 1 A et D 1 B. Ainsi, comme le polynôme D 2 lui même vérifie la condition 1) alors en appliquant la condition 2) de la définition 35 sur le polynôme D 1 on peut écrire D 2 A et D 2 B = D 2 D 1

69 L anneau des polynômes K[X] 63 De la même façon, on démontre que D 1 D 2 et ainsi comme les deux polynômes D 1 et D 2 sont unitaires on aura D 1 = D 2. Ci-dessous on va prouver l existence du plus grand commun diviseur de deux polynômes. Lemme 4. Soient A et B K[X] deux polynômes non nuls tels que 0 < deg(a) < deg(b). 1. Si le polynôme A divise le polynôme B alors le PGCD(A,B) = 1 a m A avec a m est le coefficient dominant de A. 2. Si le reste R K[X] de la division euclidienne de B par A est non nul alors le Démonstration. 1) Est évidente. PGCD(A,B) = PGCD(R,A) 2) Posons D = PGCD(A,B) et D = PGCD(A,R). Remarquons que si on écrit la division euclidienne B = AQ+R on en déduit que D divise R, et donc D divise D. De la même façon, puisque D divise A et R, il divise B; et donc D divise D. Ainsi, comme D et D sont unitaires on aura D = D. CommepourlecasdesentiersdeZ,lerésultatdulemme4génèrel algorithmed Euclidequise termine après un nombre fini de divisions euclidiennes. Plus précisément, pour calculer le plus grand commun diviseur de deux polynômes non nuls A et B K[X] tel que deg(a) < deg(b) il suffit qu on effectue les divisions euclidiennes successives suivantes : B = AQ 1 +R 1 0 < deg(r 1 ) < deg(a) A = R 1 Q 2 +R 2 0 < deg(r 2 ) < deg(r 1 ) R 1 = R 2 Q 3 +R 3 0 < deg(r 3 ) < deg(r 2 ) < deg(r 1 ). =.. R n 2 = R n 1 Q n +R n 0 < deg(r n ) < < deg(r 3 ) < deg(r 2 ) < deg(r 1 ) R n 1 = R n Q n+1 +0 Donc, comme le degré des restes polynomiaux R k (X) diminue il s annulera nécessairement après un nombre fini de divisions euclidiennes. Théorème 7 (Algorithme d Euclide). Soient A et B K[X] deux polynômes non nuls. Si R n K[X] est le dernier reste non nul donné par l algorithme d Euclide alors le PGCD(A,B) = 1 r R n avec r K est le coefficient dominant du polynôme R n. Corollaire 11 (Identité de Bezout). Soient A et B K[X] deux polynomes non nuls. Pour qu un polynôme unitaire D K[X] soit le plus grand commun diviseur de A et B il faut et il suffit qu il existe deux polynômes U et V K[X] qui vérifient l identité de Bezout : AU+BV = D

70 64 Polynômes et fractions rationnelles Démonstration. Même preuve comme pour le cas des entiers de Z (voir page 42). Exemple 30. Appliquons l algorithme d Euclide pour chercher le PGCD des deux polynômes B(X) = X 4 +X 3 +2X 2 +X+1 et A(X) = X 3 1 i) La division euclidienne du polynôme B par le polynôme A nous donne un quotient Q 1 (X) = X+1 et un reste R 1 (X) = 2X 2 +2X+2. ii) Si on divise A par le reste R 1 on trouve que le quotient Q 2 (X) = 1 2 X 1 et que le reste 2 R 2 (X) = 0. iii) Donc, d après l algorithme d Euclide on conclut que le PGCD(A(X),B(X)) = X 2 +X+1 Exemple 31. Appliquons l algorithme d Euclide pour chercher le plus grand commun diviseur D des deux polynômes B(X) = X 5 +1 et A(X) = X 3 +1 et par suite cherchons deux polynômes U et V qui réalisent l identité de Bezout A(X)U(X) + B(X)V(X) = D(X) i) Si on applique l algorithme d Euclide aux polynômes A et B on obtient les divisions euclidiennes suivantes : B(X) = A(X)X 2 +R 1 (X) où R 1 (X) = X 2 +1 A(X) = R 1 (X)( X)+R 2 (X) où R 2 (X) = X+1 R 1 (X) = R 2 (X)( X+1) Par conséquent, le PGCD(A(X),B(X)) = R 2 (X) = X+1. ii) Ainsi, avec le calcul ci-dessus on voit que le PGCD(A(X),B(X)) = R 2 (X) = A(X) R 1 (X)( X) = A(X)+X(B(X) X 2 A(X)) = A(X)(1 X 3 )+B(X)X Par conséquent, si on pose U(X) = 1 X 3 et V(X) = X on obtient l identité de Bezout recherchée A(X)U(X)+B(X)V(X) = X+1. Exercice 80. 1) Déterminer le plus grand commun diviseur D(X) des couples de polynômes A(X) et B(X) : X 4 +X 3 3X 2 4X 1 et X 3 +X 2 X 1 X 5 +X 4 X 3 2X 1 et 3X 4 +2X 3 +X 2 +2X 2 X 5 2X 4 +X 3 +7X 2 12X+10 et 3X 4 6X 4 +5X 2 +2X 2 2) Pour chacun des couples de polynômes A(X) et B(X) donnés en 1) trouver deux polynômes U(X) et V(X) tels que A(X)U(X)+B(X)V(X) = D(X). Exercice 81. 1) Démontrer que si l entier d 1 divise l entier n 1 alors le polynôme X d 1 divise le polynôme X n 1. 2) En déduire que le PGCD(X n 1,X m 1) = X PGCD(n,m) 1.

71 L anneau des polynômes K[X] Factorisation en polynômes irréductibles Définition 31. On dira que le polynôme P K[X] est irréductible (ou premier) si pour tout couple de polynômes A et B K[X] tels que P = AB on a ou bien A K ou bien B K. Si le polynôme P n est pas irréductible dans K[X] on dira qu il est composé ou décomposable. L irréductibilité d un polynôme donné dépend a priori du corps de base choisi. Par exemple, si on considère le polynôme A(X) = X 2 2 = (X 2)(X + 2) on obtient un polynôme irréductible dans l anneau Q[X] mais qui est décomposable dans les anneaux R[X] C[X]. De même, le polynôme B(X) = X 2 +1 = (X+i)(X i) est irréductible dans l anneau R[X] et il est décomposable dans l anneau C[X]. Proposition 25. Pour tout a K le polynôme de degré un (linéaire), X a, est irréductible dans l anneau K[X]. Lemme 5. Un polynôme de degré non nul, A K[X], est soit irréductible ou soit il est divisible par un polynôme irréductible P K[X] tel que deg(p) deg(a). 2 Démonstration. Supposons que le polynôme A K[X] n est pas irréductible et posons D(A) = {D K[X] D divise A et deg(d) 1} Considérons un diviseur D D(A) tel que deg(d) = n 0 = min{deg(d) D D(A)} 1 et montrons qu il est irréductible. Pour cela supposons qu il existe deux polynômes P et Q K[X] tels que D = PQ avec deg(p) 1 et notons que puisque P divise D, P divise A. Ainsi, comme P D(A) et deg(p) deg(d) on en déduit que le deg(p) = deg(d) = n 0. Donc, comme le deg(q) = 0 on conclut que le polynôme D est irréductible dans l anneau K[X]. Pour établir l inégalité du lemme, il suffit qu on remarque qu il existe un polynôme Q K[X] de degré non nul tel que A = DQ. Ainsi, comme Q D(A) on aura deg(d) deg(q) qui entraîne 2deg(D) deg(q)+deg(d) = deg(a). Corollaire 12. Dans l anneau K[X], tout polynôme de degré non nul est égal à un produit fini de polynômes irréductibles. Lemme 6. Soit A K[X] un polynôme de degré non nul. Si un polynôme irréductible de degré non nul, P K[X], ne divise pas A alors le PGCD(P,A) = 1. Démonstration. Exercice. Corollaire 13 (Lemme de Gauss). Soient A et B K[X] deux polynômes. Si un polynôme irréductible P K[X] divise le produit AB alors P divise A ou B. Corollaire 14. Soient {P 1,,P m } et {Q 1,,Q n } deux familles de polynômes irréductibles et unitaires dans l anneau K[X]. Si le produit de polynômes P 1 P 2 P m = Q 1 Q 2 Q n alors m = n et {P 1,,P m } = {Q 1,,Q n }.

72 66 Polynômes et fractions rationnelles Théorème 8 (Factorisation des polynômes en facteurs irréductibles). Pour tout polynôme de degré non nul, A K[X], il existe 1. une famille de plynômes irréductibles unitaires {P 1,P 2,,P m } dont les éléments divisent le polynôme A; 2. une famille d entiers positifs non nuls {α 1,α 2,,α m } tel que P α i i divise A(X) mais P α i+1 i ne divise pas A; de sorte que le polynôme A se décompose sous la forme d un produit A = ap α 1 1 Pα 2 2 Pαm m où a K qui est unique à un ordre près de ses facteurs. Démonstration. Il est clair que si on applique le lemme 6 au polynôme A on pourra trouver un polynôme irréductible Q 1 K[X] qui divise A dont le degré est minimal parmis les degrés des diviseurs de A. En fait, on peut aussi trouver un entier α 1 1 tel que Q α 1 1 divise A mais Q α ne divise pas A. Ainsi, en écrivant A = Q α 1 1 Q la preuve du théorème se termine si le polynôme Q de degré nul ou irréductible, et sinon on réapplique les mêmes idées au polynôme Q jusqu à ce qu on arrive à la décomposition en facteurs irréductibles de A = Q α 1 1 Qαm m. Enfin, d après le corollaire 13, pour garantir l unicité de la décomposition du polynôme A en facteurs irréductibles à un ordre des facteurs près il suffit qu on divise chaque polynôme Q i par son coefficient dominant a i et puis on pose P i = 1 a i Q i pour avoir A = ap α 1 1 Pαm m où a n est autre que le coefficient dominant du polynôme A. Dans la littérature, la décomposition d un polynôme non nul A K[X] établie ci-dessus : A = ap α 1 1 Pα 2 2 Pαm m s appelle factorisation de A en polynômes irréductibles. Les polynômes P i s appellent facteurs irréductibles de A. L entier α i 1 s appelle ordre de multiplicité du facteur P i. Quand α i = 1 on dira que P i est un facteur irréductible simple de A. Étant donné un corps K, la question naturelle qui se pose maintenant : est-il possible de déterminer la forme (ou l expression) générale des polynômes irréductibles de l anneau K[X]? Cette question est en effet délicate, car elle dépend avant tout de la structure algébrique du corps K. Ce pendant, au paragraphe 3.2.6, lorsque le corps de base K = C (resp. ou R) on va voir que les seuls polynômes irréductibles de l anneau C[X] (resp. R[X]) sont de degré un (resp. sont de degré un ou de degré deux) Les zéros d un polynôme de K[X] Les notions et les résultats que nous étudierons dans de ce paragraphe vont jouer un rôle important au sujet de la déterminantion des polynômes irréductibles des anneaux de polynômes C[X] et R[X].

73 L anneau des polynômes K[X] 67 Soit P K[X] un polynôme de degré n 0, que nous écrirons sous la forme suivante : P(X) = a 0 +a 1 X+ +a n X n Il est clair que si pour tout élément x K on pose P(x) = a 0 +a 1 x+ +a n x n on définit ainsi une fonction P : K K x P(x) que l on appelle fonction polynômiale associée au polynôme P(X). On désigne par F pol (K) l ensemble de toutes les fonctions polynômailes définies sur K et à valeur dans K. Sur l ensemble F pol (K) on obtient la structure d anneaux commutatifs et unitaire dont l addition et la multiplication sont définies par : L addition P, Q F pol (K), P(x)+ Q(x) = P+Q(x); Le produit P, Q F pol (K), P(x) Q(x) = P Q(x). Proposition 26. Si le corps de base K est infini alors l application suivante est bijective : P K[X] P F pol (K) La preuve de cette proposition sera donnée vers la fin de ce paragraphe, donc on l admet momentanément. Quandle corps de base K est infini 1 le résultat de la proposition 26 nous permet de confondre un polynôme P K[X] avec la fonction polynômiale P F pol (K) lui est associée. En conséquence, on pourra définir le degré d une fonction polynômiale P sans ambiguïté en posant : deg( P) = deg(p) Dans le reste du chapitre, le corps de base sera soit égal R ou soit à C, donc puisque ils sont infinis nous allons identifier chaque polynôme réel (ou complexe) avec la fonction polynômiale qui lui est associée. Définition 32. Soit P K[X] un polynôme de degré non nul. On appelle zéro (ou racine) de P tout élément c K tel que P(c) = 0. Proposition 27. Soit P K[X] un polynôme de degré non nul. L élément c K est un zéro de P si et seulement, si le polynôme de degré un X c divise P. Démonstration. Observer que la division enclidienne du polynôme P par X c nous donne l expression : P(X) = (X c)q(x)+p(c). 1. Le corps K est infini : est une hypothèse essentielle pour que la proposition 29 soit vraie. En effet, si on considère le corps K = Z/3Z on voit que les deux polynômes P(X) = X et Q(X) = X 3 sont de degré différent et pourtant ils induisent la même fonction polynômiale : P(0) = 0 = Q(0) P(1) = 1 = Q(1) = ( x Z/3Z),x = x 3 = ( x Z/3Z), P(x) = Q(x) P(2) = 2 = Q(2)

74 68 Polynômes et fractions rationnelles Le résultat de la proposition nous suggère la définition suivante qui nous donnera plus de précision sur la nature des zéros d un polynôme et les classifiés. Définition 33. Soient P K[X] un polynôme de degré non nul et k 1 un entier. On dira que l élément c K est un zéro multiple du polynôme de P d ordre de multiplicite k 1, si (X c) k divise P mais (X c) k+1 ne le divise pas. 1. Si k = 1 on dira que c est une racine simple de P. 2. Si k = 2 on dira que c est une racine double de P. 3. Si k = 3 on dira que c est une racine triple de P. Le théorème suivant est une conséquence immédiate du résultat de la proposition 30 et de la définition 40. Théorème 9. Soit P K[X] un polynôme de degré n 1. Si {c 1,c 2,,c m } K est l ensemble de tous les zéros de P dans K comptés avec leur ordre de multiplicité respectif α 1, α 2,, α m, alors il existe un polynôme Q K[X] qui n a pas de racines sur le corps K tel que P(X) = (X c 1 ) α 1 (X c 2 ) α2 (X c m ) αm Q(X) En conséquence, tout polynôme de degré n 1 élément de l anneau K[X] possède au plus n racines dans le corps K. Corollaire 15. Soient A et B K[X] deux polynômes de même degré n 1. S il existe une famille de (n+1) éléments distincts {c 1,c 2,,c n+1 } K tels que pour tout indice 1 i n on a A(c i ) = B(c i ) alors A = B. Démonstration. En effet, si on suppose que le polynôme A B est non nul de degré inférieur ou égal à n et qui a au moins (n+1) racines, or ceci contredit le théorème 9. Donc A = B. Remarque 3. 1) Un polynôme irréductible P K[X] possède une racine dans le corps K si et seulement si son degré est égal à un. Donc, si le deg(p) 2 alors P n admet pas de racines dans le corps K. 2) La réciproque de l affirmation 1) est fausse. C est-à-dire, si un polynôme est sans racines dans le corps K ceci n implique pas qu il est irréductible dans l anneau K[X], mais on peut dire qu il est égal au produit de polynômes irréductibles de degré supérieur ou égal à deux. Par exemple, le polynôme X 4 +X 2 +1 n a pas de racines dans le corps R mais il est égal au produit des deux polynômes irréductibles X 2 X+1 et X 2 +X+1. Exercice 82. Vérifier que le polynôme P(X) = X 5 3X 4 +2X 3 +2X 2 3X+1 possède un zéro c 1 = 1 d ordre de multiplicité quatre et un zéro simple c 2 = 1. Exercice 83. Soit n 2 un entier et p 2 un nombre premier. Démontrer que le polynôme, X n +px+p, n a pas de zéros dans le corps des fractions rationnelles Q. Exercice 84. Soit P(X) = a 0 +a 1 X+ +a n 1 X n 1 +X n un polynôme de degré n 2 dont les coefficients a i Z.

75 L anneau des polynômes K[X] 69 1) Démontrer que si m Z est un zéro de P(X) alors m divise a 0. 2) Les polynômes P(X) = X 3 X 6 et Q(X) = X 4 X 3 +2X 5 ont-ils des zéros dans Z? Exercice 85 (Critère d Einstein). Soit P(X) = a 0 +a 1 X+ +a n 1 X n 1 +X n un polynôme de degré n 2 dont les coefficients a i Z. Supposons qu il existe un nombre premier p 2 tel que p divise les coefficients a i et que p 2 ne divise pas a ) Démontrer que le polynôme P est irréductible dans l anneau Q[X]. 2) En déduire que pour tout entier n 2 il existe un polynôme de degré n qui soit irréductible dans l anneau Q[X]. Indication : Supposer qu il existe deux polynômes A et B Q[X] tels que P = AB, puis observer que quitte à réduire les coefficients de A et B à leurs dénominateurs communs on pourra supposer que A et B Z[X] et qu il existe m Z tel que P = 1 m AB Dérivation des polynômes de K[X] Pour déterminer la multiplicité des zéros d un polynôme donné on va se servire de la notion de la dérivée d un polynôme. Comme on va le voir dans ce même paragraphe, la dérivation des polynômes jouera un rôle crucial dans la détermination des facteurs irréductibles et de leurs multiplicité (cf. pr. 28). Définition 34. Soit P(X) = a 0 +a 1 X+ a n X n un polynôme élément de K[X]. On appelle dérivée première de P le polynôme noté P (X) (ou dp ) défini par l expression : dx P (X) = a 1 +2a 2 X+3a 3 X 2 + +na n X n 1 Par récurrence, on définit la dérivée d ordre k N de tout polynôme P par la formule P (k) = (P (k 1) ) ou par la formule d k dx k(p) = d dx ( dk 1 dx k 1(P)) dans laquelle on convient de noter P (0) = P et que d0 dx0(p) = P. Il est facile de vérifier que la dérivation des polynômes satisfait aux propriétés suivantes : 1. Si le deg(p) = 0 alors le polynôme dérivé P (X) = ( a,b K)( P,Q K[X]),(aP+bQ) = ap +bq ; 3. ( P,Q K[X]),(P Q) = P Q+P Q (Formule de Leibniz). k=n 4. ( P,Q K[X]), (P Q) (n) = C k n P(k) Q (n k) (Binôme de Newton). k=0 5. ( P K[X])( n N ),(P n ) = np P n Si P(X) = X n et 1 k n alors P (k) (X) = n! (n k)! Xn k et si k > n alors P (k) (X) = 0. Exercice 86. Soient a < b et P R[X] est un polynôme unitaire de degré trois qui vérifient les conditions suivantes : P(a) = P(b) = 0

76 70 Polynômes et fractions rationnelles 1) Démontrer que P possède trois racines réelles. 2) Déterminer les coefficients de P. 3) En déduire que le polynôme dérivé P R[X] possède deux racines réelles. Exercice 87. Soient 0 < a et P R[X] est un polynôme unitaire de degré trois qui vérifient les conditions suivantes : P(ia) = P( ia) = 0 1) Démontrer que P possède une seule racine réelle α. 2) Déterminer les coefficients de P. 3) Caractériser le réel α pour que P ait : 1) une seule racine réelle, 2) deux racines réelles discinctes, 3) aucune racine réelle. Théorème 10 (Formule de Taylor). Soit P K[X] un polynôme de degré n 0. Alors, pour tout élément c K on a l expression suivante dite formule de Taylor, P(X) = P(c)+ P (c) 1! (X c)+ P(2) (c) 2! (X c) P(n) (c) (X c) n n! En particulier, les coefficients du polynôme P sont donnés par a k = P(k) (0), c est-à-dire k! P(X) = P(0)+ P (0) 1! X+ P(2) (0) 2! X P(n) (0) X n n! Démonstration. Soit P(X) = a 0 +a 1 X+a 2 X 2 + +a n X n. Observons que si pour tous c K et k N on porte la puissance, l=k X k = ((X c)+c) k = C l k (X c)l c k l dans l expression du polynôme P(X) on obtient une expression de la forme l=0 P(X) = b 0 +b 1 (X c)+b 2 (X c) 2 + +b n (X c) n dont les coefficients b k K se calculent de la manière suivante. Notons que P(c) = b 0. D autre part, observons que si on dérive le polynôme P on obtient P (X) = b 1 +2b 2 (X c)+3b 3 (X c) 2 + +nb n (X c) n 1 = P (c) = b 1 De même, si on dérive P une deuxièmme fois on obtient : P (2) (X) = 2b b 3 (X c)+ +(n 1) nb n (X c) n 2 = P (2) (c) = 2b 2 En effet, si on continue à dériver le polynôme P on déduit que pour tout indice 1 k n la k-ième dérivée P (k) (c) = k!b k. Corollaire 16. Soit P K[X] un polynôme de degré n 1. Pour qu un élément c K soit un zéro de P d ordre 1 k n il faut et il suffit qu on ait P(c) = P (c) = = P (k 1) (c) = 0 et que P (k) (c) 0

77 L anneau des polynômes K[X] 71 Démonstration. Supposons qu il existe un élément c K et un entier k 1 tels que P(c) = P (c) = = P (k 1) (c) = 0 et que P (k) (c) 0. Donc, d après la formule de Taylor on obtient P(X) = P(k) (c) k! = (X c) k [ P(k) (c) k! = (X c) k Q(X) (X c) k + + P(n) (c) (X c) n n! + P(k+1) (c) (k +1)! (X c)+ + P(n) (c) (X c) n k ] n! Ainsi, puisque Q(c) = P(k) (c) 0 on déduit que X c ne divise pas le polynôme Q(X). k! Par conséquent, comme (X c) k divise P et que (X c) k+1 ne le divise pas on conclut que l élément c K est un zéro multiple d ordre k. Inversement, supposons que l élément c K est un zéro multiple d ordre k de P. Donc, par définition, il existe un polynôme Q K[X] tel que P(X) = (X c) k Q(X) avec Q(c) 0. Dansces conditions, onvoit quepourtout entier0 m k ladérivéed ordremdupolynôme P est donnée par l expression P (m) (X) = = l=m C l m[(x c) k ] (l) Q (m l) (X) l=0 l=m C l m l=0 k! (k l)! (X c)k l Q (m l) (X) l=m = m! C l (X) k (X c)k lq(m l) (m l)! l=0 Donc, si on passe aux fonctions polynômiales on déduit que pour tout entier 0 m < k on a P (m) (c) = 0 et que P (k) (c) = k!q(c) 0. Pour finir ce paragraphe, on va exploiter les polynômes dérivés pour déterminer les facteurs irréductibles d un polynôme donné. Proposition 28 (Détermination des facteurs irréductibles). Soit P = ap α 1 1 Pα 2 2 Pαm m une décomposition en facteurs irréductibles unitaires dans l anneau K[X]. Alors, on a les propositions suivantes : 1. Pour tout indice 1 i m le polynôme P i est un facteur irréductible du polynôme dérivé P de multiplicité α i 1. En particulier, si α i = 1 alors P i ne divise pas P. 2. Le PGCD(P,P ) = P α P α P αm 1 m. En conséquence, les facteurs irréductibles du polynôme quotient P PGCD(P,P ) sont simples. Démonstration. ObservonsquesionappliquelaformuledeLeibnizauproduitP α 1 1 Pα 2 2 Pαm m on déduit que la dérivée P = a[α 1 P α P 1P α 2 2 Pαm m +α 2 P α 1 1 Pα P 2 P αm m + +α m P α 1 1 Pα 2 2 Pαm 1 m P m] = ap α P α P αm 1 m [α 1 P 1P 2 P m +α 2 P 1 P 2P 3 P m + +α m P 1 P 2 P m 1 P m]

78 72 Polynômes et fractions rationnelles En effet, de cette expression toutes les affirmations de la proposition s en déduisent immédiatement. Corollaire 17. Les facteurs irréductibles d un polynôme de degré non nul, P K[X], sont simples si et seulement si le PGCD(P,P ) = 1. Il est intéressant de remarquer que la proposition 31 nous donne une méthode pratique qui nous permet de trouver les facteurs irréductibles d un polynôme donné. Plus précisément, pour déterminer les facteurs irréductibles d un polynôme P on pourra procéder comme suit : Étape 1 On calcule le polynôme dérivé P ; Étape 2 On applique l algorithme d Euclide pour calculer le PGCD(P,P ). Étape 3 On calcule le quotient Q de la division euclidienne de P par le PGCD(P,P ). P Étape 4 On factorise le polynôme Q = PGCD(P,P ) en facteurs irréductibles unitaires P 1, P 2,, P m ; ils sont tous simples. Étape 5 Pour déterminer l ordre de multiplicité des facteurs irréductibles P i il suffit qu on remarque que le quotient P P 1 P = α P 2 P m 1 +α 2 + +α m P 1 P 2 où α i est l ordre de multiplicité du facteur P i. L exercice suivant vous aidera à se convaincre que l étape 5 nous donne effectivement la multiplicité des facteurs irréductibles du polynôme P. Exercice 88. Soient P 1 et P 2 K[X] deux polynômes irréductibles unitaires et distincts. 1) Démontrer que s il existe des polynômes irréductibles unitaires et distincts Q 1 et Q 2 K[X] et des éléments (a 1,a 2 ) K 2 et (b 1,b 2 ) K 2 tels que a 1 P 1 P 1 +a 2 P 2 P 2 = b 1 Q 1 Q 1 +b 2 Q 2 Q 2 alors {P 1,P 2 } = {Q 1,Q 2 } et {a 1,a 2 } = {b 1,b 2 }. 2) Par récurrence, démontrer que le résultat des questions 1) est vrai pour toute famille finie de m 1 polyômes irréductibles distincts. Exercice 89. Considérons le polynôme P(X) = X 5 3X 4 +2X 3 +2X 2 3X+1. 1) Vérifier que le PGCD(P,P ) = (X 1) 3. 2) En déduire que P(X) = (X 1) 4 (X+1). Exercice 90. 1) Vérifier que le polynôme P(X) = X 7 14X X 4 35X X 2 1 possède c = 1 comme zéro multiple d ordre cinq. 2) Dans l anneau R[X], factoriser le polynôme P(X) en facteurs irréducibles. Exercice 91. Démontrer que c = 1 est un zéro triple des deux polynômes 1. P(X) = X 2n nx n+1 +nx n 1 1 avec n 2. P m

79 L anneau des polynômes K[X] Q(X) = X 2n+1 (2n+1)X n+1 +(2n+1)X n 1 avec n 1. Exercice 92. Soit n N. Déterminer les réels a et b pour que le polynôme (X 1) 2 divise le polynôme X n+2 +ax n+1 +bx n 1. Exercice 93. Ici, le corps K = R ou C. Pour tout entier n 0 on définit un polynôme de degré n par l expression P 0 (X) = 1 et P n (X) = ! X+ 1 2! X n! Xn, n 1 1) Vérifier que pour tout n 1 la dérivée P n (X) = P n 1(X). 2) En déduire que le polynôme P n (X) n a pas de racines multiples ni dans R ni dans C. Exercice 94. Trouver les conditions suffisantes pour que le polynôme X 2n +ax n +b possède une racine double non nulle (réelle ou complexe) Polynômes irréductibles de C[X] et de R[X] Rapp elons que tout polynôme de degré non nul, P K[X], se factorise de manière unique en un porduit de type P = ap α 1 1 Pα 2 2 Pαm m Q où a K, les P i sont des polynômes irréductibles unitaires premiers entre eux et les entiers α i 1 sont les ordres de multiplicité des facteurs P i et où Q est un polynôme qui n a pas de racines dans le corps K (cf. th 9). Donc, pour résoudre complétement la question de la factorisation de P en facteurs irréductibles, il est intéressant de connaître l expression des polynômes irréductibles de l anneau K[X] notamment quand le corps de base K est spécifié. Dans ce paragraphe, on va s intéresser aux anneaux R[X] et C[X] pour déterminer leurs polynômes irréductibles. Malheureusement, la question de déterminantion des polynômes irréductibles de l anneau K[X] est en générale délicate, elle est intimement liée à la structure algébrique du corps K. Par exemple, si K est égal aux corps des fractions rationnelles Q on pourravérifierquepourtoutentiern 2ilexisteunpolynômededegrénquisoit irréductible dans l anneau Q[X] (voir l exercice 96). A) Polynômes irréductibles de C[X] La détermination des polynômes irréducibles des anneaux de polynômes C[X] et R[X] est basée sur le résultat du théorème de d Alembert-Gauss qu on va admettre. Théorème 11 (Théorème fondamental de l algèbre de d Alembert-Gauss). Tout polynôme de degré non nul à coefficients complexes, P C[X], possède au moins un zéro complexe. Dans la littérature mathématique, on dit qu un corps commutatif K est algébriquement clos si tout polynôme de degré non nul P K[X] possède au moins une racine dans K. Le corps des nombres complexes C est donc un exemple de corps algébriquement clos, en revanche le corps des nombres réels n est pas algébriquement clos parce que le polynôme X 2 +1 n a pas racines dans R.

80 74 Polynômes et fractions rationnelles Corollaire 18. Dans l anneau, C[X], les polynômes irréductibles sont de degré un. Corollaire 19. Tout polynôme de degré non nul, P C[X], se factorise de manière unique sous la forme P(X) = a(x z 1 ) α 1 (X z 2 ) α2 (X z m ) αm où les z j C sont les racines de P d ordre de multiplicité α j 1 et a C est son coefficent dominant. B) Polynômes irréductibles de R[X] Avant de caractériser les polynômes irréductibles de l anneau R[X] nous donnerons quelques remarques très utiles à propos de la conjugaison des polynômes à coefficients complexes. Étant donné un polynôme P(X) = a 0 + a 1 X + + a n X n C[X] on définit son polynôme conjugué par l expression, P(X) = a 0 +a 1 X+ +a n X n La conjugaison des polynômes vérifie les propriétés suivantes : 1. ( P,Q C[X]),P+Q = P+Q. 2. ( P,Q C[X]),P Q = P Q. 3. Un polynôme P est à coefficients réels si et seulement si P(X) = P(X). 4. Si P est un polynôme à coefficients réels alors pour tout z C on a : P(z) = P(z) 5. La dérivée d ordre k 0 du polynôme conjugué P est égal au conjugué de la dérivée d ordre k 0 de P i.e. : k N, P (k) = (P) (k) Lemme 7. Si z C\R est une racine multiple d ordre k 1 d un polynôme de degré non nul P R[X], alors sa conjuguée z C est aussi une racine multiple d ordre k 1 de P. De plus, le polynôme à coefficients réels, (X 2 (z+z)x+zz) k, divise le polynôme P dans R[X]. Démonstration. Observer que la propriété 4) ci-dessus montre que si P(z) = 0 alors P(z) = 0. Donc, si on applique la propriété 5) on déduit que les racines z et z de P ont le même ordre de multiplicité k dans le corps C. Proposition 29. Dans l anneau de polynômes P R[X] il n existe que deux types de polynômes irréductibles : 1. Les polynômes de degré un, ax+b, ils sont dits : de première espèce. 2. Les polynômes de degré deux, ax 2 +bx+c, dont le discriminant = b 2 4ac < 0, ils sont dits : de seconde espèce. Démonstration. Il est clair que dans l anneau R[X] les polynômes de degré un et tout trinôme ax 2 +bx+c ayant un discriminant = b 2 4ac < 0 sont irréductibles.

81 L anneau des polynômes K[X] 75 Inversement, supposons que P est un polynôme de degré n 2 irréductible dans l anneau R[X]. Notons que d après le théorème de d Alembert-Gauss P admet au moins une racine complexe z C\R, donc comme le conjugué z est aussi une racine de P on en déduit que le trinôme réel, X 2 (z + z)x + zz, divise P. Par conséquent, comme le polynôme P est irréductible dans R[X] il existe donc un réel a 0 tel que P(X) = a(x 2 (z + z)x + zz). Notons que puisque z R il en résulte que le discriminant = 4a 2 (Im(z)) 2 < 0. Corollaire 20. Tout polynôme de degré non nul, P R[X], se factorise de manière unique sous la forme suivante : P(X) = a(x c 1 ) α1 (X c k ) α k (X 2 +a 1 X+b 1 ) β1 (X 2 +a m X+b m ) βm où les c j sont les racines réelles du polynôme P et les coefficinets a j et b j sont des nombres réels tels que le discriminant (a j ) 2 4b j < 0. Exercice 95. 1) Dans l anneau K[X], démontrer que si le polynôme A divise le polynôme B alors les zéros de A sont aussi des zéros de B. 2) En déduire que pour tous les entiers m, n et p le polynôme X 3m X 3n+1 + X 3p+2 est divisible par le polynôme X 2 +X+1. Exercice 96. Considérons le polynôme P(X) = X 6 +X 5 +3X 4 +2X 3 +3X 2 +X+1. 1) Vérifier que l imaginaire i est un zéro de P et déterminer son ordre de multiplicité. 2) En déduire la factorisation de P en facteurs irréductibles de C[X], puis de R[X]. 3) Calculer le PGCD(P,P ) dans l anneau C[X], puis dans l anneau R[X]. Exercice 97. On pose P(X) = X 4 X ) Calculer le PGCD(P,P ). 2) En déduire que les facteurs irréductibles de P sont simples dans R[X] et dans C[X]. 3) Factoriser le polynôme P en polynômes irréductibles de l anneau C[X]. 4) En déduire sa factorisation irréductible dans l anneau R[X]. 5) Reprendre les questions précédentes pour le polynôme Q(X) = X 8 +X Exercice 98. Factoriser les polynômes X 4 1, X 6 +1 et X 8 1 en facteurs irréductible de l anneau C[X], puis dans l anneau C[X]. Exercice 99. 1) Vérifier que le nombre complexe, 3+2i, est un zéro du polynôme P(X) = X 4 4X 3 +3X 2 +14X+26 2) Donner la factorisation irréductible de P dans les deux anneaux R[X] et C[X]. Exercice 100. Soit n 3 un entier. 1) Démontrer que si un polynôme P R[X] divise le polynôme X n 1 alors les seules racines réelles de P sont ±1. 2) En déduire l expression de tous les polynômes réels unitairs de degré trois qui divisent le polynôme X n 1.

82 76 Polynômes et fractions rationnelles Exercice 101. Soient A et B R[X] deux polynômes distincts de degré non nul ayant c C comme racine commune. Pour tous les réels a et b R on pose P a,b = aab +ba B 1) Si c est une racine simple de A et de B démonter alors que c est une racine simple du polynôme P a,b si et seulement si a+b 0. 2) Démontrer que si c est une racine multiple d ordre k 1 pour A et d ordre l 1 pour B alors, c est une racine multiple d ordre au mois (k+l 1) du polynôme P a, a = a(ab A B). Exercice 102 (Polynômes cyclotomiques). Les résultats de l exercice 82 sont utils pour le développement de cet exercice. Soit n 1 un entier. On désigne par P n l ensemble de toutes les racines n-ièmes complexes primitives de l unité. On appelle polynôme cyclotomique d indice n le polynôme défini par l expresion : Φ n (X) = (X ω) avec Φ 1 (X) = X 1 ω P n 1) Démontrer que si n 2 est un nombre premier alors Φ n (X) = X n 1 + +X+1. 2) Démontrer que si un entier d > 0 divise l entier n alors le polynôme cyclotomique Φ d (X) divise le polynôme X n 1. 3) En déduire que le produit : Φ d (X) = X n 1. d n 4) Donner la factorisation en polynômes réels irréductibles des polynômes cyclotomiques : Φ 2 (X), Φ 3 (X), Φ 4 (X), Φ 6 (X) et Φ 12 (X). 4.2 Le corps des fractions rationnelles K(X) Définition du corps K(X) On désigne par (K[X]) l ensemble des polynômes non nuls à coefficients dans le corps K. Sur le produit cartésien K[X] (K[X]) on définit une relation binaire par l expression (P 1,Q 1 ) (P 2,Q 2 ) P 1 Q 2 = P 2 Q 1 À titre d exercice l étudiant vérifie que les affirmations suivantes sont vraies : La relation binaire définie une relation d équivalence sur le produit K[X] (K[X]). Le couple (P 1,Q 1 ) est équivalent au couple (0,Q) modulo si et seulement, si P 1 = 0. Pour tout A (K[X]) le couple de polynômes (P,Q) (AP,AQ). Proposition 30. Soient (P 1,Q 1 ) et (P 2,Q 2 ) K[X] (K[X]) ) tel que PGCD(P 1,Q 1 ) = 1. Pour qu un couple (P 2,Q 2 ) soit équivalent au couple (P 1,Q 1 ) il faut et il suffit qu il existe un polynôme D K[X] tel que P 2 = DP 1 et Q 2 = DQ 1. Démonstration. Notons que si on a P 2 = DP 1 et Q 2 = DQ 1 il s ensuit que P 2 Q 1 = P 1 Q 2, donc (P 1,Q 1 ) (P 2,Q 2 ).

83 Le corps des fractions rationnelles K(X) 77 Inversement,supposonsqu onal équivalence(p 1,Q 1 ) (P 2,Q 2 ).Donc,P 1 Q 2 = P 2 Q 1.Ainsi, puisquep 1 divise P 2 Q 1 et Q 1 divise P 1 Q 2 le lemme de Gauss impliquequep 1 divise P 2 et que Q 1 divise Q 2, car les polynômes P 1 et Q 1 sont premiers entre eux. Par conséquent, il existe deux polynômes D 1 et D 2 tels que P 2 = D 1 P 1 et Q 2 = D 2 Q 1. Mais, comme P 1 Q 2 = P 2 Q 1 on en déduit qu en fait D 1 = D 2. Corollaire 21. Soit P et Q K[X] un couple de polynômes non nuls. Alors, il existe un unique couple de polynômes premiers entre eux (P 1,Q 1 ) qui soit équivalent au couple (P,Q) modulo la relation binaire. Définition 35. Soient P K[X] et Q (K[X]) deux polynômes. 1. La classe d équivalence du couple (P,Q) modulo la relation sera notée P et sera Q appelée fraction rationnelle à une indéterminée à coefficients dans le corps K. 2. L ensemble de toutes les fractions rationnelles à une indéterminée et à coefficients dans K se note K(X). 3. Le polynôme P (resp. Q) s appelle numérateur (resp. dénominateur) de la fraction rationnelle P Q. 4. Si le PGCD(P,Q) = 1 on dira que la fraction rationnelle P Q est réduite (ou irréductible). Soit P Q K(X) une fraction rationnelle. Il est clair que si on pose P P 1 = PGCD(P,Q) et Q Q 1 = PGCD(P,Q) on obtient une fraction rationnelle réduite P 1 = P. On dira que la Q 1 Q fraction rationnelle P 1 Q 1 est une représentation réduite de la fraction P Q. Au moyen du lemme de Gauss, on vérifie à titre d exercice que le numérateuret de dénominateur de la représentation réduite de toute fraction rationnelle sont uniques à la multiplication près d un élément de K. Définition 36. Soit P Q K(X). L entier deg(p) deg(q) Z s appelle degré de la fraction rationnelle P Q et se note deg(p Q ). Le degré d une fraction rationnelle ne dépend pas de ses représentations. En effet, si on suppose qu on a l égalité des fractions rationnelles, P Q = P 1 Q 1, on obtient PQ 1 = P 1 Q, donc si on applique le degré sur le produitde PQ 1 = P 1 Q on en déduit que deg(p)+deg(q 1 ) = deg(p 1 )+deg(q) = deg(p) deg(q) = deg(p 1 ) deg(q 1 ) Ceci démontre que l entier deg(p) deg(q) Z ne dépend pas de l écriture de la fraction rationnelle P, et par conséquent son degré est bien défini. Q Notons aussi que puisque pour tout polynôme P K[X] on a P = P 1 on déduit que l anneau des polynômes K[X] K(X) et que le deg(p) = deg( P 1 ).

84 78 Polynômes et fractions rationnelles Sur l ensemble des fractions rationnelles à une indéterminée K(X) on définit deux lois de compositions internes L addition : ( P 1 Q 1 K(X))( P 2 Q 2 K(X)), La multiplication : ( P 1 Q 1 K(X))( P 2 Q 2 K(X)), P 1 Q 1 + P 2 Q 2 = P 1Q 2 +P 2 Q 1 Q 1 Q 2. P 1 Q 1 P 2 Q 2 = P 1P 2 Q 1 Q 2. Proposition 31. Le triplet (K(X), +, ) est un corps commutatif dans lequel l anneau des polynômes (K[X], +, ) est un sous-anneau. Enfin, notons que à toute fraction rationnelle P on associe une fraction rationnelle dérivée Q que l on définit par l expression suivante : d dx (P Q ) = P Q PQ (Q) 2 Définition 37. Soit F = P Q K(X) une fraction rationnelle non nulle (i.e. P 0). 1. Un zéro d ordre k 1 du numérateur P s appelle zéro d ordre k 1 de la fraction rationnelle F. 2. Un zéro d ordre k 1 du dénominateur Q s appelle pôle multiple d ordre k 1 de la fraction rationnelle F. 3. On dira que l élément c K est un pôle simplifiable (ou effaçable) de F si c est à la fois un zéro d ordre l 1 et un pôle de F d ordre k 1 avec l k. L ensemble des zéros (resp. des pôles) d une fraction rationnelle F se note Zer(F) (resp. Pôle(F)). Donc, si la fraction rationnelle F = P on aura alors Q Zer(F) = Zer(P) et Pôle(F) = Zer(Q) Proposition 32. Soit F = P Q K(X) une fraction rationnelle non nulle. 1. Si c K est un zéro d ordre k 1 de F alors il existe un polynôme P 1 K[X] tel que F = (X c)k P 1 avec P 1 (c) 0. Q 2. Si z K est un pôle d ordre k 1 de F alors il existe un polynôme Q 1 K[X] tel que P F = (X z) k avec Q 1 (z) 0. Q 1 3. Si la fraction rationnelle F est réduite alors elle est sans pôles effaçables. Il est clair que la donnée d une fraction rationnelle réduite F = P Q une fonction par le diagramme suivant : K(X) permet de définir F : K\Pole(F) K x P(x) Q(x) La fonction F : K \ Pole(F) K ainsi définie s appelle fraction rationnelle polynômiale associée à F.

85 Le corps des fractions rationnelles K(X) 79 Rappelons que lorsque le corps de base K est infini nous avons identifié les polynômes aux fonctions pollynômiales, il en est de même pour les fractions rationnelles à une indéterminée et à coefficients dans K et les fonctions rationnelles polynômiales qui leur sont associées 2. Exemple 32. Considérons la fraction rationnelle F(X) = X4 1 X 2 +X+1 K(X). i) Si le corps de base est R la fraction rationnelle F(X) possède seulement deux zéros, qui sont { 1,1}, et n a pas de pôles sur R. ii) Si le corps de base est C, dans ce cas, les zéros de la fraction rationnelle F(X) sont égales aux racines quatrièmes de l unité { 1, 1, i, i} et elle possède aussi deux pôles égaux aux racines cubiques de l unité j et j. iii) La fraction rationnelle polynômiale F(x) associée à F(X) induit une fonction à valeur dans C définie sur C\{j, j}, et elle induit aussi une fonction rationnelle F(x) définie sur R Décomposition en fractions rationnelles simples A) Le cas général. Dans ce paragraphe, on se propose de démontrer que toute fraction rationnelle à une indéterminée se décompose de manière unique en une somme de fractions rationnelles simples. Définition 38. Soit P K[X] un polynôme irréductible. Pour tout polynôme U K[X] tel U que deg(u) < deg(p) et pour tout entier m 1 on dira que le quotient est une fraction (P) m rationnelle simple (ou un élément simple). Soit P K(X) une fraction rationnelle. Rappelons que d après le principe de la division Q euclidienne du polynôme P par le polynôme Q il existe un unique couple de polynômes E et R K[X] tel que P = EQ+R avec deg(r) < deg(q). Donc, avec ces notations on peut écrire P Q = EQ+R = E+ R Q Q Le polynôme E K[X] (resp. la fraction rationnelle R ) s appelle la partie entière (resp. la Q partie régulière) de la fraction rationnelle P Q. Lorsqu une fraction rationnelle P Q partie entière nulle on dira qu elle est régulière. possède une Proposition 33. Soient P 1 Q 1 et P 1 Q 1 K(X) deux fractions rationnelles régulières. Alors, la somme P 1 Q 1 + P 2 Q 2 et le produit P 1 Q 1 P 1 Q 2 sont des fractions rationnelles régulières. Démonstration. Exercice : Utiliser les propriétés du degré d un polynôme. 2. Si le corps de base K est fini il se peut qu une fraction rationnelle à une indéterminée n induit pas de fonction rationnelle. Par exemple, le polynôme X 3 X induit une fonction polynômiale identiquement nulle 1 sur le corps Z/3Z, et donc la fraction rationnelle n a pas de fonction rationnelle sur le corps Z/3Z. X 3 X

86 80 Polynômes et fractions rationnelles Lemme 8. Soit {Q 1,,Q m } une famille de polynômes premiers entre eux. Si la fraction rationnelle est régulière alors il existe une unique famille de polynômes {U 1,,U m } P Q 1 Q m tels que P = U U m où deg(u i ) < deg(q i ) Q 1 Q m Q 1 Q m Démonstration. 0) Notons que si m = 1 il n y a rien à démontrer. 1) Supposons m = 2 et choisissons deux polynômes A et B K[X] qui entraînent l identité de Bezout Q 1 A+Q 2 B = 1. Donc, on peut écrire P = PQ 1 A+PQ 2 B. Rappelons que d après le principe de la division euclidienne du polynôme PA par Q 2 il existe un unique couple de polynômes A 2 et U 2 tel que PA = A 2 Q 2 +U 2 avec deg(u 2 ) < deg(q 2 ). Ainsi, avec ces notations on peut écrire que P = Q 1 (A 2 Q 2 +U 2 )+PQ 2 B = Q 1 U 2 +Q 2 (Q 1 A 2 +PB) D autre part, remarquons que si on pose U 1 = Q 1 A 2 +PB on obtient un polynôme dont le deg(u 1 ) < deg(q 1 ) parce que deg(q 2 U 1 ) = deg(p Q 1 U 2 ) implique que deg(q 2 U 1 ) max(deg(p),deg(q 1 U 2 )) < deg(q 1 Q 2 ) = deg(u 1 ) < deg(q 1 ) P Par conséquent, = Q 1U 2 +Q 2 U 1 = U 1 + U 2 est la décomposition recherchée. Q 1 Q 2 Q 1 Q 2 Q 1 Q 2 2) Supposons que le lemme est démontré pour tous les entiers inférieures ou égal à m. Soit {Q 1,,Q m+1 } une famille de polynômes premiers entre eux. Notons que si on pose P P Q 0 = Q 1 Q m on voit que =, et ainsi puique les polynômes Q 0 et Q 1 Q m+1 Q 0 Q m+1 Q m+1 sont premiers entre eux; l étape 1 implique qu il existe deux polynômes U m+1 et V m tels que P Q 1 Q m+1 = P Q 0 Q m+1 = V m Q 0 + U m+1 Q m+1 où deg(v m ) < deg(q 0 ) = deg(q 1 Q m ) et deg(u m+1 ) < deg(q m+1 ). Donc, si on applique l hypothèse de la récurrence à la fraction rationnelle régulière Q 1 Q m on achève la preuve du lemme. V m Lemme 9. Soit P un polynôme irréductible. Si la fraction rationnelle alors il existe une unique famille de polynômes {V 1,,V m } tels que U est régulière (P) m U (P) m = V 1 P + V 2 (P) V m (P) m où deg(v i ) < deg(p) Démonstration. Observons que si on applique l algorithme des divisions euclidiennes suivantes U = (P) m 1 V 1 +U 1 où deg(u 1 ) < deg((p) m 1 ) et deg(v 1 ) < deg(p) U 1 = (P) m 2 V 2 +U 2 où deg(u 2 ) < deg((p) m 2 ) et deg(v 2 ) < deg(p). =. U m 2 = PV m 1 +U m 1 où deg(u m 1 ) < deg(p) et deg(v m 1 ) < deg(p)

87 Le corps des fractions rationnelles K(X) 81 on obtient l expression U = (P) m 1 V 1 +(P) m 2 V 2 + +PV m 1 +U m 1 Ainsi, si on pose V m = U m 1 on déduit que est la décomposition recherchée. U (P) m = V 1 P + V 2 (P) V m 1 (P) m 1 + V m (P) m Maintenant, si on combine le résultat du lemme 8 et du lemme 9 on obtient le théorème important suivant : Théorème 12 (Décomposition en éléments simples : DES). Soit P K(X) une fraction Q rationnelle régulière. Si Q = (P 1 ) α1 (P m ) αm est la factorisation du dénominateur Q en facteurs irréductibles de l anneau des polynômes K[X], alors il existe une unique famille de polynômes {U k,l 1 k m,1 l α k } telle que la fraction rationnelle P Q = U 1,1 P U 1,α 1 (P 1 ) α 1 où deg(u 1,i ) < deg(p 1 ). + U m,1 P m + + U m,α 1 (P m ) αm où deg(u m,i ) < deg(p m ) La décomposition de la fraction rationnelle P Q K(X) fournie par le théorème 12 s appelle décomposition en éléments simples de la fraction P Q. B) Le cas des coefficients complexes. On rappelle que les polynômes irréductibles de l anneau des polynômes C[X] sont de degré un i.e. ax + b avec a 0. Donc, étant donné une fraction rationnelle régulière P Q C(X) son dénominateur (unitaire) se factorise dans l anneau C[X] en facteurs irréductibles sous la forme Q = (X z 1 ) α1 (X z m ) αm Ainsi, d après le théorème 12, la décomposition de la fraction P en éléments simples est Q donnée par l expression suivante : P Q = U 1,1 X z U 1,α 1 (X z 1 ) α 1 où U 1,k C. + U m,1 X z m + + U m,α m (X z m ) αm où U m,k C dont les termes sont uniques à un ordre près. Pour chaque indice 1 j m la fraction rationnelle partie polaire du pôle z j. U j,1 X z j + + U j,αj (X z j ) α j s appelle

88 82 Polynômes et fractions rationnelles C) Le cas des coefficients réels. De même, rappelons que les polynômes irréductibles de l anneau R[X] sont les polynômes de dergéun,ax+b aveca 0, et les trinômes ax 2 +bx+cdontlediscriminant = b 2 4ac < 0. Soit P R(X) une fraction rationnelle régulière. Donc, si on suppose que le dénominateur Q (unitaire) Q possède une factorisation irréductible de type Q = (X c 1 ) α1 (X c m ) αm (X 2 +a 1 X+b 1 ) β1 (X 2 +a n X+b n ) βn avec les discriminants k = (a k ) 2 4b k < 0 le théorème 12 implique que la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle P Q est donnée par l expression suivante : P Q = U 1,1 X c U 1,α 1 (X c 1 ) α 1 où U 1,k R. + U m,1 U m,α1 + + X c m (X c m ) αm où U m,k R + A 1,1X+B 1,1 X 2 +a 1 X+b A 1,β 1 X+B 1,β1 (X 2 +a 1 X+b 1 ) β 1. où A 1,k, B 1,k R + A n,1x+b n,1 X 2 +a n X+b n + + A n,β n X+B n,βn (X 2 +a n X+b n ) βn où A n,k, B n,k R dont les termes sont uniques à un ordre près. Pour chaque indice 1 j m la fraction rationnelle partie polaire du pôle c j. U j,1 X c j + + U j,α j (X c j ) α j D) Méthodes pratiques pour déterminer les coefficients d une DES. s appelle Dans ce qui va suivre on donnera des méthodes pratiques permettant la détermination des coefficients de la décomposition en éléments simples d une fraction rationnelle donnée. a) Cas d un pôle simple : Supposons que c C (ou R) est un pôle simple de la fraction rationnelle F = P. Donc, dans la décomposition en éléments simples de F la partie polaire Q a du pôle c est constituée que par le terme avec a C (ou R) i.e. : X c où (X c)q 1 (X) = Q(X) avec Q 1 (c) 0. F(X) = a X c + P 1(X) Q 1 (X) Observons que pour calculer la valeur du coefficent a on pourra multiplier la fraction rationnelle polynômiale F(x) par x c et ensuite on calcule la limite suivante a = lim x c x c (x c)f(x) = lim x c x c P(x) Q(x) Q(c) x c = P(c) Q (c)

89 Le corps des fractions rationnelles K(X) 83 Enconséquence,silafractionrationnelle P Q nepossèdequedespôlessimplesnotés{z 1,,z m } on obtient la décomposition en éléments simples suivante P(X) Q(X) = P(z 1 ) Q (z 1 ) X z P(z m ) Q (z m ) X z m Exemple 33. Considérons la fraction rationnelle F(X) = dont le dénominateur se factorise comme suit : X+3 X 4 5X 2 +4 X 4 5X 2 +4 = (X 2 4)(X 2 1) = (X 1)(X+1)(X 2)(X+2) Donc, la décomposition en éléments simples de F(X) aura la forme F(X) = A 1 X 1 + A 2 X+1 + A 3 X 2 + A 4 X+2 Puisque tous les pôles de F(X) sont simples pour calculer la valeur des coefficients de cette décomposition on pourra mutiplier la fraction polynômiale F(x) par les polynômes de type x c, avec c un pôle de F(X), et puis après simplification on remplace x par c. (x 1)F(x) = x+3 (x+1)(x 2)(x+2) = A 1 + A 2(x 1) x+1 x=1 = A 1 = A 3(x 1) x 2 x+3 (x+1)f(x) = (x 1)(x 2)(x+2) A 1 (x+1) = +A 2 + A 3(x+1) x 1 x 2 x= 1 = A 2 = 1 3 (x 2)F(x) = (x+2)f(x) = x+3 (x 1)(x+1)(x+2) = A 1(x 2) x 1 x=2 = A 3 = 5 12 = + A 2(x 2) x+1 x+3 (x 1)(x+1)(x 2) A 1 (x+2) x 1 x= 2 = A 4 = A 2(x+2) x+1 + A 4(x 1) x+2 + A 4(x+1) x+2 +A 3 + A 4(x 2) x+2 + A 3(x+2) x 2 +A 4 Ainsi, en conséquence de ces calculs on déduit qu on a la décomposition en éléments simples suivante : X+3 X 4 5X 2 +4 = 3/2 X 1 + 1/3 X+1 + 5/12 X 2 + 1/12 X+2

90 84 Polynômes et fractions rationnelles Exemple 34. Pour tout entier n 1 cherchons dans le corps C(X) la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle : F(X) = Xp X n +1 où 0 p n 1 Notons d abord que puisque les pôles de la fraction F sont solutions de l équation x n = 1 x n = e iπ (2k +1)π ils sont donc donnés par l expression z k = exp[i ] avec 0 k n 1. Ainsi, comme n tous les pôles z j sont simples, la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle F est donc donnée par l expression : X p X n +1 = k=n 1 k=0 = 1 n (z k ) p n(z k ) n 1 (X z k ) k=n 1 k=0 (z k ) p+1 X z k b) Cas d un pôle multiple : Soit F = P une fraction rationnelle qui possède c C (ou R) Q comme un pôle multiple d ordre k 2. La partie polaire du pôle c est donc donnée par une somme de type a 1 X c + a 2 (X c) a k (X c) k = T( 1 X c ) où T est un polynôme de degré (k 1) dont les coefficients sont les a j C (ou R). Pour calculer les coefficients a j il est intéressant de remarquer qu il existe un polynôme Q 1 (X) tel que Q(X) = (X c) k Q 1 (X) avec Q 1 (c) 0. Ensuite, observer que si on effectue le changement d indéterminées Y = X c dans les deux polynômes P et Q 1 alors en appliquant le principe de la division euclidienne de P(X) = P(Y+c) par Q 1 (X) = Q 1 (Y+c) suivant les puissances croissantes de Y on pourra trouver un unique couple de polynômes S(Y) et R(Y) qui vérifient l expression : P(Y +c) = Q 1 (Y +c)s(y)+y k R(Y) avec deg(s) k 1 Et, ainsi, si on divise cette expression par le produit Y k Q 1 (Y + c) on obtient l expression suivante P(Y +c) Y k Q 1 (Y +c) = S(Y) Y k + R(Y) Q 1 (Y +c) qui, en vertue de l unicité de la partie polaire du pôle c, implique que T( 1 Y ) = S(Y) Y k. Ci-dessous on va expliquer cette méthode sur un exemple de calcul. Exemple 35. Cherchons la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle F(X) = X 3 +1 (X 1) 3 (X 2 +1)

91 Le corps des fractions rationnelles K(X) 85 Pour déterminer la partie polaire du pôle c = 1 nous allons d abord effectuer le changement d indéterminées Y = X 1 dans les deux polynômes : { X 3 +1 = (Y +1) 3 +1 = 2+3Y +3Y 2 +Y 3 X 2 +1 = (Y +1) 2 +1 = 2+2Y +Y 2 Ensuite, effectuons la division euclidienne du polynôme 2+3Y +3Y 2 +Y 3 par le polynôme 2+2Y +Y 2 suivant les puissances croissantes jusqu à ce qu on trouve un quotient S(Y) de degré deux et un reste de la forme Y 3 R(Y). 2+3Y +3Y 2 +Y 3 2+2Y +Y 2 2 2Y Y Y Y2 Y +2Y 2 +Y 3 Y Y Y3 Y Y3 Y 2 Y Y4 1 2 Y3 1 2 Y4 Grâce à cette division euclidienne on obtient l expression suivante 2+3Y +3Y 2 +Y 3 = (2+2Y +Y 2 )( Y Y2 ) 1 2 Y3 (1+Y) qui entraîne la suivante après avoir remplacé Y par X 1 : X 3 +1 = (X 2 +1)( (X 1)+ 1 2 (X 1)2 ) 1 2 (X 1)3 (1+X 1) Enfin, observons que si on divise les deux membres de l expression précédente par le produit (X 1) 3 (X 2 +1) on obtient la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle donnée : X 3 +1 (X 1) 3 (X 2 +1) = 1 (X 1) 3 + 1/2 (X 1) 2 + 1/2 X 1 + X/2 X 2 +1 Exemple 36. Considérons la fraction rationnelle F(X) = 1 X 4 X 2 +1 dont le dénominateur se factorise en produit de deux facteurs irréductibles réels X 4 X 2 +1 = (X 2 2X+1)(X 2 + 2X+1) Donc, la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle F est de la forme F(X) = AX+B X 2 2X+1 + CX+D X 2 + 2X+1 Pour déterminer les quatre coefficients de cette décomposition on va faire quelques remarques importantes qui peuvent servir pour d autres exemples de décompositions en éléments simples :

92 86 Polynômes et fractions rationnelles i) Observons que puisque la fraction F(X) est paire (i.e. F( X) = F(X)) on en déduit que AX+B X 2 2X+1 + CX+D X 2 + 2X+1 = AX+B X 2 + 2X+1 + CX+D X 2 2X+1 Ainsi, par unicité de la décomposition en éléments simples on déduit que A = C et B = D. Donc, on peut écrire que F(X) = AX+B X 2 2X+1 + AX+B X 2 + 2X+1 ii) Observons aussi que si on réduit le second membre de la dernière expression aux mêmes dénominateurs on trouve que F(X) = (AX+B)(X2 + 2X+1)+( AX+B)(X 2 2X+1) X 4 X 2 +1 = 2( 2A+B)X 2 +2B X 4 X 2 +1 Ainsi, par comparaison on déduit que 2B = 1 et que 2A+B = 0. D où 2X X + 1 X 4 X 2 +1 = 4 2 X 2 2X X 2 + 2X+1 Pour finir ce chapitre on donnera un exemple de développement en élémnts simples d une A fraction rationnelle régulière de la forme (P) n où P est un polynôme irréductible et n N. Exemple 37. Dans R(X), cherchons la décommposition en élémnts simples de la fraction rationnelle G(X) = X5 X 4 +X 3 X 2 +X+1 (X 2 +X+1) 3 Pour décomposer la fraction rationnelle G(X) nous allons appliquer le principe de la démonstration du lemme 9. Autrement dit, nous allons effectuer les divisions euclidiennes successives du numérateur X 5 X 4 +X 3 X 2 +X+1 par le polynôme irréductible X 2 +X+1. i) La première division euclidiènne du polynôme X 5 X 4 +X 3 X 2 +X 1 par le polynôme X 2 +X+1 nous donne X 5 X 4 +X 3 X 2 +X 1 = (X 3 2X 2 +2X 1)(X 2 +X+1)+2 ii) La seconde division euclidiènne du polynôme X 3 2X 2 +2X 1 par le polynôme X 2 +X+1 nous donne X 3 2X 2 +2X 1 = (X 3)(X 2 +X+1)+4X+2 iii) Si on combine les deux expressions polynômiales précédentes on obtient X 5 X 4 +X 3 X 2 +X+1 = (X 3 2X 2 +2X 1)(X 2 +X+1)+2 = [(X 3)(X 2 +X+1)+4X+2](X 2 +X+1)+2 = (X 3)(X 2 +X+1) 2 +(4X+2)(X 2 +X+1)+2

93 Le corps des fractions rationnelles K(X) 87 Ainsi, suite à ces calculs on conclut que la fraction rationnelle G(X) se décompose en éléments simples réels comme suit : X 5 X 4 +X 3 X 2 +X+1 (X 2 +X+1) 3 = X 3 X 2 +X+1 + 4X+2 (X 2 +X+1) (X 2 +X+1) 3 Exercice 103. Décomposer les fractions rationnelles suivantes en éléments simples complexes, puis réels : X+3 1. (X 1)(X 2 +1), 1 X 3 1, X 2 X 4 1, X 2 X X 2 X 6 1, X 4 X 6 +1, 1 X 6 X 4 +X 2 1, X 2 X 4 +X X X 3 1 2X 1 (X 2 +1) 2, (X 3 1) 2, (X 4 1) 2, X(X+1) 2 (X 2 +X+1) 2. X 6 (X 2 +1) 2 (X+1) 2, X 6 (X 2 +1)(X 1) 3, X (X 4 1) 2, X 4 +1 X 2 (X 2 +X+1) 2. Exercice 104. Décomposer les fractions rationnelles suivantes en éléments simples complexes, puis réels : X 2 X 4 2cos(a)X 2 +1 où a R et Sh(a) = (e a e a )/2. et X 2 X 4 2Sh(a)X 2 +1 Exercice 105. Calculer la dérivée n-ième des deux fractions rationnelles suivantes dans C(X), puis dans R(X) : 1 X 2 2cos(a)X+1 où a R et Sh(a) = (e a e a )/2. et 1 X 2 2Sh(a)X+1 Exercice 106. Soit {z 1,,z n } une famille de nombres complexes distincts et non nuls. On pose P(X) = (X z 1 ) (X z n ) 1) Démontrer que pour tout entier p < n la décomposition en éléments simples complexes de la fraction rationnelle X p j=n P(X) = j=1 2) En déduire que si p < n 1 alors la somme (z j ) p 1 P (z j ) X z j j=n j=1 (z j ) p P (z j ) est nulle. 3) Selon la parité de l entier n > 0, trouver la décomposition en éléments simples réels de la X p fraction rationnelle, X n, où l entier 0 p < n. 1 Exercice 107. Décomposer la fraction rationnelle suivante en éléments simples complexes, puis réels : F n (X) = (X 1)n (X+1) n (X 1) n +(X+1) n

94 88 Polynômes et fractions rationnelles Exercice Établir les formules suivantes : k=n n! X(X 1) (X n) = k=0 k=0 C k n ( 1)n k. X k k=n n! X(X+1) (X+n) = C k n( 1) k X+k. k=n (2n)! X(X 2 1) (X 2 n 2 ) = k= n C k+n (2n)! X(X 2 +1) (X 2 +n 2 ) = Cn k=n 2n X + 2n ( 1)n k. X k k=1 C k+n 2n ( 1)k X X 2 +k 2. Exercice 109. Soit P(X) K(X) une fraction rationnelle réduite dont le dénominateur Q(X) Q(X) = (X c) 2 Q 1 (X) avec Q 1 (c) 0 a 1 1) On désigne par X c + a 2 la partie polaire du pôle c. (X c) 2 i) Démontrer que le coefficient a 2 = 2P(c) Q (2) (c). P(X) ii) En considérant la différence, (X c) 2 Q 1 (X) a 2 (X c) 2, démontrer que le pôle c K est une racine simple du polynôme P(X) a 2 Q 1 (X). P (c) Q(2) (c) P(c) Q(3) (c) iii) En déduire que le coefficent a 1 = 2! 3! (Q (2) (c)/2!) 2. 2) On suppose que le dénominateur Q(X) = (S(X)) 2 et que le polynôme S(X) possède n- racines distinctes {c 1,,c n } K. Si la fraction rationnelle, partie polaire du pôle c j démontrer alors que 3) Applications : a (j) 1 X c j + a (j) 2 = P(c j) (S (c j )) 2 et a (j) 1 = P (c j )S (c j ) P(c j )S (2) (c j ) (S (c j )) 3 a (j) 2 (X c j ) 2, est la i) Dans K on fixe deux éléments distincts a b. Trouver la décomposition en éléments X p simples de la fraction rationnelle (X a) 2 où p {0,1,2,3,4}. (X b) 2 ii) Pour tout entier n 2 donner la décomposition en éléments simples complexes (puis réels) 1 des deux fractions rationnelles (X n 1) 2 et 1 (X n +1) 2. Exercice 110. Soit P C[X] un polynôme unitaire de degré n 1 dont toutes les racines sont simples et désignées par c 1, c 2,, c n. 1) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle (X2 +1) n (P(X)) 2. 2) Démontrer que les coefficients des éléments simples (X 2 +1)P (2) (X) 2nXP (X)+n(n+1)P(X) = 0 1 X c j sont nuls si et seulement si :

95 Chapitre Cinq Espaces vectoriels sur un corps commutatif : R ou C 5.1 Généralités sur les espaces vectoriels Définitions et propriétés Définition 39. Soient E un ensemble non vide et K un corps commutatif. On dira E est un K-espace vectoriel si on a les propriétés suivantes : 1. Il existe sur E une loi de composition interne additive telle que (E,+) soit un groupe commutatif. 2. Il existe une deuxième loi de composition externe, : K E E, (multiplicative) qui satisfait aux règles suivantes appelées règles du calcul vectoriel : (a) ( a,b E)( λ K), λ (a+b) = λ a+λ b. (b) ( a E)( λ,µ K), (λ+µ) a = λ a+µ a. (c) ( a E)( λ,µ K), (λµ) a = λ (µa). (d) a E, 1 a = a. Étant donné un K-espace vectoriel (E,+, ), les éléments de E seront appelés on appelle vecteurs et les éléments du corps K seront appelés scalaires. De même, lorsque le corps K = R (resp. C) on dira que E est un espace vectoriel réel (resp. complexe). L élément neutre du groupe commutatif (E,+) s appelle vecteur nul et se note 0 K,E. S il n y a aucun risque de confusion à craindre le vecteur nul de l espace vectoriel E sera désigné soit par 0 K ou soit par 0. L opposé d un vecteur v E se noté v, donc on a ( v)+v = v +( v) = 0 K,E. Notons que les vecteurs sont d origine physique, on les utilise pour représenter des grandeurs physiques comme les champs de forces (éléctrique, magnétique, gravitationnelle, ), ou les champs de vitesses et les accélérations associés aux mouvements des objets physiques(solides, particules, liquide, ). C est pour cela on les symbolisent par des alphabets (majuscules ou minuscules) qui portent des flèchent : A, B, C, ou a, b, c,

96 90 Espaces vectoriels sur un corps commutatif : R ou C Avec ces notations, très chères aux physiciens, l élément neutre du groupe commutatif (E, +) se note soit par 0 K ou soit par 0. En appliquant les règles du calcul vectoriel dans un K-espace vectoriel (E,+, ) on obtient les formules suivantes : 1. λ K, λ 0 = v E, 0 v = v E, ( 1) v = v. Pour justifier la formule (1) il suffit qu on remarque que la règle (a) permet d écrire pour tout scalaire λ K : λ ( 0 + 0)=λ 0 +λ 0 = λ 0 = λ 0 = 0 Pour justifier la formule (2) il suffit qu on remarque que la règle (b) permet d écrire pour tout vecteur v E : (0+0) v = 0 v +0 v = 0 v = 0 v = 0 Enfin, pour justifier la formule (3) il suffit qu on applique la formule (2) et on remarque que grâce aux règles (b) et (d) on peut écrire pour tout vecteur v E : 0 = ( 1+1) v = ( 1) v +1 v = ( 1) v + v = ( 1) v = v Définition 40. Soit (E, +, ) un K-espace vectoriel. Étant donné une famille de scalaires {λ 1,,λ n } K et une famille de vecteurs { v 1,, v n } E l expression vectorielle, v = λ1 v 1 + +λ n v n E s appelle combinaison linéaire des scalaires λ i et des vecteurs v i. On dira aussi que le vecteur v E est une combinaison linéaire des scalaires λi et des vecteurs v i. Ci-dessous on donnera la première liste d exemples fondamentaux de K-espaces vectoriels utils pour la suite de ce chapitre. Exemple 38 (Le R-espace vectoriel standard R 2 ). Sur le produit cartésien R 2 = R R on définit une loi interne additive par l expression (a,b),(x,y) R 2, (a,b)+(x,y) = (a+x,b+y) Il est facile de vérifier que (R 2,+) est un groupe commutatif dont l élément neutre est le couple nul 0 = (0,0). De même, on définit sur R 2 une multiplication externe par scalaires réels par : ( λ R)( (a,b) R 2 ), λ (a,b) = (λa,λb) On vérifie rapidement que la multiplication externe, : R R 2 R 2, satisfait à toutes les règles du calcul vectoriel a), b), c) et d) de la définion 1. Donc, (R 2,+, ) est un R-espace vectoriel.

97 Généralités sur les espaces vectoriels 91 Notons que l opposé de tout vecteur v = (x,y) élément de R 2 est égal au vecteur v = (x,y) = ( x, y) Notons aussi que si on pose ı = (1,0) et j = (0,1) alors, grâce aux règles du calcul vectoriel dans R 2, on déduit que tout vecteur v = (x,y) R 2 s écrit comme combinaison linéaire des scalaires x et y et des deux vecteurs ı et j : v = (x,0)+(0,y) = x ı +y j La paire des vecteurs { ı, j } s appelle base canonique de l espace vectoriel R 2. En pratique, on représente un vecteur v = (x,y) R 2 par une flèche plane d origine le vecteur nul 0 = (0,0) et d extrémité le point (x,y) comme il est indiqué sur la figure suivante. y j v 0 ı x Figure 5.1 Représentation d un vecteur de R 2 La somme de deux vecteurs v et w éléments de l espace vectoriel R 2 peut être déduite à partir de la règle du parallélogramme décrite dans la figure suivante : v + w w v 0 Figure 5.2 La somme de deux vecteurs de R 2 Notons aussi que la multiplication externe d un vecteur v R 2 par un scalaire λ R est le vecteur λ v qui s obtient en dilatant la longueur de la flèche v par le réel λ comme il est indiqué sur la figure suivante : µx µ v λy y 0 µy v λ v x λx Figure 5.3 Multiplication externe d un vecteur par λ > 1 et 1 < µ < 0.

98 92 Espaces vectoriels sur un corps commutatif : R ou C Exemple 39 (Le R-espace vectoriel standard R n ). De la même façon que pour le cas de R 2, étant donné un entier n 1 on définit la somme de deux n-uplets (a 1,,a n ) et (x 1,,x n ) R n par : (a 1,,a n )+(x 1,,x n ) = (a 1 +x 1,,a n +x n ) On définit aussi la multiplication externe d un scalaire réel λ par un n-uplet (a 1,,a n ) élément de R n par : λ (a 1,,a n ) = (λa 1,,λa n ) Il est clair que (R n,+, ) est un R-espace vectoriel réel dont le vecteur nul est le n-uplet 0 = (0,,0) R n et que l opposé de v = (a } {{ } 1,,a n ) est égal à v = ( a 1,, a n ). n fois Au moyen de la famille des vecteurs { e 1,, e n } R n définis par les n-uplets suivants e 1 = (1,0,,0), e 2 = (0,1,0,,0),, e n = (0,,0,1) on pourra exprimer tout vecteur v = (x 1,,x n ) R n comme combinaison linéaire de type : v = x1 e 1 + +x n e n La famille de vecteurs { e 1,, e n } s appelle base canonique de l espace vectoriel réel R n. Lorsque n = 3 la base canonique de l espace vectoriel réel R 3 se note ı = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1) z v + w w v x y Figure 5.4 La somme de deux vecteurs de R 3 Exemple 40 (Le K-espace vectoriel standard K n ). Plus généralement, étant donné un corps commutatif K et un entier n 1 en posant pour tous (a 1,,a n ) et (x 1,,x n ) K n, (a 1,,a n )+(x 1,,x n ) = (a 1 +x 1,,a n +x n ) et pour tous λ K et (a 1,,a n ) K n, λ (a 1,,a n ) = (λa 1,,λa n )

99 Généralités sur les espaces vectoriels 93 on obtient un K-espace vectoriel (K n,+, ). La famille des vecteurs suivants éléments du K-espace vectoriel K n, e 1 = (1,0,,0), e 2 = (0,1,0,,0),, e n = (0,,0,1) constitue une base canonique car elle permet d exprimer tout vecteur v = (x 1,,x n ) élément de K n comme une combinaison linéaire de la forme : v = x1 e 1 + +x n e n La proposition suivante généralise le résultat de l exemple précédent. Proposition 34. Soient n 2 un entier et {E 1,,E n } une famille de K-espaces vectoriels. Sur le produit cartésient E = E 1 E n on a une structure de K-espaces vectoriels donnée par les deux lois de compositions interne et externe données respectivement par : ( a 1,, a n ),( x 1,, x n ) E, ( a 1,, a n )+( x 1,, x n ) = ( a 1 + x 1,, a n + x n ) et ( λ K)( ( a 1,, a n ) E), λ ( a 1,, a n ) = (λ a 1,,λ a n ) La proposition suivante est très importante car elle va nous permettre de tirer des exemples d espaces vectoriels naturels, sa preuve est très simple; elle est laissée au soin de l étudiant comme exercice. Proposition 35 (Restriction des scalaires). Si K K est un sous-corps alors tout K-espace vecoriel est aussi un K -espace vectoriel. En particulier, tout C-espace vectoriel est un R-espace vectoriel. Exemple 41. Puisque un coprs commutatif K est un K-espace vectoriel la proposition 2 implique donc que si K K est sous-corps alors K est un K -espace vectoriel. Ainsi, par exemple, le corps des nombres complexes C est un R-espace vectoriel, et plus généralement, pour tout entier n 1 le C-espace vectoriel C n est aussi un R-espace vectoriel. Exemple 42. Rappelons qu au chapitre 3 nous avons vu que pour tout corps commutatif K l ensemble des fractions rationnelles à une seule indéterminée, K(X), est un corps commutatif qui contient K comme un sous-corps. Donc, d après la proposition 2, K(X) est un K-espace vectoriel. Dans le prochain exemple, nous allons munir les ensembles d applications vectorielles par la structure d espaces vectoriels, ceci va enrichir notre liste des exemples d espaces vectoriels abstraits mais qui sont très importants sur le plan pratique. Exemple 43 (Le K-espace vectoriel des applications). Soit X un ensemble non vide, et soit E un K-espace vectoriel. On désigne par F(X,E) l ensemble de toutes les applications définies sur X et à valeur dans l espace vectoriel E i.e. : f F(X,E) f : X E x f(x)

100 94 Espaces vectoriels sur un corps commutatif : R ou C Sur l ensemble des appliactions vectorielles F(X, E) on définit deux lois de compositions en posant : Addition ( f,g F(X,E))( x X),(f +g)(x) = f(x)+g(x); Multiplication ( f F(X,E))( k K)( x X),(k f)(x) = k f(x). Le triplet, (F(X,E),+, ) est un K-espace vectoriel dont le vecteur nul est représenté par l application nulle, 0 X,E : X E, définie pour tout x X par : 0 X,E (x) = 0 E. L espace vectoriel des applications définies sur X dans E nous fournira plusieurs familles d exemples d espaces vectoriels. 1) Observons que si l ensemble X = {1,2,,n} alors grâce à la correspondance bijective f F(X,E) (f(1),f(2),,f(n)) E n on voit que le K-espace vectoriel (F(X,E),+, ) peut être identifié avec le K-espace vectoriel produit (E n,+, ). 2) Supposons que X = N. Dans ce cas, l ensemble des applications F(N,E) peut être interprété comme étant l ensemble des suites vectorielles de l espace vectoriel E. En effet, si l application v : N E est un élément de E alors en posant pour tout entier n N, v(n) = v n on obtient ainsi une suite de vecteurs { v n ;n N} E. Sur l ensemble F(N, E) nous avons la structure d espace vectoriel définie par les deux lois de compositions suivantes : { v n ;n N}+{ w n ;n N} = { v n + w n ;n N}. λ { v n ;n N} = {λ v n ;n N}. En particulier, si l espace vectoriel E = C on déduit que l ensemble des suites numériques complexes F(N,C) est un C-espace vectoriel. De même, si l espace vectoriel E = R on déduit que l ensemble des suites numériques réelles F(N, R) est un R-espace vectoriel. 3) Supposons que l ensemble X = R 3 \{(0,0,0)} et que l espace vectoriel E = R 3 muni de sa base canonique { ı, j, k }. Dans ces conditions, sur l ensemble des applications vectorielles réelles F(R 3 \{(0,0,0)},R 3 ) on a une structure d espaces vectoriels réels dont les éléments E F(R 3 \{(0,0,0)},R 3 ) s écrivent sous la forme suivante M X, E(M) = E1 (M) ı +E 2 (M) j +E 3 (M) k où M = (x,y,z) (0,0,0) et où les E 1, E 2 et E 3 : R 3 \{(0,0,0)} R sont des fonctions. L espace vectoriel réel F(R 3 \{(0,0,0)},R 3 ) peut être interprété comme l ensemble des champs de vecteurs définis sur le domaine X = R 3 \ {(0,0,0)}. Par exemple, si pour tout point M = (x,y,z) R 3 \{(0,0,0)} on pose E(M) = 1 (x 2 +y 2 +z 2 ) 3/2(x ı +y j +z k ) on obtient un champ de vecteurs E appartenant à l espace vectoriel réel F(R 3 \{(0,0,0)},R 3 ) dont l expression ressemble à celle d un champ éléctrique crée par une charge éléctrostatique placée au point (0,0,0).

101 Généralités sur les espaces vectoriels 95 Exercice 111. Vérifier que les ensembles suivants sont des espaces vectoriels réels relativement à une addition interne et une multiplication externe qu on définira : p=n 1) E 1 = {f(x) = (a p cos(px)+b b sin(px)) x R} où n est un entier fixé. p=0 2) E 2 = {f : [a,b] R f (2) +af +bf = 0} où a et b R et f désigne une fonction deux fois dérivable. 3) E 3 désigne l ensemble des suites réelles (u n ) n R dont le terme général vérifie la relation récurrente : u n+r +a r u n+r + +a 1 u n+1 +a 0 u n = 0 avec les a k R et r N sont fixés. 4) E 4 = {(x y,2x+5y,x+2y) R 3 x,y R} Le K-espace vectoriel des matrices Définition 41. On appelle matrice de type (m,n) à coefficients dans le corps commutatif K la donnée d un tableau à m 1 lignes et à n 1 colonnes noté A = n 1 a 11 a 12 a 1n 2 a 21 a 22 a 2n.... ou a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... ou A = (a ij ) 1 i m 1 j n m a m1 a m2 a mn a m1 a m2 a mn Lorsque l entier m = n on dira que A = (a ij ) 1 i n 1 j n est une matrice carrée d ordre n. Dans la suite, l ensemble de toutes les matrices de type (m,n) à coefficients dans le corps K sera noté M m,n (K). Si l entier m = n on désignera l ensemble des matrices carrées d odre n par M(n,K). Sur l ensemble des matrices M m,n (K) on définit une loi de composition interne additive par l expresion suivante : ( (a ij ) 1 i m,(b ij ) 1 i m 1 j n 1 j n M m,n (K)), (a ij ) 1 i m 1 j n +(b ij ) 1 i m 1 j n qui se traduit au niveau des tableaux par l expression suivante : a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1n a 21 a 22 a 2n... + b 21 b 22 b 2n... = (a ij +b ij ) 1 i m 1 j n = a m1 a m2 a mn b m1 b m2 b mn a 11 +b 11 a 12 +b 12 a 1n +b 1n a 21 +b 21 a 22 +b 22 a 2n +b 2n... a m1 +b m1 a m2 +b m2 a mn +b mn

102 96 Espaces vectoriels sur un corps commutatif : R ou C La multiplication externe d un scalaire λ K par une matrice (a ij ) 1 i m 1 j n définie par l expression λ (a ij ) 1 i m ) = (λa ij ) 1 i m 1 j n 1 j n qui s exprime en fonction des tableaux par a 11 a 12 a 1n λa 11 λa 12 λa 1n a λ 21 a 22 a 2n... = λa 21 λa 22 λa 2n... M m,n (K) est a m1 a m2 a mn λa m1 λa m2 λa mn Proposition 36. Le triplet (M m,n (K),+, ) est un K-espace vectoriel dans lequel le vecteur nul 0 m,n est représenté par la matrice dont les coefficients sont tous nuls i.e. : mn = Pour tout couple d indices 1 i m et 1 j n on définit une matrice élémentaire de type (m,n) par le tableau suivant : E i,j = j i où l élément neutre 1 K est palcé sur l intersection de la i-ième ligne aves la j-ième colonne du tableau E i,j. La famille des matrices élémentaires {E i,j ;1 i m, 1 j n} s appelle base canonique du K-espace vectoriel (M m,n (K),+, ) car elle nous permet d écrire toute matrice A = (a ij ) élément de M m,n (K) de façon unique comme une combinaison linéaire de la forme suivante A = a ij E i,j 1 i m 1 j n ( ) Par exemple, toute matrice carrée A = a b c d s écrit sous la forme ( ) ( ) ( ) ( ) A = = a a 0 0 b c 0 0 d ( ) ( ) ( ) ( ) b +c +d = a E 1,1 +b E 1,2 +c E 2,1 +d E 2,2.

103 Sous-espaces vectoriels 97 Lorsque m = 1 les éléments de l ensemble M 1,n (K) sont les matrices à une seule ligne, et lorsque n = 1 les élément de l ensemble M m,1 (K) sont les matrices à une seule colonne i.e. : (a 1,,a n ) M 1,n (K) et a 1. a n M m,1(k) Dans la suite de ce chapitre, parfois on apppellera une matrice de type (a 1,,a n ) vecteur ligne et on appellera une matrice de type a 1. a n vecteur colonne. Ajoutons aussi que dans la suite on va identifier les deux K-espaces vectoriels des matrices M 1,n (K) et M 1,n (K) avec le K-espace vectoriel standard K n. Plus généralement, si on écrit toutes les lignes d une matrice (a ij ) 1 i m en les juxtaposant 1 j n ligne par ligne sur une seule ligne horizontale on pourra identifier le K-espace vectoriel des matrices M m,n (K) avec le K-espace vectoriel K mn. Ainsi, si par exemple m = n = 2 on voit que la correspondance suivante est bijective ( ) a b M 2 (K) (a,b,c,d) K 4 c d De même, si m = 3 et n = 4 on voit que la correspondance suivante est bijective a 1 b 1 c 1 d 1 a 2 b 2 c 2 d 2 M 3,4 (K) (a 1,b 1,c 1,d 1,a 2,b 2,c 2,d 2,a 3,b 3,c 3,d 3 ) K 12 a 3 b 3 c 3 d 3 Exercice 112. Montrer que les sous-ensembles matriciels suivants sont des espaces vectoriels réels : ( ) 2x y 1) M 1 = { M 2 (R) x,y R}. y 3x ( ) x y x+z 2) M 2 = { M 2,3 (R) x,y,z R}. z y 3x x x y y z z x 3) M 3 = { y z z x x y M 3 (R) x,y,z R}. z x x y y z x y y z 4) M 4 = { y y z x M 3 (R) x,y,z R}. z x z x 5.2 Sous-espaces vectoriels Définitions et propriétés Définition 42. Soit (E,+, ) un K-espace vectoriel. Si la restriction de l addition + et de la multiplication externe sur un sous-ensemble non vide F E induit la structure de K-espaces

104 98 Espaces vectoriels sur un corps commutatif : R ou C vectoriels (F,+, ) on dira que F est un K-sous espace vectoriel de E. Proposition 37. Soit (E, +, ) un K-espace vectoriel. Pour qu un sous-ensemble non vide F E soit un K-sous espace vectoriel de E il faut et il suffit que pour tous x et y F et pour tous α et β K la combinaison linéaire α x +β y F. Démonstration. Il est clair que si F E est un sous-espace vectoriel il en résulte que pour tous les scalaires α et β K et pour tous les vecteurs x et y F on a α x +β y F. Inversement, supposons que F est stable par les combinaisons linéaires de type, α x + β y, où α et β K et où x et y F. Notons que F n est pas vide, donc il contient au moins un vecteur x 0 F. Ainsi, puisque la combinaison linéaire 1 x 0 +( 1) x 0 F on en déduit que le vecteur nul 0 F. De même, puisque pour tout x F on a, ( 1) x +1 0 = x F, on conclut que le couple (F,+) est un sous-groupe commutatif de E. D autre part, puisque pour tous α K et x F on a α x = α x F on en déduit que la multiplication externe K F F est bien définie, et comme elle vérifie toutes les règles du calcul vectoriel (cf. def. 1) cela implique que le triplet (F,+, ) est un K-espace vectoriel. Par conséquent, F est un K-sous espace vectoriel de E. Exemple 44. 1) Pour tout K-espace vectoriel E le singlotent F = { 0 } et E sont des K-sous espaces vectoriels de E dits trivaux. 2) Considérons le sous-ensemble H = {(x,y,0) R 3 x,y R}. z H x y Figure 5.5 R 2 identifié avec le sous-espace vectoriel H de R 3 H est stable par l addition des vecteurs car on a : ( (x,y,0) H)( (a,b,0) H), (x,y,0)+(a,b,0) = (x+a,y +b,0) H et il est aussi stable par la multiplication externe des scalaires réels ( λ R)( (x,y,0) H), λ(x,y,0) = (λx,λy,0) H on obtient donc un sous-espace vectoriel réel (H,+, ) de l espace vectoriel réel R 3 que l on peut identifier avec l espace vectoriel réel R 2 moyannant la bijection naturelle (canonique) (x,y) R 2 (x,y,0) H

105 Sous-espaces vectoriels 99 3) Soient 1 m n des entiers. Dans le K-espace vectoriel K n considérons le sous-ensemble K n m = {(x 1,,x m,0,,0) K n (x 1,,x m ) K m } Il est facile de vérifier que K n m est stable par l addition des vecteurs de Kn et qu il est aussi stable par la multiplication externe par les scalaires du corps K. Le triplet (K n m,+, ) est en effet un K-sous espace vectoriel de K n que l on peut identifier avec K m via la correspondance bijective canonique suivante : (x 1,,x m ) K m (x 1,,x m,0,,0) K n m Dans la suite, pour tout corps commutatif K et pour tout couples d entiers 1 m n le produit cartésien K m sera identifié avec le K-sous espace vectoriel de l espace vectoriel K n moyannant la bijection canonique précédente. Exemple 45 (L espace vectoriel des polynômes). 1) Rappelons que pour tout corps commutatif K le corps des fractions rationnelles K(X) est un K-espace vectoriel. Donc, comme l anneau des polynômes K[X] est un sous-groupe de (K(X),+) et puisque pour tout scalaire α K et pour tout polynôme P K[X] le produit α P K[X] on déduit que (K[X],+, ) est un K-sous espace vectoriel de K(X). 2) Pour tout entier n 0 on désigne par K n [X] le sous-ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n i.e. : K n [X] = {P K[X] P(X) = a 0 +a 1 X+ +a n X n } Puisque pour tout couple de polynômes éléments de K n [X], P(X) = a 0 +a 1 X+ +a n X n et Q(X) = b 0 +b 1 X+ +b n X n K n [X] on a la somme polynômiale (P+Q)(X) = (a 0 +b 0 )+(a 1 +b 1 )X+ +(a n +b n )X n = P+Q K n [X] on en déduit que le couple (K n [X],+) est un sous-groupe du groupe commutatif (K[X],+). De même, puisque pour tout λ K et pour tout polynôme P(X) = a 0 +a 1 X+ +a n X n la multiplication exterme (λ P)(X) = (λa 0 )+(λa 1 )X+ +(λa n )X n = λ P K n [X] on conclut que K n [X] est un K-sous espace vectoriel de l espace vectoriel K[X]. Le sous-espace vectoriel K n [X] peut être identifié avec K n+1 moyennant la correspondance bijective suivante a 0 +a 1 X+ +a n X n K n [X] (a 0,a 1,,a n ) K n+1 Pour tout entier n 0 la famille des monômes {1,X,,X n } s appelle base canonique du K-espace vectoriel K n [X] des polynômes de degré au plus égal à n car tout polynôme de degré deg(p) n s écrit comme combinaison linéaire naturelle des monômes 1,X,,X n.

106 100 Espaces vectoriels sur un corps commutatif : R ou C Opérations sur les sous-espaces vectoriels L intersection de deux sous-espaces vectoriels Proposition 38. Soit E un K-espace vectoriel. Si F 1 et F 2 E sont deux K-sous espaces vectoriels alors l intersection F 1 F 2 est un K-sous espace vectoriel de E. Démonstration. D abord, l intersction F 1 F 2 E n est pas vide car elle contient le vecteur nul 0 E. D autre part, considérons deux vecteurs v et w F 1 F 2, donc pour i = 1 ou 2 on a v et w F i. Ainsi, puisque F i est un K-sous espace vectoriel de E il s ensuit que pour tous les scalaires x et y K la combinaison linéaire x v + y w F i, et donc x v +y w F 1 F 2. Par conséquent, F 1 F 2 est un K-sous espace vectoriel de E. La proposition suivante nous montre que l intersection généralisée d une famille quelconque de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel. Proposition 39. Soient E un K-espace vectoriel et I un ensemble d indces non vide. Pour toue famille {F i ;i I} de K-sous espaces vectoriels de E l intersection généralisée, i, i IF est un K-sous espace vectoriel de E. Exercice 113. Soit E un K-espace vectoriel. Si F 1 et F 2 E sont des K-sous espaces vectoriels montrer que la réunion F 1 F 2 est un K-sous espace vectoriel de E si et seulement, si F 1 F 2 ou bien F 2 F La somme de deux sous-espaces vectoriels Définition 43. Soit E un K-espace vectoriel. La somme vectorielle de deux K-sous espces vectoriels F et H E est égale au sous-ensemble F+H = {x+y x F et y H} Quand, l intersection F H = { 0} on dira que la somme vectorielle F+H est dirècte et on pose F H = F+H. Proposition 40. Soient F 1 et F 2 E deux K-sous espaces vectoriels. Alors, la somme vectorielle F 1 +F 2 est un K-sous espace vectoriel E. Démonstration. D abord, la somme vectorielle F 1 + F 2 n est pas vide car elle contient le vecteur nul 0 = D autre part, notons que si on choisit a F 1 +F 2 et b F 1 +F 2 il existe des vecteurs x 1 et x 2 F 1 et y 1 et y 2 F 2 tels que a = x 1 +y 1 et b = x 2 +y 2. Donc, si on prend des scalaires λ et µ K on obtient la combinaison linéaire λa+µb = λ(x 1 +y 1 )+µ(x 2 +y 2 ) = (λx 1 +λy 1 )+(µx 2 +µy 2 ) = (λx 1 +µx 2 )+(λy 1 +µy 2 ) Ainsi, comme chacune des combinaisons linéaires λx 1 + µx 2 F 1 et λy 1 + µy 2 F 2 on en déduit que la somme vectorielle F 1 +F 2 est un K-sous espace vectoriel de E.

107 Sous-espaces vectoriels 101 Exemple 46. Rappelons que dans l exemple 7), nous avons démontré que le sous-ensemble H = {(x,y,0) x,y R} est un sous-espace vectoriel réel de R 3. Il est facile de vérifier que le sous-ensemble F = {(z,z,z) R 3 z R} est un sous-espace vectoriel réel de R 3. Donc, la somme vectorielle H+F est un sous-espace vectoriel de R 3. Inversement, considérons un vecteur (a,b,c) R 3 et cherchons deux vecteurs (x,y,0) H et (z,z,z) F qui réalisent la somme vectorielle suivante : a = x+z (a,b,c) = (x,y,0)+(z,z,z) b = y +z c = z = x = a c y = b c z = c Ainsi, si on pose v 1 = (a c,b c,0) H et v 2 = (c,c,c) F on déduit que le vecteur (a,b,c) = v 1 + v 2 H+F ce qui implique que l espace vectoriel réel R 3 H+F. D où, R 3 = H+F. En effet, puisque H H = {(0,0,0)} on a une somme vectorielle F H = R 3. z F H x y Figure 5.6 R 3 identifié à la somme vectorielle H+F Exemple 47. Rappelons que d après l exemple 3), l ensemble des fonctions réelles F(R, R) est un espace vectoriel réel. Ici, on désigne par F p (R,R) le sous-ensemble des fonctions paires et par F i (R,R) le sous-ensemble des fonctions impaires i.e. : f F p (R,R) x R, f( x) = f(x) et que f F i (R,R) x R, f( x) = f(x) Les sous-ensembles F p (R,R) et F i (R,R) ne sont pas vides car ils contiennent la fonction nulle 0(x) = 0, x R. De même, notons que si on prend les deux paires de fonctions f 1,f 2 F p (R,R) et g 1,g 2 F i (R,R) on voit que pour tous les réels α, β et x R on a (αf 1 +βf 2 )( x) = αf 1 ( x)+βf 2 ( x) = αf 1 (x)+βf 2 (x) = αf 1 +βf 2 F p (R,R) et que (αg 1 +βg 2 )( x) = αg 1 ( x)+βg 2 ( x) = αg 1 (x) βg 2 (x) = αg 1 +βg 2 F i (R,R)

108 102 Espaces vectoriels sur un corps commutatif : R ou C Donc, F p (R,R) et F i (R,R) sont des sous-espaces vectoriels réels de F(R,R). Observons que si pour tout f F(R,R) et pour tout x R on pose f p (x) = 1 2 (f(x)+f( x)) et f i(x) = 1 2 (f(x) f( x)) on obtient deux fonctions réelles telles que f i F i (R,R) et f p F p (R,R). Ainsi, comme f i +f p = f et l intersection F p (R,R) F i (R,R) = {0} on déduit que F(R,R) = F p (R,R) F i (R,R) Engendrement des sous-espaces vectoriels Proposition 41. Soit E un K-espace vectoriel et S = { v 1,, v n } E une famille de vecteurs. Alors, le sous-ensemble des combinaisons linéaires Vect(S) = {α 1 v 1 + +α n v n E α 1,,α n K} est un K-sous espace vectoriel de E. Démonstration. Notons d abord que le sous-ensemble Vect(S) est non vide car S Vect(S). Considéronsdeux vecteursx Vect(S) et y Vect(S), il existe doncdeuxfamilles descalaires {α 1,,α n } et {β 1,,β n } K telles que x = α 1 v 1 + +α n v n et y = β 1 v 1 + +β n v n Ainsi, si on prend un couple de scalaires α et β K on obtient la combinaison linéaire α x+β y = α (α 1 v 1 + +α n v n )+β (β 1 v 1 + +β n v n ) = (αα 1 ) v 1 + +(αα n ) v n +(ββ 1 ) v 1 + +(ββ n ) v n = (αα 1 +ββ 1 ) v 1 + +(αα n +ββ n ) v n Par conséquent, comme le vecteur α x + β y Vect(S) la proposition 4 implique que le sous-ensemble Vect(S) est un K-sous espace vectoriel de E. Définition 44. Soit E un K-espace vectoriel et S = { v 1,, v n } E une famille de vecteurs. 1. On dira qu un K-sous espace vectoriel F E est engendré par la famille de vecteurs S si on a F = {α 1 v 1 + +α n v n E α 1,,α n K} = Vect(S) On dira aussi que S est une famille génératrice de F. 2. Si un K-sous espace vectoriel F E est engendré par une famille finie de ses vecteurs on dira qu il est de dimension finie; sinon on dira qu il est de dimension infinie. 3. Si la famile S = { v } le K-sous espace Vect(S) s appelle droite vectorielle de E et on le note K v = Vect(S).

109 Sous-espaces vectoriels 103 Le résultat de la proposition 8 reste valable pour les familles quelconques de vecteurs d un K-espace vectoriel E. La généralisation s énonce comme suit : Proposition 42. Soit E un K-espace vectoriel. Soient I un ensemble d indices non vide et S = { v i E i I} une famille de vecteurs. Si on désigne par S f l ensemble de toutes les parties finies de l ensemble S alors la réunion généralisée Vect(S) = Vect(S ) S S f est un K-sous espace vectoriel de E dit engendré par la famille S. Il est clair qu avec les notations de la proposition 9 on voit qu un vecteur v E appartient au sous-espace vectoriel Vect(S) si et seulement, s il existe une famille finie de vecteurs S = { v i1,, v in } S et une famille de scalaires {α i1,,α in } K tels que v = αi1 v i1 + +α in v in Vect(S ) Vect(S) Corollaire 22. Soit E un K-espace vectoriel. Pour tout couple de K-sous espaces vectoriels F et H E la somme vectorielle F+H = Vect(F H) Démonstration. Notons que puisque pour tous x F 1 et y F 2 on a 1 x 1 +1 x 2 = x 1 +x 2 F 1 +F 2 on en déduit que la somme vectorielle F 1 +F 2 Vect(F 1 F 2 ). Inversement, observons que puisque pour tous x F 1 et y F 2 on a les expressions suivantes x = x+ 0 F 1 +F 2 et y = 0 +y F 1 +F 2 on en déduit que F 1 F 2 F 1 +F 2, donc le K-sous espace vectoriel Vect(F 1 F 2 ) F 1 +F 2. Par conséquent, on a Vect(F 1 F 2 ) = F 1 +F 2. Corollaire 23. Pour tout couple de familles de vecteurs S 1 et S 2 E on a la somme vectorielle Vect(S 1 )+Vect(S 2 ) = Vect(S 1 S 2 ) En conséquence, si une famille finie S = { v 1,, v n } E alors le K-sous espace vectoriel engendré par S dans E est égal à la somme vectorielle Vect( v 1,, v n ) = K v 1 + +K v n Proposition 43. Soient E un K-espace vectoriel et S E une famille de vecteurs non vide. Alors, les propositions suivantes sont vraies : 1. Si un K-sous espace vectoriel V E contient la famille S alors Vect(S) V.

110 104 Espaces vectoriels sur un corps commutatif : R ou C 2. Vect(S) E est le plus petit K-sous espace vectoriel de E qui contient la famille S. C est-à-dire, si V E est un K-sous espace vectoriel tel que S V Vect(S) alors V = Vect(S). En conséquence, si V(S) désigne la famille de tous les K-sous espaces vectoriels qui contiennent la famille S alors le K-sous espace vectoriel engendré par S, Vect(S) = V V V(S) Démonstration. 1) Si un K-sous espace vectoriel V contient la famille S il contient toutes les combinaisons linéaires des éléments de S. Donc, le K-sous espace vectoriel Vect(S) engendré par S est contenu dans V. 2) Notons aussi que si pour un K-sous espace vectoriel V on a S V Vect(S) il en résulte que Vect(S) V, et donc Vect(S) = V. Exemple 48. Pour tout entier n 1 le K-espace vectoriel K n est de dimension finie car il est engendré par sa base canonique finie { e 1,, e n } qui est finie. Exemple 49. Dans l espace vectoriel réel R 2 considérons les deux vecteurs v 1 = (1,1) et v 2 = ( 1,1) v 2 j v 1 0 ı Figure 5.7 Représentation d un vecteur de R 2 Notons que, par définition, un vecteur w = (a,b) R 2 appartient au sous-espace vectoriel réel Vect( v 1, v 2 ) si et seulement s il existe deux réels x et y R tels que w = x v 1 +y v 2 (a,b) = (x y,x+y) x = 1 2 (a+b) et y = 1 2 (a b) Ainsi, puisque tout vecteur w = (a,b) R 2 s écrit comme une combinaison linéaire de type, w = 1 2 (a+b) v (a b) v 2 on conclut que le sous-espace vectoriel réel Vect( v 1, v 2 ) = R 2, et que par conséquent la famille de vecteurs { v 1, v 2 } est une famille génératrice de R 2. Notons que les vecteurs de la base canonique du plan R 2 s éxpriment dans la famille génératrice { v 1, v 2 } par : 1 ı = v v 2, 2 1 j = v v 2 2

111 Sous-espaces vectoriels 105 Exemple 50. Considérons le sous-ensemble F = {(x,y,z) R 3 x y z = 0}. i) Vérifions que F est un sous-espace vectoriel réel de R 3. Le sous-ensemble F est non vide, car il contient le vecteur nul 0 = (0,0,0). De plus, observons que si on considère un couple de vecteurs v = (x,y,z) et w = (a,b,c) éléments de F alors pour tout couple de scalaires réels α et β R on obtient la combinaison linéaire α v +β w = (αx+βa,αy +βb,αz +βc) Ainsi, puisque x y z = 0 et a b c = 0 on déduit qu on a la relation (αx+βa) (αy +βb) (αz +βc) = α(x y z)+β(a b c) = 0 qui implique que la combinaison linéaire α v + β w F. Donc, F est un sous-espace vectoriel réel de R 3. ii) Construisons une famille de vecteurs de R 3 qui engendrent le sous-espace vectoriel réel F. Soit v = (x,y,z) F. Notons que puisque x = y +z on peut écrire v = (y +z,y,z) = (y,y,0)+(z,0,z) v = y (1,1,0) +z(1,0,1) Ainsi, grâce à cette combinaison linéaire, on déduit que le sous-espace vectoriel F R 3 est engendré par les deux vecteurs v 1 = (1,1,0) et v 2 = (1,0,1). z F v 2 x v 1 y Figure 5.8 Le sous-espace vectoriel F R 3 muni de sa famille génératrice. L exercice suivant généralise l exemple précédent. Exercice 114. Soit K un corps commutatif. Dans le K-espace vectoriel K n on fixe un vecteur non nul a = (a 1,,a n ) et on lui associe le sous-ensemble V a = {(x 1,,x n ) K n a 1 x 1 + a n x n = 0} 1) Démontrer que V a est un K-sous espace vectoriel de K n. 2) On suppose a n 0. Trouver une famille de vecteurs de V a qui l engendre. Exemple 51. Considérons les deux sous-espaces vectoriels réels F et H R 3 définis par F = {(x,y,z) R 3 x y z = 0} et H = {(x,y,z) R 3 x+y z = 0}

112 106 Espaces vectoriels sur un corps commutatif : R ou C Il est clair que le vecteur (x,y,z) R 3 appartient à l intersection F H si et seulement, si ses composantes sont solution du système d équations suivants : { { x y z = 0 x = z x+y z = 0 y = 0 D autre part, notons que puisque l intersection F H = {(x,y,z) R 3 x = z et y = 0} on déduit que tout vecteur (x,y,z) F H s écrit sous la forme (x,y,z) = (x,0,x) = x(1,0,1) Donc, le vecteur v = (1,0,1) engendre l intersection F H = R v. z H F F H x y Figure 5.9 La droite vectorielle F H R 3. Exemple 52. Soit K n [X] le K-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n 0. Notons que puisque tout polynôme P K n [X] s écrit sous la forme P(X) = a 0 +a 1 X+ +a n X n on déduit que la famille des monômes {1,X,,X n } engendre le K-espace vectoriel K n [X]. Donc, K n [X] est de dimension finie. Exemple 53. Le K-espace vectoriel de tous les polynômes K[X] est de dimension infinie. Cette affirmation se démontre par l absurde. Supposons qu il existe une famille finie de polynômes S = {P 1,P 2,,P m } qui engendre le K-espace vectoriel polynômes K[X] i.e. : K[X] = Vect(S) et que les éléments de la famille S sont ordonnés en fonction de leur degrés respectifs deg(p 1 ) = n 1 < deg(p 2 ) = n 2 < < deg(p m ) = n m Ainsi, sous cette condition, on déduit que la famille S = {P 1,,P m } K nm [X] et que par la suite le K-sous espace vectoriel engendré Vect(S) K nm [X]. Ainsi, puisque cette inclusion induit l égalité contradictoire, K[X] = K nm [X], on conclut qu en fait le K-espace vectoriel des polynômes K[X] est de dimension infinie.

113 Sous-espaces vectoriels 107 Exercice 115. Dans R 4 on considère les deux sous-ensembles F = {(x,y,z,t) R 4 x+y +z t = 0} et H = {(x, x, x,x) R 4 x R} 1) Vérifier que F et H sont des sous-espaces vectorels réels de R 4. 2) Trouver une famille génératrice pour F et pour H. 3) Montrer que pour tout v R 4 il existe un unique λ R tel que v λ(1, 1, 1,1) F. 4) En déduire que la somme vectorielle F+H = R 4. 5) Décomposer les vecteurs e 1 = (1,0,0,0), e 2 = (0,1,0,0), e 3 = (0,0,0,1) et e 4 = (0,0,0,1) suivant la somme vectorielle F+H. Exercice 116. Trouver une famille génératrice pour chacun des sous-espaces vectoriels matriciels suivants ( : ) 2x y 1) M 1 = { M 2 (R) x,y R}. y 3x ( ) x y x+z 2) M 2 = { M 2,3 (R) x,y,z R}. z y 3x x x y y z z x 3) M 3 = { y z z x x y M 3 (R) x,y,z R}. z x x y y z x y y z 4) M 4 = { y y z x M 3 (R) x,y,z R}. z x z x Exercice 117. Soient a b deux scalaires fixés dans un corps commutatif K. Dans le K- espace vectoriel des fractions rationnelles K(X) on considère le K-sous espace vectoriel E(a, b) engendré par les deux fractions simples : F a (X) = 1 X a et F b (X) = 1 X b 1) Étudier l appartenance des vecteurs suivants au sous-espace vecteorel E(a,b) : 1 (X a)(x b), 1 (X a) 2, X (X a)(x b), X 1 2) Démontrer qu une fraction rationnelle réduite F(X) = P(X) appartient au sous-espace Q(X) vectoriel E(a,b) si et seulement, si a ou b sont des racines de Q(X) et que le degré de P(X) est strictement inférieur à deux. Exercice 118. On rappelle qu une fraction rationnelle P K(X) est dite régulière si son Q degré : deg(p) deg(q) < 0. Montrer que le sous-ensemble des fractions rationnelles régulières, K r (X), est un K-sous espace vectoriel de K(X) tel que K[X]+K r (X) = K(X) et K r (X) K[X] = {0}

114 108 Espaces vectoriels sur un corps commutatif : R ou C Exercice 119. On désigne par E R[X] le sous-espace vectoriel réel des polynômes engendré par les trois polynômes ω 0 (X) = 1, ω 1 (X) = X, ω 2 (X) = X(X 1) 1) Démontrer que les vecteurs du sous-espace vectoriel réel E sont des polynômes de degré au plus égal à deux. 2) Soit P(X) = a 0 ω 0 (X)+a 1 ω 1 (X)+a 2 ω 2 (X) un polynôme élément de E. Démontrer que les coefficients du polynôme P(X) sont donnés par les expressions suivantes : a 0 = P(0) a 1 = P(1) P(0) a 2 = 1 2! [P(2) 2P(1)+P(0)] 3) Étant donné un trinôme, P(X) = b 0+b 1 X+b 2 X 2, trouver les réels a 0, a 1 et a 2 de tel sorte qu on ait P(X) = a 0 ω 0 (X)+a 1 ω 1 (X)+a 2 ω 2 (X). 4) En déduire que le sous-espace vectoriel E est égal au sous-espace vectoriel réel des polynômes de degré au plus égal à deux, R 2 [X]. Exercice 120. Dans l espace vectoriel réel des matrices carrées M(2, R) on considère les deux sous-ensembles suivants : ( ) ( ) x y 0 x S = { x,y,z R} et A = { x R} y z x 0 1) Vérifier que les sous-ensembles S et A sont des sous-espaces vectoriels réels de M(2, R). 2) Calculer l intersection S A. ( ) ( ) ( ) ) Vérifier que la famille des matrices {,, } engendre le sousespace vectoriel réel S tandis que le singleton { } engendre le sous-espace vectoriel ( ) réel A. ( ) a b 4) Soit A = M(2,R). Trouver les scalaires x, y, z et t R pour qu on ait c d l égalité ( ) ( ) ( ) ( ) A = x +y +z +t ) En déduire que la somme vectorielle S +A = M(2,R). 6) Décomposer les matrices suivantes dans la somme vectorielle S +A : ( ) ( ) ( ) ( A 1 =, A 2 =, A 3 =, A 4 = )

115 Chapitre Six Les systèmes lineaires Les systèmes linéaires constituent un sujet principal et un outil indesponsable pour l algèbre linéaire. La plus part des questions que nous allons rencontrer en algèbre linéaire se résolvent au moyen d un système linéaire comme par exemple : l appartenance d un vecteur à un sousespace vectoriel de dimension finie, la recherche d une base pour un sous-espace vectoriel donné, l indentification de la somme ou de l intersection de deux sous-espaces vectoriels,. Dans ce chapitre, pour résoudre les systèms linéaires nous avons choisi de travailler la méthode d élimination de Gauss comme méthode principale. Comme il sera prouvé dans suite, la méthode d élimination de Gauss possèdes plusieurs avantages : Elle est pratique et permet la résolution des systèmes linéaires possèdant un nombre fini de lignes et d inconus; Elle est de nature algorithmique, donc elle est structurée en un nombre fini d étapes élémentaires qui donnent par suite des solutions du système linéaire donné en un temps relativement court; Elle permet d identifier la structure algébrique (et géométrique) de l ensemble solution du système linéaire donné. 6.1 Généralités sur les systèmes d équations linéaires Définitions et exemples Définition 45. On appelle équation linéaire à n 1 inconnues x 1,, x n et à coefficients dans le corps commutatif K toute équation de la forme (E) a 1 x 1 + +a n x n = b où les coefficients a 1,, a n et b K. Lorsque le second membre b est nul on dira que l équation linéaire (E) est homogène. On appelle solution de l équation linéaire (E) tout n-uplet (α 1,,α n ) K n qui vérifie l expression a 1 α 1 + +a n α n = b. Il est clair que si n 2 et si les coefficients a 1,, a n ne sont pas tous nuls alors l ensemble de toutes les solutions de l équation (E) est infini. Mais, si on a a 1 = = a n = 0 et b 0

116 110 Les systèmes lineaires dans ce cas l ensemble des solutions de l équation (S) est vide. En géométrie analytique l ensemble solution de l équation linéaire ax + by = c s appelle droite affineder 2,celuideax+by+cz = ds appelleplan affineder 3 etceluidea 1 x 1 + +a n x n = b s appelle hyperplan affine de R n. Définition 46. On appelle système d équations linéaires à n 1 inconnues x 1,, x n et à m 1 lignes la donnée de m équations linéaires de type a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n = b 1 (S)... a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n = b m Les scalaires a ij K s appellent coefficients du système d équations linéaires (S) et le m-uplet (b 1,,b m ) K m est son second membre. Lorsque le second membre (b 1,,b m ) est nul on dira que le système linéaire (S) est homogène ou bien qu il est sans second membre. Le système linéaire homogène (S 0 ) obtenu en annulant le second membre du système linéaire (S) est dit associé au système linéaire (S) : a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n = 0 (S 0 )... a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n = 0 On appelle solution du sytème linéaire (S) tout n-uplet (x 0 1,,x0 n ) Kn dont les composantes vérifient les m expressions suivantes : a 11 x 0 1 +a 12x a 1nx 0 n = b 1... a m1 x 0 1 +a m2x + 2 +a mnx 0 n = b m Quand l ensemble solution du système linéaire (S) est non vide on dira que le système (S) est compatible, et sinon on dira qu il est incompatible. Il est clair que l ensemble solution d un système linéaire homogène à n inconnues est toujour non vide, car il contient au moins le vecteur nul de l espace vectoriel K n. En revanche, comme on va le prouver ci-dessous, l ensemble solution d un système linéaire non homogène peut être: 1) vide, 2) un singleton ou 3) infini Structure algébrique de l ensemble solution d un système linéaire Le cas d un système linéaire homogène Proposition 44. L ensemble solution d un système d équations linéaires homogènes (S) à n 1 inconnues et à m 1 lignes est un K-sous espace vectoriel de K n. a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n = 0 (S)... a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n = 0

117 Généralités sur les systèmes d équations linéaires 111 Démonstration. Il s agit donc de vérifier que le sous-ensemble S = {(x 1,,x n ) K n a i1 x 1 +a i2 x 2 + +a in x n = 0, 1 i m} est un K-sous espace vectoriel de K n. Le sous-ensemble S n est pas vide car il contient le vecteur nul 0 K n, de plus, puisque le système linéaires (S) est homogène on en déduit que si un vecteur v = (x 1,,x n ) S il s ensuit que pour tout scalaire λ K le vecteur λ v = (λx 1,,λx n ) S. De même, si les deux vecteurs v 1 = (x 1,,x n ) et v 2 = (y 1,,y n ) appartiennent à l ensemble solution S du système linéaires (S) on aura les deux systèmes suivants : a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n = 0 a 11 y 1 +a 12 y 2 + +a 1n y n = 0... et... a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n = 0 a m1 y 1 +a m2 y 2 + +a mn y n = 0 Ainsi, si on calcule la somme de leurs lignes horizontaux, ligne par ligne, on obtient le système suivant a 11 (x 1 +y 1 )+a 12 (x 2 +y 2 )+ +a 1n (x n +y n ) = 0. a m1 (x 1 +y 1 )+a m2 (x 2 +y 2 )+ +a mn (x n +y n ) = 0 dans lequel on voit que le n-uplet (x 1 +y 1,,x n +y n ) est solution du système linéaire (S). Autrement dit, le vecteur v 1 + v 2 S. Par conséquent, le sous-ensemble S de toutes les solutions du système d équations linéaires homogènes (S) est un K-sous espace vectoriel. Exemple 54. 1) Dans l espace vectoriel réel R 2, l ensemble solution de l équation linéaire homogène 2x 3y = 0 est une droite vectorielle réelle engendrée par le vecteur 3 ı +2 j i.e : F = {(x,y) R 2 2x 3y = 0} = R(3 ı +2 j ).. 2 j v 0 ı 3 Figure 6.1 La droite vectorielle F = R(3,2) En effet, puisque pour tout élément (x,y) F on a l équivalence y = 2 3 x (x,y) = x(1, 2 3 ) on déduit que F est engendré par le vecteur v = 3 ı + 2 j, et que par conséquent, toute solution de l équation linéaire homogène 2x 3y = 0 est de la forme λ(3 ı +2 j ) avec λ R un scalaire arbitraire.

118 112 Les systèmes lineaires 2) Dans l espace vectoriel réel R 3, l ensemble solution de l équation linéaire homogène, 2x+ y 3z = 0, défini un plan vectoriel P = {(x,y,z) R 3 2x+y 3z = 0}. z x v 1 v 2 y P = Vect( v 1, v 2 ) Figure 6.2 Le plan vectoriel P R 3 muni de sa famille génératrice. Notons que puisque le vecteur v = (x,y,z) P si et seulement si on a v = (x,3z 2x,z) = x(1, 2,0) +z(0,3,1) on déduit que si on pose v 1 = (1, 2,0) et v 2 = (0,3,1) on obtient une famille génératrice du plan vectoriel réel P = Vect( v 1, v 2 ). Par conséquent, toute solution v R 3 de l équation linéaire homogène 2x+y 3z = 0 s écrit comme une combinaison linéaire de la forme, λ v 1 +µ v 2 = (λ, 2λ+3µ,µ) avec λ et µ sont deux scalaires réels quelconques Espaces affines dans K n Dans ce paragraphe, on va introduire la notion géométrique d espaces affines sur un corps commutatif pour les utiliser afin de décrire la structure de l ensemble solution d un système linéaire non homogène qu on va étudier dans le prochain paragraphe. Définition 47. Soit A K n un sous-ensemble non vide. S il existe un K-espace vectoriel V et un point x 0 A tels que, A = V +{x 0 }, on dira que A est un K-espace affine d origine x 0 et de direction vectorielle V. Pour un espace affine donné A l expression A = V+{x 0 } entraîne que pour tout point x A il existe un unique vecteur v V tel que x = x 0 + v v = x x0 Dans les la littérature de géométrie classique le vecteur x x 0 se note x0 x. En conséquence, on pourra écrire tout point x A de manière unique sous la forme x = x 0 + x0 x

119 Généralités sur les systèmes d équations linéaires 113 La dernière expression implique que tout K-sous espace vectoriel V K n peut être regardé comme étant un K-espace affine d origine le vecteur nul 0 V i.e : V = V+{ 0} Inversement, considérons un un K-espace affine A K n d origine P 0 et de direction le K-sous espace vectoriel V K n. Dans ces conditions, pour tout couple de points P et Q A il existe deux uniques vecteurs P 0 P V et P 0 Q A tels que P = P 0 + P 0 P et Q = P 0 + P 0 Q Donc, si on utilise la structure de K-espace vectoriel de K n on peut calculer la somme des composantes des deux points P et Q dans K n pour obtenir un troisième point de K n définit par l expression, P+Q = ( P 0 P+P 0 )+( P 0 Q+P 0 ) = (P+Q) P 0 = P 0 +( P 0 P+ P 0 Q) Ainsi, puisque la somme vectorielle P 0 P+ P 0 P appartient au sous-espace vectoroiel V on en déduit que l expression P 0 + P 0 P + P 0 P définit un point élément de l espace affine A. Par conséquent, si pour tout couple de points P et Q éléments de l espace affine A on pose P Q := P 0 + P 0 P+ P 0 Q on définit ainsi une loi de composition interne commutative dans l espace affine A. De même, observonsque puisquepour tout scalaire λ K et pour tout point P A le vecteur λ ( P 0 P) V on en déduit que l expression P 0 +λ ( P 0 P) = λp+(1 λ)p 0 définit un point élément de l espace affine A. Donc, si pour tous λ K et P A on pose λ P = P 0 +λ ( P 0 P) on définit ainsi une multiplication externe du corps K sur l espace affine A. Avec les discussions précédentes nous obtenons la proposition suivant qui va nous permttre de confondre les espaces affines avec les espaces vectoriels. Proposition 45. Soit A K n un K-espace affine d origine P 0 et de direction vectorielle le sous-espace vectoriel V K n. Alors, le triplet (A,, ) est un K-espace vectoriel dont le vecteur nul est égal au point P 0. Exercice 121. Démontrer la proposition 11. Définition 48. Soit A un K-espace affine de direction vectorielle V et A A un sousensemble non vide. On dira que A A est un K-sous espace affine de A s il existe un point P A et un K-sous espace vectoriel V V tel que A = {P}+V.

120 114 Les systèmes lineaires Proposition 46. Soit A un espace affine de direction vectorielle V. Si A 1 (resp. A 2 ) est un sous-espace affine de A de direction vectorielle V 1 (resp. V 2 ) alors l intersection A 1 A 2 est soit vide ou soit un sous-espace affine de direction vectorielle V 1 V 2. Démonstration. Supposons qu il existe un point P 0 A 1 A 2. Il est clair que si on prend P 0 pour origine des deux espace affines A 1 et A 2 on aura A 1 = {P 0 }+V 1 et A 2 = {P 0 }+V 2. Or, ceci impique que le sous-espace affine {P 0 }+V 1 V 2 A 1 A 2. Inversement,observonsquesi onchoisitunpointp A 1 A 2 onpourratrouverdeuxvecteurs v i V i tels que P = P 0 +v 1 = P 0 +v 2. Ainsi, puisque on a v 1 = v 2 V 1 V 2 on en déduit que P {P 0 }+V 1 V 2, et donc A 1 A 2 {P 0 }+V 1 V 2. La proposition suivante propose une façon pratique pour construire des sous-espaces affines : Proposition 47. Soit A K n un K-espace affine. Le plus petit K-sous espace affine A A qui contient la famille de points {P 0,,P n } A est égal au sous-ensemble Aff(P 0,,P m ) = Vect( P 0 P 1,, P 0 P m )+{P 0 } Démonstration. Observons que si V désigne la direction vectorielle de l espace affine A on déduit que la famille de vecteurs { P 0 P 1,, P 0 P m } V engendre un K-sous espace vectoriel Vect( P 0 P 1,, P 0 P m ) V. Donc, Aff(P 0,,P m ) = Vect( P 0 P 1,, P 0 P m ) + {P 0 } A est un K-sous espace affine de A. Soit A Aff(P 0,,P m ) un sous-espace affine de A qui contient la famille de points {P 0,,P n }. Notons que si on suppose que P 0 est l origine de A et que V et sa direction vectorielle on aura donc A = V +{P 0 }. Ainsi, comme les points P i appartiennent à A on déduit que les vecteurs P 0 P i V et que par suite Vect( P 0 P 1,, P 0 P m ) V. D où, en ajoutant l origne P 0 on déduit que le sous-espace affine Aff(P 0,,P m ) A. Par conséquent, le sous-ensemble Aff(P 0,,P m ) est le plus petit sous-espace affine qui contient les points P 0, P 1,, P n. Exemple 55. Soit A K n un K-espace affine. Le sous-espace affine engendré par deux points P 0 et P 1 A est égal à Aff(P 0,P 1 ) = {P 0 }+K P 0 P 1 = {(1 t)p 0 +tp 1 t R} Noter que si le point P 0 = P 1 il en résulte que Aff(P 0,P 1 ) = {P 0 } mais si le point P 0 P 1 l espace affine Aff(P 0,P 1 ) est infini; il s appelle droite affine d origine P 0 et de direction P 0 P. Exemple 56. Soit A K n un K-espace affine. L espace affine engendré par trois points P 0, P 1 et P 2 A différents est égal à Aff(P 0,P 1,P 2 ) = {P 0 }+Vect( P 0 P 1, P 0 P 2 ) = {P 0 +s P 0 P 1 +t P 0 P 2 s,t R} Noter que si les trois points {P 0,P 1,P 2 } n appartiennent pas à la même droite affine (i.e. non allignés) on dira que l espace affine Aff(P 0,P 1,P 2 ) est un plan affine.

121 Généralités sur les systèmes d équations linéaires 115 En géométrie analytique on utilise les mots clefs suivants : 1. L ensemble solution de l équation linéaire, ax+by = c, s appelle droite affine de direction vectorielle la droite vectorielle d équation ax + by = L ensemble solution de l équation linéaire, ax + by + cy = d, s appelle plan affine de direction vectorielle est le plan vectoriel d équation ax+by +cz = L ensemble solution de l équation linéaire, a 1 x a n x n = b, s appelle hyperplan affine de direction vectorielle est l hyperplan vectoriel d équation a 1 x 1 + +a n x n = 0. Exemple 57. Le sous-ensemble D = {(x,y) R 2 2x y = 3} est une droite affine dont la direction vectorielle est la droite vectoriel D 0 d équation y = 2x. D 0 D y = 2x y = 2x 3 Figure 6.3 Représentation de la droite affine D et sa direction vectorielle D 0 Exemple 58. Le sous-ensemble A = {(x,y,z) R 3 2x y z = 1} est un plan affine dont la direction vectorielle est le plan vectoriel A 0 d équation z = 2x y. z x A 0 y A Figure 6.4 Représentation du plan affine A R 3 et sa direction vectorielle A 0 R 3. Exercice 122. Sur le sous-ensemble F = {(x,y,z) R 3 x+2y z = 3} on définit les deux lois de compositions suivantes (x,y,z) (a,b,c) = (x+a 2,y +b 2,z +c 3). λ (x,y,z) = (λx 2λ+2,λy 2λ+2,λz 3λ+3). Montrer que (F,, ) est un espace vectoriel réel. Exercice 123. Soit α R fixé. Sur le sous-ensemble E α = {(x,y,z) R 3 x+αy z = α} on définit les deux lois de compositions suivantes : (x,y,z) (a,b,c) = (x+a α,y +b 1,z +c α).

122 116 Les systèmes lineaires λ (x,y,z) = (λx αλ+α,λy λ+1,λz αλ+α). Montrer que (E α,, ) est un espace vectoriel réel Le cas d un système linéaire non homogène Notons que puisque le vecteur nul 0 K n n est pas une solution d un système d équations linéaires non homogème à n inconnues a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n = b 1 (S)... a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n = b m on conclut que l ensemble de toutes les solutions du système linéaire non homogène (S) n est pas un K-sous espace vectoriel. En effet, comme on va le voir ci-dessous, l ensemble solution du système non homogène (S) est un K-sous espace affine de K n qui peut être vide. Supposons que l ensemble solution S du système linéaire non homogène (S) n est pas vide et fixons une solution particulière x 0 = (x 0 1,,x0 n ) S. Donc, si on choist une autre solution x = (α 1,,α n ) S su système (S) on voit que le vecteur v = x x 0 = (α 1 x 0 1,,α n x 0 n ) Kn est une solution du système linéaire homogène (S 0 ) associé au système linéaire (S) i.e. : a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n = 0 (S 0 )... a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n = 0 Inversement, si le vecteur v = (x 1,,x n ) K n est solution du système linéaire homogène (S 0 ) on voit de même que le point v +x 0 = (x 1 +x 0 1,,x n +x 0 n ) est solution du système non homogène (S); car pour tout indice 1 i m on a : a i1 (x 1 +x 0 1)+ +a in (x n +x 0 n) = [a i1 x 1 + +a in x n ]+[a i1 x a in x 0 n] = 0+b i Ceci démontre la proposition suivante : Proposition 48. On désigne par S l ensemble soulution du système linéaire non homogène (S) et par S 0 on désigne l ensemble solution du système linéaire homogène associé à (S). Alors, pour toute solution particulière x 0 du système linéaire (S) on a : S = S 0 +{x 0 } Autrement dit, l ensemble solution S est un K-sous espace affine de K n dont la direction vectorielle est égale au K-sous espace vectoriel S 0 solution du système linéaire homogène associé à (S).

123 Généralités sur les systèmes d équations linéaires 117 Exemple 59. Cherchons l ensemble solution du système linéaire suivant : (S) L 1 L 2 L 3 x + z = 4 x y + 2z = 5 4x y + 5z = 17 Observons que si on effectue sur (S) les deux opérations élémentaires L 2 = L 2 L 1 et L 3 = L 3 4L 1 on obtient le système linéaire suivant : L 1 L 2 L 3 x + z = 4 y + z = 1 y + z = 1 { L 1 x + z = 4 L 2 y + z = 1 { x = 4 z y = z 1 Ainsi, d après le dernier système on voit que l ensemble de toutes les solutions du système linéaire (S) est égal à l ensemble S = {(4 λ,λ 1,λ) R λ R} Observons que si on prend λ = 0 on déduit que P 0 = (4, 1,0) est une solution particulière du système linéaire (S) et si on prend λ = 1 on déduit que P 1 = (3,0,1) est une autre solution du système (S). L ensemble solution S on peut maintenant l exprimer comme étant une droite affine réelle engendrée par les deux points P 0 et P 1 i.e : S = Aff(P 0,P 1 ) = {P 0 +λ P 0 P 1 λ R} dont la diréction vectorielle est engendrée par le vecteur v = P 0 P 1 = ( 1,1,1) i.e. : S 0 = {( λ,λ,λ) R, λ R} = R( 1,1,1) z P 0 P 1 v x y Figure 6.5 L ensemble solution S R 3 et sa diréction vectorielle S 0.

124 118 Les systèmes lineaires Opérations élémentaires de Gauss sur les systèmes linéaires Définition des opérations élémentaires de Gauss Dans ce paragraphe, on va introduire des opérations algébriques élémentaires sur les systèmes linéaires qui ne changeront pas l ensemble solution d un système linéaire donné (S). En pratique, on utilise ces opérations dans le but de simplifier l expression des lignes du système linéaire (S) afin de reconnaitre la nature de l ensemble solution du système (S). Dans la suite, étant donné un système linéaire à n inconnues et à m lignes a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n = b 1 (S)... a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n = b m on désignera sa i-ième ligne par L i. Définition 49. Les opérations suivantes s appellent opérations élémentaires de Gauss : O 1 Échanger la j-ième ligne avec la i-ième ligne : L j L i. O 2 Multiplier la i-ième ligne par un scalaire k 0 : kl i L i. O 3 Remplacer la j-ième ligne par la somme de celle-ci avec le multiple de la i-ième ligne par un scalaire k 0 : L j +kl i L j Les opérations élémntaires O 2 et O 3 peuvent être réunies en une seule opération composée, notée O 3, qui consiste à remplacer la j-ième ligne par la somme de son multiple par un scalaire k 0 avec le multiple de la i-ième ligne par un scalaire l : kl j +ll i L j Pour comprendre les effets des trois opérations élémentaires O 1, O 2 et O 3 sur les systèmes linéaires nous allons traiter ci-dessous quelques exemples. Exemple 60. Considérons le système linéaire non homogène { L 1 2x 4y = 5 (S 1 ) 4x y = 3 L 2 Observons que si sur la deuxième ligne du système (S 1 ) on effuctue l opération élémentaire O 3 = L 2 2L 1 on déduit que { 2x 4y = 5 L 1 L 2 4x y = 3 L 2 2L 1 L 2 L 1 L 2 { 2x 4y = 5 7y = 7 De même, sur la deuxième ligne du dernier système, si on effectue l opération élémentaire O 1 = 1 7 L 2 on obtient le système suivant L 1 L 2 { 2x 4y = 5 7y = 7 ( 1/7)L 2 L 2 L 1 L 2 { 2x 4y = 5 y = 1 Ainsi, suite au dernier système on conclut que le couple (x,y) = (0.5, 1) est l unique solution du système linéaire (S 1 ).

125 Généralités sur les systèmes d équations linéaires 119 Exemple 61. Cherchons les solutions du système linéaire suivant : { L 1 5x 7y = 2 (S 2 ) 20x 28y = 32 L 2 Sur le système linéaire (S 2 ) effectuons l opération élémentaire O 2 = 1 4 L 2 : (S 2 ) L 1 L 2 { 5x 7y = 2 20x 28y = 32 (1/4)L 2 L 2 L 1 L 2 { 5x 7y = 2 5x 7y = 8 Ainsi, comme 2 8 on conclut que le système (S 2 ) n a pas de solutions dans R 2. Exemple 62. Cherchons les solutions du système linéaire suivant : { L 1 3x y +z = 2 (S 3 ) 2x+y +z = 3 L 2 Sur la deuxième ligne du système (S 3 ) effections l opération élémentaire O 3 = 3L 2 2L 1 : (S 3 ) L 1 L 2 { 3x y +z = 2 2x+y +z = 3 3L 2 2L 1 L 2 L 1 L 2 { 3x y +z = 2 5y +z = 5 Le système linéaire obtenu possède donc une infinité de solutions parce que chaque fois qu on donne à l inconnue z une valeur particulière λ R on déduit que le triplet est solution du système linéaire (S 3 ). (1 2 5 λ,1 1 5 λ,λ) λ R Solution du système S 3 0 (1,1,0) 1 (3/5, 4/5, 1) 2 (1/5, 3/5, 2) 1 (7/5, 6/5, 1) 2 (9/5, 7/5, 2) Effets des opérations élémentaires de Gauss sur les systèmes linéaires Définition 50. Soient (S) et (S ) deux systèmes linéaires ayant le même nombre d inconnus. On dira que le système (S) est équivalent au système (S ) et on écrit (S) (S ), s il existe une suite finie d opérations élémentaires de Gauss O 1, O 2 et O 3 qui permettent de transfomer (S) en (S ). Théorème 13. Deux systèmes linéaires équivalents modulo les opérations élémentaires de Gauss ont le même ensemble solution. La preuve du théorème est une conséquence du lemme suivant.

126 120 Les systèmes lineaires Lemme 10. Si (S ) est un système linéaire obtenu à partir du système linéaire (S) par application de l une des trois opérations élémentaires de Gauss O 1, O 2 ou O 3, alors (S) et (S ) ont le même ensemble solution. Démonstration. 1) Il est clair que l opération élémentaire O 1, qui consiste à échanger deux lignes L i et L j, ne modifie pas l ensemble solution du système (S). 2) Notons que si la i-ème ligne du système (S) est donnée par l expression, a i1 x 1 + +a in x n = b i alors en lui appliquant la seconde opération élémentaire O 2 avec le scalaire k 0 on obtient un système linéaire (S ) dont la i-ème ligne est égale à ka i1 x 1 + +ka in x n = kb i tandis que les autres lignes du système linéaire (S) restent inchangées. Donc, si un n-uplet (α 1,...,α n ) K n est solution du système (S) il est aussi solution du système (S ). Inversement, si le n-uplet (β 1,...,β n ) K n est solution du système (S ) alors en appliquant l opération élémentaire O 2 sur la i-ème ligne de (S ) avec le scalaire 1 on retrouve la i-ème k ligne du système (S) i.e. : (1/k)L ka i1 x 1 + +ka in x n = kb i ) i 1 ) (ka i1 x 1 + +ka in x n = 1 k k (kb i) et ainsi on déduit que (β 1,...,β n ) est aussi solution de (S). 3) Supposons que la i-ème ligne L i et la j-ème ligne L j du système linéaire (S) sont données par les expressions suivantes a i1 x 1 + +a in x n = b i et a j1 x 1 + +a jn x n = b j Si pour un scalaire k 0 on applique la troisième oprération élémentaire O 3 = L j +kl i sur la j-ème ligne du système (S) on obtient un système linéaire (S ) dont la j-ème ligne est donnée par l espression suivante (a j1 +ka i1 )x 1 + +(a jn +ka in )x n = b j +kb i et ses autres lignes restent inchangées, donc elles restent identiques à celles de (S). Ainsi, si le n-uplet (α 1,,α n ) K n est solution du système (S) on obtient l expression (a j1 +ka i1 )α 1 + +(a jn +ka in )α n = b j +kb i qui implique que le n-uplet (α 1,,α n ) K n est aussi solution du système (S ). Inversement, supposons que (β 1,,β n ) K n est solution du système linéaire (S ) donc sur la j-ème ligne on aura l expression (a j1 +ka i1 )β 1 + +(a jn +ka in )β n = b j +kb i

127 Généralités sur les systèmes d équations linéaires 121 Ainsi, on voit que si on applique l opération élémentaire O 3 sur la j-ème ligne de (S ) avec le scalaire k on retrouve la j-ème ligne du système linéaire (S) i.e. : L j kl i [(a j1 +ka i1 )β 1 ka i1 β 1 ]+ +[(a jn +ka in )β n ka in β n ] = (b j +kb i ) kb i = a j1 β 1 + +a jn β n = b j Donc, le n-uplet (β 1,,β n ) est une solution du système linéaire (S). En conséquence, si on applique sur les lignes du système (S) l une des trois opérations élémentaires de Gauss O 1, O 2 et O 3 alors l ensemble solution du système (S) ne change pas. Exercice 124. Montrer que la relation binaire définie au moyen des trois opérations élémentaires de Gauss O 1, O 2, O 3 sur l ensembles des systèmes linéires à n 1 inconnues est une relations d équivalence Expressions matricielles des systèmes linéaires Étant donné un système d équations linéaires (S) on lui associe les deux matrices suivantes : A = a 11. a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n = b 1. a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n = b m a 1n a m1 a mn. et A =. a 11 a 1n b 1. a m1 a mn b m ) La matrice A = (a ij 1 i n s appelle matrice des coefficients du système linéaire (S) et ) 1 j m A = (a ij b i s appelle matrice élargie (ou augmentée) associée au système linéaire (S). 1 i n 1 j m Les trois opérations élémentaires de Gauss O 1, O 2 et O 3 que nous avons défini au paragraphe 3.2 on peut les effectuer sur la matrice élargie associée au système linéaire (S) comme il est illustré ci-dessous : a 11 a 1n b 1... a i1 a in b i... a j1 a jn b j... a m1 a mn b m L i L j O 1... a 11 a 1n b 1... a j1 a jn b j... a i1 a in b i... a m1 a mn b m

128 122 Les systèmes lineaires a 11 a 1n b 1... a i1 a in b i... kl i L i O 2 a 11 a 1n b 1... ka i1 ka in kb i... a m1 a mn b m a m1 a mn b m a 11 a 1n b 1... a i1 a in b i... a j1 a jn b j... L j +kl i L j O 3 a 11 a 1n b 1... a i1 a in b i... a j1 +ka i1 a jn +ka in b j +kb i... a m1 a mn b m a m1 a mn b m Comme dans le cas des systèmes linéaires on dira que deux matrices élargies A et B sont lignes équivalentes et on note A B si et seulement, si on pourra passer de la matrice élargie A à la matrice élargie B par une suite finie d opérations élémentaires de Gauss O 1, O 2 et O 3. Corollaire 24. Deux systèmes linéaires sont équivalents modulo les opérations élémentaires de Gauss si et seulement, si leurs matrices élargies associées sont lignes équivalentes modulo les opérations élémentaires de Gauss. Exercice 125. Considérons le système linéaire suivant : (S) x 2y + z = 0 2y 8z = 8 4x + 5y + 9z = 9 1) Écrire la matrice élargie A du système linéaire (S). 2) Effectuer les opérations élémentatires de Gauss suivantes sur la matrice élargie (A) : L 3 +4L 1 L 3, (1/2)L 2 L 2, L 3 +3L 2 L 3 3) Écrire le système linéaire (S ) associé à la matrice élargie (A ) trouvée en 2), et en déduire l ensemble solution de (S). Exercice 126. Considérons le système linéaire suivant : (S) y 4z = 8 2x 3y + 2z = 1 5x 8y + 7z = 1 1) Écrire la matrice élargie A du système linéaire (S).

129 Résolution des systèmes linéaires par la méthode du pivot 123 2) Effectuer les opérations élémentatires de Gauss suivantes sur la matrice élargie A : L 1 L 3, 5L 2 2L 1 L 2, L 3 L 2 L 3 4) Écrire le système linéaire (S ) associé à la matrice élargie (A ) trouvée en 2), et en déduire l ensemble solution de (S). Exercice 127. Résoudre les systèmes linéaires suivants en utilisant les opérations élémentaires de Gauss convenables : x+y z = 4 2x y +3z = 7 4x+y +z = 15, 3x 3y +z = 1 x+y +2z = 2 2x+y 3z = 0, 2x 2y +z 3w = 2 x y +3z w = 2 x 2y +z +3w = 6 3w +y z 2w = Résolution des systèmes linéaires par la méthode du pivot Dans ce paragraphe, on se propose de résoudre les systèmes linéaires à n 1 inconnues et m 1 lignes par la méthode d élimination de Gauss. La méthode d élimination de Gauss est aussi connue par la méthode du pivot de Gauss, elle a l avantage d être simple est relativement rappide pour la résolution à la main les systèmes linéaires ayant un nombre petit d inconnues et de lignes. Elle a aussi l avantage d être algorithmique, donc elle permet de résoudre les systèmes linéaires ayant un nombre relativement grand par l intermédiaire d un ordinateur équipé par un langage de propogrammation informatique comme le : Fortran, Pascal, C, C++, La méthode du pivot de Gauss Définition 51. Soit A = (a ij b i ) 1 i m une matrice élargie de type (m,n) à coefficeints dans 1 j n un corps commutatif K. Le premier coefficient non nul a ij de la i-ème ligne de la matrice élargie A s appelle coefficient principal. Autrement dit, c est le scalaire a ij 0 où l indice s appelle le rang de la i-ème ligne de A. j = inf{k a ik 0 avec 1 k n} Exemple 63. Considérons la matrice de type (5,6) dont les coefficients principaux sont encadrés par deux carrés : A = a 12 = 1 est le coefficient principal de la première ligne de la matrice A.

130 124 Les systèmes lineaires a 23 = 3 est le coefficient principal de la deuxième ligne de la matrice A. La troisième de la amtrice A est sans coefficient principal. a 41 = 2 est le coefficient principal de la quatrième ligne de la matrice A. a 54 = 5 est le coefficient principal de la cinquième ligne de la matrice A. Définition 52. On dira que la matrice A = (a ij ) 1 i m 1 j n escaliers) si elle vérifie les deux conditions suivantes : est échelonnée par lignes (ou en 1. Toutes les lignes nulles de la matrice A sont sur le bas du tableau de A. 2. Si L i et L i+1 sont deux lignes consécutives non nulles de A alors le rang du coefficient principal de L i est inférieur strictement à celui de L i+1. Exemple 64. Considérons les deux matrices réelles A et B suivantes dont les coefficients principaux de leurs lignes sont encadrés : A = et B = La matrice A est échelonnée. En revanche, la matrice B n est pas échelonnée parce que le rang des coefficients principaux de ses lignes n est pas strictement croissant, en plus on voit que la cinqième ligne de la matrice B est nulle et elle est insérée entre deux lignes non nulles. Définition 53. On dira que la matrice A = (a ij ) 1 i m 1 j n 1. A est une matrice échelonnée. est échelonnée réduite si : 2. Les coefficients principaux des lignes non nulles de A sont égaux à un. 3. Si une colonne contient un coeffcient principal d une certaine ligne alors le reste de ces coefficients sont tous nuls. Si suppose que les colonnes pivots sont rangées vers la gauche la matrice on déduit que la forme standard d une matrice échelonnée est donnée par le tableau suivant où les étoiles peuvent être remplacées par des scalaires quelconques :

131 Résolution des systèmes linéaires par la méthode du pivot 125 Exemple 65. Considérons les deux matrices réelles C et D suivantes dont les coefficients principaux de leurs lignes sont encadrés : C = et D = La matrice C est échelonnée réduite. En revanche, la matrice D est échelonnée mais n est pas réduite car sa cinquième colonne contient un coefficient principal a 35 = 1 et son coefficient a 15 = 3 est non nul. Théorème 14. La matrice élargie de tout système linéaire est équivalente, modulo les opérations élémentaires de Gauss, à une et une seule matrice élargie échelonnée réduite. Nous allons admettre le résultat du théorème 2 sans démonstration et nous confirmerons son résultat sur quelques exemples de systèmes linéaires. Avant de traiter les exemples avec lesquels on va apprendre comment réduire une matrice élargie donnée en une matrice échelonnée réduite, nous allons d abord introduire quelques termes techniques et nous expliquerons la méthode algorithmique à suivre pour aboutir à une forme échelonnée réduite. Définition 54. Soit A = (a ij b i ) 1 i m 1 j n n inconnues (x 1,,x n ) et m lignes. une matrice élargie d un système linéaire (S) ayant 1. La première colonne non nulle, comptée depuis la gauche du tableau de la matrice élargie A, s appelle colonne pivot. 2. La case du coefficient placé sur l intersection de la colonne pivot et la première ligne non nulle de la matrice élargie A, comptée depuis le haut du tableau de A, s appelle position pivot. 3. Après échange des lignes de la matrice A, le coefficient non nul de la colonne pivot lorsqu il est placé dans la position pivot s appelle pivot. 4. Une inconnue x i dont l indice correspond à une colonne pivot de la matrice élargie A s appelle inconnue principale. 5. Une inconnue x i qui n est pas principale est dite libre. Exemple 66. Sur la matrice élargie suivante on tire les informations suivantes : A 0 =

132 126 Les systèmes lineaires 1. La deuxième colonne de la matrice élargie A 0 est une colonne pivot. 2. La première ligne de la matrice A est non nulle et son coefficient a 12 = 0 est sur la position pivot. 3. Les coefficients a 22 = 1 et a 32 = 2 sont non nuls, donc ils peuvent jouer le rôle du pivot pour la deuxième colonne (pivot) après échange des lignes de la matrice A. Rappelons que notre but est la transformation d une matrice élargie donnée par les opérations élémentaires de Gauss en une matrice élargie échelonnée, donc pour choisir un pivot pour la colonne pivot identifiée lorsque sa position pivot est nulle on doit chercher le coefficient non nul qui occupe la position la plus basse sur la colonne pivot identifiée. Pour notre exemple, il est donc préférable d échager la position pivot qui est occupée par un coefficient nul a 12 = 0 avec le coefficient non nul de la colonne pivot a 32 = 2. A 0 = L 1 L 3 A1 = Notons que le coefficient placé sur la case a 12 = 2 de la matrice élargie obtenue A 1 est le pivot de la deuxième colonne. Notons aussi que les coefficients nuls de la première et la deuxième colonne de la matrice élargie A 1 sont placés sur le bas des deux colonnes L algorithme de Gauss-Jordan L algorithme suivant est connu par algorithme de Gauss-Jordan, il va nous permettre de transformer une matrice élargie donnée A 0 d un système linéaire (S) en une matrice élargie qui soit échelonnée réduite. Cette algorithme est constitué par les étapes suivantes : Étape 1 Chercher la première colonne non nulle depuis la gauche de la matrice élargie A 0 ; cette colonne est donc la colonne pivot. Si la position pivot de la colonne pivot identifiée est nul, dans ce cas, échanger la avec uneligne dubasdutableau dela matriceélargie A 0 quirencontre(intersecte) lacolonne pivot suivant un coefficient non nul. Ce dernier coefficient sera le pivot de la colonne pivot identifiée. Étape 2 Sur la colonne pivot identitiée appliquer les opérations élémentaires de Gauss aux coefficients non nuls qui sont strictement en dessous de la position pivot pour les annuler. Ceci nous donnera une matrice élargie A 1 équivalente avec la matrice A 0. Étape 3 Ne toucher pas ni à la colonne pivot récemment identifiée, ni aux lignes qui sont au-dessus de la dernière position pivot identifiée de la matrice élargie A 1. Tant que la matrice élargie A 1 n est pas échelonnée répeter les étapes 1) et 2) à la sousmatrice élargie située dans le bas du tableau de la matrice élargie A 1 et qui est limitée par la plus récente colonne pivot et la ligne contenant la position pivot de celle-ci.

133 Résolution des systèmes linéaires par la méthode du pivot 127 Étape 4 Si la matrice élargie échelonnée A obtenue après application des étapes 1), 2) et 3) n est pas réduite, dans ce cas, en commençant depuis le bas du tableau de la matrice élargie échelonnée vers le haut, diviser la premiène ligne non nulle rencontrée dans A par son pivot pour avoir un coefficient principal égal à un. Puis, utiliser les opérations élémentaires de Gauss, pour annuler les coefficients non nuls qui se trouvent au-dessus de la position pivot identifiée. Et, tant qu il existe des colonnes pivots non réduites répéter cette étape 4. Étape 5 Si la matrice élargie échelonné réduite A contient une ligne identiquement nulle tandis que le coefficient du second membre n est pas nul, on déclare que le système linéaire (S) n a pas de solutions (incompatible). Si le système est compatible, appliquer les inconnues(x 1,,x n ) surla matrice élargie obtenuea pour endéduirel expression des inconnues principales en fonction des variables libres. Exemple 67. Considérons le système linéaire suivant dont les inconnues sont x, y, z et w R : (S) z w = 0 y +z 2w = 4 2y +z +2w = 1 y +z +3w = A 0 = Dans la matrice élargie A 0 associée au système linéaire (S) localisons les colonnes pivots et les positions pivots. Ensuite, pour chaque colonne pivot fixons un pivot qui va nous permetre de réduire la matrice élargie A 0 à sa forme échelonnée. La deuxième colonne de la matrice élargie A 0 est une colonne pivot. Le coefficient doublement encadré a 12 = 0 est placé sur la position pivot de la matrice élargie A 0. Pour choisir le coefficient non nul qui va jouer le rôle du pivot sur la colonne pivot fixée, on choisit donc le coefficient non nul encadré a 42 = 1 sur le bas de la colonne pivot. Maintenant, si on échange la première ligne avec la quatrième ligne on obtient la matrice élargie A 1 dont le pivot est encadré : A 0 = L 1 L 4 A1 = La matrice élargie A 1 est maintenant prète pour être échelonnée, pour la réduire on applique sur sa deuxième colonne et sur sa troisème lignes les opérations élémentaires de Gauss indiquées i.e. : A 1 = L 2 L 1 L A 2 = L 3 2L 1 L

134 128 Les systèmes lineaires Pour continuer à échelonner la matrice élargie A 2 il faut d abord remarquer que le coefficient principal de la deuxième ligne de A 2 est égal à a 24 = 5, donc il faut qu on l échange avec la quatrième ligne i.e. : A 2 = L 2 L 4 A3 = Maintenant, dans la matrice élargie A 3 la troisième colonne est une colonne pivot et le coefficient encadré a 2,3 = 1 est la position pivot, et comme il est non nul on le garde comme pivot de la troisième colonne. Donc, appliquons sur les ligne L 3 et L 4 de la matrice élargie A 3 les opérations élémentaires de Gauss indiquées ci-dessous pour la réduire : A 3 = L 3 +L 2 L 3 A4 = L 4 L 3 L 4 A5 = Ainsi, puisque la dernière ligne de la matrice élargie A 5 est nulle tandis que le coefficient du second membre b 4 = 6 est non nul on conclut que le système linéaire (S) n a pas de solutions. Exemple 68. Cherchons l ensemble solution du système linéaire (S), défini ci-dessous, en appliquant l algorithme de Gauss-Jordan sur la matrice élargie qui lui est associée (S) pour aboutir à une matrice élargie échelonnée réduite : (S) x+y = 1 z +3w = 2 x y z +3w = 2 y +z w = 2 A 0 = Noter que la première colonne de la matrice élargie A 0 est une colonne pivot et que le coefficient a 11 = 1 est sur la position pivot de A 0. Donc, comme a 11 = 1 est non nul on le garde comme pivot. Pour préparer la réduction de A 0 sous forme échelonnée on doit d abord échanger la deuxième ligne avec la quatrième ligne.

135 Résolution des systèmes linéaires par la méthode du pivot 129 A 0 = L 2 L 4 A1 = L 3 L 1 L 3 A2 = L 3 +2L 2 L 3 A3 = L 4 L 3 L 4 A4 = La dernière matrice élargie obtenue A 4 est échelonnée, donc elle nous permet de trouver la valeur des inconnues (x,y,z,w) en commençant par résoudre la dernière ligne du système linéaire induit par la matrice élargie échelonnée A 4 : x + y = 1 x = 1 (S y + z w = 2 y = 2 ) = z + w = 1 z = 0.5 2w = 1 w = 0.5 Malgès que nous avons trouvé la solution du système linéaire (S ) qui est équivalent au système (S), on va continuer à réduire la matrice élargie échelonnée A 4 jusqu à ce qu on arrive à sa forme échelonnée réduite. Ce travail va nous permettre de mieux sentir l avantage de la réduction d une matrice élargie à la forme éhcelonnée réduite. A 4 = L 4 L 4 A5 = L 3 L 4 L 3 L4+L 2 L 2 A 6 =

136 130 Les systèmes lineaires L 2 L 3 L 2 A7 = L 1 L 2 L 1 A8 = Maintenant, observons que dans la matrice élargie échelonnée réduite obtenue A 8 on voit que sur son second membre nous avons la solution du système linéaire donné (S) i.e. : x = 1 y = 2 z = 0.5 w = 0.5 Exemple 69. Sur le système linéaire suivant on va appliquer l algorithme de Gauss-Jordan pour décrire son ensemble solution. x 1 2x 2 + 3x 3 4x 4 = 4 x 2 x 3 + x 4 = 3 (S) x 1 + 3x 2 3x 4 = 1 7x 2 + 3x 3 + x 4 = A 0 = Notons que la première colonne de la matrice A 0 est une colonne pivot, et puisque le coefficient a 11 = 1 est non nul donc c est un pivot qui va nous permetre d annuler les autres coefficients de la première colonne pivot A 0 = L 3 L 1 L A1 = La deuxième colonne de la matrice élargie A 1 est une colonne pivot et le coefficient a 22 = 1 est un pivot. Utilisons donc les opérations de Gauss convenables pour annuler les coefficients a 32 et a 42 sans toucher ni à la première ligne ni à la première colonne que nous avons déjà travaillé. A 1 = L 3 5L 2 L 3 L4+7L 2 L 4 A 2 = La troisième colonne de la matrice élargie A 2 est une colonne pivot et le coefficient a 33 = 2 est

137 Résolution des systèmes linéaires par la méthode du pivot 131 un pivot. Donc, si on applique les opération élémentaires de Gauus convenable on obtient : A 2 = L 4 +2L 3 L A3 = La matrice élargie obtenue A 3 est échelonnée et ses colonnes pivots sont les trois premières colonnes. Donc, il est intéressant de noter que les inconnues x 1, x 2 et x 3 sont les inconnues principales du système (S) tandis que l inconnue x 4 est une variable libre. Notons aussi que pour trouver l expression des variables principales x 1, x 2 et x 3 en fonction de la variable libre x 4 il suffit qu on réduise la matrice élargie A 3 à sa forme échelonnée réduite en lui appliquant la quatrième étape de l algorithme de Gauss-Jordan tout en commençant par la dernière ligne de la matrice élargie A 3. On normalise le coefficient a 33 : A 3 = L 3 /2 L 3 A 4 = et puis, on annule les coefficients placés aux poisitions a 23 et a 13 par les opérations élémentaires de Gauss convenables : A 4 = L 2 +L 3 L 2 L 1 3L 3 L 1 A 5 = L 1 +2L 2 L 1 A6 = La matrice élargie obtenue A 6 est échelonnée réduite, donc si on l écrit sous forme d un système linéaire on déduit que les inconnues principales x 1,x 2 et x 3 sont données par les expressions suivantes : x 1 = 8 x 2 = 3 + x 4 x 3 = 6 + 2x 4 En conséquence, l ensemble solution du système linéaire (S) est infini et il est donné par S = {( 8,3+λ,6+2λ,λ) R 4 λ R}

138 132 Les systèmes lineaires Exercice 128. Réduire les matrices suivantes à leurs formes échelonnées réduites : A 1 = , A 2 = Exercice 129. Résoudre les systèmes linéaires suivants : x+y +z = 1 x+y +z +w = 1 2x y 3z = 1, x+w = 1 3y z = 1 x+2y +z = 2 Exercice 130. Résoudre les systèmes linéaires suivants en appliquant l algorithme de Gauss- Jordan : (S 3 ) (S 1 ) x+z w = 0 y +z 2w = 4 x+2y +2w = 1 y +z +3w = 1 x 1 +x 2 3x 4 x 5 = 0 x 1 x 2 +2x 3 x 4 = 0 4x 1 2x 2 +6x 3 +3x 4 4x 5 = 0 2x 1 +4x 2 2x 3 +4x 4 7x 5 = 0, (S 2 ), (S 4 ) x+2y +z w = 1 2y +z 2w = 1 x+y +z +w = 1 y 2z +w = 1 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 = 7 3x 1 +2x 2 +x 3 +x 4 3x 5 = 2 x 2 +2x 3 +2x 4 +6x 5 = 23 5x 1 +4x 2 +3x 3 +3x 4 x 5 = 12 Exercice 131. Résoudre les systèmes linéaires suivants avec a et λ sont des paramètres réels : (S 5 ) x+λy +z = a x+y +λz = 2a λx+y +z = 3a, (S 6 ) x+(λ 2)y +z w = λ+1 x y +z +(λ+2)w = λ 1 (λ+1)x+y +z +w = x+y +(λ 1)z +w = λ Exercice 132. Trouver toutes les valeurs du paramètre réel λ pour que les systèmes linéaires suivants soient compatibles : x y +z = λ 2x 3y +4z = 0 3x 4y +5z = 1, x+y +z = λ λx+y +2z = 2 x+λy +z = 4, λ 3x 7y 4z = 8 2x 6y +11z = 21 5x 21y +7z = 10λ x+23y +13z = 41 Exercice 133. En appliquant l algorithme de Gauss-Jordan, trouver tous les vecteurs (a, b, c) éléments de R 3 pour que les systèmes linéaires associés respectivement aux matrices élargies suivantes soient compatibles : a A 1 = b c, A 2 = a b c, A 3 = a b c

139 Résolution des systèmes linéaires par la méthode du pivot 133 Exercice 134. En appliquant l algorithme de Gauss-Jordan, trouver tous les vecteurs (a, b, c, d) éléments de R 4 pour que les systèmes linéaires associés respectivement aux matrices élargies suivantes soient compatibles : a a a A 4 = b c, A 5 = b c, A 6 = b c d d d Problème de l appartenance d un vecteur à un sous-espace vectoriel Dans ce paragraphe, on va se servire des systèmes linéaires et de la méthode d élémination de Gauss pour régler la question d appartenance d un vecteur v K m à un K-sous espace vectoriel F K m qui est engendré par une famille finie V de n 1 vecteurs de K m : v 1 = (a 11,,a m1 ), v 2 = (a 12,,a m2 ),, v n = (a 1n,,a mn ) Notons que d après la définition d engendrement d un K-sous espace vectoriel par la famille de vecteurs V = { v j = (a 1j,,a mj ) K m 1 j n} on apprend qu un vecteur v = (b 1,,b m ) K m appartient au K-sous espace Vect(V) si et seulement, s il existe n scalaires (α 1,,α n ) K n tels que (C) v = α1 v 1 + +α n v n Observons que si on représente les vecteurs éléments de la famille V K m par des matrices à une seule colonne on déduit que la combinaison linéaire (C) s écrit sous la forme suivante : b 1 a 11 a 1n α 1 a α n a 1n. = α α n. =. α 1 a m1 + +α n a m1 b m a m1 qui entraîne que le vecteur v défini par la combinison linéaire (C) appartient au K-sous espace vectoril Vect(V) si et seulement, si le n-uplet (α 1,,α n ) K n est solution du a mn système d équations linéaires a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n = b 1 (S)... a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n = b m Ceci, démontre la proposition suivante. Proposition 49. Soit V = { v j = (a 1,j,,a m,j ) K m 1 j n} une famille de vecteurs. Pour qu un vecteur v = (b 1,,b m ) K m appartient au K-sous espace vectoriel Vect(V) il faut et il suffit que le système d équations linéaires a 1,1 x 1 +a 1,2 x 2 + +a 1,n x n = b 1 (S)... a m,1 x 1 +a m,2 x 2 + +a m,n x n = b m

140 134 Les systèmes lineaires possède au moins une solution dans K m. En conséquence, toute solution (α 1,,α n ) K n du système linéaire (S) implique que le vecteur v = α 1 v 1 + +α n v n appartient au K-sous espace vectoriel Vect(V) et vis versa. Exemple 70. Dans l espace vectoriel réel R 4 fixons les trois vecteurs w1 = (1,1,0,1), w2 = (1,0, 1,1) et w3 = (0,2,1, 1) Il est clair qu un vecteur donné w = (a,b,c,d) R 4 appartient au sous-espace vectoriel réel engendré Vect( w 1, w 2, w 3 ) il faut et il suffit qu il existe trois réels x, y et z R tels que w = x w1 +y w 2 +z w 3 Si on compare les composantes du vecteur w avec sa combinaison linéaire on déduit que les réels x, y et z doivent être solution du système linéaire suivant : x + y = a x + 2z = b (S) y + z = c x + y z = d dont la matrice élargie associée est donnée par le tableau suivant : a A 0 = b c d Pour identifier les inconnues x, y et z nous allons appliquer l algorithme de Gauss-Jordan pour réduire la matrice A 0 à sa forme échelonnée réduite. Pour cela notons que la première colonne de la matrice A 0 est une colonne pivot et que le coefficient encadré a 11 = 1 est un pivot, donc si on lui applique les opérations élémentaire de Gauss indiquées ci-dessous on obtient : A 0 = a b c d L 2 L 1 L 2 L 4 L 1 L 4 A 1 = a b a c d a La seconde colonne de la matrice élargé A 1 est une colonne pivot et le coefficient encadré a 22 = 1 est son pivot, donc si on applique l opération élémentaire de Gauss L 3 L 2 sur ligne L 3 on obtient la matrice élargie suivante : a L A 3 L 2 L 3 1 A b a c b+a d a

141 Résolution des systèmes linéaires par la méthode du pivot 135 De même, la troisième colonne est une colonne pivot de la matrice élargie A 2 et le coefficients encadré a 33 = 1 est un pivot, donc pour avoir une matrice échelonnée on doit appliquer l opération élémentaire de Gauss L 4 L 3 sur la ligne L 4 : L A 4 L 3 L 4 2 A3 = a b a c b+a a+b c+d Notons que d après l expression de la dernière ligne de la matrice élargie A 3 on déduit que le système linéaire (S) est compatible si et seulement, si les composantes du vecteur w = (a,b,c,d) élément de R 4 sont reliés par l équation linéaire : (CC) 2a+b c+d = 0 Pour arriver à la forme échelonnée réduite il suffit qu on applique les opérations élémentaires de Gauss convenables suivantes : L A 3 L 3 3 A4 = L A 2 +2L 3 L 2 4 A 5 = L A 1 L 2 L 1 5 A6 = a b a c+b a a+b c+d a c+b a c+b a a+b c+d a b+2c c+b a c+b a a+b c+d Sous la condition de compatibilité (CC) on conclut que les inconnues principales x, y et z sont donnés par les expressions x = 2a b+2c y = 2c+b a = w = (2a b+2c) w 1 +( 2c+b a) w 2 +( c+b a) w 3 z = c+b a 0 = 2a b+c d En conséquence de ce qui précède, on conclut aussi que le sous-espace vectoriel réel engendré Vect( w 1, w 2, w 3 ) = {(x,y,z,t) R 4 2x y +z t = 0} Ainsi, si par exemple on considère le vecteur w = (0,0,1,1) on obtient un vecteur élément du sous-espace vectoriel Vect( w 1, w 2, w 2 ) et qu on a la combinaison linéaire suivante : w = 2 w1 2 w 2 w 3

142 136 Les systèmes lineaires Exercice 135. Dire est-ce que le vecteur v R 3 appartient au sous-espace vectoriel réel de R 3 engendré par les trois vecteurs v 1, v 2 et v 3? 1. v 1 = (1,0, 2), v 2 = ( 1,3,2), v 3 = (2,5, 4) et v = (2,0,3). 2. v 1 = (3,0, 2), v 2 = (1, 1,1), v 3 = (2,0, 2), v = (3,2, 4 3 ). 3. v 1 = (4,5, 6), v 2 = ( 3,2,2), v 3 = (1,5, 3), v = ( 7, 3,10). Exercice 136. Caractériser les vecteurs w = (a,b,c) qui appartiennent au sous-espace vectoriel réel engendré par les deux vecteurs v 1 = (1,2,1) et v 2 = (2, 1,1). Exercice 137. Montrer que le sous-espace vectoriel réel de R 3 engendré par la famille de vecteurs : v 1 = (1,2,1), v 2 = (2, 1,1) et v 3 = (7,4,5) est égal au sous-ensemble {(x,y,z) R 3 3x+y 5z = 0}. Exercice 138. Dans l espace vectoriel réel R 4 on considère les trois vecteurs v 1 = (1, 1,1, 1), v 2 = ( 1,1,1, 1), v 3 = (1,1,1,1) 1) Pour un vecteur donné v = (a,b,c,d) trouver les scalaires x, y et z R pour qu on ait la combinaison linéaire v = x v 1 +y v 2 +z v 3 Vect( v 1, v 2, v 3 ) 2) Chercher les scalaires réels α, β, γ et δ pour que le sous-espace vectoriel réel engendré par la famille de vecteurs { v 1, v 2, v 3 } soit solution de l équation linéaire : αx+βy+γz+δw = 0. Indication : Porter les composantes des vecteurs v i dans l équation αx+βy+γz+δw = 0. 3) Conclure.

143 Chapitre Sept Base et dimension d un espace vectoriel 7.1 Bases et dimension d un espace vectoriel Dans cette section, étant donné un K-espace vectoriel de dimension finie E { 0}, et que l on suppose muni d une famille génératrice finie S = { v 1,, v m } E (i.e. Vect(S) = E) on se propose de répondre à la question suivante : quel est le nombre minimal de vecteurs éléments de la famille S nécessaire pour engendrer le K-espace vectoriel E? Indépendance linéaire Définition 55. Soit E un K-espace vectoriel et S = { v 1,, v m } E une famille de vecteurs. On dira que la famille de vecteurs S est libre (ou indépendante) si toute combinaison linéaire de type α 1 v 1 + +α m v m = 0 = α 1 = = α m = 0 Une famille qui n est pas libre est dite liée (ou dépendante). Exemple 71. Considérons les trois vecteurs de l espace vectoriel réel R 4 : v 1 = (1,0,1,0), v 1 = (0,1,0,1), v 1 = (1,1, 1, 1) et supposons qu il existe des scalaires a, b et c R tels que la combinaison linéaire a+c = 0 a+c = 0 a v 1 +b v 2 +c v 3 = b+c = 0 b+c = 0 0 a c = 0 a = c b c = 0 b = c Notons que puisque la troisième ligne et la quatrième ligne donnent a = b = c, la première ligne et la seconde ligne impliquent qu en fait a = b = c = 0. Donc, la famille des vecteurs { v 1, v 2, v 3 } est libre dans l espace vectoriel réel R 4.

144 138 Base et dimension d un espace vectoriel Exemple 72. Montrons que la famille des trois polynômes suivants P 0 (X) = X+2, P 1 (X) = X 2 3X, P 2 (X) = X 2 +X+1 est libre dans l espace vectoriel réel des polynômes de degré au plus égal à deux R 2 [X]. En effet, si on suppose qu il existe des scalaires a, b et c R tels que la combinaison linéaire ap 0 +bp 1 +cp 2 = 0 on en déduit que le trinôme (2a+c)+(a 3b+c)X+(b+c)X 2 = 0, et donc ses coefficients sont nuls : 2a+c = 0 a 3b+c = 0 b+c = 0 = a = c/2 a 3b+c = 0 b = c = a = b = c = 0 Par conséquent, la famille des polynômes {P 0,P 1,P 2 } est libre dans l espace vectoriel R 2 [X]. Proposition 50. Soit E un K-espace vectoriel. Pour toute famille non vide de vecteurs S = { v 1,, v m } E les propositions suivantes sont équivalentes : 1. La famille S est liée. 2. L un des vecteurs de la famille S est combinaison linéaire des autres éléments de S. 3. Il existe un 1 i m tel que le K-sous espace vectoriel Vect(S) = Vect(S\{ v i }). Démonstration. 1) = 2) Supposons que la famille de vecteurs S E est liée. Donc, on pourra trouver une famille de scalaires non tous nuls {α 1,,α m } K tel que α 1 v 1 + +α m v m = 0 Ainsi, par exemple, si on suppose que le scalaire α i0 0 on voit que le vecteur v i0 = α i v i α i0 1 i m i i 0 est combinaison linéaire des vecteurs éléments de la sous-famille S\{ v i0 }. 2) = 3) Notons que si on suppose qu il existe une combiniason linéaire de la forme v i0 = β i v i = v i0 Vect(S\{ v i0 }) 1 i m i i 0 Donc, comme S\{ v i0 } Vect(S\{ v i0 }) on déduit que la famille S Vect(S\{ v i0 }) et que par conséquent Vect(S) = Vect(S\{ v i0 }). 3) = 1) Observer que si on suppose le sous-espace vectoriel Vect(S) = Vect(S \ { v i }) il s ensuit que le vecteur v i est combinaison linéaire des éléments de la famille S\{ v i } ce qui entraîne donc que la famille S est liée. Les deux propositions suivantes se déduisent immédiatement de la définition de la dépendance linéaire d une famille de vecteurs.

145 Bases et dimension d un espace vectoriel 139 Proposition 51. Dans tout K-espace vectoriel les propriétés suivantes sont vraies : 1. Le singleton {x} est une famille libre si et seulement, si x Toute sous-famille d une famille libre est libre. 3. Une famille qui contient une sous-famille liée est liée. 4. Une famille qui contient un vecteur nul est liée. Considérons une famille de vecteurs non nuls F = { v 1,, v m } K n, et pour chaque 1 i m posons v i = (a i1,,a in ). Il est clair que s il existe une famille de scalaires x 1,, x m éléments du corps K qui induisent la combinaison linéaire x 1 v 1 + +x m v m = a 11 x 1 + +a 1m x m = 0 0 (S). =. a n1 x 1 + +a nm x m = 0 on en déduit que le m-uplet (x 1,,x m ) K m est solution du système linéaire homogène (S). Inversement, il est clair que toute solution non triviale du système linéaire (S) réalise une combinaison linéaire entre les éléments de la famille de vecteurs F = { v 1,, v m } K n. Avec ces remarques on voit que la question de dépendance linéaire d une famille finie de vecteurs F = { v 1,, v m } K n est équivalente au problème de résolution du système linéaire homogène (S) associé à la combinaison linéaire x 1 v 1 + +x m v m = 0. Proposition 52. Soit F = { v 1,, v m } K n une famille de vecteurs où pour chaque indice 1 i m le vecteur v i = (a i1,,a in ). Si a 11 x 1 + +a 1m x m = 0 (S). =. x 1 v 1 + +x m v m = 0 a n1 x 1 + +a nm x m = 0 désigne le système linéaire homogène associé aux vecteurs de la famille F alors on a les propositions suivantes : 1. La famille de vecteurs F est libre si et seulement si l ensemble solution du système linéaire homogène (S) est réduit au vecteur nul de l espace vectoriel K m. 2. La famille de vecteurs F est liée si et seulement si l ensemble solution du système linéaire homogène (S) n est pas réduit au vecteur nul de l espace vectoriel K m. Exemple 73. Montrons que les trois vecteurs suivants sont liés dans l espace vectoriel R 3 w1 = (1,2, 1), w2 = (7, 3,1), w3 = (10,3, 2) Il s agit donc de chercher des scalaires x, y et z R non tous nuls qui induisent une combinaison linéaire de type : x w 1 +y w 2 +z w 3 = 0. Pour cela on va résoudre le système linéaire suivant : x+7y +10z = (S) 2x 3y +3z = 0 A 0 = x+y 2z =

146 140 Base et dimension d un espace vectoriel Notons que la première colonne de la matrice élargie A 0 est une colonne pivot et que le coefficient a 11 = 1 est un pivot, donc si on applique les opérations élémentaires de Gauss suivantes sur A 0 on obtient : L A 2 2L 1 L 2 0 A 1 = L3+L 1 L L 2/( 17) L 2 A 2 = L 3 /8 L L A 3 L 2 L 3 2 A3 = L 1 7L 2 L 1 A4 = Ainsi, d après l expression de la matrice échelonnée réduite A 4 on déduit que les inconnues principales x et y sont égales à x = 3z et y = z avec z R est une variable libre. Par conséquent, si on prend le triplet (x,y,z) = (3,1, 1) on obtient une solution particulière du système (S) qui nous donnera la combinaison linéaire recherchée : 3 w 1 + w 2 w 3 = 0 w3 = 3 w 1 + w 2 Notons aussi que si on choisit un vecteur non nul v dans le sous-espace vectoriel réel Vect( w 1, w 2, w 3 ) on pourra trouver trois réels a, b et c tels que v = a w1 +b w 2 +c w 3 = v = (a+3c) w 1 +(b+c) w 2 Ainsi, en conséquence de ce calcul on déduit que le sous-espace vectoriel réel engendré Vect( w 1, w 2, w 3 ) = Vect( w 1, w 2 ) en plus la famille de vecteurs { w 1, w 2 } est libre dans R 3. Exercice 139. Soit E un K-espace vectoriel. Montrer que la famille de vecteurs { v 1, v 2, v 3 } est libre (resp. liée) dans E si et seulement, si la famille { v 1, v 1 + v 2, v 1 + v 2 + v 3 } est libre (resp. liée) dans E. Exercice 140. Soient E un K-espace vectoriel et { v 1, v 2, v 3 } une famille de vecteurs libre dans E. Trouver tous les scalaires α, β et γ K pour que la famille de vecteurs { v 1, v 1 +α v 2, v 1 +β v 2 +γ v 3 } soit libre (resp. liée) dans E. Exercice 141. Soient u, v et w des vecteurs non nuls éléments du K-espace vectoriel E. Si on suppose que les paires { u, v }, { v, w} et { w, u} sont libres dans E, est-ce que la famille { u, v, w} est libre dans E? Exercice 142. Pour p 1 et q 1 étudier la dépendance linéaire de la famille des polynômes : P 1 (X) = 1+X+X 2, P 2 (X) = 1+pX+p 2 X 2, P 3 (X) = 1+qX+q 2 X 2

147 Bases et dimension d un espace vectoriel Base d un espace vectoriel Définition 56. Si un K-espace vectoriel E possède une famille génératrice finie on dira que E est de dimension finie sur K. Exemple 74. Étant donné un corps commutatif K, pour tous les entiers n et m N les K-espaces vectoriels suivants sont de dimension finie sur K : K n, K n [X], M m,n (K) En revanche, dans l exemple 16 nous avons vu que le K-espace vectoriel des polynômes K[X] ne peut pas être engendré par une famille finie de polynômes, donc il est de dimension infinie sur le corps K. Proposition 53. Si E un K-espace vectoriel de dimension finie, alors de toute famille génératrice de E on peut extraire une famille génératrice finie de E. Démonstration. Puisque l espace vectoriel E est supposé de dimension finie, il contient donc une famille génératrice finie S = { w 1,, w m } (i.e. E = Vect(S)). Considérons une famille génératrice S quelconque de E. Donc, pour tout vecteur w i S il existe une combinaison linéaire de la forme wi = j=n i j=1 λ i,j v j où les scalaires λ i,j K et les vecteurs v j S. Ainsi, on observe que si on considère le sous-ensemble Λ = { v j S λ i,j 0} on obtient une partie finie de S. D autre part, puisque pour tout vecteur v E il existe des scalaires α 1,, α m K tels que i=m v = α iwi = i=1 i=m ( j=n i v = α i λ ) i,j v j i=1 j=1 on déduit que la famille finie de vecteurs Λ S engendre l espace vectoriel E. Dans la suite de ce paragraphe, on se propose de développer des méthodes qui vont nous permettre d extraire des familles libres à partir d une famille génératrice quelconque donnée. Définition 57. On appelle base de E toute famille de vecteurs B E qui est à la fois génératrice de E et libre. Supposons que le K-espace vectoriel E possède une base finie formée par une famille de n 1 vecteurs B = { v 1,, v n }. Puisque la famille B engendre l espace vectoriel E donc pour tout vecteur x E il existe un n-uplet (x 1,,x n ) K n tels que x = x1 v 1 + +x n v n Eneffet, puisquela famille B est libreil s ensuitquele n-uplet (x 1,,x n ) est unique,et c est pour cette raison que dans la suite on appellera les composantes de (x 1,,x n ) coordonnées du vecteur x dans la base B.

148 142 Base et dimension d un espace vectoriel Proposition 54. Si un K-espace vectoriel E possède une base finie formée par une famille de n 1 vecteurs alors l ensemble E est bijectif avec le produit cartésien K n. Démonstration. Supposer que la famille B = { v 1,, v n } est une base de E et considérer l application f : K n E qui envoie le n-uplet (x 1,,x n ) de K n sur la combinaison linéaire x 1 v 1 + +x n v n. Puis, observer que B engendre l espace vectoriel E implique que l application f est surjectif et puisque B est libre alors cela implique que l application f est injectif. Exemple 75. Rappelons que pour tout corps commutatif K et pour tout entier n 1 la famille de vecteurs e 1 = (1,,0),, e n = (0,,1) K n engendre le K-espace vectoriel K n. De plus, comme pour tout n-uplet (x 1,,x n ) K n on a x 1 e 1 + +x n e n = 0 (x 1,,x n ) = (0,,0) on déduit que la famille { e 1,, e n } est libre, et donc c est une base de K n. Exemple 76. Notons que puisque pour tout polynôme de degré n 0, P K n [X], il existe des scalaires a 0,, a n K tels que P(X) = a 0 + +a n X n on déduit que la famille de monômes B = {1,X,,X n } engendre l espace vectoriel réel R n [X]. En plus, puisque le polynôme P(X) est identiquement nul si et seulement, si ses coefficients sont tous nuls cela implique que la famille des monômes B est libre. Donc, B est une base de l espace vectoriel réel K n [X]. Exemple 77. Rappelons que dans le paragraphe 1.2 pour tout couple d indices 1 i,j m nous avons défini la matrice élémentaire de type (m,n) par le tableau suivant : E ij = j i où l élément neutre 1 K est placé sur l intersection de la i-ième ligne avec la j-ième colonne du tableau E ij. Notons aussi que puisque toute matrice A = (a ij ) M m,n (K) s écrit de manière unique comme combinaison linéaire de la forme, A = a ij E ij 1 i m 1 j n

149 Bases et dimension d un espace vectoriel 143 on déduit que la famille des matrices élémentaires E(m,n) = {E ij ;1 i m, 1 j n} est une famille génératrice du K-espace vectoriel des matrices M m,n (K). En effet, la famille E(m,n) est est libre, et donc c est une base du K-espace vectoriel (M m,n (K),+, ) que l on appelle base canonique. Exemple 78. Dans l espace vectoriel des matrices carrées d ordre deux à coefficients réels, M(2, R), considérons le sous-ensemble des matrices : ( ) a b E = { M(2,R) a+d = 0 et b+c = 0} c d Il est facile de vérifier que le sous-ensemble ( E est ) un sous-espace vectoriel réel de M(2,R). a b En plus, notons que puisque tout élément de E s écrit sous la forme suivante : c d ( ) ( ) ( ) a b a b 1 0 = = a c d b a 0 1 ( ) 0 1 +b 1 0 ( ) ( ) on déduit que la famille {, } est une base de E, car elle est libre et engendre E. Théorème 15 (Existence d une base). Si un K-espace vectoriel E { 0 } est de dimension finie alors toute famille génératrice finie de E contient une base de E. Démonstration. Supposons que la famille de vecteurs S = { v 1,, v n } engendre le K- espace vectoriel E. 1) Si la famille S est libre, donc S est une base de E. Le théorème est démontré. 2)SilafamilleSestliée, doncquitteàchangerlanumérotationdesélémentsdelafamilles,on pourra supposer que le vecteur v 1 est combinaison linéaire de certaines éléments de la sousfamaile S 1 = S\{ v 1 }. Ainsi, grâce à la proposition 17 on voit que Vect(S) = Vect(S 1 ) = E. Maintenant, si la famille S 1 = S\{ v 1 } est libre c est la base de E qu on cherche pour E et le théorèmeest doncdémontré.sinon, quitteàréindexerles éléments dela famille S 1 = S\{ v 1 } onpourrasupposerquelevecteur v 2 estcombinaisonlinéairedesélémentsdes 2 = S 1 \{ v 2 }. Noter que la proposition 17 implique que l espace vectoriel Vect(S) = Vect(S 2 ) = E. 3) Ainci, comme ci-dessus, si la sous-famille S 2 = S \ { v 1, v 2 } est libre le théorème est démontré et sinon on répète les idées du paragraphe 2) jusqu à ce qu on arrive à une sousfamille de S k S 1 S qui soit libre et génératrice de l espace vectoriel E. Théorème 16 (Base incomplète). Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Si L E est une partie libre alors pour toute famille génératrice finie S de E il existe une base finie B de E telle que L B S L. En conséquence, toute partie L E non vide et libre dans E est finie.

150 144 Base et dimension d un espace vectoriel Démonstration. Il est clair que puisque la famille S engendre l espace vectoriel E la réunion L S engendre aussi E. 1) Si la famille libre L engendre E alors en prenant B = L le théorème est démontré. 2) Si la famille libre L n engendre pas de K-espace vectoriel E il existe donc un vecteur non nul v 1 élément de la famille S\Vect(L), car sinon on aura S Vect(L) ce qui entraîne que Vect(L) = Vect(S) = E. Ainsi, comme la famille L 1 = L { v 1 } est libre, si elle engendre l espace E il s ensuit que la famille B = L 1 est une base de E telle que L B L S, et le théorème est démontré. 3) Si la famille L 1 = L { v 1 } n engendre pas E, donc il existe un vecteur non nul v 2 élément de la famille S\Vect(L 1 ) tel que si on pose L 2 = L 1 { v 2 } on obtient une famille libre avec L L 1 L 2 L S. Ainsi, si L 2 engendre l espace E on voit que B = L 2 est une base de E et sinon on continu ce processus de completion de L en une base de E. Notons que puisque la famille génératrice S est finie cela garantie que le proprossus de construction de la base B L S qui contient L s achève après un nombre fini d étapes. Pour finir cette preuve il suffit qu on démontre que la base B qu on obtiendrait en finale est finie. En effet, si la famille génératrice B ne serait pas finie la proposition 18 implique que B contient une famille génératrice finie B. Ainsi, comme Vect(B) = Vect(B ) = E il s ensuit que tout vecteur v B \B est combinaison linéaire des éléments de B ceci entraîne que B n est pas libre. Or, ceci est absurde car la famille B est libre. Par conséquent, la base B qu on a obtenu par le procedé ci-dessus est finie et la famille libre L B est elle même finie. Exercice 143. Montrer que les vecteurs e 1,, e n forment une base de l espace vectoriel réel R n et chercher les coordonnées du vecteur v R n dans cette base. 1. e 1 = (3,2), e 2 = (2,2) et v = (1,1). 2. e 1 = (1,1,1), e 2 = (1,1, 1), e 3 = (1, 1,1) et v = (1,2,3). 3. e 1 = (1,1,1,1), e 2 = (1,2,1,1), e 3 = (1,1,2,1), e 4 = (1,3,2,3) et v = (5,4,6,7) Exercice 144. Soient a, b, c et d des réels fixés différents deux à deux. Dans l espace vectoriel réel R 3 [X] on définit les sous-ensembles suivants : 1. E(a) = {P R 3 [X] P(a) = 0}. 2. E(a,b) = {P R 3 [X] P(a) = P(b) = 0}. 3. E(a,b,c) = {P R 3 [X] P(a) = P(b) = P(c) = 0}. 4. E(a,b,c,d) = {P R 3 [X] P(a) = P(b) = P(c) = P(d) = 0}. Vérifier que les sous-ensembles E(a), B(a,b), E(a,b,c) et E(a,b,c,d) sont des sous-espaces vectorels réels de R 3 [X] et trouver une base pour chacun d eux. Exercice 145. Soit B 0 = {1,X,X 2,X 3 } la base canonique de l espace vectoriel réel R 3 [X]. i) Démontrer que les deux familles de polynômes suivantes B 1 = {X 2 +1,X 2 +X+1,X(X 2 +1),X(X 2 +X+1)}. B 2 = {X 2 1,X(X 2 1),X 1,X+1}.

151 Bases et dimension d un espace vectoriel 145 sont des bases de l espace vectoriel réel R 3 [X]. ii) Déterminer les coordonnées des vecteurs de la base canonique B 0 dans la base B 1. iii) Déterminer les coordonnées des vecteurs de la base canonique B 0 dans la base B 2. iv) Vérifier que la famille L = {1 2X,X 3 X 2 } est libre dans R 3 [X] et la compléter en une base de R 3 [X]. Exercice 146. Soit z 1 et z 2 deux nombres complexes distincts et non conjugués entre eux. Dans l espace vectoriel réel des polynômes de degré au plus égal à quatre, R 4 [X], on fixe les deux sous-ensembles suivants : E(z 1 ) = {P R [ X] P(z 1 ) = 0} et E(z 2 ) = {P R [ X] P(z 2 ) = 0} 1) Vérifier que E(z 1 ) et E(z 2 ) sont des sous-espaces vectoriels réels de R 4 [X]. 2) Donner une base pour E(z 1 ) et une base pour E(z 2 ) dans les cas suivants : a) z 1 et z 2 sont réels. b) z 1 est réel et z 2 n est pas réel. c) z 1 et z 2 ne sont pas réels. 3) En se plaçant dans les divers cas a), b) et c) de la question 2); déterminer l intersection E(z 1 ) E(z 2 ) et la somme vectorielles E(z 1 )+E(z 2 ). Exercice 147. Trouver l expression du vecteur v pour que chacune des familles suivantes soit une base de son espace vectoriel indiqué : ( ) ( ) 1. B 1 = { 1 1 0, 1 1 1, v } R B 2 = {1+X+X 2 +X 3,1 X+X 2 X 2,X(X 1)(X 2), v } R 3 [X]. ( ) ( ) ( ) B 3 = {,,, v } M(2,R) Exercice 148. Pour λ R fixé on pose : E λ = {(x,y,z) R 3 x+2y z = λ}. 1) Pour tous (x,y,z) et (a,b,c) éléments de l ensemble E λ on définit la loi de composition (x,y,z) (a,b,c) = (x+a λ,y +b 1,z +c 2) R 3 i) Vérifier que est une loi interne dans l ensemble E λ. ii) Montrer que (E λ, ) est un groupe abélien. 2) Pour tout réel α R et pour tout élément (x,y,z) E λ on pose : α (x,y,z) = (αx αλ+λ,αy α+1,αz 2α+2) i) Vérifier que est une loi externe dans l ensemble E λ. ii) Montrer que (E λ,, ) est un espace vectoriel réel. 3) Pour tout réel λ R on pose : v λ = (λ 2,1,0) et w λ = (λ+1,0,1). i) Vérifier que v λ et w λ appartiennent à E λ. ii) Montrer que le sous-espace vectoriel réel Vect(v λ,w λ ) = E λ. iii) Montrer que B = {v λ,w λ } est une base de l espace vectoriel réel E λ.

152 146 Base et dimension d un espace vectoriel Dimension d un espace vectoriel Rappelons que le théorème 4 de la base incomplète implique que tout K-espace vectoriel de dimension finie E possède au moins une base finie et que toutes les familles libres dans E sont finies. La question qui se pose maintenant : Est-ce toutes les bases d un K-espace vectorel ont le même nombre d éléments? La réponse à cette question est l affirmative et elle est prouvée par le théorème suivant. Théorème 17. Si E est un K-espace vectoriel de dimension finie alors toutes ses bases sur K possèdent le même nombre d éléments. Démonstration. Supposons que le K-espace vectoriel E possède deux bases finies notées B 1 = { v 1,..., v m } et B 2 = { w 1,, w n } où m n Puisquela base B 1 engendreeil existe donc uneuniquefamille de scalaires α (1) 1,, α(1) m K non tous nuls tels que le vecteur w1 = α (1) 1 v 1 + +α (1) m v m Notons que quitte à changer la numérotation des éléments de la base B 1 on pourra supposer que le scalaire α (1) 1 0. Ainsi, puisque le vecteur v 1 = 1 w1 α(1) 2 v 2 α(1) m v m on en déduit que la famille de vecteurs F 1 = { w 1, v 2,, v m } engendre l espace vectoriel α (1) 1 α (1) 1 E. En effet, la famille F 1 est libre parce que s il existe des scalaires λ i K tels que λ 1 w1 +λ 2 v 2 + +λ m v m = 0 = λ 1 α (1) 1 v 1 +(λ 1 α (1) 2 +λ 2) v 2 + +(λ 1 α (1) m +λ m) v m = 0 Ainsi, comme la base B 1 est libre et le scalaire α (1) 1 0 on déduit que λ 1 = 0, ce qui entraîne par suite λ 2 = = λ m = 0. Maintenant,puisquela famillef 1 = { w 1, v 2,, v m } est unebasedeeil existe uneunique famille de scalaires α (2) 1,, α(2) m K non tous nuls tels que le vecteur w2 = α (2) 1 w 1 +α (2) 2 v 2 + +α (2) m v m Notons que les scalaires α (2) 2,, α(2) m ne sont pas tous nuls car sinon il en résulte que les vecteurs w 1 et w 2 de la base B 2 sont liés, ce qui est impossible. Donc, quitte à changer la numérotation des vecteurs v 2,, v m on pourra supposer que le scalaire α (2) 2 0. Ainsi, comme ci-dessus, on montre que la famille F 2 = { w 1, w 2, v 3,, v m } est une base de l espace vectoriel E. En effet, puisque l entier m n en poursuivant le raisonnement précédent on déduit que la famille F m = { w 1,, w m } est une base de E. Ainsi, si l entier m < n on pourra exprimer le vecteur w m+1 comme combinaison linéaire des éléments de la famille F m, mais ceci est impossible car les vecteurs éléments de B 2 sont indépends. Donc, l entier m = n. Définition 58. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Le nombre d éléments d une base de E sur K s appelle dimension de E et elle se note dim K (E). Lorsque E = { 0} on pose dim K (E) = 0. α (1) 1

153 Bases et dimension d un espace vectoriel 147 Proposition 55. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n Toute partie libre dans E possède au plus n éléments. 2. Toute famille libre dans E qui possède n vecteurs est une base de E. 3. Toute partie de E qui possède au moins n+1 éléments est liée. 4. Toute famille génératrice de E possède au moins n éléments. 5. Toute famille génératrice de E qui possède n éléments est une base de E. Démonstration. Les assertions de la proposition sont conséquences du théorème de la base incomplète et du théorème 5. Exemple 79. Pour tout corps commutatif K on a les formules suivantes : dim K (K n ) = n, dim K (K n [X]) = n+1, dim K (M m,n (K)) = mn Exemple 80. Soient a 1,, a n K des scalaires non tous nuls. Calculons la dimension du K-sous espace vectoriel E = {(x 1,,x n ) K n a 1 x 1 + +a n x n = 0} Puisque les scalaires a i ne sont pas tous nuls on va supposer a n 0. Ainsi, dans ces conditions, pour tout vecteur (x 1,,x n ) E on peut écrire que (x 1,,x n ) = (x 1,,x n 1, a 1 a n x 1 a n 1 a n x n 1 ) = x 1 (1,0,, a 1 a n )+ +x n 1 (0,,1, a n 1 a n ) = x 1 ( e 1 a 1 a n e n )+ +x n 1 ( e n 1 a n 1 a n e n ) Donc, grâce à cette combinaison linéaire on voit que la famille des vecteurs v 1 = e 1 a 1 a n e n, v 2 = e 2 a 2 a n e n,, v n 1 = e n 1 a n 1 a n e n est une famille génératrice du K-sous espace vectoriel E. En plus, comme toute combinaison linéaire de type α 1 v 1 + +α n 1 v n 1 = 0 (α 1,,α n 1, a 1 a n α 1 a n 1 a n α n 1 ) = (0,,0) K n implique que les scalaires α i sont tous nuls on déduit que la famille B = { v 1,, v n 1 } est libre, et donc B est une base du K-sous-espace vectoriel E. Par conséquent, dim K (E) = n 1. Exemple 81. Calculons la dimension du sous-espace vectoriel réel F = {(x,y,z,t) R 4 x+y z = 0 et x+z t = 0} Notons qu un vecteur (x,y,z,t) F si et seulement, s il est solution du système linéaire : { x+y z = 0 (S) x+z t = 0

154 148 Base et dimension d un espace vectoriel Pour trouver une base du sous-espace vectoriel F on va résoudre le système linéaire (S), pour cela on va réduire sa matrice élargie associée à la forme échelonnée réduite : ( ) ( ) ( ) Ainsi, puisque les inconnues principales x et y sont égales à x = z + t et y = 2z t on déduit que pour tout vecteur (x,y,z,t) élément de F on a (x,y,z,t) = ( z +t,2z t,z,t) = z( 1,2,1,0) +t(1, 1,0,1) La famille de vecteurs A = {( 1,2,1,0),(1, 1,0,1)} est donc engendre le sous-espace vectoriel réel F. En effet, comme toute combinaison linéaire de type a( 1,2,1,0) +b(1, 1,0,1) = (0,0,0,0) = ( a+b,2a b,a,b) = (0,0,0,0) = a = b = 0 on en déduit que la famille A est libre, donc A est une base de F. Par conséquent, dim R (F) = 2. Proposition 56. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Pour tout K-sous espace vectoriel F E les propositions suivantes sont vraies : 1. dim K (F) dim K (E). 2. On a l égalité dim K (F) = dim K (E) si et seulement si F = E. Démonstration. 1) Si F = { 0}, donc l égalité dim K (F) dim K (E) est vraie. Supposons que F { 0} et fixons une base B pour F. Notons que puisque B est aussi libre dans E le théorème de la base incomplète implqiue que B est finie. Donc, son cardinal est au plus égal à n, c est-à-dire on a dim K (F) dim K (E). 2) Il est clair que si F = E il s ensuit que dim K (F) = dim K (E). Supposons donc qu il existe un vecteur v E \F et observons que si on choisit une base B pour F il en résulte que la famille B { v } est libre dans E, donc dim K (F) < dim K (E). Par conséquent, si F E alors l égalité des dimensions dim K (F) = dim K (E) implique E = F Supplémentaire d un sous-espace vectoriel Définition 59. Soit E un K-espace vectoriel, et V 1 et V 2 E des K-sous espaces vectoriels. 1. Si l intersection V 1 V 2 = { 0 } on dira que la somme vectorielle V 1 +V 2 est dirècte, dans ce cas on pose V 1 V 2 = V 1 +V Si la somme vectorielle dirècte V 1 V 2 = E on dira que V 2 est un sous-espace vectoriel supplémentaire du sous-espace vectoriel V 1 dans E. Proposition 57 (Formule de Grassmann). Soient V 1 et V 2 deux K-sous espaces vectoriels de dimension finies. Alors, on a dim K (V 1 +V 2 ) = dim K (V 1 )+dim K (V 2 ) dim K (V 1 V 2 ) En particulier, dim K (V 1 V 2 ) = dim K (V 1 )+dim K (V 2 ).

155 Bases et dimension d un espace vectoriel 149 Démonstration. Notons que puisque les deux K-sous espaces vectoriels V 1 et V 2 sont de dimension finie, l intersection V 1 V 2 est un K-sous espace vectoriel de dimension finie. Donc, V 1 V 2 possède une base finie B = { v 1,, v r } avec dim R (V 1 V 2 ) = r. Notons aussi que d après le théorème de la base incomplète la base B pourra être complétée en deux bases des sous-espaces vectoriels V 1 et V 2 qu on désignera respectivement par : B 1 = { v 1,, v r, u 1,, u m } et B 2 = { v 1,, v r, w 1,, w n } où dim R (V 1 ) = m+r et dim R (V 2 ) = n+r. Soit a V 1 + V 2, donc il existe deux vecteurs x V 1 et y V 2 tels que a = x + y. En utilisant les bases B 1 et B 2 on peut donc trouver des scalaires (α 1,,α r,x 1,,x m ) K m+r et (β 1,,β r,y 1,,y n ) K n+r tels que x = α 1 v 1 + +α r v r +x 1 u 1 + +x m u m et y = β 1 v 1 + +β r v r +y 1 w1 + +y n wn D où la somme : a = x+y = (α 1 v 1 + +α r v r +x 1 u 1 + +x m u m ) + (β 1 v 1 + +β r v r +y 1 w1 + +y n wn ) = ((α 1 +β 1 ) v 1 + +(α r +β r ) v r ) + (x 1 u 1 + +x m u m )+(y 1 w1 + +y n wn ) Ainsi, on voit que la famille de vecteurs B = { v 1,, v r, u 1,, u m, w 1,, w n } engendre la somme vectorielle V 1 +V 2. Montrons alors que la famille B est libre. En effet, s il existe une combnaison linéaire de type alors en posant (x 1 v 1 + +x r v r ) +(y } {{ } 1 u 1 + +y m u m ) +(z } {{ } 1w1 + +z nwn ) } {{ } α V 1 V 2 β V 1 γ V 2 = 0 α = x 1 v 1 + +x r v r, β = y 1 u 1 + +y m u m et γ = z 1 w1 + +z n wn on voit que la somme α+β+γ = 0. Ainsi, comme le vecteur α+β = γ V 1 V 2 il existe des scalaires a 1,, a r K tels que γ = a 1 v 1 + +a r v r = (a 1 v 1 + +a r v r )+(z 1w1 + +z nwn ) = 0 Noter que puisque la famille B 2 est une base de l espace vectoriel V 2 il s ensuit que z 1 = = z n = 0, et donc le vecteurs γ est nul. De même, puisque maintenant on a α+β = 0 = (x 1 v 1 + +x r v r )+(y 1 u 1 + +y m u m ) = 0 et B 1 est une base de l espace vectoriel V 1 on en déduit que x 1 = = x r = 0 et que y 1 = = y m = 0.

156 150 Base et dimension d un espace vectoriel Par conséquent, puisque la famille génératrice B de la somme vectorielle V 1 +V 2 est libre, donc B est une base de V 1 +V 2 et on a : dim K (V 1 +V 2 ) = r +m+n = (r +m)+(r +n) r Autrement dit, on a dim K (V 1 +V 2 ) = dim K (V 1 )+dim K (V 2 ) dim K (V 1 V 2 ). Exemple 82. Calculons la dimension de la somme vectorielle des deux sous-espaces vectoriels réels de R 4 définis par A = {(x,y,z,t) R 4 x+y z = 0} et B = {(x,y,z,t) R 4 x+z t = 0} Pour calculer la dimension de la somme vectorielle réelle A+B on va appliquer la formule de Grassmann : dim R (A+B) = dim R (A)+dim R (B) dim R (A B). De même, rappelons que dans l exemple 44 on a vu que la dimension réelle du sous-espace vectoriel A B = {(x,y,z,t) R 4 x+y z = 0,x+z t = 0} est égale à deux. Ainsi, puisque dim R (A) = dim R (B) = 3 la formule de Grassmann implqiue que dim R (A+B) = = 4. Proposition 58. Soient S 1 = { v 1,, v m } et S 2 = { w 1,, w n } deux parties libres dans un K-espace vectoriel E. Si l intersection S 1 S 2 = et si la réunion S 1 S 2 est libre dans l espace vectoriel E, alors on a : Vect(S 1 S 2 ) = Vect(S 1 ) Vect(S 2 ) Démonstration. Notons que si un vecteurs v appartient à l intersection de Vect(S 1 ) et Vect(S 2 ) il existe des scalaires (x 1,,x m ) K m et (y 1,,y n ) K n tels que { v = x1 v 1 + +x m v m v = y1 w1 + +y n wn = x 1 v 1 + +x m v m y 1 w1 y n wn = 0 Ainsi, comme la famille S 1 S 2 est libre on en déduit que les x i et les y j sont nuls et que par conséquent le vecteur v = 0. Corollaire 25. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Tout K-sous espace vectoriel V E possède au moins un supplémentaire dans E. En plus, si V 1 et V 2 sont deux K-sous espace vectoriels supplémentaires de V dans E alors dim K (V 1 ) = dim K (V 2 ). Démonstration. Observer que si V E est un K-sous espace vectoriel muni d unebase L V le théorème de la base incomplète nous permet de trouver une base B de E telle que L B. Ainsi, si on pose L = B \L et V = Vect(L ) on obtient la somme vectorielle dirècte Vect(L L ) = Vect(L) Vect(L ) = E = V V Donc, le sous-espace vectoriel V est un supplémenaire de V dans E. D autre part, notons que si W E désigne un autre supplémentaire du sous-espace vectoriel V dans E on aura la somme vectorielle dirècte E = V W. Donc, d après la formule de Grassmann on aura : dim K (W) = dim K (E) dim K (V) = dim K (V ).

157 Bases et dimension d un espace vectoriel 151 Exercice 149. Dans l epasce vectoriel réel R 4 on fixe les quatre vecteurs : v 1 = (1,2,0, 1), v 2 = (0,1, 1,0), v 3 = (1,3,0, 2), v 4 = (0,1, 1,1) et on pose F 1 = Vect( v 1, v 2 ) et F 2 = Vect( v 3, v 4 ). 1) Calculer la dimension des sous-espaces vectoriels réels F 1 et F 2. 2) Quelle-est la dimension de la somme vectorielle réelle F 1 +F 2? 3) La famille B = { v 1, v 2, v 3, v 4 } est-elle une base de R 4? Exercice 150. réel R 2 [X] : Étudier la dépendence linéaire des familles suivantes dans l espace vectoriel 1. F 1 = {3 X+9X 2,5 6X+3X 2,1 X+5X 2 }. 2. F 2 = {1 2X 2,1+X,1+X X 2 }. 3. F 3 = {X,X X 2,X+1,X+X 2 }. 4. F 4 = {2,3+X X 2,1+X+X 2,1 X+X 2 }. Exercice 151. Étudier la dépendance linéaire dans Rn des familles de vecteurs suivantes et déterminer une base et la dimension du sous-espace vectoriel qu elles engendrent : F 1 = { v 1 = 0, v 2 = 1, v 3 = 1 } F 2 = { v 1 = 0 1, v 2 = 1 4, v 3 = 1 3 } F 3 = { v 1 = 1 2, v 2 = 1 0, v 3 = 1 3, v 4 = 4 1 } F 4 = { v 1 = 2 1, v 2 = 4 1, v 3 = 8 1, v 4 = 2 2 } Exercice 152. Soit V = {(x,y,z,t) R 4 x+y +3z 2t = 0 et x+y +4z t = 0}. 1) Montrer que V est un sous-espace vectoriel réel de dimension deux et trouver une base B = { v 1, v 2 } pour V. 2) Vérifier que v = (4,1, 1,1) appartient à V et donner ses coordonnées dans la base B. 3) On pose v 3 = (1,1,1,1). Vérifier que la famille B = { v 1, v 2, v 3 } est libre dans R 4. 4) Caractériser les vecteurs (a,b,c,d) R 4 qui appartiennent à Vect( v 1, v 2, v 3 ). 5) Compléter la famille libre B en une base de R 4.

158 152 Base et dimension d un espace vectoriel 7.2 Constructions pratiques des bases Dans ce paragraphe, on va appliquer la méthode du pivot de Gauss pour construire des bases pour les classes de sous-espaces vectoriels suivants : 1. Un sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs. 2. L ensemble solution d un système linéaire homogène. 3. La somme de deux sous-espaces vectoriels. 4. L intersection de deux sous-espaces vectoriels Le rang d une famille de vecteurs Dans cette section, étant donné une famille de vecteurs S = { v 1,, v m } K n on pose A(S) = [ v 1 v 2 v m ] = a 11 a 1m. a n1 a nm et on dit que la matrice A(S) est associée à la famille de vecteurs S. Définition 60. Soit S = { v 1,, v m } K n une famille de vecteurs. On appelle rang de la famille de vecteurs S la dimension du K-sous espace vectoriel engendré par la famille S i.e. :. rg K (S) = dim K (Vect(S)) D après la définition 22, le problème du calcul du rang d une famille de vecteurs est un problème de calcul de la dimension du sous-espace vectoriel qu elle engendre. En conséquence, pour calculer le rang d une famille d une vecteurs S = { v 1,, v m } K n il suffit qu on extrait de S une base pour le K-sous espace vectoriel Vect(S). Ou encore, il s agit de chercher quelles sont les relations de dépendance linéaire non triviales entre les éléments de la famille S? Donc, ce qui revient à chercher les scalaires α 1,, α m K non tous nuls qui induisent une combinaison linéaire de type : (E) α 1 v 1 + +α m v m = 0 Il est clair que la combinaison linéaire(e) donnée est équivalente au système linéaire homogène suivant muni de sa matrice élargie associée : (S) a 11 α 1 + +a m1 α m = 0. =. a 1n α 1 + +a mn α m = 0 A(S) = a 11 a 1m 0. a n1 a nm 0.. Observons que si on suppose que les r premières colonnes de la matrice élargie A(S), comptées depuis la gauche, sont les seules colonnes pivots de la matrice A(S) on en déduit que les

159 Constructions pratiques des bases 153 inconnues α 1,, α r sont des inconnues principales du système linéaire (S) et que la matrice élargie échelonnée réduite associée à la matrice A(S) est de la forme A = b 1,1 b 1,m r b 2,1 b 2,m r b r,1 b r,m r Dans ces conditions, on voit que les inconnues principales α 1,,α r peuvent être exprimées par les combinaisons linéaires contenant les variables libres α r+1,, α m i.e. : α 1 = (b 1,1 α r+1 + +b m r,1 α m ). = α r = (b 1,r α r+1 + +b m r,r α m ) Portonsalors les expressionsdesinconnuesprincipalesα 1,,α r danslacombinaisonlinéaire (E) pour avoir :... 0 = (b1,1 α r+1 + +b m r,1 α m ) v 1 (b 1,r α r+1 + +b m r,r α m ) v r + α r+1 v r+1 + +α m v m = α r+1 ( v r+1 b 1,1 v 1 +b 1,r v r )+ +α m ( v m b m r,1 v 1 b m r,r v r ) Ainsi, comme les variables libres α r+1,, α m varient arbitrairement dans l espace vectoriel K m r on voit que si pour chaque indice r + 1 j m on prend α j = 1 et les autres sont nuls on obtient le système des combinaisons linéaires : v r+1 = b 1,1 v 1 + +b m r,1 v r. =. v m = b 1,r v 1 + +b m r,r v r Grâce au dernier système des combinaisons linéaires on tire les remarques suivantes : 1. Vect(S) = Vect( v 1,, v r ). 2. Le rang de la famille de vecteurs S = { v 1,, v m } est égal au nombre des colonnes pivots de la matrice A(S) associée aux comopsantes des vecteurs éléments de la famille S D où le théorème : Théorème 18. Soit S = { v 1,, v m } K n une famille de vecteurs où pour chaque indice 1 i m le vecteur v i = (a i1,,a in ). Alors, on a les deux affirmations suivantes : 1. La dimension du K-sous espace vectoriel engendré par la famille S, Vect(S), est égale au nombre des colonnes pivots de la matrice associée A(S).

160 154 Base et dimension d un espace vectoriel 2. Le rang de la famille S est égal au nombre des colonnes pivots de la matrices A(S) = [ v 1 v m ] associée à S. 3. Une base du sous-espace vectoriel engendré Vect(S) est donnée par les vecteurs de la famille F qui occupent les colonnes pivots de la matrice élargie associée au système linéaire (S). Exemple 83. Dans R 4 calculons le rang de la famille F formée par les cinq vecteurs suivants : v 1 = (1,2,1,2), v 2 = ( 1,2,2, 1), v 3 = (2,1,2,1) v 4 = (2, 1, 1,2), v 5 = (2,1,1,2) Il s agit donc de calculer le nombre de toutes les colonnes pivots de la matrice élargie induite par la combinaison linéaire suivante : (C) α 1 v 1 +α 2 v 2 +α 3 v 3 +α 4 v 4 +α 5 v 5 = 0 qui est donc induite par le système linéaire suivant : α 1 α 2 +2α 3 +2α 4 +2α 5 = 0 2α 1 +2α 2 +α 3 α 4 +α 5 = 0 (S) A 0 = α 1 +2α 2 +2α 3 α 4 +α 5 = 0 2α 1 α 2 +α 3 +2α 4 +2α 5 = La première colonne de la matrice élargie A est une colonne pivot et son pivot est le coefficient a 11 = 1. Donc, si on applique les opérations élémentaires de Gauss convenables on obtient : A 0 = L 2 2L 1 L A 1 = L 3 L 1 L 3,L 4 2L 1 L A 1 = A 2 = L 2 4L 3 L A 2 = L 2 4L 4 L L 4 +L 3 L A3 = Puisque maintenant on sait que la matrice élargie échelonnée A 3 possède trois colonnes pivots le théorème 6 implique que le rang de la famille de vecteurs F est égal à trois et que l espace vectoriel réel engendré E = Vect(F) = Vect( v 1, v 2, v 3 })

161 Constructions pratiques des bases 155 est de dimension trois, en outre, la sous-famille B = { v 1, v 2, v 3 } est une base de E. D autre part, notons que pour exprimer les deux vecteurs v 4 et v 5 E dans la base B il suffit qu on réduise la matrice élargie échelonnée à la forme réduite. Ceci va nous permettre de trouver l expression des inconnues principales α 1, α 2 et α 3 en fonction des variables libres α 4 et α 5 : A 3 = L 3 /( 9) L A 4 = /3 5/ /3 8/9 0 A 4 = L 2 +3L 3 L /3 5/9 0 A 5 = /3 0 L 1 2L 3 L /3 5/ /3 8/ /3 5/9 0 A 5 = /3 0 L 2 /4 L /3 5/9 0 A 6 = /3 0 L 1 +L 2 L /3 5/ Maintenant, grâce à l expression de la matrice échelonnée réduite A 6 on déduit que les inconnues principales α 1, α 2 et α 3 sont données en fonction des variables libres α 4 = λ et α 5 = µ par les expressions suivantes : α 1 = λ/3 5µ/9 α 2 = λ+µ/3 α 3 = λ/3 5µ/9 Donc, la combison linéaire (C) peut maintenant s écrire pour tous les scalaires λ et µ R sous la forme ( λ/3 5µ/9) v 1 +(λ+µ/3) v 2 +( λ/3 5µ/9) v 3 +λ v 4 +µ v 5 = 0 qui s écrit sous la nouvelle forme suivante : λ( 1 v 1 + v 2 1 v 3 + v 4 )+µ( 5 v v 2 5 v 3 + v 5 ) = Ainsi, puisque les scalaires λ et µ sont arbitraires donc si on prend les deux couples particulier (λ,µ) = (1,0) et (λ,µ) = (0,1) on obtient les deux combinaisons linéaires suivantes : v 4 = 1 v 1 v v et v 5 = 5 v 1 1 v v Pour finir cette section nous allons décrire deux autres méthodes qui permettent de calculer le rang d une famille de vecteurs S = { v 1,, v m } et construire par la suite une base pour le sous-espace vectoriel Vect(S).

162 156 Base et dimension d un espace vectoriel Exercice 153. Calculer le rang des familles de vecteurs suivants et en extraire une famille libre : 1. F 1 = {(5, 7),(1,3),(7, 1)}. 2. F 2 = {(2, 1,3),(1,3,1),(8,4,10)}. 3. F 3 = {(1, 1,1),(1,1, 1),( 1,1,1),(1,1,1)}. 4. F 4 = {(1,2, 4,3),(2,5, 3,4),(1,1, 7,10),(1,1, 1,2)}. Exercice 154. On munit l espace vectoriel réel des polynômes R n [X] par la base canonique des monômes B = {1,X,X 2,,X n }. Calculer le rang des familles de vecteurs suivants et en extraire une famille libre : 1. F 1 = {1 X+2X 2 X 3,X+X 3,2+X+4X 2 +X 3 } R 3 [X]. 2. F 2 = {1 X,X X 2,X 2 X 3,X 3 X 4,2X 5X 2 +4X 3 X 4 } R 4 [X]. 3. F 3 = {X 4 4X,X 4 3X 2,X 4 2X 3,X 3 2X 2,X 3 X} R 4 [X] Les sous-espaces vectoriel des lignes et des colonnes d une matrice Dans cette section on considère une matrice ayant m-lignes et n-colonnes à coefficients dans le corps commutatif K notée A = a 11 a 1m. a n1 a nm Ci-dessous, les lignes de la matrices A seront regardées comme des vecteurs du K-espace vectoriel K n et nous les noterons. 1 i m, L i = (a i,1,,a i,n ) De même, on va regarder les colonnes de la matrice A comme des vecteurs du K-espace vectoriel K m et on les désigne par 1 j n, Cj = (a 1,j,,a j,m ) Les deux familles deux vecteurs { L 1,, L m } K n et { C 1,, C n } K n engendrent donc deux K-sous espaces vectoriels qu on va noter Line(A) = Vect( L 1,, L m ) et Row(A) = Vect( C 1,, C n ) et qu on appellera respectivement : espace vectoriel des lignes et espace vectoriel des colonnes. Notons que les deux K-sous espaces vectoriels Line(A) et Row(A) restent invaraints (ne changent pas) si on leurs applique les opérations élémentaires de Gauss suivantes : 1. L échange de deux vecteurs v i v j : Line(A) = Vect( L 1,, L i,, L j,, L m ) = Vect( L 1,, L j,, L i,, L m ) Row(A) = Vect( C 1,, C i,, C j,, C n ) = Vect( C 1,, C j,, C i,, C n )

163 Constructions pratiques des bases La dilatation d un vecteur par k 0, k v i v i : Line(A) = Vect( L 1,, L i,, L m ) = Vect( L 1,,k L i,, L m ) Raw(A) = Vect( C 1,, C i,, C n ) = Vect( C 1,,k C i,, C n ) 3. Remplacer le vecteur v i par une combinaison linéaire avec α i 0 α v i +β v j v i : Line(A) = Vect( L 1,, L i,, L m ) = Vect( L 1,,α L i +β L j,, L m ) Raw(A) = Vect( C 1,, C i,, C n ) = Vect( C 1,,α C i +β C j,, C n ) Ainsi, avec ces propriétés on remarque que les deux sous-espaces vectoriels des lignes Line(A) et des colonnes Row(A) sont engendrés respectivement par les lignes et les colonnes de la matrice échélonnée réduite associée à la matrice A par application de l algorithme de Gauss- Jordan : A = a 11 a 1m. a n1 a nm. A = b 1,1 b 1,m r b 2,1 b 2,m r b r,1 b r,m r En conséquence de la forme de la matrice échélonnée réduite A on déduit qu on a la proposition suivante : Théorème 19. Pour toute matrice A à m-lignes et n-colonnes on a les propositions suivantes : 1. Les K-sous espaces vectoriels des lignes Row(A) et des colonnes Line(A) associés à la matrice A ont la même dimension égale au nombre des colones pivots de la matrice A. 2. Une base du K-sous espace vectoriel Row(A) est donnée par les colonnes pivots de la matrice A. 3. Une base du K-sous espace vectoriel Line(A) est donnée par les lignes non nulles de la matrice échélonnée réduite associée à la matrice A. Gâce aux théorèmes 6 et 7 on conclut que lorsqu on se donne une famille de vecteurs non nuls S = { v 1,, v n } K m alors pour calculer le rang de la famille de vecteurs S on pourra : soit disposer les vecteurs vi S en colonnes et former une matrice ayant m-lignes et n- colonnes, et puis apliquer le théorème 6 pour déduire que le rang de la famille S est égal au nombre de colonnes pivots de la matrice associée A(S) = [ v 1 v n ] et que la base est de Vect(S) = Row(A(S)) est donnée par les colonnes pivot de A(S). ou soit disposer les vecteurs vi S en lignes et former une matrice ayant n-lignes et m- colonnes, et puis apliquer le théorème 7 pour déduire que le rang de la famille S est égal au nombre de colonnes pivots de la matrice associée A (S) dont les lignes sont les vecteurs v 1,, v n S et que la base est de Vect(S) = Row(A (S)) est donnée par toutes les lignes non nulles de la matrice échélonnée réduite associée à A (S)..

164 158 Base et dimension d un espace vectoriel Exemple 84. Déterminons une base pour les sous-espaces vectoriels réels engendrés par les lignes et les colonnes de la matrice suivante : A = Pour déterminer une base pour chacun des sous-espace vectoriels réels Row(A) et Line(A) on va transformer la matrice A à sa matrice échélonnée réduite tout en appliquant l alghorithme de Gauss-Jordan : A = Ainsi, d après la forme de la matrice échélonnée A on tire les informations suivantes : 1. Les sous-espaces vectoriels réels Row(A) et Line(A) sont de dimension quatre La famille des vecteurs colonnes C = { 2 4, 0 5, 3 0, 3 10 } constituent une base de l espace vectorie réel Row(A). 3. La famille des vecteurs lignes L = {(1,0,2,0,0),(0,1,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,0,0,0,1)} constituent une base de l espace vectorie réel Line(A). Exercice 155. Calculer la dimesnion des sous-espaces des lignes et des colonnes des matrices suivantes et donner une base pour chacun d eux : A = ,B = ,C = Bases de l ensemble solution d un système linéaire homogène Considérons le système linéaire suivant à coefficients dans un corps commutatif K : a 1,1 x 1 + +a 1,m x m = 0 a 1,1 a 1,m 0 (S). =. A =... a n,1 x 1 + +a n,m x m = 0 a n,1 a n,m 0 Rappelons que d après la proposition 11 l ensemble solution S du sysème linéaire (S) est un K-sous espace vectoriel de K m. Donc, il est naturelle de se poser les deux question suivantes :

165 Constructions pratiques des bases Quelle est la dimension du K-sous espace vectoriel S? 2. Chercher une base pour le K-sous espace vectoriel S. Pour répondre aux deux questions posées il suufit qu on réduise la matrice élargie A associée au système linéaire (S) à sa forme échelonnée réduite. Pour fixer les idées on va supposer que les r-premières colonnes de la matrice A sont des colonnes pivots. Autrement dit, on va supposer que les inconnues x 1,, x r sont principales tandis que les inconnues x r+1,, x m sont des variables libres, en conséquence, la matrice élargie échelonnée réduite associée à la matrice A est de de la forme : b 1,1 b 1,m r b 2,1 b 2,m r 0 A. = b r,1 b r,m r Noter que le système linéaire associé à cette matrice écholonnée réduite est égal à : x 1 = [b 1,1 x r+1 + +b 1,m r x m ]. = x r = [b r,1 x r+1 + +b r,m r x m ] Maintenant, munissons le K-espace vectoriel K m par sa base canonique { e 1,, e m } et observons que si le vecteur (x 1,,x m ) K m est solution du système linéaire (S) on déduit alors que le vecteur (x 1,,x m ) = ( [b 1,1 x r+1 + +b 1,m r x m ],, [b r,1 x r+1 + +b r,m r x m ],x r+1,,x m ) = x r+1 (b 1,1 e 1 + +b r,1 e r + e r+1 )+ + x m (b 1,m r e 1 + +b r,m r e r + e m ) Ainsi, grâce à cette combinaison linéaire on voit que la famille de (m r) vecteurs v 1 = [b 1,1 e 1 + +b r,1 e r ]+ e r+1. =. v m r = [b 1,m r e 1 + +b r,m r e r ]+ e m engendre l ensemble solution S du système linéaire (S) i.e. : S = Vect( v 1,, v m r ) D autre part, notons que s il existe des scalaires α 1,, α m r K tels que α 1 v 1 + +α m r v m r = 0 K m on en déduit que le vecteur (b 1,1 α 1 + +b m r,1 α m r,,b 1,r α 1 + +b m r,r α m r,α 1,,α m r ) = (0,,0) K m

166 160 Base et dimension d un espace vectoriel Ainsi, puisque α 1 = = α m r = 0 la famille B = { v 1,, v m r } est libre. Ceci démontre le théorème : Théorème 20. Si la matrice élargie d un système linéaire homogène (S) à m 1 inconnues possède r 0 colonnes pivots alors la dimension de l ensemble solution du système (S) est égale à m r. Autrement dit, le nombre des variables libres d un système linéaire homogène est égal à la dimension de son ensemble solution. Exemple 85. Calculons la dimension du système linéaire homogène suivant : (S) 2x 5y +8z = 0 2x+7y 4z = 0 2x+y +2z = 0 A = D après le théorème 7, la dimension de l ensemble solution du système (S) est égale au nombre de ses variables libres. Donc, pour les identifier il suffit qu on identifier les colonnones pivots de la matrice élargie A. A = A = Par conséquent, puisque la matrice du système linéaire (S) possède deux colonnes pivots donc l ensemble solution du système S est un sous-espace vectoriel réel de dimension 3 2 = 1. Pour construire une base du sous-espace vectoriel S il suffit qu on cherche la forme échelonnée réduite de la matrice A A / Maintenant, puisque tout vecteur solution (x,y,z) S est égal à (x,y,z) = ( 3/2z,z,z) on conclut que B = {( 3/2,1,1)} est une base de l ensemble solution S. Exercice 156. Trouver une base de l ensemble solution de chacun des systèmes linéaires homogènes suivants : (S 1 ) 5x 3y +2z +4t = 0 4x 2y +3z +7t = 0 7x 3y +7z +17t = 0, (S 2 ) x+2y z +t = 0 y +3z +2t = 0 x+y 4z t = 0 x+y +10z +5t = 0 (S 3 ) 2x y +5z +7t = 0 4x 2y +7z +5t = 0 2x y +z 5t = 0, (S 4 ) 3x+2y +5z +2t+7w = 2x+4y +7z +4t+5w = 0 3x+2y z +2t 11w = 0 6x+4y +z +4t 13w = 0

167 Constructions pratiques des bases Système d équations linéaires d un sous-espace vectoriel Rappelons que d après la proposition 11 l ensemble solution d un système d équations linéaires homogène est un espace vectoriel. Ici, dans ce paragraphe, étant donné un sous-espace vectoriel V K m, on se propose de trouver un système linéaire homogène (S) dont la solution soit égale au sous-espace vectoriel donné V. Autrement dit, étant donné un K-sous-esepace vectoriel de K m on va chercher son système d équations linéaires. Soit V K m un K-sous espace vectoriel que l on suppose engendré par la famille de vecteurs S = { v 1,, v n } K m. Pour tout indexe 1 i n on suppose que le vecteur : v i = (a i,1,,a i,m ) est solution de l équation linéaire homogène à n inconnues : (E) α 1 x 1 +α 2 x 2 + +α m x m = 0 Ceci nous donne le système linéaire homogène à n-lignes suivant dont les inconnues sont les coefficients α 1, α 2,, α m K : α 1 a 1,1 +α 2 a 1,2 + +α m a 1,m = 0 α 1 a 2,1 +α 2 a 2,2 + +α m a 2,m = 0 (S). =. α 1 a n,1 +α 2 a n,2 + +α m a n,m = 0 Pour fixer les idées supposons que les r-première colonnes de la matrice élargie asociée au système linéaire homogène (S) sont des colonnes pivots, donc les inconnues x 1,, x r sont les inconnues principales de (S). Sous cette hypothèse on déduit que la dimsenion du K-sous espace vectoriel Vec(S) est de dimension r 0, et donc si on réduit la matrice élargie du système (S) à sa forme échelonnée réduite on obtient les expressions linéaires suivantes : α 1 = α 1,1 α r+1 + +α 1,m r α m. =. α r = α r,1 α r+1 + +α r,m r α m Observons que si on porte ces expressions dans l équation recherchée(e) on obtient l équation linéaire, (α 1,1 α r+1 + +α 1,m r α m )x 1 + +(α r,1 α r+1 + +α r,m r α m )x r +α r+1 x r+1 + +α m x m = 0 qui se factorise sous la forme suivante : α r+1 [α 1,1 x 1 + +α r,1 x r +x r+1 ]+ +α m [α 1,r m x r + +α r,r m x r +x m ] = 0 D autre part, observons que si on donne aux variables libres α r+1,, α m les valeurs α r+1 = 1, α r+2 = 0 α m = 0 α r+1 = 0, α r+2 = 1 α m = α r+1 = 0, α r+2 = 0 α m = 1

168 162 Base et dimension d un espace vectoriel on obtient le système des équations linéaires suivant (α 1,1 x 1 + +α r,1 x r )+x r+1 = 0 (S )... (α 1,m r x 1 + +α r,m r x r )+x m = 0 dont l ensemble solution S contient le K-sous espace vectoriel Vect(S). En effet, comme la matrice élargie associée au système linéaire (S ) A = α 1,1 α r, α 1,2 α r, α 1,m r α r,m r possède (m r)-colonne pivots, c est le nombre maximal de pivots que devait avoir la matrice A, onen déduitquel ensemblesolution S dusystèmelinéaire (S ) est égale àm (m r) = r. Ainsi, puisque on a Vect(S) = S on conclut que (S ) est le système des équations linéaires du K-sous espace vectoriel Vect(S). Exemple 86. Cherchons les équations du sous-espace vectoriel réel engendré dans R 5 par les trois vecteurs v 1 = (2, 3,1,1, 2), v 2 = (2, 5,0,3,1), v 3 = (1,1, 1,0, 2) Il s agit en fait de chercher des scalaires a 1, a 2, a 3, a 4 et a 5 de sorte que l espace vectoriel Vect( v 1, v 2, v 3 ) soit solution d une famille d équations linéaires de type : a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 +a 4 x 4 +a 5 x 5 = 0 Pour trouver l expression des scalaires inconnus a 1, a 2, a 3, a 4 et a 5 il suffit qu on porte les composantes des trois vecteurs donnés dans l équation linéaire qu on cherche. Cette opération nous donne donc le système linéaire suivant : 2a 1 3a 2 +a 3 +a 4 2a 5 = 0 (S) 2a 1 5a 2 +3a 4 +a 5 = 0 a 1 +a 2 a 3 2a 5 = 0 A = Dans la suite, nous allons effectuer les opérations élémentaires de Gauss sur la matrice élargie A associée au système linéaire (S) et nous encadrerons ses pivots L 2 L 1 L 2 2L 3 L 1 L 3 2L 3 +5L 2 L

169 Constructions pratiques des bases 163 L 3 /11 L 3 L 2 +L 3 L 2 L 1 L 3 L L 2 /2 L 2 L 1 +3L 2 L L 1 /2 L Ainsi, d après l expression de la matrice échelonnée réduite trouvée on déduit que les inconnues a 1, a 2 et a 3 sont des inconnues principales tandis que les inconnues a 4 = λ et a 5 = µ sont des variables libres. D où a 1 = 1 11 λ+2µ a 2 = 7 11 λ+µ a 3 = 8 11 λ+µ Donc, l espace vectoriel Vect( v 1, v 2, v 3 ) est solution de l équation analytique suivante ( 1 11 λ+2µ)x 1 +( 7 11 λ+µ)x 2 +( 8 11 λ+µ)x 3 +λx 4 +µx 5 = 0 que l on peut écrire sous la forme λ( 1 11 x x x 3 +x 4 )+µ(2x 1 +x 2 +x 3 +x 5 ) = 0 Ainsi, puisque les paramètres réels λ et µ varient librement on déduit que le sous-espace vectoriel réel Vect( v 1, v 2, v 3 ) a pour équations analytiques le système linéaire { x 1 +7x 2 +8x 3 +11x 4 = 0 2x 1 +x 2 +x 3 +x 5 = 0

170 164 Base et dimension d un espace vectoriel Exemple 87. Cherchons l équation analytique du plan affine de R 3 qui passe par les trois points P 1 = (1,1,0), P 2 = (0,1,1), P 3 = (1,0,1). Il s agit de trouver des scalaires a, b, c et d pour que les points P 1, P 2 et P 3 soit solution l équation est linéaire ax+by +cz = d. Porte les composantes des points P i dans l équation linéaire ax+by+cz = d pour obtenir le système linéaire suivant : a+b = d b+c = d a+c = d = a = b c = b d = 2b Ainsi, si dans l équation linéaire ax+by +cz = d on remplace les coefficients a, c et d par leurs expressions trouvées, avec b libre, on déduit que le plan qui passe par les points P 1, P 2 et P 3 a pour équation linéaire : x+y +z = 2. Exercice 157. Trouver le système des équations linéaires des sous-espaces vectoriels réels engendrés par les familles de vecteurs suivantes : 1. v 1 = (1, 2,2), v 2 = (1,2,0), v 3 = (5, 2,6); 2. u 1 = (1, 4,2,3), u 2 = (4,1,1, 1), u 3 = (1,13, 5, 10); 3. w 1 = (1, 1, 1, 1), w2 = (1,1, 1, 1), w3 = (1,1,1, 1); 4. x 1 = (1,1, 1,2), x 2 = (2,3, 1, 2), x 3 = (1,1,1,3), x 4 = ( 1, 2, 2,3). Exercice 158. Soient P 0 = (1,1,0), P 1 = (0,1,1) et P 2 = (1,0,1) R 3. Montrer que le sous-espace affine réel Aff(P 0,P 1,P 2 ) = {(x,y,z) R 3 x+y +z = 2}. Exercice 159. Soient a, b, et c des réels non nuls. Si A = (a,0,0), B = (0,b,0) et C = (0,0,c) R 3 montrer que le sous-espace affine réel Aff(A,B,C) = {(x,y,z) R 3 x a + y b + z c = 1} Bases de l intersection de deux sous-espaces vectoriels Dans le K-espace vectoriel K n, considérons deux K-sous espaces vectoriels V 1 et V 2 que l on suppose engendrés par les deux familles de vecteurs X = { v 1,, v m } et Y = { w 1,, w p } Donc, un vecteur v appartient au sous-espace vectoriel V 1 V 2 si et seulement s il existe deux familles de scalaires (α 1,,α m ) K m et (β 1,,β p ) K p tels que v = α1 v 1 + +α m v m = β 1w1 + +β pwp Il est clair que pour trouver tous les vecteurs éléments de l intersection V 1 V 2 il suffit qu on résoud le système linéaire associé à la dernière combinaison linéaire α 1 v 1 + +α m v m (β 1w1 + +β pwp ) = 0 qui a n-lignes et (m+p)-inconnues (α 1,,α m,β 1,,β p ) K m+p. On va appliquer cette idée dans l exemple suivant :

171 Constructions pratiques des bases 165 Exemple 88. Calculons la dimension de l intersection de deux sous-espaces vectoriels réels V 1 et V 2 R 4 engendrés respectivement par les deux familles X = { v 1 = (1, 2,3,1), v 2 = (2, 1,0, 1)} et Y = { w 1 = (1,1, 3, 2), w 2 = (1,3,2,1)} Il est clair qu un vecteur (a,b,c,d) appartient à l intersection V 1 V 2 si et seulement s il existe des scalaires x, y, α et β R tel que x+2y = α+β (a,b,c,d) = x v 1 +y v 2 = α w 1 +β 2x y = α+3β w 2 = 3x = 3α+2β x y = 2α+β La matrice élargie associée au système linéaire (S) est donc égale à D après la forme de la matrice échelonnée réduite trouvée on d eduit que les scalaires (x,y,α,β) = ( α,α,α,0), α R Donc, le vecteur (a,b,c,d) appartient à l intersection V 1 V 2 si et seulement si on a (a,b,c,d) = α( v 1 + v 2 ) = α w 1 = V 1 V 2 = R( v 1 + v 2 ) = R w 1 Par conséquent, l espace vectoriel V 1 V 2 est de dimension un sur R Base de la somme de deux sous-espaces vectoriels Dans le K-espace vectoriel K n, considérons deux K-sous espaces vectoriels V 1 et V 2. Notons que si on suppose que B 1 est une base de V 1 et B 2 est une base de V 2 alors la réunion B 1 B 2 est une famille génératrice de la somme vectorielle V 1 +V 2 = Vect(B 1 )+Vect(B 2 ) = Vect(B 1 B 2 ) Pour construire une base de la somme vectorielle V 1 +V 2 il suffit qu on extrait de la famille B 1 B 2 une famille libre dont le nombre d éléments est égal à la dimension de V 1 +V 2. Eneffet, d aprèslethéorème6il suffitqu oncalcule lenombredecolonnes pivotsdelamatrice dont les colonnes sont égales aux vecteurs éléments de la réunion B 1 B 2. Cette idée nous allons l appliquer sur l exemple suivant :

172 166 Base et dimension d un espace vectoriel Exemple 89. Considérons les deux sous-espaces vectoriels réels V 1 et V 2 R 4 engendrés respectivement par les deux familles X = { v 1 = (1, 2,3,1), v 2 = (2, 1,0, 1)} et Y = { w 1 = (1,1, 3, 2), w 2 = (1,3,2,1)} Il est facile de vérifier que les familles de vecteurs X et Y sont libres dans l espace vectoriel réel R 4, donc ce sont des bases respectives de V 1 et V 2. Par conséquent, puisque d après l exemple précédent on sait que dim R (V 1 V 2 ) = 1 la formule de Grassmann implique que dim R (V 1 +V 2 ) = dim R (V 1 )+dim R (V 2 ) dim R (V 1 V 2 ) = = 3 Ceci nous montre que le rang de la famille X Y est égal à trois, et donc elle ne contient que trois vecteurs linéairement indépndants qui engendrent la somme vectorielle V 1 +V Ainsi, puisque d après la dernière matrice échelonnée on voit que la première colonne, la deuxième colonne et la quatrième colonne sont des colonnes pivots, on déduit que les trois vecteurs { v 1, v 2, w 2 } constituent une base de la somme vectorielle V 1 +V 2. Exercice 160. Soient S 1 = { v 1,, v p } et S 2 = { w 1,, w q } deux familles disjointes et libres dans un K-espace vectoriel E. 1) Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : 1. La famille S 1 S 2 est libre dans E. 2. Vect(S 1 ) Vect(S 2 ) = { 0}. 2) Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : 1. La famille S 1 S 2 est une base de E. 2. E = Vect(S 1 ) Vect(S 2 ). Exercice 161. Déterminer une base et la dimension des sous-espaces vectoriels X et Y R n engendrés resprectivement par les familles de vecteurs {X 1,,X k } et {Y 1,,Y m }. Puis, déterminer une base et la dimension de leur somme vectorielle et de leur intersection. 1. X 1 = (1,1,1),X 2 = (1, 1,2) et Y 1 = (2,0,3),Y 2 = ( 1,2,1). 2. X 1 = (3, 1,5),X 2 = (1, 3,4),X 3 = (1,5, 3) et Y 1 = (1,3,9),Y 2 = ( 3, 2,5). 3. X 1 = (1,2,1,0),X 2 = ( 1,1,1,1) et Y 1 = (2, 1,0,0,1),Y 2 = (1, 1,3,7). 4. X 1 = (1,2, 1, 2),X 2 = (3,1,1,1),X 3 = ( 1,0, 1,1) et Y 1 = (2,5, 6, 5),Y 2 = (1,2, 7,1).

173 Constructions pratiques des bases 167 Exercice 162. On appelle trace d une matrice A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 élément de l espace a 31 a 32 a 33 vectoriel réel M(3,R) le scalaire noté Tr(A) = a 11 +a 22 +a 33. 1) Vérifier que le sous-ensemble Tr 3 = {A M(3,R) Tr(A) = 0} est un sous-espace vectoriel réel de M(3, R) de dimension huit. 2) Vérifier que le sous-ensemble E = {A M(3,R) a 11 +a 12 +a 13 = 0,a 21 +a 22 +a 23 = 0,a 31 +a 32 +a 33 = 0 } est un sous-espace vectoriel réel de M(3, R) de dimension six. 3) Trouver une base du sous-espace vectoriel réel Tr 3 E. 4) Montrer que la somme vectorielle E+Tr 3 = M(3,R). Exercice 163. Étant donné un couple de polynômes réels premiers entre eux A et B tels que deg(a) = n 1 et B = m 1, on pose E(A) = {P R m+n [X] A divise P} et E(B) = {P R m+n [X] B divise P} 1) Montrer que E(A) et E(B) sont des sous-espaces vectoriels réels de R n+m [X]. 2) Calculer la dimension des sous-espaces vectoriels E(A) et E(B). 3) Trouver un supplémentaire de E(A) (resp. E(B)) dans R n+m [X]. 4) Calculer la dimension du sous-espace vectoriel réel E(A) E(B). 5) En déduire que la somme vectorielle E(A)+E(B) = R n+m [X]. Exercice 164. Pour tout entier n 1 on pose R n [X] = {P(X) R[X] deg(p) n}, et pour P R n [X] fixé on désigne par E P R n [X] le sous-ensemble des polynômes multiples de P. 1) Montrer que E P est un sous-espace vectoriel de R n [X], et calculer sa dimension. 2) Soient P et Q R n [X] premiers entre eux et tels que deg(pq) = n. i) Déterminer, E P E Q. ii) Calculer la dimension de la somme vectorielle E P +E Q. iii) En déduire qu il existe deux polynômes U et V R n [X] tels que UP+VQ = 1. Exercice 165. On désigne par R n [X] l espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n et que l on suppose muni de sa base canonique B(0) = {1,X,,X n }. 1) Pour tout réel a R, montrer que la la famille des monômes B n (a) = {1,X a,,(x a) n } est une base de R n [X]. 2) Trouver les coordonnées de tout polynôme P élément de R n [X] dans la base B n (a). 3) i) Montrer qu un polynôme réel P R n [X] est de degré n 0 si et seulement, si sa dérivée d ordre n est non nulle i.e. deg(p) = n p (n) (X) 0 et P (n+1) (X) = 0

174 168 Base et dimension d un espace vectoriel ii) Montrer que si P R n [X] est de degré n 0 alors la famille de ses dérivées est une base de l espace vectriel réel R n [X]. {P,P,,P (n) } iii) Interpréter le résultat de 2) quand le polynôme P(X) = 1 n! (X a)n avec a R. 4) Supposons que le polynôme P(X) = (X a)(x b) avec a b. i) Trouver les coordonnées des monômes {1,X,X 2 } dans la base {P,P,P (2) }. ii) Trouver les coordonnées d un polynôme Q(X) R 2 [X] dans la base {P,P,P (2) }. Exercice 166. Dans R on fixe une famille de n+1réels strictement croissants {a 0,a 1,,a n } et pour tout indice 0 i n on pose ω i (X) = 0 j n j i (X a j ) R n [X] 1) Montrer que la famille de polynômes B = {ω 0 (X),,ω n (X)} est une base de l espace vectoriel R n [X]. 2) Trouver les coordonnées de tout polynôme P R n [X] dans la base B. 3) En particulier, trouver les coordonnées de la base canonique B(0) = {1,X,,X n } de i=n R n [X] dans la base B. Indication : Écrire P(X) = λ i ω i (X) avec les λ i R à rechercher. Exercice 167. Soit a R. Pour tout entier 0 k n on désigne par E k (a) R n [X] le sous-ensemble des polynômes qui possèdent le réel a comme racine multiple d ordre k. 1) Montrer que le sous-ensemble E k (a) est un sous-espace vectoriel réel de R n [X]. 2) Montrer que la famille de polynômes B 1 = {(X a) k X l ;0 l n k} est libre dans le sous-espace vectoriel E k (a). En déduire la dimension de E k (a). 3) Montrer que la famille de polynômes B 2 = {(X a) k+l ;0 l n k} est une base du sous-espace vectoriel E k (a). 4) Trouver les coordonnées de chaque élément de la base B 1 dans la base B 2 et inversement. Exercice 168. On rappelle qu une fraction rationnelle P élément du corps K(X) est dite Q régulière si le degré deg(p) < deg(q). L ensemble des fractions rationnelles régulières sera désigné par K(X) K(X). 1) Montrer que K(X) est un sous-espace vectoriel de K(X). 2) Montrer qu on a la somme vectorielle dirècte : K(X) = K[X] K(X). 3) Pour tous a K et m N on pose : i=0 K a (X) = {P K(X) n N,(X a) n P(X) K[X]}; K a,m (X) = {P K(X) n N,n m,(x a) n P(X) K[X]}. i) Montrer que K a (X) est un K-sous espace vectoriel de K(X). ii) Montrer que K a,m (X) est un K-sous espace vectoriel de K(X) de dimension finie. iii) Montrer que si n m alors K a,n (X) K a,m (X). En déduire que K a (X) = est de dimension infinie. n N K a,n (X)

175 Constructions pratiques des bases 169 iv) Pour tous a b, montrer que la somme vectorielle K a,n (X)+K b,m (X) est dirècte. 4) Soient m et n N. Pour tous a et b éléments de K on pose : K(a,m;b,n) = {P(X) K(X) (X a) m (X b) n P(X) K[X]} i) Montrer que K(a,m;b,n) est un sous-espace vectoriel de K(X). ii) Montrer que K(a,m;b,n) = K a,m (X) K b,n (X).

176 Chapitre Huit Les applications linéaires et les matrices 8.1 L algèbre des matrices La structure de K-algèbres Définition 61. Soient K un corps commutatif et (A,+, ) un anneau associatif. On dira que A est une K-algèbre s il existe une loi de composition externe, : K A A, qui vérifie les propriétés suivantes : 1. (A, +, ) est un K-espace vectoriel. 2. ( k K)( a,b A), k (a b) = (k a) b = a (k b). Si A est unitaire (resp. est commutatif), en tant que anneau, on dira que (A,+,, ) est une K-algèbre unitaire (cf. est commutative). Exemple 90. 1) Un corps commutatif K est une K-algèbre commutative unitaire. 2) Le corps des nombres complexes C est une R-algèbre commutative unitaire. 3) Puisque l anneau des polynômes K[X] est un K-espace vectoriel, donc c est une K-algèbre commutative uniataire. 4) Le corps des fractions rationnelles K(X) est une K-algèbre commutative unitaire L algèbre des matrices Étant donné un corps commutatif K, au chapitre 4, pour tout couple d entiers m 1 et n 1 nous avons défini la structure de K-espaces vectoriels sur l ensemble des matrices de type (m,n) et à coefficients dans K noté M m,n (K). ) A = (a ij 1 i m 1 j n M m,n (K) A = n 1 a 1,1 a 1,2 a 1,n 2 a 2,1 a 2,2 a 2,n.... où a i,j K m a m,1 a m,2 a m,n

177 L algèbre des matrices 171 Onrappellequ auchapitre1(cf.1.1.2), nousavonsdéfinisurl ensembledesmatricesm m,n (K) une structrure de K-espace vectoriel dont la loi de composition interne additive est définie par l expresion : ( (a ij ) 1 i m,(b ij ) 1 i m 1 j n 1 j n M m,n (K)), (a ij ) 1 i m 1 j n +(b ij ) 1 i m 1 j n = (a ij +b ij ) 1 i m 1 j n et la multiplication externe par un scalaire λ K sur une matrice (a ij ) 1 i m 1 j n est définie par l expression M m,n (K) λ (a ij ) 1 i m ) = (λa ij ) 1 i m 1 j n 1 j n Le K-espace vectoriel des matrices M m,n (K) est de dimension mn sa base canonique est donnée par la famille des matrices élémentaires : E i,j = 1 j n i m Dans la suite suite de ce paragraphe, on va introduire une loi de composition multiplicative sur les matrices qui ne sont pas nécessairement de même type. Lorsque les matrices considérées sont des matrices carrées on obtiendra, grâce à cette multiplication, la structure d algèbre associative unitaire mais non commutative lorsque les matrices sont type (n,n) avec n 2. ) Définition 62. Soient A = (a ij 1 i m 1 j n deux matrices. On appelle matrice produit de A par B la matrice notée ) et B = (a ij 1 j n 1 k p ) A B ou AB = (c ij 1 i m 1 k p k=n où c ij = a ik b kj k=1 Notons que d après la définition 2 le produit matriciel AB n est défini que si le nombre des colonnes de la matrice A est égal au nombres des lignes de la matrice B comme il est illustré sur les tableaux suivants i.e. : a 11 a 1n..... b 11 b 1j b 1p. a i,1 a i,n =.... b n1 b nj b np a m1. a mn c 11 c 1j c 1p c i1 c ij c ip c m1 c mj c mp

178 172 Les applications linéaires et les matrices Exemple 91. 1) Calculons le produit de la matrice A = par B = (1)+2( 5)+0(3) 1(2)+2(0)+0( 4) 1 2 AB = = 1(1)+0( 5)+3(3) 1(2)+0(0)+3( 4) 2(1)+2( 5)+0(3) 2(2) 2(0)+0( 4) (1)+ 4( 5)+1(3) 3(2)+ 4(0)+1( 4) 9 2 Ainsi, après simplifications on obtient le produit AB = ) Calculons le produit des deux matrices C = et D = Notons d abord que le produit CD a un sens, il nous donnera une matrice ayant trois liges et une seule colonne : (1)+2(3)+0( 2)+0(5) 7 CD = = 1(1)+0(3)+3( 2)+1(5) = (1)+2(3)+0( 2) 7(5) ) Le produit des deux matrices E = (1,0, 1,0) et F = matrice à une seule ligne et à deux colonnes : nous donnera une 2 5 (1,0, 1,0) = (1(2)+0( 5) 1( 6)+0(0),1( 5)+0(0) 1(2)+0(2)) = (8, 7) 0 2 Il est clair que l ensemble des matrices M m,n (K) serait stable par le produit des matrices si et seulement si m = n. Notons aussi quele produit matriciel dans M(n,K) n est pas commutatif et possède des propriétés importantes qu on va étudier dans le reste de ce paragraphe. ( ) ( ) Exemple 92. Considérons les deux matrices carrées A = et B = et calculons leurs produits AB et BA :

179 L algèbre des matrices 173 AB = BA = ( )( ) ( ) = ( 0 1 )( 1 0 ) ( 1 0 ) = AB BA = Donc, le produit des matrices carrées d ordre n 2 n est pas commutatif. ( ) 1 1 Notons aussi quepuisque le produit des deux matrices carrées C = et D = 1 1 ( )( ) ( ) = ( on en déduit que dans l ensemble des matrices carrées d ordre n 2 si un produit de matrices XY est nul cela n implique pas que la matrice X ou Y est nulle. La proposition suivante nous donnera les propriétés algébriques essentielles du produit des matrices. Proposition 59. Soient A, B et C des matrices à coefficients dans K. Lorsque le produit matriciel est bien défini alors on a les formules suivantes : 1. A(BC) = (AB)C (associativité). 2. A(B+C) = AB+AC (distributivité à gauche). 3. (A+B)C = AC+BC (distributivité à droite). 4. ( k K),k(AB) = (ka)b = A(kB). ) 5. I m A = A = AI n où la matrice I n = (a ij 1 i n 1 j n s appelle matrice unité d ordre n 1 dont les coefficients sont définis par les expressions : { 0 si i j a ij = I n = 1 si i = j Corollaire 26. Pour tout entier n 1 l ensemble des matrices carrées M(n,K) est stable par le produit matriciel. De plus, (M(n, K), +,, ) est une K-algèbre associative unitaire dont l élément neutre est égal à la matrice carrée unité I n. Corollaire 27. Si les matrices A et B commutent dans l algèbre M(n,R) (i.e. AB = BA) alors pour tout entier k N on a la formule du binôme de Newton : p=k (A+B) k = C p k Ap B k p En particulier, pour toute matrice A élément de M(n,K) on a : p=0 k N, (I n +A) k = p=k C p k Ap p=0 ) :

180 174 Les applications linéaires et les matrices Exemple 93. Soit la matrice A = égaux à : A 2 = AA = ( ( ) )(. Notons que le carré A 2 et le cube A 3 sont et ( )( ) ( ) A 3 = AA = = ( ) En procédant par récurrence, on vérifie que pour tout n N la puissance A n 1 n = Exemple 94. Soit a R. Calculons les puissances de la matrice B = 0 a Notons que le carré de la matrice B est égal à : B 2 = 0 a 0 0 a Supposons que pour tout entier 0 p n on a B p = ) = n B n+1 = BB n = 0 a 0 0 a n = ( 1 0 p 0 a p = ) a , et calculons la puissance 1 0 n+1 0 a n Donc, d après le principe de récurrence, pour tout entier n N on a B n = Exercice 169. Calculer la puissance n-ième des matrices suivantes : ( ) ( ) ( ) 1 1 a b cos(t) sin(t) A =, B =, C = 0 a 0 a sin(t) cos(t) Exercice 170. Soient les matrices A = J n, et en déduire l expression de A n. Exercice 171. Soient les deux matrices A = 1) Calculer A et A 2. 2) En déduire l expression de la puissance B n n 0 a n et J = A I 3. Calculer les puissances et B = I 3 +B.

181 L algèbre des matrices Exercice 172. Calculer les puissances n-ièmes de la matrice N = , et en déduire l expression de la puissance (I 4 +N) n, n N. a b 0 Exercice 173. Si A = b a 0 est une matrice réelle montrer que pour tout n N, A n = Matrices particulières (a+b) n +(a b) n (a+b) n (a b) n 0 (a+b) n (a b) n (a+b) n +(a b) n Transposé d une matrice ) À toute matrice A = (a ij on associe une matrice appelée matrice transposée de A, 1 i m 1 j n notée A t (ou A T ), dont les lignes sont égales aux colonnes de A et dont les colonnes sont égales aux lignes de A. C est-à-dire on a A = a 11. a 1n.... a m1 a mn = At = a 11. a 1n. a m a mn En appliquant les résultat du théorème 7 aux colonnes et aux lignes des deux matrices A et A t on obtient le corollaire suivant : Corollaire 28. Pour toute matrice A élḿent de M m,n (K) on a les égalités : Row(A) = Line(A t ) et Line(A) = Row(A t ) En conséquence, la matrice A et sa transposé A t ont le même nombre de colonnes pivots. Exemple 95. Les matrices transposées des matrices suivantes y 1 ( ) A = (x 1,,x n ), B =., C = 1 2 0, D = sont données par x 1 A t =., Bt = x n y m (y 1,,y m ), C t = , D t =

182 176 Les applications linéaires et les matrices Proposition 60. La transposition des matrices vérifie les propriétés suivantes : 1. (A t ) t = A. 2. (AB) t = B t A t. 3. (A+B) t = A t +B t. 4. k K,(kA) t = ka t. Exemple ( ) 96. 1) Ici, on regarde les éléments de R 2 comme étant des matrices unicolonne : a x =. Calculons les deux produits : xx t et x t x. b ( ) ( ) ( ) xx t a a 2 ab = (a,b) = b ba b 2 et x t a x = (a,b) = a 2 +b 2 b De la même façon, si on regarde les éléments de R 2 comme étant des matrices uniligne : y = (α,β) on obtient les deux produits : yy t et y t y. ( ) ( ) ( ) yy t α = (α,β) = α 2 +β 2 et y t α α 2 αβ y = (α,β) = β β βα β 2 Plus généralement, si on regarde les éléments de K n comme étant des matrices unicolonne on vérifie que pour tout x K n le produit xx t M(n,K) et que le produit x t x K. En revanche, si on regarde les éléments de K n comme étant des matrices uniligne on vérifie que pour tout y K n le produit yy t K et que le produit y t y M(n,K) Matrices symétriques et antisymétriques Définition 63. Soit A une matrice carrée d ordre n On dira que A est symétrique si A t = A. 2. On dira que A est antisymétrique si A t = A. OndésigneparS(n,K) M(n,K)lesous-ensembledesmatricessymétriques,etparA(n,K) M(n, K) on désigne le sous-ensemble des matrices antisymétriques. ( ) Exemple 97. 1) Soit la matrice carrée A = a b c d. La matrice A est symétrique si et seulement, si on a : ( ) ( ) A = A t a b a c = c d b d = b = c Donc, une matrice carrée A élément de M(2,R) est de la forme A = 2) 1) Soit la matrice carrée A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ( a b b d. La matrice A est donc symétrique si ).

183 L algèbre des matrices 177 et seulement, si on a : A = A t a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 21 a 31 a 21 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 = a 12 = a 21 a 13 = a 31 a 23 = a 32 Ainsi, on voit qu une matrice carrée d ordre trois est symétrique si et seulement, si elle est a 11 a 12 a 13 de la firme : a 12 a 22 a 23. a 13 a 23 a 33 ( ) a b 3) Soit la matrice carrée A =. La matrice A est antisymétrique si et seulement, si c d on a : ( ) ( ) A = A t a b a c = = a = d = 0 et b = c c d b d Donc, une matrice carrée A élément de M(2,R) est de la forme A = 2) 1) Soit la matrice carrée A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 ( 0 b b 0. La matrice A est donc antisymétrique ). si et seulement, si on a : A = A t a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a 11 a 21 a 31 a 21 a 22 a 32 a 31 a 32 a 33 a 13 a 23 a 33 En comparant les coefficients dans cette égalité on obtient : a 12 = a 21, a 11 = 0 a 13 = a 31, a 22 = 0 a 23 = a 32, a 33 = 0 Ainsi, on voit qu une matrice carrée d ordre trois est symétrique si et seulement, si elle est 0 p q de la forme : p 0 r q r 0 Proposition 61. Pour toute matrice carrée A L(n,K) on a : La matrice 1 2 (A+At ) est symétrique. La matrice 1 2 (A At ) est antisymétrique. La matrice A = 1 2 (A+At )+ 1 2 (A At ). La proposition suivante nous donne la structure d espace vectoriel des ensembles des matrices symétriques et des matrices antisymétriques, et nous donnera leurs dimesnions.

184 178 Les applications linéaires et les matrices Proposition 62. Pour tout entier n 1 on a les propositions suivantes : 1. S(n,K) est un K-sous espace vectoriel de M(n,K) de dimension n(n+1). La base 2 canonique de S(n,K) est formée par les matrices S ij = 1 2 (E ij+e ji ) avec 1 i j n. 2. A(n,K) est un K-sous espace vectoriel de M(n,K) de dimension n(n 1). La base 2 canonique de A(n,K) est formée par les matrices S ij = 1 2 (E ij E ji ) avec 1 i < j n. 3. S(n,K) A(n,K) = M(n,K). Démonstration Matrice diagonale ) Soit A = (a ij une matrice. La diagonale de A formée par les coefficients de type a ii 1 i m 1 j n s appelle diagonale principale. Si A est une matrice carrée (i.e. m = n) et si pour tous les indices i j le coefficient a ij est nul on dira dira que la matrice A est diagonale. Les matrices diagonales éléments de M(n, K) forment un K-sous espace vectoriel que l on peut identifier avec K n λ 1 0 (λ 1,,λ n ) Diag(λ 1,,λ n ) = 0 λ λ n Proposition 63. (D(n,K),+,, ) est une K-algèbre de dimension n. Démonstration. Exercice Matrices triangulaires ) Soit L = (a ij une matrice. Si tous les coefficients de A qui sont strictement au-dessus 1 i m 1 j m de sa diagonale principale sont nuls on dira que L est une matrice triangulaire inférieure : a 11 0 a 21 a 22 L =.... a m1 a mm ) De même, si tous les coefficients de U = (a ij qui sont strictement au-dessus de sa 1 i m 1 j m diagonale principale sont nuls on dira que U est une matruce triangulaire supérieure : a 11 a 12 a 1m a 22 U = a mm

185 L algèbre des matrices 179 Proposition 64. Le sous-ensemble des matrices triangulaires inférieures (resp. supérieures) T l (m,k) (resp. T u (m,k)) est une K-algèbre de dimension n(n+1)/2. Démonstration. Exercice. Proposition 65. Pour tout entier m 1 on a les deux propositions suivantes : 1. La somme vectorielle T l (m,k)+t u (m,k) = M(m,K). 2. T l (m,k) T u (m,k) = D(m,K). Démonstration. Exercice. Exercice 174. On dira qu une matrice A M(n,K) est nilpotente si, il existe un entier p 2 telque la puissance A p = 0. L entier p tel que A p 1 0 et A p = 0 s appelle indice de nilpotence de A. 1) Montrer que les matrices triangulares de la forme suivante sont nilpotentes. a 11 0 a 11 a 12 a 1m a 21 a a et U = a m1 a mm 0 a mm ) Vérifier que la matrice M = est nimpotente Matrices carrées inversibles Dans ce paragraphe, on se propose de caractériser les matrices carrées inversibles en utilisant les opérations élémentaires de Gauss Définition et propriétés Définition 64. Soit A M(n,K) une matrice. S il existe une matrice B M(n,K) telle que AB = BA = I n on dira que la matrice carrée A inversible dans M(n,K) et on note B = A 1. L ensemble de toutes les matrices carrées d ordre n 1 inversibles se note GL(n,K). Proposition 66. Si deux matrices carrées A et B M(n,K) sont inversiles alors leur produit AB est inversible et on a : (AB) 1 = B 1 A 1 Corollaire 29. Relativement au produit des matrices, l ensemble des matrices carrées inversibles GL(n,K) est un groupe non commutatif si n 1.

186 180 Les applications linéaires et les matrices La proposition suivante nous donne les conditions néccessaires et suffisantes pour qu une matrice diagonale ou triangulaire soit inversible. Proposition 67. Dans toute K-algèbre matricielle M(n, K) on a les propositions suivantes : 1. Une matrice diagonale Diag(λ 1,,λ n ) est inversible si et seulement si tous les coefficients λ i sont non nuls. 2. Si la matrice diagonale Diag(λ 1,,λ n ) est inversible alors son inverse est égal à : Diag(λ 1,,λ n ) 1 = Diag( 1 λ 1,, 1 λ n ) 3. Une matrice triangulaire supérieure (resp. inférieure) est inversible si et seulement si les coefficients de sa diagonnale principale sont tous non nuls. Démonstration. Exercice. Dans le cas général, l identification des matrices inversibles est un exercice très difficile. Dans le prochain paragraphe on va appliquer les opération élémentaires de Gauss pour identifier les matrices carrées inversibles. Pour les matrices carrées d ordre deux on a le résultat suivant que l on va généraliser pour les matrices carrées d ordre quelconque. ( ) a b Proposition 68. La matrice carrée A = M(2,K) est inversible si et seulement, c d si le scalaire ad bc 0. Dans ce cas, l inverse de la matrice A est donnée par la matrice ( ) A 1 1 d b = ad bc c a ( ) a b Lescalaire noté, Dét(A) = ad bc, s appelledéterminant dedelamatricecarréea =. c d Dans le prochain chapitre, nous allons associer à chaque matrice carrée un déterminant et on verra qu une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminat est non nul. ( ) ( ) Exemple 98. Considérons les matrices carrées suivantes : A =, B = Notons que puisque le déterminant Dét(A) = 2 est ( non nul; ) la matrice A est donc inversible dans M(2,R) et son inverse est égal à A 1 = En revanche, la matrice B n est pas inversible car son déterminant Dét(B) = 0. Exercice 175. Si la matrice A = en déduire que A est inversible , vérifier que (A I 3 ) 2 (A 2I 3 ) = 0 et

187 L algèbre des matrices Matrices élémentaires de Gauss Dans ce paragraphe, on va utiliser l équivalent matriciel des opérations élémentaires de Gauss pour calculer la matrice inverse d une matrice inversible donnée. Définition 65. La matrice carrée obtenue par application d une seule oppération élémentaire de Gauss sur les lignes de la matrice unité I n s appelle matrice élémentaire. Exemple 99. Soit k 0. Les matrices carrées suivantes sont des matrices élémentaires : ( ) ( ) 1 0 kl I 2 = 1 L 1 k 0 M1 (k) = ( 0 1 ) ( 0 1 ) 1 0 kl I 2 = 2 L M2 (k) = ( 0 1 ) ( 0 ) k 1 0 L I 2 = 1 L P = ( 0 1 ) 1 ( 0 ) 1 0 L I 2 = 1 +kl 2 L 1 1 k T 1,2 (k) = ( 0 1 ) ( 0 1 ) 1 0 L I 2 = 2 +kl 1 L T 2,1 (k) = 0 1 k 1 Les matrices élémentaires sont inversibles dans l algèbre M(2, K) et leurs inverses sont données par : M 1 1 (k) = M 1(1/k), M 1 2 (k) = M 2(1/k), P 1 = P, T 1 1,2 (k) = T 1,2( k), T 1 2,1 = T 2,1( k) Ci-dessous, nous donnerons les expressions matricielles des matricrs élémentaires d ordre m 2 et nous montrerons qu elles possèdent les mêmes propriétés observées aux exemples précédents à propos des matrices élémentaires carrées d ordre deux. Soient m 1 et n 1 deux entiers. On rappelle que les matrices de la base canonique du K-espace vectoriel des matrices M m,n (K) sont définies pour tous les couples d indices 1 i m et 1 j n par : E i,j = 1 j n i m Définition 66. Soit un scalaire k 0, et soient un couple d indices 1 i,j m. On définit les matrices élémentaires de Gauss d ordre m par les expressions suivantes : Dilatation i, M (m) i (k) = I m +(k 1)E i,i, Transvection i j, T (m) i,j (k) = I m +ke i,j, Permuation i j, P (m) i,j = E i,j +E j,i +I m E i,i E j,j.

188 182 Les applications linéaires et les matrices Proposition 69. Les trois types de matrices élémentaires M (m) i (k), C (m) i,j (k) et T(m) i,j sont inversibles et leurs matrices inverses sont données par les expressions suivantes : ( ) 1. M (m) 1 (m) i (k) = M i (1/k), ( ) 2. T (m) 1 i,j (k) (m) = T i,j ( k), ( ) 1 (m) 3. = P j,i. P (m) i,j La proposition suivante nous donnera l interprétation de la multiplication d une matrice élémentaire d ordre m par une matrice A M m,n (K). Proposition 70. Soit un scalaire k 0. Pour toute matrice A élément du K-espace vectoriel M m,n (K) on a les affirmations suivantes : 1. La matrice M (m) i (k)a s obtient à partir de A en multipliant la ligne L i par k. 2. La matrice AM (n) i (k) s obtient à partir de A en multipliant la colonne C i par k. 3. La matrice T (m) i,j (k)a s obtient en remplaçant dans A la ligne L i par L i +kl j. 4. La matrice AT (m) i,j (k) s obtient en remplaçant dans A la colonne C i par C i +kc j. 5. La matrice P (m) i,j A s obtient à partir de A en échangeant les lignes L i et L j. 6. La matrice P (m) i,j A s obtient à partir de A en échangeant les colonnes C i et C j. Exemple 100. Vérifions les effets des cinq matrices élémentaires de Gauss d ordre deux sur les deux matrices suivantes ( ) b 1,1 b 1,2 a 1,1 a 1,n A = et B = a 2,1 a.. 2,n b 1,n b 2,n ( )( ) ( ) k 0 a 1,1 a 1,n ka 1,1 ka 1,n 1. M 1 (k)a = =. 0 1 a 2,1 a 2,n a 2,1 a 2,n b 1,1 b 1,2 ( ) kb 1,1 b 1,2 2. BM 1 (k) =.. k 0 = b 1,n b 2,n kb 1,n b 2,n ( )( ) ( ) 1 0 a 1,1 a 1,n a 1,1 a 1,n 3. M 2 (k)a = =. 0 k a 2,1 a 2,n ka 2,1 ka 2,n b 1,1 b 1,2 ( ) b 1,1 kb 1,2 4. BM 2 (k) = = 0 k... b 1,n b 2,n b 1,n kb 2,n ( )( ) ( ) 0 1 a 1,1 a 1,n a 2,1 a 2,n 5. PA = =. 1 0 a 2,1 a 2,n a 1,1 a 1,n b 1,1 b 1,2 ( ) b 1,2 b 1,1 6. BP = = b 1,n b 2,n b 2,n b 1,n

189 L algèbre des matrices 183 ( )( ) ( ) 1 k a 1,1 a 1,n a 1,1 +ka 2,1 a 1,n +ka 2,n 7. T 1,2 (k)a = =. 0 1 a 2,1 a 2,n a 2,1 a 2,n b 1,1 b 1,2 ( ) b 1,1 kb 1,1 +b 1,2 8. BT 1,2 (k) =.. 1 k = b 1,n b 2,n b 1,n kb 1,n +b 2,n ( )( ) ( ) 1 0 a 1,1 a 1,n a 1,1 a 1,n 9. T 2,1 (k)a = =. k 1 a 2,1 a 2,n ka 1,1 +a 2,1 ka 1,n +a 2,n b 1,1 b 1,2 ( ) b 1,1 +kb 1,2 b 1,2 10. BT 2,1 (k) = = k 1... b 1,n b 2,n b 1,n +kb 2,n b 2,n Notons que puisque la mutiplication d une matrice élémentaire de Gauss a les effets que les opérations élémentaire de Gauss qu on effectue directement sur la matrice en question on déduit qu on a la proposition suivante : Proposition 71. Pour toute matrice A M m,n (K) il existe une famille de matrices élémentaires de Gauss {E 1,,E s } telles que le produit E s E 1 A soit égal à la matrice échelonnée réduite associée à la matrice A. Corollaire 30. Pour toute matrice A M(m, K) les propositions suivantes sont équivalentes : 1. A est inversible dans M(m, K). 2. La matrice échelonnée réduite associée à A est égale à la matrice unité I m. 3. A possède m colonnes pivots. 4. Les colonnes de A forment une base du K-espace vectoriel K m. 5. Les lignes de A forment une base du K-espace vectoriel K m. Corollaire 31. Une matrice carrée A M(m, K) est inversible si et seulement, s elle est égale au produit d un nombre fini de matrices élémentaires de Gauss Algorithme du calcul de l inverse d une matrice carrée Pour étudier est-ce qu une matrice carrée A M(m, K) est inversible ou non on pourra procéder en suivant les étapes de l algorithme suivant : Étape 1 : Sur les lignes de la matrice élargie [A I m ] on applique les opérations élémentaires de Gauss pour obtenir une matrice élargie de type [A B] avec A est une matrice échelonnée. Étape 2 : Si le nombre des colonnes pivots de A est strictement inférieur à m on déclare que A n est pas inversible. Étape 3 : Si le nombre des colonnes pivots de A est égal à m on déclare alors que A est inversible. Pour calculer l inverse de A on applique les opérations élémentaires de Gauss nécessaires sur les colonnes de la matrices échelonnée A pour la réduire. Cette opération nous donne une matrice élargie de type [I m B ] avec B = A 1.

190 184 Les applications linéaires et les matrices Exemple 101. Vérifions est-ce que la matrice A = Appliquons donc l algorithme de Gauss-Jordan sur la matrice élarge [A I 3 ] : est inversible ou non? Ainsi, comme la matrice A a seulement deux colonnes pivots, elle est donc non inversible dans L(3, R) Exemple 102. Calculons l inverse de la matrice B = en appliquant l algorithme ci-dessus /18 5/18 1/ /18 5/18 1/ /18 1/18 1/ /18 5/18 1/6 Donc, la matrice inverse B 1 = 5/18 7/18 1/6 7/18 1/18 1/6 1/18 5/18 1/6 Exemple 103. Écrivons la matrice inverse de B = /18 5/18 1/ /6 1/6 1/ /18 5/18 1/ /18 7/18 1/ /18 1/18 1/ /18 5/18 1/ comme produit de matrices élémentaires de Gauss. Donc, il s agit de traduire les opérations élémntaires de Gauss effectuées sur les lignes de la matrice élargie [B I 3 ] par le produit des matrices élémentaires : T 2,1 ( 1)B = = T 3,1 (2)T 2,1 ( 1)B = =

191 L algèbre des matrices T 3,2 (1)M 3 (3/5)T 3,1 (2)T 2,1 ( 1)B = / = = / / M 3 (5/18)T 3,2 (1)M 3 (3/5)T 3,1 (2)T 2,1 ( 1)B = B 1 = T 2,3 ( 3)B 1 = = T 1,3 (1)T 2,3 ( 3)B 1 = = M 2 ( 1/3)T 1,3 (1)T 2,3 ( 3)B 1 = 0 1/ = T 1,2 ( 2)M 2 ( 1/3)T 1,3 (1)T 2,3 ( 3)B 1 = = T 1,2 ( 2)M 2 ( 1/3)T 1,3 (1)T 2,3 ( 3)M 3 (5/18)T 3,2 (1)M 3 (3/5)T 3,1 (2)T 2,1 ( 1)B = I 3 B 1 = T 1,2 ( 2)M 2 ( 1/3)T 1,3 (1)T 2,3 ( 3)M 3 (5/18)T 3,2 (1)M 3 (3/5)T 3,1 (2)T 2,1 ( 1) T 1,2 ( 2)M 2 ( 1/3)T 1,3 (1)T 2,3 ( 3)M 3 (5/18)T 3,2 (1)M 3 (3/5)T 3,1 (2)T 2,1 ( 1) T 1,2 ( 2)M 2 ( 1/3)T 1,3 (1)T 2,3 ( 3)M 3 (5/18) = / = /18 1 2/ / /18 = 1 2/3 5/18 = 0 1/3 5/ /18 1 2/ / /18

192 186 Les applications linéaires et les matrices T 3,2 (1)M 3 (3/5)T 3,1 (2)T 2,1 ( 1) = / = = / /5 1 3/5 1 2/3 5/ /18 7/18 1/6 B 1 = 0 1/3 5/ = 7/18 1/18 1/ /18 1/5 1 3/5 1/18 5/18 1/6 Exercice 176. Pour chacune des matrices suivantes appliquer l alghorithme de Gauss-Jordan pour déterminer leur inversibilité, et puis calculer leurs inverses quand-il est possible : A = 0 1 1, B = et C = Exercice 177. Soit 1 0 m une matrice où m est un paramètre réel. 0 m 0 m 1) En appliquant la méthode du pivot de Gauss, trouver à quelle condition sur m la matrice A est-elle inversible? 2) Quand A est inversible, déterminer alors son inverse. Exercice 178. Soit E le sous-ensemble des matrices carrées d ordre quatre de la forme a b c d M = b a d c c d a b où a,b,c,d R d c b a 1) Monter que E est un sous-espace vectoriel de M 4 (R). 2) Montrer que toute matrice M E s écrit de manière unique sous la forme M = ai 4 +bj+ck+dl où {I 4,J,K,L} E est une base E que l on déterminera. 3) Calculer les produits : JK, KJ, KL, LK, JL, LJ, J 2, K 2 et L 2. 4) En déduire que E est un sous-anneau de M 4 (R). 5) Pour tout M E calculer le produit M t M. 6) En déduire les conditions nécessaires et suffisantes sur les paramètres a, b, c et d R pour que la matrice M E soit inversible.

193 Les applications linéaires Les applications linéaires Définitions et propriétés Définition 67. Soient E et F deux K-espaces vectoriels. On dira que l application f : E F est K-linéaire si elle satisfait aux propriétés suivantes : 1. ( x,y E),f(x+y) = f(x)+f(y). 2. ( x E)( k K),f(kx) = kf(x). Lorsque f est bijective on dira que f est un K-isomorphisme; on dira aussi que les K-espaces vectoriels E et F sont K-isomorphes. Lorsque E = F on dira que f est endomorphsime, et si en plus ff est bijectif on dira que f est un K-automorphisme; on dira aussi les K-espaces vectoriels E et F sont K-automorphes. Notons que les deux propriétés 1) et 2) d une application K-linéaire sont équivalentes à la propriété pratique suivante : ( x,y E)( k K), f(kx+y) = kf(x)+f(y) Notons aussi que la propriété 1) implique que f( 0 ) = 0. Exemple ) Soit E un K-espace vectoriel. L application identique I : E E qui envoie x E sur lui même est un K-linéaire car on a : ( x,y E)( k K), I(kx+y) = kx+y = ki(x)+i(y) En fait, I : E E est un K-isomorphisme. 2) Soit F E un K-sous espace vectoriel. L application in : F E qui envoie x F sur lui même est K-linéaire, elle s appelle injection canonique de F dans E. 3) Soient E et F deux K-espaces vectoriels. L application suivantes pr E : E F E (x,y) x s appelle projection canonique de E F sur E, elle est K-linéaire car pour tous (x,y) et (a,b) E F et pour tout k K on a : pr E (k(x,a)+(y,b)) = pr E (kx+ky,a+b) = k(x+y) = kp E (x,a)+pr F (y,b) De même, on définit la projection canonique de E F sur F par pr F : E F F (x,y) y qui est K-linéaire.

194 188 Les applications linéaires et les matrices 4) Sur R n [X], l espace vectoriel réel des polynômes de degré au plus égal à n l application de dérivation des polynômes D : R n [X] R n [X] P P 2XP est R-linéaire parce que pour tous les polynômes P et Q R n [X] et pour tout α R on a D(αP+Q) = (αp+q) 2X(αP+Q) = α(p 2XP )+(Q 2XQ ) = αd(p)+d(q) Théorème 21. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n 1muni d une base { e 1,, e n }. Alors, l application canonique f E : K n E (x 1,,x n ) x 1 e 1 + +x n e n est un K-isomorphisme. Démonstration. En effet, si on considère deux vecteurs x = (x 1,,x n ) et y = (y 1,,y n ) élémnts de K n et un scalaire α K on aura αx+y = α(x 1,,x n )+(y 1,,y n ) = (αx 1 +y 1,,α n x n +y n ) ce qui implique que f E (αx+y) = (αx 1 +y 1 ) e 1 + +(αx n +y n ) e n = α(x 1 e 1 + +x n e n )+(y 1 e 1 + +y n e n ) = αf E (x)+f E (y) L application f E est donc K-linéaire, et comme elle est bijective c est un K-isomorphisme. Théorème 22. Soit F E un K-sous espace vectoriel. Pour tout sous-espace vectoriel G E supplémentaire de F dans E (i.e. E = F G) l application S : F G E (x,y) x+y est un K-isomorphisme. Démonstration. 1) L application S est K-linéaire parce que pour tous (x, y) et (a, b) éléments du produit cartésien F G et pour tout α K on a S(α(x,y)+(a,b)) = S(αx+a,αy +b) = (αx+a)+(αy +b) = αs(x,y)+s(a,b) 2) Vérifions que S est bijective. En effet, puisque E = F G il s ensuit que pour tout y E il existe a F et b G tels que y = a+b = S(a,b). Donc, S est surjective.

195 Les applications linéaires 189 D autre part, si on a S(x,y) = S(a,b) on en déduit que x+y = a+b = x a = b y F G = {0} = (x,y) = (a,b) Ainsi, puisque S est injective elle est donc bijective L espace vectoriel des applications linéaires Définition 68. Soient E et F deux K-espaces vectoriels. On désigne par L K (E,F) l ensemble des applications K-linéaires définies sur E dans F. Lorsque E = F on désignera l ensemble des endomorphismes de E par L K (E) = L K (E,E). Sur l ensemble des applications K-linéaires L K (E,F) on définit une loi de composition interne additive par ( f,g L K (E,F))( x E), (f +g)(x) = f(x)+g(x) On définit aussi une loi de composition externe par ( k K)( f L K (E,F))( x E), (k f)(x) = kf(x) Proposition 72. (L K (E,F),+, ) est un K-espace vectoriel. Démonstration. Exercice. Proposition 73. Si f : E F et g : F G sont des applications K-linéaires alors l application composée g f : E G est K-linéaire. Démonstration. Soient x et y E et soit α K. Donc, puisque f et g sont K-linéaires on peut écrire g f(αx+y) = g(αf(x)+f(y)) = αg(f(x))+g(f(y)) ce qui implique que g f est K-linéaire. Corollaire 32. L ensemble des endomorphismes (L K (E),+,, ) est une K-algèbre. Proposition 74. Si f : E F est une application K-linéaire bijectif alors son inverse f 1 : F E est K-linéaire. Démonstration. Soient x, y F et α K. Notons que si on suppose que f est bijective il existe x et y E tels que f(x ) = x et f(y ) = y et donc on peut écrire f 1 (αx+y) = f 1 (αf(x )+f(y )) = f 1 f(αx +y ) = αx +y = αf 1 (x)+f 1 (y) Donc, f 1 : F E est K-linéaire.

196 190 Les applications linéaires et les matrices Corollaire 33. Si Isom K (E) L K (E) désigne le sous-ensemble des isomorphismes de E alors (Isom K (E), ) est un groupe. Corollaire 34. Deux K-espaces vectoriels de dimensions finies sont K-isomorphes si et seulement, s ils sont de même dimension. Démonstration. 1) Soient f : E F un K-isomorphisme et B E = { e 1,, e m } une base de E. Notons que la famille {f( e 1 ),,f( e m )} est libre dans F, parce que par injectivité de f si on considère une combinaison linéaire nulle α 1 f( e 1 )+ +α m f( e m ) = 0 = f(α 1 e 1 + +α m e m ) = 0 = f( 0) = α 1 e 1 + +α m e m = 0 = α 1 = = α m = 0 D autre part, puisque f est surjective donc pour tout vecteur y F il existe x E tel que f(x) = y, et ainsi comme B E est une base de E il existe des scalaires x 1,, x m K tels que x = x 1 e 1 + +x m e m = y = x 1 f( e 1 )+ +x m f( e m ) Donc, comme la famille {f( e 1 ),,f( e m )} engendre l espace vectoriel F, c est une base de F et on a dim K (F) = dim K (E). 2) Inversement, supposons dim K (F) = dim K (E) = n. Rappelons que d après le théorème 9 les applications canoniques f E : K n E et f F : K n F sont des K-isomorphismes, et donc si on considère l application composée on obtient un K-isomorphisme de E dans F. f F f 1 : E K n F E x f 1(x) f E F (f 1(x) E Les matrices et les applications linéaires Les matrices en tant que applications linéaires On munit l espace vectoriel K n par sa base canonique et ses vecteurs seront identifiés avec x 1 les matrices unicolonne x =. Kn. ) Notons que si on considère une matrice A = (a i,j x 1 x n 1 i m 1 j n à coefficients dans K on voit que pour tout vecteurs x =. Kn le produit matriciel, A x, est bien défini et qu il est x n égal à la matrice uniligne y = (y 1,,y m ) élément de K m donnée par i.e. : a 1,1 a 1,n x 1 a 1,1 x 1 + +a 1,n x n = y 1... = (y 1,,y m ) (S)... a m,1 a m,n x n a m,1 x 1 + +a m,n x n = y m

197 Les applications linéaires 191 Ainsi, grâce à ce système on vérifie facilement que la correspondance f A : K n K m x A x satisfait aux deux propriétés suivantes 1. ( a K n )( b K n ), A( a + b ) = A a +A b. 2. ( a K n )( k K), A(k a) = ka a. qui montrent que toute matrice A M m,n (K) peut être identifiée avec une application K- linéaire définie sur K n dans K m. L application K-linéaire f A : K n K m est dite associée à la matrice A. ( ) Exemple 105. Les matrices A = et B = (1, 5,3,1) définissenent deux applications R-linéaires F A : R 3 R 2 et F B : R 4 R données par les expressions suivantes : x (x,y,z) R 3, F A (x,y,z) = A y = z ) x y = ( x+2y+z,2x+3y 4z) z ( et x x (x,y,z,t) R 4, F B (x,y,z,t) = B y z = (1, 5,3,1) y z = x 5y +3z +t t t Matrice associée à une application linéaire Dans ce paragraphe, étant donné deux K-espaces vectoriels E et F munis par des bases B E = { e 1,, e n } et B F = { f 1,, f m } on se propose d expliciter les applications K- linéaire f : E F en fonction de B E et B F. Notons que dans ces conditions, pour tout vecteur x E il existe des scalaires (x 1,,x n ) K n tels que x = x 1 e 1 + +x n e n et ainsi par K-linéarité de f on déduit que (*) f( x) = x 1 f( e 1 )+ +x n f( e n ) Notons aussi que puisque pour tout indice 1 j n le vecteur f( e j ) F il existe des scalaires (a f 1,j,,af m,j ) Km tels que (**) f( e j ) = a f 1,j f 1 + +a f m,j f m Portons les expressions ( ) dans l expression ( ) : f( x) = x 1 (a f 1,1 f 1 + +a f m,1 f m )+ +x n (a f 1,n f 1 + +a f m,n f m ) = (a f 1,1 x 1 + +a f 1,n x n) f 1 + +(a f m,1 x 1 + +a f m,nx n ) f m

198 192 Les applications linéaires et les matrices Ainsi, si on pose f( x) = y 1 f 1 + +y mf m on obtient le système linéaire suivant a f 1,1 x 1 + +a f 1,n x n = y 1 a f 1,1 a f 1,n x = (y 1,,y m ) a f m,1 x 1 + +a f m,nx n = y m a f m,1 a f m,n x n ( ) Définition 69. La matrice A f = a f B,B E F i,j 1 i m est dite associée à l application K-linéaire 1 j n f : E F relativement aux bases B E = { e 1,, e n } de E et B F = { f 1,, f m } de F. Notons que pour écrire la matrice associée à une application linéaire (E,B E ) f (F,B F ) il suffit qu on dresse le tableau dont les colonnes sont égales aux images des éléments de la base B E de E exprimées dans la base B F de F i.e. : ( A f = f( e B,B 1 ),,f( ) e n ) 1 i n, A f ( e B,B i ) = f( e i ) E F E F Le théorème suivant est une conséquence des discussions précédentes. Théorème 23. Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimenison finie munis des deux base B E = { e 1,, e n } et B F = { f 1,, f m } alors l application ϕ : L K (E,F) M m,n (K) est un K-isomorphisme. En conséquence, on a f A f B E,B F dim K (L K (E,F)) = dim K (E)dim K (F) Exemple ) On munit K n de sa base canonique B = { e 1,, e n }. Donc, la matrice de l application identité I : K n K n est égale à la matrice unité A I = (I( e B,B 1 ),,I( e n ) = ) On munit R 4 et R 3 par leurs bases canoniques. Calculons la matrice associée à l aplication F : R 4 R 3 définie par les expresions suivantes : F(x,y,z,t) = (x y +z t,x+z t,2x y +3z t) L application F(x, y, z, t) est linéaire car ces composantes sont exprimées par les combinaisons linéaires des coordonnés de R 4 relatives à sa base canonqiue. Appliquons l application F sur la base canonique de l espace vectoriel R 4 : F(1,0,0,0) = (1,1,2), F(0,1,0,0) = ( 1,0, 1) F(0,0,1,0) = (1,1,3), F(0,0,0,1) = ( 1, 1, 1)

199 Les applications linéaires 193 la matrice de l application F est donc égale à x A = = F(x,y,z,t) = y z t 3) On munit l espace vectoriel des polynômes R n [X] par la base canonique B n = {1,X,,X n }. Pour tout a R fixé calculons la matrice de l application linéaire G a : R 3 [X] R 3 [X] qui envoie un polynôme P sur le quotient G a (P) = P P(a) X a +P L application G a est linéaire parce que pour tous P et Q R 3 [X] et pour tout k R on a : G a (kp+q) = (kp+q) (kp(a)+q(a) +kp+q X a = k[ P P(a) X a +P]+[Q Q(a) +Q] X a = kg a (P)+G a (Q) Pour dérminer la matrice de l application G a relativement à la base B 3 calculons les images : G a (1) = 1, G a (X) = 1+X, G a (X 2 ) = a+x+x 2, G a (X 3 ) = a 2 +ax+x 2 +X 3 Donc, la matrice de G a relativement aux bases canoniques B 3 et B 2 est égaleà 1 1 a a 2 A B3,B 2 = a 0 a Pour finir ce paragraphe, on montre la proposition suivante qui compare le produit des matrices avec la composition des applications des matrices. Proposition 75. Soient f : E F et g : F G deux applications K-linéaires de matrices associées A f et A g. Alors, la matrice associée à l application linéaire composée g f : E G est égale au produit de matrices : A g f = A g A f. La preuve du la proposition est une conséquence du lemme suivant. Lemme 11. On munit le K-espace vectoriel K m par sa base canonique B = { e 1,, e m }. Alors, on a les propositions suivantes : 1. Pour tous les indices 1 i m, 1 j n, 1 k n la matrice E i,j est associée à l application K-linéaire e i,j : K n K m définie par e i,j ( e k ) = δ j,k e j où δ j,k = { 1 si k = j 0 si k j

200 194 Les applications linéaires et les matrices 2. Pour tous les indices 1 i m, 1 j n, 1 k n et 1 l p on a les formules e i,j e k,l = δ j,k e i,l E i,j E k,l = δ j,k E i,l Exercice 179. On munit l espace vectoriel des polynômes de degré au plus égal à n, R n [X], par la base canonique B n = {1,X,,X n }. 1) Vérifier que l application F : R n [X] R n [X] définie par l expression suivante est linéaire : P R n [X], F(P) = P+XP +X 2 P (2) 2) Écrire la matrice de l application linéaire F dans la base B n. Exercice 180. Soit E un espace vectoriel réel muni d une base B = {e 1,e 2,e 3 }. On considère l endomorphisme f : E E définit par : f(e 1 ) = e 1 +e 3, f(e 2 ) = e 1 +e 2, f(e 3 ) = e 2 +e 3 1) Déterminer la matrice de f dans la base B. 2) Calculer le rang de f, en déduire que f est un automorphisme de E. 3) Calculer la matrice de l automorphisme f 1 dans la base B Noyau et image d une applicaton linéaire Définitions et propriétés Définition 70. Soit f : E F une application K-linéaire. 1. Le sous-ensemble Ker(f) = {x E f(x) = 0} s appelle noyau de f. 2. Le sous-ensemble Im(f) = {f(x) F x E} s appelle image de f. Proposition 76. Soit f : E F une application K-linéaire. 1. Le noyau Ker(f) est un K-sous espace vectoriel de E 2. Pour tout K-espace vectoriel G E, f(g) = {f(x) x G} est un K-sous espace vectoriel de F. En particulier, l image Im(f) est un K-sous espace vectoriel de F. Démonstration. 1) Noter que si x et y Ker(f) alors pour tous α et β K on a f(αx+βy) = αf(x)+βf(y) = 0 = αx+βy Ker(f) donc Ker(f) est un K-sous espace vectoriel de E. 2) Soit G E un K-sous espace vectoriel, et soit a et b f(g). Considérons deux vecteurs x et y G tels que f(x) = a et f(y) = b, donc pour tous α et β K on peut écrire αa+βb = αf(x)+βf(y) = f(αx+βy) Ainsi, puisque αx + βy G on en déduit que αa + βb f(g) et donc f(g) est un K-sous espace vectoriel de F.

201 Les applications linéaires 195 Théorème 24. Soit f : E F une application K-linéaire. Alors, les propositions suivantes sont équivalentes : 1. f est injective. 2. Le noyau Ker(f) = { 0}. 3. Si { v 1,, v m } E est une famille libre alors la famille image {f( v 1 ),,f( v m )} est libre dans F. Démonstration. 1) = 2) Si x Ker(f) on aura f(x) = 0 = f( 0), donc puisque f est injective on déduit que x = 0 et que par conséquent Ker(f) = { 0}. 2) = 3) Supposons que la famille { v 1,, v m } E est libre et qu il existe des scalaires α i K tels que α 1 f( v 1 )+ +α m f( v m ) = 0 = f(α 1 v 1 + +α m v m ) = 0 Notons que puisque le noyau de f est réduit à zéro ceci entaraîne que la combinaison linéaire α 1 v 1 + +α m v m = 0 et ainsi comme la famille des vecteurs v i est libre dans E on déduit que α 1 = = α m = 0. Donc, la famille {f( v 1 ),,f( v m )} est libre dans F. 3) = 1) Soient x et y deux vecteurs distincts de E. Puisque le vecteur x y est non nul dans E la famille {x y} est libre dans E, donc le vecteur f(x y) est non nul dans F car 3) implique que la famille {f(x y)} est libre dans F. Ainsi, puisque x y implique f(x) f(y) on déduit que l application f est injective. Corollaire 35. Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie. S il existe une application K-linéaire injective, f : E F alors on a : dim K (E) = dim K (Im(f)) dim K (F) Relation entre les applications linéaires et les systèmes linéaires Dans ce paragraphe, on va supposer que les K-espaces vectoriels sont de dimension finie et donc on pourra les identifier avec les espaces vectoriels standards K m munis de leurs bases canoniques B = { e 1,, e m }. A) Interprétation du noyau Ker(f) : Soit f : K n K m une application K-linéaire. Donc, à f on associe une matrice de type (m,n) de la forme A = ( f( e 1 ),,f( ) e n ) = a 11 a 1n.. a m1 a mn

202 196 Les applications linéaires et les matrices Notons que par définition un vecteur x = seulement si on a x 1 f( x) = 0 A f. = 0 x n x 1. Kn appartient au noyau de f si et x n (S) a 11 x 1 + +a 1n x n = 0. =. a m1 x 1 + +a mn x n = 0 Ainsi, grâce à cette équivalence on déduit que le noyau de l application linéaire f n est autre que l ensemble solution du système linéaire homogène (S) dont la matrice associée est égale à la matrice de f. D où la proposition Proposition 77. Soit f : K n K m une apllication K-linéaire et A f sa matrice associée relativement aux bases canoniques de K m et K n. Si la matrice associée A f possède r-colonnes pivots alors le noyau Ker(f) est un K-sous espace vectoriel de dimension n r. B) Interprétation de l image Im(f) : Notons que puisque tout vecteur x K n s écrit dans la base canonique de K n sous la forme x = x1 e 1 + +x n e n = f( x) = x 1 f( e 1 )+ +x n f( e n ) on en déduit que le K-sous espace image Im(f) est engendré par la famille de vecteurs f(b) = {f( e 1 ),,f( e n )} qui constituent les colonnes de la matrice A f associée à l application linéaire f. C est-à-dire, l image Im(f) = Row(A f ). Inversement, désignons par { f 1,, f m } la base canonique et considérons un vecteur y = y 1 f 1 + +y m f m élément de K m. Donc, pour que le vecteur y soit dans l image Im(f) il faut et il suffit qu il existe un vecteur x = x 1 e 1 + +x n e n K n tels que y = f(x) y = Ax (S) a 11 x 1 + +a 1n x n = y 1. =. a m1 x 1 + +a mn x n = y m Ainsi, à partir de ce système on voit que le vecteur y K m appartient à l image de l application linéaire f si et seulement, si le système linéare (S) est compatible. D où, la proposition. Proposition 78. Soit f : K n K m une application K-linéaire dont la matrice associée relativement aux bases canoniques est notée (a ij ). Alors, on a les propositions suivantes : 1. La dimension de l image Im(f) est égale au nombre de colonnes pivots de la matrice accociée à f.

203 Les applications linéaires Un vecteur y = (y 1,,y m ) K m appartient à image Im(f) si et seulement si le système linéaière suivant est compatible : a 11 x 1 + +a 1n x n = y 1. =. a m1 x 1 + +a mn x n = y m Corollaire 36. Pour une application K-linéaire f : K n K m les propositions suivantes sont équivalentes : 1. f est surjective. 2. Le K-sous espace vectoriel image, Im(f), est de dimension m. 3. m n et la matrice associée à f possède m-colonnes pivots. Définition 71. La dimension de l image d une application K-linéaire f : E F s appelle le rang de f et se note rang K (f). Corollaire 37 (Théorème du rang). Si E est un K-espace vectoriel de dimension finie alors pour toute application K-linéaire f : E F on a dim K (E) = dim K (Ker(f))+rang K (f) Corollaire 38. Soit f : E F une application K-linéaire. Si dim K (E) = dim K (F) alors les propositions suivantes sont équivalentes : 1. f est injective. 2. f est surjective. 3. f est un isomorphisme. Exercice 181. Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, et E 1, E 2 E deux K-sous espaces vectoriels. Pour tous x 1 E 1 et x 2 E 2 on pose s(x 1,x 2 ) = x 1 +x 2 E. 1) Vérifier que l application s : E 1 E 2 E est linéaire. 2) Montrer que le noyau Ker(s) = E 1 E 2 et que l image Im(s) = E 1 +E 2. 3) En déduire qu on a : dim K (E 1 +E 2 ) = dim K (E 1 )+dim K (E 2 ) dim K (E 1 E 2 ). Exercice 182. Soit E un K-espace vectoriel. On appelle projection de E toute application linéaire P : E E telle que P P = P. 1) Montrer que si P : E E est une projection alors, i) Ker(P) Im(P) = { 0}. ii) E = Ker(P) Im(P). 2) Soient P et Q : E E deux applications telles que P Q = Q P = 0 et P + Q = id E. Montrer qu on a les propositions suivantes : i) P P = P et Q Q = Q. ii) Im(P) = Ker(Q). iii) Im(Q) = Ker(P). iv) Im(P) Im(Q) = E.

204 198 Les applications linéaires et les matrices v) Ker(P) Ker(Q) = E. Exercice 183. Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f : E F une application K- linéaire. Montrer que l application G(x,y) = (x,y f(x)) est un K-automorphisme de E F. Exercice 184. On munit R 4 par sa base canonique. Soit T l endoorphisme de R 4 dont la matrice associée est égale à : A = ) Donner une base du noyau Ker(T), en déduire le système des équations linéaires de Ker(T). 2) Donner une base de l image Im(T), en déduire le système des équations linéaires de Im(T). 3) L application linéaire T est-elle injective? Est-elle surjective? 4) Montrer que R 4 = Ker(T) Im(T). 5) Le vecteur v = (1,2,1,0) est-il dans l image de T? Est-il dans le noyau de T? Exercice 185. Soient α, β R et λ et µ R des réels fixés. Déterminer une base de l image et du noyau des applications linéaires réelles associées aux matrices carrées suivantes : 1 0 λ sin(α) cos(α) λ 1 0 µ 0 et 0 1 cos(α) sin(α) 1 0 sin(β) cos(β) µ 0 1 cos(α) sin(β) Exercice 186. Pour chacune des matrices A i données ci-dessous réponder au questions suivantes : 1 a 1 a a a A 1 = 1 1 4, A 2 = 1 2 0, A 3 = 1 1 1, A 4 = a 1 2a 1 2 3a 0 a a 5 a a a a 1 1. Déterminer le noyau et l image de l application linéaire réelle f i associée à A i. 2. Donner une base pour Ker(f i ). 3. Donner une base pour Im(f i ). 4. Donner une base pour l intersection Ker(f i ) Im(f i ). 5. Calculer la diemension de la somme vectorielle Ker(f i )+Im(f i ) Changement de bases Dans cette section, on se propose de voir comment les coordonnées des vecteurs de l espace vectoriel K m changent lorque sa base canonique est remplacée par une autre base. De même, on étudiera le chamgement des coefficients de la matrice d une application K-linéaire f : K m K n changent lorsque les bases de K m et K n changent.

205 Les applications linéaires Changement des coordonnés dans un espace vectoriel Dans ce paragraphe, on suppose que le K-espace vectoriel K m est muni de deux bases B 1 = { e 1,, e m } et B 2 = { f 1,, f m } Pour tout indice 1 j m il existe donc une famille de scalaires a 1 ij K tel que le vecteur (C) ( Définition 72. La matrice P = f j = a (1) 1j e 1 + +a (1) mj e m a (1) ij ) 1 i m 1 j m dont les clonnes sont égales aux coordonnées des vecteurs f i B 2 exprimées dans la base B 1 s appelle matrice de passage de la base B 1 à la base B 2 i.e. : ( f P = 1,, ) f m = 12 a (1) 1m 22 a (1) 2m a (1) m1 a (1) m2 a (1) mm a (1) 11 a (1) a (1) 21 a (1) Notons que si on regarde la matrice de passage P comme une application K-linéaires définie sur (K m,b 1 ) dans lui même i.e. : P : (K m,b 1 ) (K m,b 1 ) x P x on remarque que la matrice de passage P envoie la base B 1 sur la base B 2 i.e. : 1 j m, P e j = f j Proposition 79. Soient B 1 et B 2 deux bases du K-espace vectoriel K n. Alors, la matrice de passage P de la base B 1 à la base B 2 est inversible et son inverse P 1 est égale à la matrice de passage de la base B 2 à la base B 1. Corollaire 39. L ensemble B(m,K) de toutes les bases du K-espace vectoriel K m est en bijection avec l ensemble des matrices inversibles GL(m, K). Gardons les notations ci-dessus. Considérons un vecteur x K m est comparons sa décomposition dans les deux bases B 1 et B 2. Écrivons le vecteur x dans la base B 2 : (2) x = x 1 f 1 + +x (2) m f m = x (2) 1 (a(1) 11 e 1 + +a (1) m1 e m )+ +x (2) m (a(1) 1m e 1 + +a (1) mm e m ) = (a (1) 11 x(2) 1 + +a (1) 1m x(2) m ) e 1 + +(a (1) m1 x(2) 1 + +a (1) mm x(2) m ) e m Ainsi, si on désigne l expression du vecteur x dans la base B 1 par la combinaison linéaire x = x (1) 1 e 1 + +x (1) m e m

206 200 Les applications linéaires et les matrices on obtient le système linéaire suivant par comparaison des deux expressions du vecteur x : a (1) 11 x(2) 1 + +a (1) 1m x(2) m = x (1) 1 a (1) 11 a (1) 1m x (2) = (x(1) 1,,x(1) m ) a (1) m1 x(2) 1 + +a (1) mmx (2) m = x (1) m a (1) m1 a (1) mm x (2) m Ceci démontre la proposition suivante : Proposition 80 (Changement de coordonnées). Soient B 1 et B 2 deux bases du K-espace vectoriel K m. Si (x (1) 1,,x(1) m ) est le système de coordonnées du vecteur x dans (K m,b 1 ) alors ses coordonnées (x (2) 1 a (1) 11 a (1) 1m..... a (1) m1 a (1) mm,,x(2) m ) dans la base (K m,b 2 ) sont données par x (2) 1. x (2) m = (x(1) 1,,x(1) m est le système de coordonnées de x (K m,b 2 ). x (1) ) P 1 1. x (1) m = (x(2) 1,,x(2) m ) Exemple 107. On munit l espace vectoriel réel R 2 par la base canonique B = { ı, j }. Il est clair que les deux vecteurs v 1 = 2 ı + j et v 2 = ı + j constituent sont indépendants dans R 2, donc la famille B = { v 1 (, v 2 }) est une base de R 2 et la( matrice de ) passage de la base B à la base B 2 1 est égale à P = et son inverse P = Maintenant, si on considère un vecteur v = x ı +y j R 2 on voit que son expression dans la base B est donnée par : ( ) ( )( ) P 1 x 1 1 x = = (x y, x+2y) v = (x y) v 1 +( x+2y) v 2 y 1 2 y Par exemple, si v = 3 ı + j alors son expression dans la base B est : v = 2 v 1 v 2. j v 2 0 ı v 1 w Figure 8.1 Changement de coordonnées Exemple 108. On munit l espace vectoriel réel R 3 par sa base canonique B 0 = { ı, j, k }. Considérons la famille de vecteurs u 1 = ı 2 j + k, u 2 = ı + j k, u 3 = ı + j + k

207 Les applications linéaires 201 Montrons que la famille de vecteurs B = { u 1, u 2, u 3 } est une base de R 3 et exprimons les vecteurs de la base canonique de R 3 dans la base B i) Pour montrer queque B est une base il suffit qu on montre quela matrice P = possède trois colonnes pivots. Pour cela appliquons l algorithme de Gauss-Jordan à la matrice élargie [P I 3 ] : = P La dernière matrice échelonnée montre que la matrice P possède trois colonnes pivots, et donc la famille B est une base de l espace vectoriel réel R 3. ii) Pour exprimer les vecteurs de la base canonique B 0 dans la nouvelle base B il suffit qu on continue l algorithme de Gauss-Jordan pour déterminer la matrice inverse P 1 : P La matrice inverse de la matrice de passage P de la base canonique R 3 à la nouvelle base B est donc égale à : P 1 = Ainsi, on regarde B = { u 1, u 2, u 3 } comme base canonique de l espace vectoriel réel R 3 on obtient les expressions suivantes : 1. ı = P 1 u 1 = 1 3 u u u 3 ; 2. j = P 1 u 2 = 1 3 u u 3 ; 3. k = P 1 u 3 = 1 2 u u 3. iii) Cherchons les coordonnées du vecteur u = 2 ı j + k dans la base B 2. D après la formule du changement de coordonnées on voit que l expression du vecteur u dans la base B est égale à P 1 u = = 1 Donc, dans la base B on a la décomposition u = u u u Exercice 187. On suppose que le K-espace vectoriel K m est muni par les deux bases B 1 et B 2, et on déigne par id : K m K m l application identique (i.e. id(x) = x). 1) Déteminer les matrices P et Q associées respectivement aux applications K-linéaires id : (K m,b 1 ) (K m,b 2 ) et id : (K m,b 2 ) (K m,b 1 ). 2) En déduire que P et Q sont inversible et qu on a PQ = I m et QP = I m

208 202 Les applications linéaires et les matrices Exercice 188. Soient B 1, B 2 et B 3 des bases de K m. On désigne par P 12 la matrice de passage la base B 1 à B 2 et par P 23 on désigne la matrice de passage de la base B 2 à B 3. Montrer que si P 13 désigne la matrice de passage de la base B 1 à B 3 alors P 13 = P 23 P 12. Exercice 189. Vérifier que chacune des familles de vecteurs B = { v 1, v 2, v 3, v 4 } constitue une base de l espace vectoriel réel R 4 et décomposer le vecteur v dans la base B. 1) v 1 = (1,1,0,0), v 2 = (1,0,1,0), v 3 = (1,0,0,1), v 4 = (1,1,1,1) et v = (1, 1, 1,1). 2) v 1 = (1,2, 1,0), v 2 = (1, 1,1,1), v 3 = ( 1,2,1,1), v 4 = (1,1,1,1) et v = (1,2,2,1) Le cas d une application linéaire Considérons une application linéaire f : K n K m et supposons que l espace vectoriel K n est munidedeux bases B 1 = { α 1,, α n } et B 2 = { β 1,, β n }, quel espace vectoriel K m est lui même muni de deux bases B 1 = { u 1,, u m } et B 2 = { v 1,, v m }. Ci-dessous, on désignera par P la matrice de passage de B 1 à B 2 et par Q on désignera la matrice de passage de B 1 à B 2. Donc, pour tout indice 1 i n on a les deux expressions suivantes : P α i = β i et Q u i = v i Problème:cherchonsla relation entres les matrices A f et A f associées aux applications B 1,B 1 B 2,B 2 linéaires f : (K n,b 1 ) (K m,b 1 ) et f : (Kn,B 2 ) (K m,b 2 ). Soient x K n et y K m deuxvecteurs. Onpose X = (x 1,,x n ) (resp. X = (x 1,,x n )) les composantes du vecteur x dans la base B 1 (resp. B 2 ), de même on pose Y = (y 1,,y m ) (resp. Y = (y 1,,y m )) les composantes du vecteur y dans la base B 1 (resp. B 2 ). Donc, avec les règle du changement de coordonnées vues au pargraphe on peut écrire : PX = X et QY = Y Ainsi, si on suppose que f( x) = y on remarque qu en passant aux matrices associées à f on obtient : A f X = Y A f B 2,B 2 B 2,B 2P 1 X = Q 1 Y Par conséquent, comme Y = A f X il s ensuit que A f P 1 X = Q 1 A f D où : B 1,B 1 B 2,B 2 B 1,B 1X. A f B 2,B 2 = Q 1 A f B 1,B 1P Ceci démontre le théorème suivant : Théorème 25 (Formule de changement des bases). Soient P la matrice de passage de la base B 1 de K n à la base B 2, et Q la matrice de passage de la base B 1 de Kn à la base B 2. Si f : K n K m est une K-linéaire alors ses deux matrices associées A f et A f sont B 1,B 1 B 2,B 2 reliées par la formule suivante dite du changement de bases : A f B 2,B 2 = Q 1 A f B 1,B 1P

209 Les applications linéaires 203 Corollaire 40 (Formule de changement de bases). Soit P la matrice de passage de la base B 1 de K n à la base B 2. Pour tout endomorphisme f : K n K n ses matrices associées A f B 1,B 1 et A f B 2,B 2 sont reliées par la formule du changement de bases : A B2,B 2 = P 1 A B1,B 1 P Exemple 109. i) On munit R 3 par sa base canonique B = { ı, j, k }. Notons que la matrice de l application linéaire f : (R 2,B) (R 2,B) définie par f(x,y,z) = (2x+y +z,x+y z,x+y +z) est égale à A B,B = ii) On munit aussi R 3 par la nouvelle base B = { v 1, v 2, v 3 } où v 1 = ı + j 1 ( k ı = v 1 + v 2 = ı j + ) v 2 2 k v 3 = ı + j + = 1 ( j = v 1 + ) v 3 2 k 1 ( k = v 2 + ) v Donc, la matrice de passage de B à B est égale à P = et la matrice de /2 1/2 0 passage de B à B est égale à l inverse P 1 = 1/2 0 1/2. 0 1/2 1/2 Cherchons alors la matrice de l application linéaire f : (R 3,B ) (R 3,B ). f( v 1 ) = f( ı + j k ) = 2 ı +3 j + k = 2 2 ( v 1 + v 2 )+ 3 2 ( v 1 + v 3 )+ 1 2 ( v 2 + v 3 ) = 5 v v 2 +2 v f( v 2 ) = f( ı j + k ) = 2 ı j + k = 2 2 ( v 1 + v 2 ) 1 2 ( v 1 + v 3 )+ 1 2 ( v 2 + v 3 ) et = 1 v v f( v 3 ) = f( ı + j + k ) = j + k = 1 2 ( v 1 + v 3 )+ 1 2 ( v 2 + v 3 ) = 1 v v 2 2 2

210 204 Les applications linéaires et les matrices 5/2 1/2 1/2 Donc, la matrice de f relativement à la base B est égale à A B,B = 3/2 3/2 1/ Par conséquent, si (u,v,w) R 3 désignent les coordonnées dans la base B on déduit que l endomorphisme f : (R 3,B ) (R 3,B ) a comme expression analytique f(u,v,w) = ( 1 2 (5u+v w), 1 (3u+3v +w),2u) 2 iii) Vérifions la formule de changement de matrices en calculant le produit des matrices P 1 A B,B P = = = 1/2 1/ /2 0 1/ /2 1/ / / /2 1/2 1/2 3/2 3/2 1/2 = A B,B Ce calcul confirme la formule du changement de bases donnée par le corollaire précédent. Exercice 190. Soit E un espace vectoriel réel muni d une base B = {e 1,e 2,e 3 }, et f : E E un endomorphisme dont la matrice dans la base B est : A = 1/2 3/2 1/2. 1/2 1/2 3/2 1) Montrer que les vecteurs f 1 = e 1 +e 2, f 2 = e 2 +e 3 et f 3 = 2e 1 forment une base B de E. 2) Déterminer la matrice T de f dans la base B et calculer la puissance T n, n N. 3) Déterminer la matrice de passage P de B à B. 4) Vérifier que A = PTP 1 et calculer la puissance A n, n N. Exercice 191. Soit θ R fixé. On munit R 3 par sa base canonique B = { ı, j, k } et on désigne par f θ l application linéaire réelle associée à la matrice carrée dans (R 3,B) : 1) Vérifier que f 3 θ = 0. A θ = 0 1 sin(θ) 1 0 cos(θ) sin(θ) cos(θ) 0 2) Pour tout t R on pose F t,θ = u+tf θ + t2 2 f2 θ où u est l endomorphisme unité de L(R3 ). i) Montrer que F t,θ F s,θ = F t+s,θ. ii) En déduire que F t,θ est un automorphisme et que le sous-ensemble {F t,θ L(R 3 ) t R} est un groupe commutatif pour la composition des endomorphismes. 3) On pose u 1 = (sin(θ),cos(θ),0), u 2 = f θ ( u 1 ) et u 3 = f( u 2 ).

211 Les applications linéaires 205 i) Montrer que B θ = { u 1, u 2, u 3 } est une base de R 3. ii) Écrire la matrice de passage P de la base canonique de R3 à la base B θ. iii) Écrire la matrice de f θ dans la base B θ. iv) Écrire la matrice de l automorphisme F t,θ dans la base B θ. Exercice 192. Soit u = (a,b,c) R 3 un vecteur-ligne non nul tel que a 2 + b 2 + c 2 = 1. On désigne par A u la matrice carrée définie par le produit matriciel u t u = A u et par I 3 on désigne la matrice unité. 1) Déterminer les coefficients de la matrice A u. 2) Montrer que le noyau Ker(A u ) = {(x,y,z) R 3 /ax+by +cz = 0}. 3) Montrer que l image Im(A u ) est engendré par le vecteur u. 4) On pose B u = I 3 A u. Calculer les produits matriciels : A 2 u,b 2 u,a u B u et B u A u. 5) Montrer que M(u) = {αa u +βb u /α,β R} est un sous-anneau de (M(3,R),+, ). 6) Vérifier que l anneau (M(u), +, ) est unitaire commutatif, et caractériser ses éléments inversibles.

212 Chapitre Neuf Détérminant d une matrice 9.1 Déterminants Le déterminant d une matrice carrée d ordre deux ( ) a b On considère une matrice carrée inversible A =. Supposons que le coefficient a 0 c d et calculons son inverse par la méthode de Gauss-Jordan : ( ) ( ) ( ) a b 1 0 a b 1 0 a b 1 0 c d 0 1 ac ad 0 a 0 ad bc c a Ainsi, puisque la matrice A est inversible sa deuxième colonne est une pivot ce qui implique que le coefficient D = ad bc 0. ( ) a b Définition 73. Soit une matrice à coefficient dans K. Le scalaire noté c d Det(A) ou a b c d = ad bc s appelle déterminant de A. Notons que puisque le déterminant Det(A) = ad bc est non nul on peut donc continuer la réduction de la matrice A à la forme échelonnée réduite : ( ) ( ) ( ) a b 1 0 a b 1 0 a 0 1+bc/D ab/d 0 ad bc c a 0 1 c/d a/d 0 1 c/d a/d ( ) ( ) 1 0 (1+bc/D)/a b/d 1 0 d/d b/d 0 1 c/d a/d 0 1 c/d a/d ( ) a b Proposition 81. Une matrice carrée A = est inversible si et seulement si son c d déterminant Det(A) = ad bc est non nul. En plus, l inverse de A est égal à : ( ) A 1 1 d b = Det(A) c a

213 Déterminants 207 Corollaire 41. Un endomorphisme f : K 2 K 2 est bijectif si et seulement, si le déterminant de sa matrice associée A f est non nul. Corollaire 42. Deux vecteurs v 1 = a 1 ı + b1 j et v 2 = a 2 ı + b2 j contituent une base de R 2 si et seulement, si le déterminant est non nul. b 1 b 2 ( ) Exemple ) La matrice A = est inversible car son déterminant Det(A) = 4 0 et son inverse est égal à la matrice ( ) A 1 = 1/2 1/2 1/4 3/4 Ainsi, d après le corollaire 17 on déduit que les vecteurs v 1 = 3 ı + j et v 2 = 2 ı +2 j forment une base de R 2. 2) L application linéaire f(x,y) = ((2x +3y, 2x 3y) ) n est pas un isomorphisme parce que le déterminant de sa marice A f 2 3 = est nul. 2 3 Exercice 193. Calculer le déterminant des matrices suivantes : ( ) ( ) ( ) ( a+b b+d a+b a b a b ) 3,, a+c c+d a b a+b b a oùa,b,c,d C Le déterminant d une matrice carrée d ordre trois a 11 a 12 a 13 Supposons que la matrice carrée A = a 21 a 22 a 23 est inversible et que le coefficient a 31 a 32 a 33 a Cherchons la matrice échelonnée réduite associée à la matrice A. a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 A a 11 a 21 a 11 a 22 a 11 a 23 0 a 11 a 22 a 21 a 12 a 11 a 23 a 21 a 13 = A 1 a 11 a 31 a 11 a 32 a 11 a 33 0 a 11 a 32 a 31 a 12 a 1,1 a 3,3 a 31 a 13 Pour simplifier l écriture de la matrice trouvée A 1 on va poser dans la suite : D 33 = a 11 a 12 a 21 a 22, D a 11 a = a 21 a 23,D 23 = a 11 a 12 a 31 a 32,D 22 = a 11 a 13 a 31 a 33 D autre part, notons que puisque la matrice A est inversible donc sa deuxième colonne de la matrice A 1 est nécessairement non nulle. Pour fixer les idées supposons que le déterminant D 3,3 = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 21 a 12 est non nul et reprenons la réduiction la matrice A 1 à la forme échelonnée : a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 A 1 0 D 33 D 32 0 D 33 D 32 0 D 33 D 23 D 33 D D 33 D 22 D 32 D 23

214 208 Détérminant d une matrice Maintenant, puisque la matrice A est supposée inversible on déuit que le scalaire [ a 12 a 13 D 33 D 22 D 32 D 23 = a 11 a 31 a 22 a 23 a 32 a 11 a 13 a 21 a 23 +a a 11 a ] a 21 a 22 est non nul. Définition 74. Soit A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 une matrice à coefficients dans un corps com- a 31 a 32 a 33 mutatif K. Le scalaire noté a 11 a 12 a 13 a 12 a 13 Det(A) ou a 21 a 22 a 23 = a 31 a 31 a 32 a 33 a 22 a 23 a 32 a 11 a 13 a 21 a 23 +a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 s appelle déterminant de A développé le long de la troisème ligne de la matrice A. a 11 a 12 a 13 Proposition 82. Une matrice carrée A = a 21 a 22 a 23 à coefficients dans un corp a 31 a 32 a 33 commutatif K est inversible si et seulement, si son déterminant est non nul. Corollaire 43. Un endomorphisme f : K 3 K 3 est bijectif si et seulement, si le déterminant de sa matrice associée A f est non nul. Corollaire 44. Pour que la famille de vecteurs { v 1, v 2, v 3 } R 3 soit libre (i.e. une base) il faut et il suffit que le déterminant de la matrice associée ( v 1, v 2, v 3 ) soit non nul i.e. : Det( v 1, v 2, a 1 a 2 a 3 v 3 ) = b 1 b 2 b 3 0 c 1 c 2 c 3 Le calcul du déterminant d une matrice carrée d ordre trois peut être calculer de plusieurs façons comme on va l expliquer dans la définition suivante. a 11 a 12 a 13 Définition 75. Soit A = a 21 a 22 a 23 une matrice à coefficients dans un corps commutatif K. a 31 a 32 a La matrice carrée A ij obtenue à partir de A en éliminant sa ligne L i et sa colonne C j. 2. Le scalaire c ij = ( 1) i+j Det(A ij ) s appelle cofacteur du coefficient a ij de A. 3. La matrice cof(a) = (c ij ) 1 i 3 1 j 3 des signes associée est égale à : s appelle matrice des cofacteurs de A dont la matrice

215 Déterminants La matrice ( transposée de la matrice des cofacteurs de A s appelle comatrice, elle se note t. com(a) = cof(a)) 5. On appelle dévelopement du déterminant de la matrice A suivant la ligne L i l expression Det(A) Li = a i1 c i1 +a i2 c i2 +a i3 c i3 6. On appelle dévelopement du déterminant de la matrice A suivant la colonne C j l expression Det(A) Lj = a 1j c 1j +a 2j c 2j +a 3j c 3j Théorème 26. Tous les développements du déterminant d une matrice carrée d ordre trois coïncident. a 11 a 12 a 13 Proposition 83. Pour toute matrice A = a 21 a 22 a 23 on a : a 31 a 32 a 33 Acom(A) = com(a)a = Det(A)I 3 En conséquence, la matrice carrée A est inversible si et seulement si son déterminat est non nul et son inverse est égal à la matrice A 1 = 1 ( ) t cof(a) Det(A) Exemple 111. a) Calculons le déterminant de la matrice A = première lingne Det(A) = suivant sa = = 2( 2) 5(6)+3( 4) = 46 Donc, puisque le déterminant de la matrice A est non nul elle est inversible. ( t. b) Calculons la comatrice cof(a) et le produit A cof(a)) cof(a) = = ( ) t A cof(a) = ( ) t cof(a) = =

216 210 Détérminant d une matrice Par conséquent, la matrice inverse A 1 = Exemple 112. a) Calculons le déterminant de la matrice B = suivant sa troisième colonne : Det(B) = = = (4) ( 4)+7(0) = 0 Puisque le déterminat de la matrice B est nul, donc B n est pas inversible. ( t. b) Calculons la comatrice cof(b) et le produit B cof(b)) cof(b) = = ( ) t cof(b) = ( ) t B cof(b) = = Exercice 194. Calculer le déterminant des matrices suivantes : a b x a b x a b 1 0 1, 1 0 1, a 0 c, a x c, a x c où a,b,c,x C b c 0 b c x b c x Le déterminant d une matrice carrée d ordre n Définition et propriétés Dansce paragraphe, on va définir le déterminant d ordre supérieur d une matrice carrée a 11 a 1n A =.. par récurrence sur n 1. a n1 a nn 1. Si n = 1, c est-à-dire si A = (a 11 ), on pose Det(A) = a. 2. Si n > 1 notons A ij la matrice obtenue à partir de A en supprimant sa ligne L i et sa colonne C j, on définit alors le déterminant de A développé le long de la ligne L i par Det(A) Li = ( 1) i+1 a i1 Det(A i1 )+ +( 1) i+n a in Det(A in ) De même, on définit le déterminant de A développé le long de la colonne C j par Det(A) Cj = ( 1) 1+j a 1j Det(A 1j )+ +( 1) n+j a nj Det(A nj )

217 Déterminants 211 Théorème 27. Tous les dévelopement du déterminant d une matrice carrées d ordre n 1 coïncident. Définition 76. La valeur commune de tous les scalaires Det(A) Li et Det(A) Ci s appelle déterminant de A et se note a 11 a 1n Det(A) ou.. a n1 a nn Exemple ) Calculons le déterminant de la matrice B = On va développer le déterminant de B suivant sa troisième colonne qui contient un seul coiefficient non nul, celui d indice (2, 3) Det(B) = = ( 1) = ( 1) 2+3 3( 1) = ) Calculons le déterminant de la matrice A = Notons que si on développe le déterminant de A suivant la première colonne on obtient : Det(A) = = = 2(3) = Avant de donner les propriétés des déterminants on va d bord calculer le déterminant de certaines classes matrices. Proposition 84. Le déterminant d une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) est égal au produit de tous les coefficients de sa diagonale principale. a a Démonstration. Par exemple, supposons que la matrice A = 21 a est trangulaire supérieure. Donc, d après la formule du développement du déterminant de A suivant a n1 a n2 a nn

218 212 Détérminant d une matrice la première ligne est égal à : a Det(A) = ( 1) 1+1 a a a = = a 11 a nn a n2 a n3 a nn Corollaire 45. Le déterminant d une matrice diagonnale Diag(λ 1,,λ n ) = λ 1 λ n. Le calcul du déterminant au moyen des formules introduites ci-dessus en général est une tache très lourde dont le degré de difficulté augmente avec l ordre ( de ) la matrice donnée. Pour sentir a b ceci considérons une matrice carrée d ordre deux, A = et développons son détermiant c d suivant sa première ligne a b = a(d) b(c) = Det(A) c d a 11 a 12 a 13 De même, considérons une matrice carrée d ordre trois B = a 21 a 22 a 23 et développons a 31 a 32 a 33 son déterminant suivant sa troisième ligne a 11 a 12 a 13 Det(A) = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 12 a 13 = a 31 a 22 a 23 a 32 a 11 a 13 a 21 a 23 +a a 11 a a 21 a 22 = a 31 a 12 a 23 a 31 a 22 a 13 a 32 a 11 a 23 +a 32 a 21 a 13 +a 33 a 11 a 22 a 33 a 21 a 12 On a obtenu ainsi une expression contenant six termes dont chaque terme est le produit de trois coefficients de la matrice B. Autrment dit, pour calculer l expression Det(B) on doit effectuer 3 6 opérations arithmétiques (addition et multiplication). Eneffet,parrécurrenceonvérifiequepourtoutematricecarréed ordren 1sondéterminant est une somme qui continent n! termes et chaque terme est égal au produit de n coefficients de la matrice A de type : ±a 1j1 a nin. Ceci montre que le calcul du déterminant d ordre n assez grand peut être impossible car il nécecite (n!) n opérations arithmétiques, par exemple pour n = 25 on aura opérations à effectuer et pour n = 30 on aura opérations à effectuer ce qui est énorme même pour les ordinateurs les plus performants. Ceci nous invite donc à chercher des méthodes pratiques relativement rapides permetant le calcul du déterminant. Ci-dessous on donnera la méthode pratique inspirée des opérations élémentaires de Gauss, on verra qu elle est efficace et permet de calculer le détermiant des matrices carrées d ordre

219 Déterminants 213 n 100 avec non nombre d opérations aritmétiques d ordre E G (n) = 1 6 (4n3 +9n 2 7n). n E G (n) Pour rendre le calcul du déterminant d une matrice carrée systématique, donc pratique et faisable, ci-dessous on va décrire quelques opérations élémpentaires sur les matrices qui ne changent pas la valeurs du déterminant de la matrice donnée et en simplifie le calcul. Proposition 85. La fonction déterminant, Det : M(n, K) K satisfait aux propriétés suivantes : 1. La fonction Det est linéaire par rapport à chaque colonne, c est-à-dire si on écrit les matrices carrées comme des vecteurs colonnes A = ( C 1,, C n ) on aura (a) Si C j = A j +k B j avec k K alors Det( C 1,, A j +k B j,, C n ) = Det( C 1,, A j,, C n ) + kdet( C 1,, B, j C n ) 2. S il existe deux indices j j et un scalaire k K tel que C j = k C j alors le déterminant Det( C 1,, C n ) est nul. 3. Pour tout k K et pour tous les indices 1 j,j n on a Det( C 1,, C j,, C j,, C n ) = Det( C 1,, C j +k C j,, C j,, C n ) 4. Det( C 1,, C j,, C j,, C n ) = Det( C 1,, C j,, C, j C n ). 5. Si A t la matrice transposée de A alors Det(A) = Det(A t ). En conséquence, les propriétés 1) 2), 3) et 4) sont aussi valables pour les lignes d un déterminant. Corollaire 46. Si une matrice carrée est non inversible alors son déterminant est nul. Démonstration. Rappelons que si la matrice carrée A = ( C 1,, C n ) n est pas inversible donc l une de ses colonnes est combinaison linéaires des autres colonnes. Supposons par exemples que C n = k 1C1 + +k n 1Cn 1 et observons que par linéarité du déterminant par rapport aux colonnes on peut écrire : Det(A) = Det( C 1,, C n 1,k 1C1 + +k n 1Cn 1 ) = k 1 Det( C 1,, C n 1, C 1 )+ +k n 1 Det( C 1,, C n 1, C n 1 ) Ainsi, puisque tous les déterminants de cette combinaison linéaire possède deux collonnes identiques ils sont nuls. Donc, Det(A) = 0.

220 214 Détérminant d une matrice Exemple 114. Calculons le déterminant de la matrice A = Notons que puisque la troisième ligne de la matrice peut être simplifiée par deux, donc ceci implique Det(A) = Ensuite, effection les opérations élémentaires de Gauss valables pour réduire la matrice du dernié déterminant à la forme échelonnée : Det(A) = = = ( 7) = Exemple 115. Soient a 1,a 2,a 3,a 4 des réels non nuls et distincts deux à deux. Calculons le déterminant de Vandermonde V = a 1 a 2 a 3 a 4 (a 1 ) 2 (a 2 ) 2 (a 3 ) 2 (a 4 ) 2. (a 1 ) 3 (a 2 ) 3 (a 3 ) 3 (a 4 ) 3 Pour calculer V nous allons remplacer la ligne L i+1 par L i+1 a 1 L i pour 1 i V = a 1 a 2 a 3 a 4 (a 1 ) 2 (a 2 ) 2 (a 3 ) 2 (a 4 ) 2 = 0 a 2 a 1 a 3 a 1 a 4 a 1 0 (a 2 ) 2 a 1 a 2 (a 3 ) 2 a 1 a 3 (a 4 ) 2 a 1 a 4 (a 1 ) 3 (a 2 ) 3 (a 3 ) 3 (a 4 ) 3 0 (a 2 ) 3 a 1 (a 2 ) 2 (a 3 ) 3 a 1 (a 3 ) 2 (a 4 ) 3 a 1 (a 4 ) = (a 2 a 1 )(a 3 a 1 )(a 4 a 1 ) a 2 a 3 a 4 (a 2 ) 2 (a 3 ) 2 (a 4 ) = (a 2 a 1 )(a 3 a 1 )(a 4 a 1 ) 0 a 3 a 2 a 4 a 2 0 (a 3 ) 2 a 2 a 3 (a 4 ) 2 a 2 a 4 = (a 2 a 1 )(a 3 a 1 )(a 4 a 1 )(a 3 a 2 )(a 4 a 2 )(a 4 a 3 ) Pour achever la liste des propriétés du calcul des déterminants on va analyser l effet du détermiant sur le produit matriciel. C est pour cela on va d abord calculer le déterminant des matrices élémentaires de Gauss. Proposition 86 (Le déterminant des matrices élémentaires). Soit n N. Pour tous les indices 1 i,j n on les affirmations suivantes :

221 Déterminants Det(I n ) = k 0, Det(M i (k)) = k. 3. Det(P i,j ) = k 0, Det(T i,j (k)) = 1. Démonstration. 1) On utilise le fait que la dilatation M i (k) est une matrice diagonale. 2) Noter que la matrice P i,j s obtient en échangent les colonnes C i et C j de la matrice unité I n. Donc, le déterminant Det(P i,j ) = Det(I n ) = 1. 3) Observer que la transvection T ij (k) est une matrice triangulaire et que ses coefficients de la diagonale principale sont égals à un. Lemme 12. Pour toute matrice A M(n,K) on a les formules suivantes : 1. Det(M i (k)a) = Det(AM i (k)) = kdet(a); 2. Det(P i,j A) = Det(AP i,j ) = Det(A); 3. Det(T i,j (k)a) = Det(AT i,j (k)) = Det(A) Démonstration. Évidente. Proposition 87. Pour tout couple de matrices A et B M(n,K) on a Det(AB) = Det(A)Det(B) En particulier, pour tout scalaire λ K on a : Det(λA) = λ n Det(A). Démonstration. D abord, notons que si la matrice A n est pas inversible il s ensuit que AB n est pas inversible, donc Det(AB) = Det(A)Det(B) = 0. Supposons que la matrice A est inversible. Donc, d après le corollaire 4 il existe une famille finie de matrices élémentaires E 1,, E r tel que A = E 1 E r. Ceci entraîne que Det(AB) = Det(E 1 E r B) Ainsi, si on applique les formules de la proposition précédente on déduit que Det(AB) = Det(E 1 ) Det(E r )Det(B) = Det(AB) = Det(E 1 E r )Det(B) D où, Det(AB) = Det(A)Det(B). Corollaire 47. Une matrice A M(n,K) est inversible si et seulement si Det(A) est non nul, et l on a Det(A 1 ) = 1 Det(A) En conséquence, pour toute matrice B M(n,K) on a : Det(A 1 BA) = Det(B).

222 216 Détérminant d une matrice Exercice 195. Vérifier que le déterminant : b+c c+a a+b a b c b 1 +c 1 c 1 +a 1 a 1 +b 1 = 2 a 1 b 1 c 1 b 2 +c 2 c 2 +a 2 a 2 +b 2 a 2 b 2 c 2 Exercice 196. Vérifier que le déterminant suivant est nul : a 2 (a+1) 2 (a+2) 2 (a+3) 2 b 2 (b+1) 2 (b+2) 2 (b+3) 2 c 2 (c+1) 2 (c+2) 2 (c+3) 2 = 0 d 2 (d+1) 2 (d+2) 2 (d+3) Applications des déterminants Dans ce paragraphe, on donnera quelques applications importantes des déterminants Calcul de l inverse d une matrice inversible a 11 a 1n Définition 77. Soit A =.. une matrice à coefficients dans un corps commutatif K. Pour tous les indices 1 i,j n on désigne par A ij la matrice obtenue à a n1 a nn partir de A en suprimant sa ligne L i et sa colonne C j. 1. Le scalaire c ij (A) = ( 1) i+j Det(A ij ) s appelle cofacteur du coefficeint a ij. ( ) 2. La matrice cof(a) = c ij (A) s appelle matrice des cofacteurs et sa transopée s appelle comatrice de A. Proposition 88. Pour toute matrice carrée A M(n,K) on a ( ) t ( ta A cof(a) = cof(a)) = Det(A)In ( ) t cof(a) En conséquence, si la matrice A est inversible alors son inverse est donné par la matrice A 1 1 ( ) t = cof(a) Det(A) Exemple 116. Vérifions que la matrice A = est inversible et calculons son inverse A ) Observons que si on remplace la deuxième ligne de A par la somme L 1 +L 2 on obtient Det(A) = = = ( 1) ( 1) = 4 Donc, la matrice A est inversible.

223 Déterminants 217 2) Calculons la matrice des cofacteurs de A ( 1) ( 1) cof(a) = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) = ( 1) Par conséquent, la matrice inverse de A est égale à A 1 = 1 ( ) t 1 cof(a) = Exercice 197. X désigne l une des matrices suivantes : , 1 1 0, ) Détérminer la comatrice Com(X). 2) Calculer le produit des matrices XCom(X) t. 3) En déduire l expression de la matrice inverse de X., Résolution des systèmes linéaires par la méthode de Cramer Définition 78. On appelle système linéaire de Cramer tout système linéaire dont la matrice associée est carrée et inversible. Considérons une système linéaire qui a n inconnues et n lignes : a 11 x 1 + +a 1n x n = b 1 (S)... a n1 x 1 + +a nn x n = b n Notons que si on désigne par A = (a ij ) la matrice carrée associée au système linéaire (S) alors x 1 en posant X =. et B = (b 1,,b n ) on déduit que X est solution du système (S) si et seulement, si on a x n AX = B Donc, si en plus on supposequeaest inversibleon déduit que la solution du système lin{eaire (S) est donnée par X = A 1 B

224 218 Détérminant d une matrice Théorème 28. Un système linéaire de Cramer possède une solution unique. Notons que si on désigne par C i la i-ème colonne de la matrice A associée au système linéaire de Cramer (S) on voit que si X est solution de (S) on obtient la combinaison linéaire suivante x 1 C 1 + +x n C n = B qui traduit le fait que le vecteur B appartient à l image de l application K-linéaire définie par la matrice A. D autre part, observons que si pour tout 1 i n on considère le déterminant suivant on obtient par linéarité de sa i-ème colonne Det(C 1,,C i 1,B,C i+1,,c n ) = k=n x k Det(C 1,,C i 1,C k,c i+1,,c n ) k=1 = x i Det(C 1,,C n ) car pour tous les indices k i le déterminant Det(C 1,,C i 1,C k,c i+1,,c n ) est nul. Ceci démontre la proposition suivante : Proposition 89. Les composantes de l unique solution d un système de Cramer a 1,1 x 1 + +a 1,n x n = b 1 (S)... a n,1 x 1 + +a n,n x n = b n sont données par les expressions suivantes : a 1,1 a 1,i 1 b 1 a 1,i+1 a 1,n 1 x i = Det(A).. a n,1 a n,i 1 b n a n,i+1 a n,n Exemple 117. Vérifions que le système linéaire suivant est un système de Cramer et cherchons sa solution. (S) 2y z = 1 2x+z = 2 x+y = La matrice associée au système linéaire (S) est égale à A = 2 0 1, elle est inversible d après l exemple précédent. Donc, (S) est un système de Cramer Notons que puisque l inverse de A est égal à la matrice A 1 = que la solution de (S) est égale à : ( ) x y z = = ( 1 4 4, 3 4, 5 2 ) on en déduit

225 Déterminants 219 Mais, si on veut appliquer la méthode de Cramer on voit que les composantes x, y et z de la solution du système (S) sont données par les expresions suivantes : x = = 1 4 4, y = = 3 4 4, z = = Exercice 198. Résoudre les systèmes linéaires suivants par la méthode de Cramer : 2x + 3y + 5z = 1 x y + z = m 5x + 2y + 3z = 4, mx + y z = 1 où m R 3x + 5y + 2z = 0 x + y + mz = 1 Exercice 199. Soient a,b,c R. Montrer que le système linéaire suivant est un système de Cramer si et seulement si abc 0 (S) bx + ay = c cx + az = b cy + bz = a Déterminer la solution du système linéaire (S) lorsque abc 0. Exercice 200. Résoudre les systèmes linéaires suivants par la méthode de Cramer : 2x + y + z + t = 3 x y + 3z + t = 8 x + 2y z + t = 3 x + y + 2z + t = 1, mx + y + z + t = 1 x + my + z + t = m x + y + mz + t = m 2 x + y + z + mt = m 3

226 Chapitre Dix Espaces et vecteurs propres d un endomorphisme Dans tout le chapitre, K désigne R ou C et les K-espaces vectoriels considérés seront de dimension finie, donc canoniquement isomorphes avec l espace vectoriel standard K n Vecteurs propres et valeurs propres Définition 79. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et f : E E un endomorphisme. On appelle valeur propre de f tout scalire λ K pour lequel il existe un vecteur non nul x E tel que f(x) = λx. Dans la suite, étant donnée une valeur propre λ K de l endomorphosme f : E E on désignera par E λ = { x E f( x) = λ x} le sous-ensemble de tous les vecteurs propres de f associés à λ. De même, on désignera par Sp K (f) l ensemble de toutes les valeurs propres de f et on dira que Sp K (f) est le sprctre de f. Proposition 90. Soient f : E E un endomorphisme et λ Sp K (f) une valeurs propre. Alors, le sous-ensemble des vecteurs propres de f associés à λ est un K-sous espace vectoriel de E égal au noyau Ker(λ id E f) = E λ. Démonstration. Noter que le vecteur x appartient au sous-espace propre E λ si et seulement, si f(x) = λx, donc si et seulement si on a (λ id E f)(x) = 0 E. Par conséquent, E λ = Ker(λid E f) est un K-sous espace vectoriel de E. Notons que si on applique le théorème du rang à l endomorphisme λ id E f : E E on obtient le : Corollaire 48. Si f : E E est un endomorphisme alors pour toute valeur propre λ Sp(f) la dimension du K-sous espace propre E λ est égale à : dim K (E λ ) = dim K (E) rg(λ id E f)

227 Vecteurs propres et valeurs propres 221 Proposition 91. Si les valeurs propres {λ 1,,λ m } Sp K (f) sont distinctes deux à deux alors la somme vectorielle E λ1 + +E λm est dirècte i.e. : λ i λ j = E λi E λj = { 0 E } En conséquence, si B(λ i ) désigne une base du sous-espace propre E λi alors la réunion B(λ 1 ) B(λ m ) est libre dans le K-espace vectoriel E. Démonstration. Soient λ i et λ j deux valeurs propres et x E λi E λj. Donc, on peut écrire f(x) = λ i x et f(x) = λ j x, et ainsi si on suppose λ i λ j on aura λ i x = λ j x, ou encore (λ i λ j )x = 0 E. D où, x = 0 E. Exemple 118. Déterminons les valeurs propres et les vecteurs propres de l endomorphisme f : R 2 R 2 défini par f(x,y) = (x+y,x y) Il s agit donc de déterminer les réels λ et les vecteurs (x,y) R 2 \{(0,0)} tels que { (1 λ)x+y = 0 f(x,y) = λ(x,y) (x+y,x y) = (λx,λy) (S) x+( 1 λ)y = 0 Notons que puisque la première ligne du système (S) implique que y = (1 λ)x, la deuxième ligne implique que x+(1 λ 2 )x = 0 = 2 λ 2 = 0 = λ = ± 2 i) Si on porte λ = 2 dans le système linéaire (S) on voit que le sous-espace propre associé à λ = 2 est égal à : E 2 = {(x,y) R2 (1 2)x+y = 0 } = R( ı (1 2) j ) ii) Si on porte λ = 2 dans le système linéaire (S) on voit que est le sous-espace propre associé à λ = 2 est égal à : E 2 = {(x,y) R 2 (1+ 2)x+y = 0 } = R( ı (1+ 2) j ) iii) Notons que si on pose u 1 = ı (1 2) j et u 2 = ı (1+ 2) j on obtient une base B = { u 1, u 2 } de l espace vectoriel réel R 2. Dans la base B la matrice de l endomorphisme ( ) 2 0 f est une matrice diagonale de la forme : A = 0. 2 Exemple 119. Dans l espace vectoriel réel R 2 considérons l endomorphisme g(x,y) = ( y,x) et supposons que le scalaire réel λ est une valeur propre. Donc, il existe un vecteur non nul (x,y) (0,0) tel que g(x,y) = λ(x,y) = ( y,x) = (λx,λy) = x = λ 2 x et y = λ 2 y = λ R Ceci démontre que l endomorphisme f n a pas de valeurs propres réels et que son spéctre complexe Sp C (g) = { i,i}.

228 222 Espaces et vecteurs propres d un endomorphisme Dans le reste du chapitre, étant donné un endomorphisme f : E E nous allons résoudre les deux problèmes suivants : 1. Déterminer les valeurs propres de f. 2. Pour une valeur propreλ Sp K (f) donnée; calculer la dimension du sous-espace propre associé E λ. Rappelons qu un endomorphisme f : E E est dit une homothétie s il existe un scalaire λ K tel que pour tout x E, f(x) = λx. Le scalaire λ s apelle rapport d homothétie. Une homothétie f possède une seule valeur propre égale à son rapport d homothétie λ et on a Sp K (f) = {λ} et E λ = E. Avec cette définition, on voit que la restriction d un endomorphisme f : E E sur ses sous-espaces propres devient une homothétie, en particulier on remarque que l expression (la dynamique) de l endomorphisme f devient très simple sur ses sous-espaces propres. D où l intérêt de chercher les valeurs propres d un endomrphisme donné Polynôme caractéristique et calcul des valeurs propres Soient f : E E un endomorphisme et λ K une valeurs propre de f. Rappelons que pour tout vecteur propre x E associé à λ on a f(x) = λx (λ id E f)(x) = 0 x Ker(λ id E f) De cette expression on déduit la proposition suivante : Proposition 92. Soient f : E E un endomorphisme et λ K un scalaire. Alors, les proporsition suivantes sont équivaletes : 1. λ est une valeur propre de f. 2. L endomorphisme λ id E f n est pas injectif (donc n est pas inversible). 3. Le noyau Ker(λ id E f) est de dimension non nul. 4. Le déterminant Det(λ id E f) = 0. Supposons que E = K n est muni de sa base canonique B = { e 1,, e n }. Donc, à l endomorphisme f : K n K n on associe une matrice carrée a 11 a 1n A = [f e 1 ) f( e n )] =.. a n1 a nn Corollaire 49. Le scalaire λ K est une valeur propre de l endomorphisme f : K n K n si et seulement, si le déterminant λ a 11 a 12 a 1n a 21 λ a 22. P f (λ) = = 0.. a n1 λ a nn

229 Polynôme caractéristique et calcul des valeurs propres 223 Autrement dit, le scalaire λ K est une valeur propre de l endomorphisme f si et seulement si λ est racine du polynôme P f (X) = Det(X I n A) K[X]. Définition 80. Le polynôme P f (X) = Det(XI n A) s appelle polynôme caractéristique de l endomrphisme f : K n K n. Le polynôme caractéristique d un endomorphisme f : K n K n ne dépend pas du choix de la base de l espace vectoriel K n. Pour prouver ceci supposons que B = { v 1,, v n } une autre base B de K n et désignons par P la matrice de passage de la base canonique de K n à la base B. Rappelons que la matrice A 1 de l endomorphisme f : K n K n exprimée dans la base B est reliée à la matrice de f exprimée dans la base canonique B par la relation A 1 = P 1 AP Ainsi, puisque d après le corollaire 2, si on travail avec la base B on trouve que le polynôme caractéristique associé à l endomorphisme f : K n K n est donné par l expression P 1 (X) = Det(XI n A 1 ) = Det(XI n P 1 AP) = Det(P 1 (XI n A)P) = Det(XI n A) = P f (X) Ceci démontre la proposition suivante : Corollaire 50. Un endomorphisme, f : K n K n, possède au plus n valeurs propres dans le corps K. En particulier, si le corps K = C alors f possède n valeurs propres comptées avec leurs multiplicités. Maintenant, grâce à ce qui précède on apprend que pour chercher toutes les valeurs propres d un endomorphisme f : K n K n il suffit qu on munit K n par sa base canonique, ce qui nous permet d associer à f une matrice carrée A et ainsi on déduit que les valeurs propres de f sont égales aux racines de l équation caractéristique P f (x) = 0. Étant donné un endomorphisme f : K n K n, la proposition suivante nous donne une comparaison entre la dimension du sous-espace propre d une valeur propre λ Sp(f) et l ordre de multiplicité de λ vue comme racine du polynôme caractéristique P f. Proposition 93. Soit f : K n K n un endomorphisme. Si λ K est une racine du polynôme caractéristique de multiplicité α λ alors 1 dim(e λ ) α λ. Démonstration. Supposons que dim K (E λ ) = m et désignons par B(λ) = { u 1,, u m } une base de E λ. Donc, d après le théorème de la base incomplète il existe n m vecteurs non nuls telle la famille B = { u 1,, u m, v 1,, v n m } soit une base de K n. La matrice de

230 224 Espaces et vecteurs propres d un endomorphisme l endomorphisme f relativement à la base B est donc de la forme : λ λ A f = B,B 0 0 λ b 1,1 b 1,n m b n m,1 b n m,n m ( λi m = 0 n m,m A Ainsi, comme le polynôme caractéristique de f est égal au déterminant P f (X) = Det(XI n A f B,B ) = (X λ)m Det(X I n m A ) 0 m,n m on voit que le polynôme (X λ) m divise P f (X), et donc la multiplicité de la racine λ, α m 1. Exemple 120. Les valeurs propres de l application linéaire f : R 3 R 3 définie par sont égales aux racines de l équation f(x,y,z) = (x y,y z,z x) λ P(λ) = Det(λI 3 f) = 0 λ 1 1 = (λ 1) 3 +1 = λ 3 3λ 2 +3λ 1 0 λ 1 Ainsi, comme le polynôme caractéristique P(λ) = λ(λ 2 3λ + 3) possède une seule racine réelle λ = 0, on déduit que zéro est l unique valeur propre de f et que le sous-espace propre qui lui est associé est E 0 = Ker( f) = Ker(f) = R(1,1,1) Exemple 121. Vérifions que 2 est une valeur propre de la matrice X = Exemple 122. ) Exercice 201. Calculer le polynôme caracteristique des matrices suivantes et donner leurs spectres respectifs : 0 a 0 a 0 a 0 a 0, 0 a 0 a 0 a 0 a 0, , ,

231 Théorèmes de diagonalisation Exercice 202. Soit X = une matrice i) Calculer le polynôme caractéristique de la matrice X. ii) Vérifier que 2 Sp K (X), et déterminer la dimension et une base de l espace propre E 2. iii) Construire une base B de R 3 dont tous les éléments sont des vecteurs propres de X. iv) Écrire la matrice X dans la base propre B. En déduire l expression des puissances Xn avec n Z Théorèmes de diagonalisation Soitf : K n K n unendomorphismeetp f (X)sonpolynômecaractéristique. Si{λ 1,,λ r } est l ensemble des racines de P f on désigne par m i la multiplicité de la valeur propre λ i. Définition 81. On dira que l endomorphisme f : K n K n diagonalisable si l espace vectoriel K n possède une base constitué que par les vecteurs propres de f. Il est clair que l endomorphisme f : K n K n est diagonalisable si et seulement si il possède une matrice diagonale. Théorème 29 (Diagonalisation). Un endomorphisme f : K n K n est diagonalisable si et seulement si 1. son polynôme caractéristique P f possède n racines dans K comptées avec leurs multiplicité, c est-à-dire P f (X) = (X λ 1 ) m1 (X λ r ) mr et où les λ i K. 2. dim(e λi ) = m i. Corollaire 51. Un endomorphisme f : E E est diagonalisable si et seulement si on a dim(e) = dim(e λ1 )+ +dim(e λr ) Corollaire 52. Si le polynôme caractéristique P f est scindé dans K[X] et toutes ses racines sont simples alors f est diagonalisble. Théorème 30. Si la matrice de l endomorphisme f : E E est symétrique alors f est diagonalisable. Exercice 203. On considère la matrice A = ) Calculer le polynôme caractéristique P(X) de la matrice A. 2) Montrer que le polynôme P(X) possède un zéro double. 3) Donner la dimension et une base de chaque sous-espace propre de A. 4) La matrice A est-elle diagonalisable?.

232 226 Espaces et vecteurs propres d un endomorphisme Exercice 204. Soit m R un paramètre et A m = m m 2 m l endomorphisme f m de R 3 muni de sa base canonique B = { i, j, k}. 1) Calculer le polynôme caractéristique P m (X) de la matrice A m. la matrice de 2) Vérifier que λ 1 = m est une valeur propre de A m, et en déduire les deux autres valeurs propres λ 2 et λ 3 de A m. 3) On suppose m = 1. Déterminer le sous-espace propre E λ1. L endomorphismef m est-il diagonalisable? 4) On suppose m = 2. Déterminer le sous-espace propre E λ1. L endomorphisme f m est-il diagonalisable? 5) Montrer que l endomorphisme f m est diagonalisable si et seulement, si m {1,2}. 6) On pose : P = A 2 2I 3. Calculer P 2 et en déduire l expression de la puissance (A 2 ) n, n N. Exercice 205. Décrire les étapes à suivre pour identifier les matrices diagonalisables et l appliquer aux matrices suivantes X = 1 1 1, Y = 1 2 1, Z = 2 1 2, U =

233 Index K-automorphisme, 187 K-espace vectoriel, 89 K-isomorphisme, 187 PGCD de deux polynômes, 62 Algorithme d Euclide, 29, 63 Anneau non associatif, 42 Appartenance, 5 Application, 13 Application K-linéaire, 187 Application linéaire associée à une matrice, 191 Argument d un nombre complexe, 50 Base canonique, 91 Base d un espace vectoriel, 141 Base d un sous-espace vectoriel, 154 Bijection, 16 Binôme de Newton, 42 Cardinal d un ensemble fini, 23 Changement de bases, 198 Changement des bases pour un endomorphisme, 203 Changement des bases pour une matrice, 202 Changement des coordonnées, 199 Codomaine, 13 Coefficients dominant, 59 Cofacteur du coefficient a ij, 208 Comatrice d une matrice carrée, 209 Composition d applications, 14 Conclusion, 19 Congruence dans Z, 44 Conjonction, 3 Connecteurs logique, 3 Contre-exemple, 21 Corps algébriquement clos, 73 Corps des fractions rationnelles, 76 Décomposition en éléments simples, 81 Degré d une fraction rationennelle a une indéterminée, 77 Derivée d une fraction rationnelle, 78 Derivée première d un polynôme, 69 Déterminant d une matrice carrée, 206, 207, 210 Développement du déterminant suivant une ligne, 209 Développement du déterminant suivant une colonne, 209 Diagramme d Euler, 7 Diagramme de Venn, 7 Différence de deux parties, 11 Différence symétrique de deux parties, 11 Dimension d un espace vectoriel, 147 Discriminant d un trinôme, 55 Disjonction, 3 Diviseur d un entier, 26 Diviseur d un polynôme, 59 Divisibilité des polynômes, 59 Division euclidienne dans Z, 27 Division euclidienne des polynômes, 60 Division euclidienne suivant les puissances croissantes, 84, 85 Domaine, 13 Droite affine, 110 Droite vectorielle, 102 Élément simple, 79 Endomorphisme diagonalisable, 225 Ensemble, 5 Ensemble des parties, 6 Ensemble fini, 23 Ensemble vide, 5 Entiers premiers entre eux, 28 Équation diophantienne, 32 Equation linéaire, 109 Équivalence, 4 Espace de dimension finie, 141 Espace vectoriel de dimension finie, 102 Espace vectoriel des colonnes, 156 Espace vectoriel des lignes, 156 Exponentielle d un nombre complexe, 50 Facteur irréductible, 66

234 228 INDEX Facteur irréductible simple, 66 Facteurs premiers, 35 Factorisation en facteurs irréductibles, 66 Factorisation en nombres premiers, 35 Famille génératrice, 102 Fonction, 13 Fonction polynômiale, 67 Forme polaire d un nombre complexe, 50 Formule d Euler, 50 Formule de Grassmann, 148 Formule de Moivre, 51 Formule de Taylor, 70 Fraction rationnelle polynômiale, 78 Fraction rationnelle réduite, 77 Fraction simple, 79 Fractions rationnelles à une indéterminée, 77 Graphe d une application, 13 Groupe abelien, 38 Groupe commtatif, 38 Groupe des racines n-ièmes de l unité, 53 Groupes des unités d un anneau unitaire, 43 Groupes des unités de Z/mZ, 47 Hyperplan affine, 110 Hypothèse, 19 Identité de Bezout, 30 Identité de Bezout pour les polynômes, 62 Image d une application linére, 194 Image d une partie, 13 Image réciproque, 13 Implication, 4 Inclusion, 5 Indéterminée, 58 Indicateur d Euler ϕ(m), 46 Indice de nilpotence d une matrice, 179 Injection, 16 Intersection, 9 Lemme de Gauss, 65 Loi de composition interne, 38 Matrice, 95 Matrice antisymétrique, 176 Matrice associée à une application linéaire, 192 Matrice de passage, 199 Matrice des cofacteurs, 208 Matrice diagonale, 178 Matrice élargie, 121 Matrice nilpotente, 179 Matrice symétrique, 176 Matrice triangulaire inférieure, 178 Matrice triangulaire supérieure, 178 Module d un nombre complexe, 50 Monique, 59 Mônome de degré n, 59 Multiple d un entier, 26 Multiple d un polynôme, 59 Négation, 3 Nombre entier premier, 34 Noyau d une application linére, 194 Opération élémentaires de Gauss, 118 Ordre de multiplicité, 66 Partie complémentaire, 7 Partie entière, 79 Partie polaire d un pôle, 81, 82 Partie régulière, 79 Plan affine, 110 Plus grand commun diviseur PGCD, 28 Plus petit commun multiple PPCM, 33 Pôle multiple, 78 Pôle simplifiable, 78 Polynômes cyclotomiques, 76 Polynôme caractéristique d une matrice, 223 Polynôme irréductible, 65 Polynômes a coefficients dans K, 58 Polynômes irréductibles de C[X], 73 Polynômes irréductibles de R[X], 74 Produit cartésien, 12 Produit de Cauchy, 56 Quantificateur existentiel, 8 Quantificateur universel, 8 Racine n-ième d un nombre complexe, 52 Racine n-ième de l unité, 52 Racine n-ième primitive de l unité, 54 Racine (ou zéro) d un polynôme, 67 Racine double, 68 Racine multiple, 68 Racine simple, 68 Raisonnement par contraposition, 20 Raisonnement par déduction, 20 Raisonnement par exclusion, 20 Raisonnement par l absurde, 21 Raisonnement par récurrence, 22 Rang d une famille de vecteurs, 152 Règles du calcul vectoriel, 89 Réunion, 9 Scalaire, 89 Somme vectorielle dirècte, 148 Sous-anneau, 42

235 INDEX 229 Sous-corps, 44 Sous-espace vectoriel, 98 Sous-espace vectoriel supplémentaire, 148 Sous-groupe, 39 Spectre d un endomorphisme, 220 Structure d anneau, 41 Structure de corps, 44 Structure de groupe, 38 Supplémentaire d un sous-espace vectoriel, 148 Surjection, 15 Système d équations linéaires, 110 Système linéaires équivalents, 119 Système linéaire homogène, 110 Théorème fondamental de l algèbre, 73 Théorème d existence de la base, 143 Théorème de d Alembert-Gauss, 73 Théorème de diagonalisation, 225 Théorème de la base incomplète, 143 Transposée d une matrice, 175 Valeur absolue, 25 Valeur propre d un endomorphisme, 220 Variable, 13 Vecteur, 89 Vecteur propre d un endomorphisme, 220