Démontrer le caractère injectif / surjectif / bijectif d une application

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1 Démontrer le caractère injectif / surjectif / bijectif d une application Il s agit donc de montrer une propriété commençant par un symbole. La démonstration débute donc par : Soit (x 1, x 2 ) E 2. La propriété est alors exprimée par une implication. Au final, on doit écrire : Soit (x 1, x 2 ) E 2. Supposons f(x 1 ) = f(x 2 ) et montrons que x 1 = x 2. On fera apparaître ce squelette en couleur. Cette fiche a pour but de faire un point sur les grandes méthodes à utiliser pour démontrer le caractère injectif / surjectif / bijectif d une application. Ce type de raisonnement sera abordé à l aide de différents exemples. 1 Montrer le caractère injectif d une application 1.1 Démonstration élémentaire On peut parler de démonstration élémentaire ici car il s agit d une méthode de démonstration basique, s appuyant sur la définition. Elle est aussi élémentaire en ce sens qu on montre une propriété sur les éléments de l ensemble de départ de l application. Rappelons la définition d injectivité Définition Définition Soient E et F deux ensembles. Une application f : E F est injective si deux éléments distincts de E ont des images distinctes par f. (x 1, x 2 ) E 2, x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) Il est souvent plus simple de manipuler une propriété énoncée de manière positive. On utilisera donc plutôt la contraposée de la propriété précédente, à savoir : (x 1, x 2 ) E 2, f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x Illustration sur des exemples Exercice 1 Soit f : E F et g : F E deux applications. Montrer que : g f = id E f injective. Supposons g f = id E et montrons que f est injective. Soit (x 1, x 2 ) E 2. Supposons f(x 1 ) = f(x 2 ). En composant par g, on obtient g(f(x 1 )) = g(f(x 2 )). Or, par hypothèse, on a g f = id E donc g(f(x 1 )) = x 1 et g(f(x 2 )) = x 2. On en conclut que x 1 = x 2. On a ainsi montré que f est injective. On a donc montré que : g f = id E f injective. Exercice 2 Soient f : E F, g : F G deux applications. On considère l application h : E F G x ( f(x), g(x) ). Montrer que : (f injective OU g injective) h injective. Supposons (f injective OU g injective) et montrons que h est injective. Il y a donc deux cas à traiter. Si f est injective : Soit (x 1, x 2 ) E 2. Supposons h(x 1 ) = h(x 2 ). On a donc h(x 1 ) = (f(x 1 ), g(x 1 )) = (f(x 2 ), g(x 2 )) = h(x 2 ). Ceci montre notamment que f(x 1 ) = f(x 2 ). Or f est injective. On en conclut que x 1 = x 2. On a ainsi montré que h est injective. Si g est injective : on démontre de manière analogue que h est injective. On a donc montré que : (f injective OU g injective) h injective. 1

2 Exercice 3 Soient f : E G, g : F H deux applications. On considère l application h : E F G H ( x 1, x 2 ) ( f(x 1 ), g(x 2 ) ). Montrer que : (f injective ET g injective) h injective. Supposons (f injective ET g injective) et montrons que h est injective. Soit (u, v) (E F ) 2. Supposons h(u) = h(v). u et v sont des éléments de E F. Ceci signifie qu ils s écrivent sous la forme u = (u 1, u 2 ) avec u 1 E et u 2 F et v = (v 1, v 2 ) avec v 1 E et v 2 F. On a alors : h(u) = (f(u 1 ), g(u 2 )) = (f(v 1 ), g(v 2 )) = h(v). Ceci signifie que f(u 1 ) = f(v 1 ) et g(u 2 ) = g(v 2 ). Or f et g sont injectives donc u 1 = v 1 et u 2 = v 2. On en conclut que u = (u 1, u 2 ) = (v 1, v 2 ) = v. On a ainsi montré que h est injective. On a donc montré que : (f injective ET g injective) h injective. 1.2 Démonstration à l aide de propriétés du cours Des propriétés utiles Soient f : E F et g : F G deux applications. 1) g f injective f injective 2) } f injective g injective g f injective 1) Supposons g f injective et montrons que f est injective. Soit (x 1, x 2 ) E 2. Supposons f(x 1 ) = f(x 2 ). En composant par g, on obtient que g(f(x 1 )) = g(f(x 2 )). Or, par hypothèse, l application g f est injective. On en conclut que x 1 = x 2. On a ainsi montré que f est injective. On a donc montré que : g f injective f injective. 2) Supposons f et g injectives et montrons que g f est injective. Soit (x 1, x 2 ) E 2. Supposons g f (x 1 ) = g f (x 2 ). Autrement dit, g(f(x 1 )) = g(f(x 2 )). Or, par hypothèse, l application g est injective. On a donc f(x 1 ) = f(x 2 ). Or, par hypothèse, l application f est injective. On en conclut que x 1 = x 2. On a ainsi montré que g f est injective. On a donc montré que : (f ET g injectives) g f injective. Ces deux propriétés doivent être parfaitement connues et peuvent être utilisées sans avoir à les redémontrer Illustration sur des exemples Utilisation de la propriété 1) On remarque que les énoncés de la propriété 1) et de l Exercice 1 sont très similaires. On reprend ici la démonstration de cet Exercice 1. Supposons g f = id E et montrons que f est injective. L application id E est bijective. Elle est donc notamment injective. Ainsi, g f est injective. On en conclut que f est injective. On a donc montré que : g f = id E f injective. Utilisation de la propriété 2) La propriété 2) est quant à elle utilisable lorsque l on souhaite démontrer le caractère injectif d une application qui apparaît «naturellement» comme composée de deux applications. Exercice 4 Démontrer l injectivité de h : [1, + [ R x ln x 2

3 L application h apparaît comme la composée des applications f : [1, + [ R+ x ln x et g : R+ R x (h = g f). Or f et x g sont injectives (car ce sont des applications réelles strictement croissantes). L application h est donc injective. 2 Montrer le caractère surjectif d une application 2.1 Démonstration élémentaire Définition Définition Soient E et F deux ensembles. Une application f : E F est surjective si tout élément de F admet au moins un antécédent par f. Ce qui revient à dire : f(e) = F. y F, x E, y = f(x) Il s agit donc de montrer une propriété commençant par un symbole. La démonstration débute donc par : Soit y F. La propriété est alors exprimée par un quantificateur existentiel. Il s agit donc d exhiber un élément x E tel que y = f(x). Pour y F fixé, il s agit de démontrer l existence d un élément x E tel que y = f(x). Une rédaction comme : «Soit x E tel que y = f(x)...» est donc impropre puisqu elle suppose l existence de l élément x (c est justement ce que l on cherche à démontrer!). On fera apparaître le squelette de la démonstration en couleur Illustration sur des exemples On reprend les exercices précédents qui ont permis d illustrer la démonstration de l injectivité. Exercice 5 Soit f : E F et g : F E deux applications. Montrer que : g f = id E g surjective. Supposons g f = id E et montrons que g est surjective. Soit y E. Comme g f = id E, on a g(f(y)) = y. Ainsi, y apparaît comme l image par la fonction g de l élément f(y). On a trouvé x F (x = f(y)) tel que y = g(x). Ainsi, g est surjective. On a donc montré que : g f = id E g surjective. Exercice 6 Soient f : E F, g : F G deux applications. On considère l application h : E F G x ( f(x), g(x) ). Si f et g sont surjectives, en est-il de même pour h? Il ne s agit pas ici de montrer de la surjectivité mais de montrer que l implication [(f surjective ET g surjective) h surjective] n est pas vérifiée. Il s agit donc de trouver deux applications f et g surjectives telles que h n est pas surjective (un contre-exemple). On peut prendre E = F = G = R et f(x) = x + 1, g(x) = x + 2. Dans ce cas, h n est pas surjective. En effet, (5, 5) est un élément de R 2 qui n admet pas d antécédent x R par la fonction h. On peut le montrer par l absurde : s il existe x R tel que h(x) = (f(x), h(x)) = (5, 5), alors on a x + 1 = 5 et x + 2 = 5. On trouve donc x = 4 et x = 3, ce qui est impossible. h n est donc pas nécessairement surjective, même si f et g le sont. Exercice 7 Soient f : E G, g : F H deux applications. On considère l application h : E F G H ( x 1, x 2 ) ( f(x 1 ), g(x 2 ) ). Montrer que : (f surjective ET g surjective) h surjective. 3

4 Supposons (f surjective ET g surjective) et montrons que h est surjective. Soit y G H. Ainsi y s écrit y = (y 1, y 2 ) avec y 1 G et y 2 H. Or f est surjective. Il existe donc x 1 E tel que y 1 = f(x 1 ). De même, g est surjective. Il existe donc x 2 F tel que y 2 = f(x 2 ). On a trouvé x E F (x = (x 1, x 2 )) tel que y = h(x). Ainsi, h est surjective. On a donc montré que : (f surjective ET g surjective) h surjective. 2.2 Démonstration à l aide de propriétés du cours Des propriétés utiles Soient f : E F et g : F G deux applications. 3) g f surjective g surjective 4) } f surjective g surjective g f surjective 3) Supposons g f surjective et montrons que g est surjective. Soit y G. Comme g f : E G est surjective, il existe u E tel que y = g f (u). Autrement dit, y = g(f(u)). On a trouvé x F (x = f(u)) tel que y = g(x). Ainsi, g est surjective. On a donc montré que : g f surjective f surjective. 4) Supposons f et g surjectives et montrons que g f : E G est surjective. Soit y G. Comme g : F G est surjective, il existe u F tel que y = g(u). Comme f : E F est surjective, il existe x E tel que u = f(x). Ainsi, y = g(u) = g(f(x)) = g f (x). On a trouvé x E tel que y = g f (x). Ainsi, g f est surjective. On a donc montré que : (f surjective ET g surjective) g f surjective. Ces deux propriétés doivent être parfaitement connues et peuvent être utilisées sans avoir à les redémontrer Illustration sur des exemples Utilisation de la propriété 3) On remarque que les énoncés de la propriété 3) et de l Exercice 5 sont très similaires. On reprend ici la démonstration de cet Exercice 5. Supposons g f = id E et montrons que g est surjective. L application id E est bijective. Elle est donc notamment surjective. Ainsi, g f est surjective. On en conclut que g est surjective. On a donc montré que : g f = id E g surjective. Utilisation de la propriété 4) La propriété 4) est quant à elle utilisable lorsque l on souhaite démontrer le caractère surjectif d une application qui apparaît «naturellement» comme composée de deux applications. Exercice 8 Démontrer la surjectivité de h : [1, + [ R+ x ln x L application h apparaît comme la composée des applications f : [1, + [ R+ x ln x et g : R+ R + x (h = g f). Or f et x g sont surjectives (elles sont même bijectives : faire une étude de fonction). L application h est donc surjective. 4

5 3 Montrer le caractère bijectif d une application 3.1 Démonstration élémentaire Définition Définition Soient E et F deux ensembles. Une application f : E F est bijective si elle est à la fois injective et surjective. De manière équivalente, une application f est une bijection si : y F,!x E, y = f(x) Il y a donc deux manières élémentaires de montrer le caractère bijectif d une application f : E F : a) montrer que f est injective et surjective. b) montrer que tout élément de F admet un et un seul antécédent par f. On ne revient pas sur le point a) qui a déjà été traité dans les sections précédentes. Illustrons le point b) sur un exemple. On fera apparaître le squelette de cette démonstration en couleur Illustration sur un exemple Exercice 9 On considère l application f définie par : f : R\{ 5} R\{2} x 2x 3 x+5 Montrer que f est bien définie, qu elle est bijective et donner sa bijection réciproque. La fonction f est définie pour tout x n annulant pas son dénominateur. Ainsi, D f = R \ { 5}. On souhaite montrer que : y R \ {2},! x R \ { 5}, y = f(x) Soit y R \ {2}. On résout l équation y = f(x) d inconnue x R \ { 5}. Pour ce faire, on raisonne par équivalence : y = f(x) (1 ) y = 2x 3 (2 ) x + 5 y(x + 5) = 2x 3 (3 ) x(y 2) = 3 5y (4 ) x = 3 + 5y (5 ) 2 y ( On a trouvé un unique x R \ { 5} x = 3 + 5y ). Ainsi, f est bijective. 2 y (Notez que la ligne (2 ) est justifiée par le fait que x 5 et que la ligne (5 ) est justifiée par le fait que y 2) Sa bijection réciproque f 1 est donnée par : Pourquoi raisonne-t-on ici par équivalence? Considérons le raisonnement par implication suivant : f 1 : R \ {2} R \ { 5} x 3+5x 2 x Soient y 2 et x 5 tels que y = f(x). Alors (par les mêmes étapes de calcul), x = 3+5y 2 y. Ce raisonnement permet de prouver que s il existe x tel que y s écrit sous la forme y = f(x) alors x est déterminé de manière unique par x = 3+5y 2 y. Mais ceci ne prouve pas qu il existe un tel x. Cette étape primordiale est démontrée par l implication réciproque, qui peut se résumer par : Soient y 2. Alors y = f( 3+5y 2 y ).. 5

6 3.2 Démonstration à l aide de propriétés du cours Des propriétés utiles Soient f : E F et g : F G deux applications. } f bijective 5) g f bijective g bijective Supposons f et g bijectives. f et g sont donc sont notamment injectives. Leur composée g f est donc injective. De même, f et g sont surjectives donc g f est surjective. Ainsi, g f est bijective. Soit f : E F. S il existe g : F E tq { g f = ide f g = id F alors f est bijective et g = f 1. Supposons l existence d une telle fonction g. D après l Exercice 1 (ou la propriété 1 )) on déduit de g f = id E que f est injective et de f g = id F que g est injective. D après l Exercice 5 (ou la propriété 3 )) on déduit de g f = id E que g est surjective et de f g = id F que f est surjective. Ainsi, f et g sont bijectives et ont pour bijection réciproque f 1 et g 1. Enfin, g = f 1 f g = f 1 id F = f Illustration sur des exemples Utilisation de la propriété 5) La propriété 5) est quant à elle utilisable lorsque l on souhaite démontrer le caractère bijectif d une application qui apparaît «naturellement» comme composée de deux applications. Exercice 10 Démontrer la bijectivité de h : [1, + [ R+ x ln x L application h apparaît comme la composée des applications + x ln x et g : R + R + f : [1, + [ R x (h = g f). Or f x et g sont bijectives (faire une étude de fonction). L application h est donc bijective. Utilisation de la seconde propriété Il faut y penser dès que l on voit apparaître l application identité comme composée de deux fonctions. Exercice 11 Soit f : E E une application vérifiant f f f = id E. Montrer que f est bijective et déterminer son inverse. On a (f f) f = id E et f (f f) = id E. Ainsi, l application f est bijective, d inverse f f. Ces deux propriétés doivent être parfaitement connues et peuvent être utilisées sans avoir à les redémontrer. 6

7 Utilisation des propriétés précédentes Pour montrer qu une application est bijective, on peut montrer son caractère injectif et surjectif en utilisant les propriétés précédentes. Exercice 12 Soient f : E F, g : F G, h : G H. On suppose que g f et h g sont bijectives. Démontrer que f, g, h sont bijectives. On montre tout d abord que g est bijective. Comme g f est surjective, g est surjective. Comme h g est injective, g est injective. Ainsi, g et bijective, et sa réciproque g 1 est aussi bijective. On en conclut que f = g 1 (g f) et h = (h g) g 1 sont bijectives car s écrivent comme la composée de deux applications bijectives. Exercice 13 Soient f : A B, g : B C et h : C A telles que : h g f et f h g sont injectives g f h est surjective Montrer que f, g et h sont bijectives. On montre tout d abord que g est bijective. Comme g f h est surjective, g est surjective. Comme f h g est injective, g est injective. Ainsi, g et bijective, et sa réciproque g 1 est aussi bijective. On en conclut que f h = g 1 (g f h) est surjective car est la composée de deux applications surjectives. Ainsi, f est surjective. Or f est aussi injective car (h g) f est injective. Ainsi, f est bijective. Enfin, h = (h g f) f 1 g 1 est injective car est la composée de 3 applications injectives. h est de plus surjective car s écrit comme composée de 3 applications surjectives : h = f 1 g 1 (g f h). Ainsi, h est bijective. 7