Observe la carte 2. En est-il de même? Explique pourquoi et décris alors les deux trajets.

Transcription

1 Chapitre 1. Introuction au cours e troisième. Se représenter l espace. 1 Les notions que nous allons rencontrer ans ce chapitre onnent un aperçu u travail que l on va poursuivre en troisième année. Elles ne seront pas obligatoirement menées jusqu au bout, mais seront souvent une première approche avant un approfonissement ultérieur. C est l enseignement en spirale. Dans ce chapitre, nous rencontrerons la notion e projection, courbes e niveau, pente, tangente, représentation graphique e fonctions, interprétation e la pente ans ifférentes situations, proportions, échelles. 1. Au vu e la carte 1, aller e O en A ou e O en B semble réclamer le même effort. Observe la carte 2. En est-il e même? Explique pourquoi et écris alors les eux trajets. 2. Que représente une courbe e niveau? Quelles informations trouve-t-on sur une carte IGN pour écrire le relief? Pour t aier, observe l extrait e carte IGN suivant. 1 L essentiel e ce chapitre est inspiré e «Question en question 3» Hatier. Math 3ème Werner 2010/2011 1

2 Que signifie les mots : altitue, énivelé. Sur une carte IGN, on trouve l information «équiistance = 5m» Explique. Connais-tu autres moyens e trauire le relief sur une carte que l utilisation es courbes e niveau? 2. Observe ce panneau. Que signifie-t-il? Imagine plusieurs situations où on pourrait le rencontrer. Dessine le profil une route au ébut e laquelle on pourrait placer ce panneau. Quelle est la valeur la plus élevée que tu as éjà vu sur ce genre e panneau? Et s il existait un panneau avec la mention 100% écrite essus, que vourait-il ire? 3. Définition e la pente au sens mathématique. 4. Etape 11 - COURCHEVEL/BRIANÇON 13 Juillet Ces graphiques sont extraits u site Math 3 ème Werner 2010/2011 2

3 . Départ : COURCHEVEL Jamais eux sans trois pour Courchevel, qui accueillera une nouvelle fois la Grane Boucle en juillet Huit ans après la légenaire arrivée e Richar Virenque à l altiport, suivie une victoire triomphale e Marco Pantani en 2000, la station savoyare montre une fois e plus l intérêt qu elle porte au cyclisme, axe fort e sa politique sportive été. Dans le calenrier es manifestations, les compétitions sportives occupent une place e choix à Courchevel, qui ispose infrastructures accueil exceptionnelles lui permettant organiser, été comme hiver, e grans événements. Bénéficiant es eux seules étapes e montagne retenues pour les Alpes à l occasion e ce 92ème Tour e France, Courchevel, qui conforte ainsi son image e station sportive et internationale, atten es milliers e spectateurs pour l une es épreuves les plus suivies au mone. Arrivée : BRIANÇON Au carrefour e cinq vallées préservées, Briançon se resse fièrement sur un piton rocheux à m altitue. Connue pour ses fortifications exceptionnelles, c est par son charme altitue et son aspect méiéval que Briançon, ancienne capitale es Escartons, séuit tous ceux qui savent s y attarer. Jouissant un patrimoine extraorinaire, Briançon est entrée ans le cercle prestigieux es villes art et histoire. La ville fortifiée recèle es merveilles à écouvrir : la Grane et la Petite Gargouille, la maison es Templiers, la Collégiale, l Eglise es Coreliers, ses fresques murales, le fort u Château, les maisons aux murs colorés, les carans solaires Briançon est servie par une climatologie exceptionnelle, 300 jours e soleil par an, un air pur et sec et un ciel bleu. Math 3 ème Werner 2010/2011 3

4 Les questions : a) Observe le profil e l étape. Quels renseignements onne-t-il? Que représentent les abscisses et les oronnées? b) Choisis eux tronçons et calcule la pente e chacun eux c) Vérifie l inication : col e Galibier, 17,5km à 6,9%. ) Sur la carte e l étape, il n y a pas e courbes e niveau. Comment trauit-on le relief. Avantages et inconvénients? 5. Observe la carte suivante. Son échelle est e 1/ Qu est ce que ça veut ire? Essaye e écrire le tracé allant e A à B. En t aiant es courbes e niveau, essine le profil e ce tracé. (papier millimétré). Comment repère-t-on rapiement sur la carte les pentes fortes et les faibles? Compare avec la maquette montrée en classe. A B. Math 3ème Werner 2010/2011 4

5 6. Les publications traitant u cyclisme font souvent es classements es côtes rencontrées. Ici, la côte u Sartay. Calcule la pente sur ifférents tronçons et sa pente moyenne Sur une route ont la pente est constante et égale à 8%, on passe e l altitue 250m à l altitue 285m. Quel est l avancement horizontal? Fais un croquis. 8. Sur une route ont la pente est constante et égale à 12%, l avancement horizontal est e 2,3km. Quel sera alors le énivelé? 9. Quelle est la pente un mur vertical? 10. Sur une carte au 1/25 000, on suit un chemin qui part e la courbe e niveau 125m et qui se termine à la courbe 160m. En mesurant ce trajet, on a trouvé 6cm sur la carte. Quelle est la pente moyenne sur ce trajet? Notion e tangente. 1. Plutôt que utiliser la notion e pente pour écrire la façon ont une route monte, on aurait pu mesurer l angle que fait celle ci avec l horizontale. Illustre cela pour une pente e 20% (essin à l échelle et mesure e l angle au rapporteur) 2. Répète cette situation pour ifférentes pentes et fais un tableau trauisant la relation entre la pente et l angle. Fais un graphique. Interpole en complétant ton graphique. 3. Que vaut la pente un chemin qui forme un angle e 36 avec l horizon? Evalue celle-ci grâce à ton graphique. 3 D autres profils peuvent-être trouvés à l aresse : Math 3 ème Werner 2010/2011 5

6 4. Comment utiliser la calculatrice pour calculer une pente quan on connaît l angle formé par la route avec l horizontale? Comment retrouver l angle quan on connaît la pente? Définition e la tangente un angle ans un triangle rectangle. Dans cette situation, la tangente e l angle α est égale à la pente e l hypoténuse u triangle : tg énivelé avancement horizontal a α a De manière plus générale. tg côté opposé côté ajacent a a arctg a α A. Calcul u côté opposé à l angle : Utilisation. 12m 20 B. Calcul u côté ajacent à l angle : 5m 48 C. Calcul e l angle : (notion arctangente) 3m 5m α Math 3 ème Werner 2010/2011 6

7 Exercices supplémentaires. 1. Quelle est l amplitue e l angle que fait le toit avec l horizontale? 9m 12m 15m 2. Le téléphérique e l Aiguille u Mii, ans le massif u Mont Blanc, conuit, en un premier tronçon, e Chamonix (1030m) au Plan e l Aiguille (2310m). La istance horizontale parcourue étant représentée par 85 mm sur une carte au 1 : Le secon tronçon, u Plan e l Aiguille au sommet e l Aiguille u Mii (3795m), correspon à une istance horizontale e 98 mm. Sur ce tronçon, il n y a qu un seul pylône, au point 3101 ( istance horizontale : 75 mm) Calcule la pente moyenne entre : a) Chamonix et Plan e l Aiguille b) Plan e l Aiguille et point 3101 c) point 3101 et Aiguille u Mii ) Plan e l Aiguille et Aiguille u Mii 3. Un élève voulant calculer la pente un funiculaire s est trompé et a calculé le rapport entre la istance horizontale et la énivellation. Il a obtenu 400%. Quelle est la pente réelle? 4. Même question s il a obtenu 125% 5. L ombre un poteau vertical planté sur un terrain horizontal mesure 12m. Quelle est la hauteur u poteau si à ce moment les rayons u soleil forment un angle e 25 avec l horizontale. (Fais un essin) 6. Au mois e septembre, à mii, le soleil n est pas au Zénith mais à 76 par rapport à l horizontale. Calcule l ombre un poteau e 4,2m e haut placé ans les mêmes conitions que ans l exercice précéent. 7. Quelle est la route la plus pentue? Celle qui fait 14% ou celle qui fait 14? 8. «A 37,5, ça va bien pour cette Aui 100 Quattro munie e pneus à clous qui, au main e Haral Demuth, a gravi ce tremplin e ski enneigé une inclinaison e 37,5, ce qui représente une pente e 85%! Cet exploit a été réalisé pour les besoins un spot publicitaire.» Montre que cette publicité est mensongère et rectifie la. 9. Voici une carte à l échelle 1 : Calcule la pente moyenne pour aller e A à B et fais le profil. La énivellation entre eux courbes e niveau est e 5m. On consière que ce tracé monte continuellement e A vers B A 10.. Calcule l avancement horizontal que l on fait sur une route qui monte régulièrement sous un angle e 2,5 si on passe e l altitue 526m à l altitue e 678m. 11.Quelle est l amplitue e l angle que fait une route avec l horizontale si sa pente est e 18%? B Math 3 ème Werner 2010/2011 7

8 Utilisation e la tangente pour calculer es istances inaccessibles. 1. Un bateau se irige roit vers un phare A situé sur la côte. A 3,6 km e ce phare, il y a un euxième phare B. On mesure, u bateau, l amplitue e l angle sous lequel on voit ces eux phares. On trouve 32. A quelle istance e la côte se trouve le bateau? 3,6km Calcule la longueur e l étang AB en te référant aux onnées u essin. A étang B 750m Quelle est la hauteur e la tour? tour m Math 3 ème Werner 2010/2011 8

9 Construction e graphique et transfert e la méthoe u calcul e pente. 1. Observe le graphique suivant. Distances en km O a) Que représente-t-il? Imagine une situation concrète qui l illustrerait. b) Transpose la méthoe pour calculer la pente une route sur le premier tronçon (les 10 premiers km) En faisant cela, calcule-t-on l inclinaison e la route? Est-ce que cela a u sens? Quelles unités sont en jeu? Que calcule-t-on alors? Peut-on trauire en %? c) Effectue le même calcul sur les autres tronçons. Conclusions : 1h Temps en heures 2h 2. On remplit un tonneau avec e l eau (ou u vin!!) et on note la quantité e liquie en fonction u temps. Voici le tableau reprenant ces valeurs. Temps en minutes Quantité en litres a) Construis un graphique : abscisses = temps en minutes oronnées = litres b) Repère les ifférentes parties e ton graphique et calcule la «pente» pour chacun eux. Quelles unités sont en jeux? Que calcule-t-on en faisant cela? Math 3 ème Werner 2010/2011 9

10 Utilisation un tableur pour construire un graphique. La construction un graphique point par point est souvent ifficile à réaliser par manque e précision. Pour éviter cela, on peut utiliser un tableur. Exercice : Voici les heures e passage annoncées par le journal «l équipe» pour ifférents enroits, lors e l étape u tour e France étuiée plus haut : le col u Galibier.. Encoe les ans le tableur et construis un graphique point par point. Choisis les unités appropriées. Calcule la vitesse moyenne es coureurs sur 3 tronçons. Compare ce nouveau graphique avec le profil e l étape. Time scheule Wenesay 13 July 2005 km COURCHEVEL (Le Praz) 10: COURCHEVEL 10: Méribel-Village 10: Le Raffort (D.98- D.90) 10: Nantgerel 10: Le Cruet 10: LES ALLUES 10: Carrefour D.90- D SALINS-LES- THERMES 19.0 MOÛTIERS (D.915-N.90) 10:57 11:03 11: AIGUEBLANCHE (N.90-D.92-D.94) 11: Bellecombe (D.94-D.97aD.97) 11: LA LECHERE (D.97-D.97b) 11:15 Carrefour D.97b- 11:16 D.97 LA LECHERE (chef lieu) D :18 11: Villar-Soffray 11:46 TARENTAISE) 39.0 Villar-Benoît 11: La Thuile 12: CELLIERS 12: Celliers-Dessus 12: Col e la Maeleine 12: Longchamp : LONGCHAMP 12: Le Planet 12: Carrefour D.97- (BONNEVAL- SAINT- FRANCOIS- SAINT-MARTIN- SUR-LA- CHAMBRE LA CHAMBRE (D.213-D.99) 75.0 SAINT-AVRE (D.99-D.213) :06 13:09 13: SAINT-AVRE 13: Carrefour D :12 N.6 SAINT-JEAN- DE-MAURIENNE (près) 89.5 SAINT-JULIEN- MONT-DENIS 13:27 13: (près) SAINT-MICHEL- DE-MAURIENNE (N.6-D.902) 98.0 SAINT-MARTIN- D'ARC Col u Télégraphe 13:45 13:46 14: Les Granges 14: Les Choseaux 14: VALLOIRE 14: Les Verneys 14: La Rivine 14: Plan Lachat 14:49 Les Granges-u :00 Galibier Col u Galibier 15: : : : : : : : : : : :53 Math 3 ème Werner 2010/

11 Pente et cooronnées e points. En mathématique, on consière un segment [MN] ans un repère cartésien ; on parcourt le segment e gauche à roite, ans le sens e l axe es x. La pente u segment [MN] est onnée par le rapport entre la ifférence es oronnées e M et N sur la ifférence es abscisses e ces eux points. N y M y M N pente N N y x M M y x M x N x La pente peut onc être interprétée comme le rapport entre le énivelé et le éplacement horizontal. On peut aussi l exprimer en %. Exemple : une pente e 4% correspon à une pente e Une pente positive sera interprétée comme une «montée» et une pente négative comme une «escente»!!! Toujours pour un éplacement ans le sens e l axe es x. Exercices : a) Quelle est la pente u segment [AB] si les cooronnées e A sont (5,9) et B (8,17)? b) Même question avec A(-3,-7) et B (-9,12) c) Même question avec A(15,5) et B (-12,5) ) Et ans ce cas? A (6,5) et B (6,9) Math 3 ème Werner 2010/