I. La balance de Cotton

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1 DEVOIR SURVEILLÉ n 4bis (Centrale - Mines) Mesures champs magnétiques Samedi 8 décembre Durée 2h30 Mesures champs magnétiques Dans ce problème sont abordées quelques méthos mesure champs magnétiques, permanents ou éventuellement lentement variables le temps. Les vecteurs seront traditionnellement surmontés d une flèche, par exemple B pour le champ magnétique ; sauf s ils sont unitaires et seront alors surmontés d un chapeau, par exemple û tel que û =1.Leréférentiel terrestre sera considéré comme galiléen. On rappelle que µ 0 =4π 10 7 H m 1. I. La balance Cotton La photo d un modèle balance Cotton est placée ci-contre. Ce type balance, stinée à la mesure champ magnétique, a été mis au point par Aimé Cotton en Elle est constituée ux fléaux. L un, à gauche, comprend sur sa périphérie, un conducteur métallique qui sera parcouru par un courant et dont une partie sera placée le champ magnétique, uniforme et permanent, à mesurer. Le conducteur sera soumis à s forces Laplace et la balance penchera du côté ce fléau. L autre comporte un plateau sur lequel on peut déposer s masses marquées pour équilibrer la balance et déduire ainsi la norme du champ magnétique. Le schéma principe labalanceestreprésentésur la figure Zone laquelle le champ magnétique est appliqué Axe rotation ( ) b 6 1 b b Contrepoids Plateau Figure 1 Schémaprincipelabalance Sur le fléau ssiné à gauche, les conducteurs permettent le passage d un courant d intensité i, selonleparcoursa 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6.LesportionscircuitA 2 A 3 et A 4 A 5 sont s arcs cercle même centre O. L ensemblesuxfléauxconstitueunsystème rigi, mobile sans frottement, autour d un axe horizontal passant par le point O et noté Oz. On désigne par C le milieu du segment A 3 A 4 et D le point suspension du plateau. On note d 1 la distance OC entre les points O et C, d 2 la distance OD entre les points O et D et l la longueur du segment A 3 A 4. Page 2/7 1

2 Physique II, année 2016 filière PSI MP1&2 Physique 2018 II, année filière PSI La procédure mesure est la suivante : La procédure mesure est la suivante : 1. Équilibrage à vi :enl absencecouranti et masses marquées le plateau, 1. Équilibrage à vi le contrepoids C est déplacé :enl absencecouranti façon à que la balance et masses soit à marquées l équilibre, les trois le plateau, points C, le contrepoids O et D étant C est alignés déplacé sur l horizontale façon à ce. que la balance soit à l équilibre, les trois points C, O et D étant alignés sur l horizontale. 2. Mesure du champ : on ferme le circuit électrique, ce qui permet au courant d intensité 2. i Mesure circuler du champ : on ferme le circuit électrique, ce qui permet au courant d intensité la balance, lefléaugauchepencheverslebas;onajoutealors i circuler s masses le plateau la balance jusqu à, lefléaugauchepencheverslebas;onajoutealors ce que la balance soit à l équilibre, les trois points C, O s et masses D étant alignés le plateau sur l horizontale jusqu à ce. que la balance soit à l équilibre, les trois points C, et étant alignés sur horizontale 1 Montrer que, lorsque l équilibrage à vi est réalisé, le centre masse, G, sparties mobiles 1 Montrer 1 la balance que, est lorsque situé en l équilibrage O. àvi vist est réalisé, le centre le centre masse, masse G, Gsparties mobiles la balance est situé en à lao. verticale du point O. 2 Lorsque le courant circule la balance, montrerquelemomentrésultanteno 2 Lorsque le courant circule s forces Laplace s exerçant sur les parties la balance en arc, montrer cercle est que nul. lemomentrésultanten s forces Laplace s exerçant sur les parties en arc cercle est nul. 3 Al équilibre,enprésencecourantetchampmagnétique, 3 Al équilibre,enprésencecourantetchampmagnétique, établir l expression du établir l expression du moment en O s forces Laplace. En déduire la relation liant B = moment en s forces Laplace. En déduire la relation liant B, lasommems, lasommems masses marquées posées sur le plateau, i, l, d 1, d 2 et le module g du champ pesanteur g. masses marquées posées sur le plateau, i, l, 1 2 et le module du champ pesanteur g. 4 Lasensibilité la balance étant δ m =0,05 g, déterminer la plus petite valeur B mesurable 4 Lasensibilité pour i = 10 A, la g balance = 10 m étant s 2, l =5cmetd m =0,05 g, déterminer la plus petite valeur mesurable pour 10 A, = d 2 =10cm.Encomparantcette =5cmetd 1 2 =10cm.Encomparantcette valeur avec une ou s références connues, conclure quant à l utilisabilité la balance. valeur avec une ou s références connues, conclure quant l utilisabilité la balance. FIN DE LA PARTIE I FIN DE LA PARTIE II. II. Utilisation Utilisation d une d une boussole boussole II.A. Etu générale II.A. Etu générale Dans cette partie on utilise une boussole constituée d une Dans cette partie on utilise une boussole constituée d une Figure 2 La Boussole aiguille aimantée mobile, présentant un axe symétrie Figure La Boussole aiguille aimantée mobile, présentant un axe symétrie longitudinal. Cette aiguille peut pivoter sans frottement autour d un axe passant par son centre longitudinal. Cette aiguille peut pivoter sans frottement autour d un axe passant par son centre masse G et perpendiculaire à l axe symétrie. La liaison avec l axe est du type pivot masse et perpendiculaire l axe symétrie. La liaison avec l axe est du type pivot parfait sans frottement. Cette aiguille aimantée se comporte comme undipôlemagnétique parfait sans frottement. Cette aiguille aimantée se comporte comme undipôlemagnétique moment magnétique M moment magnétique m ayant la direction l axe symétrie celle-ci. m ayant la direction l axe symétrie celle-ci. Cette boussole est placée un champ magnétique B,permanentetlocalementuniforme Cette boussole est placée un champ magnétique B,permanentetlocalementuniforme (il est considéré comme uniforme tout le long l aiguille aimantée).lesforcesmagnétiques (il est considéré comme uniforme tout le long l aiguille aimantée).lesforcesmagnétiques soumettent la boussole à un couple soumettent la boussole un couple Γ = M m B.OnnoteJ m B.OnnoteJ le moment d inertie l aiguille le moment d inertie l aiguille aimantée par rapport à l axe rotation. Dans un premier temps nous allons étudier les petits aimantée par rapport l axe rotation. Dans un premier temps nous allons étudier les petits mouvements l aiguille autour sa position d équilibre stable,ennégligeantlesfrottements mouvements l aiguille autour sa position d équilibre stable,ennégligeantlesfrottements fluis dus à l air. Le champ magnétique et l axe symétrie l aiguille sont un plan fluis dus l air. Le champ magnétique et l axe symétrie l aiguille sont un plan horizontal. On appelle α l angle entre la direction B horizontal. On appelle l angle entre la direction et celle M et celle m. m 5 Après avoir exprimé le couple s forces magnétiques 5 Après avoir exprimé le couple s forces magnétiques s exerçant sur l aiguille en fonc- s exerçant sur l aiguille en fonction s paramètres du problème que sont, m tion s paramètres du problème que sont B = B, M m = M m et α, établirl équation m et α, établirl équation différentielle dont α est solution. En déduire les positions d équilibres l aiguille, et indiquer différentielle dont est solution. En déduire les positions d équilibres l aiguille, et indiquer sans calcul l équilibre stable. En supposant α 1, donner l expression α (t) ennotantα sans calcul l équilibre stable. En supposant 1, donner l expression (t) ennotantα 0 la 0 la valeur maximale cet angle, en faisant apparaître le rapport κ = valeur maximale cet angle, en faisant apparaître le rapport M m m et en supposant que J et en supposant que dα dα dt t=0 =0rad s t=0 =0rad 1 1. dt Page 3/7 Page 3/7 Tournez la page S.V.P. Tournez la page S.V.P. 2

3 On se place à Paris dont l altitu (42 m) est négligeable vant le rayon terrestre R T = 6400 km, la longitu est ϕ = 2 21 et la latitu λ = nord. On rappelle que la latitu est l angle entre le plan l équateur et le rayon terrestre passant par le point considéré. On effectue ux mesures avec la boussole précémment calibrée : Une première expérience consiste à mesurer, à l équilibre, l inclinaison i l aiguille avec l horizontale du lieu, un plan localement vertical contenant les pôles magnétiques terrestres (l axe rotation la boussole est alors horizontal, et l aiguille aimantée est dirigée selon le champ magnétique local). Cette mesure permet déterminer la latitu magnétique λ m Paris. On notera que cette rnière est légèrement différente la latitu géographique car le nord géographique ne coïnci pas avec le pôle magnétique la Terre situé l arctique (il s agit en réalité d un pôle sud magnétique car il attire le pôle nord la boussole). 3

4 Une secon mesure est réalisée quand l axe rotation la boussole est placé suivant la verticale du lieu ; elle permet mettre en évince petites oscillations pério T = 2.31 s. On suppose que le champ magnétique terrestre est celui d un dipôle magnétique moment M T placé au centre la terre, dont la direction est celle d un axe (O, u z ) passant par les ux pôles magnétiques et orienté du sud magnétique vers le nord magnétique (c est à dire pratiquement du nord géographique vers le sud géographique). On rappelle qu un dipôle magnétique situé en l origine O du référentiel considéré, d axe (O, u z ) et moment M = M u z, crée en un point M éloigné O et coordonnées sphériques (r, θ, ϕ) un champ magnétique µ 0 M B (M) = 4πr 3 (2cosθ u r + sinθ u θ ) Dans le système coordonnées sphériques adapté à la géométrie du champ magnétique terrestre, l angle θ = 0 indique la direction du pôle nord magnétique et ϕ correspond à une longitu. 9 Faire un schéma la Terre sur lequel figure le moment magnétique terrestre M T, le vecteur B (M) ainsi que quelques lignes du champ magnétique terrestre, la latitu magnétique λ m, l angle i et l angle θ si le point M est la ville Paris. En déduire la valeur θ(m) en fonction λ m. Exprimer la norme B (M) en fonction θ et la composante B θ (M) du champ uniquement. 9bis Montrer que la mesure l inclinaison i lors la première expérience permet déduire que Paris est située à une latitu magnétique λ m =

5 23 Le conducteur est globalement non chargé, vérifier que l hypothèse V = V (r) estla La création la source courant nécessite un circuit électronique comman. Les tensions Hall I0 étant souvent très faibles, on doit les amplifier à l ai d un circuit électronique mesure. Le circuit comman comprend un circuit intégré, nommé régulateur I0 tension, ayant trois broches, notées : e (entrée), s (sortie) et c (commun). La tension u = V s V c est constante et sa valeur est fixée à u =5V.Latension Figure 5 Source courant idéale d alimentation est V cc =9V.L intensitéi c du courant entrant en c, estcontrôléeàlavaleur I c =10nA.LedipôleAM ainsi réalisé est représenté sur la figure 5. Physique II, année 2016 filière PSI 14 Pour quelle valeur la résistance R le dipôle AM se comporte-t-il comme une source courant idéale, délivrant un courant I 0 =10mA? 21 On choisit R 1 =100ΩetR 2 =1kΩ.Onobtientalorsu s =20,0mV, quelle est la Les valeur questions cette15composante à 21 ne seront? pas abordées ce sujet. On veut maintenant vérifier l influence du champ magnétique propre B 0 créé par le courant I 0.Pourcelaonadopteunmodèlesimplifiélequellaplaquette est supposée infiniment longue les directions û x et û z uniquement. Le semi-conducteur est supposé avoir la même perméabilité µ 0 que le vi. 22 Déterminer, ce modèle, la direction B 0 ainsi que les variables spatiales du problème dont ce champ ne dépend pas. A l intérieur la plaquette où la variable y [ c 2, c 2], é c r i r e l a o u l e s é q u a t i o n s d i ff é r e n t i e l l e s d o n t l e s c o m p o santes B 0 sont solutions. En déduire l expression B 0.Calculerlavaleurmaximalelanormecechamp.Danslamesure du champ terrestre, pouvait-on négliger l influence B 0? 22bis Retrouver la valeur B FIN 0 en appliquant le théorème d Ampère sous forme intégrale. DE LA PARTIE III IV. Utilisation d une magnétorésistance On considère un conducteur électrique se présentant sous laformed unecouronnecylindrique d axe Oz, hauteurh, délimitéeparuncylindreintérieurrayonr 1 et par un cylindre extérieur rayon r 2. Àl aid unesourcetensiononimposelespotentiels V (r 1)=V 1 et V (r 2 )=V 2.Onseplaceenrégimepermanentetonnégligeleseffetsbord, ce qui revient à supposer que le comportement cette couronne est le même que si elle était infiniment haute. L existence ux équipotentielles cylindriques permet d émettrel hypothèsequelepotentiel ne dépend que r, ainsi V = V (r), V (r) = 1 r ( d dr r dv ) dr 5 et gradv (r) = dv dr ûr.