Chapitre 11 : Systèmes linéaires

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1 Chapitre 11 : Systèmes linéaires Dans ce chapitre, nous nous intéressons à la résolution pratique de systèmes linéaires Nous appliquons ensuite nos résultats pour inverser des matrices carrées inversibles de tout ordre Table des matières 1 Résolution d'un système linéaire quelconque 2 2 Point de vue matriciel 6 21 Écriture matricielle du système (S) 6 22 Calcul pratique de l'inverse d'une matrice inversible 8 23 Système de Cramer novembre Pierre-Yves Madec - pmadec@hotmailfr 1

2 1 Résolution d'un système linéaire quelconque { x + 3y = 4 3x 7y = 0 x 1 + 3x 2 = 3 3x 1 7x 2 = 0 2x 2 = 1 est un système linéaire (2 équations, 2 inconnues) est un système linéaire (3 équations, 2 inconnues) x 1 + 3x 2 + 4x 3 2x 4 + x 5 = 1 est un système linéaire (1 équations, 5 inconnues) Dénition (Système linéaire) Soit n, p N Un système linéaire de n équations à p inconnues x 1, x 2,, x p tout système de la forme : a 11 x 1 + a 12 x a 1p x p = y 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2p x p = y 2 (S) a n1 x 1 + a n2 x a np x p = y n où les a ij et les y i sont des réels pour tout (i, j) 1, n 1, p ˆ On note L i la i-ème ligne du système, ˆ Une solution de (S) est un p-uplet (x 1, x 2,, x p ) R p Dénition (Système homogène) Le système (S) est dit homogène ssi y 1 = y 2 = = y p = 0 ssi a 11 x 1 + a 12 x a 1p x p = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2p x p = 0 (S) a n1 x 1 + a n2 x a np x p = 0 x 1 + 3x 2 = 0 3x 1 7x 2 = 0 2x 2 = 0 est un système homogène 2

3 Dénition (Opérations élémentaires) Les opérations suivantes sont appelés opérations élémentaires : ˆ L i L j : échange de L i avec L j ˆ L i al i (a 0) : multiplication de L i par a, ˆ L i L i + bl j (i j) : ajout de bl j dans L i, ˆ L i al i + bl j avec a 0 et i j (succession des deux dernières opérations élémentaires) Remarque(s) ˆ Que se passe t-il si a = 0? Si a = 0, alors la deuxième opération devient L i 0L i revient à remplacer la ligne L i par la ligne 0 = 0 Ce n'est pas une opération élémentaire ˆ Que peut-il se passer si i = j? Si i = j et b = 1, alors la troisième opération devient L i L i L i = 0, ce qui revient à remplacer la ligne L i par la ligne 0 = 0 Ce n'est pas une opération élémentaire Propriété 1 Les opérations élémentaires transforment tout système en un système équivalent, c'est à dire en un système dont les solutions sont inchangées Nous allons voir une méthode appelée méthode du pivot de Gauss permettant de résoudre n'importe quel système linéaire Examinons la méthode sur des exemples : 1 x + 2y + z = 1 2x + z = 2 x + y + z = 1 3

4 2 3y 2z = 0 4z = 12 x 2y + 4z = 9 3 3x + y + 4z = 0 x + 2y + 3z = 0 2x + y + 3z = 0 x + y + 2z = 0 4

5 4 3x + y + z = 1 x + 2y + 3z = 0 6x + 2y + 2z = 1 5

6 Méthode (Méthode du pivot de Gauss) La méthode du pivot de Gauss consiste donc à 1 réarranger éventuellement l'ordre des équations pour commencer à l'échelonner à peu de frais, 2 utiliser le "pivot de Gauss" pour faire disparaître les termes qui se trouvent en dessous du pivot, passer à la ligne suivante, changer de pivot et recommencer, 3 une fois que le système est échelonné "remonter" le système par substitution, en paramétrant le système s'il y a plus d'inconnues que d'équations à la suite de l'échelonnement 2 Point de vue matriciel 21 Écriture matricielle du système (S) Considérons le système linéaire : a 11 x 1 + a 12 x a 1p x p = y 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2p x p = y 2 (S) a n1 x 1 + a n2 x a np x p = y n d'inconnues (x 1, x 2,, x p ), les a ij et les y i étant des réels xés Notons a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p ˆ A = la matrice de M n,p(r) associée au système (S) a n1 a n2 a np x 1 x 2 ˆ Notons X = M y 2 p,1(r) et Y = M n,1(r), y 1 x p y n alors (S) peut se réécrire sous la forme suivante : AX = Y 6

7 On considère le système : 3x + y + z = 1 x + 2y + 3z = 0 6x + 2y + 2z = 1 Mettre ce système sous la forme AX = Y, avec A, X et Y à déterminer x 1 Quel système obtient-on si A = 1 1 0, X = y et Y = 0? z 1 7

8 22 Calcul pratique de l'inverse d'une matrice inversible Théorème 2 (Calcul de l'inverse) Soit A = (a ij ) 1 i,j n M n (R) une matrice carrée Considérons le système linéaire à n équations et n inconnues : a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = y 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = y 2 (S) a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = y n d'inconnue (x 1, x 2,, x p ), les a ij étant des réels xés et les y i étant des réels quelconques Remarquons qu'il s'agit du système linéaire (en utilisant les notations habituelles) : AX = Y Alors A est inversible ssi la résolution de (S) mène à l'obtention d'une unique solution (x 1, x 2,, x n ) de la forme x 1 = b 11 y 1 + b 12 y b 1n y n x 2 = b 21 y 1 + b 22 y b 2n y n x n = b n1 y 1 + b n2 y b nn y n pour tous y 1, y 2, y n R On a alors l'égalité suivante : b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n A 1 = b n1 b n2 b nn Remarquons que ce dernier système peut alors se réécrire : X = A 1 Y Inverser la matrice A =

9 La théorème précédent permet toujours de montrer qu'une matrice carrée est inversible (en donnant alors l'inverse) ou non Cependant il faut résoudre un système, ce qui peut s'avérer fastidieux Les deux propriétés qui suivent permettent de déterminer rapidement si des matrices d'un certain type sont inversibles ou non Propriété 3 (Caractérisation de l'inversibilité des matrices carrées d'ordre 2) Soit A = ( a c ) b M 2 (R) une matrice carrée quelconque d A est inversible ssi ad bc 0 ( ) ( ) Soit A = et B = Déterminer si A et B sont inversibles ou non inversibles Propriété 4 (Caractérisation de l'inversibilité des matrices triangulaires) Soit A = (a ij ) 1 i,j n une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) A est inversible ssi les coecients diagonaux de A sont tous non nuls, ssi i 1, n, a ii Soit A = Montrer que A est inversible sans calculer son inverse

10 Remarque(s) Une matrice diagonale est un cas particulier de matrice triangulaire (à le fois triangulaire supérieure et inférieure) Le théorème précédent s'applique donc aussi aux matrices diagonales Par exemple la matrice A = est inversible en vertu du théorème précédent 23 Système de Cramer Dénition (Système de Cramer) Un système linéaire est dit de Cramer ssi sa matrice A est carrée et inversible Remarque(s) ˆ Un système de Cramer est donc un système de n équations à n inconnues de matrice A = (a ij ) 1 i,j n inversible ˆ Puisque A est inversible, il est clair qu'un système de Cramer admet une unique solution car : AX = Y X = A 1 Y dénit une seule solution Propriété 5 Un système est de Cramer ssi il admet une unique solution Démonstration Admis Fin du chapitre 10