Révisions (1ES en vue de TES)

Transcription

1 Révisions (1ES en vue de TES) Afin de préparer au mieux votre prochaine rentrée scolaire en mathématiques, les professeurs ont préparé ces exercices d entraînement portant sur les éléments à connaître pour bien commencer l année. Pour un travail utile : 1. Révisez votre cours avant l exercice. 2. Faites votre exercice entièrement, sans regarder la correction. Vérifiez votre exercice avec la correction : détectez vos erreurs, et demandez-vous pourquoi vous avez fait cette erreur, et comment ne plus la refaire. Exercice 1 1) Avant une hausse de 8% le prix d'un article est de 225. Calculer le prix de cet article après la hausse. 2) Après une baisse de 5% le prix d'un article est de 152. Calculer le prix de cet article avant la baisse. 3) Calculer le taux d'évolution du prix d'un article qui baisse successivement de 10% puis de 15%. 4) Le cours d'une action a baissé de 25%. Calculer le taux d'évolution à appliquer pour que cette action retrouve son cours initial. Exercice 2 Indice de référence des loyers Montant en euros d'un loyer révisé sur la base de l'indice 2ème trimestre ème trimestre ème trimestre , ,80 1) Calculer l'indice de référence des loyers du 2ème trimestre ) Calculer le montant du loyer révisé sur la base de l'indice de référence des loyers du 2ème trimestre ) Calculer le pourcentage d'évolution de l'indice entre le 2ème trimestre 2015 et le 2ème trimestre 2016.

2 Exercice 3 Soit f une fonction définie et dérivable sur IR. On note f la fonction dérivée de f. On donne ci-dessous la courbe Cf représentant la fonction f. La courbe Cf coupe l'axe des abscisses au point A(-2 ; 0) et lui est tangente au point B d'abscisse 6. La tangente à la courbe au point A passe par le point M(-3 ; 3). La courbe Cf admet une deuxième tangente parallèle à l'axe des abscisses au point C d'abscisse 0. À partir du graphique et des données de l'énoncé, répondre aux questions suivantes. 1) Dresser sans justification le tableau de variations de la fonction f sur IR. 2) Déterminer f (0). Justifier. 3) Déterminer les solutions de l'équation f (x)=0. 4) a. Déterminer f '(-2). b. Déterminer une équation de la tangente à la courbe Cf au point A d'abscisse -2. 5) Une des trois courbes suivantes est la représentation graphique de la fonction f. Déterminer laquelle en justifiant.

3 Exercice 4 Une entreprise fabrique et vend des articles. La production mensuelle ne peut pas dépasser articles. Le coût total de fabrication de x milliers d'articles, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par la fonction C définie sur [0 ; 15] par C(x) = 0,5x² + 0,6x + 8,16. La représentation graphique de la fonction C est donnée ci-dessous : Chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 8. On admet que tous les articles fabriqués sont vendus. 1) Calculer le bénéfice si l'entreprise fabrique et vend articles dans le mois. 2) On désigne par R(x) le montant en milliers d'euros de la recette mensuelle obtenue pour la fabrication et la vente de x milliers d'articles. On a donc R(x) = 8x. a. Tracer dans le repère précédent la courbe D représentative de la fonction recette. b. Par lecture graphique et avec la précision permise par le dessin, déterminer * l'intervalle dans lequel doit se situer x pour que l'entreprise soit rentable (c'est-à-dire qu'elle réalise un bénéfice positif) * la valeur de x pour laquelle le bénéfice est maximal. 3) On désigne par B(x) le bénéfice mensuel, en milliers d'euros, réalisé lorsque l'entreprise produit et vend x milliers d'articles. a. Montrer que B(x) = -0,5x² + 7,4x 8,16 pour tout x appartenant à [0 ; 15]. b. Etudier le signe de B(x). En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice positif. c. Etudier les variations de la fonction B sur [0 ; 15]. En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est, en euros, le montant de ce bénéfice maximal?

4 Exercice 5 Pour vérifier la conformité du conditionnement d'un pot devant contenir 350g de moutarde, le service qualité d'une entreprise dijonnaise contrôle 600 pots. Il a obtenu le tableau suivant : Poids (en g) Effectif ) A l'aide de la calculatrice, déterminer le poids moyen x d'un pot de l'échantillon observé, ainsi que l'écart-type (arrondir à 10-1 ). 2) Le conditionnement est jugé acceptable si l'échantillon vérifie ces trois critères : * x [349 ; 351] * < 2 * [ x 2 ; x + 2 ] contient au moins 95% des poids. Déterminer si ce conditionnement est acceptable. Exercice 6 1) Soit (un) la suite définie par u0 = -12 et pour tout entier naturel n, un+1 = un + 5. a. Calculer u1 et u2. b. Quelle est la nature de la suite (un)? Quel est son sens de variation? Justifier. c. Exprimer un en fonction de n. d. Calculer u25 (sans calculer les termes précédents!) 2) Soit (vn) la suite géométrique de premier terme v1 = et de raison 0,1. a. Quel est le sens de variation de (vn)? Justifier. b. Calculer v2 et v3. c. Exprimer vn en fonction de n. d. Calculer v 10 (sans calculer les termes précédents!) Exercice 7 X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(12 ; 0,3). 1) Quelle sont les valeurs prises par X? 2) Calculer P(X=4) avec la formule. Vérifier avec la calculatrice. 3) Calculer P(X 4) avec la calculatrice.

5 Correction des exercices Nous rappelons qu il est parfaitement inutile de faire les exercices en regardant la correction. Au contraire, cela donne l illusion d avoir compris, alors que ce n est souvent pas le cas!

6 Exercice 1 1) Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de 8% est CM = 1+ 8 = 1, est la valeur avant la hausse ; 225 1,08 = 243 Après la hausse, le prix de l'article est ) Le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de 5% est CM = 1 5 = 0, est la valeur après la baisse ; = 160 0,95 Avant la baisse, le prix de l'article était de ) Soit CM le coefficient multiplicateur global ; CM = (1 Taux = CM 1 = 0,765 1 = -0,235 soit -23,5%. Le prix a baissé au total de 23,5%. Remarque : le taux est différent de -25%!!! )(1 ) = 0,9 0,85 = 0, ) Le taux d'évolution à appliquer pour que cette action retrouve son cours initial s'appelle le taux réciproque de 25% et vaut -20% car (1+ ) (1 ) = Exercice 2 2ème trimestre ème trimestre ème trimestre 2016 Indice de référence des loyers ,45 Montant en euros d'un loyer révisé sur la base de l'indice ,80 Il s'agit d'un tableau de proportionnalité ,80 1) = 102,6 800 L'indice de référence des loyers du 2ème trimestre 2015 est 102, ,45 2) = 843, Le montant du loyer révisé sur la base de l'indice de référence des loyers du 2ème trimestre 2016 est 843,60. 3) V - V A D = 105,45-102,6 = 2,85 0,028 V 102,6 102,6 D L'indice entre le 2ème trimestre 2015 et le 2ème trimestre 2016 a augmenté de 2,8%.

7 Exercice 3 1) Tableau de variations de la fonction f sur IR. x f(x) -2,5 2) f (0) est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d'abscisse 0 ; or la tangente en ce point est horizontale donc son coefficient directeur est 0. Par conséquent f '(0) = 0 3) D'après 2), f (x)=0 a déjà pour solution 0 ; de plus la tangente à Cf au point B est aussi horizontale, donc 6 est aussi une solution de f '(x) = 0. Par conséquent, les solutions de l'équation f '(x) = 0 sont 0 et 6. Remarque : Ne pas confondre f '(x) = 0 et f (x) = 0 (les solutions de f(x) = 0 sont -2 et 6, abscisses des points d'intersection de Cf avec l'axe des abscisses). 4) a. f '(-2) est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d'abscisse -2 ; or la tangente à Cf au point d'abscisse -2 est la droite (AM) avec A(-2 ; 0) et M(-3 ; 3) donc f '(-2) = y y M A = x x M A 3-0 = 3 3 = = -3 (-2) b. Une équation de la tangente à la courbe Cf au point A d'abscisse -2 a pour équation y = f '(-2)(x (-2)) + f(-2) soit y = f '(-2)(x + 2) + f(-2) Or f '(-2) = -3 (voir question précédente) et f(-2) = 0 car A(-2 ; 0) appartient à Cf. Donc l'équation s'écrit : y = -3(x + 2) + 0 soit y = -3x 6 Par conséquent, y = -3x 6 est une équation de la tangente à la courbe Cf au point A d'abscisse -2. 5) On sait que f est décroissante sur ]- ; 0] et croissante sur [0 ; + [ donc f ' est négative sur ]- ; 0] et positive sur [0 ; + [ donc la courbe C2 est la seule courbe qui convient.

8 Exercice 4 1) C(4) est le coût en milliers d'euros pour la fabrication de articles (car 4000 = 4 milliers) C(4) = 0,5 4² + 0, ,16 = 18,56 Le coût pour 4000 article est donc Chaque article est vendu 8 euros = ; la recette pour articles est de Bénéfice = Recette Coûts = Le bénéfice pour 4000 articles est ) a. R est une fonction linéaire donc sa courbe représentative est une droite qui passe par l'origine du repère et qui contient aussi le point de coordonnées (10 ; 80) (car R(10) = 8 10 = 80). b. * Le bénéfice est positif lorsque la recette est supérieure au coût donc lorsque D est au-dessus de C, soit lorsque x appartient à l'intervalle [1,2 ; 13,6]. * Le bénéfice est maximal lorsque l'écart entre D et C est le plus grand, soit pour x 7,5 3) a. B(x) = R(x) C(x) pour tout x appartenant à ]0 ; 15]. B(x) = 8x (0,5x² + 0,6x + 8,16) B(x) = 8x 0,5x² 0,6x 8,16 B(x) = 0,5x² + 7,4x 8,16 b. B est une fonction du second degré. = 38,44 x1 = 13,6 x2 = 1,2 B est du signe de a avec a= -0,5 donc négatif à l'extérieur des racines, positif entre les racines. Par conséquent, l'entreprise réalise un bénéfice positif lorsqu'elle produit et vend entre et articles. c. B'(x) = -0,5 2x + 7, donc B'(x) = -x + 7,4 (1 er degré) qui s'annule en 7,4. x 0 7,4 15 B '(x) + 0 B(x) 19,22-8,16-9,66 Pour obtenir un bénéfice maximal, il faut fabriquer et vendre articles dans le mois. Dans ce cas, le bénéfice maximal est

9 Exercice 5 1) Le poids moyen x d'un pot est environ 349,5 g, l'écart-type est environ 1,5. 2) On vérifie les trois critères : * 349,5 [349 ; 351] * 1,5 < 2 * x 2 349,5 2 1,5 donc x 2 346,5 x , ,5 donc x ,5 D'après le tableau, 571 pots pèsent entre 346,5g et 352,5g car = 571 pour un effectif total de 600 pots ,952 donc l'intervalle [346,5 ; 352,5] contient environ 95,2% des poids. 600 Les trois critères sont vérifiés donc ce conditionnement est acceptable. Exercice 6 1) Soit (un) la suite définie par u0 = -12 et pour tout entier naturel n, un+1 = un + 5. a. u1 = u0 + 5 = = -7 et u2 = u1 + 5 = = -2. b. La suite (un) est une suite arithmétique de raison 5. Elle est croissante car sa raison est positive. c. un = u0 + nr donc un = n. d. u25 = = 113 2) Soit (vn) la suite géométrique de premier terme v1 = et de raison 0,1. a. 0 < 0,1 < 1 donc la suite (vn) est strictement décroissante. b. v 2 = v 1 0,1 = ,1 = et v 3 = v 2 0,1 = ,1 = 160 c. vn = v1 q n-1 = ,1 n-1 d. v10 = ,1 9 = 1, (soit 0,000016) Exercice 7 X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(12 ; 0,3). 1) Les valeurs prises par X sont tous les entiers compris entre 0 et 12. 2) P(X=4) = 4 12 (0,3) 4 (0,7) 8 donc P(X=4) = 495 0,3 4 0,7 8 donc P(X=4) 0,231 3) P(X 4) 0,724 avec la calculatrice.