2 3 et de rayon ρ = 5. i ) Soit a = mb = 0 }.

Transcription

1 Cercles 1 Dans R 2 1 muni du produit scalaire canonique, on désigne par C le cercle de centre c = 3 et de rayon ρ = 5 i ) Soit a = Montrer que a C ii ) Trouver le point b tel que (a, b) soit un diamètre de C iii ) On pose m = y Trouver une équation de C : α ) En utilisant le fait que C = { m / d (m, c) = ρ } ; β ) En utilisant le fait que C = { m / ma mb = 0 } 2 Dans R 2 1 canoniquement euclidien, on donne la droite D d équation 5x 4y + 17 = 0 et l ensemble C d équation x 2 + y 2 3x 2y 7 = 0 i ) Montrer que C est un cercle dont on déterminera le centre c et le rayon ρ ii) Calculer la distance δ de c à D Que peut-on en déduire pour D? 3 Dans R 2 1 canoniquement euclidien, on donne C : x 2 + y 2 4x + 2y 8 = 0 et D : x 5y + 6 = 0 i ) Montrer que C est un cercle dont on déterminera le centre c et le rayon ρ ii) Calculer la distance δ de c à D iii ) Déterminer C D 4 Dans R 2 1 canoniquement euclidien, on donne C : x 2 + y 2 4x 2y 5 = 0 et le point a = i ) Montrer que C est un cercle dont on déterminera le centre c et le rayon ρ ii ) Montrer que a appartient à C iii ) Trouver l équation de la tangente T à C au point a 5 Dans R 2 1 canoniquement euclidien, on donne les points a = i ) Trouver une équation de la médiatrice D de (a, b) et une équation de la médiatrice D' de (a, c) ii ) Trouver le point d intersection i de D et D' iii ) Trouver une équation du cercle C ayant pour éléments a, b et c 6 Dans R 2 1 canoniquement euclidien, on donne les points a = -2-2 i ) Montrer que d est équidistant de a, b et c ii ) Trouver une équation du cercle C ayant pour éléments a, b, c iii ) Soit D et D' les droites ayant respectivement pour équation y = 0 et x = 0 Trouver les ensembles C D et C D' NB On dessinera une figuration 10-6, d = 7 Dans R 2 1 muni du produit scalaire canonique, on considère l ensemble E ayant pour équation x 2 + y 2 + αx + βy + γ = 0, où α, β, γ sont trois réels i ) Déterminer α, β et γ de façon que les points a = 1-3 et c = soient des éléments de E ii ) Montrer que si α, β et γ ont les valeurs trouvées au i ), alors E est un cercle dont déterminera le centre i et le rayon ρ iii ) Dessiner alors la figuration de a, b, c et E 8 Dans R 2 1 canoniquement euclidien, on donne les points a = -3 i ) Trouver une équation du cercle C ayant pour éléments a, b, c ii ) Trouver le centre i et le rayon ρ de C XX - Cercles : 1

2 9 Dans R 2 1 canoniquement euclidien, on donne les points a = 9-2 i ) Trouver le centre i et le rayon ρ du cercle C circonscrit au tripoint (a, b, c) ii ) Trouver une équation de C 10 Dans R 2 1 canoniquement euclidien, on donne les points a = 7 5 i ) Trouver le centre i et le rayon ρ du cercle C circonscrit au tripoint (a, b, c) ii ) Trouver une équation de C Dans R 2 1 muni du produit scalaire canonique, on pose c = λ λ, c' = - λ 0 avec λ R i ) Trouver des équations des cercles C et C' ayant pour élément 0 = 0 0 et pour centres respectivement c et c' ii ) On a C C' = {0 ; m}, [ avec m =/ 0 si λ =/ 0 ] Exprimer m à l aide de λ iii ) Soit M l ensemble des m lorsque λ R Trouver une équation de M Dans R 2 1 canoniquement euclidien, on donne l ensemble C λ ayant pour équation : x 2 + y 2 4 (λ + 1)x 2 (1 λ)y + 6λ = 0, où λ est un paramètre réel i ) Montrer que pour tout réel λ, l ensemble C λ est un cercle dont on donnera le centre i et le rayon ρ (en fonction de λ) ii ) Montrer que i appartient à une droite D dont l équation ne dépend pas de λ iii ) Montrer qu il existe deux points a et b ne dépendant pas de λ et tels que { a ; b } C λ iv ) Dessiner les figurations de D, C 2, C -2, C1 2 et de a et b 13 Dans R 2 1 canoniquement euclidien, on donne les points a = Soit M l ensemble des points m de R 2 1 tels que d (a, m) = 2 d (b, m) i ) Montrer que c M ii ) Trouver une équation de M iii ) Montrer que M est un cercle dont on déterminera le centre i et le rayon ρ iv ) Dessiner une figuration de a, b, c, i et M 7 14 Dans un plan euclidien P on donne un carré (a, b, c, d) de centre i de longueur de côté α Soit f la fonction définie pour tout m P par f (m) = 3ma 2mc 2md i ) Montrer que f est une fonction constante et que f (m) peut s exprimer à l aide de b a et d a ii ) Quel est l ensemble M des points m P tels que ma + mc + md = f (m)? 15 Soit (a, b, c, d) un parallélogramme de centre i d un plan euclidien E Pour tout m E on pose f (m) = 3ma 2mb + mc 2md i ) Montrer que f est une fonction constante et exprimer f (m) uniquement à l aide de a et de c ii ) Trouver l ensemble M des points m E tels que ma + mc + md = f (m) iii ) Dessiner une figuration de (a, b, c, d) et de M 16 Dans un plan E euclidien, on donne quatre points a, b, c, d et on désigne par g le centre de gravité du tripoint (b, c, d) i ) m étant un point quelconque de E, exprimer la somme mb + mc + md à l aide de m et de g ii ) Trouver la nature de l ensemble M des points m de E tels que l on ait : mb + mc + md = 3ma mb mc md 17 Soit (a, b, c) un tripoint d un plan euclidien P et g son centre de gravité Montrer que l ensemble M des points m tels que ma + mc = ma 2mc est le cercle de centre g et de rayon gc 18 Dans R 2 1 canoniquement euclidien, on donne les points a = 8, m = y i ) Déterminer, par son équation, l ensemble C des points m tels que d (m, b) = 2 d (m, a) XX - Cercles : 2

3 ii ) Quelle est la nature de l ensemble C? 19 Soit (a, b, c, d) un quadripoint d un plan euclidien P Soit e et f les milieux des bipoints (a, b) et (c, d) Montrer que l ensemble E des points m de P tels que ( ma + mb) ( mc + md) = 0 est le cercle de diamètre (e, f) 20 Soit (a, b, c, d) un parallélogramme d un plan euclidien P Déterminer l ensemble E des points m tels que mb mc + mc md = mc 2 Dessiner une figuration du parallélogramme et de E 21 Soit a et b deux points distincts d un plan euclidien P Soit c = 2a + b 3 et d = a + 2b 3 i ) Montrer que a c = c d = d b = 1 a b 3 ii ) Montrer que l ensemble M des points m tels que ma + 2mb et 2ma soient orthogonaux est le cercle de diamètre (c, d) iii ) Dessiner une figuration de a, b et M 22 Soit (a, b, c) un tripoint d un plan euclidien P et a' le milieu de (b, c) Montrer que l ensemble M des points m de P tels que ma ( mb + mc) = 0 est le cercle de bipoint diamétral (a, a') 23 Dans R 2 1 canoniquement euclidien, on donne la partie A = x y / 13x 2 42xy + 34y 2 = 4 l application f : y a 2x 3y 3x 5y i ) Soit f -1 l application réciproque de f Trouver f -1 x y ii ) Soit A' = f (A) Trouver une équation de A' Quelle est la nature de A'? ainsi que 24 Dans R 2 1 canoniquement euclidien, on donne les points a = 1 3, m = i ) Trouver une équation de l ensemble M des points m tels que ma 2 + mb 2 + mc 2 = 43 ii ) Montrer que M est un cercle dont on déterminera le centre i et le rayon ρ 25 Soit a, b, c trois points non alignés d un plan euclidien P Soit a' le milieu de (b, c) et g le barycentre des points a, b, c respectivement affectés des coefficients 1, 2 et -1 i ) Montrer que les droites (bg) et (ac) sont parallèles et dessiner une figuration des points a, b, c et g ii ) Soit m un point quelconque de P On pose u = ma + 2mb mc et v = 2ma mb mc Exprimer u et v à l aide de mg et a'a iii ) Déterminer l ensemble E des points m du plan P tels que u et v sont linéairement dépendants Dessiner la figuration de E iv ) Déterminer l ensemble F des points m du plan P pour lesquels u = v Dessiner la figuration de F 26 Soit a, b, c, d quatre points d un espace euclidien E tels que 3a + 4b + 5c = d On suppose en plus que a b a c = 2, b c b a = 3, c a c b = 6 i ) Montrer que les quatre points a, b, c, d appartiennent à un même plan P de E ii ) Soit a' le milieu de (b, c) Exprimer a'd à l aide de a b et a c En déduire que a'd et b c sont orthogonaux iii ) Soit b' le milieu de (c, a) Montrer que b'd et c a sont orthogonaux [On pourra s inspirer du ii ) ] iv ) Que peut-on dire du point d relativement au tripoint (a, b, c) 27 Soit dans un plan euclidien un cercle C de centre c et de rayon ρ Soit t la translation de vecteur a Montrer que t (C) est le cercle de centre t (c) et de rayon ρ y XX - Cercles : 3

4 28 Soit dans un plan euclidien un cercle C de centre c et de rayon ρ Soit h l homothétie de centre a et de rapport µ Montrer que h (C) est le cercle de centre h (c) et de rayon µ ρ 29 Dans E = R 2 1 canoniquement euclidien, on pose f (m) = x 2 + y 2 2αx 2βy + γ, où m = y et où α, β et γ sont trois réels Soit C = { m / f (m) = 0 } i ) Déterminer la relation R devant lier α, β, γ pour que C soit un cercle Quel est alors son centre c et son rayon ρ? ii ) On suppose que la relation R est vérifiée Montrer que si m est un point quelconque de E, alors f(m) est la puissance de m par rapport à C iii ) Soit C' un deuxième cercle de centre c' = α' β' et de rayon ρ' et on appelle f '(m) la puissance de m par rapport C' Montrer que si c' =/ c alors l ensemble D = { m / f (m) = f '(m) } est une droite, dont la direction est orthogonale à celle de (cc') et qu on appelle axe radical de C et C' iv) Soit C" un cercle ayant pour centre c" tel que c, c', c" ne sont pas alignés On suppose que C C' = {a ; b}, C' C" = {a' ; b'}, C" C = {a" ; b"} où a, b, a', b', a", b" sont six points distincts Montrer que les droites (ab), (a'b') et (a"b") sont concourantes Cercles (Résultats) 1 i ) c a = - 4 Donc c a = 5 et a C ii ) b = 2c a = -1 7 α ) cm = x 2 y 3, d où C : (x 2)2 + (y 3) 2 = 0 β ) am bm = 0, d où C : (x 5)(x + 1) + (y + 1)(y 7) = 0 [ NB Dans les deux cas on trouve, en développant, que C : x 2 + y 2 4x 6y = 0 ] 2 c = 2, ρ = 1 ii ) δ = i ) c =, ρ = 13 ii ) δ = Donc D est une tangente à C 26 2 C D = -1 1 ; 2 4 i ) c =, ρ = 10 ii ) a vérifie l équation de C iii ) T : x + 3y 15 = 0 5 i ) D : x + 3y 13 = 0, D' : x 2y + 2 = 0 ii ) i = iii ) C : x 2 + y 2 8x 6y 25 = 0 6 i ) d a = d b = d c = 5 2 ii ) (x 5) 2 + (y+1) 2 = 50 ou x 2 + y 2 10x + 2y 24 = 0 iii ) C D = -2 0 ; 0, C D' = 0 4 ; 0-6 XX - Cercles : 4

5 7 i ) α = 4, β = -2, γ = -20 ii ) x 2 + y 2 + 4x 2y 20 = 0 i = -2 et ρ = 5 8 x 2 + y 2 2x 24 = 0 ii ) i = 1 0, ρ = 5 9 i ) i =, ρ = 5 2 ii ) x 2 + y 2 4x + 2y 45 = 0 10 i ) i = -2, ρ = 65 ii ) x 2 + y 2 6x + 4y 52 = 0 11 i ) C : x 2 + y 2 2λx 2λy = 0, C' : x 2 + y 2 2λx = 0 ii ) m = -2λ 4λ iii ) M : y = -2x i ) i = 2λ + 2 ii ) D : x + 2y 4 = 0 iii ) { a ; b } = 1-1 ; 3 1 λ, ρ = 5(λ2 + 1) 13 d (a, c) = 2 10, d (b, c) = 10 ii ) E : x 2 + y 2 10x y + 53 = 0 iii ) i =, ρ = i ) f (m) = 3a + b 2c 2d = 5a b 4d = b a + 4 d a ii ) f (m) 2 = b a d a b a d a = 17 α 2 ma + mc + md = a + b + c + d 4m = 4i 4m = 4 mi Donc M = m / mi = α 17 4 C est le cercle de centre i et de rayon α i ) f (m) = 3a 2b + c 2d = a c = c a ii ) ma + mc + md = a + b + c + d 4m = 4i 4m = 4 mi Donc m M ssi mi = 1 4 c a M est donc le cercle de centre i et de rayon 1 2 i a 16 i ) mb + mc + md = 3 mg ii ) 3ma mb mc md = 3ma 3 mg = 3 M est donc le cercle de centre g et qui passe par a g a, donc : m M ssi mg = g a 17 ma + mc = 3 mg et ma 2mc = a + b 2c = a + b + c 3c = 3 c g donc E = { m / mg = c g } et E est le cercle de centre g et passant par c 18 i ) C : x 2 + y 2 = 20 ii ) C est le cercle de centre 0 et de rayon ma = 2 me et mc + md = 2 mf, donc E = {m / me mf = 0 } 20 m E ssi mc ( mb + md mc) = 0 Or mb + md mc = ma, donc E = { m / mc ma = 0 } 21 i ) Calculer c a, d c, b d ii ) ma + 2mb = 3md et 2ma + mb= 3mc, donc M = { m / md mc = 0 } XX - Cercles : 5

6 22 mb + mc = 2 ma' donc M = { m / ma ma' = 0 } 23 i ) f -1 x y = x 3y 3x 2y ii ) A' = f (A) = { m / f -1 (m) A }, d où A : x 2 + y 2 = 4 i = 0, ρ = 2 24 i ) M : x 2 + y 2 6x 2y + 1 = 0 ii ) i =, ρ = 3 25 i ) b g = 1 c a 2 ii ) u = 2 mg, v = 2 a'a iii ) E est la droite ayant pour élément g et pour vecteur directeur a'a iv ) F est le cercle de centre g et de rayon a'a 26 i ) d = 3a + 4b + 5c ii ) a'd = -2 a b a c iii ) b'd = -3 b a b c est le barycentre des points a, b, c affectés des masses 3, 4, 5 Donc d (abc) donc a b a c a'd b c = -2 donc b'd c a = 0 b c = L = 0 iv ) d est le centre du cercle circonscrit au tripoint (a, b, c) 27 On a : t (C) = { t (n) / n c = ρ } Posons m = t (n) et soit c' = t (c) On a alors n = t -1 (m) et c = t -1 (c') donc t (C) = { m / t -1 (m) t -1 (c') = ρ } = { m / m a c' + a = ρ } = { m / m c' = ρ } = { m / m t (c) = ρ }, CQFD 28 On a : h (C) = { h (n) / n c = ρ } Posons m = h (n) et soit c' = h (c) On a alors n = h -1 (m) et c = h -1 (c') donc h (C) = { m / h -1 (m) h -1 (c') = ρ } Or h -1 (m) h -1 (c') = 1 µ 1 a + µ 1 m 1 µ 1 a µ 1 c' = µ 1 m µ 1 c' = µ 1 (m c') Donc h (C) = m / µ 1 (m c') = ρ = { m / m h (c) = µ ρ }, CQFD 29 i ) f(m) = (x α) 2 + (y β) 2 α 2 β 2 + γ, donc R : α 2 + β 2 > γ c = α β, ρ = α2 + β 2 γ ii ) D après i ), on a f (m) = d (m, c) 2 ρ 2, CQFD iii ) L ensemble D a pour équation 2(α' α)x + 2(β' β)y γ' + γ = 0 donc K iv ) Comme a C C', on a f (m) = 0 et f ' (m) = 0 donc f (m) = f ' (m) et a D De même b D, c-à-d D = (ab) Evidemment (a'b') est l axes radical de C' et C" et (a"b") celui de C" et C Comme c, c', c" ne sont pas alignés, (ab) (a'b') =/ Si (ab) (a'b') = {m}, alors m a même puissance par rapport à C, C' et C", donc on a aussi m (a"b") XX - Cercles : 6