II. MILIEUX DIÉLECTRIQUES : ASPECTS MICROSCOPIQUES

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Jacques Leroy
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1 II. MILIEUX DIÉLECTRIQUES : ASPECTS MICROSCOPIQUES II. A Champ local (Lorentz); champ de Maxwell. II. B Relation entre la polarisabilité et ε; cas dilué (fluide), cas dense (liquide, solide). II. C Polarisabilité α à l échelle d un constituant (atome, molécule). II. D Conséquences: rigidité diélectrique des condensateurs; ferroélectricité. Appendice : polarisabilité orientationnelle d un liquide polaire.

2 II. A Champ local (Lorentz); champ de Maxwell. E 0 E 0 Description macroscopique du diélectrique σ P = -P σ P = +P P Champ de Maxwell E=E 0 -P/ε 0

3 II. A Champ local (Lorentz); champ de Maxwell. E 0 Description microscopique du diélectrique E loc Champ local (de Lorentz) Quelle relation lie le champ de Maxwell au champ local?

4 II. A Champ local (Lorentz); champ de Maxwell. E 0 A l intérieur de la sphère on calcule le champ créé par chaque dipôle atomique -P σ P = σ P = +P A l extérieur de la sphère on utilise le champ moyen des dipôles atomiques c est à dire le champ de Maxwell P E=E 0 -P/ε 0

5 II. A Champ local (Lorentz); champ de Maxwell. E 0 Sur la surface de la sphère on a des charges surfaciques qui créent le champ de cavité à l intérieur de la sphère E cav = P/3ε n n E + cav P

6 II. A Champ local (Lorentz); champ de Maxwell. E 0 A l intérieur de la sphère on calcule le champ de proximité E prox créé sur l atome central par chaque dipôle atomique Pour un empilement cubique, E prox =0

7 II. A Champ local (Lorentz); champ de Maxwell. D où le champ local agissant sur chaque atome du diélectrique E loc = E+E cav +E prox Pour une structure cristalline même non cubique et une cavité de forme quelconque, on peut établir que E loc = E+P/3ε 0 Le champ de Maxwell est E = E 0 + E dep où E dep est le champ dépolarisant introduit au chapitre I (dépend de l orientation de E 0 par rapport à la surface du matériau)

8 II. A Champ local (Lorentz); champ de Maxwell. E loc = E+P/3ε 0 Dans un milieu linéaire homogène et isotrope, le dipôle créé sur chaque atome lorsqu on applique le champ extérieur E 0 est tel que p = ε 0 α E loc α est la polarisabilité du milieu (homogène à un volume)

9 II. B Relation entre la polarisabilité α et ε r ; cas dilué (fluide), cas dense (liquide, solide). P = N v p = N v ε 0 α E loc N v dipôles par unité de volume or, au chapitre I, on a vu que P = ε 0 χ e E = ε 0 (ε r -1) E E loc = E+P/3ε 0 ε r 1 ε r +2 = N vα 3 Clausius - Mossotti

10 ε r 1 ε r +2 = N vα 3 Pour un milieu dilué (typiquement un gaz), la densité de molécules N v est très faible, si bien que Nvα <<1. De la formule de Clausius-Mossotti ci-dessus, on déduit que ε r ~ 1. Le dénominateur est alors proche de 3 et on en conclut que ε r -1 ~ N v α Or P = ε 0 χ e E = ε 0 (ε r -1) E d où P~ ε 0 N v α E. Par définition, P = N v ε 0 α E loc si bien que E= E loc. On peut donc assimiler le champ de Maxwell au champ local.

11 Nombre d Avogadro N v =( ρ/m) N a Masse molaire ε r 1 ε r +2 xm/ ρ =N a α/3 Bertin, Faroux, Renault, Electromagnétisme 4

12 II. C Polarisabilité α à l échelle d un constituant (atome, molécule). u x La force électrostatique exercée sur la charge +q par les charges q distribuées de façon uniforme dans la sphère de rayon R s écrit FF = u x qqq Gauss 4π d 2 Ec = q ε 0 d 3 R 3 FF = u x qqq = u x q 2 4π ε 0 R 3 d loc L équilibre mécanique pour la charge +q se traduit par FF + F = 0 où le champ E lll exerce une force F = qe lll sur la charge +q Le nuage électronique est soumis à deux forces : FF (principe de l action et de la réaction) Fe = qe lll Il est aussi à l équilibre, puisque FF + Fe = 0

13 II. C Polarisabilité α à l échelle d un constituant (atome, molécule). u x FF joue le rôle d une force de rappel d un ressort D où l on pose FF = u x kk. On identifie alors k à q k= 2. 4π ε 0 R 3 loc Le moment du dipôle induit est p=qd p=qd =qkd/k=-qfc/k=-qfe/k=q 2 E loc /k =ε 0 α e E loc D où la polarisabilité électronique α e = q2 k ε0 (q=z e ) α e = 4π R 3

14 + - Polarisabilité ionique d un cristal ionique (ex Na + Cl - ) α i = q2 k ε0 (q=z e ) d+ déplacement de l ion/équilibre + sous l action du champ E loc d- déplacement de l ion/équilibre - sous l action du champ E loc k (d + + d - ) = q E loc p = ε 0 α i E loc k est la constante de rappel du «ressort» liant Na + à Cl -

15 Polarisabilité orientationnelle de molécules polaires (ex H 2 O) : p est le moment dipolaire des molécules individuelles p E p = p. E lll

est le moment dipolaire des molécules individuelles Le

16 p L(x)=coth (x)-1/x (Langevin) p Polarisabilité orientationnelle de molécules polaires (ex H 2 O) : p est le moment dipolaire des molécules individuelles Le calcul effectué dans l appendice montre que : α ori = p 2 3 kkk ε0

17 ε r 1 ε r +2 = N vα 3 α = α e +α i + α ori Les contributions à la polarisabilité sont additives.

18 Bertin, Faroux, Renault, Electromagnétisme 4

19 II. D Conséquences: rigidité diélectrique des condensateurs; ferroélectricité. Rigidité diélectrique : Si le champ électrique est suffisamment fort, il peut ioniser une molécule (ou un atome) c est-à-dire arracher un électron de la couche périphérique. molécule E + e le + 2 e Comme c est une particule chargée, l électron ne peut parcourir qu une petite distance le (appelée libre parcours moyen). Si une deuxième molécule (ou atome) est à une distance inférieure à le, il y a un choc qui peut arracher un deuxième électron au système, etc. Cette réaction en chaine crée un canal conducteur dans le matériau. Il n est plus isolant si le canal traverse toute l épaisseur du diélectrique. Il y a rupture diélectrique. La rigidité diélectrique est donc le champ maximal que l on peut appliquer au diélectrique sans créer de rupture.

20 Charge constante E 0 = σ s /ε 0 + σ s D 0 =ε 0 E 0 D=εE=ε 0 ε r E=D 0 E<E σ s tension de rupture plus élevée que celle de l air

21 Ferroélectricité: Clausius-Mossotti ε r 1 ε r +2 = N vα 3 χ e 3+χ = N vα e 3 χ e = N vα 1 Nvα 3 χ e = pour N vα 3 =1 P= ε 0 χ e E 0 même si E=0!! La densité Nv est une fonction de T donc ceci peut se produire en abaissant T au dessous d une valeur seuil, Tc.

22 La polarisation du ferroélectrique n est plus proportionnelle à E Pour minimiser l énergie du milieu, des domaines se forment spontanément. Dans chaque domaine, P a une valeur finie mais sur l ensemble du volume, P=0, initialement. L effet de E est d orienter les moments dipolaires permanents parallèlement à sa direction : Ps = polarisation à saturation : valeur maximale de P quand tous les dipôles sont parallèles à E. Pr = polarisation rémanente : valeur de P quand E=0 Ec = champ coercitif : Valeur de E telle que P=0

23 APPENDICE : POLARISABILITÉ ORIENTATIONNELLE D UN LIQUIDE POLAIRE Une substance polaire est constituée de molécules présentant des dipôles permanents p avec une densité volumique n. En l absence de champ, l orientation des dipôles dans l espace est isotrope. En présence d un champ E=Eu Z et à température finie, la densité dn de dipôles orientés à l intérieur d un angle solide dω = sin θ dddd autour d une direction donnée -- ici u Z -- est de la forme : dn = A exp[-ep/k B T] dω (EE = p. E = pp cos θ, k B constante de Boltzmann) La densité totale n est donc donnée par n= A exp[ Ep/kBT] sin θ dddd La fonction à intégrer ne dépend pas de ϕ qui varie de 0 à 2π. Par ailleurs, on introduit la variable x=cosθ et sinθ dθ = d[-cosθ] = -dx. θ varie de 0 à π, donc x varie de 1 à -1 d où 1 n= 2ππ exp[pex/kbt] dd 1 = 4ππk B T/pE sinh[pe/k B T] Le moment dipolaire moyen parallèle à E est donc donné par p Z = p cos θ dd n p Z = p cos θ dd n = 1 4πππ 1 x exp[pex/kbt] dd n = p[cotanh λ -1/λ] où λ=pe/k B T

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