INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE TOULOUSE THESE. pour obtenir le grade de DOCTEUR DE L'INSAT. Discipline : GENIE MECANIQUE

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1 INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE TOULOUSE Numéro d'ordre : 89 THESE our obtenir le grade de DOCTEUR DE L'INSAT Disciline : GENIE MECANIQUE résentée et soutenue ubliquement ar Feras ALKATAN le 9 décembre 5 Modélisation des raideurs des assemblages ar éléments filetés récontraints JURY M. Christian BES Professeur d Université (Toulouse III) Président M. Alain DAIDIE Maître de conférences (INSA de Toulouse) Examinateur M. Jean GUILLOT Professeur d Université (INSA de Toulouse) Directeur de thèse M. Daniel PLAY Professeur d Université (INSA de Lyon) Raorteur M. Alain POTIRON Professeur d'université (Angers) Raorteur M. Pierre STEPHAN Maître de conférences (Toulouse III) Co-directeur de thèse Laboratoire de Génie Mécanique de Toulouse INSA Déartement de Génie Mécanique, 5 avenue de Rangueil, 77 TOULOUSE Cedex

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3 Remerciements Ce travail a été réalisé au sein du Laboratoire de Génie Mécanique de Toulouse et dirigé ar Messieurs Jean GUILLOT, rofesseur émérite à l'institut National des Sciences Aliquées de Toulouse et Pierre STEPHAN maître de conférences à l IUFM de Toulouse. Je tiens à témoigner ma rofonde gratitude à celui qui est devenu un exemle, très rare et récieux, à suivre dans la vie rofessionnelle et la vie quotidienne M GUILLOT. Son honnêteté, sa gentillesse, ainsi que ses cométences scientifiques ont constitué une aide indisensable our aboutir dans mes recherches. Je lui exrime ma lus sincère reconnaissance. Je tiens également à exrimer ma rofonde et resectueuse gratitude à Pierre STEPHAN qui fut mon encadreur et le co-directeur de la résente thèse. Je le remercie ici our sa confiance, et son amitié. J'adresse ma reconnaissance à M. Daniel PLAY, rofesseur à l'insa de Lyon et à M. Alain POTIRON, rofesseur à l'université d'angers, qui m'ont fait l'honneur d'être raorteurs de mon travail et ont acceté de consacrer du tems our la lecture et le jugement de ce document. J'exrime, de même, mes remerciements à M. Christian BES, rofesseur à l Université Paul Sabatier à Toulouse, our avoir acceté de résider le jury de ma thèse. Ma vive reconnaissance à M. Alain DAIDIE, maître de conférences à l INSA de Toulouse, qui a acceté de faire artie du jury ainsi que our ses récieux conseils. Je ne eux as oublier de remercier chacun des membres de l'équie COSAM, chercheurs ou enseignants: Hazem AZIZ, Adrien BARROT, Alain BEZOMBES, Bertrand COMBES, Zouhair CHAIB, Jamel CHAKHARI, Michel CHAUSSUMIER, Bertrand DOUCET, Youssef FARES, André FERRAND, Renaud LAVABRE, Dimitri LERAY, Cédric MASCLET, Emmanuel RODRIGUEZ, Manuel PAREDES, Marc SARTOR, Aurelian VADEAN, Jean- Christohe WAHL, ainsi que les nouveaux arrivants Antoine et Florestan. J'ai fait artie avec fierté de cette grande famille avec laquelle je veillerai à garder des liens d amitié our toujours. J'adresse sincèrement mes remerciements à Mme Annie CAZEAUX, secrétaire de recherche, à Mme Martine BISAUTA, bibliothécaire et secrétaire de direction et à Mme Nathalie DAYDE, secrétaire d enseignement, au déartement de Génie Mécanique de l'insa our leurs cométences et leurs aides quotidiennes. Jean-Charles MARE, en tant que chef du déartement de Génie Mécanique de l'insa m'a ouvert les ortes de son établissement, qu'il en soit remercié ici. Je n'oublie as de remercier également Mme Marie-Christine COMPARAIN et Mme Françoise LAVAUX du CROUS Toulouse, qui m'ont réservé dès mon arrivée un excellent accueil et qui m'ont assisté dans mon intégration et dans toutes les démarches de la vie

4 étudiante. Grâce aux animations organisées ar le Service d'accueil des Etudiants Etrangers j'ai eu l'occasion de découvrir le merveilleux ays et l'esrit accueillant de la France. Il m'est articulièrement agréable de remercier vivement mes arents, mes frères Ghyathe et Anwar, ma sœur Rasha, et ma belle-sœur Fedaa qui n ont cessé de croire, souvent aveuglement, en moi. Je leur dédie chaleureusement l'aboutissement de cette thèse de doctorat. Le soutien, les encouragements et la comréhension de mon éouse, Hedaieh, et de mes enfants, Tammam et Salam, m'ont été indisensables. Merci infiniment à eux qui n'en finissent as de m'aorter du bonheur, et sans qui ces années assées à Toulouse auraient été tellement lus difficiles.

5 Table des matières TABLE DES MATIERES INTRODUCTION... CHAPITRE I : IMPORTANCE DES RAIDEURS EQUIVALENTES DANS LE DIMENSIONNEMENT ET LA MISE EN ŒUVRE DES ASSEMBLAGES BOULONNES PRECONTRAINTS... 5 I. INTRODUCTION... 5 I. LA NOTION DE RAIDEUR ET LE CALCUL EN FATIGUE DES ASSEMBLAGES BOULONNES PRECONTRAINTS... 6 I. LES METHODES DESERRAGE ET LE VISSAGE A L ANGLE... 7 I.. Serrage au coule... 8 I.. Vissage à la limite élastique... 9 I.. Serrage ar tendeur hydraulique... I..4 Vissage à l angle... I.4 LA MODELISATION EN ELEMENTS FINIS... I.5 BIBLIOGRAPHIE SUR LES MODELES DE CALCUL EXISTANTS... 5 I.5. Raideur du boulon dans le cas d un chargement axisymétrique... 5 I.5.. Raideur de la tête de la vis...5 I.5.. Raideur de l écrou et de la artie en rise de la vis...6 I.5. Raideur des ièces assemblées... 8 I.5.. Modèle de WILEMAN (99)...8 I.5.. Modèle de N GUYEN (989)...9 I.5.. Modèle VDI (986)... I.5. Modèle de RASMUSSEN... I.5.4 Modèle déveloé au LGMT (994)... I.5.5 Comaraison des différents modéles... 4 I.5.6 Modèle VDI fevrier... 4 I.6 CONCLUSION... 7 CHAPITRE II : MODELISATION DES RAIDEURS DES BOULONS ET DES PIECES CYLINDRIQUES DE REVOLUTION... 9 i

6 Table des matières II. JUSTIFICATION DES METHODES DE CALCUL UTILISEES...9 II.. DIFFICULTE DE CARACTERISER UNE RAIDEUR EQUIVALENTE...9 II.. METHODES PROPOSEES PERMETTANT DE S AFFRANCHIR DE LA MESURE DES DEPLACEMENTS Δ V ET Δ P... II... Méthode du double calcul... II... Méthode basée sur l énergie otentielle de défformation élastique... II.. VALIDITE DES METHODES PROPOSEES...4 II... Rael : Travail des forces aliquées à un système matériel...4 II... Cas des simulations ar E.F. D...5 II... Alication aux deux cas de calcul résentés...7 II...4 Conclusion...4 II. MODELISATION EN ELEMENTS FINIS D...4 II.. CHOIX DU MODELE GEOMETRIQUE...4 II.. CHOIX DU MAILLAGE...44 II.. CONDITIONS AUX LIMITES...45 II..4 TECHNIQUES DE RESOLUTION...45 II..5 VALIDATION DE LA DETERMINATION DE LA RAIDEUR DE L ECROU ET DE LA PARTIE EN PRISE DE LA VIS...46 II..6 II. CONCLUSION...47 MODELISATION DES VIS ET DES BOULONS...48 II.. RAIDEUR DE LA PARTIE FILETEE DE LA VIS...48 II... Calcul de la section équivalente et du coefficient correcteur α filetée...48 II.. RAIDEUR DE LA TETE DE LA VIS...5 II... Cas de la tête de vis H....5 II... Cas de la vis à tête fraisée...59 II.. RAIDEUR EQUIVALENTE DE LA PARTIE EN PRISE D UN SYSTEME VIS- ECROU...64 II... Cas où les coefficients de frottement sont considérés comme nuls (serrage ar l écrou)...66 II... Cas où le coefficient de frottement vis/écrou est nul (serrage ar la vis).69 II... Cas où les coefficients de frottement sont quelconques...7 II...4 Démarche de détermination de la raideur d un système vis écrou...74 II...5 Influence des jeux...75 II..4 RAIDEUR EQUIVALENTE D UNE PIECE TARAUDEE...77 II..4. Choix des aramètres d étude de la ièce taraudée...78 ii

7 Table des matières II..4. Résultats obtenus... 8 II..4. Démarche de détermination de la raideur d un taraudage II..4.4 Raideur d une ièce taraudée de etite dimension II..4.5 Conclusion II.4 MODELISATION DES PIECES ASSEMBLEES II.4. ASSEMBLAGE PAR BOULON II.4.. Définition du modele II.4.. Influence des différents aramètres... 9 II.4... Influence du raort H/d...9 II.4... Influence du diamètre nominal de la vis d...9 II.4... Influence du coefficient de frottement tête de vis-ièces assemblées µ...9 II Influence du diamètre de la ièce assemblée D P...94 II Influence de la longueur de la ièce assemblée L...97 II Influence du diamètre du trou de assage d t...99 II Influence du matériau de la vis... II.4.. Nouvelle formule de la section équivalente réduite... II.4..4 Conclusion... II.4. CAS DES PIECES ASSEMBLEES PAR VIS... II.4.. Définition du modèle... II.4.. Résultats obtenus à artir du lan d exérience II.4... Etude de corrélation....6 II.4... Analyse des résultats...7 II.4.. Conclusion... II.4. CAS DES PIECES ASSEMBLEES PAR VIS A TETE FRAISEE... II.4.. Mise en lace du modèle... II.4.. Influence des aramètres... II.4.4 CONCLUSION... 5 II.5 VALIDATION EXPERIMENTALE... 6 II.5. DISPOSITIF EXPERIMENTAL... 6 II.5. PROCEDURE D'ESSAI ET TRAITEMENT DES MESURES... 9 II.5. PRINCIPE... II.5.4 RESULTATS OBTENUS... II.5.5 CONCLUSION... II.6 CONCLUSION... iii

8 Table des matières CHAPITRE III : MODELISATION DES RAIDEURS DES PIECES PRISMATIQUES ET DES EMPILAGES DE PIECES...5 III. MODELISATION ANALYTIQUE DES RAIDEURS DES PIECES PRISMATIQUES....5 III.. CHOIX D UNE MODELISATION APPROPRIEE...5 III... Etat de l art....5 III... Proosition d une modélisation...6 III... Conclusion sur la modélisation...8 III.. DETERMINATION DE LA RAIDEUR AXIALE EQUIVALENTE...9 III... Princie de calcul...9 III... Détermination de h et de ψ...9 III... Relation donnant la valeur des delacements h i =f(h,h,h )... III.. APPLICATION DE LA METHODE A UN SYSTEME SIMPLE A 4 RESSORTS.... III..4 GENERALISATION DE LA METHODE... III..4.. Discrétisation... III..4.. Energie otentielle totale E T et calcul de la raideur axiale...4 III..5 MODELISATION DE LA RAIDEUR DES PIECES PRISMATIQUES PAR ELEMENTS FINIS D...6 III..5. Introduction...6 III..5. Conditions aux limites et maillage...7 III..5. Résultats et interrétation...8 III..5.. Rigidité axiale...9 III..5.. Rigidité en flexion...4 III..6 CONCLUSION...4 III. CAS DE L EMPILAGE DE DEUX PIECES CYLINDRIQUES...4 III.. INTRODUCTION...4 III.. ETUDE PRELIMINAIRE...4 III... Influence de la décomosition de la ièce assemblée...4 III... Influence de la zone d aui...4 III.. III..4 APPLICATION A UN EMPILAGE DE DEUX PIECES ASSEMBLEES...44 CONCLUSION...48 CHAPITRE IV : MODELISATION ANALYTIQUE DU SYSTEME VIS ECROU ET INTEGRATION DES CONNAISSANCES DES RAIDEURS EN ELEMENTS FINIS...5 iv

9 Table des matières IV. MODELISATION DISCRETE DE LA LIAISON VIS- ECROU... 5 IV.. MODELISATION EN ASSEMBLAGE CONTINU... 5 IV... Etude générale... 5 IV... Calcul de la raideur équivalente vis/écrou K ve IV... Critique de la modélisation IV... Déformations arasites...56 IV... Imerfection d exécution du filetage...58 IV... Adatation lastique du filet...58 IV.. MODELISATION DISCRETE DE LA LIAISON VIS- ECROU : CALCUL DE LA REPARTITION DE CHARGE ET DE LA RAIDEUR GLOBALE IV... Introduction IV... Princie de la modélisation IV... Détermination de la raideur des rinciaux éléments... 6 IV... Raideur axiale du noyau de la vis K v...6 IV... Raideur axiale du cors de l écrou...6 IV... Raideur aarente d un coule de filets K f....6 IV.. IV... Calcul du délacement relatif dû à la déformation des filets... 6 IV... Calcul du délacement relatif dû à la contraction du cors de la vis et à la dilatation du cors de l écrou... 6 IV... Délacements radiaux dus à la déformation globale du cors de l écrou (rotation ω de la section droite) IV...4 Exression de la raideur locale du filetage K fi IV...4 Conclusion...67 CALCUL DE LA REPARTITION DES EFFORTS ENTRE LES FILETS ET DE LA RAIDEUR APPARENTE DE L ENSEMBLE VIS/ECROU IV... Construction du modèle de calcul : matrice de rigidité IV... Résolution du système IV... Alication au système vis écrou H M IV...4 Conclusion... 7 IV..4 EVALUATION DE LA RIGIDITE EN FLEXION DE LA LIAISON VIS ECROU PAR ELEMENTS FINIS... 7 IV..4. Présentation et critique du modèle... 7 IV..4. Résultats... 7 IV..4. Proosition d'une modélisation simlifiée... 7 IV. INTEGRATION DES RAIDEURS EN MODELISATION PAR ELEMENTS FINIS IV.. MODELISATION D SIMPLIFIEE DE LA LIAISON VIS ECROU IV... Présentation et comortement du modèle IV... Recherche d'un matériau convenable v

10 Table des matières IV.. MODELISATION EN D DE TYPE POUTRE : CONSTRUCTION D UN SUPER- ELEMENT BOULON...77 IV... Cas de l utilisation d un logiciel E.F. généraliste IV... Détermination de l aire de la section équivalente S...78 IV... Détermination des moments quadratiques I...79 IV... Modélisations équivalentes à deux tronçons...8 IV...4 Prise en comte de la rigidité en flexion écrou - vis...8 IV... Cas de l utilisation d un logiciel articulier...8 IV... Recherche d une formulation de tye outre our un élément de boulon renant en comte la rigidité de la liaison vis- écrou K θ....8 IV... Création d'un suer- élément boulon...85 IV. CONCLUSION...85 CONCLUSION ET PERSPECTIVES...87 BIBLIOGRAPHIE...89 LISTE DE TRAVAUX...9 Publications nationales...9 Publications internationales...9 ANNEXE I...95 VISSAGE A L ANGLE...95 ANNEXE II... RAIDEUR DE LA PARTIE EN PRISE DE LA VIS ET DE L ECROU (EME MODELISATION)... ANNEXE III...7 RAIDEUR DE LA PARTIE EN PRISE DE LA VIS ET DE LA PIECE TARAUDEE (EME MODELISATION)...7 ANNEXE IV...5 MODELISATION EN ELEMENTS FINIS DU PROBLEME DES PIECES PRISMATIQUES AVEC UN TROU EXCENTRE....5 vi

11 Table des matières ANNEXE V... 9 MODELISATION DISCRETE DU SYSTEME VIS ECROU : APPLICATION AU FILET ISO... 9 ANNEXE VI... 5 MATRICE DE RAIDEUR D UN SUPER-ELEMENT "BOULON"CAS PLAN... 5 vii

12 Table des matières viii

13 Introduction : INTRODUCTION Les assemblages boulonnés sont sans aucun doute les systèmes de liaison les lus utilisés en mécanique [49]. Comte tenu de leur nombre et de leur imortance dans la construction mécanique, ils rerésentent un enjeu économique certain. En effet, ar exemle, on admet que dans la construction d un avion, les assemblages ar fixations mécaniques rerésentent, ar les conséquences techniques qu il induisent, le troisième oste arès les moteurs et les équiements. Si on se réfère à la construction automobile, les assemblages auxquels on s intéresse, sont ceux qui sont critiques our la érennité de la machine comme les fixations de tête de bielle (figure -), les assemblages du bloc et de la culasse (figure -) et les fixations des roues (figure -). Figure - : Fixations de tête de bielle Figure - : Assemblage du bloc et de la culasse.

14 Introduction : Fz Fy Figure - : Fixations des roues Ce sont des assemblages fortement sollicités en fatigue, qui assurent la liaison des ièces essentielles d un mécanisme ou d une structure. Ils sont réalisés ar des vis ou des boulons HR (haute résistance) qui ont la articularité d admettre des valeurs de résistance à la ruture très élevées (R m > MPa) alors que leur résistance en fatigue est très faible (σ a 5MPa). Ceci imlique d utiliser des modèles de calcul suffisamment récis our évaluer avec une bonne récision la contrainte alternée dans la vis, lorsque les assemblages sont soumis à des efforts extérieurs d intensité variable. Lorsque les chargements sont axiaux ou très faiblement excentrés, le modèle linéaire déveloé dans les règles VDI [5],[] donne des résultats satisfaisants, lorsque les chargements sont très excentrés on doit utiliser le modèle non linéaire déveloé ar GUILLOT [8]. Pour les cas lus comlexes il est nécessaire d avoir recours à des modélisations en éléments finis adatées. Dans tous les cas ces modélisations imliquent la connaissance récise de la raideur du boulon et des ièces, ce qui n est as toujours facile à obtenir, lorsque la forme des ièces est comliquée ou dans le cas d emilages de ièces de dimensions et de matériaux différents. Notre travail, résenté dans ce mémoire, a consisté à étudier à l aide de modélisations en Eléments Finis et exérimentalement, les raideurs équivalentes des éléments constitutifs des assemblages en fonction de tous les aramètres définissant la concetion et d en tirer des modèles de calcul ermettant une détermination récise et raide de ces valeurs. Dans le chaitre I on montre tout d abord que our calculer avec une bonne récision des assemblages boulonnés récontraints, il est nécessaire de déterminer avec récision les raideurs équivalentes des ièces et des boulons. Cela est également vrai our révoir le serrage à l angle ou

15 Introduction : la mise en récontrainte ar tendeur hydraulique. La connaissance des raideurs est également nécessaire our créer des modèles E.F simlifiés. Une deuxième artie du chaitre est consacrée à une étude critique comlète des rinciales méthodes de calcul des raideurs équivalentes qui ont été roosées jusqu ici. L analyse de ces travaux fait aaraître des différences imortantes entre les formulations roosées et la nécessité de rerendre ces études avec les moyens modernes de simulation. Le chaitre II traite donc de la modélisation des raideurs équivalentes des boulons et des ièces assemblées. La remière artie est consacrée à la résentation et à la justification des méthodes de détermination roosées, qui ermettent de s affranchir de la mesure des délacements, rinciale source d erreur constatée dans les travaux récédents. Deux méthodes sont roosées, l une basée sur l énergie otentielle de déformation élastique, facilement accessible avec les logiciels actuels d éléments finis et l autre à artir d un double calcul ou d une double mesure basée sur l hyothèse que la soulesse est roortionnelle au module d élasticité de la ièce considérée mais indéendante du module d élasticité de la ièce associée. Puis les travaux réalisés our déterminer les raideurs des boulons et des ièces cylindriques en fonction des différents aramètres sont résentés ainsi que les essais de vissage à l angle ermettant de valider les résultats des très nombreuses simulations réalisées. Des aramètres négligés jusqu ici, comme les modules d élasticité des ièces et des boulons sont ris en comte ainsi que des situations qui n avaient jamais été étudiées, comme les assemblages ar vis à tête fraisée. Enfin, ces travaux qui rerésentent une art imortante de la thèse sont résumés sous forme d une méthode ratique de calcul qui ermet la détermination très récise des raideurs des boulons et des ièces cylindriques dans toutes les situations. Le chaitre III résente tout d abord l étude de la raideur équivalente des ièces rismatiques. Une méthode analytique, basée sur le découage de la section en secteurs angulaires dont on calcule la raideur locale à artir des formulations établies récédemment est résentée. Elle ermet d obtenir la raideur axiale équivalente avec une très bonne récision et résente l avantage d être alicable à une ièce de forme quelconque. D autre art un lan d exériences, aliqué à des ièces rismatiques ermet de fournir une exression simle our calculer un diamètre de ièce cylindrique de même raideur ce qui résente l avantage de ermettre l utilisation des formulations établies au chaitre II. La deuxième artie du chaitre est consacrée à la résentation d une méthode originale ermettant de calculer la raideur d un emilage de deux ièces cylindriques de diamètres quelconques et de matériaux différents.

16 Introduction : Enfin le chaitre IV est consacré à la résentation des différentes modélisations analytiques et numériques du système vis/écrou. Ce travail toujours basé sur la connaissance récise des raideurs, a our objectif d étudier les différentes modélisations simlifiées que l on est suscetible de mettre en œuvre en modélisation des assemblages boulonnés en éléments finis : modélisation en assemblage continu, modélisation discrète de l assemblage- vis écrou et calcul de la réartition des charges entre les filets, modélisation en flexion et création d un suer- élément boulon à deux nœuds et dix degrés de liberté intégrable dans un logiciel généraliste ou articulier. 4

17 Chaitre I : Imortance des raideurs équivalentes CHAPITRE I : IMPORTANCE DES RAIDEURS EQUIVALENTES DANS LE DIMENSIONNEMENT ET LA MISE EN ŒUVRE DES ASSEMBLAGES BOULONNES PRECONTRAINTS I. INTRODUCTION La maîtrise des rigidités des différents éléments comosant un assemblage boulonné est essentielle our conduire une étude de dimensionnement efficace de celui-ci [];[6];[7];[8],[6]. En effet, ces grandeurs caractérisent le comortement sous charge de ces liaisons, c est à dire les délacements mesurés sur l axe du boulon en fonction des efforts extérieurs aliqués. La connaissance récise des valeurs des raideurs équivalentes de la vis, de l écrou et des ièces assemblées se justifie dans au moins trois cas classiques de calcul : - le dimensionnement en fatigue d un assemblage boulonné avec la détermination des contraintes alternées, - la modélisation du serrage à l angle et du serrage ar tendeur hydraulique, - le calcul des assemblages boulonnés soumis à des contraintes thermiques. Les calculs industriels sont généralement réalisés à artir des modèles roosés ar la recommandation VDI de 98 [5] qui sont également résentés dans la luart des ouvrages sécialisés comme ceux de BIKFORD et NASSAR [4] ou de GUILLOT [8]. Le déveloement des éléments finis a ermis de réaliser des travaux de modélisation lus récis. La luart d entre eux concernent un chargement axisymétrique de l assemblage boulonné avec des ièces cylindriques de section circulaire. Ceendant, les modèles roosés ne sont as toujours suffisants our traiter les trois cas récédents avec la récision nécessaire ce qui nous a amené à reconsidérer l ensemble de ces modélisations. Un autre cham d alication récent lié à la connaissance récise des raideurs d un assemblage boulonné concerne la modélisation en «éléments finis» du boulon et la recherche d éléments équivalents ermettant de modéliser convenablement son comortement avec un moindre cou de calcul. 5

18 Chaitre I : Imortance des raideurs équivalentes I. LA NOTION DE RAIDEUR ET LE CALCUL EN FATIGUE DES ASSEMBLAGES BOULONNES PRECONTRAINTS Si l on considère un assemblage modèle, récontraint ar un effort Q suffisant our qu il n y ait as décollement des ièces et soumis à un chargement F E orté ar l axe du boulon et variable dans le tems tel que F E min <F E <F E max (figure I-), la contrainte alternée introduite dans la vis vaut : K ΔF b E σ = γ a I. K + K A b s Avec γ = coefficient de forme ou d introduction de charge [8] telle que <γ< K b = raideur équivalente du boulon K = raideur équivalente des ièces assemblées. ΔF E = F E max - F E min A s = section résistante de la vis F E F E F E max ΔF E F E min t F E Figure I- : Définition de l'assemblage soumis à une récharge Q et à un effort extérieur variable F E. Dans le cas de sollicitation en fatigue, la contrainte alternée admissible ar les vis HR (à 6 cycles) vaut entre 4 et 5MPa suivant le diamètre de la vis. Dans tous les cas c est une valeur très faible comarée à la valeur de contrainte statique admissible (de l ordre de MPa variable en fonction de la classe de qualité). On comrend donc très bien l intérêt qu il y a : A récontraindre l assemblage our qu il n y ait as de décollement et que le hénomène de "filtrage" existe. A connaître avec une grande récision les valeurs des différents aramètres et notamment celles relatives aux raideurs K b et K dont la détermination récise fait l objet de ce travail. 6

19 Q Q Chaitre I : Imortance des raideurs équivalentes On a considéré ici le cas théorique d un assemblage chargé axialement à comortement linéaire. On montre que les raideurs ont la même imortance our des assemblages lus comlexes à comortement non linéaire [] et que la contrainte alternée déend également de la valeur de la récharge [8],[] (figure I-). σ a σ a limite = 5MPa Q ΔF E Figure I- : Variation de la contrainte alternée en fonction de la variation de l effort extérieur ΔF E et de la récontrainte Q (Assemblage à chargement excentré). I. LES METHODES DE SERRAGE ET LE VISSAGE A L ANGLE Comme nous venons de le montrer, la maîtrise de la récharge aliquée lors du serrage d un boulon est essentielle our garantir la qualité d un assemblage. D autre art, diminuer l incertitude de serrage ermet d otimiser la liaison et ar voie de conséquence d obtenir des coûts de roduction lus faibles [6][7][][8]. Actuellement, il existe dans l'industrie, essentiellement cinq techniques différentes de serrage contrôlé our la boulonnerie : - le serrage avec coule contrôlé (clé dynamométrique à déclenchement), - le serrage avec angle contrôlé (cadran de mesure d angle adatable sur la clé ou contrôle électronique), - le serrage à la limite élastique (à contrôle simultané du coule et de l'angle), - le serrage ar tendeur hydraulique (ome et tendeur), - le serrage ar rétreinte thermique des fûts dilatés (en usage our des diamètres suérieurs à mm). Les visseuses modernes sont équiées de cateurs qui ermettent de contrôler simultanément le coule et l angle. L intervention du coefficient de frottement dans le serrage au coule entraîne des résultats disersés et eu fiables, ce qui a conduit au déveloement d autres techniques. Nous montrons ici l intérêt de ces autres techniques de serrage notamment le vissage à l angle et la nécessité d une connaissance lus fine des raideurs des différents éléments comosant l assemblage, afin de révoir 7

20 Chaitre I : Imortance des raideurs équivalentes avec une bonne récision le comortement de l assemblage lors de la mise en récontrainte et de minimiser voir d éliminer les essais. I.. SERRAGE AU COUPLE C'est le moyen de serrage le lus couramment utilisé, car facile à mettre en œuvre. Il consiste à serrer l écrou jusqu'à l'obtention d'un coule résistant donné. Le coule désiré est obtenu à l'aide d'une clé dynamométrique our le serrage manuel. On installe un coule-mètre dans la chaîne de vissage our le serrage automatique [8]. Le coule de serrage est évalué (our les assemblages filetés ISO) ar la relation coule-effort suivante : C = Q (,6 +,58 μ d + μ r ) I. Avec : : as d : diamètre sur flanc Q : récharge µ t : coefficient de frottement dans le filetage µ h : coefficient de frottement sous tête r m : rayon moyen d aui sous tête L'exression récédente met bien en évidence les trois comosantes du coule de serrage : - er terme : coule utile qui ermet la mise sous tension Q du boulon et assure le serrage des ièces assemblées, dans le cas d une liaison arfaite (rerésente environ % du coule total aliqué). - ème terme : coule servant à vaincre le frottement des filets de l'écrou sur la vis (rerésente environ 4% du coule total aliqué). - ème terme : coule servant à vaincre le frottement de l'écrou sur la rondelle ou les ièces assemblées (rerésente environ 5% du coule total aliqué) [7][8][9][8]. L incertitude sur les valeurs des coefficients de frottement et l incertitude sur le coule de serrage donné ar la clé vont rovoquer une disersion sur la récontrainte estimée à ±5% our une lubrification à la graisse et un serrage à la clé dynamométrique. Elle eut atteindre ± 4% lorsqu 'il n'y a as de sécification récise sur la mise en œuvre. Toutefois, on eut améliorer ces résultats en utilisant des lubrifiants solides au niveau des filets (vernis, graisses au MOS). Mais ces alications comliquent la mise en œuvre et augmentent fortement les coûts. Ces disersions conduisent souvent à surdimensionner la vis, c'est à dire à choisir des classes de qualité élevées. t h m 8

21 Chaitre I : Imortance des raideurs équivalentes I.. VISSAGE A LA LIMITE ELASTIQUE Cette méthode est séduisante car elle est simle et il semble bien qu'elle donne actuellement our les alications industrielles la meilleure récision. Elle consiste à serrer les vis jusqu'à atteindre leur limite élastique aarente. Cette technique imose de mesurer en ermanence le coule et l'angle de serrage et d arrêter la rotation de l écrou lorsqu'il n'y a lus roortionnalité entre ces deux aramètres (figure I-). Les erreurs sont uniquement liées à la disersion des valeurs de contraintes de torsion due à la variation du coefficient de frottement. Cette disersion intervient faiblement, la contrainte τ étant toujours bien inférieure à la contrainte σ (une variation de coefficient de frottement de 5% n'induit qu'une erreur de 7%) [6][7][8][]. coule Cmax grad θc Fenêtre de contrôle gradc grad c Cmin 66%de gradient ΔC Δθ I II III O θ min θ max θ O θ Figure I- : Vissage à la limite d'élasticité: courbe coule - angle de rotation. Le rincie de la méthode est simle : Dans la zone (I) de la courbe coule-angle (alage élastique) le gradient est aroximativement constant : C=K.θ donc grad θ C= cste Dans la zone (II) (zone lastique), il se roduit un allongement avec faible variation d effort, soit grad θ C. On arrête donc le serrage au moment où l'on détecte une diminution brutale de grad θ C. Il suffit our cela de mesurer en ermanence le coule et l'angle, les visseuses actuellement commercialisées réondent à ces critères. Un cateur de coule et un cateur d'angle de rotation envoient les informations à un module électronique qui comare en ermanence le coule et l'angle et déclenche l'arrêt de la broche dès qu'il n'y a lus roortionnalité. Chaque vis est serrée à sa limite d'élasticité rore, c'est à dire au maximum de ses ossibilités, et cela indéendamment de son rendement ainsi que de toute rogrammation, ce qui évite de briser 9

22 Chaitre I : Imortance des raideurs équivalentes une vis non conforme au montage. D autre art, ces vis euvent être réutilisées en toute sécurité sans risque de ruture. La récontrainte des vis est obtenue avec une récision de ± 8%. Ceendant, l utilisation d une rondelle est roscrite car elle eut fausser la mesure du gradient car un glissement éventuel de celle-ci déclenche l'arrêt. Une autre limite de cette technique est le déassement de la limite élastique dans le cas où des efforts en fonctionnement entraîneraient des allongements sulémentaires des vis, ce qui rovoque une erte de récharge et un changement de comortement de l assemblage (cas général non linéaire). I.. SERRAGE PAR TENDEUR HYDRAULIQUE Cette technique consiste à aliquer sur la vis un effort de traction ar l'intermédiaire d'un vérin annulaire (figurei-4). Une fois la vis tendue, l'écrou est accosté à la main ou en exerçant un léger coule de serrage. La ression dans le vérin est alors relâchée et l'effort hydraulique est transféré sur l'écrou ar la vis et celui-ci vient alors serrer les ièces. Cette mise en récontrainte ar traction de la vis et comression des ièces ermet de surimer les contraintes de torsion dans la vis. Le coefficient de frottement vis- écrou n intervient donc lus dans la mise en lace de la contrainte. Ce tye de serrage est articulièrement bien adaté our le serrage simultané de lusieurs vis en améliorant la vitesse et la qualité du serrage. L'inconvénient majeur de ce tye d'aareil est son encombrement en diamètre qui imose un écartement entre deux vis successives bien lus imortant que dans le cas d'utilisation de visseuses. Il est également nécessaire de révoir une hauteur de vis suffisante our ermettre l accrochage du vérin et la transmission de l effort de tension maximal. Enfin on ne eut installer comme récharge qu une artie de l effort axial maximal admissible ar la vis [6][7][8]. La rinciale difficulté rencontrée lors de la mise en œuvre du serrage ar tendeur hydraulique est la connaissance récise de l'effort de récharge installé dans la vis. En effet, la force hydraulique donnée ar le vérin n'est as égale à la force résiduelle installée dans l'assemblage, le roblème donc revient à déterminer un rendement γ de l oération défini ar : Ff γ = F F f étant la force finale installée dans la vis et F i la force hydraulique initiale, choisie égale à l effort de tension maximal admissible ar la vis. On démontre : i

23 Chaitre I : Imortance des raideurs équivalentes Ff ièce tête cylindre filet γ = = I. Fi K K ièce + + K tête K + K + K cylindre + + K filet K + K écrou avec : K ièce : raideur des ièces endant le tensionnement hydraulique K tête : raideur de la tête de la vis K cylindre : raideur de la artie cylindrique de la vis K filet : raideur de la artie filetée de la vis non en rise K ièce : raideur des ièces endant le serrage K écrou : raideur de l'écrou qui allie la raideur du cors de l'écrou à la raideur de la artie de la vis en rise dans le cors de l'écrou γ varie entre 5% et 9% suivant la géométrie de l assemblage. Figure I-4 : Trois hases de mise sous tension de l'assemblage. Nous ouvons conclure qu'une bonne connaissance des raideurs des ièces comosant l assemblage est indisensable à la détermination correcte de l effort de serrage avec l exression analytique (I.). I..4 VISSAGE A L ANGLE Dans ce rocédé, on obtient la récontrainte dans la vis en tournant l'écrou d'un angle déterminé arès avoir détecté la mise en contact des ièces de l assemblage. Le serrage à l'angle s'effectue normalement en deux étaes consécutives :

24 Chaitre I : Imortance des raideurs équivalentes - mise en contact des ièces ar alication d'un coule d'accostage C s servant de seuil de comtage our la mesure angulaire. Ce coule sert à ositionner les ièces et à éliminer les défauts aux interfaces. - vissage avec un angle θ déterminé. La figure I-5 illustre la mise en récharge de l assemblage et les trois zones caractérisant le vissage à l angle. Q Qo B C µ (S.µ) C Qs A C o C s O θ θ Figure I-5 : Courbe donnant la récharge en fonction de l angle de serrage OA : accostage des ièces avec un coule C s faible AB : zone de roortionnalité effort/ angle BC : zone de déformation lastique La récharge Q s exrime ar l exression suivante : Q C = s + I. 4,6 +,58µ d t + µ h r m θ 6(S + S ) b + (,58 µ t d +,6 )S T dans laquelle on reconnaît les termes de l exression du vissage au coule (I.) et où l on a : S = b K = soulesse du boulon b S = K = soulesse des ièces 8 l S = = soulesse de la vis en torsion [deg/n.mm] T π n bi 4 i= π G d bi avec : l bi : longueur d un tronçon de la vis d bi : diamètre d un tronçon de la vis

25 Chaitre I : Imortance des raideurs équivalentes G : module d élasticité en torsion On montre facilement Annexe I que la récision du serrage déend essentiellement de deux aramètres : - l incertitude sur le coule d accostage C s - l incertitude sur l angle θ (récision de l outil de serrage) Pour des ièces avec une bonne qualité d usinage des zones de contact, le coule d accostage C s eut être choisi suffisamment etit (C s ~ % de C o ). Alors la disersion due aux coefficients de frottement intervient eu sur le résultat final et la récision obtenue est bien meilleure que celle obtenue ar le vissage au coule. D autre art, en utilisation industrielle, les soulesse des ièces et des vis d un montage à un autre varient très eu. On a donc une très bonne réétabilité de l oération de mise en récontrainte, ce qui fait de cette technique une des lus fiable. Inversement, la récision sur le calcul de θ déend essentiellement de la récision avec laquelle on est caable d évaluer S b et S, ce qui est l objet de ce travail de thèse. Dans le cas des grandes séries on est amené à réciser ce calcul ar un étalonnage de la visseuse ar une série de mesures au banc d essais. I.4 LA MODELISATION EN ELEMENTS FINIS Lorsqu on modélise en éléments finis un assemblage de structure comortant un grand nombre de boulons on est confronté à deux roblèmes sécifiques : Si l on réalise une modélisation du boulon en éléments volumiques, comment rerésenter le filetage our que le modèle reste simle et erformant (Figure I-6). Figure I-6 : Modélisation tridimensionnelle de l ensemble vis écrou. Si l on réalise une modélisation du boulon sécifique, comment déterminer un "suerélément" à deux nœuds, de mêmes caractéristiques en rigidité que le boulon réel (Figure I-7).

26 Chaitre I : Imortance des raideurs équivalentes Plaques Tubes Barre ièce Suer-élément boulon Figure I-7 : Modélisation d une bride cylindrique en orte à faux. Dans le remier cas, on est amené our des conditions de confort de modélisation et de raidité de calcul, à remlacer le filetage en rise ar une liaison continue et à calculer les caractéristiques du matériau qui donne la même rigidité en tension et en flexion que le filetage (matériau isotroe transverse). Dans le deuxième cas on détermine la matrice de rigidité d un suer- élément à deux nœuds et dix degrés de liberté de même rigidité que le boulon. Remarquons également que sur la figure I-7 la rigidité en comression des ièces dans la zone d assemblage est modélisée ar une barre de même rigidité que la rigidité locale des ièces. Les éléments laque sont également des éléments finis erformants dont les termes de la matrice de rigidité sont issus des formules des laques [46]. On eut ainsi, dès l instant où l on est caable de déterminer avec récision les raideurs des éléments d assemblage réaliser des modélisations simles et très efficaces our créer des logiciels de calcul sécifiques (PEARL, BRIDES PF, BRIDUS). On eut également intégrer des suer- éléments boulons D dans des modélisations D en rerenant les efforts ar des éléments rigides (figure I-8). Cette aroche qui corresond à une des évolutions actuelles de la modélisation des structures comlexes fait l objet du chaitre IV. D Elément boulon D Figure I-8 : Modélisation tridimensionnelle de la bride et bidimensionnelle du boulon. 4

27 Chaitre I : Imortance des raideurs équivalentes I.5 BIBLIOGRAPHIE SUR LES MODELES DE CALCUL EXISTANTS I.5. RAIDEUR DU BOULON DANS LE CAS D UN CHARGEMENT AXISYMETRIQUE La raideur du boulon a été l objet de nombreuses études. Le modèle couramment utilisé, résenté sur la figure ci-dessous, est celui réconisé ar GUILLOT [8]. Le calcul de la raideur s'auie sur un modèle équivalent soumis à une tension uniforme..8d E B α vis-écrou.d L A s L +,4d A s α fileté.l L.8d L d A L +,4.d A l +α tête.d a- boulon b- modèle de calcul initial d d c- modèle de calcul équivalent Figure I-9 : Modèle donnant les raideurs équivalentes sur un boulon Les raideurs des différents éléments comosant le boulon sont ramenées à celles - d un cylindre de section nominale A our la tête de la vis et la artie non filetée de la vis - d un cylindre de section résistante A s our la artie filetée, l écrou et de la artie en rise de la vis On a donc : K B = E B l +,4d l +,4d + A A S I. 5 avec : A : section de la tige de diamètre d A s : section équivalente de la artie filetée E B : module d élasticité du matériau. Cette remière modélisation est facile à aliquer. Elle consiste à faire l hyothèse que la tête de la vis ou l écrou (quelle que soit leur longueur) interviennent comme une longueur sulémentaire égale à,4d [8]. Des modélisations lus récentes ont affiné l imortance de la tête et de l ensemble vis- écrou à artir de deux coefficients α vis-ecrou et α tête (figure I-9 c). I.5.. Raideur de la tête de la vis Dans le cas de la tête de la vis, on introduit alors des coefficients α tels que : 5

28 Chaitre I : Imortance des raideurs équivalentes L E A eq α = = I. 6 d d K Les règles allemandes V.D.I. [5][5] roosent un coefficient correctif égal à,4 our la tête de la vis. Une étude lus récente conduite ar J. MASSOL [4] a ermis d introduire un coefficient α tête (figure I-9-c) qui est fonction du diamètre D t du trou de assage de la vis. Il se lace dans le cas d une adhérence arfaite et ne rend as en comte le glissement relatif de la tête de la vis sur la ièce assemblée. Les résultats concernent uniquement les valeurs normalisées de la hauteur de tête et du diamètre de tête. Il roose alors l exression suivante our α tête en fonction du diamètre de trou de assage de la vis : tête α tête = D t 4,895 8, d D t + 4 d I. 7 D t : d : diamètre de assage de la vis diamètre nominal de la vis I.5.. Raideur de l écrou et de la artie en rise de la vis. Dans le cas de la détermination de la raideur de l écrou et de la artie en rise de la vis, le coefficient α est défini à artir de la section résistante de la vis comme suit : avec : E : module d élasticité de l écrou A s π d + d = 4 L E A eq S α = = I. 8 vis ecr d d K vis ecr : section résistante de la artie filetée. d : diamètre nominal de la vis d : diamètre sur flanc. d : diamètre du noyau de la vis. K vis-ecr : raideur de l écrou et de la artie en rise de la vis. FUFUOKA [] en utilisant une modélisation «éléments finis», trouve une valeur de α vis-écrou comrise entre,5 our un coefficient de frottement égal à et,65 our un coefficient de frottement égal à,4. Les courbes α vis-écrou = f(µ) qu il obtient sont quasiment linéaires. Il réconise 6

29 Chaitre I : Imortance des raideurs équivalentes alors une valeur moyenne du coefficient correcteur α vis-écrou égale à,85, ce qui corresond aux valeurs obtenues our un coefficient de frottement roche de,5. Dans une ublication lus récente, GUILLOT [9] roose our tenir comte de la raideur lus faible de l écrou d ajouter à la longueur filetée utile une longueur de,d au lieu de,4d. Etant données les définitions récédentes, cela corresond à une valeur de α vis-écrou =,. Cette valeur est sensiblement lus imortante que la valeur moyenne roosée ar FUFUOKA (,85). La norme allemande VDI [5] roose de distinguer la rigidité K v de la artie de la vis contenue dans l écrou et la rigidité K e de l écrou lui-même et roose : K vis E A vis d = I. 9,5 d ce qui corresond à une valeur α vis =,5 K écr E A écr = I.,4 d ce qui corresond à une valeur α écrou =,4 E vis et E ecr : modules d Young de la vis et de l écrou. d : diamètre nominal de la vis. A d : section de la vis en ied de filet. A : section nominale de la vis. Cette roosition a l avantage de ermettre de calculer la raideur d un assemblage vis écrou comortant deux matériaux différents, ce que ne ermettaient as les roositions récédentes. Pour deux matériaux identiques on obtient : d d s s,5,4 αvis = + I. écr d d Pour un filetage ISO, le calcul donne alors : α vis-ecrou =,85 On retrouve une valeur identique à la valeur moyenne roosée ar FUFUOKA []. Cette valeur est donnée indéendamment du coefficient de frottement et de la géométrie des différentes ièces de l assemblage. Enfin, SAWA et MARUYAMA [48], ar une étude théorique d élasticité tridimensionnelle et ar des essais réels, roosent α vis-ecrou égal à,7. 7

30 Chaitre I : Imortance des raideurs équivalentes I.5. RAIDEUR DES PIECES ASSEMBLEES De nombreux travaux ont été consacrés à l étude de la raideur équivalente des ièces assemblées. La luart sont basés sur la notion de cône de déformation de même raideur que celle des ièces [7][54]. Cette descrition ermet ar une aroche urement géométrique le traitement des emilages de ièces de diamètres différents. Toutefois, cela oblige à introduire l angle du cône comme un aramètre géométrique sulémentaire, qui est lié ar des relations emiriques diverses aux différentes caractéristiques de l assemblage [5][9][4]. Ils considèrent tous les ièces cylindriques et utilisent soit des essais soit des simulations en éléments finis. Comme nous le verrons dans le chaitre II la grande difficulté est de "mesurer" le délacement sur l axe du boulon induit ar le chargement. Pour cela WILEMAN et all [57] utilisent une rondelle indéformable simulant l action de la tête du boulon sur la ièce ce qui, comme l ont montré différents auteurs GUILLOT [9], MASSOL [4], ZADOKS [58] ne corresond as à la réalité et entraîne des résultats erronés. LEHNHOFF et all [6][7][8] roosent une modélisation mieux adatée et tiennent comte de la déformation de la tête et de la ièce dans la zone de contact en calculant un délacement équivalent en faisant la moyenne des délacements des nœuds en contact. Seul MASSOL [4] a effectué des mesures our valider sa modélisation. Celles-ci, comte tenu de la difficulté à caractériser la variation de longueur des ièces mesurées sur l axe de l assemblage donnent des résultats médiocres. I.5.. Modèle de WILEMAN (99) WILEMAN [57] a calculé la rigidité des ièces assemblées ar éléments finis. Il a utilisé deux hyothèses rinciales : l assemblage est arfaitement axisymétrique, les deux arties assemblées sont de même matériau, et il n y a as de glissement entre les ièces serrées au lan de joint (figure I-). Maillage Isocontrainte de comression Figure I- : Modélisation de WILEMAN 8

31 Chaitre I : Imortance des raideurs équivalentes Cette dernière hyothèse l amène à faire une remière erreur, il bloque les nœuds au lan de joint, ce qui interdit tout décollement à l interface. Il commet une deuxième erreur en remlaçant la tête de la vis ar une rondelle infiniment rigide qu il charge en comression. Si cette modélisation a l avantage de ermettre une définition simle de la comression (délacement d un lan de la rondelle), elle ne corresond as au chargement réel (figure II-). Pour calculer la raideur K il roose la formulation suivante : E K d =,78955 e,694( d L ) I. Cette formulation ne doit as être utilisée car elle est issue d une modélisation contestable et elle ignore deux aramètres essentiels que sont le diamètre de la zone de contact (dimension de la tête) et le diamètre des ièces. I.5.. Modèle de N GUYEN (989) N GUYEN [4] a calculé la rigidité des ièces assemblées à l aide d une modélisation ar éléments finis en étudiant un grand nombre de configurations. Il a fait varier le diamètre du boulon entre 4 mm et mm, le raort D /D a entre,5 et 5, enfin le raort L /d entre et. Dans son étude, N GUYEN [4] fait l hyothèse que la tête de la vis est beaucou lus rigide que les ièces assemblées et introduit une ression de contact uniforme. Cette hyothèse ne corresond as à la réalité où l on trouve une ointe imortante de contrainte au bord du trou. D D a D t L / Figure I- : Modélisation en éléments finis roosée ar N GUYEN. La raideur des deux ièces assemblées est déduite du délacement axial de la zone comrimée sous- tête mesurée sur le bord du trou et s exrime ar la formule suivante : 9

32 Chaitre I : Imortance des raideurs équivalentes K π ( D D ) ( D D ) ( D +,5 L ) a t a a = E + C I.,5 C,5 C 4 L D L D t Le choix de mesurer le délacement au bord du trou n a aucune justification sérieuse si ce n est la facilité de mesure. I.5.. Modèle VDI (986) Ce modèle a été mis au oint exérimentalement et la figure I- définit le montage d essai utilisé. Une remière exression a été donnée en 977 uis modifiée en 98. L ensemble des travaux qui a amené à cette dernière exression est décrit dans [5]. L introduction de l effort est effectuée sur une machine de comression ar l intermédiaire d un oinçon en acier très dur suosé indéformable. La mesure du délacement est réalisée avec un cateur inductif monté dans l axe du trou de la ièce. La mesure de l effort et du délacement est facile mais le oinçon comrimé est très loin de se comorter comme la tête d une vis tendue. Figure I- : Montage d essai our l établissement de la norme VDI de 98. Ce modèle a donc les mêmes défauts que les deux récédents. Par contre l ensemble des aramètres définissant l assemblage est ris en comte, et à artir de l hyothèse que la raideur est inversement roortionnelle au module d élasticité on eut l exrimer comme la raideur d une ièce de même longueur et de même module d élasticité que la ièce réelle et de section équivalente A chargée uniformément (figure I-). On a donc :

33 Chaitre I : Imortance des raideurs équivalentes K = E A L A K = E I. 4 L D a A L E l L E L E d t l E D a- définition des ièces assemblées b- modèle équivalent de même raideur Figure I- : Définition du modèle équivalent. Comme nous le verrons au chaitre II, cette hyothèse à la base d une des méthodes de détermination des raideurs que nous utilisons n est as tout à fait vérifiée et entraîne une légère erreur. Ces travaux qui se sont déroulés sur une dizaine d années ont donné lieu à lusieurs formulations VDI 977, 98, 986 [5][5]. Cette dernière formulation est souvent celle donnée ar les manuels sécialisés et a servi à de très nombreux calculs industriels bien que, comte tenu des hyothèses, elle eut araître douteuse. Elle se résente sous la forme suivante : π cas : D D a A = ( D D ) cas : D a D D a + L 4 a t A π ( D D ) + D ( D D ) [( x + ) ] π = I. 5 a t a a 4 8 avec : x = L D D a cas : D > D a + L, la raideur des ièces assemblées reste constante même our des diamètres de ièce croissants. Le calcul de la section équivalente sera effectué en renant D =D a +L dans l équation récédente.

34 Chaitre I : Imortance des raideurs équivalentes I.5..4 Modèle de RASMUSSEN Le modèle roosé ar RASMUSSEN [44] our calculer la rigidité équivalente des ièces assemblées est basé sur une étude en éléments finis (figure I-4). Bien que la discrétisation du modèle EF soit assez grossière, il rend en comte la déformation au contact, ce qui à notre avis, résente deux avantages : - il considère à la fois la ièce et la vis et est tout à fait rerésentatif de la réalité, même si les dimensions retenues our la tête de vis (,5 d) ne sont as totalement conformes à la norme. - à artir d un nombre suffisant de simulations couvrant un large domaine d utilisation, l auteur roose une seule formule de calcul à artir de aramètres géométriques adimensionnés ar raort au diamètre d aui de la tête de la vis D a. - Figure I-4 : Modèle E.F de RASMUSSEN Il ose donc : D D L t D = ; D = ; L = ; K = ; d = ; A = t D D D D D a a a a a K d A D a D D a K d L D t Figure I-5 : Définition des aramètres de l assemblage.

35 Chaitre I : Imortance des raideurs équivalentes Les vis étudiées sont hexagonales standard (ISO) de diamètre nominal d (figure I-5). Le domaine étudié est large et défini ar D = à et L =,5 à et our des boulons 6<d< avec K =,4 d =,6 D t =,7 Les résultats obtenus lui ont ermis de rooser la formule analytique suivante : + + π,5 L L A = ( D ) + ( D ) tan t ( D D ) I. 6 4 t Comme nous l avons vu our les récédents modèles, la difficulté consiste à caractériser le délacement sous tête. A artir d un calcul renant en comte le délacement axial relatif de chaque nœud du lan de contact, RASMUSSEN [44] calcule une ression moyenne et un délacement moyen qui lui ermettent de calculer la raideur équivalente et d en déduire la section équivalente A. I.5..5 Modèle déveloé au LGMT (994). La rinciale difficulté our caractériser la rigidité des ièces assemblées est de mesurer leurs déformations. MASSOL [4] roose de ne as dissocier le boulon et la ièce et de caractériser ainsi la raideur de l ensemble, ce qui ermet de faire abstraction de la déformation réelle à l interface. Ainsi, on eut déduire la raideur de la ièce si l on connaît avec récision la raideur du boulon. Pour s affranchir de la raideur du boulon dont on ne maîtrise as la valeur exacte, MASSOL utilise la technique de double simulation avec deux matériaux différents des ièces assemblées (voir chaitre II). Il obtient alors directement la raideur de la ièce. MASSOL a calculé toutes les sections équivalentes réduites des ièces : A = A D en fonction des trois aramètres géométriques adimensionnels déjà utilisés ar RASMUSSEN : D = D D ; D = D Da ; L = L Da t t a a Le choix de D a comme aramètre rivilégié se justifie ar le fait que la norme le fixe sensiblement roortionnel au diamètre nominal et que c est lui qui détermine la zone d introduction des efforts dans la ièce. La lage exlorée est définie ar :,6 D,7 ; D 5 ;,6 L, 5 t