Trigonométrie. 1 Cercle trigonométrique : cosinus et sinus. 1.1 Le cercle trigonométrique et angles orientés. 1.2 Relation de Chasles.
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- Pierre-Louis Girard
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1 Trigonométrie 1 Cercle trigonométrique : cosinus us 1.1 Le cercle trigonométrique et angles orientés Définition : Soit un repère orthonormal (,I,J. n appelle cercle trigonométrique, le cercle de centre et de rayon 1. I est alors appelé origine du cercle. Le sens trigonométrique (sens positif du cercle est le sens contraire de celui de la rotation des aiguilles d une montre. Sur la figure, l angle marqué est orienté et noté ( I;, on indique ainsi un sens à l angle, sa mesure x est exprimée en radian et sa valeur peut être négative. ( I; Pour tout point du cercle, il existe une seule valeur d angle comprise dans l intervalle ] ; ], cette valeur est appelée mesure principale de l angle J 0.5 x I Relation de Chasles Théorème (admis : Soit trois vecteurs u, v et w du plan. La relation de Chasles avec les angles orientés donne : ( u; w+( w; v = ( u; v v w u S.irbel page 1 /
2 1. Cosinus us Définition : ( I; Soit le cercle trigonométrique et un angle de mesure x exprimée en radian. n appelle cosinus de l angle x, noté cos(x, l abscisse du point us de l angle, noté, sin(x, l ordonnée du point. Ainsi on a : (cos(x;sin(x. 1.0 J sin(x 0.5 x cos(x I Tableau des valeurs remarquables : Le tableau suivant est à connaitre parfaitement : Angle x en radian 0 cos(x sin(x Formules du cosinus et du sinus : Soit x un nombre réel quelconque. 1. cos (x+sin (x = 1. cos(x+ = cos(x, on dit que la fonction cos est périodique de période.. sin(x+ = sin(x, on dit que la fonction sin est périodique de période.. cos(x+ = cos(x 5. sin(x+ = sin(x. cos( x = cos(x, la fonction cos est paire. S.irbel page /
3 7. sin( x = sin(x, la fonction sin est impaire. 8. cos( x+ = cos(x 9. sin( x+ = sin(x Exemple-exercice : A partir du tableau des valeurs remarquables et des formules précédentes, retrouver les valeurs suivantes (aussi remarquables, vous placerez( les valeurs d angle x sur le cercle trigonométrique comme celles indiquées, I; correspondant au point tel que = x : ( ( ( ( ( ( cos cos cos ( ( ( ( ( ( 5 5 cos 5 cos cos ( ( ( ( ( ( 7 cos 8 cos 9 cos 10 cos ( ( 11 cos ( 7 ( 7 ( ( cos J I S.irbel page /
4 1. Equations Soit les deux équations suivantes : cos(x = p (1 sin(x = p ( Le but de l exercice est de déterminer les valeurs de x correspondantes pour chacune des équations. La lecture du cercle trigonométrique est importante pour la compréhension de la résolution. Il existe une valeur a (souvent remarquable pour laquelle on a cos(a = p ou sin(a = p suivant l équation à traiter. Ainsi on se ramène à résoudre : cos(x = cos(a (1 sin(x = sin(a ( cos(x = cos(a sin(x = sin(a J J sin(a a cos(a a a I a I x = a+k x = a+k x = a+k x = a+k avec k Z avec k Z Exemple-exercice : Résoudre les équations suivantes : 1. sin(x = 0,5. cos(x = S.irbel page /
5 Formules du cosinus et du sinus.1 Addition Théorème : Soit a et b deux nombres réels. 1. cos(a b = cos(acos(b+sin(asin(b. cos(a+b = cos(acos(b sin(asin(b. sin(a b = sin(acos(b sin(bcos(a. sin(a+b = sin(acos(b+sin(bcos(a Démonstration : ( Considérons le cercle trigonométrique dans un repère (;I;J et les points A, B et C tels que : I; ( I; ( A = a et B = b. Ainsi A; B = b a. B J b a b a A I 1. Démonstration de la formule 1 et (a Après avoir donné les coordonnées des vecteurs A et B, donner une expression du produit scalaire A. B. (b A partir d une autre expression du produit scalaire, montrer que A. ( B = cos A; B. (c En déduire cos(b a = cos(a b = cos(acos(b+sin(asin(b. (d ontrer alors cos(a+b = cos(acos(b sin(asin(b ( (. A partir de la formule 1, justifier que cos x = sin(x x = cos(x.. En déduire la formule sin(a b = sin(a cos(b sin(b cos(a puis la formule sin(a+b = sin(acos(b+sin(bcos(a Remarque : ( 1. cos x = sin(x (. cos +x = sin(x (. sin x = cos(x (. sin +x = cos(x Exemple-exercice ( : Calculer cos + ( +. S.irbel page 5 /
6 . Duplication Théorème : Soit a et b deux nombres réels. 1. cos(a = cos (a sin (a = cos (a 1 = 1 sin (a. sin(a = cos(asin(a Démonstration : évidente avec les formules d addition Exemple-exercice : ( 1. Calculer cos 8 ( 8. Exprimer cos(a en fonction de cos(a. S.irbel page /
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