Ondes électromagnétiques dans le vide

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1 Ondes électromagnétiques dans le vide En régime variable, les champs E et B sont couplés. On peut déduire des équations de Maxwell de nouvelles équations, dites équations de propagation, dans lesquelles ces champs figurent indépendamment. Dans ce chapitre, nous nous intéressons aux solutions des équations de Maxwell dans le vide (matériau caractérisé par une perméabilité ε o et une permittivité µ o ), ce vide étant de plus vide de charge et de courant (dans la portion de l'espace considéré, ρ = et j =. I. Equations de propagation des champs 1. Rappel des équations de Maxwell dans le vide Les équations de Maxwell sont des équations locales, reliant les champs E et B en un point de l'espace ; dans les hypothèses considérées (ρ = et j = ), ces équations s'écrivent : div E = Rot E = B div B = Rot B = o E o 2. Equations de propagation On utilise l'identité : Rot ( Rot C ) = Grad ( div C ) C w Pour le champ E : Rot ( Rot E ) = e Rot ( B e Grad ( div E ) ( o E o ) = E E ) = E

2 Soit c tel que o o c 2 = 1 E c 1 2 E 2 2 = w Pour le champ B : Rot ( Rot B ) = e Rot [ o E o e o o Grad ( div B ) ] = B ( Rot E ) = B e o o ( 2 B 2 ) = B B B c 1 2 B 2 2 = Ces deux équations sont dites équations de propagation des champs ou équation de d'alembert. Rmq 1 : Les champs E et B y apparaissent découplés. La résolution de l'une de ces équations permet donc de trouver l'un des champs sans nécessiter de connaître l'autre. Rmq 2 : Ces équations sont déduites des équations de Maxwell, mais n'y sont pas équivalentes ( 2 équations au lieu de 4 ). Rmq 3 : Ces équations sont vectorielles ; Elles correspondent chacune à trois équations scalaires : E ( E x, E y, E z ) 2 E x x E x y E x z 2 1 c 2 2 E x 2 = équations similaires en E y et E z. Rmq 4 : Par homogénéïté de l'équation, on voit que c se mesure en m.s -1 ; c'est donc une vitesse.

3 3. Différentes solutions envisageables L'équation de propagation est une équation aux dérivées partielles, portant sur des fonctions de quatre variables (x, y, z, t). Les théories mathématiques montrent que cette équation admet un grand nombre de formes de solutions. La solution à retenir pour un problème particulier dépend des conditions particulières supplémentaires à satisfaire pour ce problème (comme les conditions aux limites bordant la portion de l'espace considéré, où physiquement se trouvent les sources). Une des principales applications de la propagation des champs électrique et magnétique est de conduire à une bonne description de nombreux phénomènes lumineux. En théorie ondulatoire, la lumière est décrite à l'aide de deux champs E et B qui vérifient, dans le vide et dans la matière, les équations de Maxwell, donc les équations de propagation. Prenons par exemple la lumière émise par une étoile. Vue de la terre, l'étoile est assimilable à un point matériel. Il émet de façon isotrope autour de lui. Les champs électrique et magnétique générés en un point de l'espace ne devront donc dépendre que de la distance r de ce point à l'étoile. Donc ces champs ont mêmes expressions en tous les points d'une sphère de centre l'étoile. Une telle solution des équations de Maxwell est appelée onde sphérique. Lorsque l'on est loin de son centre, une sphère est assimilable à son plan tangent au voisinage d'un point donné. Donc localement, les champs ont même expression en tous les points d'un plan. Les solutions mathématiques des équations de propagation pour lesquelles les champs ont même expression en tout point d'un plan sont appelées ondes planes. Les ondes planes constituent une approximation locale des ondes sphériques. Les ondes planes sont plus commodes à calculer, car elles permettent l'emploi des coordonnées cartésiennes et non des coordonnées sphériques. II. Ondes planes électromagnétiques On appelle ondes planes électromagnétiques les solutions des équations de Maxwell ne dépendant que d'une seule variable d'espace, et du temps. Soit x cette variable d'espace. E ( x, t ) et E x ( x, t ) B ( x, t ). E E y ( x, t ) E z ( x, t ) Le champ ne dépend pas de y ni de z, il a donc même valeur en tout point d'un plan perpendiculaire à l'axe Ox.

4 1. Utilisation des équations de Maxwell : * div E = e E x x + E y y + E z z = e E x x = * De même, div B = => * Rot E = B B x x = e x y z. * Rot B = o E o E x E y E z = E z x E y x = B x B y B z e B x = De même, la première composante donne : Donc en excluant les champs électrostatiques et magnétostatiques ( de plus uniformes ) que l'on rajouterait le cas échéant par superposition, on a : E x = E x = et B x = 2. Utilisation de l'équation de propagation Recherchons E y ( x, t ), E z ( x, t ), B y ( x, t ), B z ( x, t ). Projetons les équations de propagation des champs sur Oy et Oz : 2 E y x 2 c 1 2 E y 2 2 = 2 B y x 2 c 1 2 B y 2 2 = 2 E z x 2 1 c 2 2 E z 2 = 2 B z x 2 1 c 2 2 B z 2 = Ces quatre équations sont formellement analogues ; recherchons la forme de ses solutions. a) Forme générale des solutions L'équation s'écrit sous la forme générale composante de E ou de B. 2 G x 2 1 c 2 2 G 2 = où G est l'une des Montrons qu'une fonction de la seule variable u = t x c est solution : f + ( u ) = f + ( t x c )

5 f + x = 1 c d f + d u e 2 f + et x 2 = 1 d 2 f + f + c 2 d u 2 = d f + d u e 2 f + 2 = d 2 f + d u 2 Donc : 2 f + x 2 c 1 2 f = Donc toute fonction de la variable t x c est solution de l'équation de propagation. De même, on établit que toute fonction de la seule variable v = t + x c est aussi solution ; Notons f_ cette famille de solutions : f ( v ) = f ( t + x c ). Nous admettrons que toute solution de l'équation de propagation (à une seule variable d'espace ) peut s'écrire sous la forme : G = f + ( t x c ) + f ( t + x c ) soit comme superposition d'une solution de " type +" en t + x c. t x c, et d'une solution de " type -" en b) Interprétation d'une solution de " type +" ou de " type -" Remarquons que f + ( t x c ) = f +( t + t x + c x ) à condition d'avoir x = c t. Donc on retrouve à l'instant t + t à l'abscisse x + x les champs que l'on avait à l'instant t à l'abscisse x ; Une solution de " type +" correspond donc à une propagation des champs sans déformation dans le sens des x croissants à la vitesse c. f + x = c t date t date t + t x De même, une solution de " type -" correspond à la propagation des champs sans déformation dans le sens des x décroissants à la vitesse c. 3. Relation de structure d'une onde plane progressive électromagnétique Considérons une solution de " type +" : E E y ( t x c ) E z ( t x c ) B B y ( t x c ) B z ( t x c ) u = t x c

6 Rot E = B => 1 d E z c d u 1 d E y c d u = d B y d u d B z d u En écartant les solutions constantes relevant de la statique : B y = E z c B z = E y c Donc : E E y ( t x c ) E z ( t x c ) B E z ( t x c ) / c E y ( t x c ) / c On appelle relation de structure d'une onde plane progressive électromagnétique la relation liant ses champs E et B. ( Les équations de Maxwell ne relient que leurs dérivées partielles ). Soit i un vecteur unitaire dans la direction et dans le sens de la propagation, donc ici un vecteur unitaire de Ox orienté dans le sens des x croissants, les champs d'une onde plane progressive vérifient la relation : B = i. E c Relation de structure d'une onde plane progressive On établirait la même relation pour une solution de " type -", le vecteur le sens des x décroissants ( sens de propagation ). La relation de structure implique que pour une onde plane progressive : i étant alors orienté dans Les champs E et B sont orthogonaux à la direction de propagation ; L'onde est dite transverse électrique et magnétique TEM Les champs E et B sont orthogonaux entre eux ; Le trièdre E, B, i est direct ; E = c B 4. Propagation de l'énergie a) Vecteur de Poynting R = E. B o

7 Or pour une onde plane se propageant suivant et dans le sens du vecteur i : i. E B = c d'après la relation de structure d'une onde plane. D'où : R = 1 o c E. ( i. E ) = E2 o c i o o c 2 = 1 => R = c o E 2 i b) Energie traversant une surface S L'énergie se propage donc suivant la direction de propagation de l'onde. La puissance traversant une surface S est par définition de R le flux de ce vecteur à travers S. P = R S * ds Pour une surface placée orthogonalement au vecteur propagation : R, soit orthogonalement à la direction de z y S ds x La puissance traversant S dans le sens de propagation est : P = R S = o E 2 c S c) Densité d'énergie En un point de l'espace, = o E B2 2 o Or pour une onde plane, E 2 = c 2 B 2. e = o E E 2 2 o c 2 = ( ou ) o c 2 B B2 2 o = o E 2 = B2 o

8 Rmq1 : En raison de l'extension théoriquement infinie des ondes planes, qui possèdent une densité d'énergie uniforme sur leurs plans d'onde, les expressions précédentes conduisent à une énergie totale infinie, physiquement irréalisable. Ceci met en évidence le caractère théorique des ondes planes, qu'il est impossible de produire en pratique, mais qui constituent seulement une bonne approximation locale d'ondes réelles. Rmq 2 : La puissance traversant une surface S orthogonale à la direction de propagation étant celle contenue dans le cylindre de base S et de hauteur V égale à la vitesse de propagation de l'énergie, la comparaison des formules de P et de la densité volumique d'énergie donne V = c. Pour une onde plane dans le vide c est à la fois la vitesse de propagation des champs (vitesse à laquelle il faut se déplacer pour rester à champ constant) et la vitesse de propagation de l'énergie. 5. Un ordre de grandeur Calculons l'ordre de grandeur du champ électrique émis par une ampoule de 1 W à une distance de 3 m ; L'onde est sphérique, la puissance émise se répartit sur la sphère de rayon ρ. On a donc, si R est le module du vecteur de Poynting 4πρ 2 R = P. En assimilant localement l'onde sphérique à une onde plane, on a R = E 2 / µ o c. A.N : E = 17 Vm - 1 soit un champ peu intense ; le champ B = E / c est en 1-8 T totalement négligeable. Comparaisons : Le champ électrique présent entre les deux bornes d une prise de courant : de l ordre de 22 V / 2 cm soit 1 V/cm ou encore 1 4 Vm - 1 ; Le champ de claquage de l air sec est de l ordre de Vm - 1 ; Champ magnétique terrestre : T (à Paris!) ; Champ créé par un aimant permanent :,5 à 1 T!! On voit donc que les champs associés aux ondes sont très très faibles...