S1 - L oscillateur harmonique. Signaux physiques. Chapitre 1 : L oscillateur harmonique

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1 Signaux physiques Chapitre 1 : L oscillateur harmonique Sommaire 1 Equation du mouvement Force de rappel exercée par un ressort Mise en équation Résolution de l équation du mouvement Méthode générale Utilisation des conditions initiales Caractérisation du mouvement sinusoïdal rectiligne Oscillations autour de la position d équilibre Vitesse du point matériel Considérations énergétiques Définitions Conservation de l énergie mécanique Page L un des objectifs de la première partie du programme est une acquisition progressive d outils nécessaires à la formalisation mathématique des lois de la physique. L étude du modèle de l oscillateur harmonique (OH) va permettre d introduire le concept fondamental d équation différentielle, modèle de l évolution temporelle, dans un contexte où la mise en équations ne pose pas de difficulté majeure, et d introduire un vocabulaire précis qui sera réinvesti par la suite. Le champ d application du modèle de l oscillateur harmonique est très vaste en physique. Il permet dans certaines conditions d étudier les vibrations de systèmes mécaniques (bâtiment vibrant sous l action du vent, vibrations d une voiture sur une route accidentée), mais aussi les vibrations des atomes au sein des molécules ou des solides. Le modèle de l OH est adapté à l étude de petites oscillations autour d une position d équilibre stable. Dans le présent chapitre, on se limite à l étude de l OH en régime libre, c est-à-dire non soumis à une excitation extérieure. Cela signifie que les forces appliquées au système ne dépendent pas explicitement du temps. 1 Equation du mouvement 1.1 Force de rappel exercée par un ressort On considère un ressort fixé en l une de ses extrémités à un point O et au bout duquel est accroché le point matériel M. Lorsque l on déplace le point M de sa position d équilibre, le ressort exerce sur le point M une force qui tend à ramener le point M vers sa position d équilibre, caractérisée par la longueur à vide l 0 du ressort. On parle de force de rappel élastique. Représentons la situation dans le cas de l allongement et dans le cas de la compression du ressort : Dans le domaine des faibles écarts, la force est donnée par l expression : F = k(l l 0 )u (1) 2013/2014 1/5

2 où k est une constante appelée constante de raideur du ressort, l représente la longueur du ressort, et u le vecteur unitaire de même direction que le ressort et dirigé vers le point matériel. Remarquons que cette expression est valable que ce soit dans le cas de l allongement ou dans le cas de la compression. On retiendra que la force de rappel est proportionnelle à l élongation (l l 0 ) du ressort. 1.2 Mise en équation Considérons un point matériel M de masse m lié à un ressort et évoluant sans frottements sur un support horizontal : Un tel problème, où une seule coordonnée est suffisante pour déterminer complètement la position de l objet, est dit à un degré de liberté (DL). Effectuons le bilan des forces extérieures appliquées au point M : On considère le référentiel du laboratoire galiléen. Le principe fondamental de la dynamique donne : La projection de cette équation vectorielle sur l axe vertical permet de déterminer la réaction R exercée par le sol : En projetant selon la direction horizontale, on obtient l équation du mouvement de l oscillateur harmonique : Oscillateur harmonique On appelle oscillateur harmonique tout système à un degré de liberté dont l évolution en l absence d amortissement et d excitation, est régie par une équation différentielle linéaire du type : ẍ + ω 2 0x = ω 2 0x eq (2) où ω 0 est appelée pulsation propre de l oscillateur harmonique et où x eq représente la valeur particulière de x à l équilibre. L équation (2) appartient à la famille des équations différentielles : il s agit des équations liant une grandeur à une ou à plusieurs de ses dérivées. Dans le cas présent, on parle d équation différentielle du second ordre car l ordre de dérivation le plus grand est égal à deux. 2 Résolution de l équation du mouvement 2.1 Méthode générale Une équation de type ẍ(t) + ω 2 0x(t) = ω 2 0l 0 (3) est appelée équation avec second membre (EASM) car son second membre n est pas nul. On se limitera au cas où les coefficients l 0 et ω 0 sont constants. On parle d équation différentielle à coefficients constants. Pour résoudre cette équation, on associe l équation sans second membre correspondante (ESSM) - on parle aussi d équation homogène (OH) : ẍ(t) + ω 2 0x(t) = 0 (4) 2013/2014 2/5

3 équation qui admet des solutions de la forme : x H = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t) (5) où A et B sont des constantes qui seront le plus souvent déterminées par les conditions initiales. Par ailleurs, l EASM admet une solution particulière (SP) : x SP = l 0 (6) Nous admettrons qu en ajoutant la solution particulière de l équation avec second membre à la solution de l équation sans second membre, nous obtenons la solution unique x à l équation avec second membre : soit : x = x H + x SP (7) (8) Vérifions que la fonction (8) est bien solution de l équation avec second membre (3) : On pourra retenir la méthode de résolution suivante : (i) Chercher la solution de l équation différentielle dont le second membre a été annulé. (ii) Chercher la solution particulière de l équation différentielle avec second membre. (iii) Déterminer la forme générale de la solution de l équation avec second membre qui est la somme de la solution particulière et de la solution de l équation sans second membre : (iv) Déterminer les constantes A et B à partir des conditions initiales. x = x H + x SP (9) Il est important de réfléchir au sens porté par les deux termes de la solution. La solution de l équation sans second membre est une fonction dépendant du temps et rendant compte de l évolution temporelle du système. La solution particulière, quant à elle, permet de caractériser le système à l état d équilibre (x = l 0 ). Il est également possible d exprimer la solution de l équation sans second membre de la façon suivante : x H (t) = C cos(ω 0 t + ϕ) (10) Montrons que les formes (4) et (10) sont équivalentes en factorisant (4) par A 2 + B 2 : 2.2 Utilisation des conditions initiales Pour déterminer complètement le mouvement de la masse, il reste à déterminer les constantes de l équation sans second membre. Considérons par exemple le cas particulier de la masse écartée d une distance X 0 de sa position d équilibre et lâchée sans vitesse initiale. Cette connaissance de la position initiale et de la vitesse initiale va nous 2013/2014 3/5

4 permettre de déterminer complètement la solution : 2.3 Caractérisation du mouvement sinusoïdal rectiligne Oscillations autour de la position d équilibre Revenons à une solution de l équation différentielle (2) de l oscillateur harmonique avec des conditions initiales quelconques : x(t) = l 0 + X 0 cos(ω 0 t + ϕ) (11) Cette grandeur traduit l oscillation autour de la position d équilibre x éq = l 0. Intéressons nous à l écart à l équilibre x(t) = x(t) x éq : x(t) = X 0 cos(ω 0 t + ϕ) (12) x(t) X 0 O t X 0 T Le mouvement sinusoïdal rectiligne est caractérisé par : l amplitude X 0 du mouvement : la grandeur x(t) est nécessairement comprise entre ±X 0. la pulsation ω 0 du mouvement, grandeur directement reliée à la période T des oscillations vu la périodicité de la fonction cosinus : la fréquence f, définie comme l inverse de la période : f = 1 T (13) Son unité est le hertz (Hz) et elle est reliée à la pulsation par la relation : ω 0 = 2πf (14) la phase ω 0 t + ϕ, argument de la fonction cosinus. La grandeur ϕ est appelée phase à l origine des temps : en effet, à t = 0, la phase est égale à ϕ Vitesse du point matériel La vitesse v(t) du point matériel correspond par définition à la dérivée temporelle de sa position : La vitesse vaut donc : v(t) = dx dt (15) Elle est elle-même sinusoïdale, mais sa phase est décalée de π/2 par rapport à celle de la position. On dit que la vitesse et la position sont en quadrature de phase : 2013/2014 4/5

5 X 0 ω 0 x(t) v(t) O t X 0 ω 0 3 Considérations énergétiques 3.1 Définitions Considérons le cas simple d une masse m soumis à un ressort de raideur k et de longueur à vide l 0 que l on écarte d une distance X 0 et qu on lâche sans vitesse initiale. D une manière générale, il est possible d aborder les problèmes de mécanique en utilisant le concept d énergie. Nous étudierons cette notion en détail dans la partie Mécanique. Pour le moment, il sera admis qu à un point matériel en mouvement à la vitesse v, correspond une énergie cinétique : E c = 1 2 mv2 (16) et qu à la force de rappel élastique F = k(l l 0 )e x correspond l énergie potentielle élastique E p = 1 2 k(l l 0) 2 (17) Enfin, on introduit l énergie mécanique E m, définie comme la somme de l énergie cinétique et de l énergie potentielle : 3.2 Conservation de l énergie mécanique E m = E c + E p (18) Compte tenu des expressions de la position x et de la vitesse v, calculons les expressions de E c, E p et E m : Si on écarte le système de sa position d équilibre et qu on le lâche sans vitesse initiale, le système va se mettre en mouvement, acquérant ainsi de l énergie cinétique. Celle-ci augmente pendant que l énergie potentielle diminue. Lorsque le mobile passe par sa position d équilibre, son énergie cinétique est alors maximale et l évolution s inverse ensuite lorsque le système passe de l autre côté de la position d équilibre. Ce transfert s effectue avec une énergie mécanique constante. Un tel système est dit conservatif. 2013/2014 5/5