Groupe : (h, k) ( 5, 12)
|
|
- Jean-Louis Barbeau
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Fiche de soutien Les propriétés de la fonction racine carrée PROPRIÉTÉ FONCTION SOUS FORME CANONIQUE f(x) = a + k (ou f(x) = a 1 + k et a 1 = a ) EXEMPLE f(x) = 2 12 (ou f(x) = 6 12) Coordonnées du sommet (h, k) ( 5, 12) Domaine (dom f) Si b > 0, dom f = [h, + [. Si b < 0, dom f = ], h]. Image (ima f) Croissance et décroissance Zéro de la fonction f Ordonnée à l origine Signe de la fonction f Si a > 0, ima f = [k, + [. Si a < 0, ima f = ], k]. Si a > 0 et b > 0, alors la fonction est croissante sur l intervalle [h, + [. Si a < 0 et b > 0, alors la fonction est décroissante sur l intervalle [h, + [. Si a > 0 et b < 0, alors la fonction est décroissante sur l intervalle ], h]. Si a < 0 et b < 0, alors la fonction est croissante sur l intervalle ], h]. S il existe un zéro, c est la valeur de x pour laquelle f(x) = 0. Si elle existe, c est la va leur de f(0). f(0) = 6 dom f = [ 5, + [ ima f = [ 12, + [ La fonction f est croissante sur l intervalle [ 5, + [. Le zéro est égal à ou f(0) 1,42 Selon l équation de la fonction. La fonction f est : positive sur l intervalle [ 1, + [ ; négative sur l intervalle [ 5, 1]. Extremum Si a > 0, la valeur minimale est k. Si a < 0, la valeur maximale est k. La fonction a un minimum de 12. Éditions Grand Duc Merci de ne pas photocopier Corrigé du matériel reproductible 3-13
2 Fiche de soutien (suite) 1. Écrivez les équations suivantes sous la forme. a) c) b) d) 2. Déterminez le sommet et le zéro, s il existe, des fonctions définies par les équations suivantes. a) c) Sommet : (4, 1) Zéro : (5, 0) Sommet : ( 9, 8) Zéro : ( 25, 0) b) d) Sommet : ( 2, 4) Zéro : Sommet : ( 6, 2) Zéro : Aucun. 3. Tracez le graphique des fonctions suivantes. a) b) 3-14 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier Éditions Grand Duc
3 Fiche de soutien (suite) 4. Remplissez le tableau suivant en donnant les caractéristiques des deux fonctions présentées. PROPRIÉTÉ Sommet (1, 3) (2, 3) Domaine dom f = [1, + [ dom g = [2, + [ Image ima f = [3, + [ ima g = ], 3] Croissance et décroissance La fonction f est croissante sur l intervalle [1, + [. La fonction g est décroissante sur l intervalle [2, + [. Zéro de la fonction Aucun. Le zéro est égal à 6,5. Ordonnée à l origine Aucune. Aucune. Signe de la fonction La fonction f est positive sur [1, + [, soit sur tout son domaine. La fonction g est positive sur l intervalle [2, 6,5] et négative sur l intervalle [6,5, + [. Extremum La valeur minimale est 3. La valeur maximale est 3. Graphique Éditions Grand Duc Merci de ne pas photocopier Corrigé du matériel reproductible 3-15
4 Fiche de soutien Trouver l équation d une fonction racine carrée Pour trouver l équation sous la forme canonique d une fonction racine carrée, il suffit de connaître les coordonnées du sommet et un autre point de son graphique. Les coordonnées du sommet donnent les valeurs des paramètres h et k, et l autre point donne le signe du paramètre b. Ainsi, on peut trouver l équation sous la forme canonique ou et. La seconde forme est la plus pratique, car la valeur du paramètre b est limitée à 1 ou 1. De plus, en utilisant cette forme canonique, on obtient une équation unique. Exemple : Trouver l équation de la fonction racine carrée ayant son sommet (extremum) au point de coordonnées (7, 1) et dont le graphique passe par le point ( 9, 4). Les coordonnées du sommet donnent les valeurs des paramètres h et k (ici h = 7 et k = 1). Donc l équation correspond, pour l instant, à. Si l on trace un croquis rapide qui représente le sommet et l autre point du graphique de la fonction, on obtient la représentation ci-contre. Grâce à cette représentation, on voit que, pour que la fonction ait son sommet au point (7, 1) et que son graphique passe par le point ( 9, 4), il faut que les variations de la variable indépendante soient négatives à partir du sommet. Donc, b est négatif et égal à 1 et l équation est de la forme. Ensuite, on peut remplacer les valeurs de x et de y de l équation par les coordonnées du point ( 9, 4) et ainsi trouver la valeur du paramètre a 1. L équation recherchée est donc : Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier Éditions Grand Duc
5 Fiche de soutien (suite) Résoudre des équations ou des inéquations avec une racine carrée Pour résoudre algébriquement une équation ou une inéquation dans laquelle intervient une fonction racine carrée, il ne faut pas oublier que la fonction racine carrée est définie seulement pour les valeurs positives de l expression contenue sous son radical. On doit donc vérifier si la ou les valeurs obtenues sont cohérentes avec le domaine et l image de la fonction considérée. Exemple : Résoudre l inéquation. On peut représenter graphiquement cette inéquation en traçant d abord le graphique de la fonction racine carrée correspondant au membre de gauche, soit, et le graphique de la fonction affine correspondant au membre de droite, soit. Il s agit donc de trouver toutes les valeurs de la variable x pour lesquelles f(x) g(x). En regardant le graphique ci-contre, représentant les deux fonctions présentes dans l inéquation, on voit que la solution de l inéquation correspond aux valeurs de x à partir de l intersection entre le graphique de la fonction racine carrée et celui de la fonction affine, et jusqu à l abscisse du sommet du graphique de la fonction racine carrée (x = 5). Pour toutes ces valeurs, les valeurs des ordonnées des points de la fonction f sont supérieures ou égales aux valeurs des ordonnées de la fonction g. Il faut donc trouver la valeur de l abscisse à l intersection, en résolvant l équation. En développant cette équation, on obtient l équation 64x 2 12x 451 = 0. Il faut calculer les zéros d une fonction polynomiale du second degré exprimée sous la forme générale (ax 2 + bx + c = 0), soit. On a et (valeur à rejeter). Donc, la solution est x ou bien x 5. Éditions Grand Duc Merci de ne pas photocopier Corrigé du matériel reproductible 3-17
6 Fiche de soutien (suite) 1. Trouvez l équation de la fonction racine carrée qui possède les caractéristiques suivantes. a) Le graphique de la fonction a son sommet en ( 1, 3) et passe par le point (0, 10). b) Le paramètre a = 5, l abscisse du sommet de cette fonction est 8 et son graphique passe par le point (28, 6). 2. Résolvez les équations suivantes. a) c) x = x = 0 et x =. b) d) x = 5 x = Résolvez les inéquations suivantes graphiquement et algébriquement. a) b) f(x) = x + 17 g(x) = f(x) = g(x) lorsque x = 12 (x = 28 est à rejeter). f(x) g(x) lorsque x 12. [12, + [ f(x) = g(x) = 2x + 7 f(x) = g(x) lorsque x = 0 (x = 6 est à rejeter). f(x) g(x) lorsque x 0 et x 6. [ 6, 0] 3-18 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier Éditions Grand Duc
7 Exercices supplémentaires 1. Déterminez le sommet, le domaine et le zéro (s il existe) des fonctions suivantes. a) d) Sommet : ( 5, 1) Domaine : [ 5, + [ Sommet : (2, 3) Domaine : [2, + [ Zéro : ( 4, 0) Zéro : (11, 0) b) e) Sommet : (0, 0) Domaine : [0, + [ Sommet : (1, 2) Domaine : [1, + [ Zéro : (0, 0) Zéro : c) f) Sommet : Domaine : Sommet : ( 2, 2) Domaine : ], 2] Zéro : Aucun. Zéro : 2. Résolvez les équations suivantes. a) e) x = x = 2 b) f) x = 3 (x = 4 est à rejeter). x = 5 c) g) x = 0 et x =. x = 3 d) h) x = 16 (x = 9 est à rejeter). x = 11 et x = Donnez l équation d une fonction racine carrée qui possède les caractéristiques suivantes. a) Son zéro est égal à 2 et son sommet est ( 2, 4). b) Son domaine est [ 4, + [, son image est ], 7] et son ordonnée à l origine est 1. Éditions Grand Duc Merci de ne pas photocopier Corrigé du matériel reproductible 3-19
8 Exercices supplémentaires (suite) 4. Tracez le graphique des fonctions suivantes. a) b) c) 5. La trajectoire décrite par un oiseau au cours des trois premières minutes de son envol est donnée par la fonction f(x) = 20, où x représente le temps écoulé depuis qu il a quitté le sol, en secondes, et f(x) son altitude, en mètres. a) Tracez le graphique de cette fonction dans le plan cartésien ci-contre. b) Après deux minutes, quelle est l altitude de l oiseau? Elle est d environ 219,09 m, soit f(120) = 20. c) Après combien de temps l oiseau se trouve-t-il à une altitude de 140 m? Après 49 secondes, soit 140 = Au printemps, 18 jours après le début de la fonte des glaces, on note que le niveau d eau du fleuve Saint-Laurent atteint une hauteur maximale de 50 cm au-dessus du niveau normal. La fonction f(x) = représente le niveau d eau qui est au-dessus du niveau normal, en centimètres, selon x, le nombre de jours écoulés depuis le début de la fonte des glaces. a) Après combien de temps le niveau d eau était-il de 10 cm au-dessus du niveau normal? Après deux jours, soit 10 = b) Quel était le niveau de l eau 14 jours après le début de la fonte des glaces? Il était de 30 cm au-dessus du niveau normal, soit f(x) = Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier Éditions Grand Duc
9 a1 Évaluation des connaissances Fiche 1 1. Des biologistes tentent de modéliser la croissance d une plante. On souhaite trouver une fonction permettant de déterminer la hauteur de la plante selon le nombre de jours écoulés depuis la mise en terre de la graine. On croit qu une fonction racine carrée pourrait permettre de modéliser cette situation. Le tableau ci-dessous présente les données obtenues pour la même espèce de plante. À l aide d un nuage de points, déterminez la meilleure équation possible pouvant représenter cette situation. Nombre de jours écoulés depuis la plantation Hauteur de la plante (cm) 3,2 7 3,2 3, , ,5 3, ,1 3, ,9 3, ,8 3, ,4 3, ,3 3, ,8 3, , , ,1 3, ,5 L équation est h(x) = 3,48. Démarche : Soit x le nombre de jours écoulés depuis la plantation et y la hauteur de la plante (cm). Le sommet de la courbe est situé sur la droite y = 0. On a donc k = 0. La fonction est nulle lorsque x 6. On a donc h = 6. h(x) = a ou h(x) = a 1 Il faut estimer la valeur de a 1 = a. Par exemple, pour le point (7, 3,2), on a a 1 = 3,2, soit 3,2 = a 1. On trouve la valeur de a 1 pour chacun des points du tableau, puis on calcule la moyenne des valeurs trouvées. La moyenne des a 1 est d environ 3,48, soit 45, Donc, l équation est h(x) = 3,48. Éditions Grand Duc Merci de ne pas photocopier Corrigé du matériel reproductible 3-21
10 Évaluation des connaissances Fiche 1 (suite) 2. En économie, on utilise souvent des fonctions pour représenter la demande et l offre d un produit en fonction de son prix. La demande d un produit augmente lorsque son prix diminue. L offre, quant à elle, augmente lorsque le prix du produit augmente. Le prix d équilibre d un produit correspond au point d intersection de l offre et de la demande. La demande d un produit selon son prix est donnée par la fonction D(x) = et l offre par la fonction O(x) = 0,4x, où x représente le prix du produit. En tentant de trouver le prix d équilibre de ce produit, Maude a obtenu un résultat d environ 2238 $. En observant son graphique, reproduit ci-dessus, elle se rend compte que ce résultat est impossible. Aidez-la à déterminer le prix d équilibre et expliquez d où provient son erreur. Le prix d équilibre est de 161,74 $. Démarche : = 0,4x 8 = 0,4x 240 = 0,05x x 5 = ( 0,05x + 30) 2 3x 5 = 0,0025x 2 3x = 0,0025x 2 6x Donc x 161,74 ou x 2238,26. Il y a deux solutions. Celle qui nous intéresse, dans le contexte, est 161,74. La seconde solution, soit celle que Maude a trouvée, apparaît lorsqu on élève au carré l égalité suivante : = 0,05x En élevant au carré, on introduit une seconde fonction racine carrée. La solution 2238,26 $ correspond à l intersection de la courbe de cette seconde fonction racine carrée avec la droite représentant l offre Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier Éditions Grand Duc
11 Évaluation des connaissances Fiche 2 1. Mathieu doit résoudre le problème suivant. Un point est situé sur la ligne horizontale y = 6 dans le plan cartésien. On déplace le point sur cette ligne (vers la gauche ou vers la droite) et on veut connaître la distance séparant ce point de l origine, selon la coordonnée en x du point (la coordonnée en y est toujours 6). Mathieu a trouvé la fonction d(x) =, mais son enseignante prétend que ce n est pas la bonne fonction. Mathieu dit que la fonction est croissante et qu elle passe par le point (0, 6), ce qui est plausible dans le contexte. Tracez le graphique de la fonction que Mathieu a trouvée et dites si cette fonction est la bonne ou non. Si ce n est pas le cas, tracez également le graphique de la bonne fonction. La fonction trouvée par Mathieu n est pas bonne. La bonne fonction est d(x) =. Démarche : La fonction de Mathieu, d(x) = le graphique ci-dessus., est représentée par la courbe en gris sur Il est vrai que la fonction représentant cette situation doit passer par le point (0, 6) et qu elle est croissante, mais si on observe la courbe en gris sur le graphique, on remarque que la croissance n est pas assez grande. Par exemple, lorsque x = 10, la distance entre les points (10, 6) et (0, 0) devrait être plus grande que 10, mais on voit facilement que ce n est pas le cas sur le graphique. Il faut donc trouver la bonne fonction. Soit x l abscisse d un point situé sur la droite y = 6 et d(x) la distance séparant le point (x, 6) de l origine. On a donc P 1 (0, 0) et P 2 (x, 6). d(x) = d(x) = d(x) = La bonne fonction est illustrée par la courbe en noir sur le graphique. Éditions Grand Duc Merci de ne pas photocopier Corrigé du matériel reproductible 3-23
12 Évaluation des connaissances Fiche 2 (suite) 2. Lorsqu un corps tombe en chute libre, et que sa vitesse initiale est nulle, on peut déterminer la hauteur de l objet à l aide de l équation suivante. h = h 0 + at 2, où h est la hauteur de l objet ; h 0 est la hauteur initiale de l objet ; a = 9,8 m/s 2 est l accélération gravitationnelle ; t est le temps en secondes. Un objet est lâché du toit d un édifice de 80 m de hauteur. On veut connaître le temps que met l objet avant de toucher le sol. a) Trouvez une fonction permettant de calculer le temps écoulé depuis que l objet a été lâché, en fonction de la hauteur de l objet. h = h 0 + at 2 h h 0 = at 2 t = t = = t 2 b) Représentez graphiquement cette fonction et indiquez, sur le graphique, les points correspondant au moment où l objet est lâché et au moment où l objet touche le sol. Le moment où l objet est lâché correspond au point A sur le graphique ci-contre, et le moment où l objet touche le sol correspond au point B. c) Estimez le temps de chute de l objet. Environ 4,04 secondes, soit t = Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier Éditions Grand Duc
Lecture graphique. Table des matières
Lecture graphique Table des matières 1 Lecture d une courbe 2 1.1 Définition d une fonction.......................... 2 1.2 Exemple d une courbe........................... 2 1.3 Coût, recette et bénéfice...........................
Plus en détailFonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme
Fonctions linéaires et affines 3eme 1 Fonctions linéaires 1.1 Vocabulaire Définition 1 Soit a un nombre quelconque «fixe». Une fonction linéaire associe à un nombre x quelconque le nombre a x. a s appelle
Plus en détailChapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul
DERIVEES ET REGLES DE CALCULS 69 Chapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul Prérequis: Généralités sur les fonctions, Introduction dérivée Requis pour: Croissance, Optimisation, Études de fct.
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailBien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
Plus en détailSeconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détailComment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite.
Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite. Introduction : Avant de commencer, il est nécessaire de prendre connaissance des trois types de
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailNotion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine.
TABLE DES MATIÈRES 1 Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. Paul Milan LMA Seconde le 12 décembre 2011 Table des matières 1 Fonction numérique 2 1.1 Introduction.................................
Plus en détailItems étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détailDu Premier au Second Degré
Du Premier au Second Degré Première Bac Pro 3 ans November 26, 2011 Première Bac Pro 3 ans Du Premier au Second Degré Sommaire 1 Fonction Polynôme du second degré 2 Fonction Polynôme du Second Degré: Synthèse
Plus en détailApllication au calcul financier
Apllication au calcul financier Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 1 er novembre 2011 Intérêts Généralités L intérêt est la rémunération du placement d argent. Il dépend : du taux d intérêts
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailEtude de fonctions: procédure et exemple
Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailLes fonction affines
Les fonction affines EXERCICE 1 : Voir le cours EXERCICE 2 : Optimisation 1) Traduire, pour une semaine de location, chaque formule par une écriture de la forme (où x désigne le nombre de kilomètres parcourus
Plus en détailBACCALAURÉAT PROFESSIONNEL SUJET
SESSION 203 Métropole - Réunion - Mayotte BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE E4 CULTURE SCIENTIFIQUE ET TECHNOLOGIQUE : MATHÉMATIQUES Toutes options Durée : 2 heures Matériel(s) et document(s) autorisé(s)
Plus en détailt 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :
Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailF7n COUP DE BOURSE, NOMBRE DÉRIVÉ
Auteur : S.& S. Etienne F7n COUP DE BOURSE, NOMBRE DÉRIVÉ TI-Nspire CAS Mots-clés : représentation graphique, fonction dérivée, nombre dérivé, pente, tableau de valeurs, maximum, minimum. Fichiers associés
Plus en détailDÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Plus en détailNombre dérivé et tangente
Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailDéfinition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3
8 Systèmes de numération INTRODUCTION SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS Dans un système positionnel, le nombre de symboles est fixe On représente par un symbole chaque chiffre inférieur à la base, incluant
Plus en détailChapitre 0 Introduction à la cinématique
Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à
Plus en détailMathématiques I Section Architecture, EPFL
Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailCHAPITRE. Le mouvement en une dimension CORRIGÉ DES EXERCICES
CHAPITRE Le mouvement en une dimension CORRIGÉ DES EXERCICES Exercices. Le mouvement rectiligne uniforme SECTION. 5. Le graphique suivant représente la vitesse d une cycliste en fonction du temps. Quelle
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détail315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux
Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité
Plus en détail= constante et cette constante est a.
Le problème Lorsqu on sait que f(x 1 ) = y 1 et que f(x 2 ) = y 2, comment trouver l expression de f(x 1 )? On sait qu une fonction affine a une expression de la forme f(x) = ax + b, le problème est donc
Plus en détailCHAPITRE. Le mouvement en deux dimensions CORRIGÉ DES EXERCICES
CHAPITRE Le mouvement en deux dimensions CORRIGÉ DES EXERCICES Exercices. Les vecteurs du mouvement SECTION. 5. Une montgolfière, initialement au repos, se déplace à vitesse constante. En 5 min, elle
Plus en détailChapitre 5. Le ressort. F ext. F ressort
Chapitre 5 Le ressort Le ressort est un élément fondamental de plusieurs mécanismes. Il existe plusieurs types de ressorts (à boudin, à lame, spiral etc.) Que l on comprime ou étire un ressort, tel que
Plus en détailExercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2
Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats On considère la fonction A définie sur l'intervalle [1 ; + 00 [ par A(x) = 1-e -0039' ' x 1. Calculer la
Plus en détailFonction inverse Fonctions homographiques
Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détailRÉALISATION DE GRAPHIQUES AVEC OPENOFFICE.ORG 2.3
RÉALISATION DE GRAPHIQUES AVEC OPENOFFICE.ORG 2.3 Pour construire un graphique : On lance l assistant graphique à l aide du menu Insérer è Diagramme en ayant sélectionné au préalable une cellule vide dans
Plus en détailTSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
Plus en détailNotion de fonction. Série 1 : Tableaux de données. Série 2 : Graphiques. Série 3 : Formules. Série 4 : Synthèse
N7 Notion de fonction Série : Tableaux de données Série 2 : Graphiques Série 3 : Formules Série 4 : Synthèse 57 SÉRIE : TABLEAUX DE DONNÉES Le cours avec les aides animées Q. Si f désigne une fonction,
Plus en détailBACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détailBaccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008
Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats f est une fonction définie sur ] 2 ; + [ par : 4 points f (x)=3+ 1 x+ 2. On note f sa fonction dérivée et (C ) la représentation
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailDécouverte du logiciel ordinateur TI-n spire / TI-n spire CAS
Découverte du logiciel ordinateur TI-n spire / TI-n spire CAS Mémento Ouvrir TI-Nspire CAS. Voici la barre d outils : L insertion d une page, d une activité, d une page où l application est choisie, pourra
Plus en détailBaccalauréat technique de la musique et de la danse Métropole septembre 2008
Baccalauréat technique de la musique et de la danse Métropole septembre 008 EXERCICE 5 points Pour chacune des cinq questions à 5, trois affirmations sont proposées dont une seule est exacte. Pour chaque
Plus en détailDurée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point
03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détailMécanique : Cinématique du point. Chapitre 1 : Position. Vitesse. Accélération
2 e B et C 1 Position. Vitesse. Accélération 1 Mécanique : Cinéatique du point La écanique est le doaine de tout ce qui produit ou transet un ouveent, une force, une déforation : achines, oteurs, véhicules,
Plus en détailSINE QUA NON. Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases
SINE QUA NON Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases Sine qua non est un logiciel «traceur de courbes planes» mais il possède aussi bien d autres fonctionnalités que nous verrons tout
Plus en détailRappels sur les suites - Algorithme
DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailCircuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance
Chapitre 5 Circuits RL et RC Ce chapitre présente les deux autres éléments linéaires des circuits électriques : l inductance et la capacitance. On verra le comportement de ces deux éléments, et ensuite
Plus en détailCorrection du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014
Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014 EXERCICE 1 Cet exercice est un Q.C.M. 4 points 1. La valeur d une action cotée en Bourse a baissé de 37,5 %. Le coefficient multiplicateur associé
Plus en détailLes devoirs en Première STMG
Les devoirs en Première STMG O. Lader Table des matières Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions....................... 2 Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions (corrigé)..................
Plus en détailBaccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.
Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la
Plus en détailCHOIX OPTIMAL DU CONSOMMATEUR. A - Propriétés et détermination du choix optimal
III CHOIX OPTIMAL DU CONSOMMATEUR A - Propriétés et détermination du choix optimal La demande du consommateur sur la droite de budget Résolution graphique Règle (d or) pour déterminer la demande quand
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailExercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme?
Exercices Alternatifs Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? c 2004 Frédéric Le Roux, François Béguin (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: polynome-lagrange/. Version
Plus en détailExercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme?
Exercices Alternatifs Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? c 2004 Frédéric Le Roux, François Béguin (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: polynome-lagrange/. Version
Plus en détailBACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES
BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la
Plus en détailLeçon N 4 : Statistiques à deux variables
Leçon N 4 : Statistiques à deux variables En premier lieu, il te faut relire les cours de première sur les statistiques à une variable, il y a tout un langage à se remémorer : étude d un échantillon d
Plus en détailAnnexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles
Annexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles Quantiles En statistique, pour toute série numérique de données à valeurs dans un intervalle I, on définit la fonction quantile Q, de [,1] dans
Plus en détailOM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables
Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.
Plus en détailCHAPITRE 2 SYSTEMES D INEQUATIONS A DEUX INCONNUES
CHAPITRE 2 SYSTEMES D INEQUATIONS A DEUX INCONNUES Exercice 1 Dans un repère orthonormé on donne les points A( 1;2 ), ( 5; 6) et les droites a 3x + 2y = 5 et b 4x 3y + 10 = 0. B, 1 C 5; 2, 1 D 7; 2 1)
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailMETEOROLOGIE CAEA 1990
METEOROLOGIE CAEA 1990 1) Les météorologistes mesurent et prévoient le vent en attitude à des niveaux exprimés en pressions atmosphériques. Entre le niveau de la mer et 6000 m d'altitude, quels sont les
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailGénéralités sur les fonctions 1ES
Généraltés sur les fonctons ES GENERALITES SUR LES FNCTINS I. RAPPELS a. Vocabulare Défnton Une foncton est un procédé qu permet d assocer à un nombre x appartenant à un ensemble D un nombre y n note :
Plus en détailCalculs Computional fluide dynamiques (CFD) des serres à membrane de Van der Heide
Calculs Computional fluide dynamiques (CFD) des serres à membrane de Van der Heide J.B. Campen Wageningen UR Glastuinbouw, Wageningen xxx 2007 Rapport xxx 2007 Wageningen, Wageningen UR Glastuinbouw Tous
Plus en détailChafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1
Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouements des corps dans l espace en fonction du temps indépendamment des causes
Plus en détailMESURE ET PRECISION. Il est clair que si le voltmètre mesure bien la tension U aux bornes de R, l ampèremètre, lui, mesure. R mes. mes. .
MESURE ET PRECISIO La détermination de la valeur d une grandeur G à partir des mesures expérimentales de grandeurs a et b dont elle dépend n a vraiment de sens que si elle est accompagnée de la précision
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailCorrection du bac blanc CFE Mercatique
Correction du bac blanc CFE Mercatique Exercice 1 (4,5 points) Le tableau suivant donne l évolution du nombre de bénéficiaires de minima sociaux en milliers : Année 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailAnalyses de Variance à un ou plusieurs facteurs Régressions Analyse de Covariance Modèles Linéaires Généralisés
Analyses de Variance à un ou plusieurs facteurs Régressions Analyse de Covariance Modèles Linéaires Généralisés Professeur Patrice Francour francour@unice.fr Une grande partie des illustrations viennent
Plus en détailSavoir lire une carte, se situer et s orienter en randonnée
Savoir lire une carte, se situer et s orienter en randonnée Le b.a.-ba du randonneur Fiche 2 Lire une carte topographique Mais c est où le nord? Quel Nord Le magnétisme terrestre attire systématiquement
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailOBJECTIFS. I. A quoi sert un oscilloscope?
OBJECTIFS Oscilloscope et générateur basse fréquence (G.B.F.) Siuler le fonctionneent et les réglages d'un oscilloscope Utiliser l oscilloscope pour esurer des tensions continues et alternatives Utiliser
Plus en détailChapitre 1 Cinématique du point matériel
Chapitre 1 Cinématique du point matériel 7 1.1. Introduction 1.1.1. Domaine d étude Le programme de mécanique de math sup se limite à l étude de la mécanique classique. Sont exclus : la relativité et la
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailBaccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé
Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H
Plus en détailELEC2753 Electrotechnique examen du 11/06/2012
ELEC2753 Electrotechnique examen du 11/06/2012 Pour faciliter la correction et la surveillance, merci de répondre aux 3 questions sur des feuilles différentes et d'écrire immédiatement votre nom sur toutes
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailStatistiques Descriptives à une dimension
I. Introduction et Définitions 1. Introduction La statistique est une science qui a pour objectif de recueillir et de traiter les informations, souvent en très grand nombre. Elle regroupe l ensemble des
Plus en détail