Modélisation et simulation numérique de matériaux microstructurés pour l isolation acoustique des cabines d avion.

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1 Modélisation et simulation numérique de matériaux microstructurés pour l isolation acoustique des cabines d avion. Adeline Augier 1 Directeur de thèse : François Alouges 2 Tuteur de thèse : Benjamin Graille 1 1 Laboratoire de Mathématiques Université Paris-Sud XI 2 CMAP Ecole Polytechnique Présentation des thèses des doctorants de deuxième année, le 9 janvier 2009

2 Plan 1 2

3 Plan 1 2

4 Les sources de bruit

5 Écriture du problème Les inconnues du problème sont Inconnues La pression p : R 3 C exprimée en Pa, La vitesse v : R 3 C 3 exprimée en m s 1. On suppose que la vitesse et la pression sont harmoniques en temps, c est-à-dire p = p(x)e iωt et v = v(x)e iωt. Cela donne Système mécanique { p = η v iωρ0 v. divv = 0, (V)

6 Modélisation du matériau Laine de verre au niveau microscopique Cellule de référence.

7 Périodicité du matériau On suppose de plus que le matériau a une structure périodique. Cela se justifie parce que soit la structure du matériau est réellement périodique, soit la structure du matériau est très complexe et on la décrit par des quantités moyennées sur une cellule élémentaire. Notion de double échelle Échelle microscopique : ce qui se passe sur la cellule. Échelle macroscopique : ce qui se passe en moyenne sur la cellule.

8 Notations Description du domaine au niveau microscopique Y = [0; 1] 3 la cellule de référence de variable microscopique y, Y l ouvert inclus strictement dans Y représentant le matériau à travers lequel l air ne peut pas passer. Y \Y est la partie de Y où le passage de l air est permis. Description du domaine au niveau macroscopique Ω ε = ε(y \Y + k) Ω. k Z 3 Y\Y* Y* Y

9 Prise en compte de la périodicité dans le système Objectif faire tendre ε vers 0. Problème prise en compte du fait que la viscosité tend vers 0. Solution faire apparaître ε dans l équation. Système périodique ε 2 η v ε iωρ 0 v ε = p ε sur Ω ε, div v ε = 0 sur Ω ε, v ε = 0 sur (Ω\Ω ε). (V ε ) Propriétés : Existence et unicité de la solution (v ε, p ε ), v ε 0,Ωε uniformément bornée.

10 Convergence double échelle Problématique : en notant v 0 = lim ε 0 v ε, quelle est l équation vérifiée par v 0? Problème limite du problème microscopique y p 0 = 0 sur Ω Y, div y u 0 = 0 sur Ω Y, η yy u 0 iωρ 0 u 0 y p 1 = x p 0 sur Ω Y. (V 0 ) Utilisation de la théorie de l homogénéisation double échelle. Remarques : p 0, v 0 et p 1 : fonctions de deux variables, étude en la variable microscopique.

11 Pression dans le carré tronqué

12 Vitesse dans le carré tronqué

13 Travail effectué Écriture du système d équation donné par la physique, Prise en compte de la périodicité du matériau Travail restant Existence et unicité, : estimations a priori, prolongement des inconnues, détermination du système limite, Code C++ en 3D avec interface graphique, Cas du matériau non périodique?

14 Plan 1 2

15 Cours suivis en Formation F. Alouges, Méthode des éléments finis pour les écoulements stationnaires en mécanique des fluides. D. Levadoux, Méthodes intégrales et calcul scientifique. D. Thom, Anglais. P. Corde, Langage C. Mission : Canum Cours prévus pour Anglais M. Paicu, G. Raugel, Résultats récents en mécanique des fluides.