BRUIT EN ELECTRONIQUE DETECTION SYNCHRONE. (Vol. 7)

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1 Dept GEII IU Bordeaux I BRUI EN ELECRONIQUE et DEECION SYNCHRONE (Vol. 7) G. Couturier el : couturier@elec.iuta.u-bordeaux.fr

2 Sommaire BRUI EN ELECRONIQUE I- Fonction de corrélation et densité spectrale II- Sources de bruit en électronique III- Association de sources de bruit IV- Caractéristiques de bruit d'un amplificateur IV- 1- Bande passante équivalente de bruit IV- - Facteur de bruit d'un amplificateur IV- 3- Facteur de bruit des transistors et des amplificateurs opérationnels V- Minimisation du bruit par adaptation d'impédance VI- Facteur de bruit d'une chaîne de quadripôles DEECION SYNCHRONE I- Intérêt de la détection synchrone et principe de fonctionnement II- La détection synchrone en pratique II- 1- Effet du temps d'intégration limité II- - Effet de l'amplification

3 II- 3- Réalisation d'un détecteur synchrone III- Applications de la détection synchrone III- 1- Démodulation d'amplitude III- - Démodulateur I/Q III- 3- Recherche de non-linéarités III- 4- Mesure en photoconductivité, photoluminescence

4 Le bruit est inhérent à tout montage électronique, dans nombre de montages cependant on peut l'ignorer, mais dès qu'il s'agit d'amplifier des signaux bas niveaux, q.q. µv par exemple, il y a un certain nombre de précautions à prendre. Dans ce chapitre on commence donc par décrire rapidement les outils mathématiques adaptés pour traiter le bruit en électronique, on introduit ainsi les fonctions de corrélation et les densités spectrales. On fait ensuite un rapide tour d'horizon des différentes sources de bruit en électronique en donnant leurs densités spectrales respectives. On s'intéresse naturellement à la valeur efficace de bruit en sortie d'un amplificateur, on introduit ainsi la bande passante équivalente de bruit et le facteur de bruit. On examine le cas des transistors et des amplificateurs opérationnels. Pour terminer on calcule le bruit dans une chaîne de quadripôles en cascade. En électronique on utilise fréquemment le mot bruit pour qualifier tous les signaux aléatoires indésirables. Le bruit est-il un signal?, porte t-il une information? difficile de répondre à cette question, impossible même. Prenons le cas d'un voyageur qui attend le métro sur le quai de la gare, le bruit du train au loin est un signal qui prévient le voyageur de l'arrivée imminente du train, ce signal est utile. Quand le voyageur est dans le train, il aimerait bien que le bruit du train cesse... I- Fonction de corrélation et densité spectrale Dans le cas des signaux déterministes on dispose des fonctions mathématiques classiques (cos(ωt), exp(-t/τ), etc....) pour décrire les signaux dans le domaine temporel et des transformées de Fourier pour l'espace des fréquences. Dans le cas où l'on ne peut pas disposer d'une écriture mathématique pour décrire un signal il n'est pas possible d'en calculer sa transformée de Fourier et donc de savoir comment il se répartit dans le domaine des fréquences. De nombreux signaux ne sont pas déterministes, ce sont même les plus nombreux, on les appelle signaux aléatoires. Pour les décrire il nous faut trouver de nouveaux outils, ce sont précisément les fonctions de corrélation et les densités spectrales. Prenons par exemple le cas du signal x(t) ci-dessous, ce signal passe aux instants t 1, t,... t m-1, t m, t m+1... par la même valeur A. Question : existe t-il une relation entre les valeurs de x(t) prises aux instants t 1 + t, t + t,..., t m-1 + t, t m + t, t m+1 + t,...? t + t t 1 + t t + t t + t t + t m-1 m m+1 x(t) A t t t t t 1 m-1 m m+1 Fig. 1 Les valeurs de f(t) aux instants t 1 + t, t + t,... t m-1 + t, t m + t, t m+1 + t sont-elles quelconques?

5 Il n'est pas toujours évident de dire si les valeurs aux instants t 1 + t, t + t,..., t m-1 + t, t m + t, t m+1 + t,... sont complètement indépendantes les unes des autres. Des corrélations peuvent existées, il peut même y avoir dans certains cas une périodicité cachée. Un moyen de répondre à cette question est d'introduire la fonction de corrélation C xx (τ) du signal x(t), elle est définie comme suit : C xx 1 (τ) = lim x(t)x(t τ)dt (1) Dans le cas où le signal x(t) est à valeur moyenne nulle, ce qui est vrai pour tous les bruits en électronique, la fonction de corrélation C xx (τ) sera nulle partout sauf en τ= si il n'existe aucune relation entre les valeurs de x(t) aux instants t 1 + t, t + t,..., t m-1 + t, t m + t, t m+1 + t,... et ceci quelque soit t=τ ( t ). Pour τ=, il est clair que la fonction de corrélation est différente de zéro, en effet on a : C xx 1 ) = lim x(t)x(t)dt lim 1 ( = x (t)dt () La quantité C xx () représente la valeur quadratique moyenne du signal. D'après la relation (1), la fonction de corrélation C xx (τ) est une fonction paire de la variable τ, en effet : C xx 1 ) = lim x(t)x(t )dt =lim 1 -τ ( τ τ x(t + )x(t)dt =C τ - xx ( τ) τ Un signal aléatoire dont la fonction de corrélation C xx (τ) est nulle partout sauf en τ= où elle vaut C xx (), est appelé bruit blanc. En général les sources de bruit présentent des fonctions de corrélation avec l'allure suivante : C xx ( τ ) C xx () τ m τ m τ Fig. Exemple d'allure de fonction de corrélation Le fait par exemple que C xx (τ) est différent de zéro pour τ petit signifie qu'il existe des corrélations entre les valeurs de x(t) prises aux instants t 1 + t, t + t,..., t m-1 + t, t m + t, t m+1 + t,.... Au fur et à mesure que t=τ devient grand, les corrélations disparaissent et la fontion de corrélation devient nulle. Dans le cas des signaux périodiques, x(t+)=x(t), on peut encore définir une fonction de corrélation :

6 1 θ + C xx ( τ ) = x(t)x(t τ)dt (3) θ La fonction de corrélation est alors périodique, en effet C xx (τ) = C xx (+τ). Prenons par exemple le cas de x(t)=cos(ωt), il vient : C xx (τ)=(1/)cos(ωτ), on vérifie bien que C xx ()=(1/)=( 1 ) est la valeur quadratique, c'est à dire la valeur efficace au carré. La fonction de corrélation C xx (τ) ne nous renseigne pas directement sur la manière dont l'énergie est répartie dans le domaine des fréquences, pour répondre à cette question on introduit la densité spectrale du signal. Intuitivement on peut s'attendre à ce que le spectre soit très étendu dans le cas où la fonction de corrélation C xx (τ) est très concentrée autour de τ=. La densité spectrale est par définition la valeur quadratique moyenne par unité de fréquence, c'est une grandeur mesurable au moyen du dispositif de mesure représenté sur la Fig. 3 suivante : df x(t) f s(t) mesure de la valeur quadratique moyenne e m =S(f)df filtre sélectif Fig. 3 Mesure de la densité spectrale Le signal x(t) est passé au travers d'un filtre sélectif de largeur de bande df centrée sur la fréquence f, en sortie on obtient encore un signal aléatoire noté s(t), on mesure alors la valeur quadratique moyenne e m de s(t), elle est donnée par : e m 1 lim s = (t)dt (4) On introduit la densité spectrale X(f) en écrivant la quantité e m sous la forme : e m =X(f)df (5) La densité spectrale X(f)= e m /df représente donc la valeur quadratique moyenne par unité de fréquence.

7 Il s'ensuit que la quantité X(f)df représente la valeur quadratique moyenne du signal x(t), en effet on somme la contribution de toutes les plages df. La quantité X(f)df est bien entendu égale à la valeur quadratique moyenne exprimée dans le domaine temporel, on obtient donc la relation importante suivante : 1 lim x (t)dt valeur quadratique dans le domaine temporel = X(f)df valeur quadratique dans le domaine fréquentiel (6) NB: On peut démontrer que la densité spectrale X(f) est la transformée de Fourier de la fonction de corrélation C xx (τ) ; théorème de Wiener-Kinchine (sans démonstration) : ( ( )) - jωτ X(f) =. F. C xx τ = C xx ( τ)e dτ (7) On remarque que dans le cas particulier où la fonction de corrélation C xx (τ) est nulle partout sauf en τ= où elle vaut C xx (), cas du bruit blanc, la densité spectrale X(f) = C xx (). démonstration : en introduisant la distribution δ(τ), on peut écrire : C xx (τ)=c xx ()δ(τ) jωτ - jωτ et C xx ( τ) δ ( τ )e dτ = C xx ( τ )e = C τ = xx ( ) (8) Si la densité spectrale X(f) est une constante quelle que soit la fréquence cela veut dire que le signal x(t) comprend toutes les fréquences avec une égale amplitude. La fonction C xx (τ) est appelée en toute rigueur fonction d'autocorrélation, il est possible dans le cas de deux signaux différents, x(t) et y(t) par exemple, de calculer la fonction d'intercorrélation C xy (τ) définie comme suit : C xy ( τ) = lim x(t)y(t - τ )dt (9) Dans le cas de deux sources de bruit non corrélées et à valeurs moyennes nulles, on obtient : C xy (τ)=. II- Sources de bruit en électronique En électronique, il y a diverses sources de bruit avec des origines physiques différentes, on passe en revue ces sources de bruit. 1- Bruit thermique des résistances (Johnson noise)

8 Une résistance génère une tension de bruit due aux fluctuations spatiales de la densité électronique engendrées par les vibrations thermiques du réseau cristallin. La densité spectrale de bruit thermique est donnée par la relation suivante (sans démonstration) : X(f ) = 4kR (en V / Hz) (1) avec k=1.38x1-3 JK -1 la constante de Boltzman, la température en degré Kelvin et R la résistance en Ohm. Une résistance peut donc être considérée comme une source de bruit blanc. Une théorie plus approfondie montre cependant que pour les fréquences très élevées la densité spectrale X(f) diminue suivant la loi : X(f) = 4kR hf k ( e hf k 1) (11) avec h=6.6x1-34 Js, la constante de Planck. Un rapide calcul montre que pour f=1ghz, le facteur correctif ( hf k) ( e 1) hf k = à 3K, pour le domaine de fréquence qui nous intéresse une résistance est donc bien une source de bruit blanc. Le schéma équivalent d'une résistance bruitée est donné sur la Fig. 4. R résistance avec bruit R résistance sans bruit X(f)=4kR Fig. 4 Source de bruit associée à une résistance En pratique, la densité spectrale de bruit dans les résistances est plus élevée que 4kR, en effet le passage du courant dans une résistance génère un bruit en excès, ce bruit varie généralement 1/f avec f la fréquence. Les résistances à couches métalliques présentent le bruit en excès le plus faible c'est la raison pour laquelle elles sont principalement utilisées dans les amplificateurs faibles bruit. - Bruit de grenaille (Shot noise) Le passage d'un courant I dans une diode solide (ou dans un tube à vide) génère un bruit, il est dû au fait que le transfert des électrons et trous d'un matériau à l'autre est un processus statistique. La densité spectrale de bruit de grenaille est donnée par la relation suivante (sans démonstration) : 1 X(f ) = qi (en A Hz ) (1)

9 avec q=1.6x1-19 C, I (en A) est le courant moyen passant dans la diode. Le schéma équivalent d'une diode bruitée est donné sur la Fig. 5. Ici encore il s'agit d'une source de bruit blanc. diode bruitée X(f)=qI diode sans bruit I Fig. 5 Source de bruit asociée à une diode III- Association de sources de bruit Prenons le cas simple suivant de deux générateurs de bruit de densités spectrales respectives X 1 (f) et X (f), ces deux générateurs sont en série comme le montre la Fig. 6 cidessous, on cherche la densité spectrale de bruit équivalente X eq (f) aux deux générateurs. X 1(f) X (f) X eq (f)=? Fig. 6 Générateur de bruit équivalent à deux générateurs Pour trouver X eq (f), on introduit dans un premier temps trois générateurs de tension x 1 (t), x (t) et x eq (t) dont les densités spectrales respectives valent X 1 (f), X (f) et X 3 (f). On ne connaît pas les expressions de x 1 (t), x (t) et x eq (t), ce sont seulement des intermédiaires de calcul. On peut donc écrire x eq (t)=x 1 (t)+x (t). Calculons alors la valeur quadratique moyenne du générateur de bruit équivalent, d'après la relation (6), il vient : 1 X eq (f)df = lim x (t)dt lim eq = = lim 1 1 [ + ] ( ) 1 x (t) + x (t) dt + lim = X (f) X (f) df + C () 1 x1x ( x (t) + x (t)) 1 1 dt x (t)x (t)dt 1

10 Dans le cas où les deux générateurs de bruit x 1 (t) et x (t) ne sont pas corrélés, cas de deux résistances en série par exemple, alors la fonction d'intercorrélation C x 1 x () =. Il s'ensuit que : X eq (f)=x 1 (f)+x (f) (13) En conclusion, ce sont les densités spectrales de bruit qui s'ajoutent. Nous donnons en suivant un autre exemple qui nous sera utile pour la suite, c'est le cas de trois générateurs de bruit : un générateur de bruit de densité spectrale X 1 (f)=4kr associé à une résistance R et deux autres générateurs, un de tension et un de courant de densités spectrales respectives X (f) en V /Hz et I(f) en A /Hz. Le schéma de l'ensemble est donné sur la Fig. 7. Pour trouver la densité spectrale X eq (f) de bruit équivalente aux trois sources de bruit, il suffit de procéder comme précédemment, c'est à dire d'associer à chaque générateur de bruit un générateur de tension ou de courant classsique puis d'exprimer la valeur quadratique moyenne tant dans le domaine temporel que fréquentiel. X (f) R résistance bruitée X 1 (f)=4kr I(f) R résistance sans bruit X eq (f) =? Fig. 7 Association de trois générateurs de bruit et générateur de bruit équivalent Dans le cas où les générateurs de bruit ne sont pas corrélés, on peut écrire : 1 ( ) ( ) X (f)df = lim x (t) + x (t) + Ri(t) dt = X (f) + X (f) + R I(f) df eq 1 1 avec x 1 (t), x (t) et i(t) les générateurs tension et de courant des trois sources de bruit, d'où : ( ) -1 X (f) = 4kR + X (f) + R I(f) en V Hz (14) eq IV- Caractéristiques de bruit d'un amplificateur Un amplificateur est composé d'éléments actifs, diodes, transistors, et de résistances, tous ces composants sont des sources de bruit. Il s'ensuit que le bruit en sortie de l'amplificateur est supérieur au bruit de l'entrée multiplié par le gain de l'amplificateur. Le facteur de bruit NF (Noise Figure) permet de qualifier un amplificateur quant à ses performances vis à vis du bruit.

11 Avant d'étudier la contribution de l'amplificateur à la valeur efficace de bruit en sortie, nous allons analyser le cas d'un amplificateur idéal, c'est à dire sans bruit, et introduire la notion de bande passante équivalente de bruit : B ENBW (ENBW pour Equivalent Noise Band Width ). IV-1- Bande passante équivalente de bruit Soit un amplificateur dont le module du gain en tensione gain est G(f). Cet amplificateur est attaqué par une source de bruit de densité spectrale e(f), calculons la valeur efficace de bruit en sortie de l'amplificateur. amplificateur valeur efficace de bruit? e(f) G (f) f Fig. 8 Introduction de la bande passante équivalente de bruit D'après la relation (5), la valeur quadratique moyenne de bruit pour une tranche de fréquence df est donnée par G( f ) e( f ) df (en V ). La valeur quadratique moyenne de bruit en sortie de l'amplificateur est obtenue en intégrant sur toute la plage des fréquences, elle s'écrit donc : valeur quadratique moyenne de bruit en sortie = G (f) e(f)df (15) Dans le cas particulier où la source de bruit est une résistance, e(f)=4kr, l'intégrale précédente peut alors s'écrire : valeur quadratique moyenne de bruit en sortie = G e(f)df = 4kR G df (f) (f) (16) La quantité G f df représente l'aire sous la courbe G ( ) f ( ) comme le montre la Fig. 9. G (f) G m f B ENBW Fig. 9 Définition de la bande passante équivalente de bruit

12 On introduit la bande passante équivalente de bruit B ENBW, telle que : avec G m le gain aux fréquences moyennes. G( f ) df = GmBENBW (17) En pratique la bande passante équivalente de bruit n'est pas très différente de la bande passante à -3dB, dans le cas d'un simple ciruit R-C; B ENBW =(π/)b -3bB, il en est de même pour un filtre passe bande constitué d'un circuit R-L-C (voir les D pour les calculs). NB : la notion de bande passante équivalente de bruit n'a d'intérêt que dans le cas où la source de bruit est à densité spectrale constante, c'est à dire une résistance, c'est très souvent le cas. La résistance de bruit, appelée généralement R s (pour résistance de source), représente la résistance de sortie de l'étage précédent. Application numérique : =3K, R s =1kΩ, B ENBW =1 6 Hz et G m =1 val. eff. moy. de bruit =[4kR s G m B ENBW ] 1/ = [4x1.38x1-3 x3x1 3 x1 x1 6 ] 1/ 4µV Si l'on souhaite en sortie de l'amplificateur un rapport signal sur bruit de 8dB, il faut à l'entrée un signal de valeur efficace E telle que : G E 8dB = Log m 1 6 4x1 soit E = 4mV NB : Pour diminuer le bruit il faut réduire la largeur de bande, évidemment il faut tenir compte de la largeur spectrale du signal à amplifier. Il ne sert à rien d'avoir un amplificateur de largeur de bande 1MHz pour amplifier un signal de largeur spectrale 1Hz par exemple. Il ne faut cependant pas trop réduire la bande passante sinon on introduit une distorsion de phase. A priori il faut également une résistance de source R s très faible, nous verrons cependant que lorsqu'on tient compte du bruit apporté par l'amplificateur il existe une valeur optimale de R s conduisant à un minimum de bruit en sortie de l'amplificateur. Une diminution de température permet également d'abaisser le niveau de bruit, on procède ainsi dans certains cas critiques, par exemple les amplificateurs de radiotélescope. IV-- Facteur de bruit d'un amplificateur Le facteur de bruit NF (en db) d'un amplificateur est défini comme suit : NF = 1Log (en db) 1 val. quad. moy. de bruit en sortie de l' ampli. réel val. quad. moy. de bruit en sortie de l'ampli. supposé parfait (18) NF est toujours supérieur à db. Si l'amplificateur a une bande passante équivalente de bruit B ENBW, un gain aux fréquences moyennes G m et qu'il est attaqué par une résistance de source R s, alors la valeur quadratique moyenne de bruit en sortie de l'amplificateur s'écrit : val. quad. moy. de bruit en sortie de l'ampli.= 4kR G B 1 s m ENBW NF/1 (19)

13 En effet la valeur quadratique moyenne de bruit en sortie de l'amplificateur supposé parfait est donnée par : 4kR s G m B ENBW (voir les relations 16 et 17). La valeur quadratique moyenne de bruit apporté par l'amplificateur est donc égale à : 4kR G B 1 4kR G B s m ENBW NF/1 s m ENBW soit 4kR G B 1 s m ENBW NF/1 1 Application numérique : =3K, R s =1kΩ, B ENBW =1 6 Hz, G m =1 et NF=4dB val. eff. moy. de bruit en sortie de l'ampli réel = [4kR s G m B ENBW 1 NF/1 ] 1/ = [4x1.38x1 3 x3x1 3 x1 x1 6 x1 4/1 ] 1/ 63µV Si on souhaite en sortie de l'amplificateur un rapport signal sur bruit de 8dB, il faut à l'entrée un signal de valeur efficace E tel que : 8dB = Log 1 G E m 63x1 6 soit E = 63mV Remarque n 1 : On trouve souvent comme autre définition du facteur de bruit la relation suivante : où les quantités ( S B ) et e ( S B ) s ( S B ) ( ) NF = e ( en db) log 1 () S B s désignent respectivement les rapports signal sur bruit en entrée et en sortie. Montrons que cette définition est bien identique à celle exprimée par les relations (18) et (19). NF = 1Log 1 ( val. quadr. moy. de bruit en sortie) ( 4kR G B ) s m EBNW = 1Log 1 E 4kR sb ENBW G me = val. quadr. moy. de bruit en sortie log 1 S B e S B avec E la valeur efficace du signal d'entrée. Il faut interpréter la quantité (4kR s B ENBW ) 1/ comme étant la valeur efficace de bruit ramenée à l'entrée de l'amplificateur supposé parfait. En effet, si l'amplificateur est parfait, la valeur efficace de bruit en sortie est égal à s

14 [4kR s B ENBW G m ] 1/, le bruit ramené à l'entrée est obtenu en divisant cette dernière quantité par le gain G m, soit : (4kR s B ENBW ) 1/. Remarque n : A la place du facteur de bruit NF, certains électroniciens parlent de température équivalente de bruit eq, établissons la correspondance entre ces deux grandeurs. Pour cela écrivons de nouveau la valeur quadratique moyenne de bruit en sortie de l'amplificateur réel, il vient : val. quad. moy. de bruit en sortie de l'ampli.= 4kR G B 1 s m ENBW = 4kR G B 1 s m ENBW NF 1 NF 1 (1) = 4kR G B s m ENBW eq La température équivalente de bruit eq est égale à 1 NF/1, autrement dit tout se passe comme si l'amplificateur était parfait mais qu'il était attaqué par une résistance de source R s portée non plus à la température ambiante mais à une température eq plus élevée donnée par 1 NF/1 (ex : NF = 4dB, = 3K d'où eq = 753 K), voir la Fig. 1 ci-dessous. amplificateur avec bruit amplificateur sans bruit R NF R NF=dB NF/1 1 Fig. 1 Facteur de bruit et température équivalente de bruit IV-3- facteur de bruit des transistors et des amplificateurs opérationnels Dans le cas des amplificateurs opérationnels et des transistors, le constructeur ne sait pas à priori sous quelle largeur de bande le composant sera utilisé, les informations fournies sont les densités spectrales à l'entrée. Le bruit est représenté sous forme de deux générateurs, un de tension de densité spectrale e n (f) en V /Hz et un de courant i n (f) en A /Hz. Deux générateurs sont nécessaires pour représenter le bruit dans les amplificateurs opérationnels et les transistors. Un générateur de tension seul suffit à priori dans le cas où l'entrée est en court-circuit mais ce générateur ne permet pas d'expliquer le bruit lorsque l'entrée est en circuit ouvert. A l'inverse, un seul générateur de courant permet de représenter le bruit dans le cas où l'entrée est en circuit ouvert mais pas dans le cas d'un court-circuit.

15 + - amplificateur opérationnel avec bruit e (f) n i (f) n bruit ramené à l'entrée amplificateur opérationnel sans bruit + - transistor avec bruit e (f) n i (f) n bruit ramené à l'entrée transistor sans bruit Fig. 11 Représentation du bruit dans les amplificateurs opérationnels et les transistors Les Data Books donnent, pour les composants "faible bruit" (Low noise), les courbes e n (f) et i n (f). A titre indicatif, les caractéristiques de bruit d'un transistor et d'un amplificateur opérationnel sont données aux annexes 1 et. Dans le cas des transistors il s'agit de faisceaux de courbes paramétrées en courant de collecteur I c. Les densités spectrales e n (f) et i n (f) sont d'autant plus grandes que I c est élevé. Dans le cas des composants classiques, on trouve en général à titre indicatif les valeurs de e n (f) et i n (f) à une fréquence particulière, par exemple e n (1kHz) et i n (1kHz). e (f) n V /Hz I c i (f) n A /Hz I c f f Fig. 1 Allures des densités spectrales e n (f) et i n (f) dans le cas des transistors et amplificateurs opérationnels, pour ces derniers il n'y a qu'une seule courbe. Dans le cas des composants "faible bruit" on trouve également des courbes de facteur de bruit NF en fonction de la résistance de source R s. La valeur de NF n'a pas exactement la même signification que dans le cas des amplificateurs, en effet ne connaissant pas la largeur de

16 bande sous laquelle le composant sera utilisé, NF est donné à une certaine fréquence pour une largeur de bande de 1Hz. e n (f) R s 4kR s i n (f) amplificateur opérationnel ou transistor R s e eq (f) amplificateur opérationnel ou transistor Fig. 13 Bruit à l'entrée d'un amplificateur opérationnel ou transistor attaqué par une résistance de source R s NF Le facteur de bruit NF à la fréquence f est donnée par : = 1Log (en db) 1 val. quad. moy. de bruit à l' entrée de l' ampli. réel val. quad. moy. de bruit à l' entrée de l' ampli. supposé parfait = 1Log 1 e eq (f) = 1Log 4kR s 1 e + + n (f) 4kR s R s i n (f) 4kR s () Le facteur de bruit NF permet de comparer rapidement deux transistors ou amplificateurs opérationnels. Dans certains cas, on trouve également le facteur de bruit pour une certaine largeur de bande donnée, c'est souvent le cas pour les transistors utilisés en audiofréquence, la largeur de bande est alors égale à la plage audio. Si F min et F max sont les fréquences minimum et maximum de la plage, NF s'écrit alors : NF = 1Log (en db) 1 Fmax Fmin [ n + s + s n ] Fmax [ 4kR s ] df e (f) 4kR R i (f) df Fmin = 1Log 1 Fmax Fmin [ n + s + s n ] 4kR s[ Fmax Fmin ] e (f) 4kR R i (f) df (3) Il est à remarquer que dans le cas où les densités spectrales e n (f) et i n (f) dépendent peu de la fréquence, les valeurs de NF données respectivement par les relations () et (3) sont pratiquement identiques.

17 V- Minimisation du bruit par adaptation d'impédance Soit un amplificateur à bande passante étroite dont la facteur de bruit NF dépend de : 1- de la fréquence d'accord f - de la résistance de source R s Les caractéristiques de bruit d'un tel amplificateur sont présentées sur la Fig. 14, on appelle contours de bruit les courbes à facteur de bruit NF constant. Les contours de bruit d'un préamplificateur de détection synchrone sont présentés à l'annexe 3. R s NF NF 1 NF 3 NF <NF <NF 1 3 fréquence d'accord f Fig.14 Contours de bruit typiques d'un amplificateur à bande étroite accordé à la fréquence f Soit R s la résistance de source de cet amplificateur, la valeur efficace de bruit en sortie de l'amplificateur est donc donnée par : val. eff. de bruit en sortie = 4kRsBENBW1 NF/1 1/ Le rapport signal/bruit s'écrit : e log / 1 1 [S/B] a (en db) = [ NF/1 4kR sbenbw1 ] (4) avec e la valeur efficace du signal d'entrée. Il est possible de diminuer la valeur efficace de bruit en sortie en adaptant la résistance de source R s afin de travailler avec un facteur de bruit moindre. Pour adapter l'impédance on utilise un transformateur d'impédance comme le montre la Fig. 15.

18 R n1 n NF ' amplificateur transformateur adaptateur d'impédance Fig. 15 Réduction du bruit par adaptation d'impédance En présence du transformateur, la valeur efficace de bruit en sortie est donnée par : val. eff. de bruit en sortie = 4kR n s n 1 1/ B ENBW 1 NF'/1 avec NF' le nouveau facteur de bruit. Le rapport signal/bruit devient : e n n1 [ S / B] n (en db) = log kr n NF'/1 4 s BENBW1 n1 = log 1 1/ NF'/1 [ 4kR sbenbw1 ] 1 1/ e (5) La comparaison des relations (4) et (5) montre que : S / B S / B = NF NF' (6) n a Par adaptation d'impédance, on peut ainsi gagner plusieurs dizaines de db dans le rapport signal/bruit. En pratique les résultats sont un peu inférieurs à ceux prévus par la relation (6) car le transformateur est également source de bruit, pour que l'opération ait un sens il faut donc utiliser des transformateurs "faible bruit". VI- Facteur de bruit d'une chaîne de quadripôles On se propose de calculer le facteur de bruit équivalent d'une chaîne de quadripôles. Pour simplifier le calcul et faire apparaître les paramètres pertinents gouvernant le facteur de bruit nous prenons un cas simple, c'est à dire sur une chaîne de quadripôles adaptés en puissance tel que le montre la Fig. 16, les résistances d'entrée R in sont donc égales aux résistances de sortie R out, on pose R in =R out =R. La résistance de source R s est aussi égale à R.

19 R R s R G 1 NF 1 R R R G R G3 NF NF3 R s R G 1 R G G 3 4 NFeq R =R s R =R s Fig. 16 Chaîne de quadripôles de facteurs de bruit respectifs NF 1, NF, NF 3 et chaîne équivalente Chaque quadripôle est caractérisé par son gain en tension G i et son facteur de bruit NF i. Les facteurs de bruit sont donnés pour une largeur de bande de un Hertz située à une fréquence f donnée. La résistance de source génère donc un bruit de densité spectrale 4kR. D'après la relation (19), la valeur quadratique moyenne de bruit en sortie du premier étage s'écrit : R NF /1 NF G 1 4kR 1 R + R 1 1/1 = G1kR1 (7) La valeur quadratique moyenne de bruit apporté par le quadripôle est donc égale à : NF /1 1 1 G kr 1 1 (8) Le bruit en sortie du deuxième quadripôle est égal à : NF /1 1 1 NF /1 [ G 1 kr1 ] G G kr[ 1 ] bruit de l' entrée bruit apporté par le quadripôle x par le gain (9) Finalement la valeur quadratique moyenne de bruit en sortie du troisième étage s'écrit : (3) NF /1 1 NF /1 NF 3 /1 [ G 1 kr1 ] G G kr[ 1 ] G 3 G 3kR[ 1 ] D'après le schéma équivalent de la Fig. 16, la valeur quadratique moyenne de bruit peut encore s'écrire : R 4kR R + R G G G kr G G G eq = 4 NF /1 1 3 La comparaison des relations (3) et (31) nous permet d'écrire : NF eq /1 1 (31)

20 NF (1 eq /1 NF 1 /1 1 = 1 + G NF /1 1) (1 1) + G 1 G NF /1 3 1 (3) est donné par : La quantité ( G i / ) représente le gain en puissance Gpi de l'étage i, en effet ce gain G pi (G i U ) R G i = = R U Il s'ensuit que la relation finale s'écrit : avec U la tension d' entrée NF /1 NF (1 eq /1 NF 1/1 1 = 1 + G p1 NF /1 1) (1 1) + + etc G G 3 p1 p (33) Cette relation montre que le facteur de bruit équivalent à une chaîne de quadripôles est pratiquement égal au facteur de bruit du premier étage. Il faut donc apporter un soin tout particulier à ce premier étage : choix d'un transistor "faible bruit", choix du courant de collecteur, résistances à couche métallique, abaissement de la température si nécessaire,...

21 Cette partie de cours est divisée comme suit : - intérêt de la détection synchrone et principe de fonctionnement - la détection synchrone en pratique - Application de la détection synchrone I- Intérêt de la détection synchrone et principe de fonctionnement Soit un système linéaire dont on cherche à déterminer la fonction de transfert, c'est à dire H(jω)=K(ω)e -jφ(ω). Une méthode consiste à soumettre le système sous étude à une excitation sinusoïdale de la forme Acos(ωt) et à mesurer l'amplitude et la phase du signal de sortie, comme le montre la Fig. 1. Acos( ω t) H(jω) AK ( ω )cos( ω t-φ( ω ) ) Fig. 1 Relevé de la fonction de transfert d'un système linéaire Cette méthode est applicable dans la mesure où le rapport signal sur bruit en sortie est suffisamment élevé pour permettre une mesure facile de K(ω) et φ(ω). Dans le cas où le rapport signal sur bruit est faible, on peut procéder à un filtrage afin de diminuer la valeur efficace de bruit comme le montre la Fig.. AK( ω )cos( ω t-φ (ω ) ) +b(t) Acos( ω t) bruit bruit b(t) H(jω) système sous étude df f filtre sélectif Fig. Amélioration du rapport signal sur bruit par filtrage Pour simplifier et bien faire ressortir les paramètres pertinents, on suppose que le bruit b(t) en sortie du système sous étude est à densité spectrale constante b(f). En supposant un filtre de bande passante équivalente de bruit df centrée autour de f, on obtient en sortie du filtre un rapport signal/bruit égal à :

22 S B = (en db) AK( ω) log 1 1 / ( b(f)df) (1) L'augmentation du rapport signal/bruit nécessite un filtre sélectif très performant, il y a bien entendu des limites à de tels filtres. S'il s'agit d'un filtre accordé de type R-L-C, la bande passante équivalente de bruit est égale à (π/)b -3dB =(π/)f/q, où Q est le facteur de qualité. D'un point de vue pratique, il est difficile d'obtenir, avec des composants L-C, des coefficients Q supérieurs à 1. Une alternative à cette limite repose sur l'utilisation de la détection synchrone. L'idée de base consiste à ramener la quantité à mesurer à la fréquence zéro, là où rien ne limite la réalisation de filtre à bande passante équivalente de bruit étroite. Pour ramener l'information contenue à la fréquence f vers la fréquence zéro, il suffit de mutiplier le signal par cos(ωt) comme le montre la Fig. 3, ainsi est née la détection synchrone. Le mot synchrone vient du fait que l'on "remultiplie" par un signal de même fréquence que l'excitation et surtout de même phase ou de phase connue comme nous le verrons dans la suite de l'exposé. AK( ω ) cos( ω t-φ (ω ) ) +b(t) Acos( ω t) bruit b(t) H(j ω) multiplieur V m intégrateur V out système sous étude voie générateur signal voie référence cos ( ω t) Fig. 3 Schéma de principe d'un détecteur synchrone idéal : mesure de la composante en phase En sortie du multiplieur et de l'intégrateur supposé parfait les signaux V m et V out s'écrivent respectivement : [ ] V (t) = AK( ω) cos( ωt φ( ω)) + b(t) cos( ωt) m 1 et V out (t) = lim V m (t)dt () 1 Si le bruit b(t) est à valeur moyenne nulle, alors lim ( ) cos( ) b t ω t dt et le signal V out devient :

23 V AK( ω) AK 1 V = cos ( ) + t dt out out1 = AK( ω) ( ω) ( φ ω ) lim cos ( ω φ( ω ) ) ( φ ω ) cos ( ) (3) La tension V out1 donne accès à la composante en phase K(ω)cos(φ(ω)) avec le signal d'excitation. Pour remonter à K(ω) et φ(ω), il faut procéder à une autre mesure, il suffit d'attaquer le multiplieur non plus par le signal cos(ωt) mais par cos(ωt-π/)=sin(ωt) comme le montre la Fig. 4. On mesure dans ce cas la composante en quadrature de phase avec l'excitation. Par un raisonnement identique au précédent, on obtient donc pour V out : V out AK( ω) Vout = sin ( φ ω ) ( ) (4) AK( ω )cos( ω t-φ(ω ) ) +b(t) Acos( ω t) bruit b(t) H(j ω) multiplieur V m intégrateur V out système sous étude voie générateur signal déphaseur π / voie référence sin (ωt) Fig. 4 Mesure de la composante en quadrature de phase A partir des relations (3) et (4) on trouve facilement les quantités φ(ω) et K(ω), il vient : φ( ω) = arctg V V out out1 et K( ω) = + A V V out1 out (5) A priori la détection synchrone permet donc d'extraire un signal de fréquence connue noyé dans le bruit, le rapport signal sur bruit tend vers l'infini à condition que l'intégration se fasse pendant une durée infinie, le prix à payer d'un tel dispositif est que le résultat V out est obtenu au bout d'un temps infini! II- La détection synchrone en pratique En pratique le rapport signal sur bruit en sortie de l'intégrateur sera fini, ceci pour plusieurs raisons : 1- temps d'intégration limité afin de disposer du résultat V out dans un délai raisonnable

24 - nécessité d'amplifier le signal avant et après le multiplieur afin d'obtenir un signal V out de q.q. mv à q.q. V, l'amplification rajoute du bruit (voir cours sur le bruit en électronique). II-1- Effet du temps d'intégration limité On se propose donc maintenant d'estimer le rapport signal/bruit dans le cas où l'intégration après multiplication est réalisée par un filtre passe-bas R-C classique. Dans un premier temps on néglige le bruit apporté par l'amplification de la voie signal. La bande passante équivalente de bruit d'un tel filtre est égale π/ fois à la bande passante à -3dB, c'est à dire 1/4RC. Ecrivons de nouveau le signal en sortie du multiplieur, il s'écrit : ( ) V m (t) = AK( ω)cos( ωt)cos ωt φ( ω) + b(t)cos( ωt) = AK( ω ) AK( ω) cos ( φ( ω) ) + cos ( ω t φ ( ω ) ) + b(t)cos( ω t) comp. continue + comp. f + bruit Le signal à l'entrée du filtre passe-bas est constitué d'une composante continue, d'un signal à la fréquence f et d'un bruit. D'après nos connaissances sur le bruit, il est facile d'estimer la valeur efficace de bruit en sortie du filtre si on connaît la densité spectrale e(f) à l'entrée. Pour calculer celle-ci, on utilise le fait que : lim 1 [ ω ] b(t)cos( t) dt = e(f)df 1 = lim b (t) b (t) 1 b (t) cos( t) dt = lim dt lim cos( t)dt + ω + ω = 1 b(f)df + 1 en effet par définition de la densité spectrale : lim b (t)dt = b(f)df. Finalement la densité spectrale de bruit à l'entrée du filtre passe bas est : e(f)=b(f)/. Si on continue de supposer que b(f) est constant. La représentation spectrale à l'entrée du filtre passe-bas est donnée à la Fig. 5. En sortie du filtre on obtiendra donc trois termes : 1- le terme continu - la composante de fréquence f est fortement atténuée, en effet son amplitude est multipliée par le gain correspondant du filtre à la fréquence f.

25 3- du bruit V 1 ( ( ) ) AK( )cos 1 AK( ) 1 = ω φ ω + ω 1 + ( RCω ) out1 ( ) cos ωt φ( ω) arctg(rc ω) + bruit 1 AK(ω )cos(φ (ω )) densité spectrale 1 AK(ω ) b(f)/ B ENBW =1/4RC f fréquence Fig. 5 Densité spectrale à l'entrée du filtre et bande passante équivalente de bruit du filtre (en pointillés) La valeur efficace de bruit est donnée par [B ENBW b(f)/] 1/. En négligeant la composante f (f>>1/πrc), le rapport signal/bruit devient : S B = (en db) ( 1 / ) K( ω) Acos( φ( ω) ) / ( B ENBWb(f) / ) log 1 1 avec B ENBW =1/4RC (6) Le rapport signal/bruit ainsi obtenu est à comparer au rapport obtenu par simple filtrage. Plaçons nous dans le cas optimum où cos(φ(ω))= (le système sous étude ne déphase pas), la comparaison des relations (1) et (6) permet d'écrire : par détection synchrone par filtrage S S df B en db) B = 1log1 (7) ( ( en db) BENBW avec df et B ENBW les bandes passantes respectives des filtres passe-bande et passe-bas. La détection synchrone est intéresssante si B ENBW <<df, c'est en général le cas. La bande passante B ENBW se trouve en général imposée par la bande passante du signal à étudier, voir par exemple en suivant le cas de la démodulation d'amplitude par détection synchrone. II-- Effet de l'amplification Pour que le signal continu en sortie de l'intégrateur atteigne q.q. mv à q.q. V par exemple, il est nécessaire d'amplifier le signal, en effet, la détection synchrone s'impose particulièrement en présence de signaux faibles, q.q. nv à q.q. µv. En général l'amplification est scindée en deux parties : 1- amplification alternative avant le multiplieur - amplification continue en sortie de l'intégrateur

26 Le schéma électrique complet d'un détecteur synchrone se présente donc comme suit : voie signal amplificateur sélectif multiplieur intégrateur amplificateur continu déphaseur de π / voie référence générateur Fig. 6 Schéma électrique complet d'un détecteur synchrone Comment répartir l'amplification? compte tenu de la dérive des amplificateurs continus il est à priori préférable d'amplifier au maximum avant le multiplieur. Dans le cas des signaux fortement bruités on ne peut pas trop amplifier avant le multiplieur, en effet il y a risque de saturer l'étage d'entrée du multiplieur comme le montre la figure ci-dessous. limite de saturation multiplieur limite de saturation Fig. 7 Risque de saturation de l'étage d'entrée du multiplieur par une amplification trop élevée Afin de réduire la valeur efficace de bruit à l'entrée du multiplieur, on utilise en général un amplificateur accordé à bande étroite. Le rapport signal/bruit en sortie du détecteur sera evidemment légèrement inférieur à celui donné par la relation (6), l'amplificateur apportant luimême du bruit. L'amplification alternative sur la voie signal est en général réalisée avec un préamplificateur très faible bruit suivi d'un amplificateur accordé, ceci en accord avec le fait que dans une chaîne d'amplificateurs c'est le premier étage qui compte (voir cours "bruit en électronique"). Pour minimiser le bruit de l'amplificateur accordé, on peut si nécessaire effectuer une adaptation d'impédance.

27 II-3- Réalisation d'un détecteur synchrone Suivant la gamme de fréquence, les techniques utilisées pour la réalisation des détecteurs synchrones diffèrent. Dans le domaine des hautes fréquences on utilise des multiplieurs analogiques et des filtres analogiques pour l'intégration, dans le domaine des moyennes fréquences et des très basses fréquences, les réalisations sont de plus en plus entièrement numériques. On utilise des DSP pour la multiplication et des filtres numériques pour l'intégration. voie signal amplificateur analogique sample/ hold CAN DSP DSP à pour virgule multiplication flottante DSP pour filtrage CNA voie référence horloge θ EPROM sinus programmé fréquence F Fig. 8 Schéma de principe d'un détecteur numérique Dans un détecteur numérique la fréquence du signal de référence dépend uniquement de la fréquence de l'horloge (1/θ) qui permet de lire l'eprom contenant le sinus programmé. Un des avantages des détecteurs numériques est leur souplesse d'emploi, en particulier la possibilité de recherche des harmoniques nf contenus dans le signal d'entrée. Les détecteurs synchrones numériques présentent par ailleurs des dérives très faibles. NB : un détecteur synchrone est caractérisé par sa réserve dynamique; c'est le plus grand rapport Bruit/Signal admissible à l'entrée du détecteur. Pour un bon détecteur il est de l'ordre de 1dB. III- Applications de la détection synchrone D'une manière générale, la détection synchrone est utile chaque fois que l'on veut récupérer un signal de fréquence connue noyé dans du bruit. Parmi les applications, citons : - démodulation d'amplitude ou encore démodulation synchrone - démodulateur I/Q - analyseurs de réseaux - recherche de non-linéarité - mesure en photoconductivité, photoluminescence,... Nous passons maintenant en revue certaines de ces applications. III-1- Démodulation d'amplitude La démodulation d'amplitude avec porteuse et bandes latérales peut s'effectuer classiquement par une détection crête avec diode et circuit RC, on obtient de bons résultats si l'amplitude du signal à démoduler est suffisamment grande devant la tension de seuil de la diode. Un tel démodulateur ne permet plus de récupérer l'onde modulante dans le cas d'une

28 modulation sans porteuse ou encore d'une modulation à bande latérale unique (BLU). En effet dans ces deux dernières modulations, la crête du signal modulé ne représente plus l'onde modulante. Nous montrons dans ce qui suit l'intérêt de la détection synchrone en démodulation d'amplitude. a) cas de la modulation d'amplitude avec porteuse Soit donc une onde modulée en amplitude de la forme A( 1 + mcos( Ωt) ) cos( ωt) où m, Ω et ω désignent respectivement le taux de modulation, une pulsation particulière du signal modulant et la pulsation de la porteuse. On souhaite récupérer un signal proportionnel à m cos(ωt), pour cela on effectue le montage suivant : A(1+mcos(Ω t)cos( ω t) amplificateur multiplication (K) S 1 S filtre passe-bande oscillateur local Bcos( ω t- φ ) Fig. 9 Principe d'un démodulation d'amplitude par détection synchrone En sortie du multiplieur, au point S 1, on obtient un signal de la forme : ( Ω ) KAB 1 + mcos( t) cos( ωt)cos( ωt φ) = KAB ( 1 + mcos( Ωt) )( cosφ + cos( ωt φ) ) ( [ t ] [ t ]) KAB m = cosφ mcosφ cos( Ωt ) + cos(ωt - φ) cos ( ω Ω) φ cos ( ω Ω) φ avec K la fonction d'appareil du multiplieur. L'oscillateur local génère une pulsation ω égale à la pulsation de la porteuse mais sa phase est quelconque par rapport à celle de la porteuse, c'est la raison pour laquelle on introduit le terme de phase φ. Le spectre de ce signal est représenté à la Fig. 1. Il comprend une composante continue et quatre composantes alternatives aux pulsations respectives Ω, ω, ω+ω et ω-ω.

29 amplitude filtre passe-bande bruit ω Ω ω b h ω Ω ω ω +Ω pulsation Fig. 1 Spectre du signal au point A, en sortie du multiplieur et filtre passe-bas Pour récupérer le signal modulant de pulsation Ω, c'est à dire KAB mcos( φ) cos( Ω t), il faut : - un filtre passe-bande de pulsation de coupure haute ω h et de pulsation de coupure basse ω b avec : Ω max < ω h < ω-ω max et ω b < Ω min où Ω max et Ω min sont respectivement les pulsations max. et min. du signal modulant. Pour éliminer au maximum le bruit, il faut choisir ω h le plus près possible de Ω max et ω b le plus près possible de Ω min. Compte tenu de la courbe de phase du filtre, il faut prendre cependant une marge sinon on introduit une distorsion de phase importante. - une phase φ nulle si possible, dans ce cas on obtient en S, un signal de la forme : KAB mcos( Ω t). Si la phase φ=π/, le signal en S est nul. Une démodulation d'amplitude par détection synchrone exige donc une relation de phase bien définie entre la porteuse à l'émission et la porteuse regénérée localement. Pour réaliser cette relation de phase, on utilise une boucle à verrouillage de phase (PLL pour Phase Locked Loop) comme le montre la Fig. 11. amplificateur boucle à verrouillage de phase cos(ω t-π/ ) déphaseur π / cos( ω t) boucle à verrouillage de phase comparateur filtre de phase passe-bas multiplieur (K) filtre passe-bande S cos( ω t-π/ ) VCO Fig. 11 Démodulation d'amplitude par détection synchrone et boucle à verrouillage de phase La boucle à verrouillage de phase est constituée d'un VCO, d'un comparateur de phase et d'un filtre passe-bas (voir cours et P). Il s'agit d'un système asservi, la pulsation libre du VCO est ajustée à ω, lorsque la boucle est verrouillée la phase du VCO se cale à π/, c'est la raison pour laquelle il est nécessaire d'ajouter un déphaseur de π/ dans le démodulateur.

30 b) cas de la modulation d'amplitude sans porteuse Dans ce cas, la modulation est équivalente à une multiplication et le signal modulé s'écrit simplement : Acos(Ωt)cos(ωt). La suppression de la porteuse permet pour un émetteur donné d'amplifier davantage les bandes latérales et par conséquent d'obtenir une portée de transmission plus grande. Le spectre de ce signal est constitué de deux raies, l'une à ω+ω et l'autre à ω-ω. Pour récupérer le signal modulant, c'est à dire Acos(Ωt), il suffit à priori de multiplier localement par cos(ωt). Comme précédemment, l'oscillateur local génère cos( ωt φ) après multiplication on obtient : Acos( Ω t)cos( ω t)cos( ω t - φ ) = A A cos( t cos ( )t + cos ( )t φ ) cos( Ω ) + 4 ω Ω φ ω + Ω φ Le spectre de ce signal est représenté sur la Fig. 1. Pour récuper le signal modulant il faut comme précédemment : - un filtre passe-bande de pulsation de coupure haute ω h et de pulsation de coupure basse ω b avec : Ω max < ω h < ω-ω max et ω b < Ω min où Ω max et Ω min sont respectivement les pulsations max. et min. du signal modulant. Pour éliminer au maximum le bruit, il faut choisir ω h le plus près possible de Ω max et ω b le plus près possible de Ω min. Compte tenu de la courbe de phase du filtre, il faut prendre cependant une marge sinon on introduit une distorsion de phase importante. - une phase φ nulle si possible, dans ce cas on obtient un signal de la forme : A cos( Ω t ). Si la phase φ=π/, le signal démodulé est nul. amplitude filtre passe-bande bruit ω b Ω ω h ω Ω ω +Ω pulsation Fig. 1 Spectre du signal après multiplication et filtre passe-bas Comme dans le cas de la démodulation d'amplitude avec porteuse il est nécessaire de verrouiller la phase de l'oscillateur local. En l'absence de porteuse, le signal reçu ne contient donc aucune énergie à la pulsation ω, il s'ensuit qu'une simple boucle à verrouilllage de phase ne peut assurer le verrrouillage de phase de l'oscillateur local. On utilise dans ce cas une boucle de Costas réalisée avec deux boucles à verrouillage de phase (voir cours boucle à verrouillage de phase).

31 amplificateur boucle de Costas multiplieur (K) filtre passe-bas S Fig. 13 Démodulation d'amplitude par boucle de Costas c) cas de la BLU En BLU une seule bande est transmise. Par rapport au cas de la modulation à deux bandes latérales sans porteuse on obtient un encombrement spectral réduit et une largeur de bande de bruit réduite. Le signal reçu est donc de la forme Acos(ω+Ω)t dans le cas où la bande latérale supérieure est émise. Au niveau du récepteur, l'oscillateur local génère un signal cos(ωt+φ), après multiplication on obtient donc : [ ] ( ω + Ω ) ω + φ cos( Ωt φ) + cos (( ω + Ω) t + φ) Acos ( )t cos( t ) = A Le spectre contient deux pulsations, une est égale à Ω, l'autre à ω+ω. La pulsation la plus élevée est éliminée par filtrage, le signal obtenu s'écrit donc finalement : (A/)cos(Ωt-φ). La réception sera bonne si la phase φ reste constante. Pour qu'il en soit ainsi, à l'émission on transmet une porteuse réduite qui sert à l'asservissement de phase de la porteuse locale. La porteuse est isolée par filtrage et verrouille la phase de l'oscillateur locale. Le schéma du démodulateur est représenté sur la Fig. 14. ω BLU amplificateur filtre sélectif ω boucle à verrouillage de phase déphaseur π / multiplieur (K) filtre passe-bas S Fig. 14 Démodulation en BLU NB : En télévision classique, on effectue une modulation dite BLR (Bande Latérale Résiduelle), le spectre d'une telle modulation est donnée en Fig. 15. Avec ce type de

32 modulation il est encore possible de récupérer le signal modulant par une simple détection crête (voir cours sur modulations et démodulations). porteuse bande latérale inférieure bande latérale supérieure Fig. 15 Modulation en bande latérale résiduelle III-- Démodulateur I/Q Dans de nombreuses situations on est amené à utiliser une même porteuse pour transmettre deux signaux modulants e 1 (t) et e (t). C'est le cas par exemple dans les systèmes de télévision PAL et NSC (transmission des signaux de chrominance Rouge et Bleu), en téléphonie numérique (transmission de deux symboles), etc.... L'avantage de cette technique est de réduire l'encombrement spectral comme le montre la Fig. 16. Si on utilise deux porteuses différentes de fréquences f p1 et f p, l'encombrement spectral du signal modulé s(t) est de 4B, où B est l'encombrement spectral des signaux modulants e 1 (t) et e (t), on suppose que ces deux signaux ont le même encombrement spectral (voir Fig. 16-a). Avec un modulateur I(In phase)/q(quadrature), l'encombrement spectral est divisé par, il vaut seulement B comme le montre la Fig. 16-b. e (t) 1 f p1 (a) B B multiplieurs s(t) e (t) f p1 Modulateur avec deux porteuses f p e (t) 1 f p (b) B déphaseur π / s(t) f p e (t) f p Modulateur I/Q (modulateur avec une seule porteuse) Fig. 16 Réduction de l'encombrement spectral par utilisation d'un modulateuri/q

33 Le signal modulé s(t) s'écrit : s( t) = A e1( t) cos( ωt) + e( t) cos( ωt π / où Acos(ωt) désigne la porteuse, on suppose pour simplifier l'écriture une constante du multiplieur égale à l'unité. La restitution des signaux e 1 (t) et e (t) s'obtient au moyen d'un démodulateur I/Q comme le montre la Fig. 17. Comme dans les cas précédents, il est nécessaire de verrouiller la phase de l'oscillateur local pour obtenir les signaux e 1 (t) et e (t) après filtrage. Le verrouillage de la phase est encore réalisé au moyen d'un boucle de Costas. Emetteur Récepteur e (t) 1 e (t) déphaseur π / f p s(t) déphaseur π / f p filtre passe-bas e (t) 1 e (t) Fig. 17 Modulateur et démodulateur I/Q III-3- Recherche de non-linéarités Soit par exemple un système non-linéaire dont la relation grandeur d'entrée-grandeur de sortie s'écrit sous la forme y=ax+bx +..., où a et b sont des constantes. Les constantes a et b peuvent être obtenues par analyse spectrale, par détection synchrone, etc.... Nous analysons ici le cas de la détection synchrone. Excitons le système en régime sinusoïdal avec x = Acos(ωt), la sortie y est de la forme : b y aacos( t) ( ) A 1 cos( t) ba ba = ω + + ω = + aacos( ωt) + cos(ωt) Pour accéder à la constante a, il suffit d'envoyer sur la voie référence du détecteur synchrone un signal de la forme Bcos(ωt), pour accéder à b il suffit d'envoyer Bcos(ωt), en effet par mutiplication, on obtient : B ba ba + aacos( ωt) + cos(ωt) cos(ωt) = B ba 4 aa cos( t) ba cos( t) aa cos(3 t) ba + ω + ω + ω + cos(4ωt) 4