RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire

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1 RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire Stéphane Mottelet Université de Technologie de Compiègne Printemps 2003

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3 Sommaire I Motivations et notions fondamentales 7 I1 Motivations 8 I11 Formulation générale des problèmes d optimisation non linéaire 8 I12 Un exemple en régression non-linéaire 9 I13 Un exemple en mécanique 10 I2 Formes quadratiques 12 I21 Définition d une forme quadratique 12 I22 Propriétés des formes quadratiques définies positives 13 I3 Rappels de calcul différentiel 15 I31 Définition de la différentiabilité 15 I32 Calcul de la dérivée première 16 I33 Dérivée seconde 17 I4 Notions sur la convexité 18 I41 Définition de la convexité 18 I42 Fonctions convexes 19 I43 Caractérisation de la convexité en termes du hessien 20 I44 Caractérisation de la convexité en termes du gradient 21 I5 Résultats d existence et d unicité 22 I51 Théoremes généraux d existence 22 I52 Unicité 23 I6 Conditions nécessaires d optimalité en l absence de contraintes 24 I61 Conditions nécessaires 24 I62 Conditions nécessaires et suffisantes 25 Exemples du chapitre I 26 Exercices du chapitre I 28 II Les méthodes de gradient 29 II1 Les méthodes de descente 30 II11 Principe des méthodes de descente 30 II2 Les méthodes de gradient 31 II21 Principe des méthodes de gradient 31

4 4 Sommaire II22 La méthode du gradient à pas optimal 32 II23 Calcul du pas optimal dans le cas quadratique 33 Exemples du chapitre II 34 III La méthode du gradient conjugué 35 III1 Introduction 36 III11 Directions conjuguées 36 III12 Lemme fondamental 37 III2 La méthode du gradient conjugué 39 III21 Algorithme de la méthode du gradient conjugué 39 III22 La méthode du gradient conjugué dans le cas général 41 III3 Interprétation de la méthode du gradient conjugué 42 III31 Interprétation de la méthode du gradient conjugué 42 III32 Convergence de la méthode du gradient conjugué 44 IV Méthodes de recherche linéaire 47 IV1 introduction 48 IV11 But de la recherche linéaire 48 IV12 Intervalle de sécurité 49 IV2 Caractérisation de l intervalle de sécurité 50 IV21 La règle d Armijo 50 IV22 La règle de Goldstein 51 IV23 La règle de Wolfe 52 IV24 Réduction de l intervalle 53 IV25 Réduction de l intervalle par interpolation cubique 54 V Méthodes de Quasi-Newton 55 V1 Introduction 56 V11 La méthode de Newton 56 V12 Méthodes à métrique variable 57 V2 Les méthodes de quasi-newton 58 V21 Relation de quasi-newton 58 V22 Formules de mise à jour de l approximation du hessien 59 V23 Formule de Broyden 60 V24 Formule de Davidon, Fletcher et Powell 62 V25 Algorithme de Davidon-Fletcher-Powel 63 V26 Algorithme de Broyden, Fletcher, Goldfarb et Shanno 65 V3 Méthodes spécifiques pour les problèmes de moindres carrés 66 V31 La méthode de Gauss-Newton 66 V32 la méthode de Levenberg-Marquardt 67 VI Conditions d optimalité en optimisation avec contraintes 69 VI1 Les conditions de Lagrange 70 VI11 Introduction 70 VI12 Problème avec contraintes d égalité 71 VI13 Contraintes d égalité linéaires 72 VI14 Contraintes d égalité non-linéaires 73 VI15 Le théorème de Lagrange 75 VI2 Les conditions de Kuhn et Tucker 76 VI21 Problème avec contraintes d inégalité 76 VI22 Interprétation géométrique des conditions de Kuhn et Tucker 78

5 Sommaire 5 VI3 Exemples de problèmes 79 VI31 Distance d un point à un plan 79 VI32 Pseudo-inverse de Moore et Penrose 80 VI33 Exemple de programme quadratique 81 VI4 Conditions suffisantes d optimalité 83 VI41 Définition du lagrangien 83 VI42 Condition nécéssaire du second ordre 84 VI43 Condition nécéssaire du second ordre 85 VII Méthodes primales 87 VII1 Contraintes d égalité linéaires 88 VII11 La méthode du gradient projeté 88 VII12 La méthode de Newton projetée 90 VII2 Contraintes d inégalité linéaires 92 VII21 Méthode de directions réalisables 92 VII3 Méthodes de pénalisation 94 VII31 Méthode de pénalisation externe 94 VII32 Méthode de pénalisation interne 96 VII33 Estimation des multiplicateurs 97 VII4 Méthodes par résolution des équations de Kuhn et Tucker 98 VII41 Cas des contraintes d égalité 98 VII42 Méthode de Wilson 99 VII43 Cas des contraintes d inégalité 100 Exemples du chapitre VII 101 VIII Méthodes utilisant la notion de dualité 103 VIII1 Elements sur la dualité 104 VIII11 Le problème dual 104 VIII12 Point-col du lagrangien 106 VIII2 Methodes duales 107 VIII21 Méthode d Uzawa 107 VIII22 Méthode d Arrow et Hurwicz 108

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7 Chapitre I Motivations et notions fondamentales I1 Motivations 8 I11 Formulation générale des problèmes d optimisation non linéaire 8 I12 Un exemple en régression non-linéaire 9 I13 Un exemple en mécanique 10 I2 Formes quadratiques 12 I21 Définition d une forme quadratique 12 I22 Propriétés des formes quadratiques définies positives 13 I3 Rappels de calcul différentiel 15 I31 Définition de la différentiabilité 15 I32 Calcul de la dérivée première 16 I33 Dérivée seconde 17 I4 Notions sur la convexité 18 I41 Définition de la convexité 18 I42 Fonctions convexes 19 I43 Caractérisation de la convexité en termes du hessien 20 I44 Caractérisation de la convexité en termes du gradient 21 I5 Résultats d existence et d unicité 22 I51 Théoremes généraux d existence 22 I52 Unicité 23 I6 Conditions nécessaires d optimalité en l absence de contraintes 24 I61 Conditions nécessaires 24 I62 Conditions nécessaires et suffisantes 25 Exemples du chapitre I 26 Exercices du chapitre I 28

8 8 Motivations et notions fondamentales I1 Motivations I11 Formulation générale des problèmes d optimisation non linéaire La forme générale d un problème d optimisation est la suivante : (P C) min x R f(x), n sous les contraintes g(x) 0, h(x) = 0, (I11) (I12) (I13) où les fonctions f, g et h sont typiquement non-linéaires (c est l objet de cette deuxième partie du cours) L équation (VI12) désigne ce que nous apelleront des contraintes d inégalité et l équation (VI13) des contraintes d égalité L objet de ce cours est la présentation de techniques permettant de résoudre le problème (PC), ainsi que des problèmes où soit un seul des deux types de contraintes est présent, soit des problèmes n y a pas de contraintes du tout Nous noterons ces types de problèmes ainsi : (PC) (PCE) (PCI) (P) problème général, avec contraintes d inégalité et d égalité, problème avec contraintes d égalité, problème avec contraintes d inégalité, problème sans contraintes Il va de soi que la plupart des problèmes réels ou industriels ne sont pas initialement sous une des formes proposées C est pourquoi un des premiers travaux consiste en général à mettre le problème initial sous une forme standard Par exemple, un problème donné sous la forme max x R g(x), n se mettra sous la forme standard (P) en posant f(x) = g(x)! Cependant, la mise sous forme standard nécéssite en général un peu plus de travail, comme nous allons le voir dans les exemples qui suivent

9 Ο Ο Ο Ο ΟΟ Ο ΟΟ Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο ΟΟ ΟΟ Ο Ο Ο Ο ΟΟΟΟ Ο Ο ΟΟΟ ΟΟ ΟΟ Ο Ο ΟΟ Ο Ο Ο Ο ΟΟΟ Ο Ο Ο ΟΟ I1 Motivations 9 I12 Un exemple en régression non-linéaire Ο Ο Ο 02 Ο Ο ΟΟ Ο Ο Ο Ο Ο ΟΟ Ο ΟΟ ΟΟ Ο Ο ΟΟ Ο Ο Ο -02 Ο Ο Ο ΟΟΟ Ο ΟΟ Ο ΟΟ Ο ΟΟΟ Ο Ο Ο -06 Ο Ο On considère un problème d identification des paramètres a, b, c et c d un signal du type f(t) = a exp ( bt) cos (ct + d), à partir d échantillons [t i, y i ] i=1m du signal f(t) (ces échantillons sont représentés par les ronds sur la figure ci-dessus) On propose de faire cette identification en minimisant la fonction J(a, b, c, d) = 1 2 = 1 2 m (y i f(t i )) 2, i=1 m (y i a exp ( bt i ) cos (ct i + d)) 2 i=1 Le choix d élever au carré la distance entre y i et f(t i ) est bien sûr arbitraire : on aurait pu prendre la valeur absolue, mais le carré permet d obtenir une fonction J différentiable (ceci sera bien sûr clarifié dans la suite) Si nous n ajoutons pas de conditions sur les paramètres a, b, c, d le problème posé est donc du type (P ), avec x = [a, b, c, d] R 4 Ce problème est communément appelé un problème de moindres carrés (non linéaire)

10 10 Motivations et notions fondamentales I13 Un exemple en mécanique u(x) v(x) On considère une corde horizontale de longueur 1 tendue à ses deux extrémités, avec une tension τ La déviation éventuelle de la corde par rapport à sa position d équilibre est désignée par u(x), pour x [0, 1] Les extrémités étant fixées, on aura toujours u(0) = u(1) = 0 On négligera le poids propre de la corde par rapport à la tension τ, cela permet d affirmer qu en l absence d action extérieure, la corde est au repos et on a donc u(x) = 0, x [0, 1] Supposons maintenant que la corde est écartée de sa position d origine Alors on peut montrer que l énergie potentielle associée à cette déformation (supposée petite) est E(u) = τ ( ) du 2 dx (I14) dx En l absence d obstacle, la position de repos u(x) = 0 minimise cette énergie Il peut alors être intéressant d étudier un problème où un obstacle empèche la corde de prendre la position triviale u(x) = 0 Intuitivement, on voit bien que la corde va toucher l obsctale en certains points, mais pas forcément en tous les points de l intervalle [0, 1] (cela va dépendre de la forme de l obstacle) Supposons par exemple que cet obstacle peut être représenté par une fonction v(x) 0 Alors la présence de l obstacle se traduit par la condition u(x) v(x), x ]0, 1[ (I15) Si on veut connaître la déformation u(x) de la corde lorsque l obstacle est présent, on peut donc penser qu il est raisonnable de considérer le problème 1 1 ( ) du 2 min τ dx, u 2 0 dx u(0) = u(1) = 0, u(x) v(x), x ]0, 1[ (I16) Il s agit, techniquement parlant, d un problème de calcul des variations, et donc l inconnue est une fonction (la fonction u(x)) Il parait donc pour l instant impossible de le mettre sous forme standard Cependant, on peut essayer de résoudre un problème approché, en utilisant la méthode des éléments finis : Approximation avec la méthode des éléments finis Puisque l on est en dimension 1 d espace, la méthode est très simple à mettre en oeuvre D une part, on discrétise l intervalle [0, 1] : on considère les abscisses x k = k N, k = 0 N On considère le vecteur U = [U 1,, U N 1 ], ainsi que la fonction u N (x) définie par : u N (x k ) = U k, u N (0) = u N (1) = 0, de plus u N est continue et affine par morceaux

11 I1 Motivations 11 On peut alors montrer que E(u N ) = 1 2 U AU, où A est la matrice (définie positive) A = τn On peut donc proposer la version approchée du problème (I16) : { 1 min U 2 U AU, v(x k ) U k 0, k = 1 N 1 (I17) Il s agit donc d un problème se mettant assurément sous la forme (P CI) De plus la fonction f(u) = 1 2 U AU est assez particulière : il s agit d une forme quadratique (nous y reviendrons plus tard) La fonction g permettant d exprimer les contraintes d inégalité, définie par g(u) = v(x 1 ) U 1 v(x N 1 ) U N 1 ) est de plus linéaire Nous aborderons des méthodes tenant compte de ces particularités,

12 12 Motivations et notions fondamentales I2 Formes quadratiques I21 Définition d une forme quadratique Cours : exemple en mécanique L exemple précédent nous donne une idée, à partir d un problème particulier, de la forme que peut prendre la fonction f Une telle fonction s appelle une forme quadratique Nous allons maintenant étudier leurs propriétés Définition I21 Soit A une matrice symétrique n n et b R n On appelle forme quadratique la fonction f : R n R définie par f(x) = 1 2 x Ax b x Lorsque la matrice A possède certaines propriétés, la fonction f peut prendre un nom particulier La propriété à laquelle nous allons nous intéresser est la positivité : Définition I22 Soit A une matrice symétrique n n et b R n On dit que A est semi-définie positive et on note A 0, quand x Ax 0, x R n On dit que A est définie positive et on note A > 0, quand x Ax > 0, x R n, x 0 Cette définition peut être reliée aux valeurs propres de la matrice A : Propriété I23 Soit A une matrice symétrique n n On note {λ i } i=1n ses valeurs propres (réelles) On a les équivalences suivantes : A 0 λ i 0, i = 1 n, A > 0 λ i > 0, i = 1 n Lorsque la matrice A est définie positive (resp semi-définie positive), on dira que f(x) est une forme quadratique définie positive (resp semi-définie positive) Dans le cas où A est définie positive la fonction f possède un certain nombre de propriétés Nous nous intéressons dans un premier temps aux surfaces f(x) = c où c R

13 I2 Formes quadratiques 13 I22 Propriétés des formes quadratiques définies positives Exemples : Exemple I1 Propriété I24 Soit A une matrice symétrique n n, définie positive et b R n Considérons la forme quadratique On considère la famille de surfaces définie par pour c R, et on définit le vecteur ˆx solution de f(x) = 1 2 x Ax b x γ c = {x R n, f(c) = c}, Aˆx = b Alors γ c est définie de la façon suivante : Si c < f(ˆx) alors γ c = Si c = f(ˆx) alors γ c = {ˆx} Si c > f(ˆx) alors γ c est un ellipsoïde centré en ˆx Démonstration : La matrice A étant diagonalisable, il existe une matrice P (la matrice des vecteurs propres) orthogonale telle que P AP = D, où D = diag (λ 1,, λ n ) avec λ i > 0 On fait le changement de variable y = x ˆx : cela donne et puisque Aˆx = b, on a f(ˆx + y) = f(ˆx) + (Aˆx b) y y Ay, f(x) = f(ˆx) (x ˆx) A(x ˆx) On fait maintenant le changement de variable (x ˆx) = P z, ce qui donne La surface γ c est donc définie par γ c = f(x) = f(ˆx) z P AP z, { = f(ˆx) z Dz, = f(ˆx) z R n, 1 2 n λ i zi 2 i=1 } n λ i zi 2 = c f(ˆx) Si c f(ˆx) < 0 il est clair qu il n y a pas de solution à l équation 1 n λ i zi 2 = c f(ˆx), 2 i=1 i=1 puisque le second membre est toujours positif! Si c = f(ˆx) la seule solution est z = 0, c est à dire x = ˆx Si c > f(ˆx) l équation définit bien un ellipsoïde, puisque les λ i sont positifs Nous avons en fait démontré un résultat très intéressant qui caractérise la valeur minimale prise par f(x) quand x parcourt R n :

14 14 Motivations et notions fondamentales Théorème I25 Soit A une matrice symétrique n n définie positive et b R n, et soit f la forme quadratique associée, définie par f(x) = 1 2 x Ax b x Soit ˆx le vecteur (unique) vérifiant Aˆx = b, alors ˆx réalise le minimum de f, c est à dire f(ˆx) f(x), x R n Ce résultat est une conséquence directe de la propriété I24

15 I3 Rappels de calcul différentiel 15 I3 Rappels de calcul différentiel I31 Définition de la différentiabilité Dans R n on note x le vecteur colonne x = x 1 x n, et la notation désignera, sauf indication du contraire, la norme euclidienne x = ( n k=1 Avant de donner la définition de la différentiabilité, il est important de rappeller celle de la continuité : Définition I31 Soit f : R n R m, on dit que f est continue au point a R n si pour tout réel ɛ > 0 il existe η > 0 tel que x a < η f(x) f(a) < ɛ Voici maintenant la définition de la différentiabilité : x 2 k ) 1 2 Définition I32 Soit f : R n R m représentée dans la base canonique de R m par le vecteur f 1 (x) f(x) =, f m (x) (I31) continue en a R n On dit que f est différentiable en a s il existe une application linéaire, notée f (a), telle que pour tout h R n on ait f(a + h) = f(a) + f (a)h + h ɛ(h), (I32) où ɛ() est une fonction continue en 0 vérifiant lim h 0 ɛ(h) = 0 On appelle f (a) dérivée de f au point a La notation f (a)h doit être prise au sens f (a) appliquée à h Cette notation devient assez naturelle lorsque l on représente f (a) par sa matrice dans les bases canoniques de R n et R m, comme le montre plus bas la proposition I32

16 16 Motivations et notions fondamentales I32 Calcul de la dérivée première Exemples : Exemple I3 Exemple I2 Exercices : Exercice I2 Exercice I1 On peut d ores et déja donner un résultat pratique permettant de calculer directement la dérivée à partir du développement (I32) : Proposition I31 Soit f : R n R m différentiable en a, alors lim t 0 f(a + th) f(a) t = f (a)h Démonstration : On a f(a + th) = f(a) + tf (a)h + t h ɛ(th), d où f (a)h = f(a + th) f(a) t Il suffit de noter que lim t 0 ɛ(th) = 0 pour conclure ± h ɛ(th) La quantité f (a)h est appellée communément dérivée directionnelle de f au point a dans la direction h La proposition suivante fait le lien entre la matrice de f (a) et les dérivées partielles de f au point a : Proposition I32 Soit f : R n R m différentiable en a, alors on peut représenter f (a) par sa matrice dans les bases canoniques de R n et de R m et on a [f (a)] ij = f i x j (a) Démonstration : On note {e 1,, e n } la base canonique de R n Par définition de la matrice, la j ème colonne de f (a) est obtenue en appliquant f (a) au j ème vecteur de la base canonique de R n On obtient donc le vecteur f (a)e j f(a + te j ) f(a) = lim, t 0 t grâce à la proposition I31 La définition de f donnée par (I31) permet d écrire que [f (a)e j f i (a + te j ) f i (a) ] i = lim, t 0 t f i (a 1,, a j + t,, a n ) f i (a 1,, a n ) = lim, t 0 t = f i x j (a) On appelle souvent f (a) la matrice jacobienne de f au point a Lorsque m = 1 on adopte une notation et un nom particuliers : le gradient est le vecteur noté f(a) et défini par f (a) = f(a), et on a f(a + h) = f(a) + f(a) h + h ɛ(h)

17 I3 Rappels de calcul différentiel 17 I33 Dérivée seconde Exemples : Exemple I4 Exercices : Exercice I4 Exercice I3 On se place maintenant dans le cas m = 1, soit f : R n R Définition I33 L application f : R n R est dite deux fois différentiable s il existe une matrice symétrique 2 f(a) telle que f(a + h) = f(a) + f(a) h + h 2 f(a)h + h 2 ɛ(h) On appelle 2 f(a) matrice hessienne de f au point a Comme l énonce le théorème suivant (non démontré), cette matrice s obtient à partir des dérivées secondes de f : Théorème I34 Soit f : R n R une fonction deux fois différentiable en un point a Si on note g(x) = f(x) alors la matrice hessienne est définie par 2 f(a) = g (a), soit [ 2 f(a)] ij = 2 f x i x j

18 18 Motivations et notions fondamentales I4 Notions sur la convexité I41 Définition de la convexité Exemples : Exemple I5 La convexité est à la base une propriété géométrique, assez intuitive d ailleurs, qui permet de caractériser certains objets On voit assez bien ce qu est un objet convexe dans un espace à deux ou trois dimensions Nous allons maintenant montrer comment cette propriété peut aussi s appliquer aux fonctions de R n dans R objet convexe objet non convexe x x y y Définition I41 Un ensemble K R n est dit convexe si pour tout couple (x, y) K 2 et λ [0, 1] on a λx + (1 λ)y K Cette définition peut s interpréter en disant que le segment reliant x et y doit être dans K Elle se généralise de la façon suivante : on dira qu un vecteur y est une combinaison convexe des points {x 1,, x p } si on a p y = λ i x i, i=1 avec λ i 0 et p i=1 λ i = 1 On peut citer quelques cas particuliers : R n tout entier est un ensemble convexe, de même qu un singleton {a} Propriété I42 Soit une famille {K i } i=1p d ensembles convexes et S = p i=1 K i Alors S est convexe

19 I4 Notions sur la convexité 19 I42 Fonctions convexes fonction convexe fonction non-convexe x y x y Définition I43 On dit qu une fonction f : K R, définie sur un ensemble convexe K, est convexe si elle vérifie (x, y) K 2, λ [0, 1], f(λx + (1 λ)y) λf(x) + (1 λ)f(y) On dira que f est strictement convexe si (x, y) K 2, x y, λ ]0, 1[, f(λx + (1 λ)y) < λf(x) + (1 λ)f(y) Lorsque n = 1 cette définition s interprète bien géométriquement : le graphe de la fonction est toujours en dessous du segment reliant les points (x, f(x)) et (y, f(y)) Corollaire I44 On définit pour (x, y) K 2, où K est un ensemble convexe, la fonction ϕ : [0, 1] R par ϕ(t) = f(tx + (1 t)y) Alors on a l équivalence ϕ(t) convexe sur [0, 1], (x, y) K 2 f convexe sur K Démonstration : Si ϕ(t) est convexe sur [0, 1] on a en particulier ϕ(λ) λϕ(1) + (1 λ)ϕ(0), λ [0, 1], ce qui donne exactement f(λx + (1 λ)y) λf(x) + (1 λ)f(y) La réciproque est admise

20 20 Motivations et notions fondamentales I43 Caractérisation de la convexité en termes du hessien Exemples : Exemple I6 Dans le cas où f : K R R on a le résultat suivant : Propriété I45 Si f : R R est 2 fois continûment dérivable sur K convexe alors f est convexe si et seulement si f (x) 0, x K et strictement convexe si et seulement si f (x) > 0, x K (sauf éventuellement en des points isolés) Ce résultat se généralise pour n > 1 : le résultat suivant fait le lien entre le hessien et la propriété de convexité : Théorème I46 Soit f : K R n R une fonction deux fois différentiable, alors f est convexe si et seulement si 2 f(x) 0, x K, et strictement convexe si et seulement si 2 f(x) > 0, x K Démonstration : La démonstration fait appel à un résultat obtenu dans l exercice I1 : si on définit ϕ(t) = f(x + ty) alors on a ϕ (t) = y 2 f(x + ty)y, et on sait grâce a la propriété I45 que f convexe si ϕ (t) 0, t On aura donc f convexe si et seulement si y 2 f(x + ty)y 0, (x, y) K 2, d où le résultat Le corrolaire suivant est immédiat : Propriété I47 Soit f une forme quadratique définie par f(x) = 1 2 x Ax b x, alors f est convexe si et seulement si A 0, et strictement convexe si et seulement si A > 0 Cela provient du fait que 2 f(x) = A (voir l exemple I4)

21 I4 Notions sur la convexité 21 I44 Caractérisation de la convexité en termes du gradient Dans le cas où la fonction f n est supposée qu une fois différentiable, on a le résultat suivant : Théorème I48 Soit f : K R n R une fonction une fois différentiable, alors f est convexe si et seulement si f(y) f(x) + f(x) (y x), (x, y) K 2 La fonction f est strictement convexe si et seulement si f(y) > f(x) + f(x) (y x), (x, y) K 2, x y On voit bien l interprétation géométrique de ce dernier resultat quand n = 1 : le graphe d une fonction convexe f se trouve toujours au-dessus de la tangente en un point donné

22 22 Motivations et notions fondamentales I5 Résultats d existence et d unicité I51 Théoremes généraux d existence Considérons notre problème d optimisation I11 introduit au début du cours, que l on écrira pour l occasion un peu différemment, en mettant les contraintes sous la forme x K R n : min f(x) x K (I51) Nous allons donner deux résultats très généraux d existence d une solution au problème (I51) Auparavant nous avons besoin de la définition d un ensemble compact : Définition I51 Un ensemble K R n est dit compact si, de toute suite {x k }, où x k K, k, on peut extraire une sous-suite convergente Nous donnons le théorème suivant sans démonstration : Théorème I52 Un ensemble K R n est compact si et seulement si il est fermé et borné Dans R, les intervalles fermés du type [a, b] (ou des reunions de tels intervalles) sont compacts La notion de fermeture signifie qu une suite {x k }, où x k K, k, doit converger vers une limite x K Pour illustrer sur un exemple qu un intervalle ouvert dans R ne peut pas être compact, on peut considérer l exemple suivant Soit K =]0, 1] et la suite x k = 1/k, on a bien x k K mais lim k = 0 K Voici maintenant deux résultats d existence, dont les démonstrations peuvent ètre consultées dans les documents Théorème I53 Si f : K R n R est continue et si de plus K est un ensemble compact, alors le problème (I51) admet une solution optimale ˆx K, qui vérifie donc f(ˆx) f(x), x K Le second résultat est moins général car il considère le cas particulier K = R n : Théorème I54 Soit f : R n R une fonction continue sur R n Si alors (I51) admet une solution optimale ˆx lim f(x) =, x Démonstration : Soit x 0 R n Puisque lim x f(x) = il existe M > 0 tel que x > M f(x) > f(x 0 ), donc M > 0, f(x) f(x 0 ) x M Puisque ˆx est caractérisé par f(ˆx) f(x), x R n, on a donc forcément ˆx M Donc ˆx est solution du problème min x M f(x), et le théorème précédent s applique, la boule {x R n, x M} étant compacte

23 I5 Résultats d existence et d unicité 23 I52 Unicité L unicité résulte en général de propriétés de convexité (de f et de K) Théorème I55 Soit f : K R n R strictement convexe sur K convexe Le minimum de f sur K, s il existe, est unique Démonstration : Soit donc ˆx K tel que f(ˆx) f(x), x K Supposons qu il existe ŷ ˆx tel que f(ŷ) f(x), x K Formons pour λ ]0, 1[ le vecteur u = λŷ + (1 λ)ˆx D après la stricte convexité de f et puisque nécessairement f(ŷ) = f(ˆx) on a f(u) < λf(ŷ) + (1 λ)f(ˆx) = f(ˆx), ce qui contredit le fait que ˆx soit un minimum On a donc ˆx = ŷ

24 24 Motivations et notions fondamentales I6 Conditions nécessaires d optimalité en l absence de contraintes I61 Conditions nécessaires On va maintenant regarder de plus près le cas où K = R n, c est à dire le problème sans contraintes (P ) Dans le cas où f est différentiable, on a le résultat suivant : Théorème I61 Soit f : R n R différentiable et ˆx vérifiant f(ˆx) f(x), x R n, alors on a nécessairement f(ˆx) = 0 Démonstration : Pour tout t R et pour tout h R n on a f(ˆx) f(ˆx + th) On a donc et f(ˆx) f(ˆx + th) lim t 0 + = f(ˆx) h 0, t f(ˆx) f(ˆx + th) lim t 0 = f(ˆx) h 0, t donc f(ˆx) h = 0, h R n, donc f(ˆx) = 0 (prendre par exemple h = f(ˆx))

25 I6 Conditions nécessaires d optimalité en l absence de contraintes 25 I62 Conditions nécessaires et suffisantes La condition de gradient nul devient suffisante dans le cas où f est convexe : Théorème I62 Soit f : R n R convexe et différentiable Si ˆx vérifie f(ˆx) = 0, alors on a f(ˆx) f(x), x R n Démonstration : Soient x R n et λ [0, 1] Puisque f est convexe on a f(λˆx + (1 λ)x) λf(x) + (1 λ)f(ˆx) On retranche f(ˆx) de chaque côté de l inégalité, on note que λx + (1 λ)ˆx = ˆx + λ(x ˆx), puis in divise par λ, ce qui donne l inégalité Et si on fait tendre λ vers 0 on obtient f(ˆx + λ(x ˆx)) f(ˆx) λ f(x) f(ˆx) f(ˆx) (x ˆx) f(x) f(ˆx), donc 0 f(x) f(ˆx) Lorsque la fonction n est pas convexe, on ne peut donner qu une condition nécessaire et suffisante d optimalité locale On désignera par minimum local (que l on oppose au minimum global) un vecteur vérifiant les conditions suivantes : Définition I63 On appellera x minimum local de f, s il existe δ > 0 tel que f(x ) f(x), x, x x δ Dans le cas où f est deux fois différentiable on peut alors donner le résultat suivant : Théorème I64 Soit f : R n R deux fois différentiable Si { f(x ) = 0, 2 f(x ) > 0, alors x est un minimum local de f Démonstration : On a On a donc pour t > 0 f(x + th) = f(x ) + t f(x ) h + t2 2 h 2 f(x )h + t 2 h 2 ε(th), = f(x ) + t2 2 h 2 f(x )h + t 2 h 2 ε(h) f(x + th) f(x ) t 2 = 1 2 h 2 f(x )h + h 2 ε(th) Donc si t est suffisamment petit on aura bien f(x + th) f(x ) > 0 puisque 2 f(x ) > 0

26 26 Motivations et notions fondamentales Exemples du chapitre I Exemple I1 Courbes de niveau d une forme quadratique dans R 2 On considère la fonction f(x) = 1 2 x Ax b x où A est une matrice symétrique 2 2 définie positive On note P la matrice des vecteurs propres et λ 1 > λ 2 > 0 les deux valeurs propres Notons ˆx la solution du système linéaire Aˆx = b On a montré que les courbes iso-valeurs sont définies par l équation 1 2 (λ 1z λ 2 z 2 2) = c f(ˆx), où on a effectué le changement de variable z = P (x ˆx) Si on a c f(ˆx), l équation ci-dessus définit une ellipse dans le repère (z 1, z 2 ), dont l équation canonique est donnée par avec a = z 1 a 2 z = 1, b 2(c f(ˆx)) 2(c f(ˆx)), b = λ 1 λ 2 On sait que l on peut décrire cette ellipse par la courbe paramétrique z(t), t [0, 2π] avec ( ) a cos t z(t) =, b sin t donc l équation paramétrique de la courbe x(t) dans le repère original est ( ) a cos t x(t) = ˆx + P b sin t Lancer la simulation Exemple I2 Gradient d une fonction quadratique On considère la fonction f(x) = 1 2 x Ax b x où A est une matrice carrée symétrique n n On a f(x + th) = 1 2 x Ax t2 h Ah + tx Ah + b (x + th), = f(x) + t(x A b )h t2 h Ah, on a donc f(x + th) f(x) = (Ax b) h + 1 t 2 th Ah 1 Puisque lim t 0 2 th Ah = 0, on a donc f(x) = Ax b

27 Exemples du chapitre I 27 Exemple I3 Dérivée d une fonction affine On considère la fonction f(x) = Cx+d où C est une matrice m n On a f(x+h) = Cx+Ch + d = f(x) + Ch Donc f (x) = C, x R n On notera qu ici f est différentiable pour tout x R n, ce qui n est pas forcément le cas quand f est quelconque Exemple I4 Matrice hessienne d une fonction quadratique n n L exemple précédent nous a donné f(x) = Ax b Puisque la matrice hessienne est la dérivée du gradient on a donc 2 f(x) = A Exemple I5 Combinaison convexe de points dans le plan Lancer la simulation Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Considérons un ensemble de points du plan {x 1,, x p } La simulation qui est proposée ici permet de générer aléatoirement un très grand nombre de points de la forme y k = p i=1 λ i x i, en tirant aléatoirement les coefficients {λ i } i=1p suivant une loi uniforme sur [0, 1], renormalisés en les divisant par leur somme, de façon à ce que l on ait toujours p i=1 λ i = 1 Le polygone limite contenant tous les points générés s appelle l enveloppe convexe des points {x 1,, x p } Exemple I6 Convexité d une fonction quadratique On considère la fonction f(x) = 1 2 x Ax b x où A est une matrice carrée symétrique Puisque 2 f(x) = A (voir l exemple précédent), f est convexe si et seulement si A 0, strictement convexe lorsque A > 0

28 28 Motivations et notions fondamentales Exercices du chapitre I Exercice I1 Calcul d une dérivée composée Soit f : R n R définie par et x : R R n On définit la fonction réelle g(t) = f(x(t)) Calculer g (t) Exercice I2 Calcul du gradient d une fonction quadratique On considère la fonction f(x) = 1 2 x Ax b x où A est une matrice n n Montrer que l on a f(x) = 1 2 (A + A )x b Exercice I3 Calcul d une dérivée seconde composée Soit f : R n R définie par et x : R R n On définit la fonction réelle g(t) = f(x(t)) Calculer g (t) dans le cas où x(t) = (u + tv) où u et v sont deux vecteurs de R n, puis pour x(t) quelconque Exercice I4 Calcul du hessien d une fonction quadratique On considère la fonction f(x) = 1 2 x Ax b x où A est une matrice n n Montrer que l on a 2 f(x) = 1 2 (A + A )

29 Chapitre II Les méthodes de gradient II1 Les méthodes de descente 30 II11 Principe des méthodes de descente 30 II2 Les méthodes de gradient 31 II21 Principe des méthodes de gradient 31 II22 La méthode du gradient à pas optimal 32 II23 Calcul du pas optimal dans le cas quadratique 33 Exemples du chapitre II 34

30 30 Les méthodes de gradient II1 Les méthodes de descente II11 Principe des méthodes de descente Définition II11 Soit f : R n R On dira qu un vecteur d est une direction de descente en x s il existe t > 0 tel que f(x + td) < f(x), t ]0, t] Le principe d une méthode de descente consiste à faire les itérations suivantes x k+1 = x k + t k d k, t k > 0, (II11) tout en assurant la propriété f(x k+1 ) < f(x k ) Le vecteur d k est la direction de descente en x k Le scalaire t k est appelé le pas de la méthode à l itération k On peut caractériser les directions de descente en x k à l aide du gradient : Proposition II11 Soit d R n vérifiant alors d est une direction de descente en x f(x) d < 0, Démonstration : on a pour t > 0 f(x + td) = f(x) + t f(x) d + tε(t), donc si on écrit f(x + td) f(x) = f(x) d + ε(t), t on voit bien que pour t suffisamment petit on aura f(x + td) f(x) < 0 Dans la méthode (II11) le choix de t k est lié à la fonction ϕ(t) = f(x k + td k ), en particulier, une façon de choisir t k peut être de résoudre le problème d optimisation (à une seule variable) min t>0 ϕ(t) Le pas ˆt k obtenu ainsi s appelle le pas optimal La fonction ϕ(t) = f(x k + td k ) étant différentiable, on a alors nécessairement ϕ (ˆt k ) = f(x k + ˆt k d k ) d k = 0

31 II2 Les méthodes de gradient 31 II2 Les méthodes de gradient II21 Principe des méthodes de gradient Exemples : Exemple II1 On cherche à déterminer la direction de descente qui fait décroitre ϕ(t) = f(x + td) le plus vite possible (au moins localement) Pour cela on va essayer de minimiser la dérivée de ϕ(t) en 0 On a et on cherche d solution du problème La solution est bien sûr ϕ (0) = f(x) d, min ϕ (0) d R n, d =1 d = f(x) f(x), en vertu de l inégalité de Schwartz Il y a ensuite de nombreuses façon d utiliser cette direction de descente On peut par exemple utiliser un pas fixé a priori t k = ρ > 0, k On obtient alors la méthode du gradient simple : { dk = f(x k ), x k+1 = x k + ρd k Sous certaines hypothèses de régularité (f deux fois différentiable) cette méthode converge si ρ est choisi assez petit

32 32 Les méthodes de gradient II22 La méthode du gradient à pas optimal La méthode du gradient à pas optimal consiste à faire les itérations suivantes { dk = f(x k ), x k+1 = x k + t k d k, (II21) où t k est choisi de manière à ce que f(x k + t k d k ) f(x k + td k ), t > 0 (II22) Cette méthode possède une propriété interessante : Proposition II21 Soit f : R n R une fonction différentiable Les directions de descente d k générées par la méthode (II21)-(II22) vérifient d k+1 d k = 0 Démonstration : Si on introduit la fonction ϕ(t) = f(x k + td k ), on a ϕ (t) = f(x k + td k ) d k, et puisque ϕ est dérivable on a nécessairement ϕ (t k ) = 0 donc f(x k + t k d k ) d k = f(x k+1 ) d k = d k+1 d k = 0

33 II2 Les méthodes de gradient 33 II23 Calcul du pas optimal dans le cas quadratique Exemples : Exemple II2 On a f(x) = 1 2 x Ax b x avec A > 0 et on note ϕ(t) = f(x k + td k ) Le pas optimal t k est caractérisé par ϕ (t k ) = 0, on a donc soit on obtient donc f(x k + t k d k ) d k = (A(x k + t k d k ) b) d k = 0, ( f(x k ) + t k Ad k ) d k = 0, t k = f(x k) d k d k Ad, k qui est bien positif car d k est une direction de descente et d k Ad k > 0 (car A > 0) La méthode du gradient à pas optimal peut donc s écrire (dans le cas quadratique) d k = b Ax k, t k = d k d k d k Ad, k x k+1 = x k + t k d k (II23)

34 ΟΟ Ο ΟΟ Ο 34 Les méthodes de gradient Exemples du chapitre II Exemple II1 Méthode du gradient simple dans le cas quadratique Dans le cas où f(x) = 1 2 x Ax b x la méthode du gradient simple peut s écrire { dk = b Ax k, x k+1 = x k + ρd k, (II24) où ρ > 0 est fixé a priori Il existe bien sûr des conditions sur ρ pour que la méthode converge Nous illustrons ici le fonctionnement de la méthode dans le cas n = 2 sur une petite simulation 11 7 Lancer la simulation ΟΟ Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Exemple II2 Méthode du gradient à pas optimal dans le cas quadratique Dans le cas où f(x) = 1 2 x Ax b x la méthode du gradient à pas optimal peut s écrire d k = b Ax k, t k = d k d k d k Ad, k x k+1 = x k + t k d k, Nous illustrons ici le fonctionnement de la méthode dans le cas n = 2 sur une petite simulation Ο (II25) Ο Ο Ο Ο Ο Lancer la simulation Ο Ο Ο

35 Chapitre III La méthode du gradient conjugué III1 Introduction 36 III11 Directions conjuguées 36 III12 Lemme fondamental 37 III2 La méthode du gradient conjugué 39 III21 Algorithme de la méthode du gradient conjugué 39 III22 La méthode du gradient conjugué dans le cas général 41 III3 Interprétation de la méthode du gradient conjugué 42 III31 Interprétation de la méthode du gradient conjugué 42 III32 Convergence de la méthode du gradient conjugué 44

36 36 La méthode du gradient conjugué III1 Introduction III11 Directions conjuguées Définition III11 Soit A une matrice symétrique n n, définie positive On dit que deux vecteurs x et y de R n sont A conjugués (ou conjugués par rapport à A) s il vérifient x Ay = 0 (III11) La matrice A étant définie positive, la forme bilinéaire a(x, y) = x Ay définit un produit scalaire et la relation (III11) traduit l orthogonalité des vecteurs x et y pour ce produit scalaire La démonstration du théorème suivant est laissée en exercice Théorème III12 Si {d 0, d 1,, d k } sont des directions A conjuguées deux à deux, soit alors elles sont linéairement indépendantes d i Ad k = 0, i, j, i < j k, Considérons maintenant dans R 2 une méthode de descente appliquée à la minimisation d une forme quadratique définie positive f(x) = 1 2 x Ax b x : x 1 = x 0 + ρ 0 d 0, x 2 = x 1 + ρ 1 d 1, avec d 0 et d 1 deux directions A conjuguées et ρ 0 et ρ 1 déterminés de façon optimale On a donc les relations suivantes : f(x 1 ) d 0 = (Ax 1 b) d 0 = 0, f(x 2 ) d 1 = (Ax 2 b) d 1 = 0, car ρ 0 et ρ 1 sont optimaux Montrons que l on a de plus On a f(x 2 ) d 0 = 0 f(x 2 ) d 0 = (Ax 2 b) d 0 = (A(x 1 + ρ 1 d 1 ) b) d 0, = (Ax 1 b) d 0 + ρ 1 d 1 Ad 0, = 0 Puisque f(x 2 ) d 0 = f(x 2 ) d 1 = 0 et d 0, d 1 linéairement indépendants, on a f(x 2 ) = 0, x 2 réalise donc le minimum de f sur R 2 La relation de conjugaison permet donc à la méthode de descente de converger en deux itérations (dans le cas où n = 2) Définition III13 Soit {d 0, d 1,, d n } une famille de vecteur A conjugués On appelle alors méthode de directions conjuguées la méthode { x0 donné x k+1 = x k + ρ k d k, ρ k optimal On va maintenant montrer la propriété vérifiée pour n = 2, à savoir x n = ˆx où ˆx réalise le minimum de f(x) = 1 2 x Ax b x, est valable pour tout n

37 III1 Introduction 37 III12 Lemme fondamental On se donne a priori une famille {d 0, d 1,, d n } de directions conjuguées et on note E k = Vect(d 0, d 1,, d k 1 ), le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs d 0, d 1,, d k 1 Par construction, l algorithme de directions conjugué { x0 donné, (III12) x k+1 = x k + ρ k d k, ρ k optimal, construit itérativement un vecteur x k vérifiant Voici l énoncé du lemme fondamental : x k x 0 + E k Lemme III14 Le vecteur x k défini par l algorithme (III12) réalise le minimum de f(x) = 1 2 x Ax b x sur le sous espace x 0 + E k, c est à dire x k x 0 + E k et f(x k ) f(x), x x 0 + E k Pour la démonstration de ce lemme nous aurons besoin du théorème suivant : Théorème III15 Une condition nécessaire et suffisante pour que x k E k + x 0 réalise le minimum de f(x) = 1 2 x Ax b x sur le sous espace x 0 + E k est Démonstration : donc pour tout t R, On a donc soit soit Si l on fait tendre t vers zéro, on en conclut que f(x k ) d i = 0, i = 0,, k 1 Condition nécéssaire : supposons que f(x k ) f(x), x x 0 + E k On a f(x k ) f(x k + td), d E k (f(x k + td) f(x k ))/t 0, si t > 0, (f(x k + td) f(x k ))/t 0, si t < 0 f(x k ) d = 0, d E k, donc en particulier f(x k ) d i = 0, i = 0,, k 1 On admettra que la condition est suffisante Démonstration du lemme fondamental : Pour k = 1 on a x 1 = x 0 + ρ 0 d 0, avec ρ 0 optimal, c est à dire f(x 1 ) d 0 = 0 Puisque d 0 E 1 la propriété est donc vérifiée pour k = 1 Supposons maintenant que la propriété est vérifiée à l ordre k : f(x k ) d i = 0, i = 0,, k 1

38 38 La méthode du gradient conjugué D une part ρ k est optimal donc f(x k+1 ) d k = 0 D autre part on a pour 0 i < k f(x k+1 ) d i = (A(x k + ρ k d k ) b) d i, = (Ax k b) d i + ρ k d k Ad i = 0, car ρ k est optimal et d k Ad i = 0 (conjugaison) On a donc ce qui démontre le lemme fondamental f(x k+1 ) d i, i = 0,, k, Un corollaire direct est donc que la méthode de directions conjuguées converge en n itérations au plus, puisque E n 1 = R n

39 III2 La méthode du gradient conjugué 39 III2 La méthode du gradient conjugué III21 Algorithme de la méthode du gradient conjugué L idée de la méthode est de construire itérativement des directions d 0,, d k muutellement conjuguées A chaque étape k la direction d k est obtenue comme combinaison linéaire du gradient en x k et de la direction précédente d k 1, les coefficients étant choisis de telle manière que d k soit conjuguée avec toutes les directions précédentes Si l on note g k = f(x k ), l algorithme prend la forme suivante On se donne x 0 et on pose d 0 = g 0 x k+1 = x k + ρ k d k, avec (III21) ρ k = g k d k, d k Ad k (III22) d k+1 = g k+1 + β k d k, avec (III23) β k = g k+1 Ad k d k Ad k (III24) Notons d une part que la formule (III22) définit bien le pas optimal : en effet on a bien f(x k+1 ) d k = g k d k + ρ k d k Ad k = 0 On va maintenant montrer que l algorithme ci-dessus définit bien une méthode de directions conjuguées Théorème III21 A une itération k quelconque de l algorithme où l optimum n est pas encore atteint, c est à dire g k 0, on a : ρ k = g k g k d k Ad k, β k = g k+1 (g k+1 g k ) g k g k (III25) (III26) et les directions d 0,, d k+1 sont mutuellement conjuguées, = g k+1 g k+1 gk g, (III27) k On raisonne par récurrence sur k en supposant que d 0,, d k sont mutuel- Démonstration : lement conjuguées - Montrons d abord l équivalence de III22 et III25 Comme d 0,, d k sont mutuellement conjuguées x k réalise le minimum de f sur x 0 + E k, on a g k d k 1 = 0 d où g k d k = g k ( g k + β k d k 1 ) = g k g k - Pour montrer (III26) on note que g k+1 g k = A(x k+1 x k ) = ρ k Ad k, (III28) on a alors g k+1 Ad k = 1 ρ k g k+1 (g k+1 g k ),

40 40 La méthode du gradient conjugué et en utilisant (III25) il vient bien β k = g k+1 (g k+1 g k ) gk g, k ce qui démontre (III26) On a de plus g k+1 g k = 0 car g k = d k β k 1 d k 1 appartient à E k+1 et que g k+1 est orthogonal à ce sous-espace (les directions d 0,, d k sont conjuguées, par hypothèse de récurrence), ceci démontre (III27) - Montrons maintenant que d k+1 Ad i = 0, pour i = 0,, k On a d une part par définition de β k D autre part, on a pour i < k d k+1 Ad k = ( g k+1 + β k d k ) Ad k = 0, d k+1 Ad i = g k+1 Ad i + β k d k Ad i, avec d k Ad i = 0 en vertu de l hypothèse de récurrence On a ensuite, en utilisant la formule (III28] et si l on note que on a bien g k+1 Ad i = 1 ρ i g k+1 (g i+1 g i ), g i+1 g i = d i+1 + (β i + 1)d i β i 1 d i 1, g k+1 (g i+1 g i ) = 0, car gk+1 d i+1 = gk+1 d i = gk+1 d i 1 = 0, en vertu du fait que g k+1 est orthogonal à E k+1 et que i < k On a donc bien d k+1 Ad i = 0, ce qui achève la démonstration

41 III2 La méthode du gradient conjugué 41 III22 La méthode du gradient conjugué dans le cas général La méthode de Fletcher et Reeves est une extension directe de la méthode du Gradient conjugué pour les fonction quelconques Appliquée à une fonction quadratique, elle se comporte comme cette dernière : On se donne x 0 et on pose d 0 = f(x 0 ) x k+1 = x k + ρ k d k, avec ρ k optimal (III29) d k+1 = f(x k+1 ) + β k d k, avec (III210) β k = f(x k+1) 2 f(x k ) 2 (III211) Cette méthode est intéressante car elle ne nécéssite pas de stocker une matrice (contrairement aux méthodes qui seront vues dans les chapitres suivants) Sa vitesse de convergence est très supérieure à celle de la méthode du gradient (ce point sera clarifié pour le cas quadratique dans le grain suivant) La variante dite de Polak-Ribière consiste à définir β k par la formule (III26) On peut démontrer la convergence de la méthode de Fletcher-Reeves pour une classe assez large de fonctions f, ce qu on ne peut pas faire pour la variante de Polak-Ribière Par contre on peut montrer que cette dernière converge plus rapidement (quand elle converge effectivement!), c est donc la méthode qui est utilisée en général L efficacité de la méthode du gradient conjugué repose essentiellement sur deux points : La recherche linéaire (détermination du pas optimal) doit être exacte, Les relations de conjugaison doivent être précises La recherche du pas optimal doit être réalisée à l aide d un algorithme spécifique (c est l objet du prochain chapitre) puisque f est quelconque Par contre la notion de conjugaison n a pas de sens dans le cas non-quadratique (sauf près de l optimum, mais on ne le connaît pas Il faut donc tester au cours des itérations si l hypothèse d approximation quadratique est vérifiée On peut surveiller les indicateurs suivants f(x k+1 ) f(x k ) doit être petit On doit avoir f(x k+1 ) d k+1 f(x k+1 ) d k+1 α, avec 0 < α 0 pas trop petit, c est à dire que d k+1 doit être une direction de descente «raisonnable» Dans le cas où ces conditions ne sont pas vérifiées, on rompt la conjugaison et on redémarre l algorithme avec d k+1 = f(x k+1 ) On peut aussi décider de faire ce redémarrage arbitrairement toutes les p itérations (p fixé de l ordre de n par exemple)

42 42 La méthode du gradient conjugué III3 Interprétation de la méthode du gradient conjugué III31 Interprétation de la méthode du gradient conjugué Définition III31 On appelle kième sous-espace de Krylov associé à la matrice A et au vecteur g 0 le sous espace K k = Vect(g 0, Ag 0,, A k 1 g 0 ) Par construction, dans la méthode du gradient conjugué appliqué au cas quadratique, on a E k = K k, comme le montre le résultat suivant : Proposition III31 Dans la méthode du gradient conjugué on a E k = Vect(d 0, d 1,, d k 1 ) = Vect(g 0, Ag 0,, A k 1 g 0 ) Démonstration : Cette propriété est vérifiée à l ordre k = 1 puisque d 0 = g 0 Supposons qu elle soit vérifiée à l ordre k On a alors la formule (III26) qui nous permet d écrire d k+1 = A(x k + ρ k d k ) b + β k d k, = g k + ρ k Ad k + β k d k, = d k β k 1 d k 1 + ρ k Ad k + β k d k, ce qui permet de conclure que d k+1 K k+1 La propriété est donc vérifiée pour tout k > 0 Comme dans le cas de l algorithme du gradient à pas optimal, nous choisissons maintenant de mesurer la distance séparant x k du vecteur ˆx = A 1 b à l aide de la fonction définie par E(x) = x ˆx 2 A = (x ˆx) A(x ˆx) Minimiser E(x) est équivalent à minimiser f(x) = 1 2 x Ax b x comme le montre la proposition suivante (à démontrer en exercice) Proposition III32 Soit f(x) = 1 2 x Ax b x une forme quadratique définie positive et ˆx = A 1 b On a E(x) = (x ˆx) A(x ˆx) = f(x) + c, où c est une constante On va maintenant illustrer d un autre point de vue la convergence particulière de l algorithme du gradient conjugué Tout vecteur x x 0 + E k s écrit et comme g 0 = Ax 0 b = A(x 0 ˆx) on a donc k 1 x = x 0 + γ j A j g 0, j=0 k 1 x ˆx = x 0 ˆx + γ j A j+1 (x 0 ˆx) = p(a)(x 0 ˆx), j=0 où le polynôme k 1 p(z) = 1 + γ j z j+1 j=0

43 III3 Interprétation de la méthode du gradient conjugué 43 est de degré k et satisfait p(0) = 1 Puisque le vecteur x k obtenu à l étape k de l algorithme du gradient conjugué vérifie f(x k ) f(x), x E k + x 0, on a, en vertu du résultat démontré dans la proposition précédente, pour tout polynome p P k vérifiant p(0) = 1 E(x k ) = x k ˆx 2 A p(a)(x 0 ˆx) 2 A,

44 44 La méthode du gradient conjugué III32 Convergence de la méthode du gradient conjugué Le résultat suivant va nous permettre de retrouver d une autre manière la propriété de convergence finie de l algorithme du GC : Proposition III33 Soit A une matrice définie positive et x k le vecteur obtenu à l étape k de l algorithme du GC Alors on a E(x k ) E(x 0 ) min max p P k,p(0)=1 z σ(a) p(z)2 Démonstration : Puisque la matrice A est définie positive il existe une matrice orthogonale U telle que A = UDU avec D =diag(λ 1,, λ n ), où σ(a) = {λ i } i=1n sont les valeurs propres de A Si on définit A 1/2 = UD 1/2 U on a x 2 A A = 1/2 x 2, donc p(a)(x 0 ˆx) 2 A A = 1/2 p(a)(x 0 ˆx) 2 p(a) 2 x 0 ˆx 2 A, où on a utilisé la propriété que p(a) et A 1/2 commutent (ces deux matrices ont les mêmes vecteurs propres) Puisque l on a aussi A j = UD j U les valeurs propres de p(a) sont données par les nombres p(λ i ) pour i = 1 n, et donc p(a) 2 = max i=1n p(λ i) 2 On a donc bien E(x k ) E(x 0 ) min max p P k,p(0)=1 z σ(a) p(z)2 On a le corollaire suivant, qui permet d exhiber le polynôme optimal p(z) pour k = n : Théorème III32 Soit A une matrice définie positive L algorithme du GC converge en n itérations au plus Plus précisément, si la matrice A possède k n valeurs propres distinctes, alors L algorithme du GC converge en k itérations au plus Démonstration : Dans les deux cas possibles, notons p(z) = Π k λ i z i=1 λ i On a bien p(z) de degré k, p(0) = 1 et par construction p(λ i ) = 0 pour i = 1 k En vertu du résultat montré dans la proposition III33, on a donc E(x k ) = 0, soit x k = ˆx La méthode du gradient conjugué étant en général utilisée comme une méthode itérative, il est intéressant de la comparer à la méthode du gradient à pas optimal Le résultat suivant sera admis (la démonstration repose sur la détermination d un polynôme particulier p(z) solution d un problème de moindre carrés)

45 III3 Interprétation de la méthode du gradient conjugué 45 Théorème III33 Soit A une matrice définie positive et x k le vecteur obtenu à l étape k de l algorithme du GC Alors on a ( ) 2k χ(a) 1 E(x k ) 4E(x 0 ), χ(a) + 1 où on a noté χ(a) = λ n /λ 1 le conditionnement de A pour la norme euclidienne Pour l algorithme du gradient à pas optimal on avait E(x k ) E(x 0 ) ( ) χ(a) 1 2k, χ(a) + 1 on voit donc que pour une même matrice A, la méthode du gradient conjugué convergera plus rapidement Cependant cette estimation peut être très pessimiste car dans le cas où les valeurs propres sont groupées autour de valeurs distinctes, on peut être très proche du cas ou certaines valeurs propres sont multiples (et ou le nombre théorique d itérations est inférieur à n) tout en ayant un mauvais conditionnement

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47 Chapitre IV Méthodes de recherche linéaire IV1 introduction 48 IV11 But de la recherche linéaire 48 IV12 Intervalle de sécurité 49 IV2 Caractérisation de l intervalle de sécurité 50 IV21 La règle d Armijo 50 IV22 La règle de Goldstein 51 IV23 La règle de Wolfe 52 IV24 Réduction de l intervalle 53 IV25 Réduction de l intervalle par interpolation cubique 54

48 48 Méthodes de recherche linéaire IV1 introduction IV11 But de la recherche linéaire On a vu que dans le cas non-quadratique les méthodes de descente : x k+1 = x k + t k d k, t k > 0, nécéssitent la recherche d une valeur de t k > 0, optimale ou non, vérfiant f(x k + t k d k ) f(x k ) On définit comme précedemment la fonction ϕ(t) = f(x k +td k ) Rappellons que si f est différentiable, le pas optimal ˆt peut être caractérisé par { ϕ (ˆt) = 0, ϕ(ˆt) ϕ(t), pour 0 t ˆt, autrement dit, ˆt est un minimum local de ϕ qui assure de plus la décroissance de f En fait, dans la plupart des algorithmes d optimisation modernes, on ne fait jamais de recherche linéaire exacte, car trouver ˆt signifie qu il va falloir calculer un grand nombre de fois la fonction ϕ, et cela peut être dissuasif du point de vue du temps de calcul En pratique, on recherche plutot une valeur de t qui assure une décroissance suffisante de f Cela conduit à la notion d intervalle de sécurité

49 IV1 introduction 49 IV12 Intervalle de sécurité Définition IV11 On dit que [a, b] est un intervalle de sécurité s il permet de classer les valeurs de t de la façon suivante : Si t < a alors t est considéré trop petit, Si b t a alors t est satisfaisant, Si t > b alors t est considéré trop grand Le problème est de traduire de façon numérique sur ϕ les trois conditions précédentes, ainsi que de trouver un algorithme permettant de déterminer a et b L idée est de partir d un intervalle suffisament grand pour contenir [a, b], et d appliquer un bonne stratégie pour itérativement réduire cet intervalle Algorithme de base Initialement, on part de [α, β] contenant I = [a, b], par exemple en prenant α = 0 et β tel que ϕ(β) > ϕ(0) (une telle valeur de β existe avec un minimum d hypothèses, par exemple f coercive) On fait ensuite les itérations suivantes : 1 On choisit t dans l intervalle [α, β] 2 Si t est trop petit on prend α = t et on retourne en 1 3 Si t est trop grand on prend β = t et on retourne en 1 4 Si t convient on s arrète Il faut maintenant préciser quelles sont les relations sur ϕ qui vont nous permettre de caractériser les valeurs de t convenables, ainsi que les techniques utilisées pour réduire l intervalle (point nř1 cidessus)

50 50 Méthodes de recherche linéaire IV2 Caractérisation de l intervalle de sécurité IV21 La règle d Armijo Dans la règle d Armijo on prend α = 0, un réel 0 < m < 1 La règle est la suivante : ϕ(t) m 1 ϕ (0) a b t ϕ (0) Règle d Armijo Si ϕ(t) ϕ(0) + mϕ (0)t, alors t convient Si ϕ(t) > ϕ(0) + mϕ (0)t, alors t est trop grand On peut noter que l on a ϕ(0) = f(x k ), ϕ (0) = f(x k ) d k Puisque α = 0, t n est jamais considéré trop petit, c est pourquoi la règle d Armijo est peu utilisée seule

51 IV2 Caractérisation de l intervalle de sécurité 51 IV22 La règle de Goldstein En ajoutant une deuxième inégalité à la règle d Armijo on obtient la règle de Goldstein, où m 1 et m 2 sont deux constantes vérifiant 0 < m 1 < m 2 : ϕ(t) m 1 ϕ (0) a b t ϕ (0) m 2 ϕ (0) Règle de Goldstein Si ϕ(t) < ϕ(0) + m 2 ϕ (0)t, alors t est trop petit Si ϕ(t) > ϕ(0) + m 1 ϕ (0)t, alors t est trop grand si ϕ(0) + m 1 ϕ (0)t ϕ(t) ϕ(0) + m 2 ϕ (0)t, alors t convient Le choix de m 2 doit être tel que dans le cas quadratique, le pas optimal appartienne à l intervalle de sécurité (c est bien la moindre des choses) Dans le cas quadratique on a ϕ(t) = 1 2 at2 + ϕ (0)t + ϕ(0), a > 0, et le pas optimal ˆt vérifie ϕ (ˆt) = 0, soit ˆt = ϕ (0)/a On a donc (exercice) ϕ(ˆt) = ϕ(0) + ϕ (0) 2 ˆt Donc ˆt sera considéré comme satisfaisant si m Des valeurs typiques utilisées dans la pratique sont m 1 = 01 et m 2 = 07 Théorème IV21 Soit f : R n R coercive, c est à dire f continue et Soit l algorithme de gradient lim x f(x) = + x k+1 = u k ρ k g k, où g k = f(x k ) où à chaque itération le pas ρ k satisfait à la règle de Goldstein ϕ(0) + m 2 ϕ (0)ρ k ϕ(ρ k ) ϕ(0) + m 1 ϕ (0)ρ k, où ϕ(ρ) = f(x k ρg k ) et 0 < m 1 < m 2 < 1 Alors la suite x k est bornée, la suite f(x k ) est décroissante et convergente, et le vecteur g k vérifie lim g k = 0 k

52 52 Méthodes de recherche linéaire IV23 La règle de Wolfe La règle de Wolfe fait appel au calcul de ϕ (t), elle est donc en théorie plus coûteuse que la règle de Goldstein Cependant dans de nombreuses applications, le calcul du gradient f(x) représente un faible coût additionnel en comparaison du coût d évaluation de f(x) (par exemple en contrôle optimal), c est pourquoi cette règle est très utilisée Le calcul des dérivées de ϕ permet de plus d utiliser une méthode d interpolation cubique dans la phase de réduction de l intervalle, comme nous le verrons plus loin ϕ(t) m 1 ϕ (0) a b t Règle de Wolfe ϕ (0) m 2 ϕ (0) Si ϕ(t) > ϕ(0) + m 1 ϕ (0)t, alors t est trop grand Si ϕ(t) ϕ(0) + m 1 ϕ (0)t et ϕ (t) < m 2 ϕ (0), alors t est trop petit Si ϕ(t) ϕ(0) + m 1 ϕ (0)t et ϕ (t) m 2 ϕ (0), alors t convient Dans cette règle, on s assure que t n est pas trop petit en assurant que ϕ (t) a suffisamment augmenté

53 IV2 Caractérisation de l intervalle de sécurité 53 IV24 Réduction de l intervalle Le premier problème à résoudre est celui de la détermination d un intervalle de départ [α, β] On peut commencer par choisir α = 0, et utiliser une valeur initiale de t censée être une bonne valeur de départ (ce point sera clarifié plus loin) Recherche d un intervalle de départ 1 Si t est satisfaisant alors on s arrête 2 Si t est trop grand, alors on prend β = t et on s arrête 3 Si t est trop petit, on fait t ct, c > 1, et on retourne en 1 Cet algorithme donne un intervalle initial [α, β] qu il va falloir ensuite réduire, sauf si t est admissible, auquel cas la recherche linéaire est terminée, ce peut être le cas si la valeur initiale de t est bien choisie Réduction de l intervalle On suppose maintenant que l on dispose d un intervalle [α, β] mais que l on n a pas encore de t satisfaisant Une manière simple de faire est de procéder par exemple par dichotomie, en choisissant t = α + β, 2 puis en conservant soit [α, t] ou [t, β] suivant que t est trop grand ou trop petit Le problème est que cette stratégie ne réduit pas assez rapidement l intervalle Cependant elle n utilise aucune informations sur ϕ (dérivées ou autres) On préfère en général procéder en construisant une approximation polynomiale p(t) de ϕ et en choisissant t réalisant le minimum (s il existe) de p(t) sur [α, β] Lorsque l on utilise la règle de Wolfe, on peut utiliser une approximation cubique

54 54 Méthodes de recherche linéaire IV25 Réduction de l intervalle par interpolation cubique Comme nous l avons évoqué, un choix judicieux de t peut être fait en faisant une approximation cubique de ϕ(t) sur l intervalle [α, β] et à prendre t réalisant le minimum de cette cubique : on considère le polynôme p(t) vérifiant p(t 0 ) = ϕ(t 0 ) = f 0, p(t 1 ) = ϕ(t 1 ) = f 1, p (t 0 ) = ϕ (t 0 ) = g 0, p (t 1 ) = ϕ (t 1 ) = g 1 où t 0 et t 1 sont quelconques (on peut bien sûr prendre t 0 = α et t 1 = β) On passe en variables réduites sur [0, 1] ce qui conduit à définir le polynôme q(s) par qui vérifie donc q(s) = p(t 0 + st 1 ), s [0, 1], τ = t 1 t 0, q(0) = f 0, q(1) = f 1, q (0) = τg 0, q (1) = τg 1 Si on cherche q de la forme q(s) = as 3 + bs 2 + cs + d, alors les calculs donnent a = τ(g 0 + g 1 ) + 2(f 0 f 1 ), b = 3(f 1 f 0 ) τ(2g 0 + g 1 ), c = τg 0, d = f 0 Si b 2 3ac < 0 alors q(s) n admet pas de minimum, et cela ne permet pas de choisir α Si b 2 3ac 0 il y a un minimum donné par si ŝ [0, 1] cela permet de donner à t la valeur ŝ = b + b 2 3ac, 3a t = t 0 + ŝτ, sinon, cela ne permet pas de choisir t, et on peut en dernier recours faire appel à la dichotomie

55 Chapitre V Méthodes de Quasi-Newton V1 Introduction 56 V11 La méthode de Newton 56 V12 Méthodes à métrique variable 57 V2 Les méthodes de quasi-newton 58 V21 Relation de quasi-newton 58 V22 Formules de mise à jour de l approximation du hessien 59 V23 Formule de Broyden 60 V24 Formule de Davidon, Fletcher et Powell 62 V25 Algorithme de Davidon-Fletcher-Powel 63 V26 Algorithme de Broyden, Fletcher, Goldfarb et Shanno 65 V3 Méthodes spécifiques pour les problèmes de moindres carrés 66 V31 La méthode de Gauss-Newton 66 V32 la méthode de Levenberg-Marquardt 67

56 56 Méthodes de Quasi-Newton V1 Introduction V11 La méthode de Newton La méthode de Newton permet de construire un algorithme permettant de résoudre le système d équations non-linéaires g(x) = 0, où g : R n R n est diférentiable : on se donne x 0 R n et on fait les itérations x k+1 = x k g (x k ) 1 g(x k ), (V11) où g (x) est la dérivée (ou jacobienne) de g au point x L application de cette méthode au problème d optimisation min x R f(x), (V12) n consiste à l utiliser pour résoudre le système d optimalité du problème (V12), c est à dire que l on pose g(x) = f(x) dans (V11) : on obtient les itérations x k+1 = x k 2 f(x k ) 1 f(x k ) (V13) La méthode de Newton est intéressante car sa convergence est quadratique au voisinage de la solution, c est à dire que l on a x k+1 ˆx γ x k ˆx 2, γ > 0, mais la convergence n est assurée que si x 0 est suffisamment proche de ˆx, ce qui en limite l intérêt Pour résoudre le problème de convergence locale de la méthode de Newton, on peut penser à lui ajouter une phase de recherche linéaire, dans la direction d k = 2 f(x k ) 1 f(x k ) Cela est possible uniquement si d k est une direction de descente en x k, soit f(x k ) d k = f(x k ) 2 f(x k ) 1 f(x k ) < 0, ce qui sera le cas si 2 f(x k ) est une matrice définie positive, ce qui n est pas garanti (on sait tout au plus que 2 f(ˆx) > 0) Le principe des méthodes que nous allons voir maintenant consiste à remplacer le Hessien 2 f(x k ) par une approximation H k (si possible définie positive), construite au cours des itérations

57 V1 Introduction 57 V12 Méthodes à métrique variable Le principe des méthodes dites «à métrique variable» consiste à faire les itérations suivantes { dk = B k g k, (V14) x k+1 = x k + ρ k d k, où on a noté g k = f(x k ) et B k est une matrice définie positive La méthode ci-dessus coïncide avec la méthode du gradient si B k = I On peut envisager de prendre B k = B > 0, k et cela conduit à la remarque suivante Remarque V11 Lorsque l on cherche à résoudre le problème min x R f(x), n On peut poser x = Cy où C est une matrice inversible (changement de variable) Notons alors f(y) = f(cy) On a f(y) = C f(cy) Un pas de la méthode du gradient appliquée à la minimisation de f(y) est donné par y k+1 = y k ρ k C f(cy k ), soit en revenant à la variable originale et en posant x k = Cy k x k+1 = x k ρ k CC f(x k ) On obtient bien une méthode du type (V14) avec B = CC > 0 Dans le cas où f est une forme quadratique, on voit assez facilement comment l introduction de B permet d accélérer la convergence de la méthode Théorème V12 Soit f(x) = une forme quadratique définie positive et B une matrice définie positive L algorithme du gradient préconditionné { x0 = donné, converge linéairement au sens où avec x k+1 = x k ρ k Bg k, ρ k optimal x k+1 ˆx A γ x k ˆx A, γ = χ(ba) 1 χ(ba) + 1 Dans cette méthode, on voit bien comment influe la matrice B sur la vitesse de convergence : plus le conditionnement de BA sera faible, plus l accélération sera grande On ne peut bien sûr pas poser B = A 1, puisque cela sous-entendrait que l on a déjà résolu le problème! Cependant, l idée est tout de même assez bonne, en ce sens qu elle indique que B soit être une approximation de A 1 si l on veut effectivement accélérer la méthode Enfin, et pour terminer cette introduction avant d étudier de plus près les méthodes de quasi-newton pour f quelconque, on peut d ores et déjà dire qu un critère de bon fonctionnement de la méthode (V14) serait que l on ait au moins dans le cas quadratique lim B k = A 1, k

58 58 Méthodes de Quasi-Newton V2 Les méthodes de quasi-newton V21 Relation de quasi-newton Une méthode de quasi-newton est une méthode du type : { dk = B k g k, x k+1 = x k + ρ k d k, (V21) ou { dk = H 1 k g k, x k+1 = x k + ρ k d k, (V22) où B k (respectivement H k ) est une matrice destinée à approcher l inverse du hessien de f (respectivement le hessien de f) en x k Il se pose donc un problème : quelle stratégie adopter pour faire cette approximation On peut par exemple poser B 0 = I, mais comment ensuite mettre à jour l approximation B k au cours des itérations? L idée est la suivante : on sait que au point x k, le gradient et le hessien de f vérifient la relation g k+1 = g k + 2 f(x k )(x k+1 x k ) + ɛ(x k+1 x k ) Si on suppose que l approximation quadratique est bonne, on peut alors négliger le reste et considérer que l on a g k+1 g k 2 f(x k )(x k+1 x k ), cela conduit à la notion de relation de quasi-newton : Définition V21 On dit que les matrice B k+1 et H k+1 vérifient une relation de quasi-newton si on a H k+1 (x k+1 x k ) = f(x k+1 ) f(x k ), ou x k+1 x k = B k+1 f(x k+1 ) f(x k ) Il reste un problème à résoudre : comment mettre à jour B k tout en assurant B k > 0? C est ce que nous allons voir maintenant

59 V2 Les méthodes de quasi-newton 59 V22 Formules de mise à jour de l approximation du hessien Le principe de la mise à jour consiste, à une itération donnée de l algorithme { dk = B k g k, x k+1 = x k + ρ k d k, à appliquer une formule du type B k+1 = B k + k, avec k symétrique, assurant la relation de quasi-newton (V23) (V24) x k+1 x k = B k+1 (g k+1 g k ), ainsi que B k+1 > 0, sous l hypothèse que B k > 0 La formule (V24) permet d utiliser les nouvelles informations obtenues lors de l étape k de l algorithme, c est à dire essentiellement le gradient g k+1 = f(x k+1 ) au point x k+1, obtenu par recherche linéaire (exacte ou approchée) dans la direction d k Il existe différentes formules du type (V24) Suivant que k est de rang 1 ou 2, on parlera de correction de rang 1 ou de rang 2

60 60 Méthodes de Quasi-Newton V23 Formule de Broyden On peut chercher à déterminer une formule de correction de rang 1 de la façon suivante On écrit B k+1 sous la forme B k+1 = B k + vv, et on cherche v tel que la relation de quasi-newton B k+1 y k = s k, où on a posé y k = g k+1 g k et s k = x k+1 x k On a donc B k y k + vv y k = s k, et en prenant le produit scalaire des deux membres de l égalité précédente avec y k on obtient Si on utilise maintenant l égalité (y k v)2 = (s k B k y k ) y k vv = vv y k (vv y k ) (v y k ) 2, alors on peut écrire, en remplacant v y k par s k B k y k et (v y k ) 2 par y k (s k B k y k ), la formule de correction B k+1 = B k + (s k B k y k )(s k B k y k ) (s k B k y k ) y k, (V25) connue sous le nom de formule de Broyden La validité de cette formule provient du résultat suivant : Théorème V22 Soit f une forme quadratique définie positive Considérons la méthode itérative qui, partant d un point x 0 arbitraire engendre sucessivement les points x k+1 = x k + s k, où les s k sont des vecteurs linéairement indépendants Alors la suite de matrices générée par B 0, une matrice symétrique quelconque et la formule B k+1 = B k + (s k B k y k )(s k B k y k ) (s k B k y k ) y k, où y k = f(x k+1 ) f(x k ), converge en au plus n étapes vers A 1, l inverse du hessien de f Démonstration : Puisque le hessien de f est constant et égal à A on a y i = f(x i+1 ) f(x i ) = A(x i+1 x i ), i On a vu que B k+1 est construit de façon à ce que l on ait B k+1 y k = s k, montrons que l on a aussi B k+1 y i = s i, i = 0 k 1 On raisonne par récurrence en supposant que cette propriété est vraie pour B k, à savoir B k y i = s i, i = 0 k 2

61 V2 Les méthodes de quasi-newton 61 Soit donc i k 2 quelconque On a Par l hypothèse de récurrence on a B k y i = s i donc mais comme As j = y j, j, on obtient B k+1 y i = B k y i + (s k B k y k )(s k y i B k y k y i) (s k B k y k ) y k (V26) y k B ky i = y k s i, y k s i = s k As i = s k y i, donc dans (V26) le numérateur est nul et on a B k+1 y i = B k y i = s i On a donc Au bout de n itérations on a donc B k+1 y i = s i, i = 0 k B n y i = s i, i = 0 n 1, et puisque l on a y i = As i cette dernière formule d écrit B n As i = s i, i = 0 n 1 Comme les s i constituent une base de R n on a B n A = I ou encore B n = A 1, ce qui montre le résultat Le problème de la formule de Broyden est qu il n y a aucune garantie que les matrices B k soientt défines positives même si la fonction f est quadratique et si par exemple B 0 = I On peut cependant noter l intérêt de la propriété B n = A 1, qui sera aussi vérifiée par les méthodes de mise à jour que nous allons voir maintenant

62 62 Méthodes de Quasi-Newton V24 Formule de Davidon, Fletcher et Powell La formule de mise à jour de Davidon, Fletcher et Powell est une formule de correction de rang 2 donnée par B k+1 = B k + s ks k s k y B ky k yk B k k yk B ky k (V27) Le résultat suivant montre que sous certaines conditions, la formule (V27) conserve la définie-positivité des matrices B k Théorème V23 On considère la méthode définie par d k = B k g k, x k+1 = x k + ρ k d k, ρ k optimal Où B 0 > 0 est donnée ainsi que x 0 Alors les matrices B k sont définies positives, k > 0 Démonstration : Soit x un vecteur de R n On a x B k+1 x = x B k x + (s k x)2 s k y k (y k B kx) 2 y k B ky k, = y k B ky k x B k x (y k B kx) 2 y k B ky k + (s k x)2 s k y k Si on définit le produit scalaire x, y = x B k y alors on a x B k+1 x = y k, y k x, x y k, x 2 y k, y k + (s k x)2 s k y (V28) k Le premier terme du second membre est positif ou nul d après l inégalité de Cauchy-Schwartz Quant au deuxième terme on peut faire l analyse suivante : puisque le pas est optimal, on a la relation et donc g k+1 d k = 0, s k y k = +ρ k (g k+1 g k ) d k = ρ k g k B kg k > 0, on a donc x B k+1 x 0 Les deux termes dans (V28) étant positifs, cette quantité ne peut s annuler que si les deux termes sont simultanément nuls Le premier terme ne peut s annuler que si x = λy k pour un scalaire λ 0 Dans ce cas le deuxième terme est non nul car s k x = λs k y k On a donc bien B k+1 > 0 Remarque V24 La propriété s k y k > 0 est vérifiée également par des méthodes de recherche linéaire approchées comme par exemple la règle de Wolfe de Powell : en effet dans ce cas on détermine un point x k+1 tel que ϕ (ρ k ) = f(x k+1 ) d k m 2 f(x k ) d k, 0 < m 2 < 1, d où et donc (g k+1 g k ) (x k+1 x k ) > 0 gk+1 x k+1 x k ρ k > g k x k+1 x k ρ k,

63 V2 Les méthodes de quasi-newton 63 V25 Algorithme de Davidon-Fletcher-Powel On peut donc formuler maintenant la méthode utilisant la formule de correction (V27) : Algorithme de Davidon-Fletcher-Powel 1 Choisir x 0 et B 0 définie positive quelconque (par exemple B 0 = I) 2 A l itération k, calculer la direction de déplacement d k = B k f(x k ), déterminer le pas optimal ρ k et poser x k+1 = x k + ρ k d k 3 Poser s k = ρ k d k et y k = f(x k+1 ) f(x k ) puis calculer B k+1 = B k + s ks k s k y B ky k yk B k k yk B ky k 4 Faire k k + 1 Retourner en 1 sauf si le critère d arrêt est vérifié Comme critère d arrêt on retiendra par exemple g k+1 < ɛ Cet algorithme a un comportement remarquable dans le cas où f est une forme quadratique : Théorème V25 Appliqué à une forme quadratique f, l algorithme DFP engendre des directions s 0,, s k vérifiant s i As j = 0, 0 i < j k + 1, (V29) B k+1 As i = s i, 0 i k (V210) Démonstration : En utilisant la formule (V27) on a pour tout k B k+1 As k = B k+1 y k, = s k, par construction Donc (V210) est en particulier vérifiée pour k = 0, soit On a aussi B 1 As 0 = s 0 s 0 As 1 = ρ 1 s 0 AB 1 g 1, = ρ 1 s 0 AB 1 g 1, = ρ 1 s 0 g 1, = 0, puisque B 1 As 0 = s 0 et que x 1 est obtenu par un pas optimal dans la direction s 0 Donc (V210) est vérifiée pour k = 0 Supposons maintenant que (V29) et (V210) sont vérifiées à l ordre k 1 On peut écrire d une part pour i = 0 k 1 g k+1 g i+1 = y i+1 + y i + y k, = A(s i+1 + s i + s k )

64 64 Méthodes de Quasi-Newton car f est une forme quadratique de hessien A D autre part, puisque x i+1 est obtenu par un pas optimal dans la direction s i on a s i g i+1 = 0 et donc s i (g k+1 g i+1 ) = s i A(s i+1 + s i + s k ), i = 0 k 1, donc en vertu de l hypothèse de recurrence (conjugaison des s i ) on a s i g k+1 = 0, i = 0 k 1, (V211) Cette relation reste aussi valable pour i = k puisque l on a s k g k+1 = 0 (pas optimal) La deuxième hypothèse de récurrence permet donc d écrire, en remplacant s i par B k+1 As i dans (V211) et donc, puisque H k+1 g k+1 = s k+1 /ρ k+1, s i AB k+1 g k+1 = 0, i = 0 k s i As k+1 = 0, i = 0 k, ce qui démontre donc la propriété (V29) au rang k Montrons maintenant que B k+1 As i = s i, i = 0 k 1 Cette relation est vraie pour i = k comme on l a déjà montré plus haut On a B k+1 As i = B k As i + s ks k As i s k y k B ky k y k B kas i y k B ky k Le deuxième terme du second membre est nul car s k As i = 0 Si on note que par l hypothèse de récurrence on a B k As i = s i pour i = 0 k 1 et yk = s k A le numérateur du troisième terme est donné par B k y k yk B kas i = B k y k s k As i = 0 Par conséquent on a bien ce qui démontre la propriété (V210) au rang k B k+1 As i = s i, i = 0 k 1, La méthode DF P se comporte donc, dans le cas quadratique, comme une méthode de directions conjuguées Dans ce cas l algorithme converge en au plus n itérations On peut aussi remarquer que l on a pour k = n 1 la relation B n As i = s i, i = 0, n 1, et comme les s i sont linéairement indépendants (car mutuellement conjugués) on en déduit que B n = A 1 Remarque V26 On peut montrer que dans le cas général (non quadratique), sous les mêmes réserves que pour la méthode de Fletcher-Reeves (réinitialisation périodique d k = g k ), cet algorithme permet de converger vers un minimum local ˆx de f, et que l on a lim B k = 2 f(ˆx) 1, k ce qui montre que près de l optimum ˆx, si la recherche linéaire est exacte, la méthode se comporte asymptotiquement comme la méthode de Newton Cette remarque permet de justifier le choix d une estimation du pas de déplacement donnée par ρ k = 1, dans les méthodes de recherche linéaire approchée

65 V2 Les méthodes de quasi-newton 65 V26 Algorithme de Broyden, Fletcher, Goldfarb et Shanno La formule de mise à jour de Broyden, Fletcher, Goldfarb et Shanno est une formule de correction de rang 2 qui s obtient à partir de la formule DFP en intervertissant les rôles de s k et y k La formule obtenu permet de mettre à jour une approximation H k du hessien possédant les mêmes propriétés, à savoir H k+1 > 0 si H k > 0 et vérifiant la relation de quasi-newton La formule est donc la suivante : y k = H k s k H k+1 = H k + y kyk yk s H ks k s k H k k s k H ks k (V212) L algorithme associé est le suivant : Algorithme de Broyden, Fletcher, Goldfarb et Shanno 1 Choisir x 0 et H 0 définie positive quelconque (par exemple H 0 = I) 2 A l itération k, calculer la direction de déplacement déterminer le pas optimal ρ k et poser d k = H 1 k f(x k), x k+1 = x k + ρ k d k 3 Poser s k = ρ k d k et y k = f(x k+1 ) f(x k ) puis calculer H k+1 = H k + y kyk yk s H ks k s k H k k s k H ks k 4 Faire k k + 1 Retourner en 2 sauf si le critère d arrêt est vérifié Notons que la direction d k est obtenue par résolution d un système linéaire En pratique la mise à jour de H k est faite directement sur le facteur de Cholesky C k où H k = C k Ck ce qui ramène le calcul de d k au même coût que pour la formule de DFP De plus, cette technique permet de contrôler précisément la définie positivité de H k, qui peut se dégrader à cause des erreurs d arrondi Remarque V27 La méthode BFGS possède les mêmes propriétés que la méthode DFP : dans le cas quadratique les directions engendrées sont conjuguées et on a H n = A Cette méthode est reconnue comme étant beaucoup moins sensible que la méthode DF P aux imprécisions dans la recherche linéaire, du point de vue de la vitesse de convergence Elle est donc tout à fait adaptée quand la recherche linéaire est faite de façon économique, avec par exemple la règle de Goldstein ou la règle de Wolfe et Powell Elle est par exemple utilisée dans la fonction fminu de Matlab

66 66 Méthodes de Quasi-Newton V3 Méthodes spécifiques pour les problèmes de moindres carrés V31 La méthode de Gauss-Newton Dans les problèmes de moindres carrés non linéaires, la fonction à minimiser prend en général la forme f(x) = 1 m f i (x) 2, 2 i=1 comme on peut le voir sur l exemple vu au premier chapitre Quand on veut appliquer la méthode de Newton à la minimisation de f(x), on doit calculer le Hessien de f, qui dans ce cas précis prend une forme particulière : on a d une part f(x) = m f i (x)f i (x), i=1 et le hessien de f est donné par 2 f(x) = m m f i (x) f i (x) + f i (x) 2 f i (x) i=1 i=1 Si l on se place près de l optimum, où on supposera que les f i (x) sont petis, le deuxième terme peut alors être négligé La matrice obtenue H(x) = m f i (x) f i (x), i=1 possède une propriété intéressante : elle est semi-définie positive De plus dans la plupart des cas m est très supérieur à n et la matrice est la plupart du temps définie positive (nous reviendrons sur ce point) La méthode originale que l on obtient à partir de la méthode de Newton en remplacant 2 f(x) par H(x) est la méthode de Gauss-Newton : x 0 donné, H k = m i=1 f i(x k ) f i (x k ), x k+1 = x k H 1 k f(x k)

67 V3 Méthodes spécifiques pour les problèmes de moindres carrés 67 V32 la méthode de Levenberg-Marquardt Pour assurer la convergence globale de la méthode de Gauss-Newton, on peut combiner l algorithme précédent avec une recherche linéaire, et dans ce cas on peut alors faire les itérations { dk = H 1 k f(x k) x k+1 = x k + ρ k d k, cependant, il n y a aucune garantie que H k reste défine positive, et en général on fait appel à une méthode modifiée, qui est la méthode de Levenberg-Marquardt : l idée consiste à remplacer, dans la méthode précédente, la matrice H k par la matrice H k + λi où λ est un réel positif Si λ est très grand, on retombe alors sur la méthode du gradient Méthode de Levenberg-Marquardt x 0 donné, H k = m i=1 f i(x k ) f i (x k ), d k = (H k + λi) 1 f(x k ) x k+1 = x k + ρ k d k,

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69 Chapitre VI Conditions d optimalité en optimisation avec contraintes VI1 Les conditions de Lagrange 70 VI11 Introduction 70 VI12 Problème avec contraintes d égalité 71 VI13 Contraintes d égalité linéaires 72 VI14 Contraintes d égalité non-linéaires 73 VI15 Le théorème de Lagrange 75 VI2 Les conditions de Kuhn et Tucker 76 VI21 Problème avec contraintes d inégalité 76 VI22 Interprétation géométrique des conditions de Kuhn et Tucker 78 VI3 Exemples de problèmes 79 VI31 Distance d un point à un plan 79 VI32 Pseudo-inverse de Moore et Penrose 80 VI33 Exemple de programme quadratique 81 VI4 Conditions suffisantes d optimalité 83 VI41 Définition du lagrangien 83 VI42 Condition nécéssaire du second ordre 84 VI43 Condition nécéssaire du second ordre 85

70 70 Conditions d optimalité en optimisation avec contraintes VI1 Les conditions de Lagrange VI11 Introduction On s intéresse maintenant à des problèmes d optimisation de la forme min x R f(x), n (P C) sous les contraintes (VI11) g(x) 0, h(x) = 0, (VI12) (VI13) où les fonctions f, g et h sont différentiables au moins une fois, et f est typiquement non-linéaire Cependant nous étudierons le cas où g et h sont linéaires avec un intérêt tout particulier Dans ce chapitre nous allons nous efforcer d obtenir les conditions d optimalité associées au problème (PC) Les chapitres suivants mettront ensuite l accent sur les méthodes numériques permettant de le résoudre Nous nous intéresserons précisément dans ce chapitre aux problèmes (PCE) (PCI) problème avec contraintes d égalité, problème avec contraintes d inégalité, et les résultats s étendront facilement aux problème général (PC)

71 VI1 Les conditions de Lagrange 71 VI12 Problème avec contraintes d égalité On va tout d abord s intéresser au problème suivant, dit problème d optimisation avec contraintes d égalité seulement : min x R f(x), (VI14) n (P CE) sous les contraintes h(x) = 0 (VI15) La raison majeure justifiant que l on s intéresse en premier au problème (PCE) est que (PC) est un problème du type (PCI) dont on ne sait pas quelles sont les contraintes actives (nous reviendrons sur cette terminologie plus tard) Nous allons dans un premier temps nous intéresser au cas où les contraintes sont linéaires

72 72 Conditions d optimalité en optimisation avec contraintes VI13 Contraintes d égalité linéaires Un problème d optimisation avec contraintes d égalité linéaires prend la forme { min x R n f(x), Ax b = 0 où A est une matrice p n avec p < n et b R p On notera S = {x R n, Ax b = 0} Nous allons maintenant définir le concept de direction admissible dans S (VI16) (VI17) Définition VI11 On dit que d R n est une direction admissible en x S s il existe α > 0 tel que x + td S, t [ α, α] Dans notre cas, on a A(x + td) b = tad puisque x S, et donc les directions admissibles d sont caractérisées par Ad = 0 (VI18) Rappellons maintenant un résultat bien utile d algèbre linéaire : Théorème VI12 Soit A une matrice p n On a la relation suivante (Ker A) = (Im A ) On peut donc énoncer les conditions nécessaires d optimalité pour le problème (VI16) : Théorème VI13 Soit ˆx S solution du problème (VI16), vérifiant donc f(ˆx) f(x), x S Alors il existe nécessairement un vecteur λ R p vérifiant Si de plus A est de rang p alors λ est unique a Démonstration : f(ˆx) + A λ = 0 Soit d une direction admissible, vérifiant donc d Ker A Pour tout t R on f(ˆx) f(ˆx + td), soit f(ˆx + td) f(ˆx) t 0, t > 0, f(ˆx + td) f(ˆx) t 0, t < 0 Si on prend la limite de ces deux expressions quand t tend vers 0 en en déduit que f(ˆx) d = 0, d Ker A soit f(ˆx) (Ker A), donc f(ˆx) Im A Il existe donc un vecteur λ tel que f(ˆx) = A λ, ce qui démontre le résultat Pour l unicité, supposons qu il existe deux vecteurs λ 1 et λ 2 vérifiant On a donc et donc λ 1 λ 2 = 0 si A est de rang p f(ˆx) = A λ 1 = A λ 2 A (λ 1 λ 2 ) = 0,

73 VI1 Les conditions de Lagrange 73 VI14 Contraintes d égalité non-linéaires Nous étudions maintenant le problème { min x R f(x), n h(x) = 0 où h : R n R p est différentiable On note comme précédemment S = {x R n, h(x) = 0} (VI19) (VI110) Le concept de direction admissible dans S ne peut pas se définir comme pour les contraintes linéaires, car pour ˆx S il peut ne pas exister α > 0 et d R n tels que ˆx + td S On doit donc définir le concept de courbe admissible Considérons une courbe x(t) définie pour t 0 vérifiant { x(t) S, t [ α, α], α > 0 x(0) = ˆx Puisque x(t) S on a h i (x(t)) = 0 pour 1 i p et on peut écrire que d dt h i(x(t)) = h i (x(t)) ẋ(t) = 0, 1 i p Si on note y = ẋ(0) le vecteur tangent à la courbe x(t) en t = 0, on a donc Cela conduit à la définition suivante : h i (ˆx) y = 0, 1 i p (VI111) Définition VI14 On dit que y R n est une direction admissible en ˆx S s il existe α > 0 et une courbe x(t) vérifiant x(t) S, t [ α, α], x(0) = ˆx, ẋ(0) = y On notera alors y T (ˆx) L ensemble T (ˆx) définit le plan tangent à S en ˆx L analyse faite précédemment montre que l on a l implication y T (ˆx) h i (ˆx) y = 0, 1 i p, qui sera insuffisante pour montrer la condition nécéssaire d optimalité Nous allons donc maintenant nous attacher à montrer sous quelles conditions la relation (VI111) est une condition suffisante d appartenance à T (ˆx) Définition VI15 On dit que ˆx est un point régulier pour la contrainte h(x) = 0 si h(ˆx) = 0, Les vecteurs h i (ˆx) sont linéairement indépendants Si on note h(ˆx) la matrice n p h(ˆx) = [ h 1 (ˆx) h p (ˆx)], la condition d indépendance linéaire des h i (ˆx) peut s écrire Rang h(ˆx) = p et on a donc h(ˆx) ẋ(0) = 0 pour toute courbe admissible x(t) On a la proposition suivante : Proposition VI11 Si ˆx est un point régulier pour la contrainte h(x) = 0, alors h(ˆx) y = 0 y T (ˆx)

74 74 Conditions d optimalité en optimisation avec contraintes Démonstration : Soit y R n vérifiant h(ˆx) y = 0 On considère la courbe x(t) donnée par x(t) = ˆx + ty + h(ˆx)u(t) La fonction u(t) R p, pour l instant inconnue, va être déterminée de telle façon que h(x(t)) = 0 On va pour cela poser le problème de la détermination de u(t) sous la forme d une équation implicite On définit la fonction F : R R p R p par F (t, u) = h(ˆx + ty + h(ˆx)u) Le problème de la détermination de u(t) se ramène donc à la résolution de l équation F (t, u) = 0, au voisinage du point (0, 0) On a d une part F (0, 0) = h(ˆx) = 0 et soit u F (t, u) = h(ˆx) h(ˆx + ty + h(ˆx)u), u F (0, 0) = h(ˆx) h(ˆx) La matrice uf (0, 0) est inversible puisque par hypothèse h(ˆx) est de rang p On peut alors appliquer le théorème des fonctions implicites : il existe un voisinage du point (0, 0) et une fonction u(t) tels que F (t, u) = 0 u = u(t) Notons que l on a donc nécéssairement u(0) = 0 puisque F (0, 0) = 0 On a donc maintenant ẋ(t) = y + h(ˆx) u(t) soit en t = 0 ẋ(0) = y + h(ˆx) u(0) Montrons que u(0) = 0 Pour cela on écrit que l on a d dt h(x(t)) = h(x(t)) (y + h(ˆx) u(t)) = 0, puisque h(x(t)) = 0, et donc en t = 0 la relation précédente prend la forme d dt h(x(t)) = h(ˆx) y + h(ˆx) h(ˆx) u(0) = 0 t=0 Le premier terme du second membre est nul par hypothèse, et donc u(0) = 0 puisque h(ˆx) h(ˆx) est inversible Donc ẋ(0) = y, soit y T (ˆx), ce qui démontre le résultat annoncé

75 VI1 Les conditions de Lagrange 75 VI15 Le théorème de Lagrange Théorème VI16 Soit ˆx S = {x R n, h(x) = 0} un point régulier solution du problème (VI19), vérifiant donc f(ˆx) f(x), x S Alors il existe nécessairement un vecteur λ R p unique vérifiant soit encore f(ˆx) + h(ˆx)λ = 0, f(ˆx) + p λ i h i (ˆx) = 0 Les composantes du vecteur λ sont appelées multiplicateurs de Lagrange i=1 Démonstration : Considérons une courbe x(t) définie pour t [ α, α] vérifiant { x(t) S, t [ α, α], α > 0 On a donc nécessairement x(0) = ˆx f(x(0)) f(x(t)), t [ α, α], d dt f(x(t)) = f(ˆx) ẋ(0) = 0, t=0 ce qui signifie que f(ˆx) se trouve dans l orthogonal de T (ˆx) le plan tangent à S en ˆx Si l on utilise l équivalence T (ˆx) = Ker h(ˆx) T (ˆx) = Im h(ˆx), il existe donc un vecteur λ R p tel que f(ˆx) = h(ˆx)λ L unicité résulte du fait que h(ˆx) est de rang p et se montre comme dans le cas linéaire

76 76 Conditions d optimalité en optimisation avec contraintes VI2 Les conditions de Kuhn et Tucker VI21 Problème avec contraintes d inégalité On s intéresse maintenant au problème suivant, dit problème d optimisation avec contraintes d inégalité seulement : min x R f(x), (VI21) n (P CI) sous les contraintes g(x) 0, (VI22) où g : R n R m, est différentiable (il n y a ici aucune condition sur m) On notera K l ensemble des points admissibles, c est à dire K = {x R n, g(x) 0} Au point solution de (P CI) il va de soi que les contraintes effectivement actives vérifieront g i (ˆx) = 0 Cependant, puisque l on ne sait pas a priori quelles sont ces contraintes, le passage de (P CI) a un problème du type (P CE) n est pas direct Définition VI21 On appelle contraintes saturées en ˆx l ensemble des indices i tel que g i (ˆx) = 0, et on note I(ˆx) = {i g i (ˆx) = 0} On note alors S(ˆx) l ensemble S(ˆx) = {x R n, g i (x) = 0, i I(ˆx)} Le concept de direction admissible se définit comme suit : Définition VI22 On dit que y R n est une direction admissible en ˆx K s il existe α > 0 et une courbe x(t) vérifiant x(t) K, t [ α, α], x(0) = ˆx, ẋ(0) = y On notera alors y C(ˆx) Lemme VI23 Soit y R n une direction admissible en ˆx K, alors on a nécessairement g i (ˆx) y 0, i I(ˆx) Démonstration : Considérons une courbe x(t) définie pour t [ α, α] vérifiant x(t) K, t [ α, α], α > 0 x(0) = ˆx, ẋ(0) = y Comme g i (ˆx) < 0 pour i I(ˆx), on aura toujours g i (x(t)) < 0 pour t suffisamment petit Par contre, pour i I(ˆx) on doit avoir g i (x(t)) 0 pour t suffisamment petit Si on utilise le développement de Taylor de g i (x(t)) en t = 0 on doit donc avoir g i (ˆx) + t g i (ˆx) y + tɛ(t) 0

77 VI2 Les conditions de Kuhn et Tucker 77 Puisque g i (ˆx) = 0 il faut donc nécessairement que l on ait g i (ˆx) y 0 Comme dans le cas des contraintes d égalité, on doit définir la notion de point régulier, qui est nécessaire pour que la condition précédente soit suffisante : Définition VI24 On dit que ˆx est un point régulier pour la contrainte g(x) 0 si g(ˆx) 0, Les vecteurs { h i (ˆx)} i I(ˆx) sont linéairement indépendants Sous l hypothèse de régularité de ˆx on aura, comme dans le cas des contraintes d égalité g i (ˆx) y 0, i I(ˆx) y C(ˆx) La proposition suivante permet d effectuer le premier pas vers les conditions de Kuhn et Tucker Proposition VI21 Soit ˆx la solution du problème (P CI) Il existe η > 0 tel que x B(ˆx, η), g i (x) < 0, i I(ˆx), où on a noté B(ˆx, η) la boule de centre ˆx et de rayon η Alors ˆx est la solution du problème { min f(x), x B(ˆx,η) g i (x) = 0, i I(ˆx) (VI23) (VI24) Ce résultat est uniquement dû à la continuité de g, et montre que l on est localement ramené à un problème avec contraintes d égalité On peut donc maintenant énoncer le résulat principal : Théorème VI25 Soit ˆx K un point régulier solution du problème (P CI) Alors il existe un unique vecteur λ R m tel que m f(ˆx) + λ i g i (ˆx) = 0, (VI25) i=1 λ i 0, i = 1 m, (VI26) λ i g i (ˆx) = 0, i = 1 m (VI27) Démonstration : Les relation (VI25) (VI27) sont une conséquence directe du théorème de Lagrange, car il suffit de prendre λ i = 0 pour i I(ˆx) On peut ensuite montrer (VI26) par l absurde : supposons qu il existe k I(ˆx) tel que λ k < 0 On définit la surface On définit y R n tel que S k = {x g i (x) = 0, i I(ˆx), i k} g i (ˆx) y = 0, i I(ˆx), i k, g k (ˆx) y = 1 Alors y est une direction admissible en ˆx puisque g i (ˆx) y 0, i I(ˆx), et que ˆx est un point régulier Il existe donc une courbe x(t) S k et vérifiant de plus x(t) K, pour t [α, α], telle que ẋ(0) = y On a donc d dt f(x(t)) = f(ˆx) y, (VI28) t=0 ce qui est impossible car f est minimum en ˆx = λ i g i (ˆx) y, (VI29) = λ k g k (ˆx) y = λ k < 0, (VI210)

78 78 Conditions d optimalité en optimisation avec contraintes VI22 Interprétation géométrique des conditions de Kuhn et Tucker On considère un cas où I(ˆx) = {1, 2} Au point ˆx, l ensemble des directions admissibles C(ˆx) forme un cône qui est l intersections des demi-espaces d équation g i (ˆx) y 0, i = 1, 2 Pour que ˆx soit un optimum local, il faut que le vecteur f(ˆx) forme un angle obtus avec les g 2 (ˆx) f(ˆx) g 2 (x) = 0 ˆx g 1 (ˆx) C(ˆx) K g 1 (x) = 0 FIG VI21 Illustration des conditions de Kuhn et Tucker sur un exemple à deux dimensions directions admissibles On vérifie aussi que f(ˆx) est combinaison linéaire (à coefficients positifs) des vecteurs g i (ˆx), i = 1, 2

79 VI3 Exemples de problèmes 79 VI3 Exemples de problèmes VI31 Distance d un point à un plan On cherche à calculer la distance d un point x 0 R n au plan défini par l équation Ax = b, où A M pn avec Rang A = p Se problème se pose sous la forme On pose donc f(x) = 1 2 x 0 x 2 On a et donc le système d optimalité est donné par 1 min x R n 2 x 0 x 2 Ax = b f(x) = (x 0 x), En multipliant l équation (VI31) par A on peut exprimer ˆλ par et on obtient en substituant ˆλ dans (VI32) (ˆx x 0 ) + A ˆλ = 0, (VI31) ˆλ = (AA ) 1 (Ax 0 d), ˆx = (I A (AA ) 1 A)x 0 + A (AA ) 1 d Aˆx = b (VI32) Un problème voisin est celui de la projection d une direction d sur le plan Ax = 0 Le résultat précédent donne donc ˆd = P d, avec P = I A (AA ) 1

80 80 Conditions d optimalité en optimisation avec contraintes VI32 Pseudo-inverse de Moore et Penrose On cherche à résoudre le système Ax = b, avec A M pn, p < n et A de rang p Il s agit donc d un système sous-déterminé La pseudo-inverse de Moore-Penrose est par définition la matrice A telle que le vecteur est la solution de norme minimale du système Le problème d optimisation à résoudre est donc : et le système d optimalité est donné par ˆx = A b, Ax = b 1 min x R n 2 x 2 Ax = b, ˆx + A ˆλ = 0, (VI33) Aˆx = b (VI34) Il suffit de substituer ˆx dans la deuxième équation et puisque AA t op est de rang p on obtient et donc la pseudo-inverse est donnée par ˆx = A (AA ) 1 b, A = A (AA ) 1

81 VI3 Exemples de problèmes 81 VI33 Exemple de programme quadratique On cherche à résoudre le problème 1 min x R 2 2 x x 0 2 x 1 0, x 2 0, x 1 + x 2 1, où x 0 = (1, 1 2 ) Il s agit d un problème avec contraintes d inégalité se mettant sous la forme g(x) 0 avec g(x) = x 1 x 2 x 1 + x 2 1 Sur le dessin, on peut s assurer que très probablement seule la contrainte numéro 3 est active On peut x 2 x 0 K ˆx g 1 (x) = 0 g 2 (x) = 0 x 1 g 3 (x) = 0 FIG VI32 Exemple de programme quadratique s en persuader par le calcul de la façon suivante : on peut tenter de résoudre le système f(x) + λ 3 g 3 (x) = 0, g 3 (x) = 0, soit ici x x 0 + λ 3 ( 1 1 ) = 0, x 1 + x 2 = 1, ou bien encore x 1 + λ 3 = 1, x 2 + λ 3 = 1 2, x 1 + x 2 = 1,

82 82 Conditions d optimalité en optimisation avec contraintes dont la solution est donnée par x 1 = 3 4, x 2 = 1 4, λ 3 = 1 4 On a bien λ 3 0 ce qui justifie a posteriori le choix de saturer la contrainte numéro 3

83 VI4 Conditions suffisantes d optimalité 83 VI4 Conditions suffisantes d optimalité VI41 Définition du lagrangien Considérons le problème (P CE) avec contraintes d égalité où h : R n R p { minx R n f(x), h(x) = 0, Définition VI41 On appelle lagrangien associé au problème (P CE) la fonction L : R n R p R définie par p L(x, λ) = f(x) + λ i h i (x) Les conditions de Lagrange peuvent se reformuler à l aide du lagrangien : soit ˆx solution de (P CE) Alors il existe ˆλ tel que x L(ˆx, ˆλ) = 0, où on a noté x le gradient partiel par rapport à la variable x Dans la suite nous ferons l hypothèse que h et f sont deux fois continûment différentiables i=1

84 84 Conditions d optimalité en optimisation avec contraintes VI42 Condition nécéssaire du second ordre Théorème VI42 Soit ˆx un point régulier solution de (P CE) Alors il existe ˆλ tel que et de plus pour tout y T (ˆx), y 0, on a x L(ˆx, ˆλ) = 0, y 2 xxl(ˆx, ˆλ)y 0 Démonstration : Soit y T (ˆx) On sait qu il existe une courbe x(t) définie pour t [ α, α] vérifiant x(t) S, t [ α, α], α > 0 x(0) = ˆx, ẋ(0) = y Puisque ˆx est optimal on a f(x(0)) f(x(t)), t, et puisque la fonction f est deux fois différentiable, on a nécessairement d 2 dt 2 f(x(t)) 0 t=0 On a ici d une part et donc d 2 d dt f(x(t)) = f(x(t)) ẋ(t), dt 2 f(x(t)) = ẋ(t) 2 f(x(t))ẋ(t) + f(x(t)) ẍ(t), (VI41) d 2 dt 2 f(x(t)) = y 2 f(ˆx)y + f(ˆx) ẍ(0) 0 (VI42) t=0 D autre part on a h i (x(t)) = 0 donc d 2 dt 2 h(x(t)) = y 2 h i (ˆx)y + h i (ˆx) ẍ(0) = 0, i = 1,, p t=0 On peut multiplier chacune de ces égalités par ˆλ i et en faire la somme, ce qui donne ( p ) ( p ) y ˆλ i 2 h i (ˆx) y + ˆλ i h i (ˆx) ) ẍ(0) = 0 i=1 i=1 En additionnant cette dernière égalité à (VI42) on obtient ) ( p y ( 2 f(ˆx) + ˆλ i 2 h i (ˆx) y + f(ˆx) + i=1 p ˆλ i h i (ˆx)) ẍ(0) 0, et puisque le deuxième terme est nul (condition de Lagrange) on obtient bien l inégalité annonçée Le résultat suivant est une généralisation du thèorème précédent dont la démonstration sera admise Théorème VI43 Soit ˆx R n et ˆλ R p vérifiant les conditions f(ˆx) + h(ˆx) = 0, p ˆλ i h i (ˆx) = 0, i=1 alors ˆx est un minimum local du problème (P CE) i=1 y 2 xxl(ˆx, ˆλ)y 0, y T (ˆx), y 0,

85 VI4 Conditions suffisantes d optimalité 85 VI43 Condition nécéssaire du second ordre Théorème VI44 Soit ˆx R n et ˆλ R p vérifiant les conditions g(ˆx) 0, p f(ˆx) + ˆλ i g i (ˆx) = 0, i=1 ˆλ i 0, i = 1 m, ˆλ i g i (ˆx) = 0, i = 1 m, y 2 xxl(ˆx, ˆλ)y 0, y T + (ˆx), y 0, où on a noté T + (ˆx) le plan tangent en ˆx à la surface S + = {x R n, g i (ˆx) = 0, i I(ˆx) et λ i > 0} Alors ˆx est un minimum local du problème (P CE)

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87 Chapitre VII Méthodes primales VII1 Contraintes d égalité linéaires 88 VII11 La méthode du gradient projeté 88 VII12 La méthode de Newton projetée 90 VII2 Contraintes d inégalité linéaires 92 VII21 Méthode de directions réalisables 92 VII3 Méthodes de pénalisation 94 VII31 Méthode de pénalisation externe 94 VII32 Méthode de pénalisation interne 96 VII33 Estimation des multiplicateurs 97 VII4 Méthodes par résolution des équations de Kuhn et Tucker 98 VII41 Cas des contraintes d égalité 98 VII42 Méthode de Wilson 99 VII43 Cas des contraintes d inégalité 100 Exemples du chapitre VII 101

88 88 Méthodes primales VII1 Contraintes d égalité linéaires VII11 La méthode du gradient projeté On s intéresse à un problème avec contraintes d égalité lineaires { min x R f(x), n Ax b = 0, (VII11) (VII12) et nous ferons l hypothèse que A M pn est de rang maximal Une idée assez naturelle consiste à appliquer une méthode de descente qui prenne en compte la contrainte Ax b = 0 Supposons que nous disposons d un point x 0 K = {x R n, Ax b = 0} On sait qu une direction admissible doit vérifier Ad = 0 (VII13) On peut chercher la meilleure direction de descente respectant (VII23) en résolvant le problème min f(x) d, (VII14) Ad = 0, (VII15) d = 1 (VII16) Proposition VII11 Le vecteur d solution du problème (VII14),(VII15),(VII16) est donné par d = y/ y où y est la projection orthogonale de f(x) sur Ker A Démonstration : On peut écrire que f(x) = y + z, où y Ker A et z ( Ker A), ces deux sous-espaces étant complémentaires dans R n On a donc f(x) d = y d Comme d est un vecteur unitaire quelconque y d sera maximal pour d = y y, d où le résultat On remarquera que si y 0, le vecteur d est bien une direction de descente car on a f(x) = y (y + z) = y y < 0 Pour former la matrice de projection sur Ker A on utilise en général la factorisation QR de la matrice A, qui s exprime sous la forme ( A R = Q 0 où R M pp est triangulaire supérieure et Q M nn est orthogonale, et se décompose en Q = [U V ] où les colonnes de U M n,p forment une base orthogonale de Im A et les colonnes de V M n,n p une base orthogonale de ( Im A ) = Ker A Dans ce cas la matrice de la projection orthogonale sur Ker A s écrit P = I UU = V V ),

89 VII1 Contraintes d égalité linéaires 89 Remarque VII11 Dans l algorithme que nous allons étudier, la matrice de projection peut être calculée une fois pour toutes puisque A est donnée Cependant, pour les problèmes avec contraintes d inégalité lineéaires, on sera amené à considérer une succession de problèmes avec contraintes d égalité, et la matrice A pourra évoluer à chaque itération, par ajout ou supression d une ligne Le choix de la factorisation QR est tout indiqué car il existe des techniques de mise à jour particulièrement économiques, ce qui n est pas le cas quand on exprime la matrice P sous la forme classique P = I A [AA ] 1 A La méthode du gradient projeté consiste tout simplement à mettre en oeuvre une méthode de descente utilisant à chaque pas la direction d k = V V f(x k ) Les itérations sont poursuivies jusqu à ce que d k = 0 Cela signifie alors que f(x) Im A et donc qu il existe λ tel que f(x k ) = A λ On peut utiliser la factorisation de A pour obtenir λ par résolution du système linéaire Rλ = U f(x) 1 Poser k = 0 et choisir x 0 admissible Algorithme du gradient projeté 2 Calculer la projection d k = V V f(x k ), 3 Si d k = 0 Calculer λ = R 1 U f(x k ) Arrêter les itérations 4 Déterminer ρ k > 0 réalisant le minimum de f(x k + ρd k ) 5 Poser x k+1 = x k + ρ k d k, faire k k + 1 et retourner en 2

90 90 Méthodes primales VII12 La méthode de Newton projetée La méthode du gradient projeté souffrant des mêmes problèmes que la méthode du gradient (vitesse de convergence très sensible au conditionnement), on lui préfère souvent les méthodes de quasi-newton adaptées au cas des contraintes linéaires Il est plus facile de comprendre comment fonctionnent ces méthodes en faisant l analyse suivante Supposons que l on dispose d un point x 0 admissible L idée est de poser x = x 0 + V z et de considérer une nouvelle fonction f définie par f(z) = f(x 0 + V z), où les colonnes de V forment une base orthogonale de Ker A (on a vu comment obtenir une telle matrice) Alors par construction le problème (??) est équivalent au problème sans contraintes puisque min z R p f(z), (VII17) A(x 0 + V z) b = Ax 0 b + AV z = 0 On peut donc appliquer n importe quelle méthode de descente à la résolution de (VII17) Notons que l on a f(z) = V f(x 0 + V z), donc la méthode du gradient appliquée à la minimisation de f(z) s écrit z k+1 = z k ρ k V f(x 0 + V z k ), et si on pose x k = x 0 + V z k, les itérations précédentes s écrivent x k+1 = x k ρ k V V f(x k ), ce qui redonne exactement la méthode du gradient projeté On peut de la même manière écrire la méthode de Newton appliquée à la résolution de (VII17) : le hessien de f s écrit 2 f(z) = V 2 f(x 0 + V z)v, si si on note G k = 2 f(zk ) la direction de Newton en z k s écrit p k = G 1 k f(z k ) Si la matrice G k est définie positive alors p k sera une direction de descente pour f et le vecteur V p k sera une direction de descente pour f puisque f(x k ) V p k = f(z k ) p k < 0 Remarque VII12 On sait que dans le cas général un optimum local du problème (P CE) est caractérisé par y 2 xxl(ˆx, ˆλ)y 0, y T (ˆx), y 0 Or dans le cas des contraintes linéaires on a 2 xxl(x, λ) = 2 f(x), (VII18) et le sous espace T (ˆx) n est autre que Ker A Et donc si l on dispose d une matrice V dont les colonnes forment une base orthogonale de Ker A, tout vecteur y T (ˆx) s exprime sous la forme y = V z et la condition (VII18) s écrit zv 2 f(ˆx)v z > 0, z On est donc assuré que le hessien projeté est défini positif à l optimum, ce qui justifie l utilisation des méthodes de quasi-newton

91 VII1 Contraintes d égalité linéaires 91 On peut donc envisager une méthode de quasi-newton ou la mise à jour opère non pas sur le hessien de f mais sur le hessien projeté Voici l algorithme correspondant pour la méthode BFGS : Algorithme de la méthode BFGS projetée 1 Poser k = 0, choisir x 0 admissible et poser H 0 = I 2 Poser g k = V f(x k ) 3 Si g k = 0 Calculer λ = R 1 U f(x k ) Arrêter les itérations 4 Calculer la direction p k = H 1 k g k 5 Déterminer ρ k > 0 réalisant le minimum de f(x k + ρv p k ) 6 Poser x k+1 = x k + ρ k V p k 7 Calculer g k+1 = V f(x k+1 ) et y k = g k+1 g k 8 Mise à jour du hessien projeté H k+1 = H k + y kyk ρ k yk p + g kgk k p k g k 9 faire k k + 1 et retourner en 2

92 92 Méthodes primales VII2 Contraintes d inégalité linéaires VII21 Méthode de directions réalisables On s intéresse maintenant à un problème avec contraintes d inégalités lineaires { min x R n f(x), Ax b 0 (VII21) (VII22) On peut essayer de voir comment adapter la stratégie de l algorithme du gradient projeté Supposons que nous disposons d un point initial admissible x 0 K = {x R n, Ax b 0} Notons I 0 l ensemble des indices des contraintes saturées, soit I 0 = {i A i x 0 b i = 0} On peut chercher une direction de descente d qui permette, au moins pour un petit déplacement, de rester dans K Si on note A 0 M pn la matrice composée des lignes i I 0 on doit donc avoir A I0 d = 0 (VII23) ( ) R Après calcul de la factorisation (U V ) de A 0 I 0, une direction admissible d peut être obtenue par d = V V f(x 0 ) Il y a ensuite deux cas à envisager : 1 Si d 0, il faut déterminer le déplacement maximal autorisé par les contraintes non saturées, c est à dire ρ max tel que ρ max = {ρ ρ 0, A i (x 0 + ρd) b i 0, i I 0 } Ensuite, on cherche le pas optimal ρ opt dans direction d Ce pas pouvant faire sortir du domaine admissible, on prendra donc toujours ρ = min(ρ opt, ρ max ), en notant bien que lorsque ρ = ρ max, cela signifie qu une nouvelle contrainte sera saturée 2 Si d = 0 cela signifie que f(x) Im A I 0 et donc qu il existe λ tel que f(x) = A I 0 λ, et qui s obtient par résolution du système linéaire et il faut ensuite considérer deux cas Rλ = U f(x), (a) Si λ 0, alors x satisfait les condition de Kuhn et Tucker Le point x est donc un optimum local du problème (b) Sinon, on supprime dans I 0 une des contraintes pour lesquelles λ i < 0 (par exemple la plus négative) On obtient alors une nouvelle matrice A 1 qui permet de déterminer une nouvelle direction de descente en x 0 On peut ensuite poursuivre les itérations On peut donc résumer l algorithme de la façon suivante : Algorithme du gradient projeté (contraintes d inégalité)

93 VII2 Contraintes d inégalité linéaires 93 1 Poser k = 0 et choisir x 0 2 Déterminer I k = {i A i x k b i = 0} 3 Former la matrice A Ik = {A i } i Ik 4 Calculer ou mettre à jour la factorisation A I k = [U k V k ] ( Rk 0 5 Calculer la projection d k = V k V k f(x k) 6 Si d k = 0 Calculer λ = (R k ) 1 U k f(x k) Si λ 0 alors on s arrète Sinon, choisir j tel que λ j λ i, i, faire I k = I k {j} et retourner en 3 7 Calculer ρ max = {ρ ρ 0, A i (x k + ρd k )a b i 0, i I k } 8 Déterminer ρ k réalisant le minimum de f(x k + ρd k ) sur [0, ρ max ] 9 Poser x k+1 = x k + ρ k d k, faire k k + 1 et retourner en 2 )

94 94 Méthodes primales VII3 Méthodes de pénalisation VII31 Méthode de pénalisation externe Exemples : Exemple VII1 On considère un problème avec contraintes d inégalité non-linéaires : min x R f(x), n (P CI) sous les contraintes (VII31) g(x) 0, (VII32) Le but des méthodes de pénalisation est de résoudre (P CI) de façon approchée de la façon suivante : on définit la fonction ϕ(x) par m ϕ(x) = (g i + (x))2, où [] + est la fonction partie positive définie par i=1 y + = max(0, y) Si on note K = {x R n, g(x) 0}, la fonction ϕ vérifie par construction { ϕ(x) = 0, pour x K, ϕ(x) > 0, pour x K On introduit alors le problème P ɛ (P ɛ ) min x R f ɛ(x), n f ɛ (x) = f(x) + 1 ɛ ϕ(x), (VII33) (VII34) dont on notera x ɛ la solution, vérifiant f ɛ (x ɛ ) f ɛ (x) x R N Le nom de pénalité extérieure provient du fait que x ɛ est toujours à l extérieur (au sens large) de K comme le montre le résultat suivant : Proposition VII31 S il existe au moins une contrainte saturée à l optimum ˆx du problème (P CI) alors le vecteur solution du problème pénalisé (P ɛ ) verifie nécessairement i 0, g i0 (x ɛ ) 0 Démonstration : Montrons la contraposée : si g i (x ɛ ) < 0, i on a par définition x ɛ K Puisque f ɛ (x ɛ ) f ɛ (x), x R n, donc en particulier pour x = ˆx, on a f ɛ (x ɛ ) f ɛ (ˆx),

95 VII3 Méthodes de pénalisation 95 mais commme x ɛ K et ˆx K on a et donc ϕ(x ɛ ) = ϕ(ˆx) = 0, f(x ɛ ) f(ˆx) D où x ɛ = ˆx On a donc g i (ˆx) < 0, i et aucune contrainte n est saturée en ˆx En général, on a toujours x ɛ K comme le montre l?? mais sous des hypothèses assez peu restrictives, x ɛ tend vers une solution du problème (P CI) quand ɛ tend vers 0 Théorème VII31 Soit ϕ : R n R une fonction de pénalisation extérieure vérifiant : ϕ(x) 0, ϕ(x) = 0 x K, ϕ continue On suppose d autre part que f est continue, que K est fermé et que l une des deux conditions suivantes est vérifieé : f(x) + quand x, K est borné et ϕ(x) + quand x ϕ continue Alors, quand ɛ k tend vers 0, la suite x ɛk admet au moins un point d accumulation qui est alors une solution optimale du problème (P CI) Lorsqu on met en oeuvre cette méthode de façon pratique, on ne peut pas prendre tout de suite ɛ k très petit, à cause des problèmes de conditionnement que cela peut causer On commence donc avec une valeur du type ɛ 0 = 1, et chaque solution x ɛk est prise comme vecteur initial pour résoudre le problème avec ɛ k+1 = ɛ k /100 (par exemple) On peut bien sûr utiliser n importe quelle méthode pour résoudre le problème min x f ɛk (x) (BFGS, gradient conjugué, ) Algorithme de la méthode de pénalisation 1 Choisir x 0, ɛ 1 = 1 et poser k = 1 2 Trouver x k solution du problème min x R n f ɛ k (x) en partant de x k 1 3 Poser ɛ k+1 = ɛ k /100 4 faire k k + 1 et retourner en 2

96 96 Méthodes primales VII32 Méthode de pénalisation interne Dans le cas des méthodes internes, en général, x ɛ n est jamais dans K (sauf cas particulier) : cela peut poser des problèmes si par exemple la fonction f n est pas définie hors de K Les méthodes internes permettent d éviter cet inconvénient Leur principe est le même que pour les méthodes externes : on considère une fonction f ɛ (x) = f(x) + ɛψ(x), mais ici la fonction ψ(x) est défine pour x K et est du type ψ(x) = m i=1 1 g i (x) 2 Puisque l on a ψ(x) quand on s approche de la frontière de K, on qualifie souvent ψ de fonction barrière Les propriété de convergence sont les même que pour les méthodes externes, mais il faut ici disposer d un x 0 K, ce qui peut être difficile dans certains cas

97 VII3 Méthodes de pénalisation 97 VII33 Estimation des multiplicateurs Les méthodes de pénalisation ne sont en général jamais utilisées pour obtenir la solution du problème avec contraintes, car cela nécessitérait d utiliser des paramètres de pénalisation beaucoup trop petits En revanche, elles permettent de calculer des estimations correctes des multiplicateurs Pour les méthodes externes, le point x k est solution du problème min f ɛk (x) où f ɛ (x) = f(x) + 1 ɛ m [g i + (x)]2, i=1 et vérifie donc les conditions d optimalité f(x k ) + 2 ɛ m g i + (x k) g i (x k ) = 0 i=1 Sous les hypothèses du théorème VII31 x k ˆx et donc pour les contraintes non saturées, puisque g i (ˆx) < 0, il existe k 0 tel que k > k 0 g i (x k ) < 0, i I(ˆx) Si on suppose que ˆx est régulier, les conditions de Kuhn et Tucker sont vérifiées et on a f(ˆx) + i I λ i g i (ˆx) = 0 Si on note maintenant que pour k > k 0, f(x k ) + 2 g i + ɛ (x k) g i (x k ) = 0, alors par continuité de f et g on en déduit que pour i I i I 2 lim k ɛ g+ i (x k) = λ i On peut bien sûr faire le même type de raisonnement pour la méthode de pénalité interne

98 98 Méthodes primales VII4 Méthodes par résolution des équations de Kuhn et Tucker VII41 Cas des contraintes d égalité On cherche à résoudre le problème : min x R f(x), n h i (x) = 0, i = 1 p (VII41) On sait que la recherche d un point de Kuhn et Tucker revient à résoudre le système à n + p inconnues et n + p inconnues { x L(x, λ) = 0, (VII42) h(x) = 0, où on a noté L(x, λ) = f(x) + p i=1 λ ih i (x) le lagrangien associé à (VII41) La méthode de Newton consiste, à partir d un point (x k, λ k ), à linéariser (VII42) au voisinage de ce point, et à définir (x k+1, λ k+1 ) comme la solution du système obtenu On peut écrire les équations suivantes : x L(x k, λ k ) + 2 xl(x k, λ k )(x k+1 x k ) + h(x k )(λ k+1 λ k ) = 0, où x L(x k, λ k ) = f(x k ) + h(x k )λ k Si on pose h(x k ) + h(x k ) (x k+1 x k ) = 0, J k = h(x k ) = h x (x k), et H k = 2 xl(x k, λ k ), on obtient le système ( Hk Jk ) ( xk+1 x k J k 0 λ k+1 ) = ( f(xk ) h(x k ) ) (VII43) Une méthode basée sur la résolution itérative de (VII43) présentera les inconvénients habituels de la méthode de Newton : la convergence est locale De plus, les équations de Kuhn et Tucker sont aussi vérifiées pour les maximums Si on veut remédier à ces inconvénients il faut diposer d une bonne estimation initiale de (ˆx, ˆλ), qui peut par exemple être fournie par une méthode de pénalisation

99 VII4 Méthodes par résolution des équations de Kuhn et Tucker 99 VII42 Méthode de Wilson Dans la méthode précédente, pour éviter les points stationnaires qui ne sont pas des minimum, on peut faire l analyse suivante : si on note s k = x k+1 x k on observe que le système (VII43) s écrit H k y k + J k λ k+1 = f(x k ) Le vecteur y k est la solution du problème d optimisation quadratique suivant : { miny 1 2 y H k y + f(x k ) y, J k y + h(x k ) = 0, (VII44) et λ k+1 est le multiplicateur associé Au lieu de résoudre le système (VII43) on peut donc résoudre le problème (VII44), ce qui permet d éviter les points stationnaires qui ne sont pas des minima La résolution de ce problème peut se faire avec toute méthode adaptée aux problèmes quadratiques Cette extension de la méthode de Newton est due à Wilson

100 100 Méthodes primales VII43 Cas des contraintes d inégalité La méthode de Wilson vue au grain précédent se généralise très facilement au cas des contraintes d inégalité Si le problème original est de la forme : min x R f(x), n g i (x) 0, i = 1 m, (VII45) les contraintes linéarisées prennent la forme g(x k ) y + g(x k ) 0 On peut alors utiliser une méthode consistant à résoudre itérativement le problème quadratique { 1 miny 2 y H k y + f(x k ) y, (VII46) J k y + g(x k ) 0, Remarque VII41 Comme on l a déjà dit la méthode de Wilson (pour les contraintes d égalité et d inégalité) ne converge que localement La globalisation de cette méthode peut se faire en utilisant une approximation de quasi-newton pour la matrice H k = 2 xl(x k, λ k ) et en faisant une recherche linéaire dans la direction s k pour définir x k+1 = x k + ρ k s k Lors de la recherche linéaire, on cherche alors à minimiser une fonction de mérite du type dans le cas des contraintes d égalité, ou θ(x) = f(x) + c σ(x) = f(x) + c p h i (x), k=1 m g i + (x), dans le cas des contraintes d inégalité (dans ce dernier cas c doit être un majorant des multiplicateurs optimaux) Les fonctions σ(x) et θ(x) sont des fonctions de pénalisation exacte : cette terminologie traduit le fait que contrairement aux fonctions de pénalisation différentiables que l on a vu précédemment, le minimum de θ ou σ peut coïncider avec ˆx pour des valeurs finies de c k=1

101 Exemples du chapitre VII 101 Exemples du chapitre VII Exemple VII1 Un problème pénalisé On considère le problème { min 1 2 x2, x 1 La fonction pénalisée s écrit f ɛ (x) = 1 2 x2 + 1 ɛ ([1 x]+ ) 2 Pour x K on a f ɛ (x) = x 2 (1 x) ɛ Si on fait l hypothèse a priori que x ɛ K alors on a et donc x ɛ = (1 + ɛ/2) 1 On a bien x ɛ K et x ɛ 2 ɛ (1 x ɛ) = 0, lim x ɛ = 1 ɛ 0

102

103 Chapitre VIII Méthodes utilisant la notion de dualité VIII1 Elements sur la dualité 104 VIII11 Le problème dual 104 VIII12 Point-col du lagrangien 106 VIII2 Methodes duales 107 VIII21 Méthode d Uzawa 107 VIII22 Méthode d Arrow et Hurwicz 108

104 104 Méthodes utilisant la notion de dualité VIII1 Elements sur la dualité VIII11 Le problème dual On s intéresse ici aux problèmes avec contrainte d inégalité du type min x R f(x), n g(x) 0, (VIII11) et on note comme d habitude K = {x R n, g(x) 0} Le problème (VIII11) est appellé problème primal par opposition au problème dual que l on va maintenant définir Soit ϕ(x) une fonction indicatrice de K : Alors le problème primal est équivalent à ϕ(x) = 0, si x K, (VIII12) ϕ(x) = +, sinon (VIII13) min f(x) + ϕ(x) n x R On peut construire la fonction ϕ de la façon suivante : ϕ(x) = max λ 0 λ g(x) = max λ 0 m λ i g i (x) On peut vérifier que la fonction ainsi définie a bien les caractéristiques données par (VIII12)-(VIII13) : si x K on a g i (x) 0 et donc λ g(x) 0, le max est donc atteint pour λ = 0 Si x K il existe j tel que g j (x) > 0, et donc λ g(x) peut être rendu arbitrairement grand en faisant tendre λ j vers + Le problème primal est donc équivalent au problème min x R n i=1 ( f(x) + max λ 0 λ g(x) et si on utilise le lagrangien L(x, λ) = f(x) + λ g(x), on peut alors noter que le problème primal s écrit min L(x, λ) (VIII14) x R max n λ 0 Définition VIII11 On appelle problème dual du problème (VIII11) le problème ), max λ 0 min L(x, λ), (VIII15) n x R et appelle w(λ) = min x R n L(x, λ) la fonction duale Proposition VIII11 La fonction duale w(λ) est concave Démonstration : x tels que Soient λ 1 0, λ 2 0, θ [0, 1] et λ = θλ 1 + (1 θ)λ 2 Il existe x 1,x 2 et w(λ 1 ) = L(x 1, λ 1 ), w(λ 2 ) = L(x 2, λ 2 ), w(λ) = L(x, λ)

105 VIII1 Elements sur la dualité 105 On a donc par définition de la fonction duale : w(λ 1 ) L(x, λ 1 ), w(λ 2 ) L(x, λ 2 ) Si on multiplie la première inéquation par θ et la deuxième par (1 θ) il vient θw(λ 1 ) + (1 θ)w(λ 2 ) f(x) + [θλ 1 + (1 θ)λ 2 ] g(x) = w(λ) Ce qui est remarquable dans cette propriété est que le résultat ne suppose absolument rien sur la convexité des fonctions f et g i

106 106 Méthodes utilisant la notion de dualité VIII12 Point-col du lagrangien On montre facilement la proposition suivante : Proposition VIII12 On a Démonstration : On a donc ce qui montre le résultat max λ 0 { } min L(x, λ) n x R { min x R n max L(x, λ) λ 0 } On a L(x, λ) max λ 0 L(x, λ) et donc par définition de w(λ) w(λ) min x R max n λ 0 max w(λ) min λ 0 où ˆx est la solution du problème primal, on a donc x R max n λ 0 L(x, λ) L(x, λ), min x R max L(x, λ) = f(ˆx), n λ 0 max w(λ) f(ˆx) λ 0 Si l on note que par construction Alors s il existe bien un maximum de la fonction duale atteint pour λ = λ, la valeur w( λ) est un minorant de f(ˆx) et il existe un point x( λ) tel que w( λ) = L(x( λ), λ) f(ˆx) Le théorème suivant précise dans quelles conditions on a x( λ) = ˆx : Théorème VIII12 S il existe un couple (ˆx, ˆλ) tel que L(ˆx, λ) L(ˆx, ˆλ) L(x, ˆλ), x R n, λ R m, alors ˆx est une solution du problème primal et ˆλ est le multiplicateur de Kuhn et Tucker associé Un point vérifiant cette propriété est appelé un point-col du lagrangien On a dans ce cas L(ˆx, ˆλ) = max w(λ) = min f(x) λ 0 x K Lorsque ce point existe, on peut donc résoudre le problème dual à la place du problème primal : l intérêt principal est la concavité de la fonction duale ainsi que la simplicité des contraintes On voit aussi que même lorsqu il n existe pas de point col, le maximum de la fonction duale fournit un minorant de f(ˆx), ce qui peut être utile dans certaines circonstances On appelle alors la différence f(ˆx) w(ˆλ) le saut de dualité Théorème VIII13 Si f est strictement convexe, si les g i sont convexes et si K est d intérieur nonvide, l existence de ˆx est équivalente à l existence de ˆλ et on a w(ˆλ) = L(ˆx, ˆλ) = f(ˆx) Il existe cependant des cas où il existe un point-col et les conditions précédentes ne sont pas vérifiées Quand il n y a pas de point-col, on peut faire alors appel à des techniques où on utilise un lagrangien augmenté du type m L(x, λ, r) = f(x) + λ g(x) + r (g i + (x))2, pour définit la fonction duale Ce type d approche permet de généraliser les méthodes duales pour les cas typiquement non-convexes i=1

107 VIII2 Methodes duales 107 VIII2 Methodes duales VIII21 Méthode d Uzawa Le principe de la méthode d Uzawa est d utiliser la méthode du gradient pour maximiser la fonction duale, tout en tenant compte de la contrainte λ 0 : cela donne la méthode λ k+1 = [λ k + ρ k w(λ k )] + L utilisation de cette méthode suppose que la fonction duale est différentiable (au moins a l optimum) Ce sera le cas si le minimum en x de L(x, ˆλ) est unique Dans ce cas si on note x(λ) le vecteur tel que on peut écrire que w(λ) = L(x(λ), λ), w(λ) = x L(x(λ), λ) dx(λ) dλ + λl(x(λ), λ), = g(x(λ)), puisque x(λ) est par définition le minimum en x de L(x, λ) L algorithme de la méthode est donc le suivant : 1 Poser k = 0 et λ 0 = 0 Algorithme d Uzawa 2 Déterminer x k solution du problème min x R n f(x) + λ k g(x) 3 Si max i g i (x k ) < ɛ alors on s arrête 4 Sinon, calculer λ k+1 = [λ k + ρ k g(x k )] + 5 Faire k k + 1 et retourner en 2 Au point 4 on peut choisir ρ k fixe ou bien faire une recherche linéaire Lorsque la fonction duale est mal conditionnée, on peut aussi utiliser une méthode de quasi-newton Dans le test d arrêt choisi la valeur de ɛ > 0 devra être choisie prudemment : en effet, s il n existe pas de point-col on ne peut avoir x k K et donc si ɛ est trop petit l algorithme ne s arrêtera pas

108 108 Méthodes utilisant la notion de dualité VIII22 Méthode d Arrow et Hurwicz Cette méthode est très voisine de la méthode d Uzawa Au lieu de déterminer x k comme le minimum de L(x, λ k ) on se contente d un pas dans la direction x L(x, λ k ) : on définit x k+1 par x k+1 = x k α k x L(x k, λ k ), et λ k+1 par λ k+1 = [λ k + ρ k g(x k )] +

109 Index des concepts Le gras indique un grain où le concept est défini ; l italique indique un renvoi à un exercice ou un exemple, le gras italique à un document, et le romain à un grain où le concept est mentionné A Algorithme BFGS 65 Algorithme DFP 62, 63 B Broyden (formule de) 60 Dérivée directionnelle 16 E Estimation des multiplicateurs 97 exemple en mécanique 10, 12 existence 22 F Forme quadratique (définition) 12 forme quadratique définie positive (propriétés)13 C Calcul du pas optimal (cas quadratique) 33 Condition nécéssaire du second ordre 84 Condition nécéssaire du second ordre - contraintes d inégalité 85 Conditions nécessaires (sans contraintes) 24 Conditions nécessaires et suffisantes (sans contraintes) 25 conjugaison 36 Convexité (relation avec le gradient) 21 Convexité (relation avec le hessien) 20 Convexité des ensembles 18 Convexité des fonctions 19 Courbe admissible 73 D différentiabilité 15 Direction admissible 72 Distance d un point à un plan 79 G Gauss-Newton 66 Gradient conjugué : algorithme 39 Gradient conjugé : étude de convergence 44 Gradient conjugé, Interprétation, sous espace de Krylov 42 Gradient projeté 88 I interpolation cubique 54 Intervalle de sécurité 49 K Kuhn et Tucker - interprétation géométrique 78 L La méthode de Newton projetée 90 Lagrangien 83

110 110 Index des concepts Levenberg-Marquardt 67 Linéarisation du lagrangien 98 M Matrice Hessienne 17 Mise sous forme standard 8 Mise à jour de l approximation du hessien 59 Méthode d Arrow et Hurwicz 108 Méthode d Uzawa 107 Méthode de directions réalisables 92 Méthode de Fletcher-Reeves et variante de Polak- Ribière 41 méthode de Newton 56 Méthode de Wilson 99 Méthode de Wilson (contraintes d inégalité) 100 Méthode du gradient simple 31 Méthode du gradient à pas optimal 32 P Point-col 106 Principe des méthodes de descente 30 Problème avec contraintes d inégalité 76 Problème avec contraintes d égalité 71 problème de moindres carrés 9 problème dual 104 Problème standard (avec contraintes) 70 Programme quadratique (exemple) 81 Propriété de minimisation 37 Préconditionnement 57 Pseudo-inverse 80 Pénalisation externe 94 Pénalisation interne 96 R Recherche linéaire 48 Relation de quasi-newton 58 Règle d Armijo 50 Règle de Goldstein 51 Règle de Wolfe 52 Réduction de l intervalle, principe 53 T Théorème de Lagrange 75 U Unicité (lien avec la convexité) 23

111 Index des notions C continuité 15 contraintes d inégalité 8 contraintes d égalité 8 E enveloppe convexe 27 G gradient 16 J jacobienne 16 P pas 30