Singularités Nilpotentes et Intégrales Premières

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Singularités Nilpotentes et Intégrales Premières"

Transcription

1 Singularités Nilpotentes et Intégrales Premières R. Meziani et P. Sad 1 Introduction On s interesse à la classification analytique des singularités nilpotentes dicritiques de (C 2, 0) et la détermination du classifiant ainsi qu à la rigidité formelle-analytique. On notera Λ 1 (C 2, 0) l ensemble des germes en 0 C 2 de 1-formes holomorphes à singularité isolée en 0 C 2. Soit Λ un germe en 0 C 2 de 1-forme holomorphe nilpotente, i.e. le 1-jet de Λ s écrit (modulo conjugaison par un élément de GL(2, C)) comme yd y. D après Takens ([T]), Λ est formellement conjugué à une 1-forme Λ n,p,α : Λ n,p,α = d(y 2 + x n )+α x p U(x)dy où n, p N avec n 3etp 2; α C et U C[[x]], U(0) = 1. En fait, d après [S-Z] et puis récemment [Lo] d une manière géométrique, on peut choisir Λ n,p,α convergente et la conjugaison à Λ analytique. La classification de ce type de 1-forme dépend du fait que le nombre p N dans le terme α x p Udy perturbant la partie hamiltonienne d(y 2 + x n ) est suffisamment grand ou non. Elles ont été étudiées par plusieurs auteurs et sont génériquement rigides. Il y a 3 cas: 1. n < 2p: le classifiant dans ce cas est l holonomie projective, et la résolution de la forme est la même que celle de y 2 + x n = 0 ([C-M]). 2. n > 2p: larésolution est alors obtenue après p éclatements et l holonomie projective classifie encore([b-me-s],[?]). 3. n = 2p: modulo des hypothèses génériques sur α, la résolution est la même que celle de y 2 + x 2p = 0 et le classifiant est l holonomie projective, par contre le rapport des valeurs propres des singularités apparaissant sur la dernière composante du diviseur exceptionnel, dépendent explicitement de α ([Me]). 1

2 Nous nous proposons dans ce travail d analyser ce dernier cas dans le cadre α non-générique, plus précisément α {± 2(r 1/2 + r 1/2 ); r ]0, 1[ Q}. (1.1) Nous remarquons que le cas α = ± 4(our =1)adéjà été considéré dans [Me]. Soit donc Λ un germe en 0 C de 1-forme holomorphe nilpotente avec n =2p, et supposons α comme dans (1.1). On a la suite d éclatements (chaîne linéaire de droites projectives) suivante: Le feuilletage éclaté divisé F Λ de F Λ possède p + 1 singularités m p k = P k 1 P k,k=2, 3,...p,enplusdem i et m i qui sont deux singularités sur P p autresquelecoinm 0. Chaque composante P k pour k =1, 2,...,p du diviseur exceptionel, privée des singularités est une feuille de F Λ ; en particulier, L = P p \{m 0,m i,m i } est une feuille de F Λ. Le coin m 0 est une singularité réduite, linéarisable avec intégrale première holomorphe, et l indice de L en m 0 est µ 0 = p 1 p. Une des singularités dans {m i,m i }, disons m i associe à L l indice µ i Q + (dû à (1.1)); m i est donc linéarisable d après le théorème de Poincaré, sauf peut-être dans le cas résonant (µ i N + ou µ i (N + ) 1 ). On supposera dans toute la suite que le germe en m i de l éclaté divisé Λ de Λ est analytiquement linéarisable, i.e. conjugué à XdT µ i TdX, µ i Q +. Remarquons que la self-intersection de P p est égale à 1, alors µ i + µ i + µ 0 = 1; ainsi l indice µ i de L en m i appartient à Q. La singularité m i est donc réduite, pas nécessairement linéarisable. Si µ i = p q Q + (p q =1)onnoteraΛ Σ p p,q (ou simplement Λ Σ p si on ne veux pas expliciter p,q ). 2

3 Avant d expliquer le but de ce travail, il est convenable d écrire la 1-forme nilpotente Λ selon les coordonnées analytiques introduites dans ([Me]): Λ Ω = d (y 2 + x 2p )+(ax p 1 l(x)+yg(x, y))(pyd x xd y) (1.2) où: g C{x, y}, l C{x} avec l(0) = 1 et a = ri avec r Q (, 2). Pour obtenir cette expression, la courbe y 2 + x 2p = 0 est choisie comme le transformé strictd uneséparatrice lisse par m i et d une autre séparatrice lisse par m i, transverses à P p. Le choix de la deuxième séparatrice est unique; pour la première il l est aussi seulement si µ i Q + \(N + ) 1.Lorsque µ i (N + ) 1, le feuilletage F Ω admet une famille infinie de telles courbes lisses par m i, et on peut selectioner une quelconque pour écrire (1.2). Après la suite d éclatements y = t 1 x, t 1 = t 2 x,...,t p 2 = t p 1 x, x = ut p 1, les singularités de F sur P p sont les points m 0,m i et m i de coordonnées dans la carte (u, t p 1 ) respectivement (0, 0), (i, 0) et ( i, 0). Les indices de L sont µ 0 = (p 1),µ i = ai 2 = p 4p où r Q (, 2). On a (r +2) 4p > 0, µ i = r 2 4p < 0 µ i = p Q q + (p q p =1) a = a p /q = (4p q +2)i La 1-forme Ω 0 = pyd x xd y est résolue après la même suite d éclatements. Dans la carte (u, t p 1 )l éclaté divisé deω 0 est égal à du,quidéfinit la fibration de Hopf de P p. Les 1-formes Ω et Ω 0 sont transverses en dehors de la courbe y 2 + x 2p =0quiestuneséparatrice commune aux deux 1-formes. Le feuilletage F Ω éclaté divisé def Ω admet une infinité deséparatrices par m i, dont l une a pour équation (u = i) dans la carte (u, t p 1 ), ou encore y ix p = 0 dans la carte (x, y); il admet aussi une seule separatrice, par m i, transverse a P p et qui a pour équation (u = i) dans la carte (u, t p 1 ), ou encore (y + ix p = 0) dans la carte (x, y). Le groupe d holonomie de L est engendré par les applications d holonomie locales h 0,h i et h i de L autour des singularités m 0,m i et m i, avec la relation h 0 h i h i = Id. Silegroupeestfini (par exemple, si µ i N + ), 3

4 toutes les feuilles sont des ensembles analytiques. Il peut exister une intégrale première, comme pour la 1-forme laquelle admet l intégrale Ω = d(y 2 + x 2p )+a p /q xp 1 (pyd x xd y) F (x, y) = (y + ixp ) pp. (y ix p ) pp +q Mais en général la finitude du groupe d holonomie n est pas suffisante pour trouver une intégrale première; un des buts de ce travail est de trouver des conditions nécessaires et suffisantes pour garantir son existence. La Section 2 est dédiée àl étude de telles conditions. Plusieurs exemples sont présentés dans la Section 3; ensuite on fait la classification analytique des singularités nilpotentes sous la condition (1.1). Dans la dernière Section un type différent de singularité dicritique est indroduit: les singularités telles qu après un éclatement le feuilletage est régulier au voisinage du diviseur exceptionnel mais avec un nombre fini de points de tangence. Toutes les feuilles sont des ensembles analytiques; la question se pose comme avant pour les singularités nilpotentes: existe-t-il toujours une intégrale première méromorphe ([K])? Si d un côté laréponse peut être affirmative, comme pour les exemples admettant F (x, y) =x + P (yx 1 ),P C[t] avecdégrée > 1 comme intégrale première, de l autre côté les mêmes idées introduites dans la Section 2 permettent de caractériser exactement tous les cas avec intégrale première méromorphes; ils sont très rares en fait. 2 Caractérisation de l existence de intégrales premières On reprend les notations introduites après (1.2); on a alors deux séparatrices distinguées écrites comme y 2 + x 2p =0 La remarque suivante sera utile: soit Θ =(Θ 1, Θ 2 ) Diff(C 2, 0) qui préserve les axes horizontal (T = 0) et vertical (X =0)telqueΘ 1 (X, 0) = X 4

5 et Θ ω 0 ω 0 =0,où ω 0 = XdT p TdX. Alors il existe Θ Diff(C 2, 0) q fixant chaque feuille de ω 0 et tel que Θ Θ soit fibré, i.e préserve les verticales X = cste. Il sufit de choisir la fonction holomorphe l(x, T) avece l Θ(X,T ) Θ 1 (X, T) = X (i.e. l(x, T) = v Θ 1 (X, T) où Θ 1 (X, T) =Xe v(x,t) ) et de prendre Θ (X, T) =(e l(x,t ) X, e p /q l(x,t) T ). En particulier, une fibration holomorphe transverse à(t = 0) telque (X = 0) soit une fibre peut être rectifiée comme dx = 0 (on prend Θ = Id) fixant chaque feuille de Ω. Pour motiver notre théorème principal, prenons Ω Σ p qui possède p,1 une intégrale première méromorphe R (et donc F Ω possède l intégrale correspondant R). On a supposé quela1-forme Ω est linéarisable au point singulier m i de coordonnées (i, 0) dans la carte (u, t p 1 ). On écrit Ω i pour désigner Ω dans les coordonnées (U, t p 1 )pouru = u i; alorsu =0est séparatrice distinguée. Soient (X, T) des coordonées privilegiées, i.e. il existe Φ Diff(C 2, 0) tel que: 1. Φ(U, t p 1 )=(X, T), Φ(U, 0) = (U, 0). 2. Φ ω 0 Ω i =0. 3. Φ(U, 0) = (U, 0) et Φ(U =0)=(X =0). 4. Φ (dx) du =0. L intégrale R définit une intégrale première méromorphe R Φ 1 de ω 0 dans la carte (X, T) sur un polydisque U : X <, T < ; on peut supposer R Φ 1 =0surT =0. SoitΣ une transversale X = X 0 avec X 0 < et r la restriction de R Φ 1 à Σ U.Onétend r àtoutσ (et même pour T ) à l aide des feuilles de ω 0,enposant r(t )= R Φ 1 (X, X p X p 0 T ) pour X assezpetit(demanière que (X, X p X p 0 T ) U ), r s étend ainsi comme une fonction méromorphe sur Σ; r est holomorphe sur CP (1) parce que lim T r(t ) existe: c est R Φ 1 ({X =0}) Parsuiter est une fraction rationelle r(t ) = P (T ) Q(T ). Soit h l application d holonomie locale de 5

6 L = P p \{m 0,m i,m i } en m 0, lue dans la carte (X, T) etcalculée sur Σ (on aévidemment transporté cette application jusqu à Φ 1 (Σ) parrelèvement aux feuilles d un chemin dans L). On a r h = r, et le graphe de h: {(T,h(T )); T << } est contenu dans la courbe algébrique àvariables séparées C r : r(t ) r(s) =0, (T,S) C 2. (2.1) Donc non seulement h est algébrique mais il est algébrique à variables séparées. Si µ i = p /q,ladéfinition de r est la même: r(t ) est la valeur de R atribuée à la feuille de ω 0 par (X 0,T) quand elle est proche de (0, 0) C 2. L application h satisfait une équation comme (2.1); en plus, r satisfait aussi r R = r, où R(T )=e 2iπp /q T est l application d holonomie locale de F ω0 en (0, 0) lue dans Σ (d une façon équivalente, r(t )= r(t q ), pour une fraction rationelle r). Et en fait c est suffisant pour que Ω possède une intégrale première méromorphe: Théorème 2.1. Soit Ω Σ p et h l application d holonomie de la feuille p,q L = P p \{m 0,m i,m i } de F Ω en m 0,calculée sur une section transversale Σ = {X = X 0 } dans une carte (X, T) de coordonnées privilégiées. Alors Ω admet une intégrale première méromorphe ssi h est algébrique à variables séparables: il existe r C(T ) tel que r h = r et r R = r. Preuve: C est une condition nécessaire: on l a déjà vu. Montrons qu elle est suffisante. Dans la carte de coordonnées privilégiées, on définit l intégrale première de ω 0 au point (X, T) comme la valeur de r là où la feuille par (X, T) coupelasectionσ (c est bien défini parce que r R = r; lavaleursur X =0estr( )). Si on dénote aussi par r cette extension, alors, dans la carte (X, t p 1 ), r Φ est une intégrale première de Ω i et sur Σ : r Φ Σ h = r Φ Σ, où h est l application d holonomie de L en m 0 lue dans les coordonnées (X, t p 1 ). La fonction r Φ Σ est une intégrale première holomorphe pour les applications d holonomie de L en m 0 et m i, par conséquent elle l est aussi pour l application d holonomie de L en m i. Donc elle se prolonge en une intégrale première holomorphe de Ω au voisinage de m 0 et de même pour m i. Et de proche en proche on obtient une intégrale pour Ω au voisinage du diviseur exceptionel. Ce qui nous donne une intégrale première méromorphe de Ω. Prenons systèmes de coordonnées privilegiées Φ, (X, T) etφ, (X,T ). Soient h et h les applications d holonomie de L en m 0 calculées sur Σ pour 6

7 les deux systèmes et Θ = Φ Φ 1 ; Θ est fibrée, Θ(X, 0) = (X, 0) et h = Θ Σ h (Θ Σ ) 1,où Σ = {X = X 0 }. Alors r h = r ssi r h = r, où r = r (Θ Σ ) 1. Les seuls difféomorphismes fibrés laissant invariant le feuilletage défini par ω 0 sont linéaires: Θ(X, T) =(X, T )=(X, λt ). Il découle que h est algébrique àvariablesseparées ssi h l est aussi. Soit K Ω = {r C(T ); r h = r, r R = r et r(0) = 0}; il s agit d un sous corps de C(T ). Par le ThéorèmedeLuroth,ilexister Ω K minimal, i.e. K Ω = C(T )(r Ω ); il est unique àcompositionà gauche par une homographie; on a donc C rω = r KΩ C r,eton peut définir C Ω := C rω. Comme on a vu, pour une autre coordonnée privilégiée il existe α C tel quelacourbecorrespondantesoithα C Ω,où H α est l homothétie de C 2 : (T,S) (αt,αs). Soitent C le quotient de Σ par la relation T R(T ), π : Σ C la projection correspondente, r Ω = r Ω π 1 (bien défini parce que r Ω R = r) et C Ω =(π, π)(c Ω )={(z,w) C 2 ; r Ω (z) =r Ω (w)}. L application h commute avec R, donch = h π 1 est un difféomorphime holomorphe bien défini en (C, 0). On va considérer ensuite deux 1-formes Ω, Ω Σ p admettant des intégrales premières méromorphes; soient h, h les applications p,q d holonomie de L = P p \{m 0,m i,m i } de F Ω, F Ω en m 0,calculées sur une section transversale Σ = {X = X 0 } dans les cartes (X, T), (X, T )decoordonnées privilégiées (via les difféomorphismes Φ et Φ ). Considérons aussi les courbes associées C Ω,C Ω, C Ω, C Ω. Théorème 2.2. Ω, Ω Σ p sont analytiquement conjuguées ssi il existe p,q une homographie L : C C, L(0) = 0 tel que L(C Ω )=C Ω. Preuve: a) Condition Nécessaire: Supposons maintenant Ω, Ω Σ p p,q holomorphiquement conjuguées: Ψ Ω Ω =0, Ψ Diff(C 2, 0). Cette application induit une homographie L : C C (parce que C est l espace de feuilles de ω 0 et (Φ Ψ Φ 1 ) ω 0 ω 0 =0où Φ et Φ sont cartes de coordonées privilegiées pour Ω et Ω en m i )queserelève localement en 0 à L :(Σ, 0) (Σ, 0) de façon que h = L h L 1 (L n est pas nécessairement Φ Ψ Φ 1 (Σ, 0) parce que il faut transporter Φ Ψ Φ 1 ((Σ, 0)) sur (Σ, 0) le long de chaque feuille de ω 0 =0). Commeh = L h L 1, on arrive àla conclusion. b) Condition Suffisante. Commençons par montrer l existence de J linéaire tel que J(C Ω )=C Ω 1 où Ω 1 Σ p est analytiquement équivalente a Ω. Le p,q 7

8 point l = L( ) correspond à une séparatrice l lisse de Ω transverse à P p par la singularité m i ;onal = ssi l est séparatrice distinguée. Il existe une conjugaison analytique Ψ entre Ω et une 1-forme Ω 1 Σ p tel que Ψ (l) soit p,q la séparatrice distinguée de Ω 1 par m i (voir l Introduction); alors Ψ induit une homographie L : C C, L(l) =. L homographie J = L L satisfait J(C Ω )=C Ω1, J(0) = 0 et J( ) =. Parconséquent J est linéaire et il existe J : Σ Σ linéaire tel que π J = J π et J(C Ω )=C Ω1. On peut supposer alors qu il existe λ C tel que H λ (C Ω )=C Ω. Soit r Ω (T )=T k s(t )avecs C(T ), s(0) = 0etk 1. Alors C Ω a exactement k composantes lisses localement en (0, 0); une composante est le graphe de h. Comme H λ est une homothétie qui préserve chaque droite par (0, 0), on en déduit que r Ω (T )=T k s (T )avecs C(T ), s (0) = 0etquele graphe de h est envoyé sur le graphe de h,c estàdire,h(λt )=λh (T ). Soit Ψ 0 (X, T) =(X, λt ); on a Ψ 0ω 0 ω 0 =0eth Ψ 0 Σ = Ψ 0 Σ h. Alors ((Φ ) 1 Ψ 0 Φ)) Ωi Ω i =0,où Φ, Φ sont des difféomorphismes fibrés de C 2 tels que Φ ω 0 Ω i =0etΦ ω 0 Ω i =0. Ledifféomorphisme Ψ =(Φ ) 1 Ψ 0 Φ est fibré: Ψ(X, tp 1 )=(X, t p 1 U(X, t p 1 )), U étant une unité, et h 0 Ψ Σ = Ψ Σ h 0;demême h i Ψ Σ = Ψ Σ h i (h 0 et h i sont les applications d holonomie locales de L en m 0 et m i lues dans Σ). Donc Ψ s étend d une manière fibrée ([M-M]) au voisinage de m 0 et m i ; puis de proche en proche en une conjugaison analytique entre les feuilletages F Ω et F Ω au voisinage du diviseur exceptionnel ([Me]). Finalement on a le résultat suivant de synthèse: Théorème 2.3. Soient h Diff(C, 0) tel que h p = Id,h (0) = e 2iπ/p et r C(T ) tel que r h = r. Sir R = r, où R = e 2iπp /q, il existe Ω Σ p p,q avec intégrale première méromorphe et possédant l application d holonomie de L en m 0, calculée dans la carte de coordonnées privilégiées, égale à h (à homothétie près). Preuve: La construction de [L] nous permet d avoir Ω Λ 1 (C 2, 0) tel que la résolution soit du type: 1. une chaîne linéaire de droites projetives P 1,...,P p ayant -2 comme self-intersection, sauf P p dont la self-intersection est 1; ils sont tous invariants, et les seules singularités de P j sont les intersections m p j P j P j 1 et m p j 1 P j P j+1,pourj =2,...,p 1; m p 2 P 1 est l unique singularité dep 1. L indice de P p en m 0 est p 1 p. 8

9 2. P p possède trois singularités m 0, m i et m i.l éclatédivisédeω dévient conjugué à XdT p TdX en m q i et à XdT +( p + 1 q p )TdX en m i. 3. le groupe d holonomie de L = P p \{m 0,m i,m i } calculé sur une section Σ : X = X 0 dans une carte de coordonnées privilégiées est engendré par h et R ( les applications d holonomie de L en m 0 et m i lues sur Σ). Par conséquent l application d holonomie h de L en m i satisfait h =(R h) 1 ;onvoitquer h = r. Le Théorème 1 de [C-L-S] implique que la multiplicité algébrique de Ω en 0 C 2 est égale à 1, donc la 1-forme est nilpotente. Puisque r h = r, r R = r et r h = r ont peut étendre r en une intégrale première (comme dans la démonstration du Théorème 2.1). 3 Exemples Dans cette Section on construit des exemples d éléments de Ω Σ p sans p,q intégrale première méromorphe, avec une application d holonomie h (dans la carte où Ω i est linéaire) transcendante ou algébrique. Il suffit de trouver un élément h Diff(C 2, 0) tel que son graphe ne soit pas une courbe algébrique àvariablesséparées, puis construire le feuilletage correspondant (qui est donc sans intégrale première méromorphe) àl aidedelaconstructionde[l]. a) exemples transcendants: pour tout racine de l unité λ C on va construire un difféomorphisme périodique h Diff(C, 0) non algébrique avec h (0) = λ. Soient φ(z) := e z 1eth := φ 1 (λφ). Donc h est périodique. On a: φ 1 1 (z) =log(1 + z) eth (z) =. Comme (λ 1 1)e z e z +1 est transcendent, alors h (z) est aussi transcedant. Par suite h est transcendent. En effet s il était algébrique, il existerait A C[Z, Z ] tel que A(z,h(z)) 0. Et par suite δa δz (z, h(z)) + h (z) δa (z, h(z)) 0. δz Posons: F (Z, Z,Z )= δa δz (Z, Z )+Z δa δz (Z, Z ) 9

10 donc F C[Z, Z,Z ]. La courbe z (z,h(z),h (z)) est contenue dans l intersection de F = 0avecA = 0, donc il s agit d une courbe algébrique. Par suite h est algébrique, ce qui est absurde. b) exemples algébriques: on va construire un élément algébrique h Diff(C 2, 0) p périodique tel qu il n existe aucun élément r C[Z] verifiant r h = r. Considérons p = 2, i.e. on cherche h tel que h h = Id (C,0) et h (0) = 1; considérons donc la courbe algébrique C 0 d équation: y 2 + β 0 y + α 0 xy + β 0 x + x 2 + γ 0 =0; β 0, α 0 C, γ 0 =0. Cette courbe possède une seule branche lisse en (0, 0), écrite comme {(x, h(x)); x (C, 0)} et h (0) = 1. Comme C 0 est symétrique alors h h = Id (C,0) et h est 2-périodique. La courbe C 0 est irréductible vue qu elle ne contient aucune droite. Donc si r C(t) telquer h = r alors C 0 serait une composante de la courbe algébrique àvariables separées C : r(x) r(y) = 0. Alors si (x, y) C 0 ( r(x) =r(y)) et (y, z) C 0 ( r(y) =r(z)) alors r(x) =r(z) etdonc(x, z) C. Par conséquent, si R est la résultante des deux polynômes en y y 2 +(β 0 + α 0 x)y + x 2 + β 0 x + γ 0 y 2 +(β 0 + α 0 z)y + z 2 + β 0 z + γ 0 alors la courbe R = 0 est une composante de C. Par suite la courbe C 1 : y 2 + β 0 (2 α 0 )y +(2 α 2 0 )xy + x2 + β 0 (2 α 0 )x+β 2 0 (1 α 0)+α 2 0 γ 0 =0 est une composante de C. Posons: 1 1. α 1 =2 α β 1 = β 0 (2 α 0 ) 3 1. γ 1 = β0(1 2 α 0 )+α 2 0γ 0 où α 1 et β 1 peuvent s annuler et γ 1 peut être non nul. On réitèreleprocédé. Finalement pour tout n N on a une courbe algébrique C n constituant une ou deux composantes de C et d équation: avec y 2 + β n y + α n xy + β n x + x 2 + γ n =0 10

11 1 n. α n+1 =2 αn 2 2 n. β n+1 = β n (2 α n ) 3 n. γ n+1 = βn(1 2 α n )+αnγ 2 n Les courbes C n et C m sont distinctes si et seulement si: α n = α m, β n = β m ou γ n = γ m. Si α 0 = 2 onobtientα n = 2 etβ n = 4 n β 0. Pour β 0 =0,lescourbesC n sont deux à deux distinctes. Alors la courbe algébrique C d équation r(x) r(y) = 0 aurait une infinité de composantes irréductibles, ce qui est absurde. Donc il n existe pas d élément r C(t) telquer h = r lorsque α 0 = 2, β 0 C et γ 0 =0. Considerons le cas général p N \{1}. Soit donc ω C \{1}; on va montrer l existence d un élément h Diff(C, 0) tel que h soit conjugué à l homothétie de (C, 0) de rapport ω (en particulier si ω est racine de l unité alorsh est périodique) algébrique mais pas algébrique àvariablesséparées. Soit D ω la droite d équation y = ωx. Considérons Q a : C 2 C 2 (x, y) (x + ax 2,y+ ay 2 ) où a C. L image par Q a de la droite D ω est la courbe algébrique C d équation paramétrique (x C) X = x + ax 2 Y = ωx + ω 2 ax 2 ou encore la courbe d équation R(X, Y )=0,où R est la résultante en x des deux polynômes X (x + ax 2 ) Y (ωx + ω 2 ax 2 ). On a avec λ = R(X, Y )=a(y 2 + λy 2ω 2 XY ωλx + ω 4 X 2 ) ω(ω 1). a 11

12 Et par suite C est la courbe algébrique irréductible d équation Y 2 + λy 2ω 2 XY ωλx + ω 4 X 2. Cette courbe possède une unique composante lisse en (0, 0) d équation Y = h(x). On a h (0) = ω et h est analytiquement conjugué (auvoisinage de 0) à l homothétie de (C 2, 0) de rapport ω. Ledifféomorphisme h de (C, 0) est algébrique. Supposons qu il est algébrique à variables séparées: il existe r C(t) telquer h = r. Donc la courbe C est une composante de la courbe algébrique àvariablesséparées C : r(x) r(y )=0. Si (X, Y ) C et (Z, Y ) C alors (X, Z) C. Par conséquent les composantes irréductibles de la courbe C : R =0sontparmiles composantes irréductibles de C, où R est la résultante en Y des deux polynômes On a Y 2 + λy 2ω 2 XY ωλx + ω 4 X 2 Y 2 + λy 2ω 2 ZY ωλz + ω 4 Z 2. R(X, Z) =ω 8 (Z X) 2 (Z 2 + β 0 Z + α 0 XZ + β 0 X + X 2 + γ 0 ) avec β 0 = 2λ ω, α 3 0 = 2 etγ 0 = λ2 (1 2ω). ω 6 La courbe C 0 (qui est d ailleurs irréductible vu qu elle ne contient aucune droite) d équation Y 2 + β 0 Y 2XY + γ 0 + β 0 X + X 2 =0 est donc une composante de la courbe C d équation r(x) r(y )=0, ce qui est absurde d après le cas précédent (p =2)vuqueα 0 = 2 et β 0 = 2λ ω 3 C. Comme conséquence des exemples, on peut chercher une caractérisation des courbes algébriques àvariablesséparées. Considérons donc une courbe algébrique C d équation P (x, y) = 0, on va supposer que C ne contient pas des composantes qui sont des droites horizontales ou verticales (cette condition est trivialement vraie pour les courbes algébriques àvariablesséparées) 12

13 Théorème 3.1. C est algébrique à variables separées ssi la relation binaire sur C définie par x R P y P (x, y) =0est une relation d équivalence. Preuve: C est une condition nécessaire; montrons qu elle est suffisante: 1ère étappe: montrons que si la relation binaire est d équivalence alors il existe un élément r 1 de C(z) telquelacourbec soit incluse dans la courbe C r1 : r 1 (x) r 1 (y) =0. L équation de C peut-être écrite sous la forme: C : y p + A p 1 (x)y p A 1 (x)y + A 0 (x) =0 où A 0 (x),...a p 1 C(x). Il existe une partie finie F CP (1) tel que si x CP (1) \ F,alorsil exist exactement p points y 1 (x),y 2 (x),...,y p (x) qui sont les solutions en y de l équation précédente, ou encore, c est l ensemble des éléments de la classe de x par la relation d équivalence R P. Considérons S 1,S 2,...,S p les polynômes symétriques élémentaires dans les variables z 1,...,z p et z =(z 1,...,z p ); un polynôme Q C[z] est symétrique ssi il existe H C[z] telque En particulier x CP (x) \ F Q(z) =H(S 1 (z),...,s p (z)). Q(y(x)) = H(S 1 (y(x)),...,s p (y(x))) = H(( 1)A p 1 (x),...,( 1) p 1 A 1 (x), ( 1) p A 0 (x)), où y(x) =(y 1 (x),...,y p (x)). Donc l extension r 1 (x) deq(y(x)) à CP (1) est telle que r 1 (x) C(x) et z, z CP (1) : (z, z ) C r 1 (z) =r 1 (z ). 2ème étappe: soit K C = {r C(z); r(z) =r(z ) (z, z ) C}. On a C K C(z). D aprés le théorème de Luroth, il existe un élément minimal r 0 de K, i.e. K = C(r 0 ). Si r 1 est un autre élément minimal de K alors il existe une homographie H telle que r 1 = H r 0. En effet, soient R, R C(z) telsquer 1 = R(r 0 )etr 0 = R(r 1 ). Donc r 0 = R R(r 0 )etr 1 = R R(r1 ). Posons R R = l/k où l, k C[t]. On a donc r 0 k(r 0 ) l(r 0 ) 0. 13

14 Comme r 0 n est pas constant, par suite R R(z) z; demême pour R R. Donc R et R sont deux homographies. Soit C r0 la courbe algébrique définie par r 0 : r 0 (z) r 0 (z ) = 0. Si r 1 est un autre élément minimal de K C alors C r1 = C r0 car r 1 = H r 0 pour l homographie H et donc la courbe C r0 est indépendante du choix de l élément minimal r 0. 3ème étappe: montrons finalement que C = C r0.onadéjà quec C r0.si C C r0,ilexiste(x, x ) C r0 \C. Par suite les classes de x et x via R P sont différentes et donc {y 1 (x),y 2 (x),...,y p (x)} = {y 1 (x ),y 2 (x ),...,y p (x )}. Il existe alors un polynôme symétrique élémentaire S k tel que S k (y(x)) = S k (y(x )). Donc r Sk (x) = r Sk (x )où r Sk = S k (y(x)). Mais r Sk K C et donc r Sk C(r 0 ) ce qui est absurde car r 0 (x) =r 0 (x ). D où C = C r0 et la courbe algébrique C est àvariablesséparées. 4 Classification et Rigidité Formelle Analytiques Pour faire la classification analytique des éléments de Σ p p,q mêmes idées et notations de la Section 2. On a le on va utiliser les Théorème 4.1. Les feuilletages F Ω, F Ω sont analytiquement conjugués ssi leur groupes d holonomie pour la feuille L, lus sur une section dans une carte de coordonnées privilégiées, sont conjugués en 0: i) linéairement, si p > 1. ii) par une homographie, si p = q =1. iii) par un revêtement d ordre q si p =1et q > 1. Preuve: Soit Ψ conjugation analytique entre F Ω, FΩ et considérons Ψ 0 = Φ Ψ Φ 1 :onaψ 0ω 0 ω 0 = 0 et on peut supposer Ψ 0 (Σ,0) (Σ, 0) (par transport le long de chaque feuille de ω 0 =0). Ψ 0 induit une homographie de C = Σ/R, extension du passage au quotient de Ψ 0 (Σ,0) ;laprojection π : Σ C est un revêtement d ordre q en 0. Ψ 0 (Σ,0) est la conjugation cherchée entre les groupes d holonomie. On remarque que cette application est linéaire ssi Ψ préserve les séparatrices distinguées; c est toujours le cas 14

15 si p > 1. Pour p =1,onaΨ 0 (Σ,0) (T )=[at/(1 + bt )] 1/q,a = 0,pour un branche convenable de la racine; les q -racinesdea/b correspondent à l image par Ψ de la séparatrice distinguée par m i. Supposons maintenant que les groupes d holonomie de L sont conjugués par une transformation linéaire; on repète l argument du Théorème 2.2 pour construire une conjugaison entre les feuilletages. Si la conjugaison est du type L(T )=[at/(1 + bt )] 1/q,soitl la feuille de ω 0 = 0 dont l intersection avec Σ est l ensemble de q -racines de a/b. On prend un feuilletage F Ω 1 conjugué à F Ω de façon que l image de l par la conjugaison soit la séparatrice distinguée de F Ω par m i. Les groupes d holonomie de L selon F 1 Ω et F Ω, 1 lus sur Σ (dans les coordonées privilegiées) sont conjugués par l homographie L (T )=[a T/(1 + b T )] 1/q où b = b/a. Alors L L est linéaire, et on concluit comme avant. Il faut remarquer que pour la construction des conjugaisons entre feuilletages de Σ p écrites comme (1.2), on utilise pour fibration génériquement p,q transverse le feuilletage défini par la 1-forme Ω 0 = pyd x xd y (après désingularisation), de la même façon que dans ([Me], pg. 34). On a aussi le théorème de rigidité suivant: Théorème 4.2. Si possède une intégrale première méromorphe alors elle est rigide, i.e. toute 1-forme qui lui est formellement conjuguée lui est en fait analytiquement conjuguée. Preuve: Soit Ω Λ 1 (C 2, 0) formellement conjugué à Ω : Φ Ω Ω =0,où Φ Diff(C 2, 0). Par suite Ω admet une intégrale première méromorphe formelle H = F Φ,où F est une intégrale première méromorphe de Ω. Comme Ω possède une singularité m i dans P p avec µ i Q + alors H est méromorphe pure, i.e. H / O2 et H 1 / O 2. D après [?,?], H est alors convergente: H = F Φ M2. Posons alors H = F Φ M 2.D après le théorème d Artin ([A]), il existe Φ Diff(C 2, 0) tel que H = F Φ. Donc Φ Ω Ω =0. 5 Cas Dicritique avec Tangences Considérons l espace Σ k1,...,k l des feuilletages en (C 2, (0, 0)) tel que (0, 0) soit point singulier avec la propriété: après un éclatement le diviseur exception- 15

16 nel est transverse au feuilletage éclaté sauf en un nombre fini de points de tangence d ordre k 1,...,k l. Nous voulons caractériser les feuilletages dans cet espace avec intégrale première méromorphe. Il faut premièrement associer à chaque point de tangence d ordre k N une application holomorphe de période k. Prenons pour coordonnées (x, t), y= tx et supposons que le point de tangence soit p = (0, 0); localement le feuilletage éclaté est donné par h(x, t) =u(x, t)(x f(t)) = cste, où f(t) =t k ˆf(t), ˆf(0) = 0, ˆf et u(x, t) sont holomorphes et u(0, 0) = 0; la courbe de tangence L p en p au diviseur exceptionnel E est x = f(t). Il faut éclater successivement k fois à partir du point p pour avoir finalement le transformé strict ˆL p de la courbe L p transverse au diviseur exceptionnel. Celui-ci est l union du transformé strict Ê de E avec une chaîne linéaire de k composantes Q 1,...,Q k ; les self-intersections sont données par Q 1.Q 1 = 1 et Q j.q j = 2 pour2 j k. Le feuilletage éclaté est transverse à Ê au voisinage de Ê Q 1;lescomposantesQ 1,...,Q k sont invariantes et les seules singularités sont aux coins, sauf pour Q 1 qui possède aussi une singularité q à l intersection ˆL p Q 1. Le feuilletage éclaté possède àchaquesingularité une intégrale première holomorphe; en particulier, l indice associé à Q 1 en q est 1/k. Soit {r} = Q 1 Q 2. L application d holonomie de Q 1 \{q,r} au point q est périodique de période k; si on fait le transport de cette application jusqu à Ê on obtient un difféomorphisme local i p (périodiquedepériode k). Evidemment ce difféomorphisme peut-être lu directement sur E (en fait, sur un voisinage V p de p dans E). Ainsi à chaque point de tangence p j =(t j, 0) E, 1 j l il est associé un difféomorphime local i j de période k j tel que i j (t j )=t j ; t V pj et i j (t) E sont dans la même feuille. En ce qui concerne la désingularisation, on trouve une composante du diviseur exceptionel, disons encore Ê avec self-intersection Ê.Ê = 1 l j=1 k j, attachée à l chaînes linéaires; le feuilletage désingularisé est transverse à Ê. La condition d existence d une intégrale première a un rapport direct avec les difféomorphismes i 1,...,i l,plusprécisément avec les graphes associés. Théorème 5.1. Le feuilletage F possède une intégrale première méromorphe ssi les graphes des applications i 1,...,i l sont tous contenus dans une courbe algébrique à variables séparées. 16

17 Preuve: Considérons l intégrale première F (x, t) du transformé strict ˆF. La courbe H(z) H(w) = 0, où H( ) = F (0, ) contient chaque graphe de i j, 1 j l parce que F (0,i j (t)) = F (0,t). A l inverse, si chaque graphe est contenu dans la courbe H(z) H(w) = 0 alors on peut définir l intégrale au point (x, t) comme la valeur de H au point où la feuille de ˆF par (x, t) coupee; comme la feuille coupe E en plusieurs points seulement au voisinages des points de tangence, la condition donnée entraîne que cette valeur est bien définie. Nous voulons maintenant discuter la synthèse des singularités de Σ k1,...,k l. Pour simplifier l exposé, prenons le cas d un point de tangence d ordre k N seulement. A la fin de la construction nous aurons un diviseur exceptionnel avec une composante Ê de self-intersection 1 k attachée à une chaîne linéaire avec k composantes Q 1,Q 2,...,Q k de self-intersections 1, 2,..., 2 respectivement. On va recoller un feuilletage ˆF 1 transverse à Ê avec un feuilletage ˆF 2 défini au voisinage de la chaîne linéaire comme on a déjà décrit au début de cette Section. La composante Q 1 possède une singularité q du type local ku d v+vdu= 0. Choisissons une section Σ proche de q, transverse à Q 1 ; l application d holonomie locale h en q du feuilletage ˆF 2 est périodiquedepériode k N; prenons aussi un petit arc dans Ê et un difféomorphisme holomorphe η : Σ Σ. Cette application a une extension holomorphe d un voisinage U de Σ dans un voisinage Ũ de Σ définie au long des feuilletages ˆF 1 U et ˆF 2 Ũ de façon à les préserver. Par conséquent, l application h lue dans Σ est i = η 1 h η. Le choix de η permet de réaliser i comme on veut, par exemple non algébrique, ou algébrique mais pas algébrique àvariablesséparées, ou même algébrique àvariablesséparées (cf. Section 3). Exemple (Suzuki): il s agit d un exemple avec une tangence quadra- 17

FORMES LOGARITHMIQUES ET FEUILLETAGES NON DICRITIQUES

FORMES LOGARITHMIQUES ET FEUILLETAGES NON DICRITIQUES FORMES LOGARITHMIQUES ET FEUILLETAGES NON DICRITIQUES DOMINIQUE CERVEAU 13 juin 2012 À Xavier Gomez Mont jeune mathématicien à l humour inclassable RÉSUMÉ. Pour un euilletage algébrique F de codimension

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient

Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient Université Lille 1 Algèbre 2010/11 M51.MIMP Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient Exercice 1 Soient G, G deux groupes et f un homomorphisme de G dans G. Montrer que si A G, alors f( A )

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

CHAPITRE V. de U U dans Hom(F, F ) est de classe C. b dans Hom(F,F ) est de classe C, l application b b. de U U

CHAPITRE V. de U U dans Hom(F, F ) est de classe C. b dans Hom(F,F ) est de classe C, l application b b. de U U CHAPITRE V FIBRÉS VECTORIELS 1. Fibrés vectoriels 1. Cartes et atlas vectoriels Soit B une variété différentielle. Considérons un B -ensemble, c est à-dire un ensemble M muni d une application p : M B.

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Champs d hyperplans. En particulier son rang en un point p, qui est le double du plus grand entier k tel que

Champs d hyperplans. En particulier son rang en un point p, qui est le double du plus grand entier k tel que Champs d hyperplans Un champ d hyperplans coorientable (resp. coorienté) sur une variété V m est le noyau ξ d une 1-forme différentielle non singulière α bien définie à multiplication près par une fonction

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Logique informatique 2013-2014. Examen

Logique informatique 2013-2014. Examen Logique informatique 2013-2014. Examen 30 mai 2013. Durée 3h. Tous les documents sont autorisés. Seuls les résultats du cours peuvent être utilisés sans démonstration. Le barême et la longueur des solutions

Plus en détail

Cours élémentaire d arithmétique. Valentin Vinoles

Cours élémentaire d arithmétique. Valentin Vinoles Cours élémentaire d arithmétique Valentin Vinoles décembre 2009 Introduction «Wir müssen wissen. Wir werden wissen.» (Nous devons savoir. Nous saurons.) David Hilbert Voici un document présentant les principales

Plus en détail

Devoir à la maison : correction

Devoir à la maison : correction Calcul différentiel 2 Sous-variétés : bilan Devoir à la maison : correction Exercice 1. Un exemple de sous-variété : les structures complexes Soit E un R-espace vectoriel. Montrer que la donnée d une structure

Plus en détail

Mathématiques assistées par ordinateur

Mathématiques assistées par ordinateur Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polynômes réels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Année 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/ eiserm/cours # mao Document

Plus en détail

Cours de mathématiques.

Cours de mathématiques. Orsay 008-009 IFIPS S Mathématiques (M160). Cours de mathématiques. 1. Equations différentielles linéaires du second ordre. La fonction C : x cos x est indéfiniment dérivable sur R, et C (x) = S(x), avec

Plus en détail

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau Théorie spectrale Stéphane Maingot & David Manceau 2 Théorie spectrale 3 Table des matières Introduction 5 1 Spectre d un opérateur 7 1.1 Inversibilité d un opérateur........................... 7 1.2 Définitions

Plus en détail

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 mat231-exo-03.tex (29 septembre 2008) Feuille d exercices n o 3 Exercice 3.1 Soit K un corps commutatif et soit {P 0, P 1,... P n } une famille de polynômes de

Plus en détail

Quelques remarques sur les d-webs des surfaces complexes et un problème proposé

Quelques remarques sur les d-webs des surfaces complexes et un problème proposé Boletín de la Asociación Matemática Venezolana, Vol. X, No. 1 (2003) 21 Quelques remarques sur les d-webs des surfaces complexes et un problème proposé par D. Cerveau Ivan Pan Résumé On introduit une notion

Plus en détail

Equations différentielles

Equations différentielles Maths PCSI Cours Table des matières Equations différentielles 1 Généralités 2 1.1 Solution d une équation différentielle................................ 2 1.2 Problème de Cauchy.........................................

Plus en détail

Cours fonctions, expressions algébriques

Cours fonctions, expressions algébriques I. Expressions algébriques, équations a) Développement factorisation Développer Développer un produit, c est l écrire sous forme d une somme. Réduire une somme, c est l écrire avec le moins de termes possibles.

Plus en détail

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 Voici une fiche contenant 100 exercices de difficulté raisonable, plutôt techniques, qui recouvrent l ensemble du programme étudié cette année. A raison

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Exercices théoriques

Exercices théoriques École normale supérieure 2008-2009 Département d informatique Algorithmique et Programmation TD n 9 : Programmation Linéaire Avec Solutions Exercices théoriques Rappel : Dual d un programme linéaire cf.

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

1 Fonctions de plusieurs variables

1 Fonctions de plusieurs variables Université de Paris X Nanterre U.F.R. Segmi Année 006-007 Licence Economie-Gestion première année Cours de Mathématiques II. Chapitre 1 Fonctions de plusieurs variables Ce chapitre est conscré aux fonctions

Plus en détail

VIII Relations d ordre

VIII Relations d ordre VIII Relations d ordre 20 février 2015 Dans tout ce chapitre, E est un ensemble. 1. Relations binaires Définition 1.0.1. On appelle relation binaire sur E tout triplet R = (E, E, Γ) où Γ est une partie

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment

Plus en détail

1 Notion d espace vectoriel

1 Notion d espace vectoriel Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Résumé de cours sur les espaces vectoriels et les applications linéaires Les vecteurs du plan, les nombres réels, et les polynômes à coefficients

Plus en détail

Base : une axiomatique

Base : une axiomatique Autour des groupes de réflexions Master 2 Mathématiques fondamentales Cours : Michel Broué Université Paris VII Denis Diderot TD : Vincent Beck Année 2005 2006 Base : une axiomatique a) D après (i), on

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

Systèmes linéaires. 1. Introduction aux systèmes d équations linéaires. Exo7. 1.1. Exemple : deux droites dans le plan

Systèmes linéaires. 1. Introduction aux systèmes d équations linéaires. Exo7. 1.1. Exemple : deux droites dans le plan Exo7 Systèmes linéaires Vidéo partie 1. Introduction aux systèmes d'équations linéaires Vidéo partie 2. Théorie des systèmes linéaires Vidéo partie 3. Résolution par la méthode du pivot de Gauss 1. Introduction

Plus en détail

Polynômes. Motivation. 1. Définitions. Exo7. 1.1. Définitions

Polynômes. Motivation. 1. Définitions. Exo7. 1.1. Définitions Exo7 Polynômes Vidéo partie 1. Définitions Vidéo partie 2. Arithmétique des polynômes Vidéo partie 3. Racine d'un polynôme, factorisation Vidéo partie 4. Fractions rationnelles Exercices Polynômes Exercices

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-201 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre III : Polynômes 1 Fonctions polynômes & polynômes Définition 1. Soit

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières

Plus en détail

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : Accès à l'université chez DUNOD Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD Les supports de cours ne sont pas complets, ils ne contiennent ni les démonstrations,

Plus en détail

Exo7. Devoir à la maison et sujet de partiel. Énoncés : V. Gritsenko Corrections : J.-F. Barraud. Exercice 1 Soit d non rationel.

Exo7. Devoir à la maison et sujet de partiel. Énoncés : V. Gritsenko Corrections : J.-F. Barraud. Exercice 1 Soit d non rationel. Énoncés : V. Gritsenko Corrections : J.-F. Barraud Exo7 Devoir à la maison et sujet de partiel Exercice 1 Soit d non rationel. Dans l anneau on definit la conjugaison" z : Z[ d] = {n + m d n,m Z} si z

Plus en détail

Exo7. Lemme Chinois. Énoncés : V. Gritsenko Corrections : J.-F. Barraud

Exo7. Lemme Chinois. Énoncés : V. Gritsenko Corrections : J.-F. Barraud Énoncés : V. Gritsenko Corrections : J.-F. Barraud Exo7 Lemme Chinois Exercice 1 Soient A un anneau et I et J les idéaux de A tels que I + J = (1). Démontrer que I n + J m = (1) quels que soient entiers

Plus en détail

Rappels sur les applications linéaires

Rappels sur les applications linéaires Rappels sur les applications linéaires 1 Définition d une application linéaire Définition 1 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K et f une application de E dans F Dire que f est linéaire

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique Fonction polynôme du second degré : Forme canonique I) Introduction. Soit g(x) = a(x - s)²+h. Toute fonction polynôme du second degré peut s écrire sous cette forme. Le passage de la forme développée à

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Programme du Math1. Chapitre 1. 22/09/2013 بالتوفيق. Math1 L1 Semestre 1 SM ST. Bibliographie: 1. Notions de Logique. 2. Ensembles

Programme du Math1. Chapitre 1. 22/09/2013 بالتوفيق. Math1 L1 Semestre 1 SM ST. Bibliographie: 1. Notions de Logique. 2. Ensembles /09/013 Programme du Math1 Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene Faculté de Mathématiques Math1 L1 Semestre 1 SM ST Dr M ZIDANI-BOUMEDIEN 1 Ensembles, Relations, Applications Structures

Plus en détail

Par contre, lorsque P est finie, l inclusion f(p ) P implique l égalité f(p ) = P car, f

Par contre, lorsque P est finie, l inclusion f(p ) P implique l égalité f(p ) = P car, f Université Lyon 1 Algèbre générale S.P. Groupes III I. Groupe symétrique et géométrie. On se donne un ensemble E (souvent un espace euclidien ou une partie de cet espace) et une bijection f : E E (souvent

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 Relations binaires Relations d équivalence Exercice 1 [ 02643 ] [Correction] Soit R une relation binaire sur un ensemble E à la fois réflexive

Plus en détail

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. x f 1 B i f(x) B i x f 1 (B i ). f 1 ( i I B i) = i I f 1 (B i ); en effet. f 1 B i = f 1 B i et f 1 (B \ B ) = A \ f 1 B ; i I

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. x f 1 B i f(x) B i x f 1 (B i ). f 1 ( i I B i) = i I f 1 (B i ); en effet. f 1 B i = f 1 B i et f 1 (B \ B ) = A \ f 1 B ; i I TOPOLOGIE - SÉRIE 1 Exercice 1. Soit f : A B une application. Prouver que (a) A f 1 fa pour tout A A, avec égalité si f est injective; (b) ff 1 B B pour tout B B, avec égalité si f est surjective; Preuve.

Plus en détail

Cahier de vacances. Exercices PCSI - PC, Lycée Dupuy de Lôme

Cahier de vacances. Exercices PCSI - PC, Lycée Dupuy de Lôme Cahier de vacances Exercices PCSI - PC, Lycée Dupuy de Lôme Votre année de PCSI a été bien remplie et il est peu probable que l année de PC qui arrive vous paraisse plus facile. C est pourquoi, je vous

Plus en détail

Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP

Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP 1 POLYNÔMES Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP 1 Polynômes 1) Formule de Taylor pour les polynômes. Soit P un polynôme non nul de degré n N. a K, P(X) = k=0 P (k) (a) (X a) k et en particulier P(X)

Plus en détail

Un tout petit peu d homotopie

Un tout petit peu d homotopie Vincent Beck On note I = [ 0, 1 ]. Un tout petit peu d homotopie 0.1 Homotopie Définition 1 Applications homotopes. Soient X, Y deux espaces topologiques et f, g : X Y deux applications continues. On dit

Plus en détail

Espaces vectoriels normés

Espaces vectoriels normés Espaces vectoriels normés Essaidi Ali 19 octobre 2010 K = R ou C. E un K-espace vectoriel. 1 Normes et distances : 1.1 Normes et distances : Définition : On appelle semi-norme sur E toute application N

Plus en détail

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables.

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables. EXAMEN CORRIGE ANALYSE IV 9-6-9 informations: http://cag.epfl.ch sections IN + SC Prénom : Nom : Sciper : Section : Informations () L épreuve a une durée de 3 heures et 45 minutes. () Les feuilles jaunes

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels.

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l année 28-29 1 Partiel Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. On suppose a + c = b + d = 1 et a b 1. ( ) a b c d 1. Soient (x 1,x

Plus en détail

Programme de Première

Programme de Première BAC TECHNO STAV 66 I. Algèbre Programme de Première Objectif 1 - Effectuer de manière autonome des calculs numériques ou algébriques, résoudre des équations ou inéquations en vue de résoudre des problèmes

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Fonctions homographiques On donne ci-dessous deux définitions des fonctions homographiques, et on montre que ces deux définitions sont équivalentes. On décrit la courbe représentative d une fonction homographique.

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q 1 Codes linéaires Un code de longueur n est une partie de F n q. Un code linéaire C de longueur n sur le corps ni F q est un sous-espace vectoriel de F n q. Par défaut, un code sera supposé linéaire. La

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES VINCENT GUEDJ 1. Notions fondamentales 1.1. Noyau, Image. On se donne E un K-espace vectoriel de dimension finie (K = R, C principalement) et f L(E) un

Plus en détail

des invariants [Pro76], cette action s interprète comme une action polynomiale sur

des invariants [Pro76], cette action s interprète comme une action polynomiale sur 1. Programme de Recherche 1.1. Orbites finies sous l action des groupes de tresses. Le prolongement naturel de ce qui est présenté comme travail en cours consiste à déterminer les orbites finies de représentations

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Cours Groupes finis et leurs représentations Corrigé de l examen terminal du 21 mai 2012.

Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Cours Groupes finis et leurs représentations Corrigé de l examen terminal du 21 mai 2012. Université Paris 6 Année universitaire 011-01 Cours Groupes finis et leurs représentations Corrigé de l examen terminal du 1 mai 01 Exercice 1 Questions de cours Soit G un groupe fini et soit p un nombre

Plus en détail

FEUILLETAGES PAR VARIÉTÉS COMPLEXES ET PROBLÈMES D UNIFORMISATION LAURENT MEERSSEMAN

FEUILLETAGES PAR VARIÉTÉS COMPLEXES ET PROBLÈMES D UNIFORMISATION LAURENT MEERSSEMAN FEUILLETAGES PAR VARIÉTÉS COMPLEXES ET PROBLÈMES D UNIFORMISATION LAURENT MEERSSEMAN Abstract. Ce texte est une introduction aux feuilletages par variétés complexes et aux problèmes d uniformisation de

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

Algorithmique et Programmation TD n 9 : Fast Fourier Transform

Algorithmique et Programmation TD n 9 : Fast Fourier Transform Algorithmique et Programmation TD n 9 : Fast Fourier Transform Ecole normale supérieure Département d informatique td-algo@di.ens.fr 2011-2012 1 Petits Rappels Convolution La convolution de deux vecteurs

Plus en détail

Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge

Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : Rappels collège/seconde Partie STAV 1/3 Partie STAV 2/3 Partie STAV

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

Résume du cours de Mécanique Analytique

Résume du cours de Mécanique Analytique Résume du cours de Mécanique Analytique jean-eloi.lombard@epfl.ch 22 janvier 2009 Table des matières 1 Équations de Lagrange 1 1.1 Calcul des variations....................... 3 1.2 Principe de moindre

Plus en détail

Chapitre 4. Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries

Chapitre 4. Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries Chapitre 4 Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries I. Adjoint : Cas général d une forme { bilinéaire symétrique sesquilinéaire hermitienne On suppose dans tout I que E est un espace vectoriel de

Plus en détail

Première partie. Deuxième partie

Première partie. Deuxième partie PC 96-97 correction épreuve X97 Première partie. f étant convexe sur l intervalle [t, t 2 ], sa courbe représentative est en dessous la corde joignant les points (t, f(t )) et (t 2, f(t 2 )). Comme f(t

Plus en détail

SUR LA SIGNATURE DE L AUTOMORPHISME DE FROBENIUS. par. Stef Graillat

SUR LA SIGNATURE DE L AUTOMORPHISME DE FROBENIUS. par. Stef Graillat SUR LA SIGNATURE DE L AUTOMORPHISME DE FROBENIUS par Stef Graillat Résumé. Dans cette note, nous calculons la signature de l automorphisme de Frobenius dans un corps fini. Nous serons amené pour cela à

Plus en détail

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels.

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels. Licence de Sciences et Technologies EM21 - Analyse Fiche de cours 1 - Nombres réels. On connaît les ensembles suivants, tous munis d une addition, d une multiplication, et d une relation d ordre compatibles

Plus en détail

CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2. Première partie

CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2. Première partie CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2 Première partie I. A. 1. La fonction x px kx 2 = x(p kx) présente un maximum pour toute valeur de p au point d abscisse x = p p2 et il vaut 2k 2k. Conclusion : J(f) =

Plus en détail

Relations binaires sur un ensemble.

Relations binaires sur un ensemble. Math122 Relations binaires sur un ensemble. TABLE DES MATIÈRES Relations binaires sur un ensemble. Relations d équivalence, relation d ordre. Table des matières 0.1 Définition et exemples...................................

Plus en détail

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires :

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : Exo7 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R R f 1 x,y = x + y,x y f : R R f x,y,z = xy,x,y f : R R f x,y,z = x + y + z,y z,x

Plus en détail

ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE. - Notes de cours et de travaux dirigés - PHILIPPE MALBOS

ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE. - Notes de cours et de travaux dirigés - PHILIPPE MALBOS UNIVERSITÉ CLAUDE BERNARD LYON Licence Sciences, Technologies, Santé Enseignement de mathématiques des parcours Informatique ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE - Notes de cours et de travaux

Plus en détail

Matrices. 1. Définition. Exo7. 1.1. Définition

Matrices. 1. Définition. Exo7. 1.1. Définition Exo7 Matrices Vidéo partie 1 Définition Vidéo partie 2 Multiplication de matrices Vidéo partie 3 Inverse d'une matrice : définition Vidéo partie 4 Inverse d'une matrice : calcul Vidéo partie 5 Inverse

Plus en détail

Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles

Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles Frédéric Messine Introduction Dans ce chapitre, nous allons étudier une application de la dérivation des fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Le produit semi-direct

Le produit semi-direct Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

par Méthodes topologiques en dynamique des surfaces École d été, Grenoble, Juin 2006

par Méthodes topologiques en dynamique des surfaces École d été, Grenoble, Juin 2006 POINTS FIXES DES HOMÉOMORPHISMES DE SURFACES par Frédéric Le Roux Méthodes topologiques en dynamique des surfaces École d été, Grenoble, Juin 2006 La fibration de Hopf. Dessin de Benoît Kloeckner, http

Plus en détail

1.3 Produit matriciel

1.3 Produit matriciel MATRICES Dans tout ce chapitre, K désigne les corps R ou C, p et n des entiers naturels non nuls 1 Matrices à coefficients dans K 11 Définition Définition 11 Matrice On appelle matrice à coefficients dans

Plus en détail

Exo7. Formes quadratiques. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr

Exo7. Formes quadratiques. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr Exo Formes quadratiques Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

Plus en détail

Structures Algébriques Groupes : exercices

Structures Algébriques Groupes : exercices Institut Galilée Université Paris XIII Structures Algébriques Groupes : exercices L3 semestre 5 2012-2013 Exercice 1 Soit (G, ) un ensemble muni d une loi de composition associative. Montrer que G est

Plus en détail

BJ - RELATIONS BINAIRES

BJ - RELATIONS BINAIRES BJ - RELATIONS BINAIRES Définitions Soit A et B deux ensembles non vides, et G une partie de A B. On dit qu un élément x de A est relié à un élément y de B par une relation binaire de graphe G, si le couple

Plus en détail

Cours de mathématiques M22 Algèbre linéaire

Cours de mathématiques M22 Algèbre linéaire Cours de mathématiques M22 Algèbre linéaire λ u u + v u v u Exo7 Sommaire Systèmes linéaires 3 Introduction aux systèmes d équations linéaires 3 2 Théorie des systèmes linéaires 7 3 Résolution par la méthode

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail