Introduction. Sommaire

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1 Introduction L équipe des formateurs T³ a conçu ce document dans le but de vous aider à utiliser et manipuler les calculatrices graphiques numériques de Texas Instruments sur les grands thèmes des programmes de BEP et Bac Pro. Les programmes et référentiels des formations en lycée professionnel insistent particulièrement sur le développement des lectures et recherches graphiques pour explorer de nombreux concepts scientifiques, tant dans l environnement industriel que tertiaire. Le développement des nouvelles technologies ne peut ignorer l importance d outils qui donnent aux élèves la possibilité de chercher, d expérimenter, de découvrir et donc de construire leurs connaissances autrement que dans l imitation des actions de leur professeur. Ce sont quelques uns de ces aspects qui nous ont conduit à élaborer ce cahier, en souhaitant rester suffisamment généraliste pour répondre au maximum à la diversité des formations de LP. Ainsi l ensemble des activités proposées doit permettre aux élèves et professeurs d utiliser les calculatrices graphiques comme un outil privilégié d investigations et de découvertes scientifiques ou encore de traitement de données expérimentales en sciences physiques. Sommaire 1. Premières approches. p 2 2. Les calculs de base... p 4 3. Exploration graphique.. p 6 4. Gestion de listes... p 8 5. Résolution d équations et systèmes d équations.. p Etude d une fonction... p Les suites. p Etude d une série de données... p Spécialités de l Industrie et de l Agriculture p Spécialités des Services p Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 1

2 1. PREMIÈRES APPROCHES La Découverte de la TI-82 STATS.FR Les Essentiels La TI-82 Stats.fr reprend toutes les fonctions de la TI-83. Autant au niveau Statistique qu au niveau graphique. Elle possède également un module de calculs financiers. Sa capacité mémoire est de 32 Ko (dont 27 Ko de disponibles pour l utilisateur). Son écran, très contrasté et très lisible, possède 8 lignes de 16 caractères. Soit pixels. Elle possède une prise permettant une liaison «Calculatrice Calculatrice» (le câble est fourni) pour des échanges de données. Il est également possible de la relier à un Mac ou à un PC via un câble «TI-Graph-Link» et les logiciels «TI-Graph-Link» ou «TI- Connect». La liaison avec des interfaces de type CBL/CBL2 ou CBR est possible en installant les programmes «ChimBio» ou «Physique» en software. Zone 1 Touches réservées à la partie graphique de la machine. Zone 2 Touches permettant d utiliser les fonctions «seconde» ou «alphabétique» des touches. Zone 3 Touches numériques qui permettent d entrer des nombres. Attention : on remarquera que le séparateur décimal est un point «.» et qu il existe un signe négatif pour les nombres «( )» à ne pas confondre avec le de soustraction. Zone 4 Touches de déplacement utiles dans les menus pour un déplacement vertical. Elles sont également utiles dans la partie graphique pour un déplacement dans la fenêtre ou pour passer d une courbe à l autre. Zone 5 Touches d opérations. Attention : le signe placé ici ne s utilise que pour la soustraction. Zone restante Cette zone correspond aux différentes fonctions de la machine. C est la partie scientifique Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 2

3 Touche mz Zone 6 Touche permettant Touches permettant de paramétrer la d obtenir des menus calculatrice (pour sa déroulant. Aussi bien en fonction première) et de fonction 1 re que 2 nd. sortir d une boîte de dialogue ou d un menu pour revenir à l écran de calcul grâce à sa fonction y 5. Touche Touche permettant d aller dans les fonctions statistiques Stats ou dans les listes de données en fonction 2nde [listes]. Touche v Cette touche permet de stocker des données (dans des listes, des variables ou des chaînes de caractères). Sa fonction 2 nde [rappel] permet de récupérer une «Variable», «Liste», «Image», «Chaine» ou tout autre donnée sauvegardée (ou stockée). Zone 7 Dans cette zone nous regarderons les fonctions 2 nd de notre partie numérique. Nous trouvons les six listes par défaut de la machine, les variables pour les suites numériques ainsi que le catalogue de toutes les fonctions de la machine (c est très utile lorsqu on ne sait pas où trouver une fonction peu usitée). Touche [mém] Cette touche permet de vérifier la place restante dans la machine, de gérer la mémoire (effacer des programmes, des listes, des données, ) ou d effectuer un «Efface». Touche [entrer] Cette touche permet de récupérer la ligne de calcul précédente. Ceci évite de devoir retaper une longue séquence de touches. Cette touche donne aussi accès au «resol» de la machine Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 3

4 2. LES CALCULS DE BASE Les Essentiels : Calculs numériques Nombre de chiffres affichés : z Fractions : Puissances : y D Notation scientifique, ingénieur : z 1) Étudions l affichage des nombres Calculons le quotient de 2 par 3. z y 5 Pour revenir à l écran de calcul. Á Â Í L affichage peut se faire avec un nombre fixe de décimales, ici 2. Les décimales non affichées ne sont pas perdues. Le retour au mode Float permet de les retrouver. 2) Calculons avec des fractions a) Transformons 9,235 en une fraction. La fraction affichée est irréductible. z y 5 Í Ë Á Â Í Í b) Simplifions la fraction : c) Donnons l écriture 17 décimale de :. 5 d) Calculs mixtes Donnons sous forme fractionnaire le résultat de : Â Ê Ê Í Í À Í Í Â À À Â ¹ Á Ã À Í Í 2007 Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 4

5 3) Calculons avec des puissances : On peut obtenir l écriture fractionnaire du dernier résultat. Travaillons avec des puissances de 10. Calculons : Tant que la calculatrice peut afficher le résultat du calcul elle abandonne l écriture utilisant les puissances de 10. Â Í Á Ì Â Í Í Í y D À Á Í y D Í y D k  y D 4) Calculons en mode scientifique : 4 587,695 0,01392 Tous les résultats, même de calculs très simples, seront donnés sous forme scientifique : , ) Calculons en mode ingénieur : ,2 5, Les exposants seront toujours multiples de 3. On peut revenir à l écriture scientifique ou à la notation normale en changeant le mode. z Í Ê Ë Ê À  Á Í Á Â Í Ë y D k Í Â Ë Á Í Ë y D À  Á y D k 2007 Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 5

6 3. EXPLORATION GRAPHIQUE Les Essentiels Savoir représenter une fonction : choisir la fenêtre : p Utiliser les zooms : q Savoir faire des résolutions graphiques sur un intervalle : équations, inéquations, recherche d extremums. Voici un exemple traité à partir d une partie du sujet de Baccalauréat Professionnel Maintenance des matériels (A, B et C), Session Partie B : Modélisation mathématique Soit f la fonction définie pour tout x de l intervalle [2 ; 8] par : f(x) = 4 x x x. 1 ) Tracer dans le plan rapporté à un repère (Ox, Oy) : a) la courbe C f représentative de la fonction f sur l intervalle [2 ; 8] ; b) la tangente à la courbe C f au point d abscisse x = 2. 2 ) Résoudre l équation : f(x) = 0 pour x appartenant à l intervalle [2 ; 8]. 3 ) Déterminer les coordonnées de l extremum de la fonction f sur l intervalle [2 ; 8]. 1) Entrons la fonction. On règle la fenêtre pour les abscisses. o p Pour les ordonnées, il faut regarder dans la table de valeurs le maximum et le minimum de la fonction sur l intervalle [2 ; 8]. q } Í Mais il est plus rapide d utiliser le ZMinMax pour ajuster automatiquement les ordonnées Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 6

7 Pour obtenir les axes du repères, on change la fenêtre. p 2) Traçons la tangente à la courbe au point d abscisse 2 Il faut utiliser le menu [dessin]. y Tangente Á Ligne Í La TI-82 STATS.fr donne en plus l équation de la tangente. 3) Résolution de l équation f(x) = 0 Le graphique montre clairement que l équation f(x) = 0 n a pas de solution sur l intervalle [2 ; 8]. On vérifie avec la TI-82 STATS.fr. On utilise le menu [calculs]. y r Á zéro Í On choisit l intervalle borne inférieure et borne supérieure. Í Í TI-82 STATS.fr confirme l absence de solution sur l intervalle [2 ; 8]. Par la même méthode on détermine le maximum de la fonction sur l intervalle [2 ; 8]. y r Í 2007 Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 7

8 4. GESTION DE LISTES Les Essentiels Éditer une liste : 1 :Edite Effacer le contenu d une liste : 4 : EffListe 1) Qu est-ce qu une liste? C est un tableau numérique à une colonne. Il existe dans la calculatrice 6 listes nommées L 1, L 2,,L 6. On peut créer ses propres listes en les nommant avec un nom d au plus 5 caractères alphanumériques. Pour entrer dans le menu liste : 1 :Edite 2) Comment remplir une liste? On place le curseur sur le premier élément. On écrit la valeur. On valide. La valeur s inscrit dans la colonne. Le curseur descend d un cran. À Á Í On écrit la deuxième valeur. On valide. À Â Í Pour insérer un élément, (par exemple le nombre 17 entre les nombres 15 et 19 placer le curseur sur l élément suivant Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 8

9 Taper : y 6 Un 0 s inscrit dans la colonne. On écrit la valeur à insérer. En validant elle s inscrit dans la colonne. y6 y6 Pour effacer une valeur on utilise la touche : { 3) Comment créer une liste à partir d autres listes? On place le curseur sur le nom de la liste à créer. En validant, le curseur descend en bas à gauche. On écrit la relation de la liste avec les autres listes. y d à y e Í En validant cette expression les valeurs calculées s affichent automatiquement. Si on écrit la relation entre guillemets la nouvelle liste dépendra des autres listes. t ã y d à y e t ã Í La calculatrice affiche un cadenas à côté du nom de la liste Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 9

10 En modifiant un des éléments des listes apparaissant dans la relation, l élément résultant de la liste est automatiquement modifié. 4) Comment effacer le contenu d une liste? Exemple : EffListe L 1, L 2. 4 : EffListe 2007 Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 10

11 5. RESOLUTIONS D EQUATIONS & SYSTÈMES D EQUATIONS 5.1 Résolutions d équations : Méthode numérique Les Essentiels : Résolution numérique d une équation à une inconnue Utilisation de la fonction résol : y [catalog] r... Soit à résoudre l équation suivante : x + x = ) Utilisons la fonction «résol» La calculatrice étant allumée avec l écran de calcul affiché, aller chercher la fonction résol dans le catalogue des fonctions de la machine. y [catalog] r... 2) Complétons les arguments de la fonction résol La fonction résol demande trois arguments au minimum : l expression, qui doit être égale à zéro (on transforme l équation en l expression : x + x = 7 ) ; 4 2 la lettre de l inconnue (ici x) ; une valeur numérique 1 (ici 0). Ã ¹ Á Ë Ë Ê Í 1 La valeur numérique attendue est une estimation de la solution cherchée. Cela peut dans certains cas accélérer la vitesse de calcul. Si on n a aucun ordre d idée concernant cette solution, on peut indiquer une valeur numérique quelconque Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 10

12 Rechercher les zéros de la fonction définie sur R + par y = 4ln(x) x 3) Fonction «résol» avec un intervalle de recherche L étude des variations a permis de montrer que 4 ln(x) x s annule pour x 1 compris entre 0 et 4 et pour x 2 compris entre 4 et 10. \ On calcule successivement une valeur approchée de x 1 et de x 2. Noter la syntaxe : L intervalle de recherche est écrit entre accolades {0,4} Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 11

13 5. RESOLUTIONS D EQUATIONS & SYSTÈMES D EQUATIONS 5.2 Résolutions d équations : Méthode graphique Les Essentiels : Résolution graphique d une équation à une inconnue Représenter la fonction correspondant à l expression : o puis s Utiliser les fonctions de calcul de l écran graphique : y / zéro Résoudre l équation : x 2 x 1 = 0 1) Définir une fonction Définir une des fonctions ο par x 2 x 1 (si vous avez défini des fonctions précédemment, il peut être nécessaire de les supprimer). 2) Obtenir le tracé Basculer dans l écran graphique, régler éventuellement le cadrage (6 donne le cadrage standard). 3) Chercher la solution négative L équation proposée a 2 solutions. Pour chercher la solution voulue, on utilise la commande zéro du menu / On entrera successivement les bornes de l intervalle de travail (borneinf, bornesup) puis une valeur numérique estimée (Valeur Init : on peut se contenter de valider par Í). o ¹ ¹ À Í s q y / zéro.. Í ~.. ~ Í Í 4) Chercher la solution positive On utilise la même méthode en choisissant comme intervalle de recherche [1 ; 3] par exemple Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 12

14 5. RESOLUTIONS D EQUATIONS & SYSTÈMES D ÉQUATIONS 5.3 Systèmes d équations : Méthode numérique Les Essentiels : Résolution numérique d un système de deux équations du premier degré à deux inconnues Utilisation de la fonction matrice : 2x 3y = 4 Résoudre le système : x + 4y = 1 1) Entrer les coefficients du système dans 2 matrices [A] et [B] Éditer la matrice [A] à 2 lignes et 2 colonnes et lui affecter les 2 3 coefficients du 1 4 système. Faire de même pour la matrice [B] à 2 lignes et une colonne qui 4 sera définie par :. 1 2) Effectuer le produit [A] -1 [B] Se replacer dans l écran de calcul. Effectuer le produit de matrices suivant : [A] -1 [B]. 3) Obtenir un résultat rationnel Si les coefficients sont rationnels, le résultat l est également. On peut donc demander son affichage sous forme d une fraction : x = 19 et y 6 5 =. 5 ~ ~ À ~ ~ Á y 5 À Á Í À Í 2007 Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 13

15 5. RESOLUTIONS D EQUATIONS & SYSTÈMES D ÉQUATIONS 5.4 Systèmes d équations : Méthode graphique Les Essentiels : Résolution graphique d un système de deux équations du premier degré à deux inconnues, recherche de l intersection de deux courbes Utilisation de l écran graphique : s et menu / Trouver les coordonnées du point d intersection des droites D 1 et D 2 1) Entrons les équations des droites dans l éditeur Si vous avez défini des fonctions précédemment, il peut être nécessaire de les supprimer. o Á Â j À Í Ì Ã Â Í D D : y = x 1 3 : y = x + 5 2) Affichons l écran graphique Régler éventuellement le cadrage de la fenêtre (q pour un cadrage standard). 3) Utilisation du menu [CALC] pour rechercher l intersection Ouvrir le menu /. et choisir 5 : intersect. On désigne successivement les deux courbes et une valeur numérique estimée (valeur estimée, particulièrement utile pour des courbes ayant plusieurs points d intersection). Il suffit ici de valider 3 fois pour accepter les valeurs par défaut. Remarque : Cette méthode peut être utilisée pour rechercher l intersection de deux courbes quelconques, ici un logarithme et une parabole. s y / Í Í Í 2007 Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 14

16 6. ÉTUDE D UNE FONCTION Les Essentiels : Fonction numérique à variable réelle définie par y= f(x). Calcul des valeurs de f(x) pour x donné : o y - y 0 y / Représentation graphique : p s r q Étude de la fonction définie par f(x) = x 3 x² 2x + 2 ; résolution graphique de l'équation f(x) = 0 1) Configurons la calculatrice Il s agit de régler la calculatrice en mode Fonction (Fct) et points reliés (Relié) conformément à l écran cicontre. z Valider chaque choix par Í 2) Entrons la fonction Il faut saisir l'expression de f(x). o  j j Á à Á 3) Procédons au calcul de quelques valeurs de f(x) Définissons les paramètres de la table. y - Utilisons pour lire quelques valeurs : nous observons en particulier que f(1) = 0, que f(0) = 2. y 0 À l aide de la table de valeurs, résolvons le problème : «trouver un encadrement de largeur 0,1 de la solution négative à l'équation f(x) = 0». (L'écran précédent montre qu'il existe une solution entre 1,5 et 1). y Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 15

17 La lecture de ce tableau permet d'affirmer qu'il existe une solution dans l intervalle] 1,5 ; 1,4[. puis y 0 Calcul direct de f(x) pour une valeur quelconque de x, par exemple : f( 1,45), f( 1,4), f( 1,41) pour trouver un encadrement plus précis de la solution au problème précédent. Remarque : le premier calcul fait, il suffit d'utiliser y Í pour rappeler l'expression et changer la valeur de x. y 5 pour revenir à l écran initial, puis : ~ À Í Ì À Ë Í 4) Représentons graphiquement la fonction Définissons une fenêtre d affichage adéquate pour la fonction f, pour x allant de 3 à 3. p Visualisons la représentation graphique de la fonction f. Remarque : r et s donnent la même figure ; r présente l'avantage d'afficher la fonction et les coordonnées du point courant. L étude graphique précédente permet d envisager une étude intéressante aux alentours de x = 1 ; il est possible, en particulier, de se demander s'il existe des valeurs positives de x rendant f(x) négatif. r ~ jusque vers x = 1 (une quinzaine de fois) puis q Á Í r Nous pouvons donc conclure que f(x) prend des valeurs négatives, même lorsque x est positif. 5) Résolvons l'équation f(x) = 0 L observation du graphique précédent permet de conjecturer que l équation f(x) = 0 admet deux solutions positives dont les valeurs approchées peuvent être obtenues en utilisant l option zéro du menu /. y / Á puis ~.~ 2007 Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 16

18 Conclusion : f(x) = 0 admet deux solutions positives dont les valeurs approchées sont 1 et 1,414. Remarque : il est facile de vérifier qu effectivement 1 est solution. La deuxième solution semble être 2; il est possible de le vérifier :y / 1 y C y y C Á affiche 0. y / Á puis ~.~ Nous venons donc de trouver deux solutions à l équation f(x) = 0. Le premier graphique nous avait montré qu il existait une autre solution, négative. Pour l obtenir avec la même méthode il nous faut revenir à une fenêtre d affichage plus grande que la dernière ; nous allons pour cela utiliser l option 3 (Zoom -) du menu q Il ne reste plus alors qu à déterminer la troisième solution : y / Á avec un intervalle correct donne une valeur approchée qui permet de penser à 2 ce qu il est facile de vérifier par y / À En conclusion, l équation f(x) = 0 a trois solutions : 1, 2 et 2 ; ce qu il reste à vérifier en développant (x 1)(x² 2). q Â Í et r suivi de (autant de fois que nécessaire). y / Á 2007 Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 17

19 7. LES SUITES 7.1 Suites arithmétiques Les Essentiels : Suite définie par son premier terme et sa raison Calcul du terme de rang n : o y - y 0 Représentation graphique des termes : p s r Calcul de la somme des n premiers termes : y 9 Étude de la suite définie par u 1 = 15 et u n = u n ) Configurons la calculatrice Il s agit de régler la calculatrice en mode Suite conformément à l écran ci-contre. 2) Entrons la suite Il faut saisir la formule de récurrence et le premier terme définissant la suite dans l éditeur de fonction. u s écrit avec la touche : n s écrit avec la touche : z Valider chaque choix Par Í o y õ 3) Procédons au calcul des valeurs de u 0, u 1,..., u n Définissons les paramètres de la table. y - À l aide de la table de valeurs, résolvons le problème : «déterminer le plus petit rang n tel que u n > 25». On lit n = 12. Lecture directe de u n pour une valeur quelconque de n, par exemple u 100, u 457. y 0 y 5 pour revenir à l écran initial y À Ê Ê y 2005 Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 18

20 4) Représentons graphiquement la suite Définissons une fenêtre d affichage adéquate pour la suite (u n ) pour n allant de 1 à 10. Visualisons la représentation graphique de la suite : u n = u n p Les paramètres à intégrer : (1, 10, 1, 1, 0, 10, 1, 15, 21, 4). s Visualisons les valeurs successives des termes de cette suite. r Utiliser les flèches droite gauche du pavé directionnel. 5) Calculons la somme des termes de la suite Soit à calculer : S 10 = u 1 + u u 10. On crée dans L1 la liste des entiers naturels de 1 à 10. À Se positionner sur L1 Í y 9 ~ Dans L2 on crée u(l1) pour calculer les 10 premiers termes de la suite. y y d Í On calcule dans L3 à chaque fois la somme cumulée des termes de la liste L2. y 9 ~ y e On vérifie que pour n = 10 la somme demandée est S 10 = 30. t t 2005 Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 19

21 7. LES SUITES 7.2 Suites géométriques Les Essentiels : Suite définie par son premier terme et sa raison Calcul du terme de rang n : o y - y 0 Représentation graphique des termes : p s r Suite définie par le terme général : y 9 Calcul de la somme des n premiers termes : y 9 Étude de la suite définie par u 1 = 3 et u n = 2 u n 1 1) Configurons la calculatrice et entrons la suite Le réglage de la calculatrice et la saisie de la formule de récurrence se font comme pour les suites arithmétiques. z Valider chaque choix par Í o y 2) Établissons la table Le calcul des valeurs successives de u 1, u 2, u n se fait comme pour les suites arithmétiques. y - y 0 À l aide de la table de valeurs, résolvons le problème : «déterminer le plus petit rang n tel que u n > 100». On lit n = 7. y 5 pour revenir à l écran initial. 3) Représentons graphiquement la suite Définissons une fenêtre d affichage adéquate pour la suite (u n ) pour n allant de 1 à 10. p Les paramètres à intégrer sont donnés par les écrans Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 20

22 Visualisons la représentation graphique de la suite u n = 2 u n - 1 Visualisons les valeurs successives des termes de cette suite. s r Utiliser les flèches droite gauche du pavé directionnel. À l aide d un écran partagé verticalement, on visualise simultanément la table de valeurs et la représentation graphique. Le mode TRACE permet de déplacer le curseur sur la représentation et sur la table. À l aide d un écran partagé horizontalement, on visualise la représentation graphique et on a la possibilité de calculer une valeur particulière dans la partie «écran de calcul». 4) Calculons la somme des termes de la suite Soit à calculer : S 10 = u 1 + u 2 + +u 10 On crée dans L1 la liste des entiers naturels de 1 à 10 puis on procède comme expliqué dans la fiche «Suites arithmétiques». z s r z s r À Se positionner sur L1 Í y N µ et descendre pour obtenir suite( 5) Utilisons la formule générale : u 1 q n 1. Dans L2 on crée u 1 q L1 1 pour calculer les 10 premiers termes de la suite. On calcule dans L3 à chaque fois la somme cumulée des termes de la liste L2. Â Á y d ¹ À Í y 9 ~ Í y e Í On vérifie que la somme S 10 demandée est Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 21

23 8. ÉTUDE D UNE SÉRIE DE DONNÉES 8.1 Série statistique à une variable Les Essentiels : Calculs des paramètres d une série statistique et représentations graphiques Saisie des données : Représentation graphique de la série : y, p q s Calculs des paramètres : y 9 Les résultats d une enquête concernant l âge des salariés d une entreprise a fourni les résultats suivants. Âge [ 20 ; 25[ [ 25 ; 30[ [ 30 ; 35[ [ 35 ; 40[ [ 40 ; 45[ [ 45 ; 50[ [ 50 ; 55[ Effectif ) On veut représenter cette série à l aide d un histogramme. 2 ) On demande de calculer l âge moyen, l âge médian des salariés. 3 ) On veut enfin l écart type des âges des salariés de l entreprise. Préliminaire Si on a déjà utilisé le tableau statistique il peut être nécessaire de «nettoyer» les listes. Soit toutes les listes, soit certaines listes seulement. y L Ou suivi des noms des listes à nettoyer. y d y e 1) Entrer dans le tableau statistiques À ou Í 2005 Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 22

24 2) Entrer les données Il faut entrer les centres des intervalles des âges dans la liste L1 et les effectifs dans la liste L2. 3) Histogramme Pour représenter la série Avec un histogramme il faut tout d abord : Configurer le graphique statistiques. Régler la fenêtre. Á Á Ë Í jusqu à Á Ë Í puis ~ À Á jusqu à Á Á y - Í Valider les choix de l écran de droite cicontre. p Remarque : Xscl représente l amplitude des classes. Afficher le graphique (écran de gauche). On peut ensuite parcourir l histogramme (écran de droite). s r et ~ 3) Calcul des paramètres Pour afficher la moyenne, la médiane, et l écart type de cette série. est la moyenne σ x est l écart type Med est la médiane. ~ Pour avoir le menu [CALC] Í ou À Puis y d y e L1 contenant les valeurs et L2 les effectifs Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 23

25 8. ÉTUDE D UNE SÉRIE DE DONNÉES 8.2 Série statistique à deux variables Ajustement affine Les Essentiels : Représentation d un nuage de points et ajustement affine d une série statistique double Saisie des données : Représentation graphique de la série :y, p q s Ajustement affine : o s On a relevé dans un snack l évolution du nombre de clients suivant le montant de l addition (en euros). L enquête a fourni les résultats suivants. Prix en 2,5 5 5,5 6 6,5 8, Nombre de clients ) On veut représenter cette série à l aide d un nuage de points. 2 ) On veut calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points. 3 ) On veut calculer les coordonnées des points moyens G 1 et G 2 (des quatre premiers points et des quatre derniers points). 4 ) On veut déterminer une équation de la droite (G 1 G 2 ). 1) Entrer dans le tableau statistiques Nettoyer si nécessaire les listes auparavant (voir au chapitre 4). À ou Í 2) Entrer les données Les montants des additions dans la liste L1 et le nombre de clients dans la liste L2. Á Ë Í puis ~ Á Í 3) Nuage de points Pour représenter la série avec un nuage de points il faut tout d abord : configurer le graphique statistiques ; y, Í Valider les choix de l écran de droite ci-contre Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 24

26 régler la fenêtre ; p Valider les choix cicontre ou utiliser. q afficher le nuage de points. s 4) Calcul des coordonnées de G Les coordonnées de G sont : (6,625 ; 18,25). 5) Calcul des coordonnées de G 1 et G 2 On recopie dans L3 et L4 les 4 premiers termes de L1 et L2 et on répète l étape 4. On obtient : G 1 : x 1 = 4,75 ; y 1 = 21,25. Puis on recopie dans L5 et L6 les 4 derniers termes de L1 et L2 et on répète l étape 4. On obtient : G 2 : x 2 = 8,5 ; y 2 = 15,25. ~ pour avoir le menu CALC puis Á ou Í Puis y d y e L1 contenant les montants et L2 le nombre de clients. ~ Á f g Í ~ Á h i Í 6) Droite de Mayer (ajustement affine) Cette équation a pour coefficient directeur : a = y 2 y 1 = 24 et x 2 x 1 17 pour équation : y = a ( x x 1 ) + y 1 o Entrer l équation puis s 2005 Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 25

27 9. SPÉCIALITÉS INDUSTRIE/AGRICULTURE 9.1 Le théorème de Thalès Les Essentiels : Pratiquer la propriété de Thalès Utiliser la TI-82 STATS.FR pour réaliser les calculs en utilisant les mémoires de la calculatrice. Tourniquette sur un triangle A Soit ABC un triangle et M 1 un point de [AB] On effectue la construction suivante : M 2 point de [AC] tel que (M 1 M 2 ) // (BC) M 3 point de [BC] tel que (M 2 M 3 ) // (AB) M 4 point de [AB] tel que (M 3 M 4 ) // (AC) M 5 sur [AC]... M 6 sur [BC]... B M4 M1 M3 M2 C On entre les longueurs des trois côtés du triangle et AM 1. BC = a, AC = b, AB = c. On choisi ici AM 1 = 2. En route pour un premier tour Calcul de AM 2 On utilise la propriété de Thalès pour le triangle ABC avec la droite ( MM ) 1 2 parallèle à BC. AM2 AM = 1 donc AM 2 = AM 1 b. AC AB c t A t B Á Ê t C Á Í t B t C Calcul de BM 3 On utilise la propriété de Thalès pour le triangle ABC avec la droite ( MM ) 2 3 parallèle à AB. BM3 BC = AM AC donc BM 3 = AM 2 a. b 2 t A t B 2005 Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 26

28 Calcul de AM 4 On utilise la propriété de Thalès pour le triangle ABC avec la droite ( MM ) 3 4 parallèle à AC AM4 AB = CM BC donc c AM 4=(a-BM 3) a 3 En route pour un second tour On réitère le procédé. t A ¹ y Z t C t A On rappelle les frappes précédentes avec y Í La ligne se ferme au second tour. Il est possible de faire la ligne complète en séparant les opérations successives par :ƒ : Recommençons avec un autre point M 1 par exemple avec AM 1 = 3,5. La ligne se ferme encore au second tour. Pour aller encore plus vite, taper les trois formules séparées par «:». La frappe Í relance le dernier calcul. La ligne se ferme encore au second tour. Essayer en changeant de triangle. Que concluez-vous? Í Reprendre le même exercice avec un quadrilatère, avec un pentagone, etc Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 27

29 9. SPÉCIALITÉS INDUSTRIE/AGRICULTURE 9.2 Le théorème de Pythagore Les Essentiels : Pratique à l aide de la TI-82 STATS.FR du théorème de Pythagore et de sa réciproque Si le triangle ABC est rectangle en A alors BC 2 = AB 2 + AC 2. Si le triangle ABC vérifie BC 2 = AB 2 + AC 2 alors le triangle est rectangle en A. Reconnaître un triangle rectangle AB AC BC ABC est rectangle? On utilise les listes de la calculatrice pour automatiser les calculs. On entre dans la liste L1 la longueur du plus grand côté. On entre dans L2 et L3 les longueurs des deux autres côtés. Í On entre dans L4 la relation de Pythagore : L1 2 (L2 2 + L3 2 ). Le triangle est rectangle sur les lignes où la cellule de la liste L4 vaut zéro Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 28

30 Une autre solution consiste à utiliser la possibilité de rentrer plusieurs instructions à la suite en les séparant par «:». On entre les longueurs des côtés, puis la relation de Pythagore. Le triangle est rectangle. On rappelle la ligne et l on recommence en modifiant les données. Le triangle n est pas rectangle. Une troisième solution consiste à réaliser un programme : PYTHA. On entre en premier la longueur du plus grand côté. ~ ~ Í Taper le programme suivant : EffEcr Prompt A,B,C If A^2=B^2+C^2 Then Disp "RECTANGLE" Else Disp "NON RECTANGLE" choisir PYTHA et valider par Í Í relance le programme Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 29

31 9. SPÉCIALITÉS INDUSTRIE/AGRICULTURE 9.3 Les relations métriques dans un triangle Les Essentiels : Les relations métriques dans un triangle ABC Notations (a = BC, b = AC, c = AB, S est la surface du triangle et R le rayon du cercle circonscrit) La formule d Al Kashi : a = b + c 2bcccos( A) 1 La loi des aires ou formule de Carnot : S = bcsin( A) 2 a b c La loi des sinus : = = = 2R sin( A) sin( B) sin( C) B c R a A b C Dans un triangle il y a six données : trois côtés et trois angles. Compléter si possible le tableau suivant en utilisant la TI-82 STATS.FR. Il faut trouver la formule à appliquer puis la rentrer dans le Solveur et lancer le calcul. Données a b c A B C TI-82 STATS.FR A B C D E F Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 30

32 On règle l unité angulaire. z Exercice 1 : calcul de A On utilise Al Kashi pour trouver a. On ouvre le Solveur et on entre la formule. } Í On entre les données. On lance le calcul de a. ƒ Í Exercice 2 : calcul de B On utilise Al Kashi pour trouver la mesure de l angle B, (E sur la TI-82 STATS.FR). On ouvre le Solveur et on modifie la formule. Les données sont encore dans la machine! On lance le calcul de E. Placer le curseur sur la ligne E. } Í ƒ Í Exercice 3 : calcul de C Le calcul de la mesure de l angle en C est immédiat 180 (D + E). À vous de jouer! Solution des exercices y z pour revenir sur l écran principal Formule utilisée a b c A B C Exercice 1 Al kashi Exercice 2 Al kashi Exercice 3 Al kashi Exercice 4 Loi des sinus Exercice 5 Somme des angles??? Il n est pas possible de déterminer un triangle par la seule donnée des trois angles Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 31

33 9. SPÉCIALITÉS INDUSTRIE/AGRICULTURE 9.4 Surfaces et volumes Les Essentiels : Manipuler les formules de calculs de surfaces et de volume Aire d un trapèze : 2 1 (B + b)h. Aire d un disque : πr 2. Volume d un cylindre de révolution ou d un prisme droit d'aire de base B et de hauteur h : Bh. 2 Aire d une sphère de rayon R : 4πR ; volume de la sphère : 4 πr 3 3 Volume d un cône de révolution ou pyramide de base B et de hauteur h : 3 1 Bh. Mettre en œuvre les calculs sur la TI-82 STATS.FR. 1) Utilisation en mode direct Calculer le volume d un cône de révolution de hauteur 5 de rayon 4. On utilise la formule : V = 3 1 πr 2 h. ƒ H ƒ R À Â y B ƒ R Á ƒ H 2) Calcul interactif en utilisant le Solveur Une pyramide à base carrée a pour hauteur 5 m et pour volume 5 m 3. Quelle est la longueur a du côté? } Í On utilise la formule : V = 3 1 a 2 h. On entre les données. On lance le calcul de a. Í t Í 2005 Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 32

34 Calcul automatisé à l aide d un programme Réalisation d un formulaire interactif sur les volumes il suffit d utiliser le programme suivant : Í Lbl M Menu("CALCUL DE VOLUMES","CUBE",1,"PAVE",2,"SP HERE", 3,"CONE",4,"FIN",5 Lbl 1 EffEcr Disp "COTE:" Prompt A Disp "VOLUME DU CUBE:",A Â Pause Goto M Lbl 2 EffEcr Disp "LONGUEUR:" Prompt L Disp "LARGUEUR:" Prompt T Disp "HAUTEUR:" Prompt H Disp "VOLUME:",L*T*H Pause Goto M Lbl 3 EffEcr Disp "RAYON: Prompt R Disp "VOLUME:", Â P R Â Pause Goto M Lbl 4 EffEcr Disp "RAYON: Prompt R Disp "HAUTEUR: Prompt H Disp "VOLUME:",À Â P R Á H Pause Goto M Lbl 5 ClrHome Stop 2005 Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 33

35 10. SPÉCIALITÉ DES SERVICES 10.1 Série chronologique Les Essentiels : Étude d une série chronologique Tendance générale Coefficient de variations saisonnières Donnée corrigée, donnée brute Saisie des données et calculs : Représentation graphique de la série : y - p q s Calculs des indices : y 9 Une entreprise de jouets étudie les ventes de poupées sur les douze derniers trimestres. Le directeur commercial dispose du tableau suivant (représentant le nombre de poupées vendues chaque trimestre des trois dernières années) er trimestre e trimestre e trimestre e trimestre On vous demande de : 1 ) représenter graphiquement cette série en reliant les points ; 2 ) déterminer l équation de la droite de Mayer en fractionnant la série en deux et tracer cette droite ; 3 ) calculer les Coefficients de Variations Saisonnières (C.V.S.) pour chacun des quatre trimestres ; 4 ) le nombre de poupées que l on peut prévoir de vendre au 3 e trimestre 2005 (donnée corrigée des variations saisonnières) et la donnée brute de ce nombre. 1) Saisie des données Procéder comme au chapitre 4. On inscrit le numéro du trimestre (de 1 à 12) dans L1 et la production dans L2. À Ou Í 2) Représentation graphique Configurer le graphique avec des points reliés. y, Í Valider les choix de l écran ci-contre Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 34

36 Régler la fenêtre. p En validant les choix de l écran de gauche ou en utilisant : q Afficher le graphique. 3) Droite de Mayer On coupe la série en deux, on obtient : G 1 (3,5 ; 182,5) ; G 2 (9,5 ; 225) ; a 7 et l équation y = 7x + 157,7. 4) Coefficients de variations saisonnières Il faut calculer la moyenne des ventes d un trimestre et diviser par la moyenne globale des ventes. Donc : C.V.S C.V.S C.V.S C.V.S o Y1 = Ã À Ë s Pour calculer la moyenne globale : y 9 ~ ~ Â y e Í Puis pour calculer les coefficients trimestriels : À Ê Ã À Ã Á Á Â Í y Í Á Ê Â Ë 5) Donnée corrigée, donnée brute La donnée corrigée du 3 e trimestre 2005 correspond à la valeur obtenue pour y dans l équation de la droite de Mayer lorsque : x = 15 (15 e trimestre). donnée brute = donnée corrigée C.V.S. ~ À À ou ~ Í Í Si l équation du 3) est dans Y1 puis faire À Í ensuite y Í ou directement À Ë Ê Â Í 2005 Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 35

37 10. SPÉCIALITÉ DES SERVICES 10.2 Intérêts simples Les Essentiels : Intérêts simples et valeur acquise Calculs de valeurs acquises : o y - y 0 Un capital de est placé à intérêts simples au taux mensuel de 0,25 % pendant 10 mois. Calculer la valeur de ce capital chaque mois, ainsi que les intérêts acquis chaque mois. Les calculs avec des intérêts simples sont des calculs de suite arithmétique. Il convient donc de configurer la machine comme expliqué dans le chapitre 7.1. Les intérêts sont chaque mois : I = , = 15. La valeur acquise est chaque mois : V = I. On saisit donc les deux suites : (après avoir choisi le bon mode) Dans o se placer devant :u(n)= À représentant les intérêts et devant v(n)= Ê Ê Ê Ã À représentant la valeur acquise. y - On valide le réglage de la table comme indiqué sur l écran de gauche. On affiche la table y Intérêts composés Les Essentiels : Intérêts composés et valeur acquises Calculs de valeurs acquises :o y - y 0 Un capital de est placé à intérêts composés au taux semestriel de 2,1 % pendant 12 semestres. La capitalisation est semestrielle. Calculer la valeur de ce capital chaque semestre, ainsi que les intérêts acquis chaque semestre Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 36

38 Les calculs avec des intérêts composés sont des calculs de suite géométrique. Il convient donc de configurer la machine comme expliqué dans le chapitre 7.2. Chaque semestre le capital acquis est : C n = 3000 x (1 + 2,1 100 ) n. et les intérêts acquis sont : I n = C n C 0. On saisit donc les deux suites : Indiquées dans l Ecran de droite avec u(n) représentant le capital acquis et v(n) représentant les intérêts acquis. y - On valide le réglage de la table comme indiqué sur l écran de gauche. On affiche la table y Annuités Les Essentiels : Capital acquis après des versements réguliers ou remboursement d emprunts Calculs : Ã ¹ «1 ) On verse chaque année pendant 8 ans. Calculer la valeur acquise au moment du huitième versement. Capitalisation annuelle au taux de 5 %. 2 ) Combien de versements semestriels de 1 060,79 une personne doit-elle effectuer pour rembourser un emprunt de à capitalisation semestriel au taux semestriel de 2 %? Si a est le montant du versement périodique, t le taux périodique et n le nombre de versement, la valeur acquise V n est : V n = a (1 + t )n 1 t et la valeur actuelle est : V 0 = a 1 ( 1 + t ) n t 1)À Ê Ê Ê À Ë Ê ¹ À Ê Ë Ê 2) Ì «Ê Ë Ê Â «À Ë Ê Á 2005 Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 37

39 10. SPÉCIALITÉ DES SERVICES 10.5 Indices simples et composés Les Essentiels : Connaître et calculer les indices simples Connaître et calculer les indices composés Calcul des indices : Représentation graphique de la série d indices : y, p q s Le gérant d une grande surface a mené une enquête sur l évolution du nombre de clients dans son magasin (en milliers de personnes) au cours des six dernières années. Année Nombre de clients On vous demande de : 1 ) calculer les indices de fréquentation de cette grande surface en prenant comme base 100 l année 1999 ; 2 ) représenter par un diagramme cartésien les indices obtenus. 1) Saisie des données On inscrit le numéro de l année (de 1 à 6) dans L1 et la fréquentation dans L2. À ou Í 2) Calcul des indices Rappel : L indice I 1/0 = V 1 V On crée dans L3 la liste des indices. Ainsi par exemple : I 00/99 = 125,99. 3) Graphique On obtient : G 1 (3,5 ; 182,5) G 2 (9,5 ; 225) a 7 et l équation y = 7x + 157,7. Monter avec } sur le bandeau f et inscrire e À Ê Ê e À Í y, En validant les choix de l écran de gauche et en faisant q on obtient 2005 Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 38

40 On donne le tableau suivant. Année 2001 Année 2004 Produits Quantité Q 0 Prix unitaire P 0 Quantité Q 1 Prix Unitaire P 1 A B C ,5 2, ,8 4,2 2,3 Calculer à 0,1 près, l indice composé des prix I 04/01. 1 ) Par la méthode de Lapeyres. 2 ) Par la méthode de Paasche. 1) Méthode de Lapeyres I 04/01 = Σ Q 0 x P 1 Σ Q 0 x P On saisit le tableau dans les listes L1, L2, L3 et L4. On calcule les produits dans L5 et L6. On calcule les sommes de L5 et L6. Ainsi I 04/01 144,9, avec la méthode de Lapeyres. 2) Méthode de Paasche I 04/01 = Σ Q 1 x P 1 Σ Q 1 x P On procède de la même façon avec des listes L5 et L6 modifiées. Ainsi I 04/01 129,1, avec la méthode de Paasche. À ou Í Monter avec } sur les bandeaux h et i et inscrire L5 = y d y g L6 = y d y e y 5 y 9 ~ ~ et continuer comme sur l écran de droite L5 = y f y g L6 = y f y e 2005 Texas Instruments / T 3 Photocopie autorisée 39