11 Géométrie. dans l espace. Chapitre

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1 hapitre éométrie dans l espace e chapitre reprend prolonge le travail fait en collège en géométrie dans l espace Les activités de conjecture de démonstration de construction de figures sont poursuivies On continue le travail sur les solides : patrons images mentales des situations de parallélisme d orthogonalité perspective cavalière réalité d une figure de l espace représentation dans le plan sections planes es calculs de longueurs d aires de volumes permtant de mieux préciser la notion d orthogonalité entre une droite un plan d énoncer des propriétés usuelles de géométrie plane ou de l espace de réinvestir des acquis des autres chapitres du programme sont proposés en T dans de nombreux exercices Le cours offre les définitions du vocabulaire utiles à une rédaction rigoureuse les énoncés des propriétés nécessaires pour établir les démonstrations de nombreux exercices d application directe L utilisation du logiciel eospace dans les T perm aux élèves une bonne découverte des solides de l espace dans des positions variées de conjecturer puis d établir des démonstrations e nombreux renvois sont faits au -Rom qui accompagne le manuel pour ceux qui souhaitent aller plus loin dans les exercices ou T développer la perception des objs de l espace auprès des élèves chapitre éométrie dans l espace

2 our reprendre contact ctivités d c est un rectangle non carré : ( ) // ( ) ( ) // ( ) e plus toute droite du plan ( ) est orthogonale à ( ) donc en particulier ( ) ( ) sont orthogonales e même pour les autres côtés a rêtes non sécantes du tétraèdre : [ ] [ ] ; [ ] [ ] ; [ ] [ ] b cylindre O a b V = R h où R = -- h = V= cm pyramide V = -- V= 9 cm V = -- h où = -- h = V= cm V = -- h où = -- h = V= cm cône 5 V = -- R h où R = -- h = V= 7 cm 6 V = -- h où = h = V= 6 cm prisme droit est le cube n o l est conseillé de construire le patron ou d utiliser le -Rom a largeur = u épaisseur = 0 6 u longueur = 5 u b ou c obj est impossible ossible : a ; c ; d q c r s b 5 ( ) // ( ) ; ( ) // ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) // ( ) ; ( ) // ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( ) = { } ( ) // ( ) ; ( ) = ( ) ; ( ) ( ) o t p a chapitre éométrie dans l espace

3 Travaux pratiques figure c ; figure a ; figure a S + S ace Tétraèdre 6 triangle ube 6 8 carré Octaèdre 8 6 triangle odécaèdre 0 0 pentagone cosaèdre 0 0 triangle a Le triangle est un triangle isocèle rectangle en de côtés de mesure ; donc = est le milieu de [ ] d où = b La droite ( ) est orthogonale aux droites ( ) ( ) donc est orthogonale à toute droite du plan ( ) en particulier à ( ) onc est un triangle rectangle en après la relation de ythagore dans ce triangle 6 = + = -- = n faisant rouler le dé d un quart de tour le point Q 6 prend la place du point donc Q = = Ou on refait le calcul de la question en montrant que Q est rectangle en a Le triangle Q est un triangle isocèle ( = Q) ; donc la hauteur issue de est la médiatrice du segment [ Q] omme M est le milieu de [ Q] les droites ( M) ( Q) sont perpendiculaires onc M est un triangle rectangle en M b est le milieu de [ ] Q est le milieu de [ ] donc dans le triangle ( Q) est la parallèle à la droite ( ) Q = -- où Q = a ans le triangle rectangle M : sin M M = = d où M b ( M) est la bissectrice issue de du triangle isocèle Q donc Q = M 56 Un fichier eospace avec la correction est disponible sur le -Rom W appartient à la droite ( ) donc au plan ( ) ar suite les points V W appartiennent aux plans ( ) onc l intersection de ces plans est la droite ( VW) b e même on montre que l intersection des plans ( ) est la droite ( UV) a W est un point commun à à ( ) car W ( ) b Les plans ( ) ( ) sont parallèles après la propriété 7 la droite intersection de de ( ) est parallèle à la droite intersection de de ( ) onc l intersection de de ( ) est la droite parallèle à ( UV) passant par W c Le point X du schéma représente un point de du plan ( ) omme U est aussi un point des plans ( ) la droite cherchée est la droite ( UX) Réponse c U X Les points étant coplanaires l intersection de la droite ( ) du plan ( ) est le point d intersection des droites ( ) ( ) : a On trace la portion de la droite ( a) située sur la face On construit les pont b c de la même manière on obtient le schéma ci-dessous b V W a 5 U V appartiennent au plan ( ) W appartenant à la droite ( ) strictement parallèle au plan ( ) les trois points U V W ne sont pas alignés (car sinon W appartiendrait au plan ( ) ) a V appartient à la droite ( ) donc au plan ( ) c chapitre éométrie dans l espace

4 xercices Que sais-je? Réponse Réponse Réponse Réponse Réponse Réponse Réponse Réponse Réponse Réponse Réponse Réponse Réponse Réponse 5 Réponse Réponse Réponse c lles peuvent être sécantes car les points M N sont coplanaires n eff ( N) est parallèle à ( M) donc au plan ( M) donc ( N) est une droite du plan ( M) Selon le choix des points M N les droites ( MN) ( ) peuvent être parallèles d Non sécantes sauf si M= car n appartient pas au plan ( M) 5 M appartiennent au plan ( ) donc M N seront alignés si N est aussi dans le plan ( ) condition réalisée uniquement lorsque N= Si N= M seront alignés uniquement si un des points M est confondu avec 6 Vue arrière Vue de gauche Vue de dessus Vue de droite NTRÎNMNT O 7 a b c Légende : viol orange 8 vert rose jaune Un fichier eospace compl est disponible sur le -Rom a Non sécantes car n appartenant pas au plan les droites ( ) ( ) ne sont pas coplanaires b Non sécantes sauf si M= car n appartient pas au plan ( M) chapitre éométrie dans l espace

5 9 S On ne peut pas dessiner de pyramide à base carrée en perspective cavalière à partir de la figure proposée dans le manuel ST est un triangle rectangle ST = 0 6 cos = = d où 8 6 S 0 atron du cône T 6 = T = d où = rad ylindre vu en perspective : (rayon : hauteur : 8 ; figure réduite) 6 cm ire latérale : rh = cm 00 5 cm e solide possède 0 somms 7 faces atron : 8 5 Le volume du solide est h -- a -- = a = -- a 8 Le volume cherché est a -- a 8 7 = -- a 8 chapitre éométrie dans l espace 5

6 5 La droite ( ) étant orthogonale aux droites ( ) ( ) ( ) est orthogonale au plan passe par le somm 6 a Lorsqu on referme le patron les points coïncident donc = b est un triangle rectangle en donc > ; ce qui donne > c e même Q> Q R> R Le volume de la pyramide est V = -- h où est l aire du triangle rectangle h = où V -- = = -- a 6 5 onc le volume du solide est -- a 6 6 Un tétraèdre régulier a faces 6 arêtes haque face est un triangle équilatéral igure ci-contre 7 9 a Les droites ( ) ( ) ( ) sont parallèles à ( ) b Les droites ( ) ( ) ( ) sont parallèles à ( ) c Les droites ( ) ( ) ( ) sont parallèles à ( ) a ( ) ( ) sont coplanaires b ( ) ( ) ne sont pas coplanaires 0 a appartient au plan ( ) mais pas au plan ( ) car est sur la droite ( ) sécante au plan ( ) en b e même L ( ) L ( ) sont dans le plan ( ) ; donc les droites ( ) ( ) sont coplanaires ans le triangle est le milieu de [ ] donc ( ) n est pas parallèle à ( ) car n est pas le milieu de [ ] ar suite ( ) ( ) sont sécantes a ( ) donc ( ) ( ) sont non coplanaires donc non sécantes b c d e même les droites sont non coplanaires a roites parallèles à ( ) : ( ) ( ) ( L) b roites parallèles à ( ) : ( ) ( L) ( ) c ucune droite ( ) ( L) sont parallèles au plan ( ) ainsi que toute droite du plan ( ) 8 = 5 ; = 6 5 ; = 7 à Voir figure 5 [ ] est la hauteur du tétraèdre car R ( ) ( ) donc ( ) ( ) e même ( ) ( ) Q ( ) ( ) sont droites sécantes parallèles respectivement aux droites ( ) ( ) onc d après la propriété 6 les plans ( ) ( ) sont parallèles Les droites ( ) ( ) sont inclues dans le plan ( ) e plus ( ) est inclue dans le plan ( ) ( ) dans le plan ( ) Les plans ( ) ( ) étant parallèles on en déduit que ( ) ( ) sont parallèles 6 chapitre éométrie dans l espace

7 O 7 Reprise d exercices précédents () 8 M O () omme la droite ( ) est inclue dans ( ) si ( ) ( ) sont sécantes alors : ( ) ( ) = ( ) ( ) d où le point d intersection [ ] [ ] sont parallèles de même longueur (propriété du parallélépipède) donc est un parallélogramme e même pour [ ] [ ] sont parallèles de même longueur donc est un parallélogramme On en déduit que [ ] [ ] ont même milieu ; or le milieu de [ ] est celui de [ ] est On en déduit que = Les diagonales [ ] [ ] [ ] [ ] sont concourantes se coupent en leur milieu 5 Les points sont coplanaires omme ( ) ( ) ne sont pas parallèles ces droites se coupent en le point Même raisonnement pour a appartiennent aux plans ( ) ( ) b omme ( ) ( ) sont plans distincts ( ( ) ( ) ) contenant des points communs ( ) l intersection de ces plans est une droite c On en déduit que les points sont alignés 6 M N Le plan ( M) coupe le plan en la droite ( ) omme O ( M) O ( ) ; donc toutes les droites ( ) passent par O Si ( ) est parallèle à ( ) est toujours parallèle à ( ) 9 f propriété 7 ( MN) ( ) = ( N) omme ( ) ( ) sont parallèles l intersection du plan ( MN) de la face ( ) est une droite parallèle à la droite ( N) passant par M car M ( ) M ( MN) M N 0 M N N appartiennent aux plans ( MN) ( ) donc l intersection de la face ( ) du plan ( MN) est le segment [ N] M N chapitre éométrie dans l espace 7

8 a Le point d intersection des droites ( N) ( ) appartient aux plans ( MN) ( ) b Les droites ( N) ( M) sont coplanaires ; de plus ( N) ( NM) ( M) ( ) c L intersection des plans ( MN) ( ) est la droite ( M) On reproduit la même construction pour trouver le point 6 Le point Les plans ( ) ( ) se coupent selon la droite ( ) L La droite ( ) est parallèle au plan ( ) donc d après le théorème du toit ( ) coupe ( ) en une droite parallèle à ( ) omme ( ) ( ) on peut construire l intersection est le plan passant par parallèle à On utilise ensuite la propriété 7 du cours 7 a Les O droites ( ) ( ) sont sécantes car ( ) est un trapèze de côtés parallèles [ ] [ ] Soit le point d intersection de ( ) de ( ) appartient aux plans ( O) ( O) donc ( O) ( O) = ( O) b Le plan ( ) coupe les plans ( O) ( O) selon les droites parallèles ( ) ( ) après le théorème du toit l intersection de ces plans est une droite parallèle à ( ) omme O ( O) ( O) on peut tracer l intersection cherchée : ( ) 8 5 Soit ( ) la droite intersection de () de (Q) ( d) est parallèle au plan () ; donc il existe une droite ( d ) de () telle que ( d) ( d ) soient parallèles (On choisit ( d ) différent de ( ) ) e même il existe une droite ( d ) de (Q) telle que ( d) ( d ) soient parallèles (on choisit de même ( d ) différent de ( ) ) ppelons ( ) le plan contenant les droites (parallèles) ( d ) ( d ) ( ) coupe () en ( d ) (Q) en ( d ) après le théorème du toit ( d ) ( d ) sont parallèles à ( ) ar suite ( d) est parallèle à ( ) Les plans ( ) ( ) sont sécants selon la droite ( ) Le plans ( ) est un plan parallèle à ( ) car d après le théorème des milieux ( ) // ( ) onc d après le théorème du toit ( ) coupe ( ) en une droite parallèle à ( ) l suffit donc de construire le point (ou le point L ) 8 chapitre éométrie dans l espace

9 9 appartient au plan au plan passant par contenant ( ) appartient à la droite ( ) donc au plan ( ) a La droite ( M) est orthogonale au plan donc orthogonale à la droite ( ) de ce plan b ( ) est orthogonale à ( ) (propriété d un carré) onc ( ) est orthogonale aux droites sécantes ( ) ( M) ar suite ( ) est orthogonale au plan ( M) donc à toute droite de ce plan en particulier la droite ( M) appartient au plan ( ) car ( ) donc l intersection cherchée est la droite ( ) 0 l suffit de respecter le parallélisme des rayons du soleil our une illustration dynamique vous pouvez utiliser le -Rom 5 omme est un triangle équilatéral est le milieu de [ ] ans le triangle équilatéral ( ) est une médiane de ce triangle donc également la hauteur issue de ( ) est orthogonale à ( ) car ( ) est une hauteur du triangle e même ( ) est orthogonale à ( ) car ( ) est une hauteur du triangle onc ( ) est orthogonale au plan ( ) car elle est orthogonale aux droites sécantes ( ) ( ) de ce plan ( ) est donc orthogonale à toute droite du plan ( ) en particulier à la droite ( ) On montre de même que ( ) est orthogonale à ( ) que ( ) est orthogonale à ( ) a roites orthogonales à ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b roites orthogonales à ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c roites orthogonales à ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a roites orthogonales à ( ) : ( ) ( ) b roites orthogonales à ( ) : ( ) ( ) c ucune Étape 5 Outil ( ) ( ) ( 5) ( ) ( 5) Étape : ( ) ( ) sont orthogonales Étape : ( ) ( ) sont orthogonales Étape : ( ) est orthogonale au plan ( ) Étape : ( ) est orthogonale à ( ) ( ) est orthogonale à ( ) à ( ) après la propriété de la boîte à outils ( ) est orthogonale au plan ( ) 6 ans le triangle isocèle ( = ) la médiane issue de est également une hauteur de ce triangle onc ( ) ( ) sont orthogonales ( est le milieu de [ ] ) Même raisonnement dans le triangle : ( ) ( ) sont orthogonales On en déduit que ( ) étant orthogonale aux droites sécantes ( ) ( ) ( ) est orthogonale au plan ( ) ar suite ( ) est orthogonale à toute droite de ce plan en particulier à ( ) 7 La longueur de la diagonale d une face d un cube de côté a est a Longueur de la diagonale [ ] : est un rectangle de côtés de longueur a a onc = a 8 Les arêtes du tétraèdre sont des diagonales des 6 faces du cube lles ont donc toutes même longueur onc est un tétraèdre régulier chapitre éométrie dans l espace 9

10 9 a est un triangle rectangle en b = ( + 85) cm S= cm a x [ 0 ; ] b ace (réduite à 95 %) : L 5 La pyramide est régulière donc = = = ; est le centre du carré a omme est le milieu de [ ] = -- ans le triangle S rectangle en S S 7 = + donc S = a ans le triangle S isocèle en S (S) est la hauteur issue de S donc S est un triangle rectangle en d où S S 9 = + = -- a ; donc S = a 7 c Le rapport de réduction k du triangle au triangle L est k = L après le théorème de Thalès appliqué dans le triangle : L x k = = = -- x x d p( x ) = -- ax ( ) = S 6 llure des courbes y p(x) S a(x) 5 Le plan médiateur de [ ] est SS donc la droite ( SS ) est orthogonale à ( ) e même ( SS ) est orthogonale à ( ) donc ( SS ) est orthogonale au plan ans le carré on calcule : O = -- = 5 cm ans le triangle équilatéral S en calcule : S = = 5 cm ans le triangle OS rectangle en O on calcule : SO = S O = 5 cm La hauteur de l octaèdre est alors SS = SO = 0 cm (par symétrie O est milieu de [ ] donc aussi de [ SS ]) ans le triangle OS rectangle en O OS sin OS = = -- d où OS 5 7 S Le triangle SS étant isocèle en S SS = OS 09 7 O a p( x ) -- x b ax ( ) -- S x 8 x 50 n appliquant la relation de ythagore dans chacun des triangles rectangles en on obtient : + = ; + = ; + = 0 n sommant ces relations on trouve : ( + + ) = 0 donc + + = 0 ar comparaison avec les relations précédentes on trouve : = 0 = ; = 76 ; = 0 où = 6 ; = 9 ; = 0 x ROONSSMNT 5 La construction au fur à mesure est disponible sur le -Rom N M 0 chapitre éométrie dans l espace

11 5 On trace la parallèle à ( ) passant par : ( d) te droite coupe ( ) en Or ( d) ( ) est le point cherché 57 Q 55 L intersection du plan ( M) de () est une droite passant par onc ces points sont alignés est le point d intersection des droites ( ) ( Q) l s agit dans c exercice de faire apparaître l orthocentre que nous désignerons par du triangle à partir des hauteurs issues de de La droite ( ) sera alors la troisième hauteur du triangle M sera donc perpendiculaire à la droite ( ) c est-àdire à ( Q) émonstration ans le plan ( ) la droite parallèle à ( ) passant par est perpendiculaire à la droite ( ) car les droites ( ) ( ) sont perpendiculaires en étant un carré te droite coupe ( ) perpendiculairement en ( ) est donc la hauteur issue de dans le triangle e même la droite passant par parallèle à ( ) est perpendiculaire à ( ) = ( ) car ( ) ( ) étant les diagonales du carré sont perpendiculaires te droite coupe ( ) en ( ) est donc la hauteur issue de dans le triangle 56 Le point d intersection de ( ) ( ) est donc l orthocentre du triangle La droite ( ) est alors la troisième hauteur du triangle elle est donc perpendiculaire à la droite ( ) c est-à-dire à la droite ( Q) 58 ylindre : V = r h = 5h arallélépipède : V = Lh = 0h ône : V = -- h = -- ( h tan 0 ) h = -- h 9 our toute valeur de h V V car 5 0 omparaison de V de V : V V --- 5h h 9 h = [ ] = ( 5 h) ( 5 + h) 9 onc si 0 h 5 V V sinon V V onclusion : si 0 h 5 le récipient contenant le plus de liquide est le cylindre sinon c est le cône0 chapitre éométrie dans l espace

12 59 cm 8 cm 8 cm cm après la propriété 7 ( ) ( ) sont parallèles e même ( ) ( ) ( ) est un parallélogramme our tracer en vraie grandeur le parallélogramme les longueurs des cotés [ ] [ ] [ ] [ ] ne suffisent pas l faut aussi déterminer la longueur de la diagonale [ ] Soit b le point du segment [ M] tel que ( b ) // ( UM) b est le milieu du segment [ M] car U = b M= M = 8 Le triangle b est rectangle en b onc = b + b = = 80 l en résulte = = 5 Soit b le point du segment [ ] a le point de la droite ( N) tels que anm Ub soient des rectangles b est un triangle rectangle en b = b + bc = 9+ 6= 5 l en résulte = = 5 Le triangle Na est un triangle rectangle en N isocèle tel que an= N= 8 donc l hypoténuse [ a] est telle que a= 8 ( a) // ( MN) ( MN) est orthogonale au plan ( N) donc ( a) est orthogonale à toutes les droites du plan ( N) l en résulte que ( a) est orthogonale à ( a) Le triangle a est donc rectangle en a Nous en déduisons en appliquant le théorème de ythagore que = a + a = = 7 soit = 7 Nous pouvons alors construire le parallélogramme en vraie grandeur Nous traçons le cercle de centre de rayon 5 plaçons un point sur ce cercle Nous construisons ensuite le cercle de centre de rayon 7 le cercle de centre de rayon 5 désignons par l un des points d intersection (ces deux cercles sont bien sécants car 7 5 < = 5< ) Nous construisons ensuite le point tel que soit un parallélogramme ROLÈMS 60 a [ ] [ ] [ ] sont des diagonales des faces du cube donc = = est un triangle équilatéral de côté b ans le triangle est le milieu de [ ] O est le milieu de [ ] ; donc ( O) est parallèle à ( ) de plus O = -- = a ( ) est une arête du cube donc ( ) est orthogonale au plan ( ) est donc orthogonale à toute droite de ce plan en particulier à ( O) onc O est un triangle rectangle en b O = O + = ( ) + = 6 n travaillant de même dans le triangle on obtient = 6 omme = O le triangle O est un triangle isocèle en étant le milieu de [ O] ( ) est la médiatrice de [ O] ar suite est un triangle rectangle en donc = = -- O = d où = Le triangle O est un triangle isocèle en donc O O O = = -- O O = = -- ( O ) = 6 donc = 6 est un triangle rectangle en donc = + = 8 donc = 5 a + donc ne sont pas alignés b [ O] ( ) 6 a ans le triangle est le milieu de [ ] est le milieu de [ ] ; donc ( ) est parallèle à ( ) = -- = a -- b n raisonnant dans le triangle on montre que ( L) est parallèle à ( ) que L = a -- n raisonnant dans les triangles on montre que ( L) ( ) sont parallèles à ( ) que L = = a -- onc L est un losange a ans le triangle équilatéral [ M] est la médiane issue de donc aussi la hauteur issue de onc les droites ( M) ( ) sont orthogonales On montre en travaillant dans le triangle que ( M) ( ) sont orthogonales chapitre éométrie dans l espace

13 b La droite ( ) est donc orthogonale aux droites sécantes ( M) ( M) ; donc ( ) est orthogonale au plan ( M) ar suite ( ) est orthogonale à toute droite de ce plan en particulier à ( ) omme ( ) // ( ) ( L) // ( ) on en déduit que ( ) ( L) sont orthogonales c L est un losange tel que côtés consécutifs sont orthogonaux donc L est un carré a L aire de L vaut -- = a ppelons a la longueur omme sont des triangles isocèles en = = = a omme ces triangles sont aussi rectangles en = a = = onc est un triangle équilatéral ( ) est orthogonale à ( ) à ( ) donc ( ) est orthogonale au plan ( ) onc ( ) est orthogonale à la droite ( ) contenue dans ce plan omme ( ) est une hauteur du triangle ( ) est orthogonale à ( ) ( ) est donc orthogonale à ( ) à ( ) sécantes en onc ( ) est orthogonale au plan ( ) par suite ( ) est orthogonale à la droite ( ) du plan ( ) ( ) est orthogonale à ( ) à ( ) donc ( ) est orthogonale au plan ( ) d où l orthogonalité des droites ( ) ( ) ( ) est la hauteur issue de du triangle ; donc ( ) est orthogonale à ( ) On en déduit que ( ) est orthogonale à ( ) à ( ) donc au plan ( ) ar suite ( ) ( ) sont orthogonales n reprenant le résultat de la question ( ) étant orthogonale aux droites sécantes ( ) ( ) ( ) est orthogonale au plan ( ) 5 a Le tétraèdre peut être vu comme un cône de somm de base omme ( ) est orthogonale à ( ) est la hauteur du tétraèdre donc V d où -- a ---- = a = -- a 6 V = cm b est un triangle équilatéral de côté b = a = cm donc S = b = a = 6 cm c omme ( ) est orthogonale au plan ( ) on peut voir le tétraèdre comme un cône de base ( ) de somm avec la hauteur de ce cône onc V= S On en déduit que = a = -- cm Le cône a pour patron pour patron V -- O y O x = = V -- O x O y = = V donc y = -- V x Le périmètre de base du cône est O = y celui de O = x y y our le patron = = R x + y x our le patron = x + y 5 S = y x + y S = x x + y S donc y V = -- = S x V Remarque : On applique ces résultats avec x = cm y = cm 6 L angle O OO a pour mesure en radians O avec = omme O O = 6 cm O sin -- = OO O O d où OO = sin a O O = 6 cm donc OO O O O O 9 = = sin b Les boules jaunes sont donc distantes de OO 6 cm soit environ 0 cm chapitre éométrie dans l espace