RAPPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES

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1 RAPPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES ENSEMBLES DE NOMBRES ENSEMBLES,,,ET: On rappelle que : désigne l ensembleprivé de 0 idem pour, et, + désigne l ensemble des réels positifs ou nuls et l ensemble des réels négatifs ou nuls, + INTERVALLES : désigne l ensemble des réels strictement positifs et l ensemble des réels strictement négatifs. i +4i e i π e ln Nombres complexes Nombres réels Nombres rationnels Entiers relatifs Entiers naturels Pour tous a, b tels que a b, on introduit différents ensembles de nombres appelés intervalles : segments : [a, b] = x / a xb, intervalles ouverts : ]a, b[ = x / a< x<b, ]a,+ [= x / a< x, ], b[= x / x<b et ],+ [=, intervalles semi-ouverts à droite : [a, b[ = x / a x<b et [a,+ [= x / a x, intervalles semi-ouverts à gauche : ]a, b] = x / a< xb et ], b]= x / xb. INTERVALLES D ENTIERS : Pour tous a, b tels que a b, on notea, b l ensemble des ENTIERS compris entre a et b : a, b= n / an b. Par exemple :0,= 0,,. Dans le cas où a et b sont eux-mêmes des entiers, l intervalle d entiersa, b contient exactement b a+ éléments. Il y a par exemple 0+= éléments dans0,. N OUBLIEZ PAS LE «+»! FACTORISATION PREMIÈRE ET FORME IRRÉDUCTIBLE D UN RATIONNEL Le contenu de ce paragraphe sera repris en détail au chapitre «Arithmétique des entiers relatifs». Définition (Divisibilité, diviseur, multiple) Soient a, b. On dit que a divise b, ou que a est un diviseur de b, ou que b est divisible par a, ou que b est un multiple de a, si b=ak pour un certain k. Exemple Les diviseurs de 7 sont et 7, les diviseurs de 6 sont,, et 6, les diviseurs de 0 sont,, 4, 5, 0 et 0. Définition (Nombre premier) Soit p. On dit que p est premier si p et si les seuls diviseurs de p sont et p. Explication Les nombres premiers sont l analogue dansdes particules élémentaires en physique des nombres qu on ne peut pas casser en morceaux plus petits par produit. Il existe une infinité de nombres premiers :,, 5, 7,,, 7, 9,, 9,, 7, 4, 4...

2 Théorème (Factorisation première) Tout entier naturel supérieur ou égal à peut être écrit d une et une seule manière, appelée sa factorisation première, sous la forme p α... pα r où p r,..., p r sont des nombres premiers tels que p <...< p r et oùα,...,α r. Explication Tout entier supérieur ou égal à est un empilement par produit des particules élémentaires que constituent les nombres premiers. Exemple =. 60= 5. 98= = 5. Définition (Nombres premiers entre eux) Soient a, b. On dit que a et b sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est, i.e. si leurs factorisations premières n ont aucun facteur premier commun. Exemple et 98 sont premiers entre eux. Théorème (Forme irréductible d un rationnel) Tout rationnel peut être écrit d une et une seule manière, appelée sa forme irréductible, sous la forme p q où p et q avec p et q premiers entre eux. Explication En choisissant p danset q dans, on impose que le signe de la fraction soit porté par son numérateur. Sans cela, il n y aurait pas unicité de la forme irréductible. En pratique Mise sous forme irréductible : Pour écrire un rationnel a b avec a, b sous forme irréductible, on remplace a et b par leurs factorisations premières, puis on simplifie au maximum. Par exemple, la forme irréductible de est : = 5 5 = = 4. Réduction au même dénominateur : Comment réduit-on par exemple la somme au même dénominateur? 4 EN TOUT CAS, PAS COMME ÇA : = = On commence par déterminer le PLUS PETIT DÉNOMINATEUR COMMUN des fractions 8 et 5. Il vaut ici 4 84= 7 car 8= 7 et 4= 7 on a conservé la plus grande puissance de chaque nombre premier. On réduit ensuite avec CE plus petit dénominateur commun et on n oublie pas de présenter le résultat sous forme irréductible : = = 49 7 = 7 7 = 7. INÉGALITÉS, PUISSANCES, RACINES CARRÉES ET VALEURS ABSOLUES On rappelle brièvement dans ce paragraphe les règles usuelles de calcul sur les inégalités, les puissances, les racines carrées et les valeurs absolues. Le point de vue adopté est purement algébrique, les FONCTIONS puissances, racine carrée et valeur absolue seront revues spécifiquement dans un chapitre ultérieur, de même qu on s interdira momentanément toute étude de fonction pour démontrer une inégalité.

3 ATTENTION! La confusion des inégalités STRICTES et des inégalités LARGES est rigoureusement proscrite! Nous allons manipuler des inégalités toute l année, alors de grâce, faites l effort de CHOISIR CHAQUE FOIS SCRUPULEUSEMENT le symbole que vous souhaitez utiliser. Théorème (Rappels sur les inégalités) Soient a, b, c, d,λ. Lien strict/large : Si a< b, alors a b. LA RÉCIPROQUE EST FAUSSE! Somme : Si a b et cd, alors a+c b+d. Produit : par un réel positif : Si a b etλ0, alorsλaλb. par un réel négatif : Si a b etλ0, alorsλaλb ATTENTION! d inégalités positives : Si 0a b et 0 cd, alors 0acbd. Passage à l inverse : Si a b et si a et b sont DE MÊME SIGNE, alors b a. On peut remplacer dans ces résultats les inégalités larges par des inégalités strictes. En pratique MAJORER une fraction de réels positifs, c est majorer son numérateur et MINORER son dénominateur. MINORER une fraction de réels positifs, c est minorer son numérateur et MAJORER son dénominateur. Exemple x+ Soit x [, ]. On souhaite encadrer grossièrement le réel par un calcul simple. x + 4 En effet Comme x : x+ 5 et x 4, puis 7 x Par quotient enfin : 6 x+ x Exemple Pour tout x> 0 : x+ x. En effet x+ x x>0 x + x x x+ 0 (x ) 0. Le carré d un réel est toujours positif ou nul, la dernière inégalité étant vraie, donc celle de départ aussi. Sur une copie, il vaudrait mieux PARTIR de l inégalité : (x ) 0 et EN DÉDUIRE l inégalité désirée. Définition-théorème (Rappels sur les valeurs absolues) Définition : Soit x. On appelle valeur absolue de x le réel x défini par : est positif ou nul, et nul seulement si x= 0. x si x 0 x = x si x< 0. Interprétation géométrique : Pour tout x, x est la distance de x à 0 sur la droite réelle. Il en découle que : x x x et que pour toutǫ> 0 : x ǫ ǫ xǫ et x <ǫ ǫ< x<ǫ. Ce réel Inégalité triangulaire : Pour tous x, y : x+y x + y. Règle de calcul : Pour tous x, y : x y = x y. La distance de x à 0 est inférieure àǫ si et seulement si x est compris entre ǫ et ǫ. Explication Plus généralement, pour tous x, a, x a est la distance entre x et a, donc pour toutǫ> 0 : x a ǫ x [a ǫ, a+ǫ] et x a <ǫ x ]a ǫ, a+ǫ[. ǫ ǫ a ǫ a x a+ǫ x a ATTENTION! x y x y. par y, c est toujours un «+»qu on trouve à droite : Dans l inégalité triangulaire «x+y x + y», quand on remplace y x y x + y.

4 Exemple On cherche, en fonction de x quelconque, une expression de x x+ qui ne fasse apparaître aucune valeur absolue. Comment procéder? x si x x+ si x En effet x = et x+ =, donc la quantité (x ) si x< (x+ ) si x<. x x + nous oblige à distinguer trois intervalles : ], [, [, [ et [, + [. (x )+(x+ )=5 si x ], [ x x+ = (x ) (x+ )= x si x [,[ (x ) (x+ )= 5 si x [,+ [. Exemple On veut résoudre l équation : x 4 =x+ 0 d inconnue x. x 4 si x 4 En effet Tout d abord, pour tout x : x 4 = 4 x si x< 4. Résolution sur[4,+ [ : Pour tout x 4 : x 4 =x+ 0 x 4=x+ 0 x= 4, or 4/ [4,+ [, donc l équation n a pas de solution sur[4,+ [. Résolution sur],4[ : Pour tout x< 4 : x 4 =x+ 0 4 x= x+ 0 x=, et ],4[, donc est bien solution. C est finalement la seule solution sur. Exemple On veut résoudre l inéquation : + x x < x d inconnue x \. En effet À cause du terme x, on va devoir distinguer les cas x et x<, et comme on va avoir envie de multiplier l inégalité par x, on va devoir distinguer les cas x > et x <. Résolution sur[,+ [ : Pour tout x [,+ [ : + x x < x + x x < x x x+ >0 Résolution sur],[ : Pour tout x ],[ : + x x < x + x x < x x 4x+ <0 < + > x ],[. Résolution sur],[ : Pour tout x ],[ : + x x < x + x x < x x 4x+ >0 < + > x,. x<0 + x>( x)(x ) Discriminant 8 x [,+ [. x<0 + x>( x)( x) Discriminant < x< + x>0 + x<( x)( x) Discriminant x< ou x> + Conclusion : L ensemble des solutions cherché est la réunion d intervalles, ],+ [. Définition-théorème (Rappels sur les puissances) Définition : Soient x et n. On appelle x puissance n le nombre x n défini par : x n = x... x }{{} n fois Si x 0, on appelle x puissance n le nombre x n défini par : x n = x n= x n = avec x 0 = par convention. Règles de calcul : Pour tous x, y et m, n : x m+n = x m x n, x mn = x m n Ces formules sont encore vraies si m ou n est négatif à condition que x et y soient non nuls. n fois {}}{ x... x. et (x y) n = x n y n. 4

5 Définition-théorème (Rappels sur les racines carrées) Définition : Soit x +. Il existe un et un seul r + pour lequel x= r. On l appelle la racine carrée de x et on le note x. Règles de calcul : Pour tous x, y + : x y= x y, mais ATTENTION : x+ y= x+ y. En outre : x = x. ATTENTION! La quantité =x. x n est définie que si x 0, et par définition de la racine carrée : x La quantité x, au contraire, est toujours définie, mais comme le passage au carré tue le signe de x : x = x. Ce qu il faut retenir, c est qu en général : x = x. ATTENTION! Pour tous a, b, x, y : ax= a y = x= y, a = b = a= b et pour a0 : a= x = x= a. Ce sont là des ERREURS GRAVES. Pour les corriger, un rappel : Un produit est nul si et seulement si l un de ses facteurs l est. Il en découle que : ax= a y a(x y)=0 a= 0 ou x=y, que : a = b (a+ b)(a b)=0 a= b ou a= b a = b, et enfin si a 0, que : a= x a+ x a x = 0 x= a ou x= a. Voici donc la version corrigée des règles erronées précédentes : Pour tous a, b, x, y : ax= a y a=0 ou x=y, a = b a= b ou a= b a = b, et pour a0 : x= a x = a et x 0. Exemple On veut résoudre l équation : x = x+ d inconnue x. En effet Pour tout x : x = x+ (x ) = 4(x+ ) x + x= 0 Pas de discriminant! x(x+ 4)=0 x 4,0. Exemple On veut résoudre l équation : En effet x+ 8= x+ Réponse incorrecte : Pour tout x [ 8,+ [ : d inconnue x [ 8,+ [. x+ 8= x+ x+ 8=(x+ ) x Discriminant 5 +x 4=0 x= + 5 ou x= 5 x 4,. Et là surprise il se trouve en fait que 4 n est pas solution car : 4+8= = 4+. Mais que s est-il donc passé? Tout simplement, la première équivalence est fausse, mais de gauche à droite, le passage au carré est correct. De droite à gauche au contraire, le passage à la racine carrée est faux car si x+ 8=(x+ ), alors : x+ 8= (x+ ) = x+ valeur absolue! Réponse correcte : Pour tout x [ 8,+ [ : x+ 8= x+ x+ 8=(x+ ) Discriminant 5 x 4, et x+ 0 x + x 4=0 et x et x x=. 5

6 ATTENTION! Pour tous x, a : x a = x a et x a = x a. Par exemple, alors que( ) >, et ( ) alors que >. Ce qu on peut dire quand même : Pour tous x, a : x a x a, pour x, a 0 : x a x a, pour x 0 seulement : x a x a et a0, et pour a 0 seulement : x a x< 0 ou x a. Exemple On veut résoudre l inéquation : x x+ d inconnue x. En effet Pour tout x : x x+ (x ) (x+ ) x + 6x 0 Pas de discriminant! x(x+ )0 x ], ] [0,+ [. Exemple On veut résoudre l inéquation : x x+ x+ d inconnue x. En effet Pour commencer, un tableau de signe : x x x Ce tableau montre que l équation étudiée n est définie que sur],] [,+ [. Pour tout x dans ce domaine : x x+ x+ x x+ (x+ ) et x+ 0 5x et x x 5. L ensemble des solutions cherché est la réunion d intervalles 5, [,+ [. 6

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