OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES RELATIFS

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1 CHPITRE I OPÉRTIONS SUR LES NOMBRES RELTIFS COMPÉTENCES ÉVLUÉES DNS CE CHPITRE : (T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de données et fonctions) Intitulé des compétences Evaluations T1 Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours N1 Calculer une somme et une différence de nombres relatifs N2 Calculer un produit de nombres relatifs N3 N4 Déterminer une valeur approchée du quotient de deux nombres relatifs Ecrire des programmes de calcul portant sur des nombres relatifs N5 N6 Savoir organiser et effectuer à la main une succession de calculs avec les nombres relatifs Savoir organiser et effectuer à la calculatrice une succession de calculs avec les nombres relatifs : cette compétence fait partie du socle commun de connaissances. Légende du tableau de compétences : Deux points verts : Un point vert : Un point rouge : Deux points rouges : Je sais très bien faire Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs Je ne sais pas bien faire, il y a trop d erreurs Je sais pas faire du tout 4 ème Cours CH 1 Page 1

2 Compétence N1 : Somme et différence de nombres relatifs. dditionner des nombres relatifs Pour additionner deux nombres relatifs de même signe : on conserve le signe commun aux deux termes de la somme, on additionne les distances à zéro. Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires : on conserve le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro, on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande. Exemples : ( 5)+( 11)= 16 Ces deux nombres sont négatifs, donc la somme sera un nombre négatif. La somme de leurs distance à zéro est égale à 5+11=16. La somme de ces deux nombres est donc bien 16. ( 3)+(+4,9)=+1,9 Ces deux nombres sont de signes contraires, mais (+4,9) a la plus grande distance à zéro : la somme sera donc positive. De plus la différence des distances à zéro est égale à 4, 9 3 = 1, 9. La somme de ces deux nombres est donc bien+1,9. Opposé d un nombre relatif Deux nombres relatifs sont dits opposés lorsque leur somme est égale à zéro. Pour déterminer l opposé d un nombre relatif, il suffit d en changer le signe. Exemples : ( 2,8)+(+2,8)=0 : les nombres 2,8 et+2,8 sont opposés, ou encore 2,8 est l opposé de+2,8. Soustraire un nombre relatif Soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé. Exemples : (+7,5) ( 2,3)=(+7,5)+(+2,3)=+9,8 car soustraire 2,3 revient à ajouter l opposé de ( 2,3), c est-à-dire à ajouter (+2,3). Pour calculer une somme, on peut regrouper les termes négatifs d un côté, positifs de l autre : (+2)+( 7)+( 3)+(+5)=(+2)+(+5)+( 3)+( 7)=(+7)+( 10)= 3 Pour calculer une succession d additions et de soustractions (ce que l on appelle une somme algébrique), on commence par la transformer de telle sorte qu il n y ait que des additions : (+2) (+12)+( 3) ( 9)=(+2)+( 12)+( 3)+(+9)=(+2)+(+9)+( 12)+( 3)=(+11)+( 15)= 14 On peut simplifier une somme algébrique, en supprimant les parenthèses autour des nombres relatifs, et en supprimant le signe "+" des nombres positifs : ( 3)+(+7)+( 11)+( 5)= = = 19+7= 12 ( 5) ( 16)+( 14) (+9)+(+13) = ( 5)+(+16)+( 14)+( 9)+(+13) = = = 28+29=1 4 ème Cours CH 1 Page 2

3 Compétence N2 : Produit de nombres relatifs. Règle des signes dans un produit de deux nombres relatifs Le produit d un nombre relatif par un nombre relatif de même signe est positif, Le produit d un nombre relatif par un nombre relatif de signe contraire est négatif. Règle des signes dans un produit de plusieurs nombres relatifs On commence par calculer le nombre de facteurs négatifs. Si ce nombre est pair, alors le produit de ces nombres est positif. Si ce nombre est impair, alors le produit de ces nombres est négatif. Multiplier des nombres relatifs Pour multiplier des nombres relatifs : on applique la règle des signes pour déterminer le signe du produit, on multiplie entre elles les distances à zéro. Exemples : ( 6) ( 7)=+42 (+15) ( 10)=15 ( 10)= 150 ( 13) (+3)=( 13) 3= 39 ( 1) (+5) (+2) ( 3) est un nombre positif, car il y a deux facteurs négatifs. De plus, on a ( 1) (+5) (+2) ( 3)=( 1) 5 2 ( 3)=+( )=+30 ( 2) (+5) ( 3) ( 1) (+7) est un nombre négatif, car il y a trois facteurs négatifs. De plus, on a ( 2) (+5) ( 3) ( 1) (+7)=( 2) 5 ( 3) ( 1) 7= ( )= 210 Pour tout nombre relatif x, on a x 1 = x Pour tout nombre relatif x, on a x 0 = 0 Pour tout nombre relatif x, on a x ( 1) = x utrement dit, le produit d un nombre relatif par ( 1) est l opposé de ce nombre. Un produit ne change pas lorsque l on modifie l ordre de ses facteurs. On dit que la multiplication est commutative. utrement dit, on a a b= b a. La multiplication est distributive par rapport à l addition et à la soustraction. utrement dit, on a Pour faciliter un calcul, on peut : Propriétés de la multiplication des nombres relatifs k (a+ b) = ka+ kb k (a b) = ka kb utiliser la commutativité : 4 9 ( 25)=4 ( 25) 9=( 100) 9= 900 utiliser la distributivité : en développant : ( 9) 19=( 9) (20 1)=( 9) 20 ( 9) 1=( 180) ( 9)= 180+9= 171 en factorisant : ( 8) 7,5+( 8) ( 2,5)=( 8) [7,5+( 2,5)]=( 8) 5= 40 4 ème Cours CH 1 Page 3

4 Compétence N3 : Diviser par un nombre relatif non nul Quotient de deux nombres relatifs Le quotient d un nombre relatif a par un nombre relatif non nul b, noté a b ou a, est le nombre par b lequel on doit multiplier b pour trouver a. utrement dit, ce quotient est le facteur manquant dans la multiplication à trous b?=a. Règle des signes dans un quotient de deux nombres relatifs Le quotient d un nombre relatif par un nombre relatif non nul de même signe est positif, Le quotient d un nombre relatif par un nombre relatif non nul de signe contraire est négatif. Pour effectuer le quotient de deux nombres relatifs on applique la règle des signes pour déterminer le signe du quotient, on effectue le quotient les distances à zéro. Diviser des nombres relatifs Exemples : ( 4) 5= 4 5 = 4 = 0, ( 120) ( 15)= 15 = = = 7 14 = 0,5 Valeur approchée d un quotient Mais attention! ; on veut, par exemple, calculer le quotient de 15 par 7. Ce quotient est négatif, et pour trouver sa distance à zéro on doit calculer le quotient Or on a, ci-contre : On ne peut pas écrire ce quotient sous la forme d un nombre décimal, car la division ne s arrête pas. On ne peut donner que des valeurs approchées et des encadrements de ce quotient. Si on veut placer ce quotient sur la droite graduée : , On peut dire, par exemple, que : 2,2 est une valeur approchée au dixième par défaut de 15 ( 7), 2,1 est une valeur approchée au dixième par excès de 15 ( 7), 2,1 est un arrondi au dixième de 15 ( 7) (c est la valeur approchée au dixième la plus proche), 2,2< 15 < 2,1 est un encadrement au dixième de 15 ( 7). 7 4 ème Cours CH 1 Page 4

5 CTIVITÉ : SVOIR UTILISER S CLCULTRICE ¹ ½ º ¹ ¹ º µµ¹ Exemple On veut effectuer le calcul suivant à la calculatrice : 3 [15, 5 ( 6, 5)] la calculatrice, on tape la séquence suivante : et on obtient, à l écran : ( - ) 3 ( ( ( - ) 6. 5 ) ) EXE ou ( - ) 3 ( ( ( - ) 6. 5 ) ) = Remarques : notez bien la différence entre la touche, qui correspond à l opération soustraction. ( - ), qui précise le signe d un nombre, avec la touche la virgule qui sert à séparer la partie entière de la partie décimale d un nombre est atteinte grâce à la touche. pas de crochets sur la calculatrice, mais des parenthèses emboîtées les une s dans les autres. vous de jouer! Effectuez à la main (au brouillon) les calculs suivants, et notez les résultats dans la première colonne ; puis effectuez ces calculs à la calculatrice, et notez les résultats obtenus dans la seconde colonne ; comparez alors les résultats obtenus : Calcul à la main à la calculatrice = 5 (3 9) 10 B = 4 2,5 ( 5) C = ( 6,5) [4 ( 6)] D = (2 20) [3,2 ( 5,8)] E = ,5 F = G = H = 13 [ 11+5 (4+3)] I = 36 [ 9 ( 6) 2] J = 10 ( ) [14,4+( 54) 6] 4 ème Utilisation de la calculatrice Page 1

6 COMPÉTENCE N5 : ENCHÎNEMENTS D OPÉRTIONS VEC RELTIFS EXERCICE Calculer à la main les expressions suivantes : = = = = B = [ 10 (4 5+18)] 6 B = B = B = C = (10 4) (5+18 6) C = C = C = D = 5 2 ( 3) 12 6 D = D = D = G = 3,6 1,8 5,4 2+7 G = G = G = E = 5 [2 ( 3) 12] 6 E = E = E = ,6 H = 1,8 5,4 (2+7) H = H = H = F = 5 2 [( 3) 12 6] F = F = F = ,6 I = (1,8 5,4) 2+7 I = G = I = COMPÉTENCE N4 : ECRIRE UN PROGRMME DE CLCUL VEC DES RELTIFS EXERCICE Dans chaque cas, écrire une expression traduisant le programme de calcul donné, et calculer le nombre obtenu : 1. Je prends le nombre 5, je le multiplie par 4, puis j ajoute 6 au résultat : 2. Je prends le nombre 5, je lui soustrait 4, puis je multiplie le résultat par 6 : 3. Je prends le nombre 5, je lui ajoute 4, puis je soustrait le résultat de 6 : 4. Je prends la somme de 8 et 5, je la multiplie par ( 4), puis je divise le résultat par 24 : 5. Je multiplie la somme de 16 et ( 10,5) par 10, et j ajoute le quotient de 25 par ( 5) : 6. Je fais le quotient de la somme de 7 et de 14 par le produit de 1,5 et 8 : 7. Je fais le produit de l opposé de ( 3,4) par la différence de ( 12) et ( 2) : 8. Je fais la différence de 15 et de la somme du produit de ( 5) par 7 et de 11 : 9. Je prends le produit du double de l opposé de 7 par le tiers de la somme de 5 et 7 : 4 ème Exercices CH 1 Page 1

7 CHPITRE II TRINGLE : MILIEUX ET PRLLÈLES COMPÉTENCES ÉVLUÉES DNS CE CHPITRE : (T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de données et fonctions) Intitulé des compétences Eval.1 Eval.2 Eval.3 T1 Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours T2 G1 G2 G3 G4 Réaliser aux instruments une figure géométrique en suivant un programme de construction Utiliser le théorème de la droite des milieux pour démontrer que deux droites sont parallèles Utiliser le théorème de la droite des milieux pour calculer une longueur Utiliser la réciproque du théorème de la droite des milieux pour démontrer qu un point est le milieu d un segment Utiliser le théorème des trois rapports égaux pour calculer une longueur Taux de réussite : % Note du chapitre : /20 Moyenne de la classe : /20 : cette compétence fait partie du socle commun de connaissances. Légende du tableau de compétences : Deux points verts : Un point vert : Un point rouge : Deux points rouges : Je sais très bien faire Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs Je ne sais pas bien faire, il y a trop d erreurs Je sais pas faire du tout 4 ème Cours CH 2 Page 6

8 Compétence G1 : Utiliser le théorème de la droite des milieux pour démontrer que deux droites sont parallèles. Premier théorème de la droite des milieux Dans un triangle, la droite joignant les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté. Exemple : Dans le triangle MNP, E est le milieu de [MN], F est le milieu de [MP] ; Or on sait que, dans un triangle, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté. On peut donc en conclure que les droites (EF) et (NP) sont parallèles. P P F = F M E N M E N Compétence G2 : Utiliser le théorème de la droite des milieux pour calculer des longueurs. Second théorème de la droite des milieux Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. Exemple : On a tracé le triangle TRI tel que TR= 6 cm, RI= 5 cm et TI= 7 cm. Dans ce triangle, M est le milieu de [TI], N est le milieu de [IR] ; Or on sait que, dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. On peut donc en conclure que la longueur du segment [MN] est égale à la moitié de celle du côté [TR] : MN= TR 2 = 6 2 = 3 cm. R R Ñ T Ñ M Ñ N I = Ñ T Ñ M N I 4 ème Cours CH 2 Page 7

9 Compétence G3 : Utiliser la réciproque du théorème de la droite des milieux pour montrer qu un point est milieu d un segment. Réciproque du premier théorème de la droite des milieux Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu. Exemple : On a tracé le triangle HGD tel que O soit le milieu de [HD], et on a tracé la droite (d) parallèle au côté [HG] passant par O ; cette droite coupe le côté [GD] en un point P. Or on sait que, dans un triangle, si une droite passe par le milieu d un côté, et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu. On peut donc en conclure que la droite (d) coupe le côté [GD] µ en son milieu, et donc que P est le milieu de [GD]. D D O O P P µ = H G H G Compétence G4 : Utiliser le théorème des trois rapports égaux pour calculer une longueur. Proportionnalité des longueurs dans un triangle Dans un triangle BC, soit M un point situé sur le côté [B], et N un point situé sur le côté [C]. Si la droite (MN) est parallèle à la droite (BC), alors les longueurs des côtés du triangle MN sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle MN, et on a le tableau de proportionnalité suivant : Côtés du triangle BC B C BC Côtés du triangle MN M N MN N M C B Comme (MN) et (BC) sont parallèles, les longueurs des côtés du triangles MN sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle BC. Le coefficient de proportionnalité est a= M B = N C = MN BC 4 ème Cours CH 2 Page 8

10 Propriété des trois rapports égaux Dans un triangle BC, soit M un point situé sur le côté [B], et N un point situé sur le côté [C]. Si la droite (MN) est parallèle à la droite (BC), alors les rapports de longueurs suivants sont égaux : M B = N C = MN BC Remarque : Ce théorème se généralise sans problème au cas où M et N sont respectivement sur les demi-droites ËÓÑÑ ØÓÑÑÙÒË [B) et [C), et non plus seulement sur les côtés [B] et [C]. ttention à écrire correctement les trois rapports! Æ Á ux numérateurs, les longueurs des côtés du premier triangle. ux dénominateurs, les longueurs des Å Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ä côtés associés du second triangle. Pour les deux premiers rapports, il est pratique d écrire les côtés partant du sommet commun SN SM = SI SL = NI ML Pour calculer une longueur grâce à ce théorème : Supposons que, sur la figure ci-dessus, on ait SM=10 cm, SN=6 cm, SL=8 et NI=4,5 cm. Comme N [SM], I [SL] et que (NI) est parallèle à (ML), on peut appliquer le théorème des trois rapports égaux : SN SM = SI SL = NI ML soit, en remplaçant les longueurs des côtés par leurs valeurs, 6 10 = SI 8 = 4,5 ML De l égalité 6 10 = SI, on peut tirer la valeur de SI : = SI donne 6 8=10 SI d où 48=10 SI et donc SI = 48 = 4,8 cm De l égalité 6 10 = 4,5, on peut tirer la valeur de ML : ML 6 10 = 4,5 donne 6 ML= 10 4,5 d où 6 ML= 45 et donc ML= 45 = 7,5 cm. ML 6 Remarque : L année prochaine, vous verrez ce théorème (en le généralisant un peu) sous le nom de Théorème de Thalès). 4 ème Cours CH 2 Page 9

11 DÉMONSTRTION DU THÉORÈME DE L DROITE DES MILIEUX Dans le triangle BC ci-contre : le point I est le milieu du côté [B], le point J est le milieu du côté [C]. On veut démontrer, prouver que la droite (IJ) est parallèle à la droite (BC). Pour cela, placer sur la figure le point K, symétrique du point I par rapport au point J, et répondre aux questions suivantes : B I J C 1. a) Compléter le schéma de démonstration suivant : b) Compléter le texte suivant : D une part, comme K est le symétrique de I par rapport à J, on peut affirmer que... est le milieu de [ ]. D autre part, d après l énoncé,... est également le milieu de [ ]. Le quadrilatère KCI a donc ses diagonales ([ ] et [ ]) qui se coupent en leur milieu (... ). Le quadrilatère KCI est donc un Or, dans un parallélogramme, les côtés opposés sont et de même Nous pouvons donc affirmer que (KC) est parallèle à ( ) et que KC= a) Compléter le schéma de démonstration suivant : 4 ème ctivité CH 2 Page 1

12 b) Compléter le texte suivant : On sait que I est le milieu de [B], et donc on peut affirmer que I= Par ailleurs, on a vu dans la question 1 que I= Par conséquent, on a......= De plus on a vu dans la question précédente que () est parallèle à (). Comme les points, I et B sont alignés, cela revient à dire que les droites () et......) sont parallèles. Pour résumer, on a KC=IB d une part, et (KC) est parallèle à (IB) d autre part ; autrement dit, le quadrilatère IBCK a deux côtés et de même : IBCK est donc un Terminons cette démonstration : Puisque IBCK est un parallélogramme, ses côtés sont et de la même En particulier, on a IK=, et de plus les droites (IK) et ( ) sont Or, J étant le milieu de [IK], on sait que IJ= IK = 2 2. Enfin, les points I, J et K étant alignés, on peut affirmer que (IJ) est parallèle à ( ). Nous avons réussi à démontrer que, dans le triangle BC, en prenant I le milieu de [B] et J celui de [C] : la droite (IJ) est parallèle à (BC), et que de plus IJ= BC 2 4 ème ctivité CH 2 Page 2

13 DÉMONSTRTION DE L RÉCIPROQUE DU PREMIER THÉORÈME DES MILIEUX Dans le triangle BC ci-contre : le point I est le milieu du côté [B], la droite (d) est parallèle à (BC) et passe par I. On veut démontrer, prouver que la droite (d) coupe le côté [C] en son milieu. µ B I C 1. Placer sur la figure ci-dessus le point K tel que BCKI soit un parallélogramme. 2. Démontrer que (BI) et (CK) sont parallèles, et que BI=CK : 3. Démontrer que I=CK et que (I) est parallèle à (CK) : 4. Démontrer que ICK est un parallélogramme : 5. En déduire que la droite (d) coupe le segment[c] en son milieu : 4 ème ctivité CH 2 Page 1

14 COMPÉTENCE G1 : UTILISER LE THÉORÈME DE L DROITE DES MILIEUX POUR DÉMONTRER QUE DEUX DROITES SONT PRLLÈLES EXERCICE 1 Soit BC un triangle ; soit I le milieu de [B], et D le symétrique de par rapport à C. 1. Tracer une figure codée : Ð êåñ Ð ÙëÜ ÙëÜ Ø ê Ø Ô Ö Ð Ð Ð Ù Ç Ö âò ê ÙâÒ Ø Ö âò Ð Ð Ö Ó Ø Õ Ù Ó âò Ø Ø Ö Ó ãñ Ø º 2. Démontrer que les droites (BD) et (IC) sont parallèles, en remettant les phrases suivantes dans l ordre. Votre démonstration : È Ö ÓäÒ Õ Ù ãò Ø ÓäÒ Ô Ù Ø ãò Ù Ö Õ Ù Ð ê ) Ø(BD) ÓäÒ Ø Ô Ö Ð Ð Ð ê ÇåÒ Ø Õ Ù I Ø Ð åñ Ð Ù [B] Ö Ó Ø ê(ic ÇåÒ Ø Õ Ù D Ø Ð âýãñ Ø Ö Õ Ù Ô Ö Ö Ô Ô Ó Ö Ø C âò âò ê Ð Ø Ö âò Ð BD Ð ê Ô Ó âò Ø êi [B] Ø[D] ÇåÒ Ô Ù Ø ÓäÒ ÖâÑ Ö Õ Ù C Ø Ð åñ Ð Ù [D] ØC ÓäÒ Ø Ð êåñ Ð ÙëÜ Ö Ô Ø ê ê Ø ê 4 ème Exercices CH 2 Page 1

15 EXERCICE 2 IJK est un triangle rectangle en J, M est le milieu du côté [IJ], N celui du côté [IK]. 1. Faire une figure : 2. Démontrer que les droites (MN) et (JK) sont parallèles. 3. En déduire que (MN) est la médiatrice de [IJ]. 4 ème Exercices CH 2 Page 2

16 EXERCICE 3 BCD est un parallélogramme de centre O ; I est le milieu de [BC], et J celui de [B]. 1. Faire une figure : 2. Démontrer que les droites (OI) et (JB) sont parallèles. 3. Démontrer que OIBJ est un parallélogramme. 4 ème Exercices CH 2 Page 3

17 COMPÉTENCE G2 : UTILISER LE THÉORÈME DE L DROITE DES MILIEUX POUR CLCULER UNE LONGUEUR EXERCICE 1 Calcule les longueurs demandées, en justifiant soigneusement la réponse : C C J 7cm? I? I B 4,3cm J B EXERCICE 2 Sur la figure ci-contre, on a B = 8 cm et I J = 3 cm. En justifiant avec soin : 1. calcule la longueur BC J B K 2. calcule la longueur LK I L C EXERCICE 3 1. Construire ci-contre un triangle MNP tel que MN=6,4cm, MP=5,8cm et NP=9cm. 2. Placer les points E, F et G, milieux respectifs des segments [MN], [MP] et [NP]. 3. Calculer le périmètre du triangle EFG, en justifiant soigneusement la réponse ème Exercices CH 2 Page 1

18 COMPÉTENCE G3 : UTILISER L RÉCIPROQUE DU PREMIER THÉORÈME DE L DROITE DES MILIEUX POUR DÉMONTRER QU UN POINT EST LE MILIEU D UN SEGMENT EXERCICE 1 Soit TBU un triangle ; soit C le milieu de [TU], et (d) la droite parallèle au côté [BU] passant par C. Soit Q le point d intersection de (d) et de (TB). 1. Tracer une figure codée : 2. Démontrer que Q est le milieu de [TB] EXERCICE QUD est un parallélogramme de centre O. La parallèle à (QD) passant par O coupe le côté [U] en un point M. 1. Tracer une figure codée : 2. Démontrer que M est le milieu de [U] EXERCICE C est un cercle de centre O et de rayon 3cm. [B] est un diamètre de ce cercle, et M un point quelconque de ce cercle. La droite (d), parallèle à la droite (MB) passant par O, coupe le segment [M] en un point I. 1. Tracer une figure codée : 2. Démontrer que I est le milieu de [M] ème Exercices CH 2 Page 1

19 3. Démontrer que (d) est la médiatrice de [M] : EXERCICE 4 PMK est un triangle isocèle en P tel que PM=5cm et MK=4cm. Soient E, F et G les milieux respectifs des côtés [PM], [MK] et [PK]. La droite (EF) coupe le segment [MG] en un point I. 1. Tracer une figure codée : 2. Démontrer que la droite (EF) est parallèle à la droite (PK) Démontrer que le point I est le milieu du segment [MG] Calculer la longueur IE en justifiant soigneusement ème Exercices CH 2 Page 2

20 EXERCICE 4 : Placer le milieu d un segment sur un quadrillage N C M F I B R E G H S 1. On considère le triangle BC. a) Que représente le point I pour le segment [B]? b) En utilisant le quadrillage, tracer la droite parallèle à (BC) passant par I ; elle coupe le côté [C] en un point J. c) Justifier averc soin que J est le milieu du segment [C] En n utilisant que le quadrillage (et donc sans aucun instrument!), et en s inspirant des résultats de la question précédente, placer les milieux respectifs des segments [EF], [GH], [MN] et [RS]. 4 ème Exercices CH 2 Page 3

21 COMPÉTENCE G4 : EXERCICES PRÉPRTOIRES EXERCICE 1 : Dans chacun des cas suivants, les droites (d) et (d ) sont parallèles. Précisez quels sont les deux triangles dont les longueurs Ń ³µ µ des côtés sont proportionnelles, complétez le tableau de proportionnalité, puis écrivez les trois rapports de longueurs égaux : Cas n 1 Cas n 2 Cas n 3 Cas n 4 F ³µ µ J ³µ µ ³µ µ M U B C G V I M P P B R N E S Les deux triangles dont les côtés ont des longueurs proportionnelles sont et Les deux triangles dont les côtés ont des longueurs proportionnelles sont et Les deux triangles dont les côtés ont des longueurs proportionnelles sont et Les deux triangles dont les côtés ont des longueurs proportionnelles sont et C M MN EF ER MN M B = C = MN ER = EF = MN = = = = EXERCICE 2 Trouver le nombre manquant dans chacun des tableau de proportionnalité suivants (on donnera la valeur exacte de ce nombre manquant) : x y z 14 0,8 t 3 9 u v 2 x = y = z = t = u= v = EXERCICE 3 Déterminer le nombre manquant, comme dans l exemple donné (on donnera la valeur exacte du nombre recherché) : x 8 = x = x = 40 x = 40 4 = y = = z = 10 t u 5 = v = ème Exercices CH 2 Page 1

22 COMPÉTENCE G4 : UTILISER L PROPRIÉTÉ DES TROIS RPPORTS ÉGUX POUR CLCULER UNE LONGUEUR EXERCICE 1 : Sur la figure ci-contre, on a M [B] et N [C]. De plus, (MN) et (BC) sont parallèles. On sait aussi que B=12 cm, M=4 cm, C=15 cm et MN=3,5 cm. (La figure n est pas réalisée en vraie grandeur). On veut calculer les longueurs N et BC. ³ Ô Ö ê Ð Ô Ö ÓǑÔ Ö Ø ê Ø Ö Ó ê Ö Ô Ô Ó Ö Ø ê ÙëÜ Complétez le texte suivant : âò ê Ð Ø Ö âò Ð BC ÓäÒ M [B]... [] Ø ÓäÒ )º (M N)ºººººººººººººººººººººººº (BC = N = = N BCº = M N 4 12 = N = N = N N = = åò ÓäÒ Ð Ù ÓäÒ N = EXERCICE 2 BC ³ ع ¹ Ö ãñ ØBC 4 12 = 3,5 BC BC = BC = BC = = = ãñ º En s inspirant de l exercice 1, rédigez la solution des trois exercices suivants sur votre cahier (l unité est le centimètre ; les figures ne sont pas réalisées en vraie grandeur : B C a) G [FE], H [FD], (GH)//(ED). FE=4, FD=8, ED=10 et GF=1,5 Calculer les longueurs GH et FH : E D b) [QP], B [QM], (B)//(PM). Q=4.5, QB=6, B=3 et PM=4 Calculer les longueurs QP et QM : Q c) L [SE], H [ST], (LH)//(ET). SL=3, SH=5, ST=12, ET=15 Calculer les longueurs SE et LH : E L S G H B H P F M T 4 ème Exercices CH 2 Page 1

23 COMPÉTENCE G4 : UTILISER L PROPRIÉTÉ DES TROIS RPPORTS ÉGUX POUR CLCULER UNE LONGUEUR (2) EXERCICE 1 : Dans les deux cas suivants, calculer les longueurs indiquées par un point d interrogation (L unité est le centimètre ; les figures ne sont pas réalisées en vraie grandeur ; on donnera la valeur exacte et, s il y a lieu, la valeur arrondie au millimètre de la longueur demandée) (d) // (FL), (d ) // (F). (d) // (BC) ³µ N N=3, L=8, F=10, LF=9 µ T B M=3, MB=5, N=2.5, BC=5 µ M N C L P F EXERCICE 2 1. Sur votre cahier, tracer un parallélogramme BCD tel que B=6 cm et BC=3 cm ; placer sur la demidroite [BC) un point M tel que BM=5 cm. La droite (M) coupe le côté [DC] en un point N. Démontrer avec soin que NC=2,4 cm. 2. Sur votre cahier, tracer un triangle BC rectangle en B tel que B=5 cm et BC=9 cm ; placer sur le côté [BC] un point M tel que BM=5 cm. La droite perpendiculaire à (BC) et passant par M coupe le côté [C] en un point N. Démontrer avec soin que MN= 20 9 cm. 4 ème Exercices CH 2 Page 1

24 THLÈS DE MILET, SON THÉORÈME ET LES PYRMIDES D EGYPTE Propriété de proportionnalité des longueurs dans un triangle Si, dans un triangle BC, M est un point de [B] et N un point de[c] tels que les droites (MN) et (BC) soient parallèles, alors les longueurs des côtés des triangles MN et BC sont proportionnelles. Cette propriété, que vous verrez sous une forme plus générale en classe de Troisième, prendra alors le nom de Théorème de Thalès. Et pourtant, il semblerait que Thalès de Milet (Mathématicien et philosophe Grec, qui serait né en 625 et mort en 547), ne soit pour grand-chose dans l énoncé de ce théorème, que connaissaient déjà les Babyloniens très longtemps auparavant, et qui n a été démontré que par Euclide quelques siècles plus tard... Pire! Le théorème de Thalès ne s appelle ainsi... qu en France! En llemagne et en ngleterre, par exemple, le théorème dit "de Thalès" énonce que tout triangle inscrit dans un demi-cercle est rectangle!... Il existe cependant une anecdote, rapportée par l historien Grec Diogène Laërce, qui dit que Thalès de Milet, au cours de l un de ses voyages en Egypte, rencontra le Pharaon masis, qui voulut le mettre à l épreuve ËÓÐ Ð en lui demandant de déterminer la hauteur de la Grande Pyramide de Kheops... Voici comment Thalès aurait procédé, uniquement muni d un bâton (nous adapterons ici la situation pour qu elle soit compréhensible par tous : en particulier, nous utiliserons le mètre comme unité de mesure, mètre dont l invention ne remonte qu à 200 ans environ...) : La B M méthode qu aurait utilisée Thalès est la suivante : il planta un bâton (représenté par le segment [MN]) dans le sol, et mesura la longueur de l ombre portée par ce bâton. Pour savoir comment il en déduisit la hauteur de la Pyramide de cette simple mesure, réponds aux questions suivantes : E C D N 1. Explique pourquoi les droites (MN) et (BC) sont parallèles : Quel est le segment qui représente l ombre au sol du bâton? Quel est le segment qui représente l ombre au sol de la pyramide? Thalès a pu sans problème mesurer les longueurs suivantes (données ici en mètres) : MN=2 ; N=2,8 ; DE=230 ; D=88. a) Combien vaut la longueur C? b) Utilise la propriété de proportionnalité des longueurs dans un triangle pour obtenir la longueur BC, c est-à-dire la hauteur de la Pyramide : Longueurs des côtés du triangle BC : B= C= BC= Longueurs des côtés du triangle MN : M= N= MN= ème ctivité CH 2 Page 1

25 GRNDISSEMENTS ET RÉDUCTIONS CTIVITÉ 1 Sur la fiche donnée en annexe, vous avez deux trapèzes rectangles BCD et EFGH. Le trapèze EFGH est un agrandissement de rapport 2 du trapèze BCD. 1. Effet sur les longueurs : Sans utiliser de règle graduée : Le segment [B] mesure 7 cm ; combien mesure le segment [EF]? Le segment [EH] mesure 12 cm ; combien mesure le segment [D]? Compléter le tableau suivant : B = 7 cm BC = 5 cm CD = D = EF = FG = GH = 8 cm HE = 6 cm Que peut-on en dire? Effet sur les angles : Découper les deux trapèzes et, par superposition des deux figures : Comparer les angles BD et FEH : Comparer les angles DC et EHG : Comparer les angles BC et EFG : Effet sur le parallélisme : Que pensez-vous des deux droites (B) et (CD)? Justifiez par une propriété : Que pensez-vous des deux droites (EF) et (GH)? Par combien faut-il multiplier les longueurs des côtés du trapèze EFGH pour trouver les longueurs des côtés du trapèze BCD? Compléter la phrase : Le trapèze BCD est une de rapport du trapèze EFGH. Collez ici les deux trapèzes que vous avez découpés : 4 ème ctivité CH 2 Page 1

26 CTIVITÉ 2 Dans chaque cas, compléter les phrases : ½ Ñ Ñ I B Les quadrilatères BCD et IJK sont des rectangles : Le rectangle BCD est un de rapport du rectangle IJK Le rectangle IJK est une de rapport du rectangle BCD Sachant que C=10 cm, combien vaut J? Sachant que K=1,2 cm, combien vaut D? K J D C Les droites (MN) et (BC) étant parallèles : Le triangle BC est un de rapport du triangle MN Le triangle MN est une de rapport du triangle BC Sachant que MN=1,5 cm, combien vaut BC? Sachant que C=6 cm, combien vaut N? Sachant que MN=36, combien vaut BC? B Ñ M C N Ñ Le demi-disque clair est un de rapport du demi-disque foncé Le demi-disque foncé est une de rapport du demidisque clair Ñ Ñ 4 ème ctivité CH 2 Page 2

27 CTIVITÉ 3 1. Tracer un agrandissement de rapport 2,5 du triangle ci-dessous : 2. Tracer une réduction de rapport 0,4 du triangle ci-dessous : 3. Tracer un agrandissement de rapport 1,5 du quadrilatère ci-dessous :(pour vous aider, vous pouvez découper ce quadrilatère sur la feuille donnée en annexe) 4 ème ctivité CH 2 Page 3

28 nnexe ctivité 1 D C H G B E F ctivité 3 4 ème ctivité CH 2 Page 4

29 CHPITRE III NOMBRES RELTIFS EN ÉCRITURE FRCTIONNIRE COMPÉTENCES ÉVLUÉES DNS CE CHPITRE : (T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de données et fonctions) Intitulé des compétences Eval.1 Eval.2 Eval.3 T1 T3 N7 N8 N9 N10 N11 N12 N13 N14 Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours Résoudre un problème et rédiger sa solution Transformer, simplifier l écriture fractionnaire d un nombre Utiliser l équivalence entre fractions égales et produits en croix égaux Multiplier deux nombres relatifs en écriture fractionnaire Connaître et utiliser l égalité a 1 b = a b Diviser deux nombres relatifs en écriture fractionnaire jouter, soustraire des nombres relatifs en écriture fractionnaire Organiser et effectuer à la main une succession de calculs avec des nombres relatifs en écriture fractionnaire Organiser et effectuer à la calculatrice une succession de calculs avec des nombres relatifs en écriture fractionnaire Taux de réussite : % Note du chapitre : /20 Moyenne de la classe : /20 : cette compétence fait partie du socle commun. : cette compétence fait partie du socle commun pour les nombres positifs. : cette compétence fait partie du socle commun pour les nombres positifs ayant le même dénominateur. Légende du tableau de compétences : Deux points verts : Un point vert : Un point rouge : Deux points rouges : Je sais très bien faire Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs Je ne sais pas bien faire, il y a trop d erreurs Je sais pas faire du tout 4 ème Cours CH 3 Page 10

30 Compétence N7 : transformer, simplifier une écriture fractionnaire On ne change pas la valeur d une fraction en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. Transformer l écriture fractionnaire d un nombre utrement dit, si a, b et k sont trois nombres relatifs (avec b et k différents de 0) : a b = a k a et b k b = a k b k Exemple 1 : transformer l écriture fractionnaire d un nombre : 4 9 = = = 28 7 ( 35) 7 = ,5 = ,5 10 = Exemple 2 : simplifier une fraction : = = = = 6 5 ( 7) 6 = 6 5 ( 7) 6 = = = Compétence N8 : Produits en croix et égalité de fractions a, b, c et d sont quatre nombres relatifs (avec b et d différents de 0) ; Si a b = c, alors a d = b c d Propriété des produits en croix Si a d = b c, alors a b = c d Exemple : déterminer si deux fractions sont égales : = 52 ; en effet on a d une part ( 12) ( 117)=1404 et d autre part 27 52= en effet, le dernier chiffre de est un 5, alors que le dernier chiffre de est un 4! Et pourtant, la calculatrice donne la même valeur approchée pour les deux quotients : 75025/ / ème Cours CH 3 Page 11

31 Compétence N9 : Multiplier des nombres en écriture fractionnaire Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux, puis on multiplie les dénominateurs entre eux. Règle de multiplication de deux fractions Si a, b, c et d sont quatre nombres relatifs (avec b et d différents de 0) : Exemples : = = 5 ( 4) 1 9 = = 7 ( 4) 5 3 = Il est parfois préférable de simplifier avant d effectuer les produits : = ( 35) 16 = (8 3) (7 2) (( 5) 7) (8 2) = ( 8 3) ( 7 2) (( 5) 7) ( 8 2) = 3 5 a b c d = a c b d Compétence N10 : Inverse d un nombre relatif Définition Deux nombres (non nuls) seront dits inverses l un de l autre lorsque leur produit est égal à 1 Si a est un nombre relatif non nul, son inverse est 1 a, qui se note aussi a 1. Si a et b sont deux nombres relatifs non nuls, l inverse de a b est b a. En effet, pour tous nombres relatifs a et b non nuls : a 1 a = a a = 1 et a b b a = a b b a = a b b a = 1 Exemples : 2,5 et 0,4 sont deux nombres inverses l un de l autre, car 2,5 0,4=1 1 L inverse de 8 est = 0,125 ttention à ne pas confondre : l opposé de 8 est 8!! 8 L inverse de 2 3 est 3 2 = 1,5. L inverse de 0,6= 3 5 est 5 3. Propriété Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par l inverse de ce nombre. Si a et b sont des nombres relatifs (b non nul), alors a b = a 1 b Exemples d utilisation : L inverse de 5 est 0,2 ; ainsi, on a, par exemple, 23 5 = = 23 0,2=4,6. 3 L inverse de 0,25 est 4 ; ainsi, on a, par exemple, 0,25 = 3 1 0,25 = 3 4=12. 4 ème Cours CH 3 Page 12

32 Compétence N11 : Diviser par un nombre en écriture fractionnaire Propriété Diviser par une fraction revient à multiplier par l inverse de cette fraction. Si a, b, c et d sont des nombres relatifs (b, c et d non nuls), a alors on a a b c d = a b d c (ou encore b c = a b d c ) d Exemples : = = = = = = Compétence N12 : jouter, soustraire des nombres en écriture fractionnaire Losque les dénominateurs sont les mêmes... Pour additionner (ou soustraire) des fractions ayant le même dénominateur, il suffit de conserver le dénominateur commun, et d additionner (ou soustraire) les numérateurs entre eux. Si a, b et c sont des nombres relatifs (b non nul), on a a b + c b = a+ c b. Exemples : = 3+21 = = = 4+17 = = 15 4 = Losque les dénominateurs sont différents... Pour additionner (ou soustraire) des fractions ayant des dénominateurs différents, on commence par les réduire au même dénominateur, avant d appliquer la règle précédente. Exemples : = = = 6+21 = = = = = = = = = = = = = = à 1 et 3) (8 est le plus petit multiple commun à 4 et 8) (12 est le plus petit multiple commun à 4 et 6) (56 est le plus petit multiple commun à 7 et 8) (3 est le plus petit multiple commun 4 ème Cours CH 3 Page 13

33 COMPÉTENCE N7 : TRNSFORMER L ÉCRITURE FRCTIONNIRE D UN NOMBRE Rappel : On ne change pas la valeur d une fraction en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. utrement dit, si a, b et k sont trois nombres relatifs (avec b et k différents de 0) : EXERCICE 1 Compléter les égalités suivantes : a b = a k b k et a b = a k b k 3= = 5 7= 1 = 28 5= 8 = 15 2,14= 100 = = = = 4 = = 35 = = 5 = = 27 = = 2 = = = = 6 = 2 EXERCICE 2 Simplifier les fractions suivantes à la main : = = = = = = = = = 9 36 = 3 12 = = = = = 4 18 = = 56 8 = = 8 ( 5) = ( 2) 3 = ( 5) 7 ( 3) = 2 ( 5) 4 3 = = 25 ( 3) 8 5 ( 6) = ( 2) 14 = Simplifier les fractions suivantes à l aide de la calculatrice : = = = = ème Exercices CH 3 Page 1

34 COMPÉTENCE N8 : UTILISER LES PRODUITS EN CROIX EXERCICE 1 l aide de la calculatrice, dire si les quotients suivants, donnés en écriture fractionnaire, sont égaux ou différents (vous utiliserez les symboles=et ) DÉCOUVERTE : PRODUITS EN CROIX 1. Calculer la valeur décimale exacte des quotients et à la calculatrice : = et = Que peut-on dire de ces deux fractions? Ecrire ces deux fractions avec le même dénominateur : = et = Calculer les produits écrits aux numérateurs des deux fractions : 12 = et = Que constate-t-on? Comme les fractions et sont égales, les produits et sont égaux. 2. Calculer les deux produits suivants : 35 20= et 28 25= Que peut-on dire de ces deux produits? Si on divise chacun de ces produits par 35 28, l égalité demeure : = Simplifier chacune de ces deux fractions : = et = Ceci signifie que les deux écritures fractionnaires 20 et sont égales. 35 Comme les produits et sont égaux, les fractions et sont égales EXERCICE 2 En calculant les produits en croix, dire si les quotients suivants, donnés en écriture fractionnaire, sont égaux ou différents (vous utiliserez les symboles=et ) EXERCICE 3 En utilisant les produits en croix, compléter les égalités suivantes : = = = = ème Exercices CH 3 Page 1

35 COMPÉTENCE N9 : MULTIPLIER DES FRCTIONS Rappel : Soient a, b, c et d quatre nombres relatifs (avec b et d non nuls) : a b c d = a c b d EXERCICE 1 Effectuer les multiplications suivantes : = = = = 5 8 9= = = = = = ( 3)= EXERCICE 2 Effectuer les multiplications suivantes, et donner le résultat sous la forme d une fraction simplifiée : = = = = = = = = = 5 3 ( 3)= EXERCICE 3 Effectuer les multiplications suivantes en prenant soin de simplifier avant de calculer, et donner le résultat sous la forme d une fraction simplifiée : = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ( 7) 35 = = 4 ème Exercices CH 3 Page 1

36 COMPÉTENCE N10 : DIVISER, C EST MULTIPLIER PR L INVERSE EXERCICE 1 1. Quel est l inverse de 0,25? l inverse de 5? l inverse de 0,5? ,6 2. Compléter les égalités suivantes : = = ,25 5 0,5 = 1 3. On peut interpréter la première égalité ainsi : "Diviser 5 par 0,25 revient à multiplier 5 par l inverse de 0,25". Compléter la phrase suivante, en vous aidant de la question 1 : "Diviser 5 par 0,25 revient à multiplier 5 par " 5 On a donc = = ,25 Diviser par un nombre (non nul) revient à multiplier par l inverse de ce nombre : a b = a 1 b 4. Calculer en vous inspirant de la question 2 : 8 5 = = ,6 = 3, = ,5 EXERCICE 2 1. Quel est l inverse de 5? Calculer rapidement, en suivant l exemple donné : 7 5 = 7... = = 8... = = =... 2,4 = =... 5 EXERCICE 3 1. Quel est l inverse de 25? Calculer rapidement, en suivant l exemple donné : = = = = ,2 25 = = EXERCICE 4 Calculer rapidement : 10,5 0,5 = = ,2 0,25 = = ,2 5 = =......

37 COMPÉTENCE N11 : DIVISER DES FRCTIONS Rappel : Soient a, b, c et d quatre nombres relatifs (avec b, c et d non nuls) : a b c d = a b d c EXERCICE 1 Effectuer les divisions suivantes : = = = = = = = = 7 5 4= = ( 5)= = EXERCICE 2 Effectuer les divisions suivantes, et donner le résultat sous la forme d une fraction simplifiée : = = = = = ( 25)= = = EXERCICE 3 Dans chaque cas, effectuer un calcul pour déterminer la valeur exacte du nombre manquant : 4 9 = = = 1 5 ( 4)= ème Exercices CH 3 Page 1