TAUX d EVOLUTIONS (cours)

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1 TAUX d EVOLUTIONS (cours) Table des matières 1 calcul d un taux d évolution activité corrigé activité a retenir exercices corrigés exercices valeur finale à partir du taux d évolution et de la valeur initiale, C.M activité : corrigé activité : a retenir : exercices corrigés exercices calcul de la valeur initiale à partir du taux et de la valeur finale activité corrigé activité a retenir : exercices corrigés exercices évolutions successives et taux global activité corrigé activité a retenir : exercices corrigés exercices évolutions successives et taux réciproque activité corrigé activité a retenir : exercices corrigés exercices évolutions successives et taux moyen activité corrigé activité a retenir : exercices corrigés exercices

2 7 évaluations devoir maison corrigé devoir maison évaluation interrogations interrogation travaux pratiques 78

3 1 calcul d un taux d évolution 1.1 activité Calculs et comparaisons de variations absolues et relatives à partir de valeurs. A. Voici les évolutions des primes de salaires pour une personne pour les sept premiers mois de l année. Les données sont entrées dans une feuille de calcul de type Tableur. A B C D E F G H 1 Mois Janvier Février Mars Avril Mai Juin Juillet 2 Rang du Mois : i prime en euros : p i calcul Variation absolue 4 (en euros) : v i +200 calcul Variation relative 5 (en %) : t i +% La variation absolue est calculée entre le mois précédent et le mois considéré, de même pour la variation relative. 1. a. Retrouver le v 2 = +200 du tableau. b. Calculer les variations absolues de la prime (en euros) et compléter le tableau. c. Estimer,si, en général, il y a des limites à la valeur d une variation absolue. (donner un intervalle pour v) d. Quelle formule tableur entrer dans la cellule C4 pour remplir par tirage les cellules C4 à H4. 2. a. Retrouver le t 2 =+% du tableau par deux méthodes de calcul. b. Calculer toutes les variations relatives (ou taux d évolution) de la prime (en %) et compléter le tableau (si possible) c. Estimer, si en général, il y a des limites à la valeur d une variation relative (donner un intervalle pour t) d. Quelle(s) formule(s) tableur(s) entrer dans la cellule C5 pour remplir par tirage les cellules C5 à H5. 3. a. Entre quels mois la variation absolue de la prime a t-elle été la plus grande? b. Entre quels mois la variation relative de la prime a t-elle été la plus grande? c. La plus grande variation en euros correspond-elle toujours à la plus grande variation en pourcentages? (justifier) 4. Est-il vrai ci dessus, qu une variation de -200 euros neutralise une variation de +200 euros? justifier. 5. Est-il vrai ci dessus, qu une variation de -50% euros neutralise une variation de +%? justifier. 6. Est-il vrai ci dessus qu une évolution de +% suivie d une évolution de -50% donne globalement une évolution de 50%? justifier. B. Donner les formules des variations absolues V A et relatives V R (ou t) pour une grandeur qui passe de la valeur v 1 à la valeur v 2 et poser des conditions de validités éventuelles sur ses formules. C. Défi : essayer de trouver un taux d évolution (une variation relative) qui annulerait une variation de +25%.

4 1.2 corrigé activité Calculs et comparaisons de variations absolues et relatives à partir de valeurs. A. Voici les évolutions des primes de salaires pour une personne pour les sept premiers mois de l année. A B C D E F G H 1 Mois Janvier Février Mars Avril Mai Juin Juillet 2 Rang du Mois : i prime en euros : p i calcul Variation absolue : v i calcul ,5 1,5 0,8-1 indéfini 5 Variation relative : t i +% -50% +150% +80% -% indéfini 1. a. v 2 = p 2 p 1 = = +200 euros. b. v 3 = p 3 p 2 = = 200 euros. v 4 = p 4 p 3 = = +300 euros et de même pour le reste (voir tableau). c. A priori, il n y a pas de limites à la valeur d une variation absolue : v ] ; + [ d. C4=C3 B3. 2. a. Retrouvons le t 2 = +% du tableau par deux méthodes de calcul t 2 = p 2 p 1 p 1 = = 1 = % t 2 = p 2 1 = = 2 1 = 1 = % p b. t 3 = t 4 = = = 0,5 = 50% = 300 = 1,5 = +150% de même pour le reste 200 Remarquer que : t 7 = n existe pas. 0 c. A priori, pour des valeurs positives de la grandeur en question (içi la prime), un taux ne peut-être inférieur à -%, mais il peut-être aussi grand que l on veut, t [ 1 ; + [ soit t [ % ; + [ 3. a. La variation absolue de la prime a t-elle été la plus grande entre Avril et Mai (+400) b. La variation relative de la prime a t-elle été la plus grande entre Mars et Avril(+150%) c. Non car içi, la plus grande variation en euros (+400) ne correspond pas à la plus grande variation en pourcentages (+150%) 4. Oui, une variation de -200 euros neutralise une variation de +200 euros car globalement on a une variation de 0 euros. 5. Oui, une variation de -50% euros neutralise une variation de +% car globalement on a une variation de 0 euros.( passage de 200 euros à 200 euros globalement). 6. Non, une évolution de +% suivie d une évolution de -50% donne globalement une évolution de 0% comme vue ci dessus et pas de +50%. B. V A = v 2 v 1 V R = t = v 2 v 1 v 1 = v 2 v 1 1 pour v 1 > 0 et v 2 0. C. Une variation de -20% annule une variation de +25% En effet : +25% = + 25 = 125 puis % 125 = =.

5 1.3 a retenir définition 1 : (variation absolue, variation relative, taux d évolution) arrivée quel que soit le nombre positif non nul v 1 (v 1 R + ) quel que soit le nombre positif v 2 (v 2 R + ) v 1 v 2 la variation absolue de v 1 à v 2 est le nombre : V A = v 2 v 1 variation absolue = v finale v initiale la variation relative de v 1 à v 2 est le nombre : V R = t = v 2 v 1 variation relative = v finale v initiale v v 1 initiale ou encore : la variation relative de v 1 à v 2 est le nombre : V R = t = v 2 1 variation relative = v finale v v 1 initiale 1 remarques : (admises si non justifiées) i. la variation relative est aussi appelée "taux d évolution" ii. une variation absolue est comprise entre et + ( V A ] ; + [ ) iii. une variation relative est comprise entre % et + ( V R ] 1 ; + [ ) exemples : pour une classe A qui passe de 30 à 36 élèves. pour une classe B qui passe de 20 à 25 élèves pour une classe C qui passe de 20 à 15 élèves pour la classe A : la variation absolue du nombre délèves est V A = = 6 élèves la variation relative est V R = t = = 6 30 = 1 = 0,2 = +20% 5 pour la classe B : la variation absolue du nombre délèves est V A = = 5 élèves la variation relative est V R = t = la variation absolue est plus grande en A (6>5) la variation relative est plus grande en B (25%>20%) = 5 20 = 1 = 0,25 = +25% 4 pour la classe C : la variation absolue du nombre délèves est V A = = 5 élèves la variation relative est V R = t = = 5 20 = 1 = 0,25 = 25% 4 résumé : classe v 1 v 2 variation absolue variation relative A = = 20% 30 B = = 25% 20 C = = 25% 20

6 1.4 exercices exercice 1 : (a) un prix passe de 200 euros à 250 euros, quelle est la variation absolue et quel est le taux d évolution de ce prix? (à 1% par excès si 5) (b) un prix passe de 250 euros à 200 euros, quelle est la variation absolue et quel est le taux d évolution de ce prix? (à 1% par excès si 5) (c) un article hors taxe vaut 50 e alors qu il vaut 52,75 e toutes taxes comprises (TVA ajoutés uniquement), quel est le taux de TVA? (d) il a réussit 50 fois l an passé et 20 fois de moins cette année, de quelle proportion a t-il évolué? exercice 2 : voici les évolutions de plusieurs tarifs : _tarif 1 : passe de 1eà2e _tarif 2 : passe de 2eà3e _tarif 3 : passe de 10eà30e _tarif 4 : passe de 0eà1020e (a) calculer les variations absolues et relatives de chaque tarif (b) quel tarif a le plus augmenté ene? (c) quel tarif a le plus augmenté en %? exercice 3 : Le tableau ci dessous donne les chiffres d affaire d une entreprise pour trois années.(en milliers d euros) trimestre 1 trimestre 2 trimestre 3 trimestre 4 Σ Σ calculer le taux d évolution du chiffre d affaire à 1% près A. entre le premier et dernier trimestre de l année 2009 B. entre les premiers trimestres des années 2007 et 2009 C. entre les années 2007 et 2009 D. entre le premier et le dernier trimestre sur l ensemble des trois années exercice 4 : écrire un algorithme qui donne le taux d évolution si on entre la valeur initiale et la valeur finale exercice 5 : dans la feuille de calcul automatisée (tableur) ci dessous A B C 1 prix HT taux de TVA prix TTC 2 105? 125, ? 147, ? 204,2 i. quelle formule entrée dans la cellule B2 permet d obtenir les résultats attendus dans la colonne B si on "tire vers le bas"?

7 1.5 corrigés exercices corrigé exercice 1 : (a) un prix passe de 200 euros à 250 euros, quelle est la variation absolue et quel est le taux d évolution de ce prix? (à 1% par excès si 5) arrivée V A = = 50e V R = t = = 0,25 = 25% 200 (b) un prix passe de 250 euros à 200 euros, quelle est la variation absolue et quel est le taux d évolution de ce prix? (à 1% par excès si 5) arrivée V A = = 50e V R = t = = 0,2 = 20% 250 (c) un article hors taxe vaut 50 e alors qu il vaut 52,75 e toutes taxes comprises (TVA ajoutés uniquement), quel est le taux de TVA? H.T. T.T.C , 5 V R = t = 52, = 0,055 = 5,5% (d) il a réussit 50 fois l an passé et 20 fois de moins cette année, de quelle proportion a t-il évolué? arrivée = 30 V R = t = = 0,4 = 40% 50

8 corrigé exercice 2 : voici les évolutions de plusieurs tarifs : _tarif 1 : passe de 1eà2e _tarif 2 : passe de 2eà3e _tarif 3 : passe de 10eà30e _tarif 4 : passe de 0eà1020e (a) calculer les variations absolues et relatives de chaque tarif classe v 1 v 2 variation absolue (ene) variation relative en % tarif = = 1 % tarif = = 2 50% tarif = = % tarif = = 0 2% (b) quel tarif a le plus augmenté ene? tarifs 2 ou tarif 3 avec +20e (c) quel tarif a le plus augmenté en %? tarif 3 avec +200 %

9 corrigé exercice 3 : Le tableau ci dessous donne les chiffres d affaire d une entreprise pour trois années.(en milliers d euros) trimestre 1 trimestre 2 trimestre 3 trimestre 4 Σ Σ calculer le taux d évolution du chiffre d affaire à 1% près A. entre le premier et dernier trimestre de l année 2009 V R = t = , % 65 B. entre les premiers trimestres des années 2007 et 2009 V R = t = ,181 18% 55 C. entre les années 2007 et 2009 V R = t = ,338 34% 411 D. entre le premier et le dernier trimestre sur l ensemble des trois années V R = t = , % 165

10 corrigé exercice 4 : écrire un algorithme qui donne le taux d évolution si on entre la valeur initiale et la valeur finale : début fin var valeur_initiale; var valeur_finale; var taux entrer valeur_initiale; entrer valeur_finale; taux = (valeur_finale - valeur_initiale)/valeur_initiale ; sortir taux ;

11 corrigé exercice 5 : dans la feuille de calcul automatisée (tableur) ci dessous A B C 1 prix HT taux de TVA prix TTC 2 105? 125, ? 147, ? 204,2 i. quelle formule entrée dans la cellule B2 permet d obtenir les résultats attendus dans la colonne B si on "tire vers le bas"? B2 = (C2 A2)/A2 ou bien B2 = C2/A2 1

12 2 valeur finale à partir du taux d évolution et de la valeur initiale, C.M. 2.1 activité : A. comment trouver le coefficient multiplicateur CM quand on connaît le taux d évolution t. 1. un prix est initialement à v 1 euros, il augmente de t = 10% et vaut alors v 2 euros. montrer que v 2 = 1,1 v 1. en déduire le coefficient multiplicateur qui correspond à une évolution de +10%. faire une phrase du type : évoluer de +10% revient à multiplier par trouver de la même manière le coefficient multiplicateur qui correspond à une évolution de 10%. 3. démontrer que si t = +1% alors CM = 1, démontrer que si t = 1% alors CM = 0, démontrer qu en général : CM = 1+t. 6. compléter le tableau de correspondance ci dessous. t -% -80% -50% -8% -5% 0% 5 % 8% 50% 80% % 150% 200% calcul CM B. comment trouver taux d évolution quand on connaît le coefficient multiplicateur 1. sachant qu il a été démontré ci dessus que CM = 1 + t en déduire l expression de t en fonction de CM. 2. compléter le tableau de correspondance ci dessous. calcul t CM 0, 01 0, 55 0, 45 0, 1 0 1, 01 1, 1 1, 45 1, 55 1, 99 4 C. En déduire les réponses aux questions ci dessous en un seul calcul. 1. Il vaut 120 euros et augmente de 80%, combien vaut-il finalement? 2. Il vaut 120 euros et baisse de 80%, combien vaut-il finalement? 3. un prix hors taxe est de 20 euros, quel est le prix TTC si la TVA est à 19,6%? 4. un prix avant solde est de 20 euros, quel est le prix soldé si la remise est de 5%?

13 2.2 corrigé activité : A. comment trouver le coefficient multiplicateur CM quand on connaît le taux d évolution t. 1. t = +10% donc v 2 = v v 1 = v 1 +0,1v 1 = 1,1v 1 à une évolution de +10% correspond un coefficient multiplicateur de 1,1 évoluer de +10% revient à multiplier par 1,1 2. t = 10% donc v 2 = v 1 10 v 1 = v 1 0,1v 1 = 0,9v 1 3. si t = +1% alors v 2 = v v 1 = v 1 +0,01v 1 = 1,01v 1 donc CM = 1, si t = 1% alors v 2 = v 1 1 v 1 = v 1 0,01v 1 = 0,99v 1 donc alors CM = 0, en général :v 2 = v 1 +t v 1 = v 1 +tv 1 = (1+t)v 1 donc CM = 1+t. 6. on a le tableau de correspondance ci dessous. t -% -80% -50% -8% -5% 0% calcul ,8 1 0,5 1 0,08 1 0, CM 0 0,2 0,5 0,92 0,95 1 t 5 % 8% 50% 80% % 150% 200% calcul ,05 1+0,08 1+0,5 1+0, ,5 1+2 CM 1,05 1,08 1,5 1,8 2 2,5 3 B. comment trouver taux d évolution quand on connaît le coefficient multiplicateur 1. sachant qu il a été démontré ci dessus que CM = 1 + t on en déduire l expression de t en fonction de CM suivante : t = CM compléter le tableau de correspondance ci dessous. calcul 0,01 1 0,55 1 0,45 1 0, t 0, 99 0, 45 0, 55 0, 9 1 t 99% 45% 55% 90% % CM 0, 01 0, 55 0, 45 0, 1 0 calcul 1,01 1 1,1 1 1,45 1 1,55 1 1, t 0,01 0,1 0,45 0,55 0,99 3 t +1% +10% +45% +55% +99% +300% CM 1, 01 1, 1 1, 45 1, 55 1, 99 4 C. En déduire les réponses aux questions ci dessous en un seul calcul. 1. Il vaut 120 euros et augmente de 80%, soit finalement : 120 1,8 = 216 euros 2. Il vaut 120 euros et baisse de 80%, soit finalement : 120 0,2 = 24 euros 3. le prix TTC est de : v 2 = 20 (1+ 19,6 ) = 20 1,196 = 23,92 euros. 4. le prix soldé est de : v 2 = 20 (1 5 ) = 20 0,95 = 19 euros.

14 2.3 a retenir : propriété 1 : (valeur finale et CM) quel que soit le nombre positif non nul v 1 (v 1 R + ) quel que soit le nombre positif v 2 (v 2 R + ) soit t [ 1; + [ le taux d évolution de v 1 à v 2 on a : v 2 = v 1 (1+t) v 2 = v 1 CM avec CM = 1+t (1+t) v 1 v 2 CM arrivée valeur finale = (1+t) valeur initiale démonstration : (laissée en exercice à partir de la définition d une variation relative) remarques : (admises si non justifiées) i. pour trouver la valeur finale, il suffit de multiplier la valeur initiale par le coefficient multiplicateur noté CM égal à CM = 1+t (CM > 0) ii. multiplier un nombre par CM 0 revient à faire évoluer ce nombre du taux t = CM 1 iii. on a le tableau de correspondance suivant entre le taux et le CM exemples taux 0% 5% 10%...% 50%...% 85% 90% 95% % CM 1 1,05 1,1... 1,5... 1,85 1,9 1,95 1 taux 0% -5% -10%...% -50%...% -85% -90% -95% -% CM 1 0,95 0,9... 0,5... 0,15 0,1 0,05 0 i. à un taux de t = 40% correspond un coefficient multiplicateur de CM = = 1,4 ii. à un taux de t = 40% correspond un coefficient multiplicateur de CM = 1 40 = 0,6 iii. à un coefficient multiplicateur de CM = 0,4 correspond un taux de t = 0,4 1 = 0,6 = 60% iv. à un coefficient multiplicateur decm = 0,04 correspond un taux det = 0,04 1 = 0,96 = 96% (1+ 80 arrivée v. Il vaut 120 euros et augmente de 80%, ) 120 v 2 1,8 soit finalement : 120 (1+ 80 ) = 120 1,8 = 216 euros vi. Il vaut 120 euros et baisse de 80%, soit finalement : 120 (1 80 ) = 120 0,2 = 24 euros vii. le prix HT est de 20 euros avec 19,6% de TVA, le prix TTC est de : v 2 = 20 (1+ 19,6 ) = 20 1,196 = 23,92 euros. viii. Il vaut 20 euros et est soldé de 5%, le prix soldé est de : v 2 = 20 (1 5 ) = 20 0,95 = 19 euros.

15 2.4 exercices exercice 6 : Un prix initialement à 50 euros augmente de 20% puis diminue de 20% (a) Calculer le prix final. (b) Calculer le taux d évolution global équivalent aux deux évolutions. exercice 7 : Une pension initialement de 800 euros augmente de 5% par an pendant 4 ans. (a) Calculer la pension finale. (b) Calculer le taux d évolution global équivalent aux quatre évolutions. exercice 8 : Un prix initialement de 200 euros baisse de 50% puis de 30%. (a) Calculer le prix final. (b) Calculer le taux d évolution global équivalent aux deux évolutions. exercice 9 : (a) un objet à 127 euros augmente de 5%, quel est son nouveau prix? (b) un objet à 127 euros baisse de 5%, quel est son nouveau prix? (c) un objet coûte 1995 euros après une hausse de 5%, quel était son ancien prix? (d) un objet coûte 1995 euros après une baisse de 5%, quel était son ancien prix? exercice 10 : La subvention accordée par une entreprise à son club sportif était de 3000e pour l année Depuis 1998, L évolution de la subvention en pourcentage d une année à l autre est celle décrite dans le tableau ci-dessous : Année Evolution en pourcentage + 17% + 15% + 10% + 9% +6% Par exemple, le taux d évolution de la subvention de 2000 à 2001 est de 10%. (a) i. Calculer, pour chacune des années, le montant de la subvention attribuée (en euro). Les résultats seront arrondis à l unité. ii. Le responsable sportif se plaint d une diminution continuelle des subventions depuis l année Quelle confusion fait-il? (b) On admet que le montant de la subvention en 2003 est de 5130 e. i. Calculer le pourcentage de diminution ou d augmentation de la subvention de 1998 à exercice 11 : écrire un algorithme qui donne la valeur finale si on entre le taux d évolution et la valeur initiale exercice 12 : dans la feuille de calcul automatisée (tableur) ci dessous A B C 1 prix HT taux de TVA prix TTC ,6? ,5? ,1? i. quelle formule entrée dans la cellule C2 permet d obtenir les résultats attendus dans la colonne C si on "tire vers le bas"?

16 2.5 corrigés exercices corrigé exercice 6 : Un prix initialement à 50 euros augmente de 20% puis diminue de 20% intermédiaire arrivée +20% 20% 50? = 60? = 48 1,2 0,8 a. le prix final est de 48 euros car : 50 (1+ 20 ) = 50 1,2 = 60 et 60 (1 20 ) = 60 0,8 = 48 ou bien 50 ( ) (1 ) = 48 b. le taux d évolution global équivalent aux deux évolutions est de 4% car : t = v 2 v 1 v 1 ou bien = = 0,04 = 4% t = v 2 1 = 48 v = 0,04 = 4% ou bien C g = 1,2 0,8 = 0,96 et t = 0,96 1 = 0,04 = 4% Remarque : On ne trouve pas globalement une évolution de 0% comme on pourrait croire intuitivement (on ne peut en général pas additionner des taux d évolutions pour trouver un taux global)

17 corrigé exercice 7 : Une pension initialement de 800 euros augmente de 5% par an pendant 4 ans % intermédiaire +5% intermédiaire +5% intermédiaire +5%???? 1,05 1,05 1,05 1,05 arrivée a. la pension finale est de 972,405 euros car : 800 (1+ 5 ) (1+ 5 ) (1+ 5 ) (1+ 5 ) = 800 1, , 405 b. le taux d évolution global équivalent aux cinq évolutions est de 22% car : t = v 2 v 1 = 972, ,2155 v ou bien t = v 2 1 = 972,405 1 v % 22% ou bien C g = 1,05 4 1,2155 et t 1, , % Remarque : On ne trouve pas globalement une évolution de 20% comme on pourrait croire intuitivement (on ne peut en général pas additionner des taux d évolutions pour trouver un taux global)

18 corrigé exercice 8 : Un prix initialement de 120 euros baisse de 50% puis de 30% % intermédiaire 30% arrivée? =? = 70 0,5 0,7 a. le prix final est de 70 euros car : 200 ( ) (1 ) = 200 0,5 0,7 = 70 b. le taux d évolution global équivalent aux deux évolutions est de -65% car : t = v 2 v 1 v 1 ou bien = t = v 2 1 = 70 v = 65% = 0,65 = 65% ou bien C g = 0,5 0,7 = 0,35 et t = 0,35 1 = 0,65 = 65% Remarque : On ne trouve pas globalement une évolution de -80% comme on pourrait croire intuitivement (on ne peut en général pas additionner des taux d évolutions pour trouver un taux global)

19 corrigé exercice 9 : a. arrivée +5% 127? = 133,35 1,05 le prix final est de : 127 (1+ 5 ) = 133, 35 euros b. arrivée 5% 127? = 120,65 0,95 le prix final est de : 127 (1 5 ) = 120, 65 euros x =? = % 1,05 arrivée 1995 c. 1,05 x (1+ 5 ) = 1995 le prix final est de : x = = 1900 euros x =? = 2 5% 0,95 arrivée 1995 d. 0,95 x (1 5 ) = 1995 le prix final est de : = 2 euros

20 corrigé exercice 10 : La subvention accordée par une entreprise à son club sportif était de 3000 e pour l année Depuis 1998, L évolution de la subvention en pourcentage d une année à l autre est celle décrite dans le tableau ci-dessous : Année Evolution en pourcentage + 17% + 15% + 10% + 9% +6% Par exemple, le taux d évolution de la subvention de 2000 à 2001 est de 10%. (a) i. Calculer, pour chacune des années, le montant de la subvention attribuée (en euro). arrondis à l unité. Année Evolution + 17% + 15% + 10% + 9% +6% montant , , ii. Le responsable sportif se plaint d une diminution continuelle des subventions depuis l année Quelle confusion fait-il? : il confond la baisse du taux d évolution avec la baisse de la subvention (b) On admet que le montant de la subvention en 2003 est de 5130e. i. Calculer le pourcentage de diminution ou d augmentation de la subvention de 1998 à 2003 : t = % 3000 ou bien C g = 1,17 1,15 1,17 1,1 1,09 1,06 1,71 donc t 1,71 1 0,71 71%

21 corrigé exercice 11 : début écrire un algorithme qui donne la valeur finale si on entre le taux d évolution et la valeur initiale var valeur_initiale; var valeur_finale; var taux ; fin entrer taux ; entrer valeur_initiale; valeur_finale = valeur_initiale*(1+ taux/); sortir valeur_finale;

22 corrigé exercice 12 : dans la feuille de calcul automatisée (tableur) ci dessous A B C 1 prix HT taux de TVA prix TTC ,6? ,5? ,1? i. quelle formule entrée dans la cellule C2 permet d obtenir les résultats attendus dans la colonne C si on "tire vers le bas"? C2 = A2 (1+B2/) ou C2 = A2+A2 (B2/)

23 3 calcul de la valeur initiale à partir du taux et de la valeur finale 3.1 activité a. un prix maintenant à 150 euros vient d augmenter de 20%, quel était l ancien prix? b. un prix maintenant à 150 euros vient de baisser de 20%, quel était l ancien prix? c. un prix TTC est de 20 euros, quel est le prix HT si la TVA est à 19,6%? d. un prix soldé est de 20 euros, quel est le prix avant solde si la remise est de 5%?

24 3.2 corrigé activité a. un prix maintenant à 150 euros vient d augmenter de 20%, quel était l ancien prix? 1,2 (1+ 20 arrivée ) v ,2 l ancien prix v 1 est tel que : v 1 (1+ 20 ) = 150 v 1 1,2 = 150 donc : v 1 = 150 1,2 = 125 euros b. un prix maintenant à 150 euros vient de baisser de 20%, quel était l ancien prix? 0,8 (1 20 arrivée ) v ,8 l ancien prix v 1 est tel que : v 1 (1 20 ) = 150 v 1 0,8 = 150 donc : v 1 = 150 0,8 = 187,5 euros c. un prix TTC est de 20 euros, quel est le prix HT si la TVA est à 19,6%? 1, 196 H.T. (1+ 19,6 T.T.C. ) v , 196 le prix HT v 1 est tel que : v 1 (1+ 19,6 ) = 20 v 1 1,196 = 20 donc : v 1 = 20 1,196 = 16,72 euros

25 d. un prix soldé est de 20 euros, quel est le prix avant solde si la remise est de 5%? 0,95 plein prix (1 5 soldé ) v ,95 l ancien prix v 1 est tel que : v 1 (1 5 ) = 20 v 1 0,95 = 20 donc : v 1 = 20 0,95 = 21,05 euros

26 3.3 a retenir : propriété 2 : (valeur initiale) quel que soit le nombre positif non nul v 1 (v 1 R + ) quel que soit le nombre positif v 2 (v 2 R + ) soit t ] 1; + [ le taux d évolution de v 1 à v 2 on a : v 1 = v 2 1+t valeur initiale = valeur finale 1+t (1+t) arrivée v 1 v 2 (1+t) démonstration : (laissée en exercice à partir de la définition d une variation relative) remarques : (admises si non justifiées) i. pour trouver la valeur initiale, il suffit de diviser la valeur finale par le coefficient multiplicateur CM = 1+t (CM > 0) 1 ii. ce qui revient à multiplier par "l inverse" CM = 1 de CM 1+t exemples i. un prix maintenant à 150 euros vient d augmenter de 20%, quel était l ancien prix? 1,2 (1+ 20 arrivée ) v ,2 l ancien prix v 1 est tel que : v 1 (1+ 20 ) = 150 v 1 1,2 = 150 donc : v 1 = 150 1,2 = 125 euros ii. un prix maintenant à 150 euros vient de baisser de 20%, quel était l ancien prix? 0,8 (1 20 arrivée ) v ,8 l ancien prix v 1 est tel que : v 1 (1 20 ) = 150 v 1 0,8 = 150 donc : v 1 = 150 0,8 = 187,5 euros

27 3.4 exercices exercice 13 : Un prix vient d augmenter de 25% puis diminuer de 25%, il vaut finalement 50 euros (a) Calculer le prix intermédiaire ainsi que le prix initial. (b) Calculer le taux d évolution global équivalent aux deux évolutions. exercice 14 : Une consommation d électricité mensuelle finalement de 0 euros vient d augmenter de 2% par mois pendant 5 mois. (a) Calculer la consommation initiale. (b) Calculer le taux d évolution global équivalent aux cinq évolutions. exercice 15 : Un prix vient de baisser de 50% puis de 30%, il est au final de 200 euros (a) Calculer le prix initial. (b) Calculer le taux d évolution global équivalent aux deux évolutions. exercice 16 : (a) un objet à 127 euros vient d augmenter de 5%, quel était son ancien prix? (b) un objet à 127 euros vient de baisser de 5%, quel était son ancien prix? (c) quel est le prix hors taxe d un article à e TTC taxé à 19,6%? (d) quel est le prix hors taxe d un article à 20e TTC taxé à 5,5%? exercice 17 : La subvention accordée par une entreprise à son club sportif était de 6000e pour l année Depuis 1998, L évolution de la subvention en pourcentage d une année à l autre est celle décrite dans le tableau ci-dessous : Année Evolution en pourcentage 17% 15% 10% 9% 6% Par exemple, le taux d évolution de la subvention de 2000 à 2001 est de 10%. (a) i. Calculer, pour chacune des années, le montant de la subvention attribuée (en euro). Les résultats seront arrondis à l unité. ii. Le responsable sportif se réjouit d une augmentation continuelle des subventions depuis l année Quelle confusion fait-il? iii. Calculer le pourcentage de diminution ou d augmentation de la subvention de 1998 à exercice 18 : écrire un algorithme qui donne la valeur initiale si on entre le taux d évolution et la valeur finale exercice 19 : dans la feuille de calcul automatisée (tableur) ci dessous A B C 1 prix HT taux de TVA prix TTC 2? 19, ? 5, ? 2,1 200 i. quelle formule entrée dans la cellule A2 permet d obtenir les résultats attendus dans la colonne A si on "tire vers le bas"?

28 3.5 corrigés exercices corrigé exercice 13 : Un prix vient d augmenter de 25% puis diminuer de 25%, il vaut finalement 50 euros? 53,33 intermédiaire +25% 25%? 66,67 1,25 0,75 arrivée 50 1,25 0,75 (a) prix intermédiaire = 50 0,75 66,67 prix initial 66,67 1,25 53,33 (b) taux global : t = v 2 v ,33 0,062 v 1 53,33 ou bien 6,2% t = v 2 1 = 50 v 1 53,33 1 0,062 6,2% ou bien C g = 1,25 0,75 = 0,9375 et t = 0, = 0,0625 = 6, 25%

29 corrigé exercice 14 : Une consommation d électricité mensuelle finalement de 0 euros vient d augmenter de 2% par mois pendant 5 mois. v 1 =? intermédiaire intermédiaire intermédiaire intermédiaire +2% +2% +2% +2%???? 1,02 1,02 1,02 1,02 +2% 1,02 arrivée 0 (a) consommation initiale v 1 1,02 5 = 0 v 1 = 0 1, ,73 (b) Calculer le taux d évolution global équivalent aux cinq évolutions C g = 1,02 5 t g = 1, , , 41%

30 corrigé exercice 15 : Un prix vient de baisser de 50% puis de 30%, il est au final de 200 euros? 571,43 50% intermédiaire 30%? 285,71 0,5 0,7 arrivée 200 0,5 0,7 (a) prix intermédiaire = 200 0,7 571,43 prix initial = 200 0,7 0,5 571, 43 (b) taux d évolution global équivalent aux deux évolutions. t = v 2 v ,43 v ou bien t = v v 1 571, % 0,65 = 65% ou bien C g = 0,5 0,7 = 0,35 et t = 0,35 1 = 0,65 = 65% Remarque : On ne trouve pas globalement une évolution de -80% comme on pourrait croire intuitivement (on ne peut en général pas additionner des taux d évolutions pour trouver un taux global)

31 corrigé exercice 16 : (a) un objet à 127 euros vient d augmenter de 5%, quel était son ancien prix? 1,05 (1+ 5 arrivée ) v ,05 l ancien prix v 1 est tel que : v 1 (1+ 5 ) = 127 v 1 1,05 = 127 donc : v 1 = 127 1,05 120, 95 euros (b) un objet à 127 euros vient de baisser de 5%, quel était son ancien prix? 0,95 (1 5 arrivée ) v ,95 l ancien prix v 1 est tel que : v 1 (1 5 ) = 127 v 1 0,95 = 127 donc : v 1 = 127 0,95 133, 68 euros (c) quel est le prix hors taxe d un article à e TTC taxé à 19,6%? 1, 196 (1+ 19,6 arrivée ) v 1 1, 196 l ancien prix v 1 est tel que : v 1 (1+ 16,6 ) = v 1 1,196 = donc : v 1 = 1,196 83,61 euros

32 (d) quel est le prix hors taxe d un article à 20e TTC taxé à 5,5%? 1,05 (1+ 5,5 arrivée ) v ,05 l ancien prix v 1 est tel que : v 1 (1+ 5 ) = 20 v 1 1,05 = 20 donc : v 1 = 20 1,05 19,05 euros

33 corrigé exercice 17 : La subvention accordée par une entreprise à son club sportif était de 6000e pour l année Depuis 1998, L évolution de la subvention en pourcentage d une année à l autre est celle décrite dans le tableau ci-dessous : et en 1998 : Année Evolution 17% 15% 10% 9% 6% subvention ,94 0,91 0,9 0,85 0,94 0,91 0,9 0,94 0,91 0, ,94 0,91 0,9 0,85 0, (Par exemple, le taux d évolution de la subvention de 2000 à 2001 est de 10%). (a) i. Calculer, pour chacune des années, le montant de la subvention attribuée (en euro). Les résultats seront arrondis à l unité. voir tableau ci dessus ii. Le responsable sportif se réjouit d une augmentation continuelle des subventions depuis l année Quelle confusion fait-il? il confond l augmentation du taux avec l augmentation de la subvention iii. Calculer le pourcentage de diminution ou d augmentation de la subvention de 1998 à t = ,69% ou bien C g = 0,94 0,91 0,9 0,85 0,83 0,5431 donc t 0, , , 69%

34 corrigé exercice 18 : début écrire un algorithme qui donne la valeur initiale si on entre le taux d évolution et la valeur finale var valeur_initiale; var valeur_finale; var taux ; fin entrer taux ; entrer valeur_finale; valeur_initiale = valeur_finale/(1+ taux/); sortir valeur_initiale;

35 corrigé exercice 19 : dans la feuille de calcul automatisée (tableur) ci dessous A B C 1 prix HT taux de TVA prix TTC 2? 19, ? 5, ? 2,1 200 i. quelle formule entrée dans la cellule A2 permet d obtenir les résultats attendus dans la colonne A si on "tire vers le bas"? A2 = C2/(1+B2/)

36 4 évolutions successives et taux global 4.1 activité 1. un prix augmente de 40% puis de 4%, de quel pourcentage a t-il évolué globalement? est-ce une bonne méthode d additionner les taux d évolutions intermédiaires pour obtenir le taux global? 2. un prix baisse de 40% puis de 4%, de quel pourcentage a t-il évolué globalement? 3. un prix augmente de 40% puis baisse de 40%, de quel pourcentage a t-il évolué globalement? 4. une augmentation de 10% par mois pendant 12 mois correspond à une évolution globale de quel taux? 5. une baisse de 10% par mois pendant 12 mois correspond à une évolution globale de quel taux? 6. une augmentation de 25% suivie d une évolution de quel taux donne globalement un taux de 50%? 7. une baisse de 25% suivie d une évolution de quel taux donne globalement un taux de 50%?

37 4.2 corrigé activité 1. un prix augmente de 40% puis de 4%, de quel pourcentage a t-il évolué globalement? x +40% (1+ 40 ) intermédiaire +4% (1+ 4 ) arrivée C g C g = (1+ 40 ) (1+ 4 ) = 1,4 1,04 = 1,456 t g = C g 1 = 1,456 1 = 0,456 = 45,6% donc le taux global est de 45,6%. il n est pas correct d additionner les taux d évolutions intermédiaires pour obtenir le taux global. (40%+4% 45,6%) 2. un prix baisse de 40% puis de 4%, de quel pourcentage a t-il évolué globalement? x 40% (1 40 ) intermédiaire 4% (1 4 ) arrivée C g C g = (1 40 ) (1 4 ) = 0,6 0,96 = 0,576 t g = C g 1 = 0,576 1 = 0,424 = 42,4% donc le taux global est de 42, 4%

38 3. un prix augmente de 40% puis baisse de 40%, de quel pourcentage a t-il évolué globalement? x +40% (1+ 40 ) intermédiaire 40% (1 40 ) arrivée C g C g = ( ) (1 ) = 1,4 0,6 = 0,84 t g = C g 1 = 0,84 1 = 0,16 = 16% donc le taux global est de 16% 4. une augmentation de 10% par mois pendant 12 mois correspond à une évolution globale de quel taux? +10% +10% x (1+ 10 )... (1+ 10 ) arrivée C g C g = (1+ 10 )12 = 1,1 12 3,14 t g = C g 1 3,14 1 = 2,14 = 214% donc le taux global est d environs 214% 5. une baisse de 10% par mois pendant 12 mois correspond à une évolution globale de quel taux? C g = (1 10 )12 = 0,9 12 0,28 t g = C g 1 0,28 1 = 0,72 = 72% donc le taux global est d environs 72%

39 6. une augmentation de 25% suivie d une évolution de quel taux donne globalement un taux de 50%? x +25%?% intermédiaire arrivée +50% (1+ 25 ) C 2 = ,25 C 2 = 1,5 C 2 = 1,5 1,25 = 1,2 t g = C g 1 1,2 1 = 0,2 = 20% donc le taux intermédiaire est de +20% 7. une baisse de 25% suivie d une évolution de quel taux donne globalement un taux de 50%? x 25%?% intermédiaire arrivée (1 25 ) C 2 = ,75 C 2 = 1,5 +50% C 2 = 1,5 0,75 = 2 t g = C g = 1 = % donc le taux intermédiaire est de +%

40 4.3 a retenir : propriété 3 : (taux global et taux intermédiaires) (1+t 1 ) C 1 C 2 intermédiaire (1+t 2 ) arrivée quel que soit le nombre t 1 [ 1; + [ quel que soit le nombre positif t 2 [ 1; + [ soit t g le taux d évolution global correspondant à une évolution de taux t 1 suivie d une évolution de taux t 2 on a : 1+t g = (1+t 1 ) (1+t 2 ) soit t g = (1+t 1 ) (1+t 2 ) 1 ou encore C g = C 1 C 2 et t g = C g 1 (1+t g ) C g démonstration : (laissée en exercice) remarques : (admises si non justifiées) i. pour trouver le taux d évolution global, il suffit de trouver le coefficient multiplicateur global égal au produit des coefficients multiplicateurs intermédiaires puis d en déduire le taux global exemples i. un prix augmente de 40% puis de 4%, de quel pourcentage a t-il évolué globalement? (1+ 40 ) intermédiaire (1+ 4 ) arrivée x C g C g = (1+ 40 ) (1+ 4 ) = 1,4 1,04 = 1,456 t g = C g 1 = 1,456 1 = 0,456 = 45,6% donc le taux global est de 45,6%. il n est pas correct d additionner les taux d évolutions intermédiaires pour obtenir le taux global. (40%+4% 45,6%) ii. une augmentation de 25% suivie d une évolution de quel taux donne globalement un taux de 50%? (1+ 25 ) C 2 = ,25 C 2 = 1,5 C 2 = 1,5 1,25 = 1,2 t g = C g 1 1,2 1 = 0,2 = 20% donc le taux intermédiaire est de 20%

41 4.4 exercices exercice 20 : L an dernier le prix a d abord baissé de 20 % puis augmenté de 25%. calculer le coefficient multiplicateur global et interpréter le résultat. exercice 21 : calculer le taux global dans chaque cas. 1. augmentation de 5% puis augmentation de 10% 2. baisse de 5% puis augmentation de 10% 3. augmentation de 10% puis baisse de 10% 4. baisse de 20% puis augmentation de 25% 5. baisse de 50% puis baisse de 30% exercice 22 : voici le bilan (en milliers d euros) d une entreprise sur une période donnée. trimestre 1 trimestre 2 trimestre 3 trimestre 4 total bilan bilan total à 0,1 % : (a) calculer le taux global du premier trimestre 2008 au 4 e trimestre (b) calculer le taux global du 4 e trimestre 2008 au 4 e trimestre (c) calculer le taux global du premier trimestre 2008 au 4 e trimestre 2009 par deux méthodes exercice 23 : Depuis 1998, L évolution de la subvention accordée par une entreprise à son club sportif en pourcentage d une année à l autre est celle décrite dans le tableau ci-dessous : Année Evolution en pourcentage 17% 15% 10% 9% 6% Par exemple, le taux d évolution de la subvention de 2000 à 2001 est de 10%. (a) calculer le taux d évolution global de la subvention de 1998 à 2003 exercice 24 : écrire un algorithme qui donne le taux global si on entre le deux taux intermédiaires exercice 25 : dans la feuille de calcul automatisée (tableur) ci dessous A B C 1 Taux 1 en (%) Taux 2 en (%) Taux global en (%) ? ? ? i. quelle formule entrée dans la cellule C2 permet d obtenir les résultats attendus dans la colonne C si on "tire vers le bas"?

42 4.5 corrigés exercices corrigé exercice 20 : L an dernier le prix a d abord baissé de 20 % puis augmenté de 25%. coefficient multiplicateur global = C g = ( ) (1+ ) = 0,8 1,25 = 1 t g = C g 1 = 1 1 = 0 = 0% donc le taux global est de 0%. les deux évolutions se neutralisent. (25% est le taux réciproque de -20%) corrigé exercice 21 : calculer le taux global dans chaque cas. ) 1 = 15,5% 4,5% ) 1 = 1% ) 1 = 0% ) 1 = 65% 1. augmentation de 5% puis augmentation de 10% : t g = ( ) (1+ 2. baisse de 5% puis augmentation de 10% : t g = ( ) (1+ ) 1 = 3. augmentation de 10% puis baisse de 10% : t g = ( ) (1 4. baisse de 20% puis augmentation de 25% : t g = ( ) (1+ 5. baisse de 50% puis baisse de 30% : t g = ( ) (1 corrigé exercice 22 : voici le bilan (en milliers d euros) d une entreprise sur une période donnée. trimestre 1 trimestre 2 trimestre 3 trimestre 4 total bilan bilan total à 0,1 % : (a) taux global du premier trimestre 2008 au 4 e trimestre 2008 t 1 = 50 1 = % (b) calculer le taux global du 4 e trimestre 2008 au 4 e trimestre t 2 = 50 1 = 50% (c) calculer le taux global du premier trimestre 2008 au 4 e trimestre 2009 par deux méthodes t g = = 0% ou bien t g = (1+ 50 ) (1 ) 1 = 0%

43 corrigé exercice 23 : Depuis 1998, L évolution de la subvention accordée par une entreprise à son club sportif en pourcentage d une année à l autre est celle décrite dans le tableau ci-dessous : Année Evolution en pourcentage 17% 15% 10% 9% 6% Par exemple, le taux d évolution de la subvention de 2000 à 2001 est de 10%. (a) calculer le taux d évolution global de la subvention de 1998 à 2003 t g = 0,83 0,85 0,9 0,91 0,94 1 0, , 69%

44 corrigé exercice 24 : écrire un algorithme qui donne le taux global si on entre le deux taux intermédiaires début fin var taux_1; var taux_2; var taux_global; entrer taux_1; entrer taux_2; taux_global = (1+taux_1/)*(1+taux_2/)-1; sortir taux_global;

45 corrigé exercice 25 : dans la feuille de calcul automatisée (tableur) ci dessous A B C 1 Taux 1 en (%) Taux 2 en (%) Taux global en (%) ? ? ? i. quelle formule entrée dans la cellule C2 permet d obtenir les résultats attendus dans la colonne C si on "tire vers le bas"? C2 = ((1+A2/)*(1+B2/)-1)*

46 5 évolutions successives et taux réciproque 5.1 activité 1. de quelle évolution en % faire suivre une évolution de 20% pour neutraliser celle ci (taux global = 0%)? autrement dit, quelle est l évolution réciproque d une évolution de +20%? suffit-il de prendre l opposé du premier taux pour trouver le taux réciproque? 2. quel est le taux réciproque d une évolution de +25 %? 3. quel est le taux réciproque d une évolution de + %? 3. quel est le taux réciproque d une évolution de -25 %? 4. quel est le taux réciproque d une évolution de -80 %? 5. quel est le taux réciproque d une évolution de - %?

47 5.2 corrigé activité 1. de quelle évolution en % faire suivre une évolution de 20% pour neutraliser celle ci (taux global = 0%)? autrement dit, quelle est l évolution réciproque d une évolution de +20%? suffit-il de prendre l opposé du premier taux pour trouver le taux réciproque? +20%?% x (1+ 20 ) intermédiaire C r arrivée (1+ 0 ) 0% (1+ 20 ) C r = ,2 C r = 1 C r = 1 1,2 0,83 t r = C r 1 0,83 1 0,17 17% donc le taux réciproque de +20% est environs -17% il n est pas une bonne méthode de prendre l opposé du premier taux car -20% -17% 2. quel est le taux réciproque d une évolution de +25 %? +25%?% x (1+ 25 ) intermédiaire C r arrivée (1+ 0 ) (1+ 25 ) C r = 1 1,25 C r = 1 0% C r = 1 1,25 = 0,8 t r = C r 1 0,8 1 = 0,2 = 20% donc le taux réciproque de +25% est -20%

48 3. quel est le taux réciproque d une évolution de + %? +%?% x (1+ ) intermédiaire C r arrivée (1+ 0 ) (1+ ) C r = 1 2 C r = 1 0% C r = 1 2 = 0,5 t r = C r 1 0,5 1 = 0,5 = 50% donc le taux réciproque de +% est -50% 3. quel est le taux réciproque d une évolution de -25 %? 25%?% x (1 25 ) intermédiaire C r arrivée (1+ 0 ) (1 25 ) C r = 1 0,75 C r = 1 0% C r = 1 0,75 1,33 t r = C r 1 1,33 1 0,33 33% donc le taux réciproque de -25% est environs +33%

49 4. quel est le taux réciproque d une évolution de -80 %? 80%?% x (1 80 ) intermédiaire C r arrivée (1+ 0 ) (1 80 ) C r = 1 0,2 C r = 1 0% C r = 1 0,2 = 5 t r = C r = 4 = 400% donc le taux réciproque de -25% est environs +400% 5. quel est le taux réciproque d une évolution de - %? %?% x (1 ) intermédiaire C r arrivée (1+ 0 ) (1 ) C r = 1 0 C r = 1 0% C r = 1 n existe pas 0 donc le taux réciproque de -% est inexistant

50 5.3 a retenir : propriété 4 : (taux réciproque) C 1 (1+t 1 ) C r (1+t r ) quel que soit le nombre t 1 ] 1; + [ soit t r le taux d évolution réciproque du taux t 1 on a : 1 = (1+t 1 ) (1+t r ) soit t r = 1 1 ou bien 1+t 1 1 = C 1 C r soit C r = 1 et t C 1 r = C r 1 1 démonstration : (laissée en exercice) remarques : (admises si non justifiées) i. pour trouver le taux d évolution réciproque d un taux donné (sauf %), il suffit de trouver le coefficient multiplicateur réciproque égal à l inverse du coefficient multiplicateur du taux donné puis d en déduire le taux réciproque exemples i. de quelle évolution en % faire suivre une évolution de 20% pour neutraliser celle ci (taux global = 0%)? autrement dit, quelle est l évolution réciproque d une évolution de +20%? suffit-il de prendre l opposé du premier taux pour trouver le taux réciproque? x (1+ 20 ) intermédiaire C r arrivée (1+ 0 ) (1+ 20 ) C r = ,2 C r = 1 C r = 1 1,2 0,83 t r = C r 1 0,83 1 = 0,17 = 17% donc le taux réciproque de +20% est environs -17% il n est pas une bonne méthode de prendre l opposé du premier taux car -20% -17%

51 5.4 exercices exercice 26 : dans chaque cas, calculer le coefficient multiplicateur associé à l évolution, le coefficient multiplicateur de l évolution réciproque et le taux réciproque de l évolution donnée. (a) le prix d un kilo de fruit a augmenté de 21% (b) les ventes on baissé de 0,4% (c) le du baril de pétrole a augmenté de 19,42% (d) le prix du litre de super a augmenté de 9% (e) la production industrielle a baissé de 0,9% exercice 27 : (a) quelle augmentation "annule" une diminution de 25%? (b) quelle diminution "annule" une augmentation de 25%? (c) quelle diminution "annule" une augmentation de 20%? (d) quelle augmentation "annule" une diminution de 20%? exercice 28 : écrire un algorithme qui donne le taux réciproque si on entre le taux d évolution exercice 29 : dans la feuille de calcul automatisée (tableur) ci dessous A B 1 taux (en %) taux réciproque (en %) 2? 3-99,99? 4 150? i. quelle formule entrée dans la cellule B2 permet d obtenir les résultats attendus dans la colonne B si on "tire vers le bas"?

52 5.5 corrigés exercices corrigé exercice 26 : dans chaque cas, calculer le coefficient multiplicateur associé à l évolution, le coefficient multiplicateur de l évolution réciproque et le taux réciproque de l évolution donnée. (a) le prix d un kilo de fruit a augmenté de 21% t 1 = 21% C 1 = = 1,21 C r = 1 = 1 C 1 1,21 0,8264 t R = C R 1 = 1 1, , 36% (b) les ventes on baissé de 0,4% t 1 = 0,4% C 1 = 1 0,4 = 0,996 C r = 1 = 1 C 1 0,996 1,004 t R = C R 1 = 1 0, ,4% (c) le du baril de pétrol a augmenté de 19,42% t 1 = 19,42% C 1 = 1+ 19,42 = 1,1942 C r = 1 1 = C 1 1,1942 0, t R = C R 1 = 1, , 26% (d) le prix du litre de super a augmenté de 9% t 1 = 9% C 1 = 1+ 9 = 1,09 C r = 1 = 1 C 1 1,09 0,9174 t R = C R 1 = 1 1,09 1 8, 25% (e) la production industrielle a baissé de 0,9% t 1 = 0,9% C 1 = 1 0,9 = 0,991 C r = 1 = 1 C 1 0,991 1,0091 t R = C R 1 = 1 0, , 091%

53 corrigé exercice 27 : (a) quelle augmentation "annule" une diminution de 25%? : t R = (b) quelle diminution "annule" une augmentation de 25%? : t R = (c) quelle diminution "annule" une augmentation de 20%? : t R = (d) quelle augmentation "annule" une diminution de 20%? : t R = ,33 33% = 0,2 = 20% ,17 17% = 0,25 = 25%

54 corrigé exercice 28 : écrire un algorithme qui donne le taux réciproque si on entre le taux d évolution début fin var taux ; var taux_rec; entrer taux ; taux_rec = (1/(1+taux/)-1)*; sortir taux_rec;

55 corrigé exercice 29 : dans la feuille de calcul automatisée (tableur) ci dessous A B 1 taux (en %) taux réciproque (en %) 2? 3-99,99? 4 150? i. quelle formule entrée dans la cellule B2 permet d obtenir les résultats attendus dans la colonne B si on "tire vers le bas"? B2 = (1/(1+A2/) 1)

56 6 évolutions successives et taux moyen 6.1 activité 1. le premier mois, le prix augmente de 20%, le mois suivant, il augmente encore de 80% quel est le taux d évolution moyen mensuel? suffit-il de faire la moyenne arithmétique des deux taux précédents pour trouver le taux moyen? 2. le premier trimestre, le prix baisse de 20%, le trimestre suivant, il baisse encore de 80% quel est le taux d évolution moyen trimestriel? 3. en trois ans, un prix évolue respectivement de 10% puis de 20% puis de 15% quel est le taux d évolution moyen annuel? 4. en trois jours, un prix évolue respectivement de -10% puis de -20% puis de -15% quel est le taux d évolution moyen journalier? 5. en 4 mois, un prix passe de à 200 euros quel est le taux d évolution moyen mensuel? 6. en 12 mois, un prix passe de 200 à euros quel est le taux d évolution moyen mensuel?

57 6.2 corrigé activité 1. le premier mois, le prix augmente de 20%, le mois suivant, il augmente encore de 80% quel est le taux d évolution moyen mensuel? suffit-il de faire la moyenne arithmétique des deux taux précédents pour trouver le taux moyen? ( ) (1+ ) arrivée ( ) (1+ ) = (1+t m) (1+t m ) 1,2 1,8 = (1+t m ) 2 (1+t m ) 2 = 2,16 (1+t m ) (1+t m ) 1 + t m = 1,56 1,47 ou 1 + t m = 1,56 1,47 qui est non acceptable dans le contexte d une évolution car un CM est toujours positif t m 1 1,47 = 0,47 = 47% donc le taux moyen mensuel est environs 47% il n est pas correct de faire la moyenne des deux taux donnés car 47% % 2 2. le premier trimestre, le prix baisse de 20%, le trimestre suivant, il baisse encore de 80% quel est le taux d évolution moyen trimestriel? ( ) (1 ) arrivée (1+t m ) (1+t m ) ( ) (1 ) = (1+t m) (1+t m ) 0,8 0,2 = ((1+t m ) 2 (1+t m ) 2 = 0,16 1+t m = 0, = 0,16 = 0,4 t m = 0,4 1 = 0,6 = 60% donc le taux moyen trimestriel est -60 %

58 3. en trois ans, un prix évolue respectivement de 10% puis de 20% puis de 15% quel est le taux d évolution moyen annuel? ( ) (1+ ) (1+ 15 ) arrivée (1+t m ) (1+t m ) (1+t m ) ( ) (1+ ) (1+ ) = (1+t m) (1+t m ) (1+t m ) 1,1 1,2 1,15 = (1+t m ) 3 (1+t m ) 3 = 1,518 1+t m = 1, = 3 1,518 1,149 t m 1,149 1 = 0,149 = 14,9% donc le taux moyen annuel est environs 14,9 % 4. en trois jours, un prix évolue respectivement de -10% puis de -20% puis de -15% ( ) (1 ) (1 15 ) arrivée (1+t m ) (1+t m ) (1+t m ) ( ) (1 ) (1 ) = (1+t m) (1+t m ) (1+t m ) 0,9 0,8 0,85 = (1+t m ) 3 (1+t m ) 3 = 0,612 1+t m = 0, = 3 0,612 0,849 t m 0,849 1 = 0,151 = 15,1% donc le taux moyen journalier est environs -15,1 %

59 5. en 4 mois, un prix passe de à 200 euros arrivée (1+t m ) (1+t m ) (1+t m ) (1+t m ) 200 (1+t m ) (1+t m ) (1+t m ) (1+t m ) = 200 (1+t m ) 4 = 200 (1+t m ) 4 = 200 = 2 1+t m = = 4 0,612 1,189 t m 1,189 1 = 0,189 = 18,9% donc le taux moyen mensuel est environs 18,9 % 6. en 12 mois, un prix passe de 200 à euros quel est le taux d évolution moyen mensuel? arrivée (1+t m ) (1+t m ) (1+t m ) (1+t m ) (1+t m ) 12 = (1+t m ) 12 = 200 = 0,5 1+t m = 0, = 12 0,5 0,944 t m 0,944 1 = 0,056 = 5,6% donc le taux moyen mensuel est environs 5,6 %

60 6.3 a retenir : propriété 5 : (taux moyen pour deux évolutions ) (1+t 1 ) (1+t 2 ) arrivée quel que soit le nombre t 1 ] 1; + [ quel que soit le nombre t 2 ] 1; + [ (1+t m ) (1+t m ) soit t m le taux d évolution moyen équivalent à la succession des du taux t 1 puis t 2 on a : (1+t m ) 2 = (1+t 1 ) (1+t 2 ) soit t m = (1+t 1 ) (1+t 2 ) 1 ou (C m ) 2 = C 1 C 2 soit C m = C 1 C 2 et t m = C m 1 démonstration : (laissée en exercice) remarque : (admises si non justifiées) i. pour trouver le taux d évolution moyen d une succession de taux donnés, il suffit de trouver le coefficient multiplicateur moyen égal à la "moyenne géométrique" C m = p C 1 C 2... C p des coefficients multiplicateurs des taux donnés puis d en déduire le taux moyen exemple i. le premier mois, le prix augmente de 20%, le mois suivant, il augmente encore de 80% quel est le taux d évolution moyen mensuel? suffit-il de faire la moyenne arithmétique des deux taux précédents pour trouver le taux moyen? ( ) (1+ ) = C m C m 1,2 1,8 = (C m ) 2 (C m ) 2 = 2,16 ( ) (1+ ) arrivée C m = 1,56 1,47 C m C m t m 1 1,47 = 0,47 = 47% donc le taux moyen mensuel est environs 47% directement : t m = ( ) (1+ ) 1 0,47 soit 47% il n est pas correct de faire la moyenne des deux taux donnés car 47% % 2 propriété 6 : (taux moyen pour p évolutions ) pour p évolutions de taux respectifs : t 1,t 2,...,t p où p est un entier naturel quelconque on a : (c m ) p = c 1 c 2... c p c m = (c 1 c 2... c p ) 1 p = p c 1 c 2... c p (racine p ieme de c 1 c 2... c p ) t m = c m 1 ou bien en une seule formule t m = p (1+t 1 ) (1+t 2 )... (1+t p ) 1 remarque : le même taux moyen appliqué p fois donne la même évolution globale que les p évolutions

61 6.4 exercices exercice 30 : L an dernier le prix a baissé de 20 % puis cette année il a augmenté de 25%. calculer le coefficient multiplicateur moyen puis le taux moyen et interpréter le résultat. exercice 31 : calculer le taux moyen dans chaque cas. 1. augmentation de 5% puis augmentation de 10% 2. baisse de 5% puis augmentation de 10% 3. augmentation de 10% puis baisse de 10% 4. baisse de 20% puis augmentation de 25% 5. baisse de 50% puis baisse de 30% exercice 32 : voici le bilan (en milliers d euros) d une entreprise sur une période donnée. trimestre 1 trimestre 2 trimestre 3 trimestre 4 total bilan bilan total (a) calculer le taux moyen trimestriel du premier trimestre 2008 au 4 e trimestre 2008 (de la fin du premier à la fin du 4 e ) (b) calculer le taux moyen trimestriel du premier trimestre 2009 au 4 e trimestre (c) calculer le taux moyen trimestriel du premier trimestre 2008 au 4 e trimestre obtient-on le même résultat en faisant la moyenne des deux taux moyens précédents? exercice 33 : Depuis 1998, L évolution de la subvention accordée par une entreprise à son club sportif en pourcentage d une année à l autre est celle décrite dans le tableau ci-dessous : Année Evolution en pourcentage 17% 15% 10% 9% 6% Par exemple, le taux d évolution de la subvention de 2000 à 2001 est de 10%. (a) calculer le taux d évolution moyen de la subvention de 1998 à 2003 exercice 34 : écrire un algorithme qui donne le taux moyen si on entre deux intermédiaires exercice 35 : dans la feuille de calcul automatisée (tableur) ci dessous A B C 1 Taux 1 en (%) Taux 2 en (%) Taux moyen en (%) ? ? ? i. quelle formule entrée dans la cellule C2 permet d obtenir les résultats attendus dans la colonne C si on "tire vers le bas"?

62 6.5 corrigés exercices corrigé exercice 30 : L an dernier le prix a baissé de 20 % puis cette année il a augmenté de 25%. calculer le coefficient multiplicateur moyen puis le taux moyen et interpréter le résultat. ( ) (1+ ) arrivée ( ) (1+ ) = C m C m 0,8 1,25 = (C m ) 2 (C m ) 2 = 1 C m = 1 = 1 (C m ) (C m ) t m 1 1 = 0 = 0% donc le taux moyen mensuel est de environs 0% soit : en moyenne le prix a évolué de 0% par an

63 corrigé exercice 31 : calculer le taux moyen dans chaque cas. 1. augmentation de 5% puis augmentation de 10% : t m = ( ) (1+ ) 1 0,0747 7,5% 2. baisse de 5% puis augmentation de 10% t m = ( ) (1+ ) 1 2,2% 3. augmentation de 10% puis baisse de 10% t m = ( ) (1 ) 1 0,5% 4. baisse de 20% puis augmentation de 25% t m = ( ) (1+ ) 1 0% 5. baisse de 50% puis baisse de 30% t m = ( ) (1 ) 1 41%

64 corrigé exercice 32 : voici le bilan (en milliers d euros) d une entreprise sur une période donnée. trimestre 1 trimestre 2 trimestre 3 trimestre 4 total bilan bilan total (a) calculer le taux moyen trimestriel du premier trimestre 2008 au 4 e trimestre 2008 (de la fin du premier à la fin du 4 e ) 50 (C m ) 3 = (C m ) 3 = 50 = 2 C m = 3 2 1,159 t m 1, % (b) calculer le taux moyen trimestriel du premier trimestre 2009 au 4 e trimestre (C m ) 3 = 50 (C m ) 3 = = 0,2 C m = 3 0,2 0,584 t m 0, % (c) calculer le taux moyen trimestriel du premier trimestre 2008 au 4 e trimestre (C m ) 7 = 50 (C m ) 7 = = 1 C m = 7 1 = 1 t m = 1 1 0% on n obtient pas le même résultat en faisant la moyenne des deux taux moyens précédents car 26+( 42) 2 = 8 0

65 corrigé exercice 33 : Depuis 1998, L évolution de la subvention accordée par une entreprise à son club sportif en pourcentage d une année à l autre est celle décrite dans le tableau ci-dessous : Année Evolution en pourcentage 17% 15% 10% 9% 6% Par exemple, le taux d évolution de la subvention de 2000 à 2001 est de 10%. (a) calculer le taux d évolution moyen de la subvention de 1998 à 2003 t m = 5 0,83 0,85 0,9 0,91 0, , 4%

66 corrigé exercice 34 : écrire un algorithme qui donne le taux moyen si on entre deux intermédiaires début fin var taux_1; var taux_2; var taux_moyen; entrer taux_1; entrer taux_2; taux_moyen = ((((1+taux_1 /)*(1+taux_2 /)) (1/2))-1)*; sortir taux_moyen;

67 corrigé exercice 35 : dans la feuille de calcul automatisée (tableur) ci dessous A B C 1 Taux 1 en (%) Taux 2 en (%) Taux moyen en (%) ? ? ? i. quelle formule entrée dans la cellule C2 permet d obtenir les résultats attendus dans la colonne C si on "tire vers le bas"? C2 = ((((1+A2/) * (1+B2/)) (1/2))-1)*

68 7 évaluations 7.1 devoir maison exercice 1 : devoir maison Un produit en vente aux enchères est au à un prix de 220e un acheteur remporte la vente à 256e calculer le taux d évolution entre le et l achat exercice 2 : déterminer les coefficients multiplicateurs associés aux évolutions suivantes : i. augmenter de 20% ii. diminuer de 62% iii. augmenter de 50% exercice 3 : déterminer le montant des ventes de PSA Peugeot Citroên au semestre précédent sachant que : "le groupe PSA annonce un bon de 20,8 % de ses ventes à 28,39 milliards d euros ce semestre exercice 4 : soit l algorithme ci dessous début var V ; var t ; fin entrer V ; entrer t ; V prend la valeur V (1+ t ); sortir V ; (a) quelles sont les variables utilisées (b) que calcule cet algorithme? quelle variable stocke le résultat? (c) saisir le programme dans une calculatrice ou un ordinateur et vérifier son fonctionnement en complétant les deux premières lignes du tableau (d) modifier le programme pour pouvoir compléter la troisième ligne du tableau et compléter cette ligne circuit ventes semaine 1 évolution ventes semaine 2 librairie % grandes surfaces alimentaires 96-47% grandes surfaces spécialisées -34% 532 exercice 5 : de 2000 à 2005 la population d une ville a augmenté de 10,3% puis, de 2005 à 2010 elle a diminué de 9% Quel est le taux d évolution de la population de la ville entre 2000 et 2010? exercice 6 : la pelouse grandit de 5% par jour Quel est le taux d évolution de la taille de la pelouse en 15 jours?

69 exercice 7 : le propriétaire d un magasin liste chaque jour, les articles vendus, le prix TTC et calcule le montant de la TVA à verser à l état. i. A. calculer le taux d évolution réciproque de 19,6% (arrondi au centième) B. en déduire le prix HT d un article correspondant à un prix TTC de 43,65 euros C. en déduire le montant en euros de la TVA qui sera versée à l état suite à la vente de l article ii. la feuille de calcul ci dessous présente les ventes d une journée de ventes A B C D E F 1 référence prix TTC prix HT taux de TVA 0,196 2 ref1 43,65 36,50 7,15 taux réciproque -0, ref2 303,78 4 ref3 95,67 5 ref4 151,65 A. quelle formule a été saisie en C2? B. quel est le titre à écrire en D1? C. Quelle formule a été saisie en F2? D. réaliser la feuille de calcul, compléter le tableau et le montant total de la TVA que le commerçant devra donner à l état exercice 8 : dans ce QCM, une seule réponse est correcte. i. un prix passe de 6,7e à 7e quel est le taux d évolution du prix au dixième? : 0,3 % / 4,5% / 4,3% ii. quel est le taux global correspondant à une évolution de 10% suivie d une évolution de -50% suivie d une évolution de 7%? -33 % / -41,15% / -11% iii. Une photocopieuse augmente une dimension de 20%, la nouvelle dimension est : 20d / 0,2d / 1,2d

70 7.2 corrigé devoir maison corrigé devoir maison exercice 1 : (9 page 116) t = % exercice 2 : (10 page 116) (a) augmenter de 20% : CM = = 1,2 (b) diminuer de 62% : CM = 1 62 = 0,38 (c) augmenter de 50% : CM = = 1,5 exercice 3 : (12 page 116) au semestre précédent le montant des ventes a été de : 28, ,8 23, 50 milliards d euros exercice 4 : (15 page 116) (a) les variables utilisées sont V et t (b) cet algorithme calcule la valeur finale connaissant la valeur initiale et le taux d évolution t% la variable V stocke le résultat (c) en JAVASCRIPT le programme est par exemple : <script langage="javascript"> </script> var V ; var t ; V = prompt("entrez une valeur initiale s.v.p"); t = prompt("entrez une valeur de taux d évolution s.v.p"); V = V (1+t/); alert("la valeur finales est : "+V ); (d) programme modifié pour pouvoir compléter la troisième ligne du tableau et compléter cette ligne début var V ; var t ; fin entrer V ; entrer t ; V prend la valeur V/(1+t/); sortir V ; circuit ventes semaine 1 évolution ventes semaine 2 librairie % 846,51 grandes surfaces alimentaires 96-47% 50,88 grandes surfaces spécialisées 806, 06-34% 532

71 exercice 5 : (19 page 117) le taux d évolution de la population de la ville entre 2000 et 2010 est : t = (1+ 10,3 ) (1 9 ) 1 0, 373% exercice 6 : (20 page 117) le taux d évolution de la taille de la pelouse en 15 jours est : t = (1+ 5 ) % exercice 7 : (26 page 119) le propriétaire d un magasin liste chaque jour, les articles vendus, le prix TTC et calcule le montant de la TVA à verser à l état. i. A. le taux d évolution réciproque de 19,6% (arrondi au centième) est : 1 t R = 1+ 19,6 1 16, 39% B. le prix HT d un article correspondant à un prix TTC de 43,65 euros est : HT = 43, ,6 36,5 ou bien HT 43,65 (1 16,39 ) soit : HT 36,5 C. montant en euros de la TVA qui sera versée à l état suite à la vente de l article : TVA 43,65 36,5 = 7,15 ii. la feuille de calcul ci dessous présente les ventes d une journée de ventes A B C D E F 1 référence prix TTC prix HT taux de TVA 0,196 2 ref1 43,65 36,50 7,15 taux réciproque -0, ref2 303, ,78 4 ref3 95, ,67 5 ref4 151,65 126,8 24,85 A. C2 = B2/(1+F$1) ou bien C2 = B2 (1+F$2) B. valeur de la TVA dans D1 C. F2 = 1/(1+F1) 1 D. tableau et le montant total de la TVA que le commerçant devra donner à l état : 7,15+49,78+ 15,67+24,85 = 97,45 exercice 8 : (38 page 122) dans ce QCM, une seule réponse est correcte. i. t = 7 6,7 1 4,5% ii. t = 1,1 0,5 1, , 15% iii. V 2 = 1,2d

72 7.3 évaluation

73 interrogation Nom, Prénom :... Exercice 1 : recopier la seule et unique bonne réponse (ou la phrase) sur votre copie dans chaque cas : (t = taux, t g = taux global, t r = taux réciproque, t m = taux moyen, CM = coefficient multiplicateur, V 1 = valeur initiale, V 2 = valeur finale) (a) t = V 2 V 1 V 2 / t = V 2 V 1 V 1 / t = V 1 V 2 V 2 / t = V 1 V 2 V 2 / aucune des formules ne convient (b) t = V 1 / t = V 2 1 / t = V 1 / t = V 1 1 / aucune des formules ne convient V 2 V 1 V 2 V 2 (c) CM = 1+t / CM = 1 t / CM = t 1 / CM = t / aucune des formules ne convient (d) t = 1+CM / t = 1 CM / t = CM 1 / t = CM +1 / (e) V 2 = V 1 (1+t) / V 1 = V 2 (1+t) / V 2 = V 1 1+t (f) V 1 = V 2 (1+t) / V 1 = V 2 1+t / V 2 = V 1 1+t / V 2 = V 1 t aucune des formules ne convient / V 2 = V 1 t / aucune ne convient / aucune ne convient (g) t g = (1+t 1 ) (1+t 2 ) 1 / t g = t 1 t 2 1 / t g = (1+t 1 ) (1+t 2 ) / t g = t 1 +t 2 / aucune ne convient (h) t r = t 1 / t r = 1 t 1 / t r = 1 1+t 1 / t r = 1 1+t 1 1 / aucune ne convient (i) t m = t 1 +t 2 / t m = t 1 t 2 1 / t m = (1+t 1 ) (1+t 2 ) 1 / t m = (1+t 1 ) (1+t 2 ) / aucune ne 2 convient (j) t m = t 1 +t 2 +t 3 / t m = (t 1 t 2 t 3 ) 1/3 1 / t m = (1+t 1 ) (1+t 2 ) (1+t 3 ) 1 3 / t m = ((1+t 1 ) (1+t 2 ) (1+t 3 )) 1/3 1 / aucune ne convient Exercice 2 : (a) donner le coefficient multiplicateur CM associé à chaque taux t : i. t = +9% donne CM =... ii. t = +90% donne CM =... iii. t = 9% donne CM =... iv. t = 90% donne CM =... (b) donner le taux t associé à chaque coefficient multiplicateur CM : i. CM = 0,16 donne t =... ii. CM = 1,16 donne t =... iii. CM = 2,16 donne t =... iv. CM = 1 donne t =... Exercice 3 : voici les évolutions de plusieurs tarifs : _tarif 1 : passe de 15eà20e _tarif 2 : passe de 55eà65e (a) calculer les variations absolues (ene) et relatives (à 1% près) de chaque tarif (b) quel tarif a le plus augmenté ene? (c) quel tarif a le plus augmenté en %?

74 Exercice 4 : (a) un objet à 127 euros augmente de 5%, quel est son nouveau prix? (b) un objet à 127 euros baisse de 5%, quel est son nouveau prix? (c) un objet coûte 1995 euros après une hausse de 5%, quel était son ancien prix? (d) un objet coûte 1995 euros après une baisse de 5%, quel était son ancien prix? Exercice 5 : calculer le taux global dans chaque cas. 1. augmentation de 15% puis augmentation de 25% 2. baisse de 15% puis baisse de 8% puis baisse de 25% Exercice 6 : (a) quelle augmentation "annule" une diminution de 25%? (taux réciproque d une évolution de +25%?) (b) déterminer le taux réciproque d une évolution de +200 % Exercice 7 : calculer le taux moyen dans chaque cas (à 1% près). (a) augmentation de 20% puis augmentation de 40% (b) baisse de 50% puis baisse de 30% puis baisse de 80% Exercice 8 : La subvention accordée par une entreprise à son club sportif était de 3000e pour l année Depuis 1998, L évolution de la subvention en pourcentage d une année à l autre est celle décrite dans le tableau ci-dessous : Année Evolution en pourcentage + 17% + 15% + 10% + 9% +6% Par exemple, le taux d évolution de la subvention de 2000 à 2001 est de 10%. i. calculer, pour chacune des années, le montant de la subvention attribuée ( à l euro près). ii. le responsable sportif se plaint d une diminution continuelle des subventions depuis l année quelle confusion fait-il? iii. calculer le pourcentage de diminution ou d augmentation de la subvention de 1998 à iv. calculer le taux moyen annuel de 1998 à 2003 v. si à partir de 2003 le taux reste à +6% quel sera le montant de la subvention en 2012? Exercice 9 : écrire un algorithme qui donne le prix HT (hors taxes) si on entre le prix TTC (toutes taxes comprises) et le taux de TVA (par exemple 19,6) Exercice 10 : le propriétaire d un magasin liste chaque jour, les articles vendus, le prix HT et le taux de TVA puis calcule le montant TTC ainsi que la TVA à verser à l état. Cette feuille de calcul présente les ventes d une journée A B C D E 1 référence prix HT taux de TVA prix TTC TVA en euros 2 ref1 36,50 19,6 3 ref2 303,78 5,5 4 total i. quelle formule faut-il entrer en D2 puis tirer en D3? (D2 =...) ii. quelle formule faut-il entrer en E2 puis tirer en E3? iii. quelle formule faut-il entrer en E4?

75 7.4 interrogations

76 7.4.1 interrogation 1

77 interrogation Nom, Prénom : entourer la bonne proposition dans chaque cas : (a) t = v 2 v 1 / t = v 2 v 1 / t = v 1 v 2 / t = v 1 v 2 / aucune des formules ne convient v 2 v 1 v 2 v 2 (b) t = v 1 / t = v 2 1 / t = v 1 / t = v 1 1 / aucune des formules ne convient v 2 v 1 v 2 v 2 (c) CM = 1+t / CM = 1 t / CM = t 1 / CM = t / aucune des formules ne convient (d) t = 1+CM / t = 1 CM / t = CM 1 / t = CM +1 / (e) V 2 = V 1 (1+t) / V 1 = V 2 (1+t) / V 2 = V 1 1+t (f) V 1 = V 2 (1+t) / V 1 = V 2 1+t / V 2 = V 1 1+t / V 2 = V 1 t 2. un prix passe de 50 à 200 euros, calculer le taux d évolution à 1% près aucune des formules ne convient / V 2 = V 1 t / aucune ne convient / aucune ne convient 3. Un article à 180 euros est baissé de 30%, quel est le nouveau prix? 4. donner le coefficient multiplicateur CM associé à chaque taux t : (a) t = +9% donne CM =... (b) t = +90% donne CM =... (c) t = 9% donne CM =... (d) t = 90% donne CM = donner le taux t associé à chaque coefficient multiplicateur CM : (a) CM = 0,16 donne t =... (b) CM = 1,16 donne t =... (c) CM = 2,16 donne t =... (d) CM = 1 donne t = Un article maintenant à 180 euros vient d augmenter de 3%, quel était l ancien prix? 7. Un article voit son prix augmenter de 4% puis baisser de 40%, de quel pourcentage a t-il varié globalement?

78 8 travaux pratiques

79 Nom, Prénom :... TP : Taux d évolution et Algorithmique But : Analyser des algorithmes donnés (ou en écrire) puis programmer un ordinateur pour effectuer ces algorithmes 1. ouvrir le sous-dossier "math" votre dossier "mes documents" et y créer un sous-sous-dossier "algorithme_et_taux", puis ouvrir ce dossier 2. calcul du taux _on entre la valeur initiale et la valeur finale _on obtient en sortie, la valeur du taux d évolution algorithme Début //Variables valeur_initiale, valeur_finale, taux //Entrées demander à l utilisateur la valeur de valeur_initiale demander à l utilisateur la valeur de valeur_finale //Traitements affecter à taux la valeur (valeur_finale valeur_intiale)/valeur_initiale) //Sortie afficher taux Fin (a) rappeler la formule qui permet de calculer le taux d évolution t de V 1 à V 2 : t =... (b) dans le programme ci contre, combien y a t-il de variables? :... (c) combien y a t-il de variables d entrées? :... (d) combien y a t-il de variables de sorties? :... (e) programme en javascript avec un pc sous window XP programme en javascript (1) <script> //Variables var v1, v2, t; //Entrées v1 = Number(prompt("valeur initiale =?")); v2 = Number(prompt("valeur finale =?")); //Traîtement t =...; //Sorties alert( "taux = " + t + " %" ) </script> i. créer un nouveau fichier (démarrer > tous les programmes > Accessoires > Bloc-notes ) ii. recopier et compléter le programme donné (1) dans le fichier (de <script> à < /script> inclus) iii. enregistrer sous "taux.htm" dans le dossier "algorithme_et_taux" iv. double cliquez sur l icône apparue dans le dossier "algorithme_et_taux" (avec Firefox) v. vérifier que le programme fonctionne en prenant : v1 = 10 et v2 = 20, il donne alors : taux =... vi. relancer le programme (touche F5) pour répondre à la question suivante. la consommation passe de 20 unités à 10 unités, le taux d évolution est de : calcul de la valeur finale _on entre la valeur initiale et le taux d évolution _on obtient en sortie, la valeur finale (a) rappeler la formule qui donne V 2 en fonction de V 1 et t : V 2 =... (b) créer un nouveau fichier (c) recopier le programme donné (2) dans le fichier (d) enregistrer sous "valeur_finale.htm" dans le dossier "algorithme_et_taux" (e) compléter le programme par ce qu il faut pour qu il fonctionne (puis enregistrer) programme en javascript (2) (à compléter) <script> //Variables var v1, v2, t; //Entrées v1 = Number(prompt("valeur initiale =? ")); t = Number(prompt(" taux (%) =?")); //Traîtement v2 =...; //Sorties alert( "valeur finale = " + v2) </script> i. double cliquez sur l icône apparue dans le dossier

80 ii. vérifier que le programme fonctionne en prenant : v1 = 60 et taux = 25% il donne alors : v2 =... iii. relancer le programme (touche F5) pour répondre à la question suivante il coutait 60 euros mais a baissé de 25% le nouveau prix est donc : calcul de la valeur initiale _on entre la valeur finale et le taux d évolution (a) rappeler la formule qui donne V 1 en fonction de V 2 et t : V 1 =... (b) créer un nouveau fichier (c) recopier le programme donné (3) dans le fichier (d) enregistrer sous "valeur_initiale.htm" dans le dossier "algorithme_et_taux" (e) compléter le programme par ce qu il faut pour qu il fonctionne (puis enregistrer) _on obtient en sortie, la valeur initiale programme en javascript (3) (à compléter) <script> //Variables var v1, v2, t; //Entrées v2 = Number(prompt("valeur finale =? ")); t = Number(prompt(" taux (%) =?")); //Traîtement v1 =...; //Sorties alert( "valeur initiale = " + v1) </script> i. double cliquez sur l icône apparue dans le dossier ii. vérifier que le programme fonctionne en prenant : v2 = 60 et taux = 25% il donne alors : v1 =... iii. relancer le programme (touche F5) pour répondre à la question suivante il coute maintenant 60 euros mais a baissé de 25% l ancien prix était donc : calcul du taux réciproque _on entre la valeur du taux d évolution _on obtient en sortie, la valeur du taux réciproque (a) rappeler la formule qui donne t r en fonction de t : t r =... (b) créer un nouveau fichier (c) recopier le programme donné (4) dans le fichier (d) enregistrer sous "taux_reciproque.htm" dans le dossier "algorithme_et_taux" (e) compléter le programme par ce qu il faut pour qu il fonctionne (puis enregistrer) programme en javascript (4) (à compléter) <script> //Variables var t, tr; //Entrées t = Number(prompt(" taux (%) =?")); //Traîtement tr =...; //Sorties alert( "taux réciproque = " + tr) </script> i. double cliquez sur l icône apparue dans le dossier ii. vérifier que le programme fonctionne en prenant : t = 20% il donne alors : tr =... iii. relancer le programme (touche F5) pour répondre à la question suivante il vient de baisser de 25%, pour retrouver le même prix, il doit donc augmenter de :...

81 6. calcul du taux global _on entre la valeur de deux taux d évolutions successifs _on obtient en sortie, la valeur du taux global (a) rappeler la formule qui donne t g en fonction de t 1 et t 2 : t g =... (b) créer un nouveau fichier (c) recopier le programme donné (5) dans le fichier (d) enregistrer sous "taux_global.htm" dans le dossier "algorithme_et_taux" (e) compléter le programme par ce qu il faut pour qu il fonctionne (puis enregistrer) programme en javascript (5) (à compléter) <script> //Variables var t1, t2, tg; //Entrées t1 = Number(prompt(" taux 1 (%) =?")); t2 = Number(prompt(" taux 2 (%) =?")); //Traîtement tg =...; //Sorties alert( "taux global = " + tg) </script> i. double cliquez sur l icône apparue dans le dossier ii. vérifier que le programme fonctionne en prenant : t1 = 20% et t2 = 30% il donne alors : tg =... iii. relancer le programme (touche F5) pour répondre à la question suivante il vient de baisser de 25% puis de 75%, il a donc évolué globalement de : calcul du taux moyen _on entre la valeur de deux taux d évolutions successifs _on obtient en sortie, la valeur du taux moyen (a) rappeler la formule qui donne t m en fonction de t 1 et t 2 : t m =... (b) créer un nouveau fichier (c) recopier le programme donné (6) dans le fichier (d) enregistrer sous "taux_moyen.htm" dans le dossier "algorithme_et_taux" (e) compléter le programme par ce qu il faut pour qu il fonctionne (puis enregistrer) en javascript, la racine carrée s écrit : Math.sqrt() programme en javascript (6) (à compléter) <script> //Variables var t1, t2, tm; //Entrées t1 = Number(prompt(" taux 1 (%) =?")); t2 = Number(prompt(" taux 2 (%) =?")); //Traîtement tm =...; //Sorties alert( "taux moyen = " + tm) </script> i. double cliquez sur l icône apparue dans le dossier ii. vérifier que le programme fonctionne en prenant : t1 = 20% et t2 = 30% il donne alors : tm =... iii. relancer le programme (touche F5) pour répondre à la question suivante il vient de baisser de 25% puis de 75%, il a donc évolué en moyenne de :...