TAUX d EVOLUTIONS (cours)

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1 TAUX d EVOLUTIONS (cours) Table des matières 1 calcul d un taux d évolution activité corrigé activité a retenir exercices corrigés exercices valeur finale à partir du taux d évolution et de la valeur initiale, C.M activité : corrigé activité : a retenir : exercices corrigés exercices calcul de la valeur initiale à partir du taux et de la valeur finale activité corrigé activité a retenir : exercices corrigés exercices évolutions successives et taux global activité corrigé activité a retenir : exercices corrigés exercices évolutions successives et taux réciproque activité corrigé activité a retenir : exercices corrigés exercices évolutions successives et taux moyen activité corrigé activité a retenir : exercices corrigés exercices

2 7 évaluations devoir maison corrigé devoir maison évaluation interrogations interrogation travaux pratiques 78

3 1 calcul d un taux d évolution 1.1 activité Calculs et comparaisons de variations absolues et relatives à partir de valeurs. A. Voici les évolutions des primes de salaires pour une personne pour les sept premiers mois de l année. Les données sont entrées dans une feuille de calcul de type Tableur. A B C D E F G H 1 Mois Janvier Février Mars Avril Mai Juin Juillet 2 Rang du Mois : i prime en euros : p i calcul Variation absolue 4 (en euros) : v i +200 calcul Variation relative 5 (en %) : t i +% La variation absolue est calculée entre le mois précédent et le mois considéré, de même pour la variation relative. 1. a. Retrouver le v 2 = +200 du tableau. b. Calculer les variations absolues de la prime (en euros) et compléter le tableau. c. Estimer,si, en général, il y a des limites à la valeur d une variation absolue. (donner un intervalle pour v) d. Quelle formule tableur entrer dans la cellule C4 pour remplir par tirage les cellules C4 à H4. 2. a. Retrouver le t 2 =+% du tableau par deux méthodes de calcul. b. Calculer toutes les variations relatives (ou taux d évolution) de la prime (en %) et compléter le tableau (si possible) c. Estimer, si en général, il y a des limites à la valeur d une variation relative (donner un intervalle pour t) d. Quelle(s) formule(s) tableur(s) entrer dans la cellule C5 pour remplir par tirage les cellules C5 à H5. 3. a. Entre quels mois la variation absolue de la prime a t-elle été la plus grande? b. Entre quels mois la variation relative de la prime a t-elle été la plus grande? c. La plus grande variation en euros correspond-elle toujours à la plus grande variation en pourcentages? (justifier) 4. Est-il vrai ci dessus, qu une variation de -200 euros neutralise une variation de +200 euros? justifier. 5. Est-il vrai ci dessus, qu une variation de -50% euros neutralise une variation de +%? justifier. 6. Est-il vrai ci dessus qu une évolution de +% suivie d une évolution de -50% donne globalement une évolution de 50%? justifier. B. Donner les formules des variations absolues V A et relatives V R (ou t) pour une grandeur qui passe de la valeur v 1 à la valeur v 2 et poser des conditions de validités éventuelles sur ses formules. C. Défi : essayer de trouver un taux d évolution (une variation relative) qui annulerait une variation de +25%.

4 1.2 corrigé activité Calculs et comparaisons de variations absolues et relatives à partir de valeurs. A. Voici les évolutions des primes de salaires pour une personne pour les sept premiers mois de l année. A B C D E F G H 1 Mois Janvier Février Mars Avril Mai Juin Juillet 2 Rang du Mois : i prime en euros : p i calcul Variation absolue : v i calcul ,5 1,5 0,8-1 indéfini 5 Variation relative : t i +% -50% +150% +80% -% indéfini 1. a. v 2 = p 2 p 1 = = +200 euros. b. v 3 = p 3 p 2 = = 200 euros. v 4 = p 4 p 3 = = +300 euros et de même pour le reste (voir tableau). c. A priori, il n y a pas de limites à la valeur d une variation absolue : v ] ; + [ d. C4=C3 B3. 2. a. Retrouvons le t 2 = +% du tableau par deux méthodes de calcul t 2 = p 2 p 1 p 1 = = 1 = % t 2 = p 2 1 = = 2 1 = 1 = % p b. t 3 = t 4 = = = 0,5 = 50% = 300 = 1,5 = +150% de même pour le reste 200 Remarquer que : t 7 = n existe pas. 0 c. A priori, pour des valeurs positives de la grandeur en question (içi la prime), un taux ne peut-être inférieur à -%, mais il peut-être aussi grand que l on veut, t [ 1 ; + [ soit t [ % ; + [ 3. a. La variation absolue de la prime a t-elle été la plus grande entre Avril et Mai (+400) b. La variation relative de la prime a t-elle été la plus grande entre Mars et Avril(+150%) c. Non car içi, la plus grande variation en euros (+400) ne correspond pas à la plus grande variation en pourcentages (+150%) 4. Oui, une variation de -200 euros neutralise une variation de +200 euros car globalement on a une variation de 0 euros. 5. Oui, une variation de -50% euros neutralise une variation de +% car globalement on a une variation de 0 euros.( passage de 200 euros à 200 euros globalement). 6. Non, une évolution de +% suivie d une évolution de -50% donne globalement une évolution de 0% comme vue ci dessus et pas de +50%. B. V A = v 2 v 1 V R = t = v 2 v 1 v 1 = v 2 v 1 1 pour v 1 > 0 et v 2 0. C. Une variation de -20% annule une variation de +25% En effet : +25% = + 25 = 125 puis % 125 = =.

5 1.3 a retenir définition 1 : (variation absolue, variation relative, taux d évolution) arrivée quel que soit le nombre positif non nul v 1 (v 1 R + ) quel que soit le nombre positif v 2 (v 2 R + ) v 1 v 2 la variation absolue de v 1 à v 2 est le nombre : V A = v 2 v 1 variation absolue = v finale v initiale la variation relative de v 1 à v 2 est le nombre : V R = t = v 2 v 1 variation relative = v finale v initiale v v 1 initiale ou encore : la variation relative de v 1 à v 2 est le nombre : V R = t = v 2 1 variation relative = v finale v v 1 initiale 1 remarques : (admises si non justifiées) i. la variation relative est aussi appelée "taux d évolution" ii. une variation absolue est comprise entre et + ( V A ] ; + [ ) iii. une variation relative est comprise entre % et + ( V R ] 1 ; + [ ) exemples : pour une classe A qui passe de 30 à 36 élèves. pour une classe B qui passe de 20 à 25 élèves pour une classe C qui passe de 20 à 15 élèves pour la classe A : la variation absolue du nombre délèves est V A = = 6 élèves la variation relative est V R = t = = 6 30 = 1 = 0,2 = +20% 5 pour la classe B : la variation absolue du nombre délèves est V A = = 5 élèves la variation relative est V R = t = la variation absolue est plus grande en A (6>5) la variation relative est plus grande en B (25%>20%) = 5 20 = 1 = 0,25 = +25% 4 pour la classe C : la variation absolue du nombre délèves est V A = = 5 élèves la variation relative est V R = t = = 5 20 = 1 = 0,25 = 25% 4 résumé : classe v 1 v 2 variation absolue variation relative A = = 20% 30 B = = 25% 20 C = = 25% 20

6 1.4 exercices exercice 1 : (a) un prix passe de 200 euros à 250 euros, quelle est la variation absolue et quel est le taux d évolution de ce prix? (à 1% par excès si 5) (b) un prix passe de 250 euros à 200 euros, quelle est la variation absolue et quel est le taux d évolution de ce prix? (à 1% par excès si 5) (c) un article hors taxe vaut 50 e alors qu il vaut 52,75 e toutes taxes comprises (TVA ajoutés uniquement), quel est le taux de TVA? (d) il a réussit 50 fois l an passé et 20 fois de moins cette année, de quelle proportion a t-il évolué? exercice 2 : voici les évolutions de plusieurs tarifs : _tarif 1 : passe de 1eà2e _tarif 2 : passe de 2eà3e _tarif 3 : passe de 10eà30e _tarif 4 : passe de 0eà1020e (a) calculer les variations absolues et relatives de chaque tarif (b) quel tarif a le plus augmenté ene? (c) quel tarif a le plus augmenté en %? exercice 3 : Le tableau ci dessous donne les chiffres d affaire d une entreprise pour trois années.(en milliers d euros) trimestre 1 trimestre 2 trimestre 3 trimestre 4 Σ Σ calculer le taux d évolution du chiffre d affaire à 1% près A. entre le premier et dernier trimestre de l année 2009 B. entre les premiers trimestres des années 2007 et 2009 C. entre les années 2007 et 2009 D. entre le premier et le dernier trimestre sur l ensemble des trois années exercice 4 : écrire un algorithme qui donne le taux d évolution si on entre la valeur initiale et la valeur finale exercice 5 : dans la feuille de calcul automatisée (tableur) ci dessous A B C 1 prix HT taux de TVA prix TTC 2 105? 125, ? 147, ? 204,2 i. quelle formule entrée dans la cellule B2 permet d obtenir les résultats attendus dans la colonne B si on "tire vers le bas"?

7 1.5 corrigés exercices corrigé exercice 1 : (a) un prix passe de 200 euros à 250 euros, quelle est la variation absolue et quel est le taux d évolution de ce prix? (à 1% par excès si 5) arrivée V A = = 50e V R = t = = 0,25 = 25% 200 (b) un prix passe de 250 euros à 200 euros, quelle est la variation absolue et quel est le taux d évolution de ce prix? (à 1% par excès si 5) arrivée V A = = 50e V R = t = = 0,2 = 20% 250 (c) un article hors taxe vaut 50 e alors qu il vaut 52,75 e toutes taxes comprises (TVA ajoutés uniquement), quel est le taux de TVA? H.T. T.T.C , 5 V R = t = 52, = 0,055 = 5,5% (d) il a réussit 50 fois l an passé et 20 fois de moins cette année, de quelle proportion a t-il évolué? arrivée = 30 V R = t = = 0,4 = 40% 50

8 corrigé exercice 2 : voici les évolutions de plusieurs tarifs : _tarif 1 : passe de 1eà2e _tarif 2 : passe de 2eà3e _tarif 3 : passe de 10eà30e _tarif 4 : passe de 0eà1020e (a) calculer les variations absolues et relatives de chaque tarif classe v 1 v 2 variation absolue (ene) variation relative en % tarif = = 1 % tarif = = 2 50% tarif = = % tarif = = 0 2% (b) quel tarif a le plus augmenté ene? tarifs 2 ou tarif 3 avec +20e (c) quel tarif a le plus augmenté en %? tarif 3 avec +200 %

9 corrigé exercice 3 : Le tableau ci dessous donne les chiffres d affaire d une entreprise pour trois années.(en milliers d euros) trimestre 1 trimestre 2 trimestre 3 trimestre 4 Σ Σ calculer le taux d évolution du chiffre d affaire à 1% près A. entre le premier et dernier trimestre de l année 2009 V R = t = , % 65 B. entre les premiers trimestres des années 2007 et 2009 V R = t = ,181 18% 55 C. entre les années 2007 et 2009 V R = t = ,338 34% 411 D. entre le premier et le dernier trimestre sur l ensemble des trois années V R = t = , % 165

10 corrigé exercice 4 : écrire un algorithme qui donne le taux d évolution si on entre la valeur initiale et la valeur finale : début fin var valeur_initiale; var valeur_finale; var taux entrer valeur_initiale; entrer valeur_finale; taux = (valeur_finale - valeur_initiale)/valeur_initiale ; sortir taux ;

11 corrigé exercice 5 : dans la feuille de calcul automatisée (tableur) ci dessous A B C 1 prix HT taux de TVA prix TTC 2 105? 125, ? 147, ? 204,2 i. quelle formule entrée dans la cellule B2 permet d obtenir les résultats attendus dans la colonne B si on "tire vers le bas"? B2 = (C2 A2)/A2 ou bien B2 = C2/A2 1

12 2 valeur finale à partir du taux d évolution et de la valeur initiale, C.M. 2.1 activité : A. comment trouver le coefficient multiplicateur CM quand on connaît le taux d évolution t. 1. un prix est initialement à v 1 euros, il augmente de t = 10% et vaut alors v 2 euros. montrer que v 2 = 1,1 v 1. en déduire le coefficient multiplicateur qui correspond à une évolution de +10%. faire une phrase du type : évoluer de +10% revient à multiplier par trouver de la même manière le coefficient multiplicateur qui correspond à une évolution de 10%. 3. démontrer que si t = +1% alors CM = 1, démontrer que si t = 1% alors CM = 0, démontrer qu en général : CM = 1+t. 6. compléter le tableau de correspondance ci dessous. t -% -80% -50% -8% -5% 0% 5 % 8% 50% 80% % 150% 200% calcul CM B. comment trouver taux d évolution quand on connaît le coefficient multiplicateur 1. sachant qu il a été démontré ci dessus que CM = 1 + t en déduire l expression de t en fonction de CM. 2. compléter le tableau de correspondance ci dessous. calcul t CM 0, 01 0, 55 0, 45 0, 1 0 1, 01 1, 1 1, 45 1, 55 1, 99 4 C. En déduire les réponses aux questions ci dessous en un seul calcul. 1. Il vaut 120 euros et augmente de 80%, combien vaut-il finalement? 2. Il vaut 120 euros et baisse de 80%, combien vaut-il finalement? 3. un prix hors taxe est de 20 euros, quel est le prix TTC si la TVA est à 19,6%? 4. un prix avant solde est de 20 euros, quel est le prix soldé si la remise est de 5%?

13 2.2 corrigé activité : A. comment trouver le coefficient multiplicateur CM quand on connaît le taux d évolution t. 1. t = +10% donc v 2 = v v 1 = v 1 +0,1v 1 = 1,1v 1 à une évolution de +10% correspond un coefficient multiplicateur de 1,1 évoluer de +10% revient à multiplier par 1,1 2. t = 10% donc v 2 = v 1 10 v 1 = v 1 0,1v 1 = 0,9v 1 3. si t = +1% alors v 2 = v v 1 = v 1 +0,01v 1 = 1,01v 1 donc CM = 1, si t = 1% alors v 2 = v 1 1 v 1 = v 1 0,01v 1 = 0,99v 1 donc alors CM = 0, en général :v 2 = v 1 +t v 1 = v 1 +tv 1 = (1+t)v 1 donc CM = 1+t. 6. on a le tableau de correspondance ci dessous. t -% -80% -50% -8% -5% 0% calcul ,8 1 0,5 1 0,08 1 0, CM 0 0,2 0,5 0,92 0,95 1 t 5 % 8% 50% 80% % 150% 200% calcul ,05 1+0,08 1+0,5 1+0, ,5 1+2 CM 1,05 1,08 1,5 1,8 2 2,5 3 B. comment trouver taux d évolution quand on connaît le coefficient multiplicateur 1. sachant qu il a été démontré ci dessus que CM = 1 + t on en déduire l expression de t en fonction de CM suivante : t = CM compléter le tableau de correspondance ci dessous. calcul 0,01 1 0,55 1 0,45 1 0, t 0, 99 0, 45 0, 55 0, 9 1 t 99% 45% 55% 90% % CM 0, 01 0, 55 0, 45 0, 1 0 calcul 1,01 1 1,1 1 1,45 1 1,55 1 1, t 0,01 0,1 0,45 0,55 0,99 3 t +1% +10% +45% +55% +99% +300% CM 1, 01 1, 1 1, 45 1, 55 1, 99 4 C. En déduire les réponses aux questions ci dessous en un seul calcul. 1. Il vaut 120 euros et augmente de 80%, soit finalement : 120 1,8 = 216 euros 2. Il vaut 120 euros et baisse de 80%, soit finalement : 120 0,2 = 24 euros 3. le prix TTC est de : v 2 = 20 (1+ 19,6 ) = 20 1,196 = 23,92 euros. 4. le prix soldé est de : v 2 = 20 (1 5 ) = 20 0,95 = 19 euros.

14 2.3 a retenir : propriété 1 : (valeur finale et CM) quel que soit le nombre positif non nul v 1 (v 1 R + ) quel que soit le nombre positif v 2 (v 2 R + ) soit t [ 1; + [ le taux d évolution de v 1 à v 2 on a : v 2 = v 1 (1+t) v 2 = v 1 CM avec CM = 1+t (1+t) v 1 v 2 CM arrivée valeur finale = (1+t) valeur initiale démonstration : (laissée en exercice à partir de la définition d une variation relative) remarques : (admises si non justifiées) i. pour trouver la valeur finale, il suffit de multiplier la valeur initiale par le coefficient multiplicateur noté CM égal à CM = 1+t (CM > 0) ii. multiplier un nombre par CM 0 revient à faire évoluer ce nombre du taux t = CM 1 iii. on a le tableau de correspondance suivant entre le taux et le CM exemples taux 0% 5% 10%...% 50%...% 85% 90% 95% % CM 1 1,05 1,1... 1,5... 1,85 1,9 1,95 1 taux 0% -5% -10%...% -50%...% -85% -90% -95% -% CM 1 0,95 0,9... 0,5... 0,15 0,1 0,05 0 i. à un taux de t = 40% correspond un coefficient multiplicateur de CM = = 1,4 ii. à un taux de t = 40% correspond un coefficient multiplicateur de CM = 1 40 = 0,6 iii. à un coefficient multiplicateur de CM = 0,4 correspond un taux de t = 0,4 1 = 0,6 = 60% iv. à un coefficient multiplicateur decm = 0,04 correspond un taux det = 0,04 1 = 0,96 = 96% (1+ 80 arrivée v. Il vaut 120 euros et augmente de 80%, ) 120 v 2 1,8 soit finalement : 120 (1+ 80 ) = 120 1,8 = 216 euros vi. Il vaut 120 euros et baisse de 80%, soit finalement : 120 (1 80 ) = 120 0,2 = 24 euros vii. le prix HT est de 20 euros avec 19,6% de TVA, le prix TTC est de : v 2 = 20 (1+ 19,6 ) = 20 1,196 = 23,92 euros. viii. Il vaut 20 euros et est soldé de 5%, le prix soldé est de : v 2 = 20 (1 5 ) = 20 0,95 = 19 euros.

15 2.4 exercices exercice 6 : Un prix initialement à 50 euros augmente de 20% puis diminue de 20% (a) Calculer le prix final. (b) Calculer le taux d évolution global équivalent aux deux évolutions. exercice 7 : Une pension initialement de 800 euros augmente de 5% par an pendant 4 ans. (a) Calculer la pension finale. (b) Calculer le taux d évolution global équivalent aux quatre évolutions. exercice 8 : Un prix initialement de 200 euros baisse de 50% puis de 30%. (a) Calculer le prix final. (b) Calculer le taux d évolution global équivalent aux deux évolutions. exercice 9 : (a) un objet à 127 euros augmente de 5%, quel est son nouveau prix? (b) un objet à 127 euros baisse de 5%, quel est son nouveau prix? (c) un objet coûte 1995 euros après une hausse de 5%, quel était son ancien prix? (d) un objet coûte 1995 euros après une baisse de 5%, quel était son ancien prix? exercice 10 : La subvention accordée par une entreprise à son club sportif était de 3000e pour l année Depuis 1998, L évolution de la subvention en pourcentage d une année à l autre est celle décrite dans le tableau ci-dessous : Année Evolution en pourcentage + 17% + 15% + 10% + 9% +6% Par exemple, le taux d évolution de la subvention de 2000 à 2001 est de 10%. (a) i. Calculer, pour chacune des années, le montant de la subvention attribuée (en euro). Les résultats seront arrondis à l unité. ii. Le responsable sportif se plaint d une diminution continuelle des subventions depuis l année Quelle confusion fait-il? (b) On admet que le montant de la subvention en 2003 est de 5130 e. i. Calculer le pourcentage de diminution ou d augmentation de la subvention de 1998 à exercice 11 : écrire un algorithme qui donne la valeur finale si on entre le taux d évolution et la valeur initiale exercice 12 : dans la feuille de calcul automatisée (tableur) ci dessous A B C 1 prix HT taux de TVA prix TTC ,6? ,5? ,1? i. quelle formule entrée dans la cellule C2 permet d obtenir les résultats attendus dans la colonne C si on "tire vers le bas"?

16 2.5 corrigés exercices corrigé exercice 6 : Un prix initialement à 50 euros augmente de 20% puis diminue de 20% intermédiaire arrivée +20% 20% 50? = 60? = 48 1,2 0,8 a. le prix final est de 48 euros car : 50 (1+ 20 ) = 50 1,2 = 60 et 60 (1 20 ) = 60 0,8 = 48 ou bien 50 ( ) (1 ) = 48 b. le taux d évolution global équivalent aux deux évolutions est de 4% car : t = v 2 v 1 v 1 ou bien = = 0,04 = 4% t = v 2 1 = 48 v = 0,04 = 4% ou bien C g = 1,2 0,8 = 0,96 et t = 0,96 1 = 0,04 = 4% Remarque : On ne trouve pas globalement une évolution de 0% comme on pourrait croire intuitivement (on ne peut en général pas additionner des taux d évolutions pour trouver un taux global)

17 corrigé exercice 7 : Une pension initialement de 800 euros augmente de 5% par an pendant 4 ans % intermédiaire +5% intermédiaire +5% intermédiaire +5%???? 1,05 1,05 1,05 1,05 arrivée a. la pension finale est de 972,405 euros car : 800 (1+ 5 ) (1+ 5 ) (1+ 5 ) (1+ 5 ) = 800 1, , 405 b. le taux d évolution global équivalent aux cinq évolutions est de 22% car : t = v 2 v 1 = 972, ,2155 v ou bien t = v 2 1 = 972,405 1 v % 22% ou bien C g = 1,05 4 1,2155 et t 1, , % Remarque : On ne trouve pas globalement une évolution de 20% comme on pourrait croire intuitivement (on ne peut en général pas additionner des taux d évolutions pour trouver un taux global)

18 corrigé exercice 8 : Un prix initialement de 120 euros baisse de 50% puis de 30% % intermédiaire 30% arrivée? =? = 70 0,5 0,7 a. le prix final est de 70 euros car : 200 ( ) (1 ) = 200 0,5 0,7 = 70 b. le taux d évolution global équivalent aux deux évolutions est de -65% car : t = v 2 v 1 v 1 ou bien = t = v 2 1 = 70 v = 65% = 0,65 = 65% ou bien C g = 0,5 0,7 = 0,35 et t = 0,35 1 = 0,65 = 65% Remarque : On ne trouve pas globalement une évolution de -80% comme on pourrait croire intuitivement (on ne peut en général pas additionner des taux d évolutions pour trouver un taux global)

19 corrigé exercice 9 : a. arrivée +5% 127? = 133,35 1,05 le prix final est de : 127 (1+ 5 ) = 133, 35 euros b. arrivée 5% 127? = 120,65 0,95 le prix final est de : 127 (1 5 ) = 120, 65 euros x =? = % 1,05 arrivée 1995 c. 1,05 x (1+ 5 ) = 1995 le prix final est de : x = = 1900 euros x =? = 2 5% 0,95 arrivée 1995 d. 0,95 x (1 5 ) = 1995 le prix final est de : = 2 euros

20 corrigé exercice 10 : La subvention accordée par une entreprise à son club sportif était de 3000 e pour l année Depuis 1998, L évolution de la subvention en pourcentage d une année à l autre est celle décrite dans le tableau ci-dessous : Année Evolution en pourcentage + 17% + 15% + 10% + 9% +6% Par exemple, le taux d évolution de la subvention de 2000 à 2001 est de 10%. (a) i. Calculer, pour chacune des années, le montant de la subvention attribuée (en euro). arrondis à l unité. Année Evolution + 17% + 15% + 10% + 9% +6% montant , , ii. Le responsable sportif se plaint d une diminution continuelle des subventions depuis l année Quelle confusion fait-il? : il confond la baisse du taux d évolution avec la baisse de la subvention (b) On admet que le montant de la subvention en 2003 est de 5130e. i. Calculer le pourcentage de diminution ou d augmentation de la subvention de 1998 à 2003 : t = % 3000 ou bien C g = 1,17 1,15 1,17 1,1 1,09 1,06 1,71 donc t 1,71 1 0,71 71%

21 corrigé exercice 11 : début écrire un algorithme qui donne la valeur finale si on entre le taux d évolution et la valeur initiale var valeur_initiale; var valeur_finale; var taux ; fin entrer taux ; entrer valeur_initiale; valeur_finale = valeur_initiale*(1+ taux/); sortir valeur_finale;

22 corrigé exercice 12 : dans la feuille de calcul automatisée (tableur) ci dessous A B C 1 prix HT taux de TVA prix TTC ,6? ,5? ,1? i. quelle formule entrée dans la cellule C2 permet d obtenir les résultats attendus dans la colonne C si on "tire vers le bas"? C2 = A2 (1+B2/) ou C2 = A2+A2 (B2/)

23 3 calcul de la valeur initiale à partir du taux et de la valeur finale 3.1 activité a. un prix maintenant à 150 euros vient d augmenter de 20%, quel était l ancien prix? b. un prix maintenant à 150 euros vient de baisser de 20%, quel était l ancien prix? c. un prix TTC est de 20 euros, quel est le prix HT si la TVA est à 19,6%? d. un prix soldé est de 20 euros, quel est le prix avant solde si la remise est de 5%?

24 3.2 corrigé activité a. un prix maintenant à 150 euros vient d augmenter de 20%, quel était l ancien prix? 1,2 (1+ 20 arrivée ) v ,2 l ancien prix v 1 est tel que : v 1 (1+ 20 ) = 150 v 1 1,2 = 150 donc : v 1 = 150 1,2 = 125 euros b. un prix maintenant à 150 euros vient de baisser de 20%, quel était l ancien prix? 0,8 (1 20 arrivée ) v ,8 l ancien prix v 1 est tel que : v 1 (1 20 ) = 150 v 1 0,8 = 150 donc : v 1 = 150 0,8 = 187,5 euros c. un prix TTC est de 20 euros, quel est le prix HT si la TVA est à 19,6%? 1, 196 H.T. (1+ 19,6 T.T.C. ) v , 196 le prix HT v 1 est tel que : v 1 (1+ 19,6 ) = 20 v 1 1,196 = 20 donc : v 1 = 20 1,196 = 16,72 euros

25 d. un prix soldé est de 20 euros, quel est le prix avant solde si la remise est de 5%? 0,95 plein prix (1 5 soldé ) v ,95 l ancien prix v 1 est tel que : v 1 (1 5 ) = 20 v 1 0,95 = 20 donc : v 1 = 20 0,95 = 21,05 euros

26 3.3 a retenir : propriété 2 : (valeur initiale) quel que soit le nombre positif non nul v 1 (v 1 R + ) quel que soit le nombre positif v 2 (v 2 R + ) soit t ] 1; + [ le taux d évolution de v 1 à v 2 on a : v 1 = v 2 1+t valeur initiale = valeur finale 1+t (1+t) arrivée v 1 v 2 (1+t) démonstration : (laissée en exercice à partir de la définition d une variation relative) remarques : (admises si non justifiées) i. pour trouver la valeur initiale, il suffit de diviser la valeur finale par le coefficient multiplicateur CM = 1+t (CM > 0) 1 ii. ce qui revient à multiplier par "l inverse" CM = 1 de CM 1+t exemples i. un prix maintenant à 150 euros vient d augmenter de 20%, quel était l ancien prix? 1,2 (1+ 20 arrivée ) v ,2 l ancien prix v 1 est tel que : v 1 (1+ 20 ) = 150 v 1 1,2 = 150 donc : v 1 = 150 1,2 = 125 euros ii. un prix maintenant à 150 euros vient de baisser de 20%, quel était l ancien prix? 0,8 (1 20 arrivée ) v ,8 l ancien prix v 1 est tel que : v 1 (1 20 ) = 150 v 1 0,8 = 150 donc : v 1 = 150 0,8 = 187,5 euros

27 3.4 exercices exercice 13 : Un prix vient d augmenter de 25% puis diminuer de 25%, il vaut finalement 50 euros (a) Calculer le prix intermédiaire ainsi que le prix initial. (b) Calculer le taux d évolution global équivalent aux deux évolutions. exercice 14 : Une consommation d électricité mensuelle finalement de 0 euros vient d augmenter de 2% par mois pendant 5 mois. (a) Calculer la consommation initiale. (b) Calculer le taux d évolution global équivalent aux cinq évolutions. exercice 15 : Un prix vient de baisser de 50% puis de 30%, il est au final de 200 euros (a) Calculer le prix initial. (b) Calculer le taux d évolution global équivalent aux deux évolutions. exercice 16 : (a) un objet à 127 euros vient d augmenter de 5%, quel était son ancien prix? (b) un objet à 127 euros vient de baisser de 5%, quel était son ancien prix? (c) quel est le prix hors taxe d un article à e TTC taxé à 19,6%? (d) quel est le prix hors taxe d un article à 20e TTC taxé à 5,5%? exercice 17 : La subvention accordée par une entreprise à son club sportif était de 6000e pour l année Depuis 1998, L évolution de la subvention en pourcentage d une année à l autre est celle décrite dans le tableau ci-dessous : Année Evolution en pourcentage 17% 15% 10% 9% 6% Par exemple, le taux d évolution de la subvention de 2000 à 2001 est de 10%. (a) i. Calculer, pour chacune des années, le montant de la subvention attribuée (en euro). Les résultats seront arrondis à l unité. ii. Le responsable sportif se réjouit d une augmentation continuelle des subventions depuis l année Quelle confusion fait-il? iii. Calculer le pourcentage de diminution ou d augmentation de la subvention de 1998 à exercice 18 : écrire un algorithme qui donne la valeur initiale si on entre le taux d évolution et la valeur finale exercice 19 : dans la feuille de calcul automatisée (tableur) ci dessous A B C 1 prix HT taux de TVA prix TTC 2? 19, ? 5, ? 2,1 200 i. quelle formule entrée dans la cellule A2 permet d obtenir les résultats attendus dans la colonne A si on "tire vers le bas"?

28 3.5 corrigés exercices corrigé exercice 13 : Un prix vient d augmenter de 25% puis diminuer de 25%, il vaut finalement 50 euros? 53,33 intermédiaire +25% 25%? 66,67 1,25 0,75 arrivée 50 1,25 0,75 (a) prix intermédiaire = 50 0,75 66,67 prix initial 66,67 1,25 53,33 (b) taux global : t = v 2 v ,33 0,062 v 1 53,33 ou bien 6,2% t = v 2 1 = 50 v 1 53,33 1 0,062 6,2% ou bien C g = 1,25 0,75 = 0,9375 et t = 0, = 0,0625 = 6, 25%

29 corrigé exercice 14 : Une consommation d électricité mensuelle finalement de 0 euros vient d augmenter de 2% par mois pendant 5 mois. v 1 =? intermédiaire intermédiaire intermédiaire intermédiaire +2% +2% +2% +2%???? 1,02 1,02 1,02 1,02 +2% 1,02 arrivée 0 (a) consommation initiale v 1 1,02 5 = 0 v 1 = 0 1, ,73 (b) Calculer le taux d évolution global équivalent aux cinq évolutions C g = 1,02 5 t g = 1, , , 41%

30 corrigé exercice 15 : Un prix vient de baisser de 50% puis de 30%, il est au final de 200 euros? 571,43 50% intermédiaire 30%? 285,71 0,5 0,7 arrivée 200 0,5 0,7 (a) prix intermédiaire = 200 0,7 571,43 prix initial = 200 0,7 0,5 571, 43 (b) taux d évolution global équivalent aux deux évolutions. t = v 2 v ,43 v ou bien t = v v 1 571, % 0,65 = 65% ou bien C g = 0,5 0,7 = 0,35 et t = 0,35 1 = 0,65 = 65% Remarque : On ne trouve pas globalement une évolution de -80% comme on pourrait croire intuitivement (on ne peut en général pas additionner des taux d évolutions pour trouver un taux global)

31 corrigé exercice 16 : (a) un objet à 127 euros vient d augmenter de 5%, quel était son ancien prix? 1,05 (1+ 5 arrivée ) v ,05 l ancien prix v 1 est tel que : v 1 (1+ 5 ) = 127 v 1 1,05 = 127 donc : v 1 = 127 1,05 120, 95 euros (b) un objet à 127 euros vient de baisser de 5%, quel était son ancien prix? 0,95 (1 5 arrivée ) v ,95 l ancien prix v 1 est tel que : v 1 (1 5 ) = 127 v 1 0,95 = 127 donc : v 1 = 127 0,95 133, 68 euros (c) quel est le prix hors taxe d un article à e TTC taxé à 19,6%? 1, 196 (1+ 19,6 arrivée ) v 1 1, 196 l ancien prix v 1 est tel que : v 1 (1+ 16,6 ) = v 1 1,196 = donc : v 1 = 1,196 83,61 euros

32 (d) quel est le prix hors taxe d un article à 20e TTC taxé à 5,5%? 1,05 (1+ 5,5 arrivée ) v ,05 l ancien prix v 1 est tel que : v 1 (1+ 5 ) = 20 v 1 1,05 = 20 donc : v 1 = 20 1,05 19,05 euros

33 corrigé exercice 17 : La subvention accordée par une entreprise à son club sportif était de 6000e pour l année Depuis 1998, L évolution de la subvention en pourcentage d une année à l autre est celle décrite dans le tableau ci-dessous : et en 1998 : Année Evolution 17% 15% 10% 9% 6% subvention ,94 0,91 0,9 0,85 0,94 0,91 0,9 0,94 0,91 0, ,94 0,91 0,9 0,85 0, (Par exemple, le taux d évolution de la subvention de 2000 à 2001 est de 10%). (a) i. Calculer, pour chacune des années, le montant de la subvention attribuée (en euro). Les résultats seront arrondis à l unité. voir tableau ci dessus ii. Le responsable sportif se réjouit d une augmentation continuelle des subventions depuis l année Quelle confusion fait-il? il confond l augmentation du taux avec l augmentation de la subvention iii. Calculer le pourcentage de diminution ou d augmentation de la subvention de 1998 à t = ,69% ou bien C g = 0,94 0,91 0,9 0,85 0,83 0,5431 donc t 0, , , 69%

34 corrigé exercice 18 : début écrire un algorithme qui donne la valeur initiale si on entre le taux d évolution et la valeur finale var valeur_initiale; var valeur_finale; var taux ; fin entrer taux ; entrer valeur_finale; valeur_initiale = valeur_finale/(1+ taux/); sortir valeur_initiale;

35 corrigé exercice 19 : dans la feuille de calcul automatisée (tableur) ci dessous A B C 1 prix HT taux de TVA prix TTC 2? 19, ? 5, ? 2,1 200 i. quelle formule entrée dans la cellule A2 permet d obtenir les résultats attendus dans la colonne A si on "tire vers le bas"? A2 = C2/(1+B2/)

36 4 évolutions successives et taux global 4.1 activité 1. un prix augmente de 40% puis de 4%, de quel pourcentage a t-il évolué globalement? est-ce une bonne méthode d additionner les taux d évolutions intermédiaires pour obtenir le taux global? 2. un prix baisse de 40% puis de 4%, de quel pourcentage a t-il évolué globalement? 3. un prix augmente de 40% puis baisse de 40%, de quel pourcentage a t-il évolué globalement? 4. une augmentation de 10% par mois pendant 12 mois correspond à une évolution globale de quel taux? 5. une baisse de 10% par mois pendant 12 mois correspond à une évolution globale de quel taux? 6. une augmentation de 25% suivie d une évolution de quel taux donne globalement un taux de 50%? 7. une baisse de 25% suivie d une évolution de quel taux donne globalement un taux de 50%?

37 4.2 corrigé activité 1. un prix augmente de 40% puis de 4%, de quel pourcentage a t-il évolué globalement? x +40% (1+ 40 ) intermédiaire +4% (1+ 4 ) arrivée C g C g = (1+ 40 ) (1+ 4 ) = 1,4 1,04 = 1,456 t g = C g 1 = 1,456 1 = 0,456 = 45,6% donc le taux global est de 45,6%. il n est pas correct d additionner les taux d évolutions intermédiaires pour obtenir le taux global. (40%+4% 45,6%) 2. un prix baisse de 40% puis de 4%, de quel pourcentage a t-il évolué globalement? x 40% (1 40 ) intermédiaire 4% (1 4 ) arrivée C g C g = (1 40 ) (1 4 ) = 0,6 0,96 = 0,576 t g = C g 1 = 0,576 1 = 0,424 = 42,4% donc le taux global est de 42, 4%

38 3. un prix augmente de 40% puis baisse de 40%, de quel pourcentage a t-il évolué globalement? x +40% (1+ 40 ) intermédiaire 40% (1 40 ) arrivée C g C g = ( ) (1 ) = 1,4 0,6 = 0,84 t g = C g 1 = 0,84 1 = 0,16 = 16% donc le taux global est de 16% 4. une augmentation de 10% par mois pendant 12 mois correspond à une évolution globale de quel taux? +10% +10% x (1+ 10 )... (1+ 10 ) arrivée C g C g = (1+ 10 )12 = 1,1 12 3,14 t g = C g 1 3,14 1 = 2,14 = 214% donc le taux global est d environs 214% 5. une baisse de 10% par mois pendant 12 mois correspond à une évolution globale de quel taux? C g = (1 10 )12 = 0,9 12 0,28 t g = C g 1 0,28 1 = 0,72 = 72% donc le taux global est d environs 72%

39 6. une augmentation de 25% suivie d une évolution de quel taux donne globalement un taux de 50%? x +25%?% intermédiaire arrivée +50% (1+ 25 ) C 2 = ,25 C 2 = 1,5 C 2 = 1,5 1,25 = 1,2 t g = C g 1 1,2 1 = 0,2 = 20% donc le taux intermédiaire est de +20% 7. une baisse de 25% suivie d une évolution de quel taux donne globalement un taux de 50%? x 25%?% intermédiaire arrivée (1 25 ) C 2 = ,75 C 2 = 1,5 +50% C 2 = 1,5 0,75 = 2 t g = C g = 1 = % donc le taux intermédiaire est de +%

40 4.3 a retenir : propriété 3 : (taux global et taux intermédiaires) (1+t 1 ) C 1 C 2 intermédiaire (1+t 2 ) arrivée quel que soit le nombre t 1 [ 1; + [ quel que soit le nombre positif t 2 [ 1; + [ soit t g le taux d évolution global correspondant à une évolution de taux t 1 suivie d une évolution de taux t 2 on a : 1+t g = (1+t 1 ) (1+t 2 ) soit t g = (1+t 1 ) (1+t 2 ) 1 ou encore C g = C 1 C 2 et t g = C g 1 (1+t g ) C g démonstration : (laissée en exercice) remarques : (admises si non justifiées) i. pour trouver le taux d évolution global, il suffit de trouver le coefficient multiplicateur global égal au produit des coefficients multiplicateurs intermédiaires puis d en déduire le taux global exemples i. un prix augmente de 40% puis de 4%, de quel pourcentage a t-il évolué globalement? (1+ 40 ) intermédiaire (1+ 4 ) arrivée x C g C g = (1+ 40 ) (1+ 4 ) = 1,4 1,04 = 1,456 t g = C g 1 = 1,456 1 = 0,456 = 45,6% donc le taux global est de 45,6%. il n est pas correct d additionner les taux d évolutions intermédiaires pour obtenir le taux global. (40%+4% 45,6%) ii. une augmentation de 25% suivie d une évolution de quel taux donne globalement un taux de 50%? (1+ 25 ) C 2 = ,25 C 2 = 1,5 C 2 = 1,5 1,25 = 1,2 t g = C g 1 1,2 1 = 0,2 = 20% donc le taux intermédiaire est de 20%

41 4.4 exercices exercice 20 : L an dernier le prix a d abord baissé de 20 % puis augmenté de 25%. calculer le coefficient multiplicateur global et interpréter le résultat. exercice 21 : calculer le taux global dans chaque cas. 1. augmentation de 5% puis augmentation de 10% 2. baisse de 5% puis augmentation de 10% 3. augmentation de 10% puis baisse de 10% 4. baisse de 20% puis augmentation de 25% 5. baisse de 50% puis baisse de 30% exercice 22 : voici le bilan (en milliers d euros) d une entreprise sur une période donnée. trimestre 1 trimestre 2 trimestre 3 trimestre 4 total bilan bilan total à 0,1 % : (a) calculer le taux global du premier trimestre 2008 au 4 e trimestre (b) calculer le taux global du 4 e trimestre 2008 au 4 e trimestre (c) calculer le taux global du premier trimestre 2008 au 4 e trimestre 2009 par deux méthodes exercice 23 : Depuis 1998, L évolution de la subvention accordée par une entreprise à son club sportif en pourcentage d une année à l autre est celle décrite dans le tableau ci-dessous : Année Evolution en pourcentage 17% 15% 10% 9% 6% Par exemple, le taux d évolution de la subvention de 2000 à 2001 est de 10%. (a) calculer le taux d évolution global de la subvention de 1998 à 2003 exercice 24 : écrire un algorithme qui donne le taux global si on entre le deux taux intermédiaires exercice 25 : dans la feuille de calcul automatisée (tableur) ci dessous A B C 1 Taux 1 en (%) Taux 2 en (%) Taux global en (%) ? ? ? i. quelle formule entrée dans la cellule C2 permet d obtenir les résultats attendus dans la colonne C si on "tire vers le bas"?

42 4.5 corrigés exercices corrigé exercice 20 : L an dernier le prix a d abord baissé de 20 % puis augmenté de 25%. coefficient multiplicateur global = C g = ( ) (1+ ) = 0,8 1,25 = 1 t g = C g 1 = 1 1 = 0 = 0% donc le taux global est de 0%. les deux évolutions se neutralisent. (25% est le taux réciproque de -20%) corrigé exercice 21 : calculer le taux global dans chaque cas. ) 1 = 15,5% 4,5% ) 1 = 1% ) 1 = 0% ) 1 = 65% 1. augmentation de 5% puis augmentation de 10% : t g = ( ) (1+ 2. baisse de 5% puis augmentation de 10% : t g = ( ) (1+ ) 1 = 3. augmentation de 10% puis baisse de 10% : t g = ( ) (1 4. baisse de 20% puis augmentation de 25% : t g = ( ) (1+ 5. baisse de 50% puis baisse de 30% : t g = ( ) (1 corrigé exercice 22 : voici le bilan (en milliers d euros) d une entreprise sur une période donnée. trimestre 1 trimestre 2 trimestre 3 trimestre 4 total bilan bilan total à 0,1 % : (a) taux global du premier trimestre 2008 au 4 e trimestre 2008 t 1 = 50 1 = % (b) calculer le taux global du 4 e trimestre 2008 au 4 e trimestre t 2 = 50 1 = 50% (c) calculer le taux global du premier trimestre 2008 au 4 e trimestre 2009 par deux méthodes t g = = 0% ou bien t g = (1+ 50 ) (1 ) 1 = 0%

43 corrigé exercice 23 : Depuis 1998, L évolution de la subvention accordée par une entreprise à son club sportif en pourcentage d une année à l autre est celle décrite dans le tableau ci-dessous : Année Evolution en pourcentage 17% 15% 10% 9% 6% Par exemple, le taux d évolution de la subvention de 2000 à 2001 est de 10%. (a) calculer le taux d évolution global de la subvention de 1998 à 2003 t g = 0,83 0,85 0,9 0,91 0,94 1 0, , 69%

44 corrigé exercice 24 : écrire un algorithme qui donne le taux global si on entre le deux taux intermédiaires début fin var taux_1; var taux_2; var taux_global; entrer taux_1; entrer taux_2; taux_global = (1+taux_1/)*(1+taux_2/)-1; sortir taux_global;

45 corrigé exercice 25 : dans la feuille de calcul automatisée (tableur) ci dessous A B C 1 Taux 1 en (%) Taux 2 en (%) Taux global en (%) ? ? ? i. quelle formule entrée dans la cellule C2 permet d obtenir les résultats attendus dans la colonne C si on "tire vers le bas"? C2 = ((1+A2/)*(1+B2/)-1)*

46 5 évolutions successives et taux réciproque 5.1 activité 1. de quelle évolution en % faire suivre une évolution de 20% pour neutraliser celle ci (taux global = 0%)? autrement dit, quelle est l évolution réciproque d une évolution de +20%? suffit-il de prendre l opposé du premier taux pour trouver le taux réciproque? 2. quel est le taux réciproque d une évolution de +25 %? 3. quel est le taux réciproque d une évolution de + %? 3. quel est le taux réciproque d une évolution de -25 %? 4. quel est le taux réciproque d une évolution de -80 %? 5. quel est le taux réciproque d une évolution de - %?

47 5.2 corrigé activité 1. de quelle évolution en % faire suivre une évolution de 20% pour neutraliser celle ci (taux global = 0%)? autrement dit, quelle est l évolution réciproque d une évolution de +20%? suffit-il de prendre l opposé du premier taux pour trouver le taux réciproque? +20%?% x (1+ 20 ) intermédiaire C r arrivée (1+ 0 ) 0% (1+ 20 ) C r = ,2 C r = 1 C r = 1 1,2 0,83 t r = C r 1 0,83 1 0,17 17% donc le taux réciproque de +20% est environs -17% il n est pas une bonne méthode de prendre l opposé du premier taux car -20% -17% 2. quel est le taux réciproque d une évolution de +25 %? +25%?% x (1+ 25 ) intermédiaire C r arrivée (1+ 0 ) (1+ 25 ) C r = 1 1,25 C r = 1 0% C r = 1 1,25 = 0,8 t r = C r 1 0,8 1 = 0,2 = 20% donc le taux réciproque de +25% est -20%

48 3. quel est le taux réciproque d une évolution de + %? +%?% x (1+ ) intermédiaire C r arrivée (1+ 0 ) (1+ ) C r = 1 2 C r = 1 0% C r = 1 2 = 0,5 t r = C r 1 0,5 1 = 0,5 = 50% donc le taux réciproque de +% est -50% 3. quel est le taux réciproque d une évolution de -25 %? 25%?% x (1 25 ) intermédiaire C r arrivée (1+ 0 ) (1 25 ) C r = 1 0,75 C r = 1 0% C r = 1 0,75 1,33 t r = C r 1 1,33 1 0,33 33% donc le taux réciproque de -25% est environs +33%

49 4. quel est le taux réciproque d une évolution de -80 %? 80%?% x (1 80 ) intermédiaire C r arrivée (1+ 0 ) (1 80 ) C r = 1 0,2 C r = 1 0% C r = 1 0,2 = 5 t r = C r = 4 = 400% donc le taux réciproque de -25% est environs +400% 5. quel est le taux réciproque d une évolution de - %? %?% x (1 ) intermédiaire C r arrivée (1+ 0 ) (1 ) C r = 1 0 C r = 1 0% C r = 1 n existe pas 0 donc le taux réciproque de -% est inexistant

50 5.3 a retenir : propriété 4 : (taux réciproque) C 1 (1+t 1 ) C r (1+t r ) quel que soit le nombre t 1 ] 1; + [ soit t r le taux d évolution réciproque du taux t 1 on a : 1 = (1+t 1 ) (1+t r ) soit t r = 1 1 ou bien 1+t 1 1 = C 1 C r soit C r = 1 et t C 1 r = C r 1 1 démonstration : (laissée en exercice) remarques : (admises si non justifiées) i. pour trouver le taux d évolution réciproque d un taux donné (sauf %), il suffit de trouver le coefficient multiplicateur réciproque égal à l inverse du coefficient multiplicateur du taux donné puis d en déduire le taux réciproque exemples i. de quelle évolution en % faire suivre une évolution de 20% pour neutraliser celle ci (taux global = 0%)? autrement dit, quelle est l évolution réciproque d une évolution de +20%? suffit-il de prendre l opposé du premier taux pour trouver le taux réciproque? x (1+ 20 ) intermédiaire C r arrivée (1+ 0 ) (1+ 20 ) C r = ,2 C r = 1 C r = 1 1,2 0,83 t r = C r 1 0,83 1 = 0,17 = 17% donc le taux réciproque de +20% est environs -17% il n est pas une bonne méthode de prendre l opposé du premier taux car -20% -17%

51 5.4 exercices exercice 26 : dans chaque cas, calculer le coefficient multiplicateur associé à l évolution, le coefficient multiplicateur de l évolution réciproque et le taux réciproque de l évolution donnée. (a) le prix d un kilo de fruit a augmenté de 21% (b) les ventes on baissé de 0,4% (c) le du baril de pétrole a augmenté de 19,42% (d) le prix du litre de super a augmenté de 9% (e) la production industrielle a baissé de 0,9% exercice 27 : (a) quelle augmentation "annule" une diminution de 25%? (b) quelle diminution "annule" une augmentation de 25%? (c) quelle diminution "annule" une augmentation de 20%? (d) quelle augmentation "annule" une diminution de 20%? exercice 28 : écrire un algorithme qui donne le taux réciproque si on entre le taux d évolution exercice 29 : dans la feuille de calcul automatisée (tableur) ci dessous A B 1 taux (en %) taux réciproque (en %) 2? 3-99,99? 4 150? i. quelle formule entrée dans la cellule B2 permet d obtenir les résultats attendus dans la colonne B si on "tire vers le bas"?

52 5.5 corrigés exercices corrigé exercice 26 : dans chaque cas, calculer le coefficient multiplicateur associé à l évolution, le coefficient multiplicateur de l évolution réciproque et le taux réciproque de l évolution donnée. (a) le prix d un kilo de fruit a augmenté de 21% t 1 = 21% C 1 = = 1,21 C r = 1 = 1 C 1 1,21 0,8264 t R = C R 1 = 1 1, , 36% (b) les ventes on baissé de 0,4% t 1 = 0,4% C 1 = 1 0,4 = 0,996 C r = 1 = 1 C 1 0,996 1,004 t R = C R 1 = 1 0, ,4% (c) le du baril de pétrol a augmenté de 19,42% t 1 = 19,42% C 1 = 1+ 19,42 = 1,1942 C r = 1 1 = C 1 1,1942 0, t R = C R 1 = 1, , 26% (d) le prix du litre de super a augmenté de 9% t 1 = 9% C 1 = 1+ 9 = 1,09 C r = 1 = 1 C 1 1,09 0,9174 t R = C R 1 = 1 1,09 1 8, 25% (e) la production industrielle a baissé de 0,9% t 1 = 0,9% C 1 = 1 0,9 = 0,991 C r = 1 = 1 C 1 0,991 1,0091 t R = C R 1 = 1 0, , 091%

53 corrigé exercice 27 : (a) quelle augmentation "annule" une diminution de 25%? : t R = (b) quelle diminution "annule" une augmentation de 25%? : t R = (c) quelle diminution "annule" une augmentation de 20%? : t R = (d) quelle augmentation "annule" une diminution de 20%? : t R = ,33 33% = 0,2 = 20% ,17 17% = 0,25 = 25%

54 corrigé exercice 28 : écrire un algorithme qui donne le taux réciproque si on entre le taux d évolution début fin var taux ; var taux_rec; entrer taux ; taux_rec = (1/(1+taux/)-1)*; sortir taux_rec;

55 corrigé exercice 29 : dans la feuille de calcul automatisée (tableur) ci dessous A B 1 taux (en %) taux réciproque (en %) 2? 3-99,99? 4 150? i. quelle formule entrée dans la cellule B2 permet d obtenir les résultats attendus dans la colonne B si on "tire vers le bas"? B2 = (1/(1+A2/) 1)

56 6 évolutions successives et taux moyen 6.1 activité 1. le premier mois, le prix augmente de 20%, le mois suivant, il augmente encore de 80% quel est le taux d évolution moyen mensuel? suffit-il de faire la moyenne arithmétique des deux taux précédents pour trouver le taux moyen? 2. le premier trimestre, le prix baisse de 20%, le trimestre suivant, il baisse encore de 80% quel est le taux d évolution moyen trimestriel? 3. en trois ans, un prix évolue respectivement de 10% puis de 20% puis de 15% quel est le taux d évolution moyen annuel? 4. en trois jours, un prix évolue respectivement de -10% puis de -20% puis de -15% quel est le taux d évolution moyen journalier? 5. en 4 mois, un prix passe de à 200 euros quel est le taux d évolution moyen mensuel? 6. en 12 mois, un prix passe de 200 à euros quel est le taux d évolution moyen mensuel?

57 6.2 corrigé activité 1. le premier mois, le prix augmente de 20%, le mois suivant, il augmente encore de 80% quel est le taux d évolution moyen mensuel? suffit-il de faire la moyenne arithmétique des deux taux précédents pour trouver le taux moyen? ( ) (1+ ) arrivée ( ) (1+ ) = (1+t m) (1+t m ) 1,2 1,8 = (1+t m ) 2 (1+t m ) 2 = 2,16 (1+t m ) (1+t m ) 1 + t m = 1,56 1,47 ou 1 + t m = 1,56 1,47 qui est non acceptable dans le contexte d une évolution car un CM est toujours positif t m 1 1,47 = 0,47 = 47% donc le taux moyen mensuel est environs 47% il n est pas correct de faire la moyenne des deux taux donnés car 47% % 2 2. le premier trimestre, le prix baisse de 20%, le trimestre suivant, il baisse encore de 80% quel est le taux d évolution moyen trimestriel? ( ) (1 ) arrivée (1+t m ) (1+t m ) ( ) (1 ) = (1+t m) (1+t m ) 0,8 0,2 = ((1+t m ) 2 (1+t m ) 2 = 0,16 1+t m = 0, = 0,16 = 0,4 t m = 0,4 1 = 0,6 = 60% donc le taux moyen trimestriel est -60 %

58 3. en trois ans, un prix évolue respectivement de 10% puis de 20% puis de 15% quel est le taux d évolution moyen annuel? ( ) (1+ ) (1+ 15 ) arrivée (1+t m ) (1+t m ) (1+t m ) ( ) (1+ ) (1+ ) = (1+t m) (1+t m ) (1+t m ) 1,1 1,2 1,15 = (1+t m ) 3 (1+t m ) 3 = 1,518 1+t m = 1, = 3 1,518 1,149 t m 1,149 1 = 0,149 = 14,9% donc le taux moyen annuel est environs 14,9 % 4. en trois jours, un prix évolue respectivement de -10% puis de -20% puis de -15% ( ) (1 ) (1 15 ) arrivée (1+t m ) (1+t m ) (1+t m ) ( ) (1 ) (1 ) = (1+t m) (1+t m ) (1+t m ) 0,9 0,8 0,85 = (1+t m ) 3 (1+t m ) 3 = 0,612 1+t m = 0, = 3 0,612 0,849 t m 0,849 1 = 0,151 = 15,1% donc le taux moyen journalier est environs -15,1 %

59 5. en 4 mois, un prix passe de à 200 euros arrivée (1+t m ) (1+t m ) (1+t m ) (1+t m ) 200 (1+t m ) (1+t m ) (1+t m ) (1+t m ) = 200 (1+t m ) 4 = 200 (1+t m ) 4 = 200 = 2 1+t m = = 4 0,612 1,189 t m 1,189 1 = 0,189 = 18,9% donc le taux moyen mensuel est environs 18,9 % 6. en 12 mois, un prix passe de 200 à euros quel est le taux d évolution moyen mensuel? arrivée (1+t m ) (1+t m ) (1+t m ) (1+t m ) (1+t m ) 12 = (1+t m ) 12 = 200 = 0,5 1+t m = 0, = 12 0,5 0,944 t m 0,944 1 = 0,056 = 5,6% donc le taux moyen mensuel est environs 5,6 %